Эткин Валерий Абрамович: другие произведения.

О неполноте уравнений Максвелла (About incompleteness of Maxwell's equations).

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:

Конкурсы: Киберпанк Попаданцы. 10000р участнику!

Конкурсы романов на Author.Today
Женские Истории на ПродаМан
Рeклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Показано, что уравнения Максвелла в их общепринятой форме не учитывают потоки смещения при возникновении электрических и магнитных диполей. Дано общефизическое определение таких потоков и предложены уравнения электромагнитного поля, учитывающие их

Введение. Очень часто приходится слышать, что в уравнениях электромагнитного поля Максвелла 'заключена вся электродинамика'. На этом основании из неё часто отбрасывается все то, что не вытекает из этих уравнений, в том числе существование продольных электромагнитных волн, возможность передачи электрической энергии по однопроводной линии, существование излучений неэлектромагнитной природы, возможность создания устройств, дающих за счет потребления их энергии 'избыточную' выходную мощность и т.п. Однако сами эти уравнения до сих пор считаются не выводимыми из каких-либо первичных принципов и лишь выражающих результаты известных на то время экспериментов в строгой математической форме. Поэтому представляет интерес показать, что в действительности уравнения Максвелла являются следствием энергодинамики [1], обобщающей термодинамику необратимых процессов [2] на процессы полезного преобразования энергии, и описывают довольно частный случай процессов взаимного преобразования электрической и магнитной энергии в замкнутых электрическом и магнитном контурах.

1. Специфика энергодинамики. Энергодинамика представляет собой метод исследования, основанный на приложении закона сохранения энергии к внутренним процессам преобразования любых форм энергии в пространственно неоднородных средах, содержащих всю интересующую исследователя совокупность взаимодействующих (взаимно движущихся) тел или их частей (вплоть до изолированных систем типа Вселенной).

С позиции этой теории пространственно неравновесная система отличается от однородной (внутренне равновесной) тем, что положение ri центра характеризующих её состояние экстенсивных параметров состояния Θi (массы, энтропии, чисел молей k-x веществ, свободного и связанного заряда и т.п.) смещается от его равновесного положения r= 0 на величину Δri, образуя некоторый 'момент распределения' Zi = ΘiΔri. Вследствие этого энергия системы Э становится зависящей не только от параметров Θi, но и от их положения в пространстве.  Эта часть энергии системы соответствует понятию внешней энергии. В поляризованных и намагниченных средах, где можно выделить положительные Θi' и отрицательные Θi" заряды (или северные и южные полюса), положение их центров ri' и ri" может быть найдено не зависимо друг от друга, так что упомянутые дополнительные параметры Zi приобретают особенно четкий физический смысл поляризационных моментов

Zi = Zi'+ Zi" = Θi'ri'+ Θi"ri" = Θi"Δri,                                           (1)

плечо которых определяется в среднем 'вектором смещения' Δri = ri"- ri'. Примерами таких параметров для системы единичного объема являются векторы электрической D и магнитной B индукции.

Благодаря существованию дополнительных параметров Δri  выражение полного дифференциала энергии системы в целом Э = Эi, Δri)  принимает вид:

dЭ = Σiψi dΘi - Σi Xi·dZi,                                                            (2)

где ψi = (∂Э/∂Θi) - обобщенные потенциалы типа абсолютного давления, температуры, энтальпии, химических потенциалов к-х веществ и т.п.; Xi = - (∂Э/Zi) - обобщенные силы в их энергетическом представлении. Первая сумма этого выражения характеризует изменение внутренней U энергии такой системы в результате теплообмена, массообмена, диффузии k-x веществ через границы системы, её электризации и т.п. Вторая сумма (2) характеризует внешнюю полезную работу đWе, совершаемую такой системой вследствие неравновесности этих процессов. Её можно представить и в более привычном виде đWе = - ΣiFi·dri, используя понятие силы Fi = - (∂Э/ri) = ΘiXi в её обычном (ньютоновском) понимании.

