Частухин Александр Евгеньевич. Гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била

Гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била

УДК 511

Введение

Великая теорема Ферма не одно столетие будоражила умы самых выдающихся математиков и не только их. С появлением доказательства этой теоремы Эндрю Уайлсом, казалось бы, проблема решена. Однако в конце прошлого века сформулирована гипотеза Била, которая обобщает Великую теорему Ферма на случаи произвольных степеней трех слагаемых. Данная гипотеза еще не доказана.

Актуальность

Доказательство Великой теоремы Ферма появилось спустя три столетия после ее формулировки. Гипотезу Била очевидно доказать будет еще труднее. Чтобы ее доказать необходимо знать как можно больше о числах вообще, о степенях чисел. Поиск новых закономерностей, новых обобщений лишь приблизит к достижению данной цели.

Цели

Сформулировать гипотезу, обобщающую гипотезу Била для произвольного количества слагаемых.

Научная новизна

В 1967 году была сформулирована гипотеза Ландера - Паркина - Селфриджа, которая является некоторым обобщением Великой теоремы Ферма на случаи произвольного количества слагаемых. Однако обобщения, в котором эти слагаемые имели бы произвольные степени, еще сформулировано не было.

В данной работе мы будем рассматривать уравнения с суммой степеней вида:

где k - количество слагаемых, k ≥ 0; a_i - натуральные числа; n_i - целые числа, n_i ≥ 0. Слагаемые

- всегда положительные числа, которые могут как прибавляться, так и вычитаться.

Определение. Минимальная из степеней n_i называется порядком уравнения. Обозначим его n.

Пример. Уравнение 1 + 2³ - 3² = 0 имеет порядок 2. Это минимальная из степеней слагаемых. У числа 1 степень может быть любая. Если она явно не указана, то будем считать, что она больше, чем любая из степеней у других слагаемых.

Определение. Уравнение вида (1) является составным, если его можно разложить на два или более уравнения с тем же набором слагаемых.

Пример составного уравнения: 1 + 2³ - 3² + 5² + 12² - 13² = 0. Данное уравнение является составным, потому что его можно разложить на два уравнения: 1 + 2³ - 3² = 0 и 5² + 12² - 13² = 0. Общий набор слагаемых в этих двух уравнениях идентичен набору слагаемых первоначального общего уравнения.

Определение. Уравнение вида (1) будем считать примитивным если:

1) Оно не является составным уравнением;

2) Его нельзя сократить на какое-либо простое число (слагаемые

являются взаимно простыми числами);

3) Основания степеней a_i не повторяются.

Условие 3 будет использоваться в двух вариантах:

а) Строгий вариант. Слагаемые

должны быть приведены к виду, когда основание a_i минимально, а степень n_i максимальна. После такого приведения основания степеней a_i не должны повторяться.

б) Нестрогий вариант. Приведение слагаемых к виду, описанному в варианте "а", не требуется.

Пример. По строгому варианту слагаемые 2⁴ и 4² будут иметь одинаковые основания равные 2. По нестрогому варианту они будут иметь разные основания.

Определение. Уравнение разности степеней вида:

(a + b)ⁿ - (a - b)ⁿ = 2∙n∙a^n-1∙b + ... (2)

где a и b взаимно простые числа, будем называть уравнением резонанса степени n.

При такой разности двух степеней сокращается максимальное количество слагаемых и остается их минимальное количество. Итоговое количество слагаемых в уравнении (2) будем называть уровнем резонанса и будем обозначать k_рез.

Пример 1. Уравнение резонанса 3-ей степени:

(a + b)³ - (a - b)³ = 6∙a²∙b + 2∙b³ (3)

Уровень резонанса 3-ей степени равен 4.

Пример 2. Уравнение резонанса 4-ой степени:

(a + b)⁴ - (a - b)⁴ = 8∙a³∙b + 8∙a∙b³ (4)

Уровень резонанса 4-ой степени равен 4.

