Тянет эпизодически меня в математику, хотя по природной сверхтупости к ней, должен был бы её просто избегать.
И таки избегал. Но она -- как любовь, "не картошка, не бросишь в окошко".
В процессе приготовления себе очередного скромного обеда, когда все действия практически происходят без участия мыслительного аппарата, снова, в который раз, задумался над иррациональными и трансцендентными числами. (См. серию заметок "Размышления филейной части носорога о математике" 13 XII 2021).
В начальной школе мы учимся четырём математическим операциям, действиям: Сложению, вычитанию, умножению и делению. При этом МОЛЧАЛИВО, как нечто, само собой разумееющееся, постулируется НЕЯВНЫЙ и определённый принцип "полного равноправия" этих действий:
Любое число можно сложить с любым числом.
Из любого числа можно вычесть любое число.
Любое число можно умножить на любое число.
Любое число можно разделить на любое число.
Все эти четыре действия независимы по умолчанию друг от друга и РАВНОПРАВНЫ.
Со сложением и умножением это правило (по умолчанию) оказывается верным.
А, вот с вычитанием сразу обнаруживается трудность: Когда из мЕньшего по величине числа надо вычесть бОльшее. Получается какая-то несуразица. Если из десяти рублей в кармане, извлекаются семь, то остаётся три. Но нельзя же извлечь из кармана двенадцать, ибо их там просто нет! Эта трудность много столетий тому назад или даже, возможно, тысячелетий была преодолена введением в математику нового класса чисел: ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. И всё сразу наладилось.
Однако, если вдуматься в реальный смысл процесса вычитания, то тут кроется некая логическая ловушка, вроде бы и незамечаемая. Именно: А приори мы подразумеваем, что любое число, подвергаемое вычитанию, исходно СОДЕРЖИТ В СЕБЕ результат сложения неких чисел, в сумме дающих всегда БОЛЬШЕЕ, чем вычитающее число.
Запомним это замечание. Оно нам скоро понадобится.
С делением - ещё хуже!
Оказалось, что при делении двух чисел, может получиться результат вообще невообразимый, нескончаемое число, которое по сути НЕЛЬЗЯ И ЧИСЛОМ-ТО назвать. Получается некая переменная величина, БЕСКОНЕЧНО стремящаяся к некому пределу.
Математики древности или не очень древности, опять выкрутились: Приём, надо сказать, дешёвый, "зоопарковый". Если нам попался зверь, которого нельзя усадить ни в одну известную по надписи клетку, надо соорудить новую и дать ей новое название. Соорудили, табличку присобачили: Иррациональные и трансцендентные ЧИСЛА, хотя, как мы видели, никакими ЧИСЛАМИ они не являются, ибо есть переменные величины, бесконечно стремящиеся к неким пределам.
Откуда выскочила на нас эта странная зверюшка?
Из нашего априорного молчаливого постулата, что: Любое делимое число есть результат любого предварительного умножения чисел, одно из которых было делителем!
Когда мы делим шесть на три, мы молчаливо предполагем, что в нём уже умножились когда-то три и два. Если мы делим пять на два, снова, молчаливо предполагается, что оно возникло от умножения двух с половиной на два. Вот это априорное предположение и следующее из него НАШЕ ПРАВО разделить любое число на любое число, не является чем-то научно доказанным, а исходит просто из нашего нежелания вдуматься в смысл операций над числами и понять, что операции эти НЕРАВНОПРАВНЫ. Есть числа - атомы, НЕДЕЛИМЫЕ на более мелкие атомы. НЕДЕЛИМЫЕ НА ТОЧНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ЧАСТИ, на другие маленькие атомы, числа. Значит при операции деления делители должны быть всегда, исходно, составной частью делимого. Тогда операцию деления МОЖНО производить, а если делитель не является составной частью делимого, то НЕЛЬЗЯ.
Иначе из деления двух ЧИСЕЛ получится нечто на атом-число уже непохожее, а некая, извивающаяся хвостиком в бесконечности, переменная! То есть нарушив только что сформулированное правило, разрешающее НЕЛЮБОЕ деление, мы сразу вляпываемся в область других математических понятий - ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН.
Вновь, любая, никак необусловленная операция деления молчаливо опирается на ничем научно неподтверждённую уверенность в том, что в ДЕЛИМОМ ВСЕГДА ЗАКЛЮЧЕНО СТРОГО ОПРЕДЕЛЁННОЕ КОЛИЧЕСТВО ДЕЛИТЕЛЕЙ! ЧИСЛО ДЕЛИТЕЛЕЙ!
Что неверно!
Итак:
Операции сложения и умножения разрешены для любых чисел.
Операции вычитания и деления НЕРАВНОПРАВНЫ двум предыдущим и ОГРАНИЧЕНЫ условием: Вычитающее или делитель обязательно должны входить в виде ЧИСЕЛ в вычитаемое или делимое. Тогда в результате операции мы получим тоже числа, АТОМЫ.
Если же это правило нарушить, то получатся или "отрицательные атомы", но всё же атомы, или ещё хуже -- какие-то холерные вибрионы, ПЕРЕМЕННЫЕ, бесконечно стремящиеся к некому пределу.
Но это уже НЕ ЧИСЛА!
Из неограниченного применения правила: Любое число разделится на любое число, можно получить не числа, а совершенно другой класс величин: Переменные величины.
Выбирайте из двух зол наименьшее!
Богу -- богово, а Атому - атомово.
12 XII 2024
P.S. Возможно, следует ввести дополнительную градацию чисел 'Совместимых' и 'Несовместимых' с той или иной математической операцией, типа деления или извлечения корня. Тем сразу будет выявлено различие в результате операции: Число или переменная величина (Иррациональные и трансцендетные 'числа')