Эткин Валерий Абрамович: другие произведения.

О неполноте уравнений Максвелла (About incompleteness of Maxwell's equations).

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:

Peклaмa:


 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Показано, что уравнения Максвелла в их общепринятой форме не учитывают потоки смещения при возникновении электрических и магнитных диполей. Дано общефизическое определение таких потоков и предложены уравнения электромагнитного поля, учитывающие их

Введение. Очень часто приходится слышать, что в уравнениях электромагнитного поля Максвелла 'заключена вся электродинамика'. На этом основании из неё часто отбрасывается все то, что не вытекает из этих уравнений, в том числе существование продольных электромагнитных волн, возможность передачи электрической энергии по однопроводной линии, существование излучений неэлектромагнитной природы, возможность создания устройств, дающих за счет потребления их энергии 'избыточную' выходную мощность и т.п. Однако сами эти уравнения до сих пор считаются не выводимыми из каких-либо первичных принципов и лишь выражающих результаты известных на то время экспериментов в строгой математической форме. Поэтому представляет интерес показать, что в действительности уравнения Максвелла являются следствием энергодинамики [1], обобщающей термодинамику необратимых процессов [2] на процессы полезного преобразования энергии, и описывают довольно частный случай процессов взаимного преобразования электрической и магнитной энергии в замкнутых электрическом и магнитном контурах.

1. Специфика энергодинамики. Энергодинамика представляет собой метод исследования, основанный на приложении закона сохранения энергии к внутренним процессам преобразования любых форм энергии в пространственно неоднородных средах, содержащих всю интересующую исследователя совокупность взаимодействующих (взаимно движущихся) тел или их частей (вплоть до изолированных систем типа Вселенной).

С позиции этой теории пространственно неравновесная система отличается от однородной (внутренне равновесной) тем, что положение ri центра характеризующих её состояние экстенсивных параметров состояния Θi (массы, энтропии, чисел молей k-x веществ, свободного и связанного заряда и т.п.) смещается от его равновесного положения r= 0 на величину Δri, образуя некоторый 'момент распределения' Zi = ΘiΔri. Вследствие этого энергия системы Э становится зависящей не только от параметров Θi, но и от их положения в пространстве.  Эта часть энергии системы соответствует понятию внешней энергии. В поляризованных и намагниченных средах, где можно выделить положительные Θi' и отрицательные Θi" заряды (или северные и южные полюса), положение их центров ri' и ri" может быть найдено не зависимо друг от друга, так что упомянутые дополнительные параметры Zi приобретают особенно четкий физический смысл поляризационных моментов

Zi = Zi'+ Zi" = Θi'ri'+ Θi"ri" = Θi"Δri,                                           (1)

плечо которых определяется в среднем 'вектором смещения' Δri = ri"- ri'. Примерами таких параметров для системы единичного объема являются векторы электрической D и магнитной B индукции.

Благодаря существованию дополнительных параметров Δri  выражение полного дифференциала энергии системы в целом Э = Эi, Δri)  принимает вид:

dЭ = Σiψi dΘi - Σi Xi·dZi,                                                            (2)

где ψi = (∂Э/∂Θi) - обобщенные потенциалы типа абсолютного давления, температуры, энтальпии, химических потенциалов к-х веществ и т.п.; Xi = - (∂Э/Zi) - обобщенные силы в их энергетическом представлении. Первая сумма этого выражения характеризует изменение внутренней U энергии такой системы в результате теплообмена, массообмена, диффузии k-x веществ через границы системы, её электризации и т.п. Вторая сумма (2) характеризует внешнюю полезную работу đWе, совершаемую такой системой вследствие неравновесности этих процессов. Её можно представить и в более привычном виде đWе = - ΣiFi·dri, используя понятие силы Fi = - (∂Э/ri) = ΘiXi в её обычном (ньютоновском) понимании.

     Введение недостающих параметров пространственной неоднородности Zi и Xi  рассматриваемых систем позволяет отказаться от концепции равновесия в условиях протекания реальных (нестатических) процессов, лежащей в основе классической термодинамики (термостатики). Это облегчает введение в термодинамику общефизического понятия потока Ji = dZi/dt = Θivi, где vi = dri/dt - скорость переноса 'энергоносителя' Θi [1].

2. Термодинамический вывод уравнений Максвелла. Приложим теперь основное уравнение энергодинамики (2) к анализу неравновесной системы, обладающей в статике электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Эv единицы объема такой системы является, как известно, функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности внешних полей E и H. Если исключить из рассмотрения процессы объемной деформации такой системы, её массообмена с окружающей средой, диффузии в систему каких-либо веществ, ввода в неё электрического заряда и т.д., выражение (1) для неё  принимает вид [3]:

     v = ТdS - E·dD - H·dB .                                              (3)

Члены правой части этого выражения характеризуют соответственно элементарную работу поляризации đWеv = E·dD и намагничивания đWмv = H·dB данного тела. При этом нетрудно заметить, что параметры D и B в этом выражении имеют смысл алгебраической суммы моментов распределения в системе единичного объема V плотности свободных ρе и связанных зарядов ρе', ρе" , а также так называемых 'магнитных масс полюсов' ρм', ρм" [4]. Действительно, поскольку в условиях электронейтральности ρе" = - ρе' и ρм"= - ρм', то