Уровень резонанса для произвольной степени n можно определить по формулам:

k_рез = n / 2 + 2 - для четных n (5)

k_рез = (n + 1) / 2 + 2 - для нечетных n (6)

(Помимо резонанса разности степеней существует и резонанс суммы степеней. Однако эффект от него ниже в случае четной степени n, так как после сокращения слагаемых остается большее их количество по сравнению с резонансом разности степеней.)

Гипотеза. Не существует примитивных уравнений вида (1) порядка n, у которых количество слагаемых k меньше, чем соответствующий уровень резонанса k_рез для степени n определяемый по формулам (5) и (6). Т.е. примитивные уравнения порядка n могут существовать только если k ≥ k_рез.

Гипотеза сформулирована как для строгого, так и для нестрогого варианта условия 3 определяющего примитивные уравнения вида (1).

Для наглядности представим условия гипотезы в виды таблицы.

В данной таблице ячейки, выделенные красным цветом, обозначают, что при соответствующих значениях n и k не могут существовать примитивные уравнения вида (1). Ячейки, выделенные зеленым цветом, обозначают, что при соответствующих значениях n и k они могут существовать. В ячейках красным шрифтом отмечен резонанс соответствующей степени n, которому соответствует определенное количество слагаемых k.

Рассмотрим частные случаи при различных значениях k.

k = 0

При k = 0 для любого порядка уравнения n будет существовать лишь одно равенство 0 = 0. Является ли это равенство примитивным?

Очевидно, что нет, так как его можно сократить на абсолютно любое простое число.

Таким образом, примитивных уравнений при k = 0 не существует.

k = 1

В случае k = 1 уравнение вида (1) будет выглядеть так: aⁿ = 0. При этом основание степени "a" должно быть натуральным числом. Понятно, что данное уравнение никогда выполняться не может ни при какой степени n.

k = 2

Согласно выдвинутой гипотезе при k = 2 примитивные уравнения вида (1) могут существовать только для n = 0. Уравнение резонанса для n = 0 будет таким:

(a + b)⁰ - (a - b)⁰ = 0 (7)

Данное уравнение выполняется для любых чисел a и b.

Пример примитивного уравнения 0-го порядка:

2⁰ - 3⁰ = 0 (8)

Все условия примитивного уравнения выполняются. Равенство (8) не является составным. Его нельзя сократить на какое-либо простое число. Основания степеней не повторяются.

Другой пример примитивного уравнения 0-го порядка:

2⁰ - 1 = 0 (9)

Все три условия выполняются.

Для n > 0 примитивных уравнений вида (1) быть не может. Например, равенство 2⁴ - 4² = 0 не является примитивным, так как его можно сократить на простое число 2.

Равенство 1 - 1 = 0 также не является примитивным, так как в этом случае основания степеней повторяются. Если же в этом уравнении одну 1 записать, например, как 2⁰, то оно становится уравнением 0-го порядка, разрешенным при k = 2.

k = 3

Настоящая гипотеза утверждает, что при k = 3 порядок примитивного уравнения не может превышать 2. Уравнение резонанса для n = 1 будет таким:

(a + b) - (a - b) = 2b (10)

Уровень резонанса равен 3.

Уравнение резонанса для n = 1 описывает все возможные взаимно простые тройки чисел, так как любое число является 1-ой степенью самого себя.

Уравнение резонанса для n = 2 будет таким:

(a + b)² - (a - b)² = 4ab (11)

Уровень резонанса равен 3.

Уравнение резонанса для n = 2 описывает все возможные примитивные пифагоровы тройки. Слагаемое 4ab может иметь степень и выше 2. Порядок уравнения (11) при этом останется равным 2.

Для n = 3 уровень резонанса уже будет больше 3. Поэтому порядок примитивного уравнения равный 3 или выше не возможен при k = 3.

Частный случай при k = 3 является не чем иным, как гипотезой Била.

Гипотеза Била формулируется так:

a^x + b^y = c^z (12)

Если существуют натуральные числа a, b, c, x, y и z (x > 2, y > 2 и z > 2), удовлетворяющие этому уравнению, то числа a, b и c обязательно имеют общий простой делитель.

