Решение двадцать четвёртой проблемы Гильберта.

I.

Четвёртого июня 1925 года Давид Гильберт на съезде математиков, организованном вестфальским математическим обществом в Мюнстере в память Карла Вейерштрасса, выступил с докладом "О бесконечности".

Так к списку из 23-х нерешённых задач математики, озвученном им же на II Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году, добавилась 24-я проблема.

Бесконечна ли бесконечность? Именно с математической точки зрения.

Со времён Аристотеля бесконечность была разделена на потенциальную бесконечность и актуальную бесконечность.

Яркий представитель потенциальной бесконечности - натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, .... , K, ...., L, ... , M, ..., ... N, N+1, N +2, ...., ?.

А существует ли Актуальная бесконечность?

О её существовании говорят парадоксы Галилео Галилея и Бернарда Больцано, теория множеств Георга Кантора.

Рассмотрим одно из "доказательств" существования Актуальной бесконечности на основе высшей математики.

Известна сумма первых натуральных чисел: S1 = N * (N +1) / 2,

где N - какое-либо натуральное число;

где S1 - сумма числового ряда, составленного из первых членов натурального ряда.

Известна сумма квадратов первых натуральных чисел: S2 = N * (N +1) * (2N + 1) / 6,

где S2 - сумма числового ряда, составленного из квадратов первых членов натурального ряда.

Известна сумма кубов первых натуральных чисел: S3 = N2 * (N + 1)2 / 4 = (S1)2,

где S3 - сумма числового ряда, составленного из кубов первых членов натурального ряда.

Если ряд, составленный из кубов натуральных чисел:

13 + 23 + 33 + 43 + .... + N3 = S3

равен квадрату ряда натуральных чисел:

(1 + 2 + 3 + 4 + .... + N)2 = (S1)2,

то можно предположить, что сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в какой-либо степени n равна сумме ряда, составленного из тех же натуральных чисел, но уже в меньшей степени и так далее. Получается, что ряды сходятся.

Для доказательства воспользуемся формулой интегрирования:

? Nn dN = Nn+1 / (n +1)

Для более наглядного примера используем следующую формулу: ? Nn-1 dN = Nn / n

? Nn-1 = 1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + .... + Nn-1 = Sn-1,

где 1, 2, 3, ... , N - натуральные числа;

n - степень, в которую возводятся натуральные числа

Sn-1 = ? Nn-1 - сумма ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени.

1n-1 + 2n-1 + 3n-1 + .... + Nn-1 = Sn-1

Sn-1 = (Nn / n) = Nn-1* N / n

Sn-1 / Nn-1 = N / n

При n = N >? Sn-1 / Nn-1 = N/N = 1

Следовательно, существует предел, к которому стремится отношение суммы числового ряда, составленного из членов натурального ряда в n-1 степени, к последнему из членов этого ряда, и этот предел стремится к единице.

На основе одного из парадоксов Галилея: "более длинный отрезок не содержит больше точек, чем более короткий", - можно доказать, что вся Вселенная сходится в одну точку, а точка становится всей Вселенной.

Возьмём треугольник ABC: основание треугольника - AC, стороны треугольника - AB и BC. Произвольно соединим стороны AB и BC отрезком DE. Вершину B соединим отрезками B1 и B2 с основанием AC.

На основании AC находятся четыре точки: A, 1, 2, C и на отрезке DE - четыре точки. Если на основании AC расположено бесчисленное множество точек, соответственно, на отрезке DE точек будет такое же количество.

На этом доказательство почему-то заканчивается. Но мы продолжим наши рассуждения.

Известно: на основании и на сторонах треугольника расположено бесчисленное количество точек, которые по определению не имеют ни длины, ни площади, ни объёма.

Однако можно смело утверждать, что стороны и основание треугольника имеют как бесчисленное количество точек, так и всего одну, в которой они сходятся.

Все точки основания AC сходятся в вершину B и становятся одной точкой B. Правда точка AC теперь будет иметь длину ac. То же самое можно сказать о других сторонах треугольника.

Кроме того, можно сказать, что все бесчисленные точки, находящиеся внутри треугольника ABC сходятся в вершине B, и таким образом, все точки треугольника ABC превращается в одну точку B, площадь которой равна площади всего треугольника.

От треугольника можно перейти к кубу, к любому другому объёмному телу.

В любом случае безразмерная точка становится или осязаемым телом или в безразмерную точку сходится всё.

Эти два примера говорят о том, что просто так утверждать, что Актуальной бесконечности не существует, - нельзя.

Таким образом, чтобы однозначно ответить на вопрос: существует ли Актуальная бесконечность или нет, - надо всего лишь подсчитать, измерить бесконечность.

Или соизмерить бесконечность с чем-то бесконечным, но известным. Найти тот предел, который ограничивает как бесконечный натуральный ряд чисел, так и все множества счётные и несчётные.

II.

Приступим к решению этой задачи.

Итак, имеем натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, .... , K, ...., L, ... , M, ..., ... N, ....

Ряд, составленный из квадратов членов натурального ряда чисел:

12, 22, 32, 42, .... , K2, ...., L2, ... , M2, ..., ... N2, ....

Ряд, составленный из кубов членов натурального ряда чисел:

13, 23, 33, 43, .... , K3, ...., L3, ... , M3, ..., ... N3, ....

Ряд, составленный из n-степени членов натурального ряда чисел:

1n, 2n, 3n, 4n, .... , Kn, ...., Ln, ... , Mn, ..., ... Nn, ....

Соответственно, сумма ряда, составленного из членов натурального ряда чисел, равна:

11 + 21 + 31 + 41 + .... + K1 + ....+ L1 + ... + M1 + ...+ N1 = S1

Соответственно, сумма ряда, составленного из квадратов членов натурального ряда чисел, равна:

12 + 22 + 32 + 42 + .... + K2 + ....+ L2 + ... + M2 + ...+ N2 = S2

Соответственно, сумма ряда, составленного из кубов членов натурального ряда чисел, равна:

13 + 23 + 33 + 43 + .... + K3 + ....+ L3 + ... + M3 + ...+ N3 = S3

Соответственно, сумма ряда, составленного из n-степени членов натурального ряда чисел, равна:

1n + 2n + 3n + 4n + .... + Kn + ....+ Ln + ... + Mn + ...+ Nn = Sn

Натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, .... , K, ...., L, ... , M, ..., ... N, N+1, N +2, ...., ? является счётным бесконечным множеством.

В наших дальнейших расчётах ограничимся каким-либо большим конечным числом N.

Обозначим подстрочным индексом "1" показатель степени, который имеет сумма членов натурального ряда: S1 = 11 + 21 + 31 + ... + N1;

подстрочным индексом "2" сумму квадратов членов натурального ряда:

S2 = 12 + 22 + 32 + ... + N2;

подстрочным индексом "3" сумму кубов членов натурального ряда:

S3 = 13 + 23 + 33 + ... + N3; соответственно,

подстрочным индексом "n" - сумму членов натурального ряда в "n" степени:

Sn = 1n + 2n + 3n+ ... + Nn .

Сумма членов натурального ряда равна:

S1 = N * (N + 1) / 2 = (N2 + N + 1) / 2,

в то же время, интеграл ? Nn dN = Nn+1 / (n +1),

и таким образом, при N >?, при первом приближении имеем:

S1 = 11 + 21 + 31 + ... + N1 = ?N1 = ? N dN = N2 / 2

S2 = 12 + 22 + 32 + ... + N2 = ?N2 = ? N2 dN = N3/ 3

S3 = 13 + 23 + 33 + ... + N3 = ?N3 = ? N3 dN = N4/ 4

S4 = 14 + 24 + 34 + ... + N4 = ?N4 = ? N4 dN = N5/ 5

S5 = 15 + 25 + 35 + ... + N5 = ?N5 = ? N5 dN = N6/ 6

S6 = 16 + 26 + 36 + ... + N6 = ?N6 = ? N6 dN = N7/ 7

S7 = 17 + 27 + 37 + ... + N7 = ?N7 = ? N7 dN = N8/ 8

........................................

Sn = 1n + 2n + 3n+ ... + Nn = ? Nn dN = Nn+1/ (n+1)

Таким образом:

S1 = 11 + 21 + 31 + ... + N1 = ?N1 = ? N dN = N2 / 2

В то же время имеем:

S3 = 13 + 23 + 33 + ... + N3 = ? N3 dN = N4/ 4 = (N2 / 2)2 = (?N dN)2 =

= (11 + 21 + 31 + ... + N1)2 = (S1)I.

S? = (S1)I.

Соответственно, ((S?)2)2 = (S?)4 = (N2 / 2)4 = N8 / 16 .

Но (N8/ 8) = ? N7 dN = ?N7 = 17 + 27 + 37 + ... + N7 = S7,

то есть S7 = (S3)2 * 2 =(( S1)2)2 *2 = (S?)4 * 2

Следовательно: S7 = (S?)4 * 2.

S7 = 17 + 27 + 37 + ... + N7 = ?N7 = ? N7 dN = N8/ 8

S15 = 115 + 215 + 315 + ... + N15 = ?N15 = ? N15 dN = N16/ 16

(S7)2 = (? N7 dN )2 = (N8/ 8)2 = (N16/16) / 4 = Ќ *? N15 dN = Ќ* S15,

S15 = 4* (S7)2 = 22* (S7)2 = 22 * ((S?)4 * 2)2 = 22 * (S?)8 *22 = (S?)8 *24,

Следовательно: S15 = (S?)8 * 24.

S31 = 131 + 231 + 331 + ... + N31 = ?N31 = ? N31 dN = N32/ 32

(S15)2 = (N16/ 16)2 = (N32/32)/8 = 1/8*? N31 dN = 1/8* S31

S31 = 8* (S15)2 = 23* (S15)2

Следовательно: S31 = (S?)16 * 211.

S63 = 163 + 263 + 363 + ... + N63 = ?N63 = ? N63 dN = N64/ 64

(S31)2 = (N32/ 32)2 = (N64/64)/16 = 1/16*? N63 dN = 1/16* S63

S63 = 16* (S31)2 = 24* (S31)2

Следовательно: S63 = (S?)32 * 226.

S127 = 1127 + 2127 + 3127 + ... + N127= ?N127 = ? N127 dN = N128/ 128

(S63)2 = (?N63 dN)2 = (N64/ 64)2 = (N128/128)/32 = 1/32*? N127 dN = 1/32* S127

S127 = 32* (S63)2 = 25* (S63)2 = 25 *((S?)32 * 226)2 = * (S?)64 * 252 *25 = (S?)64 * 257,

Следовательно: S127 = (S?)64 * 257,

но 257 = 264 - 7 = 264 /27 = 264 / (2*64) или 2n / 2n при n = 64;

соответственно, (2n -1) = 127, (n -1) = 63, n / 2 = 32.

S??? = 64*(S127)I = 2? *((S?)??*257)2 = (S1)128 * 2120,

Следовательно: S??? = (S1)128 * 2120.