     Введение недостающих параметров пространственной неоднородности Zi и Xi  рассматриваемых систем позволяет отказаться от концепции равновесия в условиях протекания реальных (нестатических) процессов, лежащей в основе классической термодинамики (термостатики). Это облегчает введение в термодинамику общефизического понятия потока Ji = dZi/dt = Θivi, где vi = dri/dt - скорость переноса 'энергоносителя' Θi [1].

2. Термодинамический вывод уравнений Максвелла. Приложим теперь основное уравнение энергодинамики (2) к анализу неравновесной системы, обладающей в статике электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Эv единицы объема такой системы является, как известно, функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности внешних полей E и H. Если исключить из рассмотрения процессы объемной деформации такой системы, её массообмена с окружающей средой, диффузии в систему каких-либо веществ, ввода в неё электрического заряда и т.д., выражение (1) для неё  принимает вид [3]:

     v = ТdS - E·dD - H·dB .                                              (3)

Члены правой части этого выражения характеризуют соответственно элементарную работу поляризации đWеv = E·dD и намагничивания đWмv = H·dB данного тела. При этом нетрудно заметить, что параметры D и B в этом выражении имеют смысл алгебраической суммы моментов распределения в системе единичного объема V плотности свободных ρе и связанных зарядов ρе', ρе" , а также так называемых 'магнитных масс полюсов' ρм', ρм" [4]. Действительно, поскольку в условиях электронейтральности ρе" = - ρе' и ρм"= - ρм', то

D = ZеV + Z'еV + Z"еV = ρе'rе'+ ρе"rе" = ρе"Δrе ,                                    (4)

   B = Z'мV + Z"мV = ρм'rм'+ ρм"rм" = ρм"Δrм ,                                       (5)

где Δrе = rе"- rе'; Δrм = rм"- rм' - плечо соответственно электрического и магнитного диполя.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

      Nе = E·dD/dt; Nм = H·dB/dt.                                            (6)

Если такие процессы протекают обратимо, энергия системы Эv и ее энтропия S остаются неизменными. При этом имеет место очевидный баланс мощностей Nе = - Nм. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

     E·(dD/dt) = - H·(dB/dt).                                                   (7)

Этим простым соотношениям можно придать вид уравнений Макс­велла для вещества1). Для этого рас­смот­рим систему, состоящую из замкнутого электрического контура произвольной длины e и переменного (в общем случае) сечения fe, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной м и переменным по длине сечением fм. Примером такой системы является трансформатор. Учитывая непостоянство fe и fм, в соотношении (7) следует перейти к интегральной форме:

Nе = ∫ E·(dD/dt)dVe; Nм = ∫ H·(dB/dt)dVм ,                                   (8)

Элементы объема dVe и dVм, занятого диэлектриком и магнетиком, можно представить в виде произведения ортогональных векторных элементов соответственно длины и сечения электрического контура и магнитопровода: dVe = dedfe и dVм = dмdfм. Тогда выражения (8) можно переписать в виде:

Nе = ∫∫E·(dD/dt)·de·dfe = ∫∫(E·de)·(dD/dt)·dfe ;                                          ( 9)

Nм = ∫∫H·(dB/dt)·dм·dfм = ∫∫(H·dм)·(dB/dt)·dfм.                                        (10)

Если принять, что E и H остаются неизменными по сечению соответственно проводника и магнитопровода по всей их длине e и м, т.е. не зависят от fe и fм , то выражение (E×de) и (H×dм) можно вынести за знак интеграла по dfe и dfм, переписав выражения (9) и (10) в терминах неравновесной термодинамики [2] следующим образом:

Nе = ∫ E·de ∫ (dD/dt)dfe = Xe Jeс ;                                            (11)

Nм = ∫ H·dм ∫ (dB/dt)dfм = Xм Jмс,                                           (12)

где Jeс = ∫(dD/dt)dfe,    Jмс = ∫(dB/dt)dfм - скалярные электрический и магнитный потоки смещения, называемые в электродинамике 'потоками сцепления' и традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечение соот­ветственно электричес­кого контура и магнитопровода [4]; Xe = ∫E·de, Xм = ∫ H·dм - модули так называемых электродвижущей и магнитодвижущей силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией соответственно векторов E и H вдоль замкнутых электрического и магнитного контуров [4].

