Колодин Александр Васильевич. Решение теоремы Ферма

На правах рукописи.

Решение теоремы Ферма.

В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Великая теорема Ферма" о данной теореме сказано следующее:

"Для любого натурального числа

уравнение

не имеет натуральных решений

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях "Арифметики" Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

"Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для

, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая

, Дирихле и Лежандр в 1825 -- для

, Ламе -- для

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при

может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале "Annals of Mathematics". Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы -- Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.-П.Серра).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант".

В данной работе я попытаюсь найти то первое решение самого Пьера Ферма. Искать решение я буду, не прибегая к высшей математике, так как в середине XVII века ни дифференциально-интегрального исчисления, ни аналитической геометрии практически не было.

Начну с теоремы Пифагора.

В Википедии - свободной энциклопедии - в статье "Теорема Пифагора" сказано:

"Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через

, а длины катетов через

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника".

В той же статье приведено одно из многочисленных доказательств этой теоремы:

"Доказательство через равнодополняемость.

Рис.1

-- Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.

-- Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90®, а развёрнутый угол -- 180®.

-- Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось доказать".

При доказательстве теоремы Пифагора я буду пользоваться чуть изменённым доказательством через равнодополняемость.

b a

a b

Рис. 2

Площади четырёх прямоугольных треугольников дополняют площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника "с", до площади квадрата, сторона которого равна сумме катетов прямоугольного треугольника "a + b".

Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна:

F_ab = Ґ*a*b.

Общая площадь четырёх прямоугольных треугольников:

?F_ab = 4*Ґ*a*b = 2*a*b.

Площадь квадрата со стороной "a+b":

F_a₊_b = (a+b)² = a² +2a*b + b².

Площадь квадрата со стороной "с":

F_c = c².

F_c = F_a+b - ?F_ab

c² = a² +2a*b + b² - 2*a*b = a² + b²,

то есть c² = a² + b², теорема Пифагора доказана.

Таким образом, квадрат раскладывается на два квадрата.

От показателя степени равному 2 перейдём к показателю степени равному 3.

То есть от площади к объёму. Квадраты станут кубами.

На рисунке 2 показана горизонтальная проекция наших фигур.

На рисунке 3 - вертикальная проекция.

a +b

VVVа

a b

Рис. 3.

Куб со сторонами , равными суммой "a" и " b", включает в себя во-первых, куб со стороной "с", во-вторых, параллелепипед, в-третьих, четыре треугольные призмы, в основании, которых лежат катеты "a" и " b", соответственно, и в этом случае применим метод равнодополняемости.

Имеем: объём куба со стороной (a + b):

V₍_a₊_b₎ = (a + b)³;

Объём треугольной призмы:

V_ab = F_ab * c = Ґ*a*b* c

V_(a+b)-_с = [(a +b) - c]* (a + b)² =

Объём параллелепипеда (a +b)³ - c* (a + b)²

Тогда объём куба со стороной "с" будет равен:

V_c = V_(a+b) - V_(a+b)-_с - 4* V_ab = (a + b)³ - (a +b)³ + c* (a + b)² - 4*Ґ*a*b* c =

V_c = c* (a + b)² - 2*a*b* c = c*(a² + b²).

Но, V_c = с³, следовательно, V_c = c*(a² + b²), или:

с³ = c*(a² + b²), или

с² = a² + b², то есть получилась теорема Пифагора.

Таким образом, как и писал Пьер Ферма: "... невозможно разложить куб на два куба..."

Объём куба "с³" раскладывается на площади квадратов, построенных на катетах "a" и "b", умноженных на высоту, то есть на сторону куба "с", квадрат которой как раз равен сумме квадратов катетов.

a² + b² - сумма квадратов катетов, то есть теорема Пифагора, выступает в случае куба множителем, который назовём множителем Пифагора.

Проверим наше решение на числах.

Возьмём Пифагорову тройку чисел: 3, 4 и 5. Степень равную 3.

с³ = 5³ = 125; a³ = 3³= 27; b³ = 4³ = 64;

с³ = 125 ? 27 + 64 = 91

a² = 3²= 9; b² = 4² = 16;

с³ = 125 = 5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, что и требовалось доказать.

Примем показатель степени чисел, равный 4.

С⁴ = 5⁴ = 625; a⁴ = 3⁴= 81; b⁴ = 4⁴ = 256;

С⁴ = 625 ? 81 + 256 = 337;

a² = 3²= 9; b² = 4² = 16;

с⁴ = 625;

5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, чтобы в итоге получилось 625, необходимо 125 умножить на 5, то есть на "с".

с⁴ = 625 = 5* 5* (9 + 16) = 25* 25 = 625.

Перейдём на буквенные обозначения:

с⁴ = c²*(a² + b²).

Эту формулу можно получить из уравнения теоремы Пифагора: с² = a² + b²,

соответственно, a = (c² - b²) ^Ґ , b = (c² - a²) ^Ґ.

Площадь прямоугольника, построенного на сторонах "a" и " b" или удвоенная площадь прямоугольного треугольника равна:

a*b = (c² - b²) ^Ґ * (c² - a²) ^Ґ = (c⁴ - c^2*a² - c²*b² + a²*b²)^1/2,

соответственно, a²*b² = c⁴ - c^2*a² - c²*b² + a²*b², или

c⁴ = c^2*(a² + b²), то есть словами Ферма "биквадрат" не раскладывается на два "биквадрата".

с⁴ = c^4-2*(a² + b²) или в общем виде:

сⁿ = cⁿ^-2*(a² + b²).

Рассмотрим частные случаи: при степени 2, 1 и 0.

с² = c^2-2 * (a² + b²) = c⁰ * (a² + b²) = a² + b², перед нами опять же теорема Пифагора.

c¹ = c^1-2 * (a² + b²) = c^-1 * (a² + b²) = (a² + b²)/ (a² + b²)^1/2 = (a² + b²)^1/2

c⁰ = c^0-2 * (a² + b²) = c^-2 * (a² + b²) = (a² + b²) / (a² + b²) = 1.

сⁿ = cⁿ^-2 * (a² + b²).

Теперь, когда решены частные случаи при показателях степени 0, 1, 2, 3, 4, теорему Ферма можно решить ещё проще, из уравнения с² = a² + b².

Если с² = a² + b², то, с¹ = (a² + b²)^1/2, соответственно,

сⁿ = (a² + b²)ⁿ^/2.

Таким образом, при любых значениях n > 2

сⁿ ? aⁿ + bⁿ,

так как сⁿ = (a² + b²)ⁿ^/2.

Поэтому вслед за Пьером Ферма можно повторить: "...невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". Решение получилось гораздо больше книжных полей "Арифметики" Диофанта, о чем и говорил Пьер Ферма.

А.В. Колодин 10 августа 2013 года.

Ссылка на источники:

Теорема Пифагора: олучилосьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0%E0

Великая теорема Ферма: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EB%E8%EA%E0%FF_%F2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D4%E5%F0%EC%E0

(a+b) - c

Комментарии: 3, последний от 03/02/2015. © Copyright Колодин Александр Васильевич (kolodin55@inbox.ru) Размещен: 15/08/2013, изменен: 15/08/2013. 17k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 19 шт.		Ваша оценка:
Аннотация: При помощи элементарной математики доказывается общая теорема Ферма.

Колодин Александр Васильевич : другие произведения.

Решение теоремы Ферма