Таким образом, получаем следующие общие формулы:

S2n-1 = (Sn-1)2 * n/2 (1)

S2n-1 = (S?)n * 2n / 2n (2)

или S2n-1 = (S?)n * 2n - log22n (2a)

При n = N, из формулы (2), получаем:

S2N-1 = NN * (N + 1)N* 2N / 2N* 2N = NN * (N + 1)N / 2 N =

= (N + 1)N * N2N / (2*N * NN) = Ґ * N2N-1 * (1 + 1/N)N,

Но lim (1 + 1/N)N при N > ? равен ?,

следовательно: S2N-1 = N2N-1 * Ґ*e (3)

или S2N-1 / N2N-1 = Ґ*e (4)

Предел отношения S2N-1 / N2N-1 при N > ? равен Ґ ? или ? / 2.

S2N -1 = 12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + .... + N2N -1 = Ґ * e * N2N-1 (5)

Предел отношения: S2N -1/ N2N-1 = (12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + .... + N2N -1) / N2N-1 =

= 12N -1/ N2N-1 + 22N -1/ N2N-1 + 32N -1 / N2N-1 + .... + N2N -1 / N2N-1 = 1,355682752166170 ? 1, следовательно, при подсчёте предела отношения S2N-1 / N2N-1 можно пользоваться формулой интегрирования: ? N2n-1dN.

Подсчитаем конечный предел отношения сразу по формуле интегрирования:

S2n-1 = ?N2n-1 = ? N2n-1dN = N2n-1+1 / 2n-1+1 = N2n /2n,

S2n-1 = N2n /2n = (N2n-1 * N)/2n,

S2n-1 / N2n-1 = N / 2n, (6)

при n = N,

S2N-1 / N2N-1 = N / 2N = Ґ (7)

Таким образом, предел, к которому стремится отношение S2N-1 / N2N-1 , равен 0,5.

Но S2N -1/ N2N-1 = (12N -1 + 22N -1 + 32N -1 + .... + N2N -1) / N2N-1 всегда ? 1,

следовательно, при подсчёте предела отношения S2N-1 / N2N-1,

формула ? N2n-1dN оказывается неверной.

Разница двух пределов, посчитанных по одной и той же формуле, но разными способами составляет:

(S2N-1 / N2N-1 )(4) : ( S2N-1 / N2N-1)(6) = Ґ*e : Ґ = ?.

Какая формула правильная?

Чему равен предел отношений S2n-1 / N2n-1: Ґ или Ґ ??

Но что есть ??

Леонард Эйлер ввёл обозначение числа ?. Но он не сказал, что ? - число, ? всего лишь предел, который он и назвал буквой "?".

Второй замечательный предел математики.

? = (1 + 1 / n)n = 2,711365504332330

? = (1 + 1 / n)n = (1 + 1 / N)N = (1 + N)N / NN

Обозначим буквой E выражение (1 + 1/N)N, то есть

E = (1 + 1/N)N.

E - функция. Каждому значению числа N соответствует определённое значение E.

EN = F (N).

При N > ? E = ?

В то же время, сумма конечного числа ряда, составленного из последовательных натуральных чисел, то есть арифметическая прогрессия- S1 - равна половине произведения конечного числа на следующее за ним, то есть:

S1 = N * (N + 1) / 2,

Соответственно, (S1)N = (N * (N + 1) / 2)N = NN * (N + 1)N / 2N,

тогда NN = [2S1 /(N + 1)]N или NN = [2S1 /(N + 1)]N,

то ? = E = (1+1/N)N *N2N / N2N = (1+N)N * NN/N2N = 2N *( S1)N /N2N,

следовательно, при N >?: ? = 2N *( S1)N /N2N (8)

или ? = 2N/N *( S1)N /N2N-1 (8a)

или ln ? = N * ln 2 + N * ln S1 - 2N * ln N

N * ln 2 + N * ln S1 - 2N * ln N = 1

N * ln 2 + N * ln N + N* ln (N + 1) - N* ln 2 - 2N * ln N = 1

N * (ln (N + 1) - ln N) = 1

ln (1 + 1 / N) = 1 / N

?1/N = (1+ 1 / N)

? = (1 + 1 / N)1/N

Соответственно, при S2n-1 / N2n-1 = ? / 2 = 2N *( S1)N /(2*N2N) =

= (2N/2N) * (S1)N / N2N-1 = S2N-1 / N2N-1 получается совершенное тождество.

Чему равно отношение S2n-1 / (S1)n, то есть предел S2n-1 / (S1)n?

Так как (S1)n = Nn * (N + 1)n / 2n = Nn * (1 + 1/N)n * Nn / 2n , то

S2n-1 / (S1)n = 2n * S2n-1 / (Nn *(1+1/N)n * Nn) = 2n * S2n-1 / (N2n-1 * N * ?)

При N = n > ?

S2n-1 / (S1)n = 2n * S2n-1 / (N2n-1 * N * ?) = (2n / n) * (S2n-1 / (N2n-1 ) / ?. (9)

S2n-1 / (S1)n = 2n / n * (S2n-1 / (N2n-1) * 1 / ? (9a)

При S2n-1 / N2n-1 = ?/2,

S2n-1 / (S1)n = (2n / n) * (S2n-1 / (N2n-1 ) / ? = (2n / 2n)

Будем считать, что подготовительная работа закончена и приступим к непосредственным вычислениям.

Считаем, что

|S1| = 11 + 21 + 31 + ... + N1 = ?N1

|S2| = 12 + 22 + 32 + ... + N2 = ?N2

|S3 | = 13 + 23 + 33 + ... + N3 = ?N3

|S4| = 14 + 24 + 34 + ... + N4 = ?N4

........................................

|Sn| = 1n + 2n + 3n+ ... + Nn

то есть суммы рядов, полученные при непосредственном подсчёте чисел.

Соответственно,

S1 = ? dN = N2 / 2

S2 = ? N2 dN = N3/ 3

S3 = ? N3 dN = N4/ 4

S4 = ? N4 dN = N5/ 5

........................................

Sn = ? Nn dN = Nn+1/ (n+1)

то есть суммы рядов, полученные расчётным путём с помощью формул:

S2n-1 = (Sn-1)2 * n/2 (1)

S2n-1 = (S?)n * 2n / 2n (2)

Из формулы (2) получается следующая формула:

S2n-1 / N2n-1 = N /2n *(1 + 1/N)n (10)

S2n-1 / N2n-1 = N /2n * E (11)

Благодаря этой формуле можно подсчитать отношение S2n-1 / N2n-1 при любом значении N от N = 0 до N = ?.

При n = N, S2n-1 / N2n-1 = 1 /2 * E

Расчёты будем проводить табличным способом и результаты расчётов сведём в таблицы.

Таблица Љ1. Отношение рассчитанных по формулам сумм числовых рядов, составленных из членов натурального ряда, возведенных в 2n - 1 степень, к суммам натурального ряда, возведённых в n степень, отношение S2n-1 / (S1)n.

Љ N N n = 2 n = 4 n = 8 n = 16 n = 32 n = 64
2Љ 2I 2i 2? 2? 2?
S3/(S1)I S?/(S?)? S??/(S?)? S31/(S1)Љ6 S63/(S1)iI S???/(S?)??

1 1 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
2 2 2Љ 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
3 4 2I 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
4 8 2i 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
5 16 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
6 32 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
7 64 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
8 128 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
9 256 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
10 512 2? 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
11 1024 2Љ№ 1 2 16 2048 67108864 1,44115E+17
lim 2? 2Љ 2? 2ЉЉ 2I6 2??

Таблица Љ 2. Отношение рассчитанных по формулам сумм числовых рядов, составленных из членов натурального ряда, возведенных в 2n - 1 , к членам натурального ряда, возведённых в 2n - 1 степень, отношение S2n-1 / N2n-1.

Љ N N n = 2 n = 4 n = 8 n = 16 n = 32 n = 64
2Љ 2I 2i 2? 2? 2?
S3/Ni S?/N? S15/NЉ5 S31/NiЉ S63/N6i S127/NЉI7

1 1 2? 1 2 16 2048 67108864 1,4412E+17
2 2 2Љ 1,125 1,265625 3,2036133 41,052552 13482,5 2908443326
3 4 2I 1,5625 1,220703 1,4901161 4,4408921 78,88609 49784,1222
4 8 2i 2,53125 1,601807 1,2828923 1,6458125 5,417398 117,392798
5 16 2? 4,515625 2,548859 1,6241701 1,3189642 1,739667 6,05288038
6 32 2? 8,507813 4,52393 2,5582424 1,636151 1,338495 1,79156904
7 64 2? 16,50391 8,511841 4,5282151 2,5630915 1,64236 1,34867248
8 128 2? 32,50195 16,50589 8,5138876 4,5303926 2,565557 1,6455209
9 256 2? 64,50098 32,50294 16,50689 8,5149189 4,53149 #ЧИСЛО!
10 512 2? 128,5005 64,50147 32,503431 16,507391 8,515437 #ЧИСЛО!
11 1024 2Љ№ 256,5002 128,5007 64,501712 32,503679 16,50764

При значении N ? 2? = 256, - вычисления заканчиваются.

При малых значениях N, то есть при небольшом количестве членов рядов расчётные значения отношений достигают огромных величин, что не соответствует реальным значениям.

Таблица Љ 3. Отношение подсчитанных сумм числовых рядов, составленных из членов натурального ряда, возведенных в 2n - 1 , к членам натурального ряда, возведённых в 2n - 1 степень, отношение |S2n-1| / N2n-1.

Љ N N n = 2 n = 4 n = 8 n = 16 n = 32 n = 64
2Љ 2I 2i 2? 2? 2?
|S3|/Ni |S?|/N? |S15|/NЉ5 |S31|/NiЉ |S63|/N6i |S127|/NЉI7

1 1 2? 1 1 1 1 1 1
2 2 2Љ 1,125 1,00781 1,000030 1 1 1
3 4 2I 1,5625 1,14135 1,013393 1,00013 1 1
4 8 2i 2,5312 1,57234 1,149195 1,01606 1,00022 1,000000043
5 16 2? 4,5156 2,53638 1,577210 1,15291 1,01737 1,000275689
6 32 2? 8,5078 4,51822 2,538947 1,57960 1,15473 1,018016724
7 64 2? 16,503 8,50911 4,51951 2,54022 1,58079 1,155628658
8 128 2? 32,501 16,5045 8,509763 4,52016 2,54085 1,581386293
9 256 2? 64,500 32,5022 16,50488 8,51008 4,52048 #ЧИСЛО!
10 512 2? 128,50 64,5011 32,50244 16,5050 8,51025 #ЧИСЛО!
11 1024 2Љ№ 256,50 128,500 64,5012 32,5025 16,5051 #ЧИСЛО!

Можно приблизительно, по аналогии, подсчитать значения |S2n-1 | / N2n-1 при n > 64, но эти подсчёты будут не верны.

Рассмотрим значение отношения S149 / N149 , при значениях N = 75, n = 75.

Отношение суммы числового ряда, составленного из 75 первых членов в 149 степени к числу 75149 равно: S149 / N149 = 1,155759496.

Похожее значение даёт отношение р к ?, равное: р / ? = 1,1557273497909200

? / 2 = 1,3591409142295200

р / ? = 1,155727349790920

?2 / 2р = 1,1760048029281300

Есть ли связь между р и отношением S2n-1 / N2n-1? Вопрос остаётся без ответа.

Таким образом, формулы, полученные при помощи формул математического анализа, не позволяют правильно рассчитать значения отношений S2n-1 / N2n-1, следовательно, они неверны при расчетах бесконечно больших величин.