Теперь уравнениям электромагнитного поля можно придать форму, принятую в термодинамике необратимых процессов [2]:

     Je = Lee Xe + LeмXм;                                                           (13)

      Jм = LмeXe + LммXм .                                                        (14)

Эти законы, называемые 'феноменологическими' (основанными на опыте), отражают идею взаимосвязи электрических и магнитных явлений, проявляющуюся в том, что каждый из потоков Jeс и Jмс зависит от обеих сил, действующих в данной системе. При этом диагональные члены Lee Xe и LммXм в этом выражении характеризуют явления электропроводности и 'магнитопроводности', которые возникают под действием одноименных сил; перекрестные же члены LeмXм и LмeXe характеризуют сопротивление потокам, связанное с преодолением 'чужеродных' сил. Эти силы и вызывают превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Таким образом, явления, происходящие в рассматриваемой системе, вполне адекватно описываются в терминах теории необратимых процессов. Это становится окончательно ясным после доказательства справедливости для рассматриваемой системы соотношений взаимности.

Поскольку Nе = - Nм, соотношениям (11) - (12) можно придать более простой вид:

        Je /Xм = - Jм /Xe .                                                         (15)

Сопоставляя это уравнение с феноменологическими законами (13) и (14), находим, что левая часть (15) определяет коэффициент Leм, а правая - коэффициент Lмe. Отсюда следуют соотношения взаимности (условия 'антисимметрии' Онсагера-Казимира [2]):

           Leм = - Lмe .                                                         (16)

Эти соотношения недвусмысленно указывают на то, что электричество и магнетизм - два независимых явления, взаимосвязь между которыми появляется только в динамике (с появлением потоков Jeс и Jмс). Что касается величины и размерность этих коэффициентов, то они зависят от выбранной системы единиц. В системе СИ Lem = - Lme = 1, и с учетом этого вместо (12) можно написать:

        Xe = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                    (17)

        Xм = ∫(dD/dt)dfe ,                                                      (18)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея, согласно которому ЭДС численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур (правило потока). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы Xe= ∫E·de от криволинейного интеграла по замкнутому электрическому контуру длиной e к интегралу ∫rot Е·dfм по сечению магнито­провода fм. Подобным же образом перейдем в выражении силы Xм= ∫ H·dм от криволинейного интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной м к интегралу ∫rot H·dfe по поверхности fе, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (17) и (18) имеем:

   ∫rot Е·dfм = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                   (19)

   ∫rot H·dfe = ∫(dD/dt)dfe ;                                                      (20)

или в дифференциальной форме:

      rot H = dD/dt,                                                                (21)

rot E = - dB/dt .                                                               (22)

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений Максвелла тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции. Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения энергодинамики (1) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания D и B. Характерно, что и сам Максвелл первона­чально записывал свои уравнения через полные производные от этих параметров. Однако этим уравнениям можно придать и более привычный вид, рекомендованный Хэвисайдом и Герцем, если в выражении полной производной электрической и магнитной индукции D = D(r,t) и В = В(r,t) по времени

dD/dt = (∂D/∂t)r + (vе·grad)D                                                 (23)

dВ/dt = (∂В/∂t)r + (vм·grad)В                                                 (24)

принять grad·D = ρе и (vе·grad)D = ρеvе = jе, где jе - ток проводимости,  и  dВ/dt = (∂В/∂t) ввиду отсутствия магнитного аналога этого тока.  Тогда уравнения (23), (24) принимает вид

rot E = - (∂B/∂t),                                                         (25)

rot H = jе + (∂D/∂t) .                                                    (26)