Такую формулировку гипотезы Била можно переиначить наподобие Великой теоремы Ферма. Не существует натуральных чисел a, b, c, x, y и z, удовлетворяющих уравнению (12), при x > 2, y > 2 и z > 2, когда a, b и c взаимно простые.

Очевидно, что гипотеза Била является частным случаем выдвинутой в данной работе гипотезы при k = 3.

Напомним, что гипотеза Била в свою очередь является обобщением Великой теоремы Ферма.

k = 4

Согласно выдвинутой гипотезе при k = 4 могут существовать примитивные уравнения максимум 4-го порядка. Как мы писали ранее, уравнение резонанса для n = 4 будет выглядеть так:

(a + b)⁴ - (a - b)⁴ = 8∙a³∙b + 8∙a∙b³ (13)

Можно подобрать такие a и b, чтобы степени слагаемых правой части уравнения были не ниже 4-ой.

Например, a = 2³, b = 3⁶. В этом случае будем иметь такое уравнение 4-го порядка:

737⁴ - 721⁴ = 12⁶ + 54⁶ (14)

Могут существовать и другие уравнения 4-го порядка, которые не описываются уравнением резонанса для 4-ой степени. Например:

2¹⁰ + 3⁴ + 6⁴ = 7⁴ (15)

k = 5

При k = 5 могут существовать примитивные уравнения максимум 6-го порядка. Уравнение резонанса для n = 6 будет выглядеть так:

(a + b)⁶ - (a - b)⁶ = 12∙a⁵∙b + 40∙a³∙b³ + 12∙a∙b⁵ (16)

Можно подобрать такие a и b, чтобы степени слагаемых правой части были не ниже 6-ой. Задача эта не такая простая. И чем больше слагаемых, тем она труднее.

Например, a = 2¹⁰∙3¹³³¹, b = 5¹⁴⁰⁴. В этом случае будем иметь такое уравнение 6-го порядка:

(2¹⁰∙3¹³³¹ + 5¹⁴⁰⁴)⁶ - (2¹⁰∙3¹³³¹ - 5¹⁴⁰⁴)⁶ = (2⁴∙3⁵¹²∙5¹⁰⁸)¹³ + (2³∙3³⁶³∙5³⁸³)¹¹ + (2∙3¹¹¹∙5⁵⁸⁵)¹² (17)

Как видно, в этом уравнении 6-го порядка содержатся большие степени. Чем больше число n, тем больше будут потенциально степени простых множителей составляющих a и b, так как сложнее подобрать такие a и b, чтобы все составляющие их множители для каждого слагаемого схлопнулись с биноминальными коэффициентами в какие-то степени не ниже требуемой.

При k = 5 существуют уравнения, порядок которых якобы выше разрешенного условием резонанса. Например:

2¹³ + 3¹³ + 5⁷ = 2¹⁰ + 6⁸ (18)

1 + 7¹⁰ + 18⁷ = 7⁷ + 19⁷ (19)

Оба уравнения являются якобы 7-го порядка. А максимально разрешенным для k = 5 является 6-ой порядок. Если присмотримся на эти уравнения, то увидим, что их некоторые основания степеней повторяются. При строгом варианте определения примитивного уравнения эти равенства не являются примитивными. При нестрогом варианте можно попробовать у некоторых слагаемых уменьшить степень, чтобы изменилось основание. В этом случае наиболее высокий порядок уравнений будет, если их записать так:

2¹³ + 3¹³ + 5⁷ = 4⁵ + 6⁸ (20)

1 + 49⁵ + 18⁷ = 7⁷ + 19⁷ (21)

Как видно, в этом случае эти уравнения превращаются в уравнения 5-го порядка. При k = 5 они не запрещены условием резонанса.

k = 6

При k = 6 могут существовать примитивные уравнения максимум 8-го порядка. Уравнение резонанса для n = 8 будет выглядеть так:

(a + b)⁸ - (a - b)⁸ = 16∙a⁷∙b + 112∙a⁵∙b³ + 112∙a³∙b⁵ + 16∙a∙b⁷ (22)

Можно подобрать такие a и b, чтобы степени слагаемых правой части были не ниже 8-ой. Задача эта еще сложнее, чем в случае n = 6.