Сравнение значений отношений S2n-1 / N2n-1, полученных по формулам и при непосредственном подсчёте, не может дать однозначный ответ о существовании актуальной бесконечности.

Выводы:

1. Недостаточная мощность компьютера не позволяет непосредственно подсчитать пределы отношений |S2n-1 | / N2n-1 при значениях N ? 2? = 256.

2. Вычисления пределов S2n-1 / N2n-1, подсчитанных по формулам, не могут считаться точными, так как при значении N = 1, значения пределов должны быть равны 1, а не значениям 2N / 2N, то есть значениям пределов, к которым стремятся отношения S2n-1 / (S1)n.

Конечно, можно доказать, что lim |S2n-1 | / N2n-1 > S2n-1 / N2n-1и в бесконечности при n = N > ?, пределы отношений |S2n-1| / (S1)n > S2n-1 / (S1)n.

3. Положительным результатом является то, что значения отношений S2n-1 / N2n-1 при увеличении значений N и n приближаются к какому-то определённому значению, следовательно, существует предел отношений S2n-1 / N2n-1, к которому приближаются значения S2n-1 / N2n-1 при увеличении значений N и n.

III.

Так как непосредственно подсчитать бесконечно большие числовые ряды не удаётся, то надо искать предел, к которому стремятся значения этих отношений.

Прежде, чем продолжим наши расчёты, рассмотрим формулы, полученные нами.

Формулы.

N + 1 = N * (1 + 1/N)

S1 = N * (N + 1) / 2 = N * N * (1 + 1/N) = N2 * (1 +1/N) / 2

2 * (S1) / N = N * (1 + 1/ N) = N + 1

N + 1 = 2 * (S1) / N

Каждое последующее число - N +1 - равно удвоенному частному от деления суммы натурального ряда на число. Отсюда связь бесконечного с конечным числом, связь бесконечности и конечного.

N = 2 * (S1) / N - 1

Само число N равняется удвоенному частному от деления суммы натурального ряда на само себя за вычетом единицы.

1 = 2 * (S1) / N - N

Единица или число 1 равно разности удвоенного частного от деления суммы натурального ряда на число и самого числа.

Раннее была получена формула ? = 2N *( S1)N /N2N

Из формулы ? = 2N *( S1)N /N2N получаем:

S1 = Ґ * N2 * Nv?

N2 = 2* S1 / Nv?

N = v2 * v(S1) / INv?

S1/N = Ґ * N * Nv? или N + 1 = N * Nv?

N * (Nv? - 1) = 1

N = 1 / (Nv? - 1)

? = (1 + 1/ N)N = ((1 + N) / N)N,

следовательно: ?1/N = (1 + N) / N

или: 1 / N = ln ((1 + N) / N).

Соответственно,

1 / N = logE ((1 + N) / N))

N * ((logE (1 + N) - logE N)) = 1

N = 1 / (logE ((1 + N) / N)))

Выводы:

Если ? трансцендентное число, то корень N степени из трансцендентного числа - число рациональное, так как N -натуральное число.

Nv? = (1 + 1/N)

?1/N = (1 + 1/N)

ln (1 + 1 / N) = 1 / N

? = ((N +1) / N)N при N > ?

? - не число, ? - функция, функция от N и правильно писать ?=f(N) или ?(N)

? = (1 + 1 / n)n = (1 + 1 / N)N = (1 + N)N / NN = 2,711365504332330 с точностью до 15 знака после запятой, так как шестнадцатиразрядный компьютер с большей точностью не считает.

Обозначим (1 + 1 / N)N = E.

E - всегда рациональное число, при N > ? значение его приближается к ?, но оно остаётся всегда конкретным числом, в отличии от ?.

E = (1 + 1/N)N

E1/N = (1 + 1 / N) = (1 + N) / N

logE (1 + 1 / N) = 1 / N

N = 1 / logE (1 + 1 / N)

N + 1 = N * E1/N

E = (1 + 1/N)N = 2N *( S1)N / N2N - является совершенным тождеством,

при N >? E = ?

= ? = E.

График Љ 1. Значения ? и Е.

Ряд 1 - значения Е, где E = (1 + 1 / N) N

Ряд 2 - значения ?

где ? = = 2,711365504332330

Только при числе N? 247 E становится равным ?.

Но это вызвано только мощностью шестнадцатиразрядного компьютера.

При числе N ? 140737488355328 = 1,40737 * 1014 формулы, где присутствует ?, становятся безусловно верными. При числах, меньших 140737488355328, - сказать этого нельзя. Все вычисления будут приближёнными с разной степенью точности, даже вне зависимости от мощности и производительности вычислительной техники. Можно предположить, что число, большее 140737488355328, - и является ? в формулах.

Если рассматривать прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты, а б - угол при вершине A,

то cos-1б = (N + 1) / N = (1+ 1 / N) = 2S1 / N2 = Nv?

cos б = N2 / 2S1 = 1 / Nv?

cos б = 1 / Nv?

N = v(2S1 * cos б)

? = 1 / cosN б

Вывод: между ? и р нет явно видимой связи.

IV.

Подсчитаем значения суммы числовых рядов S2n-1, N2n-1, (S1)n, En при значениях N = n от 1 до максимально возможных для расчёта на шестнадцатиразрядном компьютере, то есть до N = 82.

Таблица Љ 4. Подсчитанные значения S2n-1 / N2n-1, S2n-1 / (S1)n, En / 2, 2n / 2n, б.

ЉЉ N n S2n-1 / NIn?Љ EN / 2 S2n-1/ (S?)? 2? / 2n б
1 1 1 1 1 1 1 1,000000
2 2 2 1,125 1,125 1 1 1,000000
3 3 3 1,1358025 1,1851852 1 1 0,958333
4 4 4 1,1413574 1,2207031 1,87 2 0,935000
5 5 5 1,1445581 1,2441600 2,943822222 3,2 0,919944
6 6 6 1,1466429 1,2608132 4,850384699 5,333333333 0,909447
7 7 7 1,1481087 1,2732498 8,24425319 9,142857143 0,901715
8 8 8 1,1491956 1,2828923 14,33255903 16 0,895785
9 9 9 1,1500336 1,2905874 25,34664937 28,44444444 0,891093
10 10 10 1,1506995 1,2968712 45,42919183 51,2 0,887289
11 11 11 1,1512413 1,3020995 82,30561297 93,09090909 0,884142
12 12 12 1,1516908 1,3065176 150,4420774 170,6666667 0,881497
13 13 13 1,1520697 1,3103004 277,0285115 315,0769231 0,879241
14 14 14 1,1523935 1,3135758 513,3429081 585,1428571 0,877295
15 15 15 1,1526733 1,3164394 956,3878574 1092,266667 0,875599
16 16 16 1,1529176 1,3189642 1790,173734 2048 0,874108
17 17 17 1,1531326 1,3212072 3364,645727 3855,058824 0,872787
18 18 18 1,1533235 1,3232129 6346,858491 7281,777778 0,871608
19 19 19 1,1534939 1,3250172 12011,02645 13797,05263 0,870550
20 20 20 1,1536471 1,3266489 22795,90893 26214,4 0,869595
21 21 21 1,1537855 1,3281316 43377,50673 49932,19048 0,868728
22 22 22 1,1539112 1,3294849 82736,31855 95325,09091 0,867939
23 23 23 1,1540258 1,3307251 158146,3798 182361,0435 0,867216
24 24 24 1,1541308 1,3318656 302881,8637 349525,3333 0,866552
25 25 25 1,1542273 1,3329182 581122,5468 671088,64 0,865940
26 26 26 1,1543162 1,3338925 1116813,163 1290555,077 0,865374
27 27 27 1,1543986 1,3347970 2149595,201 2485513,481 0,864850
28 28 28 1,1544750 1,3356389 4143308,787 4793490,286 0,864362
29 29 29 1,1545460 1,3364246 7996660,946 9256395,034 0,863907
30 30 30 1,1546123 1,3371594 15452602,49 17895697,07 0,863481
31 31 31 1,1546743 1,3378482 29894469,93 34636833,03 0,863083
32 32 32 1,1547324 1,3384951 57895453,56 67108864 0,862709
33 33 33 1,1547869 1,3391038 112236347,7 130150524,1 0,862358
34 34 34 1,1548382 1,3396777 217786900,2 252645135,1 0,862027
35 35 35 1,1548866 1,3402196 422975444,6 490853405,3 0,861714
36 36 36 1,1549322 1,3407322 822170315,3 954437176,9 0,861419
37 37 37 1,1549753 1,3412177 1599379577 1857283155 0,861139
38 38 38 1,1550162 1,3416783 3113622266 3616814565 0,860874
39 39 39 1,1550550 1,3421158 6065797251 7048151460 0,860622
40 40 40 1,1550918 1,3425319 11825015321 13743895347 0,860383
41 41 41 1,1551268 1,3429282 23067091384 26817356775 0,860155
42 42 42 1,1551601 1,3433060 45024382921 52357696561 0,859938
43 43 43 1,1551919 1,3436665 87933423110 1,0228E+11 0,859731
44 44 44 1,1552222 1,3440111 1,7183E+11 1,99911E+11 0,859533
45 45 45 1,1552511 1,3443406 3,3595E+11 3,90937E+11 0,859344
46 46 46 1,1552788 1,3446561 6,57155E+11 7,64878E+11 0,859163
47 47 47 1,1553053 1,3449584 1,28609E+12 1,49721E+12 0,858990
48 48 48 1,1553307 1,3452483 2,5181E+12 2,93203E+12 0,858823
49 49 49 1,1553551 1,3455266 4,9325E+12 5,74439E+12 0,858664
50 50 50 1,1553784 1,3457940 9,66597E+12 1,1259E+13 0,858511
51 51 51 1,1554009 1,3460511 1,89496E+13 2,20765E+13 0,858363
52 52 52 1,1554225 1,3462985 3,71643E+13 4,33038E+13 0,858222
53 53 53 1,1554432 1,3465367 7,29146E+13 8,49736E+13 0,858085
54 54 54 1,1554632 1,3467662 1,43107E+14 1,668E+14 0,857954
55 55 55 1,1554825 1,3469875 2,80968E+14 3,27535E+14 0,857827
56 56 56 1,1555011 1,3472010 5,51823E+14 6,43371E+14 0,857705
57 57 57 1,1555190 1,3474072 1,08413E+15 1,26417E+15 0,857587
58 58 58 1,1555363 1,3476064 2,1306E+15 2,48474E+15 0,857473
59 59 59 1,1555530 1,3477989 4,18844E+15 4,88526E+15 0,857363
60 60 60 1,1555691 1,3479851 8,23625E+15 9,60768E+15 0,857257
61 61 61 1,1555848 1,3481652 1,62005E+16 1,89004E+16 0,857154
62 62 62 1,1555999 1,3483397 3,18747E+16 3,7191E+16 0,857054
63 63 63 1,1556145 1,3485087 6,27305E+16 7,32014E+16 0,856957
64 64 64 1,1556287 1,3486725 1,23487E+17 1,44115E+17 0,856864
65 65 65 1,1556424 1,3488313 2,43149E+17 2,83796E+17 0,856773
66 66 66 1,1556557 1,3489854 4,7888E+17 5,58992E+17 0,856685
67 67 67 1,1556686 1,3491349 9,43372E+17 1,1013E+18 0,856600
68 68 68 1,1556812 1,3492801 1,85882E+18 2,17021E+18 0,856517
69 69 69 1,1556933 1,3494211 3,66341E+18 4,27751E+18 0,856436
70 70 70 1,1557051 1,3495582 7,22149E+18 8,4328E+18 0,856358
71 71 71 1,1557166 1,3496914 1,42383E+19 1,66281E+19 0,856282
72 72 72 1,1557278 1,3498210 2,80787E+19 3,27942E+19 0,856208
73 73 73 1,1557387 1,3499471 5,53834E+19 6,469E+19 0,856136
74 74 74 1,1557492 1,3500698 1,09261E+20 1,27632E+20 0,856066
75 75 75 1,1557595 1,3501893 2,15591E+20 2,5186E+20 0,855998
76 76 76 1,1557695 1,3503057 4,25476E+20 4,97091E+20 0,855932
77 77 77 1,1557793 1,3504191 8,39838E+20 9,81271E+20 0,855867
78 78 78 1,1557888 1,3505296 1,65802E+21 1,93738E+21 0,855804
79 79 79 1,1557980 1,3506374 3,27383E+21 3,82571E+21 0,855743
80 80 80 1,1558070 1,3507425 6,46536E+21 7,55579E+21 0,855683
81 81 81 1,1558158 1,3508450 1,27702E+22 1,4925E+22 0,855624

График Љ 2.