Однако, поступая так, мы исключаем из рассмотрения потоки смещения связанных зарядов ρе', ρе" и полюсов ρм', ρм", также входящих в полные производные D и B в соответствии с выражениями (4) и (5). С учетом потоков смещения связанных зарядов и полюсов выражения (23) и (24) принимают вид

dD/dt = (∂D/∂t)r + jе + jе' + jе" ,                                                (27)

rot H = jе + (∂D/∂t) .                                                    (26)

dВ/dt = (∂В/∂t)r + jм' + jм" ,                                                (28)

где jе' = ρе'vе', jе" = ρе"vе"; jм'= ρм'vм', jм"= ρм"vм". Потоки смещения связанных зарядов отнюдь не компенсируются, а, напротив, складываются ввиду того, что в процессе образования электрических диполей противоположны по знаку не только заряды, но и скорости их смещения vе' = - vе". Точно так же складываются и потоки разноименных полюсов, поскольку vм'= - vм". В результате возникают конвективные потоки смещения связанных зарядов jеk  = jе' + jе" и полюсов jмk = jм' + jм", и уравнения (25) и (26) принимают вид []:

rot E = jмс - (∂B/∂t),                                                         (29)

rot H = jе + jес + (∂D/∂t) .                                                    (30)

Видоизменяется и другая пара уравнений Максвелла []:

div D = ρе + ρе' + ρе"                                                                  (31)

div B = ρм' + ρм" ,                                                                  (32)

если только связанные заряды и магнитные массы полюсов взаимно не компенсируются, т.е. ρе' + ρе" ≠ 0 и ρм' + ρм" ≠ 0. Это происходит, например, когда заряды или полюса одного знака выдвигаются за границы системы и возникает так называемый 'поляризационный' заряд или его магнитный аналог.

Явный учет потоков смещения в уравнениях электромагнитного поля снимает ряд трудностей электродинамики, в частности, те из них, что связаны с известными исключениями из правила потока [] (Р. Фейнман и др., 1977). Действительно, согласно  (17) и (18) электро­движущая и магнитодвижущая силы возникают не только вследствие изменения векторов электрической и магнитной индукции D и B, но и наличия потоков энергоносителя (электрического и магнитного зарядов), независимо от того, чем эти потоки вызваны - перераспределением зарядов по системе или движением самой системы. Это объясняет, почему ЭДС возникает там, где 'поток' ∂B/∂t  не меняется, и не возникает там, где этот поток изменяется (см. примеры с потоком сквозь вращающийся диск и при повороте пластинок, приведенные Р.Фейнманом, 1977). Благодаря этому исключается отмеченная им необходимость использования различных законов силы для случая движущегося контура и меняющегося поля.

Учет в уравнениях поля потоков смещения в их общефизическом понимании легко объясняет факт появления электрической поляризации в движу­щемся магнетике в отсутствие внешнего поля H. Отличие от нуля производной dD/dt обусловлено в данном случае наличием конвективной составляющей тока смещения jек, связанной с движением электризованного тела. С этих позиций возникновение магнитного поля при движении поляризован­ного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета) также объясняются как следствие jек, не требуя привлечения релятивистских преобразований. В частности, становится ясным, что даже в однородно поляризованных телах при наличии 'конвективной' составляющей jеk  разнонаправ­ленные потоки смещения jе', jе'' и jм', jм'' становятся различными по величине. Это обстоятельство может иметь прямое отношение к явлению 'самодвижения' ферромагнетиков после начального толчка (эффект Сёрла), наблюдаемому многими исследователями.

