Аннотация: Похоже, что доказательство Эйлера для n=3 тоже не годится. А в остальном все хорошо.
Тайна Пьера Ферма
В комментариях к VI книге "Арифметики" Диофанта приведен следующий материал.
"Баше присоединил к задаче VI 24 ряд новых задач, из которых задача 20 гласила: "Найти прямоугольный треугольник, площадь которого равна заданному числу". Ферма сделал к этому замечание, в котором содержится доказательство того, что уравнение Xв четв.ст.-Yв четв.ст.=Z во вт.ст. не имеет решений в целых числах. Как нетрудно видеть, это - частный случай Великой теоремы Ферма, а именно для n=4. Мы приведем это доказательство:
"Площадь прямоугольного треугольника в числах не может быть квадратом.
Мы дадим доказательство этой найденной нами теоремы, которую мы открыли после мучительных и долгих раздумий, но этот род доказательства приведет к чудесным успехам в Арифметике.
Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом, откуда следует, что были бы даны два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами: значит, имелось бы квадратное число, равное квадрату и удвоенному квадрату при условии, что квадраты, которые его составляют, в сумме дают квадрат. Но если квадратное число составлено из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона подобным же образом составляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем легко доказать, откуда заключаем, что эта сторона является суммой сторон при прямом угле прямоугольного треугольника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием, а удвоенный второй - высотой.
Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен из из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут квадратами. Можно доказать, что эти два квадрата меньше, чем первоначальные квадраты, относительно которых было предположено, что их сумма и разность образуют квадраты. Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых образуют квадраты, то даны в целых числах два квадрата, имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой.
Таким же рассуждением получим затем другую сумму, меньшую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечности будем находить целые числа, постоянно убывающие. Но это невозможно, так как если дано целое число, то не может иметься бесконечности целых чисел, меньших его.(Имеются в виду положительные целые числа. Примечание редактора).
Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может быть помещено на полях из-за их узости.
Тем же рассуждением мы нашли и доказали, что никакое треугольное число, кроме единицы, не равно квадрато-квадрату".
Возьмем два числа 2010 и 2000.
Вычтем из первого числа второе.
2010-2000=10
Разность равна 10.
Поскольку есть такие числа, значит есть и другие числа, меньшие первых на единицу, разность между которыми тоже равна 10.
Поскольку есть вторые числа, есть и третьи числа, меньшие вторых на единицу, разность между которыми тоже равна 10.
И так далее.
Однако уменьшать эти числа без конца невозможно.
Можно ли отсюда сделать вывод, что разность между 2010 и 2000 не равна 10?
Ясно, что нет.
В этой статье применен третий специальный прием критики.