Ряд 1 - значения E / 2

Ряд 2 - значения S2n-1 / N2n-1

Предел отношений S2n-1 / N2n-1 не стремиться к E / 2, он меньше E / 2,

то есть при n и N > ? lim S2n-1 / N2n-1 = б * E / 2, где б ? 1.

Соответственно, предел отношений S2n-1/ (S?)? не стремиться к 2? / 2n, он меньше 2? / 2n,

то есть при n и N > ? lim S2n-1/ (S?)? = б * 2? / 2n, где б ? 1.

(EN / 2) / ((S2n-1 / NIn?Љ)) = (2? / 2n) / ((S2n-1/ (S?)?)

При N = 80 S159 / N159 = 1,155807034519630

б = 0,8556827521661650

E / 2б = S159 / N159 = 1,155807034519630

1 / б = 1,168657422939160

1 - б = 0,1443172478338350

Обозначим разницу между E / 2 и S2n-1 / N2n-1 Д, то есть

Д = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 .

Тогда E / 2 = S2n-1 / N2n-1 + (E / 2 - S2n-1 / N2n-1).

При увеличении N, значения S2n-1 / N2n-1 и Д = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 увеличиваются,

но увеличиваться они не могут беспредельно, так как сумма S2n-1 / N2n-1 и

Д = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 всегда равна E / 2 и является совершенным тождеством.

S2n-1 / N2n-1 + ( E / 2 - S2n-1 / N2n-1) = E / 2 ,

где E = (1 + 1 / N)N

Для упрощения громоздких обозначений, введём следующие обозначения:

A = S2n-1 / N2n-1

B = (E/2) / (S2n-1 / N2n-1)

a = E / 2 - S2n-1 / N2n-1 = E / 2 - A

b = E/ 2 - (E / 2) / (S2n-1 / N2n-1) = E / 2 - B

A * B = E / 2

B - A = a - b

A + a = A * B

B + b = A * B

A = v (E / 2) * v(A / B)

B = v (E / 2) / v(A / B)

Таблица Љ 5.

ЉЉ N E E / 2 = A * B A B a b
1 1 2 1 1 1 0 0
2 2 2,250000 1,125000 1,125000 1,000000 0 0,125
3 3 2,370370 1,185185 1,135802 1,043478 0,049383 0,141707
4 4 2,441406 1,220703 1,141357 1,069519 0,079346 0,151184
5 5 2,488320 1,244160 1,144558 1,087022 0,099602 0,157138
6 6 2,521626 1,260813 1,146643 1,099569 0,114170 0,161244
7 7 2,546500 1,273250 1,148109 1,108998 0,125141 0,164252
8 8 2,565785 1,282892 1,149196 1,116339 0,133697 0,166553
9 9 2,581175 1,290587 1,150034 1,122217 0,140554 0,168370
10 10 2,593742 1,296871 1,150699 1,127029 0,146172 0,169843
11 11 2,604199 1,302100 1,151241 1,131040 0,150858 0,171060
12 12 2,613035 1,306518 1,151691 1,134434 0,154827 0,172083
13 13 2,620601 1,310300 1,152070 1,137345 0,158231 0,172956
14 14 2,627152 1,313576 1,152393 1,139867 0,161182 0,173708
15 15 2,632879 1,316439 1,152673 1,142075 0,163766 0,174364
16 16 2,637928 1,318964 1,152918 1,144023 0,166047 0,174941
17 17 2,642414 1,321207 1,153133 1,145755 0,168075 0,175452
18 18 2,646426 1,323213 1,153323 1,147304 0,169889 0,175909
19 19 2,650034 1,325017 1,153494 1,148699 0,171523 0,176318
20 20 2,653298 1,326649 1,153647 1,149961 0,173002 0,176688
21 21 2,656263 1,328132 1,153786 1,151108 0,174346 0,177024
22 22 2,658970 1,329485 1,153911 1,152155 0,175574 0,177330
23 23 2,661450 1,330725 1,154026 1,153116 0,176699 0,177610
24 24 2,663731 1,331866 1,154131 1,153999 0,177735 0,177867
25 25 2,665836 1,332918 1,154227 1,154814 0,178691 0,178104
26 26 2,667785 1,333892 1,154316 1,155569 0,179576 0,178323
27 27 2,669594 1,334797 1,154399 1,156270 0,180398 0,178527
28 28 2,671278 1,335639 1,154475 1,156923 0,181164 0,178716
29 29 2,672849 1,336425 1,154546 1,157533 0,181879 0,178892
30 30 2,674319 1,337159 1,154612 1,158102 0,182547 0,179057
31 31 2,675696 1,337848 1,154674 1,158637 0,183174 0,179211
32 32 2,676990 1,338495 1,154732 1,159139 0,183763 0,179356
33 33 2,678208 1,339104 1,154787 1,159611 0,184317 0,179493
34 34 2,679355 1,339678 1,154838 1,160057 0,184839 0,179621
35 35 2,680439 1,340220 1,154887 1,160477 0,185333 0,179742
36 36 2,681464 1,340732 1,154932 1,160875 0,185800 0,179857
37 37 2,682435 1,341218 1,154975 1,161252 0,186242 0,179965
38 38 2,683357 1,341678 1,155016 1,161610 0,186662 0,180068
39 39 2,684232 1,342116 1,155055 1,161950 0,187061 0,180166
40 40 2,685064 1,342532 1,155092 1,162273 0,187440 0,180259
41 41 2,685856 1,342928 1,155127 1,162581 0,187801 0,180347
42 42 2,686612 1,343306 1,155160 1,162874 0,188146 0,180432
43 43 2,687333 1,343667 1,155192 1,163154 0,188475 0,180512
44 44 2,688022 1,344011 1,155222 1,163422 0,188789 0,180589
45 45 2,688681 1,344341 1,155251 1,163678 0,189089 0,180662
46 46 2,689312 1,344656 1,155279 1,163923 0,189377 0,180733
47 47 2,689917 1,344958 1,155305 1,164158 0,189653 0,180800
48 48 2,690497 1,345248 1,155331 1,164384 0,189918 0,180865
49 49 2,691053 1,345527 1,155355 1,164600 0,190172 0,180927
50 50 2,691588 1,345794 1,155378 1,164808 0,190416 0,180986
51 51 2,692102 1,346051 1,155401 1,165008 0,190650 0,181043
52 52 2,692597 1,346298 1,155422 1,165200 0,190876 0,181098
53 53 2,693073 1,346537 1,155443 1,165385 0,191093 0,181151
54 54 2,693532 1,346766 1,155463 1,165564 0,191303 0,181202
55 55 2,693975 1,346988 1,155482 1,165736 0,191505 0,181252
56 56 2,694402 1,347201 1,155501 1,165902 0,191700 0,181299
57 57 2,694814 1,347407 1,155519 1,166062 0,191888 0,181345
58 58 2,695213 1,347606 1,155536 1,166217 0,192070 0,181389
59 59 2,695598 1,347799 1,155553 1,166367 0,192246 0,181432
60 60 2,695970 1,347985 1,155569 1,166512 0,192416 0,181473
61 61 2,696330 1,348165 1,155585 1,166652 0,192580 0,181513
62 62 2,696679 1,348340 1,155600 1,166788 0,192740 0,181552
63 63 2,697017 1,348509 1,155614 1,166919 0,192894 0,181590
64 64 2,697345 1,348672 1,155629 1,167047 0,193044 0,181626
65 65 2,697663 1,348831 1,155642 1,167170 0,193189 0,181661
66 66 2,697971 1,348985 1,155656 1,167290 0,193330 0,181695
67 67 2,698270 1,349135 1,155669 1,167406 0,193466 0,181729
68 68 2,698560 1,349280 1,155681 1,167519 0,193599 0,181761
69 69 2,698842 1,349421 1,155693 1,167629 0,193728 0,181792
70 70 2,699116 1,349558 1,155705 1,167736 0,193853 0,181822
71 71 2,699383 1,349691 1,155717 1,167839 0,193975 0,181852
72 72 2,699642 1,349821 1,155728 1,167940 0,194093 0,181881
73 73 2,699894 1,349947 1,155739 1,168038 0,194208 0,181909
74 74 2,700140 1,350070 1,155749 1,168134 0,194321 0,181936
75 75 2,700379 1,350189 1,155759 1,168227 0,194430 0,181962
76 76 2,700611 1,350306 1,155770 1,168317 0,194536 0,181988
77 77 2,700838 1,350419 1,155779 1,168406 0,194640 0,182013
78 78 2,701059 1,350530 1,155789 1,168492 0,194741 0,182038
79 79 2,701275 1,350637 1,155798 1,168576 0,194839 0,182062
80 80 2,701485 1,350742 1,155808 1,168657 0,194935 0,182086
N N 2,718282 1,359141 1,165822 1,165822 0,193319 0,193319

Таблица Љ 6.

