Колодин Александр Васильевич: другие произведения.

Решение теоремы Ферма.

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Конкурс фантастических романов "Утро. ХХII век"
Конкурсы романов на Author.Today

Летние Истории на ПродаМане
Peклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    При помощи элементарной математики доказывается общая теорема Ферма.


   На правах рукописи.

Решение теоремы Ферма.

   В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Великая теорема Ферма" о данной теореме сказано следующее:
   "Для любого натурального числа 0x01 graphic
уравнение
   0x01 graphic
   не имеет натуральных решений 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
.
   В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях "Арифметики" Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:
   "Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
   Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
   Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для 0x01 graphic
, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.
   Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая 0x01 graphic
, Дирихле и Лежандр в 1825 -- для 0x01 graphic
, Ламе -- для 0x01 graphic
.
   В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение 0x01 graphic
при 0x01 graphic
может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
   Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале "Annals of Mathematics". Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы -- Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.-П.Серра).
   Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант".
   В данной работе я попытаюсь найти то первое решение самого Пьера Ферма. Искать решение я буду, не прибегая к высшей математике, так как в середине XVII века ни дифференциально-интегрального исчисления, ни аналитической геометрии практически не было.
   Начну с теоремы Пифагора.
   В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Теорема Пифагора" сказано:
   "Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
   В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
   В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
   То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через 0x01 graphic
, а длины катетов через 0x01 graphic
и 0x01 graphic
:
   0x01 graphic
   Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника".
   В той же статье приведено одно из многочисленных доказательств этой теоремы:
   "Доказательство через равнодополняемость.
  
   0x01 graphic
  
   Рис.1
      -- Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
      -- Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90®, а развёрнутый угол -- 180®.
      -- Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   0x01 graphic
   Что и требовалось доказать".
   При доказательстве теоремы Пифагора я буду пользоваться чуть изменённым доказательством через равнодополняемость.
   b a
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
  
   0x08 graphic
  
   0x08 graphic
   0x08 graphic
  
  
  
   a b
   Рис. 2
   Площади четырёх прямоугольных треугольников дополняют площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника "с", до площади квадрата, сторона которого равна сумме катетов прямоугольного треугольника "a + b".
   Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна:
   Fab = Ґ*a*b.
   Общая площадь четырёх прямоугольных треугольников:
   ?Fab = 4*Ґ*a*b = 2*a*b.
   Площадь квадрата со стороной "a+b":
   Fa+b = (a+b)2 = a2 +2a*b + b2.
   Площадь квадрата со стороной "с":
   Fc = c2.
   Fc = Fa+b - ?Fab
   c2 = a2 +2a*b + b2 - 2*a*b = a2 + b2,
   то есть c2 = a2 + b2, теорема Пифагора доказана.
   Таким образом, квадрат раскладывается на два квадрата.
   От показателя степени равному 2 перейдём к показателю степени равному 3.
   То есть от площади к объёму. Квадраты станут кубами.
   На рисунке 2 показана горизонтальная проекция наших фигур.
   На рисунке 3 - вертикальная проекция.
   a +b
   0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
   0x08 graphic
VVVа
  
  
  
  
  
  
  
   a b
   Рис. 3.
  