Предложенный здесь термодинамический вывод уравнений электромаг­нит­ного поля опровергает расхожее мнение о том, что уравнения Максвелла не выводимы из каких-либо первичных принципов. Вместе с тем этот вывод обнажает ряд допущений, заложенных в их основание. Прежде всего, электродвижущая и магнитодвижущая силы определялись в (17) и (18) для замкнутых электрических и магнитных цепей. Следовательно, уравнения Максвелла не применимы к незамкнутым электрическим токам и элементам тока. Это подчеркивалось и самим Максвеллом. Во-вторых, исключались из рассмотрения неизбежные джоулевы потери, имеющие место в процессе не только электропроводности, но и переполяризации диэлектриков, а также перемагничивания магнитопровода. Далее, предполагалось, что потоки электрической и магнитной индукции в выражениях (12) и (13) однородны по сечению проводника и магнитопровода. Наконец, предполагалось, что баланс мощностей Nе = Nм  соблюдается для каждой локальной области рассматриваемой системы, поскольку в противном случае переход к дифференциальной форме (21) и (22) становится некорректным.

Предпринятый вывод уравнений Максвелла показывает, таким образом, что повсеместно применяемые уравнения Максвелла описывают процессы в электромагнитных системах отнюдь не исчерпывающим образом и не являются универсальными для всех их конструктивных разновидностей. Кроме того, они не свободны от внутренних противоречий, поскольку наличие тока проводимости не совместимо с допущением об обратимости рассматриваемого процесса преобразования энергии. Все это говорит о том, что в уравнениях Максвелла заключена отнюдь не вся электродинамика, которая, таким образом, делает целесообразным рассмотрение её с более общих позиций единой теории процессов переноса и преобразования любых форм энергии, каковой является энергодинамика  [1]. 

Литература

1.      Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. - М.: Гостехиздат, 1954, 688 с.

2.      Фейнман Р.П., Лейтон Р. Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.5.,  М.: Мир, 1977.

3.      Де Грот С.. Мазур П. Неравновесная термодинамика, М.: Мир, 1964.

4.      Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.8 : Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982.

5.      Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - С-Пб, 'Наука', 2008

6.      Поливанов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982.

7.  Эткин В.А. Термодинамический вывод уравнений Максвелла (http: (//sciteclibrary.ru /rus/catalog/pages/7628.html), 07.06. 2004

      

      


1) Более известных нам в представлении Герца - Хэвисайда


 Ваша оценка:

РЕКЛАМА: популярное на LitNet.com  
  Р.Цуканов "Серый кукловод. Часть 1" (Киберпанк) | | П.Працкевич "Код мира (4) – Новый мировой порядок" (Научная фантастика) | | В.Василенко "Дикие земли. Шарп" (Боевик) | | Р.Цуканов "Серый кукловод. Часть 2" (Антиутопия) | | А.Гришин "Вторая дорога. Выбор офицера." (Боевое фэнтези) | | П.Працкевич "Код мира (6) - Хеппи-энд не оплачен?" (Научная фантастика) | | Д.Деев "Я – другой" (ЛитРПГ) | | М.Эльденберт "Танцующая для дракона. Книга 3" (Любовное фэнтези) | | Н.Геярова "Твоя (чужая) ведьма" (Любовное фэнтези) | | Д.Гримм "Ареал X" (Антиутопия) | |

Хиты на ProdaMan.ru Счастье по рецепту. Наталья ( Zzika)Снежный тайфун. Александр МихайловскийИЗГНАННЫЕ. Сезон 1. Ульяна Соболева��Застрявшие во времени��. Анетта ПолитоваБукет счастья. Сезон 1. Коротаева ОльгаТайны уездного города Крачск. Сезон 1. Нефелим (Антонова Лидия)Слепой Страж (книга 3). Нидейла НэльтеЯ хочу тебя трогать. Виолетта РоманОтборные невесты для Властелина. Эрато НуарВ объятиях змея. Адика Олефир
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
И.Мартин "То,что делает меня" И.Шевченко "Осторожно,женское фэнтези!" С.Лысак "Характерник" Д.Смекалин "Лишний на Земле лишних" С.Давыдов "Один из Рода" В.Неклюдов "Дорогами миров" С.Бакшеев "Формула убийства" Т.Сотер "Птица в клетке" Б.Кригер "В бездне"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"