ЉЉ N E E / 2 A B (A + B) / 2 v (E / 2) % Д
1 1 2 1 1 1 1 1 0,000%
2 2 2 1,125 1,125 1 1,0625 1,060660 0,173%
3 3 2,086957 1,185185 1,135802 1,043478 1,089640 1,088662 0,090%
4 4 2,139037 1,220703 1,141357 1,069519 1,105438 1,104854 0,053%
5 5 2,174044 1,244160 1,144558 1,087022 1,115790 1,115419 0,033%
6 6 2,199138 1,260813 1,146643 1,099569 1,123106 1,122859 0,022%
7 7 2,217995 1,273250 1,148109 1,108998 1,128553 1,128384 0,015%
8 8 2,232679 1,282892 1,149196 1,116339 1,132767 1,132648 0,011%
9 9 2,244434 1,290587 1,150034 1,122217 1,136125 1,136040 0,007%
10 10 2,254057 1,296871 1,150699 1,127029 1,138864 1,138803 0,005%
11 11 2,262079 1,302100 1,151241 1,131040 1,141140 1,141096 0,004%
12 12 2,268869 1,306518 1,151691 1,134434 1,143063 1,143030 0,003%
13 13 2,274689 1,310300 1,152070 1,137345 1,144707 1,144684 0,002%
14 14 2,279735 1,313576 1,152393 1,139867 1,146130 1,146113 0,001%
15 15 2,284150 1,316439 1,152673 1,142075 1,147374 1,147362 0,001%
16 16 2,288046 1,318964 1,152918 1,144023 1,148470 1,148462 0,001%
17 17 2,291509 1,321207 1,153133 1,145755 1,149444 1,149438 0,001%
18 18 2,294609 1,323213 1,153323 1,147304 1,150314 1,150310 0,000%
19 19 2,297398 1,325017 1,153494 1,148699 1,151096 1,151094 0,000%
20 20 2,299921 1,326649 1,153647 1,149961 1,151804 1,151802 0,000%
21 21 2,302216 1,328132 1,153786 1,151108 1,152447 1,152446 0,000%
22 22 2,304311 1,329485 1,153911 1,152155 1,153033 1,153033 0,000%
23 23 2,306231 1,330725 1,154026 1,153116 1,153571 1,153571 0,000%
24 24 2,307998 1,331866 1,154131 1,153999 1,154065 1,154065 0,000%
25 25 2,309629 1,332918 1,154227 1,154814 1,154521 1,154521 0,000%
26 26 2,311139 1,333892 1,154316 1,155569 1,154943 1,154943 0,000%
27 27 2,312541 1,334797 1,154399 1,156270 1,155335 1,155334 0,000%
28 28 2,313847 1,335639 1,154475 1,156923 1,155699 1,155698 0,000%
29 29 2,315065 1,336425 1,154546 1,157533 1,156039 1,156038 0,000%
30 30 2,316205 1,337159 1,154612 1,158102 1,156357 1,156356 0,000%
31 31 2,317274 1,337848 1,154674 1,158637 1,156656 1,156654 0,000%
32 32 2,318278 1,338495 1,154732 1,159139 1,156936 1,156933 0,000%
33 33 2,319222 1,339104 1,154787 1,159611 1,157199 1,157197 0,000%
34 34 2,320113 1,339678 1,154838 1,160057 1,157447 1,157444 0,000%
35 35 2,320955 1,340220 1,154887 1,160477 1,157682 1,157679 0,000%
36 36 2,321751 1,340732 1,154932 1,160875 1,157904 1,157900 0,000%
37 37 2,322505 1,341218 1,154975 1,161252 1,158114 1,158110 0,000%
38 38 2,323220 1,341678 1,155016 1,161610 1,158313 1,158308 0,000%
39 39 2,323899 1,342116 1,155055 1,161950 1,158502 1,158497 0,000%
40 40 2,324546 1,342532 1,155092 1,162273 1,158682 1,158677 0,000%
41 41 2,325162 1,342928 1,155127 1,162581 1,158854 1,158848 0,001%
42 42 2,325749 1,343306 1,155160 1,162874 1,159017 1,159011 0,001%
43 43 2,326309 1,343667 1,155192 1,163154 1,159173 1,159166 0,001%
44 44 2,326844 1,344011 1,155222 1,163422 1,159322 1,159315 0,001%
45 45 2,327356 1,344341 1,155251 1,163678 1,159465 1,159457 0,001%
46 46 2,327847 1,344656 1,155279 1,163923 1,159601 1,159593 0,001%
47 47 2,328317 1,344958 1,155305 1,164158 1,159732 1,159723 0,001%
48 48 2,328767 1,345248 1,155331 1,164384 1,159857 1,159848 0,001%
49 49 2,329200 1,345527 1,155355 1,164600 1,159978 1,159968 0,001%
50 50 2,329616 1,345794 1,155378 1,164808 1,160093 1,160084 0,001%
51 51 2,330016 1,346051 1,155401 1,165008 1,160204 1,160194 0,001%
52 52 2,330400 1,346298 1,155422 1,165200 1,160311 1,160301 0,001%
53 53 2,330771 1,346537 1,155443 1,165385 1,160414 1,160404 0,001%
54 54 2,331128 1,346766 1,155463 1,165564 1,160514 1,160503 0,001%
55 55 2,331472 1,346988 1,155482 1,165736 1,160609 1,160598 0,001%
56 56 2,331804 1,347201 1,155501 1,165902 1,160702 1,160690 0,001%
57 57 2,332125 1,347407 1,155519 1,166062 1,160791 1,160779 0,001%
58 58 2,332435 1,347606 1,155536 1,166217 1,160877 1,160864 0,001%
59 59 2,332734 1,347799 1,155553 1,166367 1,160960 1,160947 0,001%
60 60 2,333024 1,347985 1,155569 1,166512 1,161040 1,161028 0,001%
61 61 2,333304 1,348165 1,155585 1,166652 1,161118 1,161105 0,001%
62 62 2,333575 1,348340 1,155600 1,166788 1,161194 1,161180 0,001%
63 63 2,333838 1,348509 1,155614 1,166919 1,161267 1,161253 0,001%
64 64 2,334093 1,348672 1,155629 1,167047 1,161338 1,161324 0,001%
65 65 2,334340 1,348831 1,155642 1,167170 1,161406 1,161392 0,001%
66 66 2,334580 1,348985 1,155656 1,167290 1,161473 1,161458 0,001%
67 67 2,334813 1,349135 1,155669 1,167406 1,161537 1,161523 0,001%
68 68 2,335039 1,349280 1,155681 1,167519 1,161600 1,161585 0,001%
69 69 2,335258 1,349421 1,155693 1,167629 1,161661 1,161646 0,001%
70 70 2,335471 1,349558 1,155705 1,167736 1,161720 1,161705 0,001%
71 71 2,335679 1,349691 1,155717 1,167839 1,161778 1,161762 0,001%
72 72 2,335881 1,349821 1,155728 1,167940 1,161834 1,161818 0,001%
73 73 2,336077 1,349947 1,155739 1,168038 1,161889 1,161872 0,001%
74 74 2,336268 1,350070 1,155749 1,168134 1,161942 1,161925 0,001%
75 75 2,336454 1,350189 1,155759 1,168227 1,161993 1,161976 0,001%
76 76 2,336635 1,350306 1,155770 1,168317 1,162043 1,162027 0,001%
77 77 2,336811 1,350419 1,155779 1,168406 1,162092 1,162075 0,001%
78 78 2,336984 1,350530 1,155789 1,168492 1,162140 1,162123 0,001%
79 79 2,337151 1,350637 1,155798 1,168576 1,162187 1,162169 0,002%
80 80 2,337314 1,350742 1,155808 1,168657 1,162232 1,162214 0,002%
N N 2,718282 1,359141 1,165822

График Љ 3.

Ряд 1 - значения v (E / 2)

Ряд 2 - значения (A + B) / 2

График Љ 4.

Ряд 1 - значения B

Ряд 2 - значения v (E / 2)

Ряд 3 - значения A

Решение уравнения (A + B) / 2 = v (E / 2)

[(A + B) / 2]2 = [v (E / 2)]2

A2 + 2 * A * E / 2A + [E / 2A]2 = 2 * E

4 * A4 + 4 * A2 * E + E2 = 8 * A2 * E

4 * A4 - 4 * A2 * E + E2 = 0

A4 - A2 * E + Ќ * E2 = 0

A2 = E / 2

A = v (E / 2)

В = (E / 2) / A = v (E / 2)

A = B

Но A ? B

Решение не верно.

График Љ 5.

Ряд 1 - значения ДA = v (E / 2) - A

Ряд 2 - значения ДB = v (E / 2) - B

Линией симметрии является функция v (E / 2)

Решение.

ДA = v (E / 2) - A = - ДB = v (E / 2) - B

v (E / 2) - A = - v (E / 2) + B

2 * A2 - 4* A * v (E / 2) + E = 0

A2 - 2* A * v (E / 2) + Ґ * E = 0

A = v (E / 2 Ђ v (E / 2 - E / 2) = v (E / 2

A = v (E / 2)

B = v (E / 2)

Но A ? B

Решение не верно.

V.

Как найти верное решение?

Рассмотрим формулу E = (1 + 1 / N)N

E1/N = (1 + 1 / N)

1 / N = logE ((1 + N) / N))

N * ((logE (1 + N) - logE N)) = 1

N = 1 / (logE ((1 + N) / N))

При N = n > ? 1 / N = ln ((1 + N) / N)

Прологарифмируем значения S2n-1 / N2n-1 по основаниям ? и Е.

Из значений E, E / 2, S2n-1 / N2n-1, E/ 2 - S2n-1 / N2n-1, (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2),

logE S2n-1 / N2n-1 и ln S2n-1 / N2n- составим следующую таблицу.

Таблица Љ 7. Значения E, E / 2, S2n-1 / N2n-1, (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2), logE S2n-1 / N2n-1, ln S2n-1 / N2n-1.