Например, a = 2⁵, b = 7³⁶¹⁵³. В этом случае будем иметь такое уравнение 8-го порядка:

(2⁵ + 7³⁶¹⁵³)⁸ - (2⁵ - 7³⁶¹⁵³)⁸ = (2∙7⁹²⁷)³⁹ + (2∙7³⁷⁴⁰)²⁹ + (2∙7⁹⁵¹⁴)¹⁹ + (2∙7²⁸¹¹⁹)⁹ (23)

Как видно, в этом уравнении 8-го порядка содержатся степени еще большие, чем в описываемом нами ранее уравнении 6-го порядка.

При k = 6 могут существовать и равенства, не описывающиеся уравнением резонанса. Например:

1 + 7¹¹ + 14⁷ + 18⁷ = 19⁷ + 21⁷ (24)

Как видно, порядок этого уравнения равен 7.

k = 7

При k = 7 могут существовать примитивные уравнения максимум 10-го порядка. Уравнение резонанса для n = 10 будет выглядеть так:

(a + b)¹⁰ - (a - b)¹⁰ = 20∙a⁹∙b + 240∙a⁷∙b³ + 504∙a⁵∙b⁵ + 240∙a³∙b⁷ + 20∙a∙b⁹ (25)

Подберем такие a и b, чтобы степени слагаемых правой части были не ниже 10-ой.

Например, a = 2¹⁸∙7^2627690, b = 3²⁸⁵⁷⁷⁰∙5^1493301. В этом случае будем иметь такое уравнение 10-го порядка:

(2¹⁸∙7^2627690 + 3²⁸⁵⁷⁷⁰∙5^1493301)¹⁰ - (2¹⁸∙7^2627690 - 3²⁸⁵⁷⁷⁰∙5^1493301)¹⁰ = (2⁴∙3⁶⁹⁷⁰∙5³⁶⁴²²∙7⁵⁷⁶⁸¹⁰)⁴¹ + (2¹⁰∙3⁶⁵⁹⁴⁷∙5³⁴⁴⁶⁰⁸∙7^1414910)¹³ +

+ (2³∙3⁴⁶⁰⁹²∙5²⁴⁰⁸⁵⁵∙7⁴²³⁸²¹)³¹ + (2²∙3⁶⁸⁹⁷⁹∙5³⁶⁰⁴⁵²∙7²⁷¹⁸³⁰)²⁹ + (2²∙3²⁵⁷¹⁹³∙5^1343971∙7²⁶²⁷⁶⁹)¹⁰ (26)

Как видно, в этом уравнении степени уже совсем огромные.

Выводы

1) Выдвинута гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била для произвольных значений k ≥ 0.

2) Рассмотрены частные случаи выдвинутой гипотезы при k находящемся в интервале от 0 до 7 включительно.

Библиографический список:

1. Великая теорема Ферма. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма (дата обращения: 25.08.2021).

2. Гипотеза Била. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Била (дата обращения: 25.08.2021).

3. Гипотеза Ландера - Паркина - Селфриджа. [Электронный ресурс] // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Ландера_-_Паркина_-_Селфриджа (дата обращения: 25.08.2021).

4. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студентов высших учебных заведений. -М.: Издательский центр "Академия", 2008. - 272 с.

Оставить комментарий © Copyright Частухин Александр Евгеньевич (2005pochta2005@mail.ru) Размещен: 09/08/2022, изменен: 10/08/2022. 20k. Статистика. Статья: Естествознание Математика Иллюстрации/приложения: 3 шт.		Ваша оценка:
Аннотация: В данной работе выдвинута гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била для произвольных значений k ≥ 0. Рассмотрены частные случаи выдвинутой гипотезы при k находящемся в интервале от 0 до 7 включительно.

Частухин Александр Евгеньевич : другие произведения.

Гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Била