![[]](/img/b/bogatyrew_a_s/google_problem/tree.jpg)
Нарисуем граф процесса (вообще говоря, это называется "однородная цепь Маркова", но мы обойдёмся без специальных теорий). Обозначим через p (p<1) вероятность рождения девочки (Female). Соответственно, 1-p будет вероятностью рождения мальчика (Male). Отметим, что события рождения мальчика или девочки на каждом шаге независимы, то есть не определяются предыдущими событиями. Это позволяет нам перемножать вероятности p(AB)=p(A)p(B).
Математическое ожидание числа мальчиков равно сумме произведений числа мальчиков
(оно у нас всегда 1 и мы будем его опускать)
на вероятность события "родился мальчик".
M = (1-p) + p(1-p) + p2(1-p) + p3(1-p) + ... + pn(1-p) + ...
Поясняю: (1-p) - это рождение мальчика на первом шаге;
p(1-p) - это рождение девочки на первом шаге и мальчика на втором;
p*p*(1-p) - это девочка на первом шаге, девочка на втором, мальчик на третьем.
И так далее.
Аналогично, матожидание числа девочек
F = p + p2 + p3 + ... + pn+1 + ...
Обозначим за S ряд S = 1 + p + p2 + p3 + ... + pn + ...
Тогда, вынося множители за скобки, получим
M = (1-p)S
F = pS
Откуда мы немедленно получаем M/F = (1-p)/p, что вобщем-то очевидно из графа процесса: число вершин Male и Female равно,
а частота переходов в них соотносится как раз как (1-p) и p.