N E = (1 + 1/N)? E /2 S2n-1 / NIn?Љ logE (S2n-1 / NIn?Љ) (E / 2) - (S2n-1 / NIn?Љ) (E / 2) - (S2n-1 / NIn?Љ) / (E / 2) ln (S2n-1 / NIn?Љ)
1 2 1 1 0 0 0 0
2 2,25000 1,125000 1,125000 0,145244 0 0 0,117783
3 2,37037 1,185185 1,135802 0,147546 0,049383 0,041667 0,127339
4 2,44141 1,220703 1,141357 0,148131 0,079346 0,065 0,132218
5 2,48832 1,244160 1,144558 0,148110 0,099602 0,080056 0,135019
6 2,52163 1,260813 1,146643 0,147949 0,11417 0,090553 0,136838
7 2,54650 1,273250 1,148109 0,147762 0,125141 0,098285 0,138116
8 2,56578 1,282892 1,149196 0,147583 0,133697 0,104215 0,139062
9 2,58117 1,290587 1,150034 0,147421 0,140554 0,108907 0,139791
10 2,59374 1,296871 1,150699 0,147277 0,146172 0,112711 0,14037
11 2,60420 1,302100 1,151241 0,147150 0,150858 0,115858 0,140841
12 2,61304 1,306518 1,151691 0,147037 0,154827 0,118503 0,141231
13 2,62060 1,310300 1,152070 0,146937 0,158231 0,120759 0,14156
14 2,62715 1,313576 1,152393 0,146849 0,161182 0,122705 0,141841
15 2,63288 1,316439 1,152673 0,146769 0,163766 0,124401 0,142084
16 2,63793 1,318964 1,152918 0,146698 0,166047 0,125892 0,142296
17 2,64241 1,321207 1,153133 0,146633 0,168075 0,127213 0,142482
18 2,64643 1,323213 1,153323 0,146574 0,169889 0,128392 0,142648
19 2,65003 1,325017 1,153494 0,146521 0,171523 0,12945 0,142796
20 2,65330 1,326649 1,153647 0,146472 0,173002 0,130405 0,142928
21 2,65626 1,328132 1,153786 0,146428 0,174346 0,131272 0,143048
22 2,65897 1,329485 1,153911 0,146387 0,175574 0,132061 0,143157
23 2,66145 1,330725 1,154026 0,146349 0,176699 0,132784 0,143257
24 2,66373 1,331866 1,154131 0,146314 0,177735 0,133448 0,143347
25 2,66584 1,332918 1,154227 0,146281 0,178691 0,13406 0,143431
26 2,66778 1,333892 1,154316 0,146251 0,179576 0,134626 0,143508
27 2,66959 1,334797 1,154399 0,146222 0,180398 0,13515 0,143579
28 2,67128 1,335639 1,154475 0,146196 0,181164 0,135638 0,143646
29 2,67285 1,336425 1,154546 0,146171 0,181879 0,136093 0,143707
30 2,67432 1,337159 1,154612 0,146148 0,182547 0,136519 0,143765
31 2,67570 1,337848 1,154674 0,146126 0,183174 0,136917 0,143818
32 2,67699 1,338495 1,154732 0,146105 0,183763 0,137291 0,143869
33 2,67821 1,339104 1,154787 0,146086 0,184317 0,137642 0,143916
34 2,67936 1,339678 1,154838 0,146067 0,184839 0,137973 0,14396
35 2,68044 1,340220 1,154887 0,146050 0,185333 0,138286 0,144002
36 2,68146 1,340732 1,154932 0,146033 0,1858 0,138581 0,144042
37 2,68244 1,341218 1,154975 0,146017 0,186242 0,138861 0,144079
38 2,68336 1,341678 1,155016 0,146002 0,186662 0,139126 0,144114
39 2,68423 1,342116 1,155055 0,145988 0,187061 0,139378 0,144148
40 2,68506 1,342532 1,155092 0,145975 0,18744 0,139617 0,14418
41 2,68586 1,342928 1,155127 0,145962 0,187801 0,139845 0,14421
42 2,68661 1,343306 1,155160 0,145949 0,188146 0,140062 0,144239
43 2,68733 1,343667 1,155192 0,145938 0,188475 0,140269 0,144266
44 2,68802 1,344011 1,155222 0,145926 0,188789 0,140467 0,144293
45 2,68868 1,344341 1,155251 0,145915 0,189089 0,140656 0,144318
46 2,68931 1,344656 1,155279 0,145905 0,189377 0,140837 0,144342
47 2,68992 1,344958 1,155305 0,145895 0,189653 0,14101 0,144365
48 2,69050 1,345248 1,155331 0,145885 0,189918 0,141177 0,144387
49 2,69105 1,345527 1,155355 0,145876 0,190172 0,141336 0,144408
50 2,69159 1,345794 1,155378 0,145867 0,190416 0,141489 0,144428
51 2,69210 1,346051 1,155401 0,145859 0,19065 0,141637 0,144447
52 2,69260 1,346298 1,155422 0,145851 0,190876 0,141778 0,144466
53 2,69307 1,346537 1,155443 0,145843 0,191093 0,141915 0,144484
54 2,69353 1,346766 1,155463 0,145835 0,191303 0,142046 0,144501
55 2,69398 1,346988 1,155482 0,145828 0,191505 0,142173 0,144518
56 2,69440 1,347201 1,155501 0,145821 0,1917 0,142295 0,144534
57 2,69481 1,347407 1,155519 0,145814 0,191888 0,142413 0,14455
58 2,69521 1,347606 1,155536 0,145807 0,19207 0,142527 0,144565
59 2,69560 1,347799 1,155553 0,145801 0,192246 0,142637 0,144579
60 2,69597 1,347985 1,155569 0,145795 0,192416 0,142743 0,144593
61 2,69633 1,348165 1,155585 0,145789 0,19258 0,142846 0,144606
62 2,69668 1,348340 1,155600 0,145783 0,19274 0,142946 0,14462
63 2,69702 1,348509 1,155614 0,145777 0,192894 0,143043 0,144632
64 2,69734 1,348672 1,155629 0,145772 0,193044 0,143136 0,144644
65 2,69766 1,348831 1,155642 0,145766 0,193189 0,143227 0,144656
66 2,69797 1,348985 1,155656 0,145761 0,19333 0,143315 0,144668
67 2,69827 1,349135 1,155669 0,145756 0,193466 0,1434 0,144679
68 2,69856 1,349280 1,155681 0,145751 0,193599 0,143483 0,14469
69 2,69884 1,349421 1,155693 0,145746 0,193728 0,143564 0,1447
70 2,69912 1,349558 1,155705 0,145742 0,193853 0,143642 0,144711
71 2,69938 1,349691 1,155717 0,145737 0,193975 0,143718 0,144721
72 2,69964 1,349821 1,155728 0,145733 0,194093 0,143792 0,14473
73 2,69989 1,349947 1,155739 0,145729 0,194208 0,143864 0,14474
74 2,70014 1,350070 1,155749 0,145725 0,194321 0,143934 0,144749
75 2,70038 1,350189 1,155759 0,145721 0,19443 0,144002 0,144758
76 2,70061 1,350306 1,155770 0,145717 0,194536 0,144068 0,144766
77 2,70084 1,350419 1,155779 0,145713 0,19464 0,144133 0,144775
78 2,70106 1,350530 1,155789 0,145709 0,194741 0,144196 0,144783
79 2,70127 1,350637 1,155798 0,145706 0,194839 0,144257 0,144791
80 2,70148 1,350742 1,155807 0,145703 0,194935 0,144317 0,144799
81 2,71828 1,359141

На основании данных таблицы Љ 7 получим график Љ 6.

График Љ 6. Значения logE S2n-1 / N2n-1, logE S2n-1 / N2n-1, ln S2n-1 / N2n-1,

(E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2)

Ряд 1 - значения logE S2n-1 / N2n-1,

Ряд 2 - значения ln S2n-1 / N2n-1,

Ряд 3 - значения (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2)

Все три ряда сходятся.

Наше предположение о том, что отношение S2n-1 / N2n-1 стремится к какому-то пределу,

нашло своё подтверждение.

Найдём этот предел.

Решение напрашивается само собой.

Lim (E / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (E / 2) = ln S2n-1 / N2n-1

При N > ? , n >? E = ?

Lim (? / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (? / 2) = ln S2n-1 / N2n-1

(? / 2 - S2n-1 / N2n-1) / (? / 2) = ln S2n-1 / N2n-1

? = 2 * S2n-1 / N2n-1 / (1 - ln S2n-1 / N2n-1)

Решая данное уравнение, получаем:

ln S2n-1 / N2n-1 = 0,147394497986270

Но S159/ N159 = 0,14570195014520 < 0,147394497986270

Значит, решение не верно.

VI.

Продолжим наши поиски правильного решения.

Для упрощения расчётов перейдём на следующие обозначения:

A = S2n-1 / N2n-1

B = (E/2) / (S2n-1 / N2n-1)

A * B = E / 2

A = v (E / 2) * v(A / B)

B = v (E / 2) / v(A / B)

ТаблицаЉ 8.

ЉЉ N E logE E / 2 Ґ logE E / 2 logE A logE B Д
1 1 2 0 0 0 0 0
2 2 2,250000 0,145244 0,072622 0,145244 0,000000 -0,072622
3 3 2,370370 0,196860 0,098430 0,147546 0,049313 -0,049117
4 4 2,441406 0,223429 0,111715 0,148131 0,075298 -0,036417
5 5 2,488320 0,239643 0,119822 0,148110 0,091533 -0,028289
6 6 2,521626 0,250574 0,125287 0,147949 0,102625 -0,022662
7 7 2,546500 0,258444 0,129222 0,147762 0,110682 -0,018540
8 8 2,565785 0,264381 0,132191 0,147583 0,116798 -0,015392
9 9 2,581175 0,269021 0,134510 0,147421 0,121600 -0,012911
10 10 2,593742 0,272746 0,136373 0,147277 0,125469 -0,010904
11 11 2,604199 0,275803 0,137901 0,147150 0,128653 -0,009248
12 12 2,613035 0,278357 0,139178 0,147037 0,131320 -0,007859
13 13 2,620601 0,280523 0,140261 0,146937 0,133585 -0,006676
14 14 2,627152 0,282382 0,141191 0,146849 0,135534 -0,005657
15 15 2,632879 0,283996 0,141998 0,146769 0,137227 -0,004771
16 16 2,637928 0,285411 0,142705 0,146698 0,138713 -0,003992
17 17 2,642414 0,286660 0,143330 0,146633 0,140027 -0,003303
18 18 2,646426 0,287772 0,143886 0,146574 0,141198 -0,002688
19 19 2,650034 0,288768 0,144384 0,146521 0,142247 -0,002137
20 20 2,653298 0,289665 0,144833 0,146472 0,143193 -0,001640
21 21 2,656263 0,290477 0,145239 0,146428 0,144049 -0,001189
22 22 2,658970 0,291216 0,145608 0,146387 0,144830 -0,000779
23 23 2,661450 0,291891 0,145946 0,146349 0,145543 -0,000403
24 24 2,663731 0,292510 0,146255 0,146314 0,146197 -0,000058
25 25 2,665836 0,293080 0,146540 0,146281 0,146800 0,000259
26 26 2,667785 0,293607 0,146803 0,146251 0,147356 0,000553
27 27 2,669594 0,294095 0,147047 0,146222 0,147872 0,000825
28 28 2,671278 0,294548 0,147274 0,146196 0,148352 0,001078
29 29 2,672849 0,294970 0,147485 0,146171 0,148799 0,001314
30 30 2,674319 0,295363 0,147682 0,146148 0,149216 0,001534
31 31 2,675696 0,295732 0,147866 0,146126 0,149606 0,001740
32 32 2,676990 0,296078 0,148039 0,146105 0,149973 0,001934
33 33 2,678208 0,296403 0,148201 0,146086 0,150317 0,002116
34 34 2,679355 0,296709 0,148354 0,146067 0,150642 0,002287
35 35 2,680439 0,296997 0,148499 0,146050 0,150948 0,002449
36 36 2,681464 0,297270 0,148635 0,146033 0,151237 0,002602
37 37 2,682435 0,297528 0,148764 0,146017 0,151510 0,002746
38 38 2,683357 0,297772 0,148886 0,146002 0,151770 0,002884
39 39 2,684232 0,298004 0,149002 0,145988 0,152016 0,003014
40 40 2,685064 0,298224 0,149112 0,145975 0,152250 0,003137
41 41 2,685856 0,298434 0,149217 0,145962 0,152472 0,003255
42 42 2,686612 0,298633 0,149317 0,145949 0,152684 0,003367
43 43 2,687333 0,298824 0,149412 0,145938 0,152886 0,003474
44 44 2,688022 0,299006 0,149503 0,145926 0,153079 0,003577
45 45 2,688681 0,299179 0,149590 0,145915 0,153264 0,003674
46 46 2,689312 0,299346 0,149673 0,145905 0,153441 0,003768
47 47 2,689917 0,299505 0,149752 0,145895 0,153610 0,003857
48 48 2,690497 0,299657 0,149829 0,145885 0,153772 0,003943
49 49 2,691053 0,299804 0,149902 0,145876 0,153927 0,004026
50 50 2,691588 0,299944 0,149972 0,145867 0,154077 0,004105
51 51 2,692102 0,300079 0,150040 0,145859 0,154220 0,004181
52 52 2,692597 0,300209 0,150105 0,145851 0,154358 0,004254
53 53 2,693073 0,300334 0,150167 0,145843 0,154491 0,004324
54 54 2,693532 0,300454 0,150227 0,145835 0,154619 0,004392
55 55 2,693975 0,300570 0,150285 0,145828 0,154743 0,004457
56 56 2,694402 0,300682 0,150341 0,145821 0,154862 0,004520
57 57 2,694814 0,300790 0,150395 0,145814 0,154976 0,004581
58 58 2,695213 0,300894 0,150447 0,145807 0,155087 0,004640
59 59 2,695598 0,300995 0,150498 0,145801 0,155194 0,004697
60 60 2,695970 0,301093 0,150546 0,145795 0,155298 0,004752
61 61 2,696330 0,301187 0,150593 0,145789 0,155398 0,004805
62 62 2,696679 0,301278 0,150639 0,145783 0,155495 0,004856
63 63 2,697017 0,301366 0,150683 0,145777 0,155589 0,004906
64 64 2,697345 0,301452 0,150726 0,145772 0,155680 0,004954
65 65 2,697663 0,301534 0,150767 0,145766 0,155768 0,005001
66 66 2,697971 0,301615 0,150807 0,145761 0,155854 0,005046
67 67 2,698270 0,301693 0,150846 0,145756 0,155937 0,005090
68 68 2,698560 0,301769 0,150884 0,145751 0,156017 0,005133
69 69 2,698842 0,301842 0,150921 0,145746 0,156096 0,005175
70 70 2,699116 0,301913 0,150957 0,145742 0,156172 0,005215
71 71 2,699383 0,301983 0,150991 0,145737 0,156245 0,005254
72 72 2,699642 0,302050 0,151025 0,145733 0,156317 0,005292
73 73 2,699894 0,302116 0,151058 0,145729 0,156387 0,005329
74 74 2,700140 0,302180 0,151090 0,145725 0,156455 0,005365
75 75 2,700379 0,302242 0,151121 0,145721 0,156521 0,005400
76 76 2,700611 0,302303 0,151151 0,145717 0,156586 0,005435
77 77 2,700838 0,302362 0,151181 0,145713 0,156649 0,005468
78 78 2,701059 0,302419 0,151210 0,145709 0,156710 0,005500
79 79 2,701275 0,302475 0,151238 0,145706 0,156770 0,005532
80 80 2,701485 0,302530 0,151265 0,145703 0,156827 0,005562
N N 2,718282 0,306853 0,153426 0,145244 0,161608 0,008182