   Куб со сторонами , равными суммой "a" и " b", включает в себя во-первых, куб со стороной "с", во-вторых, параллелепипед, в-третьих, четыре треугольные призмы, в основании, которых лежат катеты "a" и " b", соответственно, и в этом случае применим метод равнодополняемости.
   Имеем: объём куба со стороной (a + b):
   V(a+b) = (a + b)3;
   Объём треугольной призмы:
   Vab = Fab * c = Ґ*a*b* c
   V(a+b)-с = [(a +b) - c]* (a + b)2 =
   Объём параллелепипеда (a +b)3 - c* (a + b)2
   Тогда объём куба со стороной "с" будет равен:
   Vc = V(a+b) - V(a+b)-с - 4* Vab = (a + b)3 - (a +b)3 + c* (a + b)2 - 4*Ґ*a*b* c =
   Vc = c* (a + b)2 - 2*a*b* c = c*(a2 + b2).
   Но, Vc = с3, следовательно, Vc = c*(a2 + b2), или:
   с3 = c*(a2 + b2), или
   с2 = a2 + b2, то есть получилась теорема Пифагора.
   Таким образом, как и писал Пьер Ферма: "... невозможно разложить куб на два куба..."
   Объём куба "с3" раскладывается на площади квадратов, построенных на катетах "a" и "b", умноженных на высоту, то есть на сторону куба "с", квадрат которой как раз равен сумме квадратов катетов.
   a2 + b2 - сумма квадратов катетов, то есть теорема Пифагора, выступает в случае куба множителем, который назовём множителем Пифагора.
   Проверим наше решение на числах.
   Возьмём Пифагорову тройку чисел: 3, 4 и 5. Степень равную 3.
   с3 = 53 = 125; a3 = 33 = 27; b3 = 43 = 64;
   с3 = 125 ? 27 + 64 = 91
   a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;
   с3 = 125 = 5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, что и требовалось доказать.
   Примем показатель степени чисел, равный 4.
   С4 = 54 = 625; a4 = 34 = 81; b4 = 44 = 256;
   С4 = 625 ? 81 + 256 = 337;
   a2 = 32 = 9; b2 = 42 = 16;
   с4 = 625;
   5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, чтобы в итоге получилось 625, необходимо 125 умножить на 5, то есть на "с".
   с4 = 625 = 5* 5* (9 + 16) = 25* 25 = 625.
   Перейдём на буквенные обозначения:
   с4 = c2*(a2 + b2).
   Эту формулу можно получить из уравнения теоремы Пифагора: с2 = a2 + b2,
   соответственно, a = (c2 - b2) Ґ , b = (c2 - a2) Ґ.
   Площадь прямоугольника, построенного на сторонах "a" и " b" или удвоенная площадь прямоугольного треугольника равна:
   a*b = (c2 - b2) Ґ * (c2 - a2) Ґ = (c4 - c2*a2 - c2*b2 + a2*b2)1/2,
   соответственно, a2*b2 = c4 - c2*a2 - c2*b2 + a2*b2, или
   c4 = c2*(a2 + b2), то есть словами Ферма "биквадрат" не раскладывается на два "биквадрата".
   с4 = c4-2*(a2 + b2) или в общем виде:
   сn = cn-2*(a2 + b2).
   Рассмотрим частные случаи: при степени 2, 1 и 0.
   с2 = c2-2 * (a2 + b2) = c0 * (a2 + b2) = a2 + b2, перед нами опять же теорема Пифагора.
   c1 = c1-2 * (a2 + b2) = c-1 * (a2 + b2) = (a2 + b2)/ (a2 + b2)1/2 = (a2 + b2)1/2
   c0 = c0-2 * (a2 + b2) = c-2 * (a2 + b2) = (a2 + b2) / (a2 + b2) = 1.
  
   сn = cn-2 * (a2 + b2).
   Теперь, когда решены частные случаи при показателях степени 0, 1, 2, 3, 4, теорему Ферма можно решить ещё проще, из уравнения с2 = a2 + b2.
   Если с2 = a2 + b2, то, с1 = (a2 + b2)1/2, соответственно,
   сn = (a2 + b2)n/2.
   Таким образом, при любых значениях n > 2
   сn ? an + bn,
   так как сn = (a2 + b2)n/2.
   Поэтому вслед за Пьером Ферма можно повторить: "...невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". Решение получилось гораздо больше книжных полей "Арифметики" Диофанта, о чем и говорил Пьер Ферма.
  
   А.В. Колодин 10 августа 2013 года.
   Ссылка на источники:
   Теорема Пифагора: олучилосьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0%E0
   Великая теорема Ферма: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EB%E8%EA%E0%FF_%F2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D4%E5%F0%EC%E0
  
  
  
  
  
  
  
  
  

1

  
  
  
  
   b
  
  
  
   a
  
  
  
  
   a
  
  
   c
  
   c
  
  
  
  
   (a+b) - c
  
  
   c
  
  
  

 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com А.Емельянов "Мир Карика 9. Скрытая сила"(ЛитРПГ) Е.Флат "В пламени льда"(Любовное фэнтези) М.Атаманов "Искажающие реальность-5"(ЛитРПГ) М.Снежная "Академия Альдарил: роль для попаданки"(Любовное фэнтези) А.Эванс "Проданная дракону"(Любовное фэнтези) В.Соколов "Мажор 3: Милосердие спецназа"(Боевик) В.Пылаев "Видящий-3. Ярл"(ЛитРПГ) В.Соколов "Мажор: Путёвка в спецназ"(Боевик) Р.Цуканов "Серый кукловод. Часть 1"(Киберпанк) С.Панченко "Warm"(Постапокалипсис)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Д.Иванов "Волею богов" С.Бакшеев "В живых не оставлять" В.Алферов "Мгла над миром" В.Неклюдов "Спираль Фибоначчи.Вектор силы"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"