ln (E / 2) = 0,306852819440055000

Ґ * ln (E / 2) = 0,153426409720027000

Будем считать, что ln A = 0,145244354324273000, ln B = 0,161608465115782000

Д = Ґ * ln (E / 2) - ln A = 0,008182055395754810

Д = Ґ * ln (E / 2) - ln B = 0,008182055395754810

ln B - ln A = 0,016364110791509600 = 2 * 0,008182055395754810

Решение.

ln B - ln A = 2* [Ґ * ln (E / 2) - ln A] = ln (E / 2) - 2 * ln A

ln B - ln A + 2 * ln A = ln (E / 2)

ln B + ln A = ln (E / 2) = ln A + ln B - совершенное тождество.

Таким образом, если разность ln B - ln A равна ln (E / 2) - 2 * ln A получается совершенное тождество.

При значениях lnA = 0,145244354324273000 и ln B = 0,161608465115782000 это условие выполняется.

A = ?0,1452443543242730 = exp (0,1452443543242730) = 1,156322088051860

B = ?0,1616084651157820 = exp (0,1616084651157820) = 1,175399941135230

Решение найдено.

График Љ 7.

Ряд 1 - значения Ґ* logE (E / 2)

Ряд 2 - значения logE A

Ряд 3 - значения logE B

При n, N > ?,

Ґ* logE (E / 2) = Ґ* ln (? / 2)

logE A = ln A

logE B = ln B

График Љ 8.

Ряд 1 - значения Ґ* logE (E / 2) - logE B

Ряд 2 - значения Ґ* logE (E / 2) - logE A

При n, N > ?,

Ґ* logE (E / 2) = Ґ* ln (? / 2)

logE A = ln A

logE B = ln B

График Љ 9. Значения S2n-1 / NIn?Љ, ? 1 - ln 2 / 2 * (ln 3 - ln 2) и E 1 - logE 2 / 2 * (logE 3 - logE 2).

Ряд 1 - значения ? 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2))

Ряд 2 - значения E 1 - logE 2 / (2 * (logE 3 - logE 2))

Ряд 3 - значения S2n-1 / NIn?Љ

1 - logE 2 / 2 * (logE 3 - logE 2) = 0,1452443543242730

(2 * logE 3 - 3 *logE 2) / (2 * logE 3 - 2 * logE 2) = 0,1452443543242730

(logE 32 -logE 23) / (logE 32 - logE 22) = 0,1452443543242730

logE (32 / 23) / logE (32 / 22) = 0,1452443543242730

log2,25 1,125 = 0,1452443543242730

1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730

ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,8547556456757270

ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 = 0,1616084651157820

ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 - (1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) =

= ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 -1 + ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) =

= 2 * ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) - ln 2 -1 = ln 2 / (ln 3 - ln 2) - ln 2 - 1 =

= 1,709511291351450 - 0,6931471805599450 - 1 = 0,01636411079150910

Exp (0,1452443543242730) = 1,156322088051860

Exp (0,1616084651157820) = 1,175399941135230

lim (S2n-1 / NIn?Љ) = ? ^ (1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = ? 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2)) = 1,156322088051860

lim (? / 2) / (S2n-1 / NIn?Љ) = Ґ * ?^ln2/(2*(ln3-ln2)) = Ґ*eln2/(2*(ln3-ln2) = 1,175399941135230

Эти формулы действуют в бесконечности при n, N > ?, ? = E, ln N = logE N.

Докажем, что

? 1 - ln 2 /( 2 * (ln 3 - ln 2)) = E 1 - logE 2 / (2 * (logE 3 - logE 2)) при любом N.

1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 1 - logE 2 / 2 * (logE 3 - logE 2)

1 - ln 2 / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730

ln 2 / (ln 3 - ln 2) = logE 2 / (logE 3 - logE 2)

(ln 3 - ln 2) / ln 2 = (logE 3 - logE 2) / logE 2

ln 3 / ln 2 - 1 = logE 3 / logE 2 - 1

ln 3 / ln 2 = logE 3 / logE 2

log2 3 = log2 3

1,584962500721160 = 1,584962500721160

Что и требовалось доказать.

Таблица Љ 9.

ЉЉ N E = (1 + 1/N)? E / 2 logE (E / 2) logE (S2n-1 / NIn?Љ) (2* logE 3 -3* logE 2) / 2 * (logE 3 - logE 2)
1 1 2 1 0 0 0,1452444
2 2 2,2500000 1,1250000 0,1452444 0,1452444 0,1452444
3 3 2,3703704 1,1851852 0,1968597 0,1475465 0,1452444
4 4 2,4414063 1,2207031 0,2234291 0,1481314 0,1452444
5 5 2,4883200 1,2441600 0,2396432 0,1481104 0,1452444
6 6 2,5216264 1,2608132 0,2505740 0,1479488 0,1452444
7 7 2,5464997 1,2732498 0,2584438 0,1477619 0,1452444
8 8 2,5657845 1,2828923 0,2643814 0,1475830 0,1452444
9 9 2,5811748 1,2905874 0,2690207 0,1474210 0,1452444
10 10 2,5937425 1,2968712 0,2727459 0,1472770 0,1452444
11 11 2,6041990 1,3020995 0,2758030 0,1471498 0,1452444
12 12 2,6130353 1,3065176 0,2783569 0,1470373 0,1452444
13 13 2,6206009 1,3103004 0,2805226 0,1469375 0,1452444
14 14 2,6271516 1,3135758 0,2823822 0,1468486 0,1452444
15 15 2,6328787 1,3164394 0,2839964 0,1467690 0,1452444
16 16 2,6379285 1,3189642 0,2854108 0,1466975 0,1452444
17 17 2,6424144 1,3212072 0,2866603 0,1466330 0,1452444
18 18 2,6464258 1,3232129 0,2877722 0,1465745 0,1452444
19 19 2,6500343 1,3250172 0,2887680 0,1465212 0,1452444
20 20 2,6532977 1,3266489 0,2896650 0,1464725 0,1452444
21 21 2,6562632 1,3281316 0,2904773 0,1464278 0,1452444
22 22 2,6589699 1,3294849 0,2912162 0,1463867 0,1452444
23 23 2,6614501 1,3307251 0,2918913 0,1463487 0,1452444
24 24 2,6637313 1,3318656 0,2925105 0,1463136 0,1452444
25 25 2,6658363 1,3329182 0,2930805 0,1462809 0,1452444
26 26 2,6677850 1,3338925 0,2936069 0,1462506 0,1452444
27 27 2,6695940 1,3347970 0,2940946 0,1462223 0,1452444
28 28 2,6712779 1,3356389 0,2945476 0,1461958 0,1452444
29 29 2,6728491 1,3364246 0,2949695 0,1461709 0,1452444
30 30 2,6743188 1,3371594 0,2953635 0,1461476 0,1452444
31 31 2,6756963 1,3378482 0,2957322 0,1461257 0,1452444
32 32 2,6769901 1,3384951 0,2960779 0,1461050 0,1452444
33 33 2,6782077 1,3391038 0,2964028 0,1460855 0,1452444
34 34 2,6793554 1,3396777 0,2967087 0,1460671 0,1452444
35 35 2,6804393 1,3402196 0,2969972 0,1460496 0,1452444
36 36 2,6814644 1,3407322 0,2972697 0,1460331 0,1452444
37 37 2,6824355 1,3412177 0,2975276 0,1460174 0,1452444
38 38 2,6833566 1,3416783 0,2977719 0,1460024 0,1452444
39 39 2,6842316 1,3421158 0,2980038 0,1459882 0,1452444
40 40 2,6850638 1,3425319 0,2982241 0,1459746 0,1452444
41 41 2,6858563 1,3429282 0,2984338 0,1459617 0,1452444
42 42 2,6866119 1,3433060 0,2986334 0,1459493 0,1452444
43 43 2,6873331 1,3436665 0,2988239 0,1459375 0,1452444
44 44 2,6880221 1,3440111 0,2990056 0,1459262 0,1452444
45 45 2,6886812 1,3443406 0,2991794 0,1459154 0,1452444
46 46 2,6893121 1,3446561 0,2993456 0,1459050 0,1452444
47 47 2,6899167 1,3449584 0,2995048 0,1458951 0,1452444
48 48 2,6904966 1,3452483 0,2996573 0,1458855 0,1452444
49 49 2,6910532 1,3455266 0,2998037 0,1458763 0,1452444
50 50 2,6915880 1,3457940 0,2999442 0,1458675 0,1452444
51 51 2,6921022 1,3460511 0,3000793 0,1458589 0,1452444
52 52 2,6925970 1,3462985 0,3002091 0,1458507 0,1452444
53 53 2,6930733 1,3465367 0,3003341 0,1458428 0,1452444
54 54 2,6935324 1,3467662 0,3004544 0,1458352 0,1452444
55 55 2,6939750 1,3469875 0,3005704 0,1458279 0,1452444
56 56 2,6944021 1,3472010 0,3006823 0,1458208 0,1452444
57 57 2,6948144 1,3474072 0,3007902 0,1458139 0,1452444
58 58 2,6952127 1,3476064 0,3008944 0,1458072 0,1452444
59 59 2,6955978 1,3477989 0,3009951 0,1458008 0,1452444
60 60 2,6959701 1,3479851 0,3010925 0,1457946 0,1452444
61 61 2,6963305 1,3481652 0,3011867 0,1457886 0,1452444
62 62 2,6966794 1,3483397 0,3012778 0,1457827 0,1452444
63 63 2,6970174 1,3485087 0,3013661 0,1457771 0,1452444
64 64 2,6973450 1,3486725 0,3014516 0,1457716 0,1452444
65 65 2,6976626 1,3488313 0,3015345 0,1457663 0,1452444
66 66 2,6979707 1,3489854 0,3016149 0,1457611 0,1452444
67 67 2,6982698 1,3491349 0,3016929 0,1457561 0,1452444
68 68 2,6985602 1,3492801 0,3017685 0,1457512 0,1452444
69 69 2,6988422 1,3494211 0,3018421 0,1457465 0,1452444
70 70 2,6991164 1,3495582 0,3019135 0,1457419 0,1452444
71 71 2,6993829 1,3496914 0,3019829 0,1457374 0,1452444
72 72 2,6996421 1,3498210 0,3020504 0,1457330 0,1452444
73 73 2,6998942 1,3499471 0,3021160 0,1457288 0,1452444
74 74 2,7001397 1,3500698 0,3021799 0,1457246 0,1452444
75 75 2,7003787 1,3501893 0,3022420 0,1457206 0,1452444
76 76 2,7006114 1,3503057 0,3023026 0,1457167 0,1452444
77 77 2,7008382 1,3504191 0,3023615 0,1457129 0,1452444
78 78 2,7010592 1,3505296 0,3024190 0,1457091 0,1452444
79 79 2,7012748 1,3506374 0,3024750 0,1457055 0,1452444
80 80 2,7014849 1,3507425 0,3025296 0,1457025 0,1452444
N N 2,7182818 1,3591409 0,3068528 0,1452444 0,1452444

График Љ 10.

Ряд 1 - значения logE (E / 2)

Ряд 2 - значения log2,25 1,125 = (2* logE 3 -3* logE 2) / 2 * (logE 3 - logE 2) =

=( 2* ln 3 - 3* ln 2) / ((2 * (ln 3 - ln 2)) = 0,1452443543242730

Ряд 3 - значения logE (S2n-1 / NIn?Љ)

VII.

Таким образом, благодаря второму замечательному пределу:

? = ( 1 + 1 / n)n,

при n, N >?, E = ? найдены пределы отношений:

lim (S2n-1 / NIn?Љ) = 1,156322088051860

lim (E / 2) / (S2n-1 / NIn?Љ) = 1,175399941135230

б = 0,8507742471334290

б = 1 / 1,175399941135230

lim (S2n-1 / (S?)? = б* 2? / 2n

lim (S2n-1 / (S?)? = 0,8507742471334290 * 2? / 2n,

Но что такое 1,175399941135230?

Ни что иное, как Ґ * v 2 ^ (1 / (ln 3 - ln 2) = Ґ* ln 3/2 v v 2

б = 2 / (v 2 ^ (1 / (ln 3 - ln 2) = 2 / ln 3/2 v v 2

В результате получаются очень интересные формулы и закономерности, связывающие между собой так называемые иррациональные и трансцендентные числа: v 2, ln 3, ln 2.

Поиску этих закономерностей будут посвящены следующие работы.

Здесь же мы ограничиваемся всего лишь ответом на вопрос: есть ли актуальная бесконечность или нет.

lim (E / 2) / (S2n-1 / NIn?Љ) = Ґ * v 2 ^ (1 / (ln 3 - ln 2) = Ґ * v 2 ^ (1 / (logE 3 - logE 2) =

= 1,175399941135230.

Таблица Љ 10.

ЉЉ N E v2 ^ 1/ (logE (3) - logE (2)) / 2 (EN / 2)/ S2n-1 / NIn?Љ ?
1 1 2 1 1 0,0000%
2 2 2,25 1 1 0,0000%
3 3 2,37037037 1,04555354 1,04347826 0,1989%
4 4 2,44140625 1,07227833 1,06951872 0,2580%
5 5 2,48832000 1,08986596 1,08702216 0,2616%
6 6 2,52162637 1,10232303 1,09956914 0,2505%
7 7 2,54649970 1,11161043 1,10899762 0,2356%
8 8 2,56578451 1,11880207 1,11633938 0,2206%
9 9 2,58117479 1,12453575 1,12221714 0,2066%
10 10 2,59374246 1,12921417 1,12702863 0,1939%
11 11 2,60419901 1,13310420 1,13103962 0,1825%
12 12 2,61303529 1,13638969 1,13443439 0,1724%
13 13 2,62060089 1,13920143 1,13734475 0,1632%
14 14 2,62715156 1,14163503 1,13986742 0,1551%
15 15 2,63287872 1,14376197 1,14207500 0,1477%
16 16 2,63792850 1,14563678 1,14402304 0,1411%
17 17 2,64241438 1,14730180 1,14575475 0,1350%
18 18 2,64642582 1,14879038 1,14730426 0,1295%
19 19 2,65003433 1,15012916 1,14869888 0,1245%
20 20 2,65329771 1,15133966 1,14996073 0,1199%
21 21 2,65626321 1,15243948 1,15110790 0,1157%
22 22 2,65896986 1,15344315 1,15215534 0,1118%
23 23 2,66145012 1,15436273 1,15311551 0,1082%
24 24 2,66373126 1,15520838 1,15399889 0,1048%
25 25 2,66583633 1,15598867 1,15481432 0,1017%
26 26 2,66778497 1,15671089 1,15556936 0,0988%
27 27 2,66959398 1,15738129 1,15627048 0,0961%
28 28 2,67127785 1,15800526 1,15692325 0,0935%
29 29 2,67284914 1,15858746 1,15753251 0,0911%
30 30 2,67431878 1,15913195 1,15810247 0,0889%
31 31 2,67569631 1,15964227 1,15863680 0,0868%
32 32 2,67699013 1,16012155 1,15913876 0,0848%
33 33 2,67820765 1,16057254 1,15961118 0,0829%
34 34 2,67935543 1,16099766 1,16005662 0,0811%
35 35 2,68043929 1,16139908 1,16047731 0,0794%
36 36 2,68146442 1,16177873 1,16087526 0,0778%
37 37 2,68243548 1,16213834 1,16125226 0,0763%
38 38 2,68335663 1,16247945 1,16160994 0,0749%
39 39 2,68423162 1,16280345 1,16194973 0,0735%
40 40 2,68506384 1,16311159 1,16227294 0,0722%
41 41 2,68585635 1,16340502 1,16258077 0,0709%
42 42 2,68661192 1,16368476 1,16287427 0,0697%
43 43 2,68733309 1,16395175 1,16315444 0,0685%
44 44 2,68802214 1,16420685 1,16342215 0,0674%
45 45 2,68868117 1,16445082 1,16367823 0,0664%
46 46 2,68931211 1,16468438 1,16392341 0,0654%
47 47 2,68991672 1,16490819 1,16415837 0,0644%
48 48 2,69049660 1,16512284 1,16438374 0,0635%
49 49 2,69105325 1,16532888 1,16460010 0,0626%
50 50 2,69158803 1,16552682 1,16480797 0,0617%
51 51 2,69210221 1,16571713 1,16500784 0,0609%
52 52 2,69259695 1,16590025 1,16520018 0,0601%
53 53 2,69307335 1,16607656 1,16538539 0,0593%
54 54 2,69353239 1,16624645 1,16556387 0,0586%
55 55 2,69397501 1,16641026 1,16573597 0,0578%
56 56 2,69440208 1,16656831 1,16590203 0,0571%
57 57 2,69481440 1,16672090 1,16606237 0,0565%
58 58 2,69521273 1,16686831 1,16621727 0,0558%
59 59 2,69559775 1,16701079 1,16636700 0,0552%
60 60 2,69597014 1,16714859 1,16651183 0,0546%
61 61 2,69633050 1,16728193 1,16665199 0,0540%
62 62 2,69667940 1,16741104 1,16678770 0,0534%
63 63 2,69701738 1,16753610 1,16691916 0,0529%
64 64 2,69734495 1,16765731 1,16704658 0,0523%
65 65 2,69766258 1,16777484 1,16717014 0,0518%
66 66 2,69797072 1,16788885 1,16729001 0,0513%
67 67 2,69826979 1,16799950 1,16740636 0,0508%
68 68 2,69856017 1,16810695 1,16751933 0,0503%
69 69 2,69884225 1,16821131 1,16762908 0,0499%
70 70 2,69911637 1,16831273 1,16773573 0,0494%
71 71 2,69938287 1,16841133 1,16783942 0,0490%
72 72 2,69964206 1,16850722 1,16794027 0,0485%
73 73 2,69989424 1,16860052 1,16803839 0,0481%
74 74 2,70013968 1,16869133 1,16813390 0,0477%
75 75 2,70037866 1,16877974 1,16822690 0,0473%
76 76 2,70061142 1,16886585 1,16831747 0,0469%
77 77 2,70083821 1,16894975 1,16840573 0,0466%
78 78 2,70105925 1,16903152 1,16849175 0,0462%
79 79 2,70127476 1,16911125 1,16857562 0,0458%
80 80 2,70148494 1,16918900 1,16865302 0,0459%
2,71828183 1,17539994 1,17539994 0,0000%

Если преобразовать полученные формулы: перейти от натуральных логарифмов к логарифмам по основанию 2 , то формулы значительно упростятся:

lim (E / 2) / (S2n-1 / NIn?Љ) = e ^ (1 / (2 * (log? 3 - 1)) / 2 = exp (1 / (2 * (log? 3 - 1)) / 2

lim (S2n-1 / NIn?Љ) = e / e ^ (1 / (2 * (log? 3 - 1)) = ? / exp (1 / (2 * (log? 3 - 1))

б = 1 / exp (1 / (2 * (log? 3 - 1)) / 2 = 2 / exp (1 / (2 * (log? 3 - 1))

Эти значения правильны при n, N > ? и E = ?, то есть в бесконечности.

Следующим шагом будет возврат из бесконечности к конечным числам.

Благодаря полученным закономерностям, можно наконец определить само понятие "числа" и все действия над числами:

1 = N * (logE (1 + N) - logE (N)), где

N - натуральное число

EN = (1 + 1 /N)N, то есть функция от числа N, EN = f (N)

Предел этой функции, при N >? равен ?.

Но вернёмся к нашей теме: к бесконечности.

Таким образом, сумма бесконечного ряда, составленного из членов натурального ряда, не превышает:

1 ? S2n-1 ? 1,156322088051860 N2n-1.

Следовательно, чем больше число N, тем больше сумма ряда, составленного из конечного числа членов натурального ряда.

Налицо потенциальная бесконечность.

Актуальной бесконечности не существует.

Не существует и трансфинитных чисел.

Первое и последнее трансфинитное число - сумма бесконечного натурального ряда - S1.

В бесконечности S2n-1 = 0,8507742471334290 * 2? / 2n * (S1)n

Таким образом, бесконечность нельзя сосчитать.

Но любую бесконечность можно сравнить с бесконечным натуральным рядом. Сравнить не с помощью каких-то вымышленных трансфинитных чисел, а с помощью арифметики. Законы арифметики распространяются и на бесконечность, что наглядно видно из приведённых таблиц и графиков.

Георг Кантор оказался не прав.

Бесконечность - бесконечна.

Таким образом, двадцать четвёртая проблема Гильберта - решена.