D = ZеV + Z'еV + Z"еV = ρе'rе'+ ρе"rе" = ρе"Δrе ,                                    (4)

   B = Z'мV + Z"мV = ρм'rм'+ ρм"rм" = ρм"Δrм ,                                       (5)

где Δrе = rе"- rе'; Δrм = rм"- rм' - плечо соответственно электрического и магнитного диполя.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

      Nе = E·dD/dt; Nм = H·dB/dt.                                            (6)

Если такие процессы протекают обратимо, энергия системы Эv и ее энтропия S остаются неизменными. При этом имеет место очевидный баланс мощностей Nе = - Nм. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

     E·(dD/dt) = - H·(dB/dt).                                                   (7)

Этим простым соотношениям можно придать вид уравнений Макс­велла для вещества1). Для этого рас­смот­рим систему, состоящую из замкнутого электрического контура произвольной длины e и переменного (в общем случае) сечения fe, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной м и переменным по длине сечением fм. Примером такой системы является трансформатор. Учитывая непостоянство fe и fм, в соотношении (7) следует перейти к интегральной форме:

Nе = ∫ E·(dD/dt)dVe; Nм = ∫ H·(dB/dt)dVм ,                                   (8)

Элементы объема dVe и dVм, занятого диэлектриком и магнетиком, можно представить в виде произведения ортогональных векторных элементов соответственно длины и сечения электрического контура и магнитопровода: dVe = dedfe и dVм = dмdfм. Тогда выражения (8) можно переписать в виде:

Nе = ∫∫E·(dD/dt)·de·dfe = ∫∫(E·de)·(dD/dt)·dfe ;                                          ( 9)

Nм = ∫∫H·(dB/dt)·dм·dfм = ∫∫(H·dм)·(dB/dt)·dfм.                                        (10)

Если принять, что E и H остаются неизменными по сечению соответственно проводника и магнитопровода по всей их длине e и м, т.е. не зависят от fe и fм , то выражение (E×de) и (H×dм) можно вынести за знак интеграла по dfe и dfм, переписав выражения (9) и (10) в терминах неравновесной термодинамики [2] следующим образом:

Nе = ∫ E·de ∫ (dD/dt)dfe = Xe Jeс ;                                            (11)

Nм = ∫ H·dм ∫ (dB/dt)dfм = Xм Jмс,                                           (12)

где Jeс = ∫(dD/dt)dfe,    Jмс = ∫(dB/dt)dfм - скалярные электрический и магнитный потоки смещения, называемые в электродинамике 'потоками сцепления' и традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечение соот­ветственно электричес­кого контура и магнитопровода [4]; Xe = ∫E·de, Xм = ∫ H·dм - модули так называемых электродвижущей и магнитодвижущей силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией соответственно векторов E и H вдоль замкнутых электрического и магнитного контуров [4].

Теперь уравнениям электромагнитного поля можно придать форму, принятую в термодинамике необратимых процессов [2]:

     Je = Lee Xe + LeмXм;                                                           (13)

      Jм = LмeXe + LммXм .                                                        (14)

Эти законы, называемые 'феноменологическими' (основанными на опыте), отражают идею взаимосвязи электрических и магнитных явлений, проявляющуюся в том, что каждый из потоков Jeс и Jмс зависит от обеих сил, действующих в данной системе. При этом диагональные члены Lee Xe и LммXм в этом выражении характеризуют явления электропроводности и 'магнитопроводности', которые возникают под действием одноименных сил; перекрестные же члены LeмXм и LмeXe характеризуют сопротивление потокам, связанное с преодолением 'чужеродных' сил. Эти силы и вызывают превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Таким образом, явления, происходящие в рассматриваемой системе, вполне адекватно описываются в терминах теории необратимых процессов. Это становится окончательно ясным после доказательства справедливости для рассматриваемой системы соотношений взаимности.

Поскольку Nе = - Nм, соотношениям (11) - (12) можно придать более простой вид:

        Je /Xм = - Jм /Xe .                                                         (15)

Сопоставляя это уравнение с феноменологическими законами (13) и (14), находим, что левая часть (15) определяет коэффициент Leм, а правая - коэффициент Lмe. Отсюда следуют соотношения взаимности (условия 'антисимметрии' Онсагера-Казимира [2]):

           Leм = - Lмe .                                                         (16)

Эти соотношения недвусмысленно указывают на то, что электричество и магнетизм - два независимых явления, взаимосвязь между которыми появляется только в динамике (с появлением потоков Jeс и Jмс). Что касается величины и размерность этих коэффициентов, то они зависят от выбранной системы единиц. В системе СИ Lem = - Lme = 1, и с учетом этого вместо (12) можно написать:

        Xe = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                    (17)

        Xм = ∫(dD/dt)dfe ,                                                      (18)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея, согласно которому ЭДС численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур (правило потока). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы Xe= ∫E·de от криволинейного интеграла по замкнутому электрическому контуру длиной e к интегралу ∫rot Е·dfм по сечению магнито­провода fм. Подобным же образом перейдем в выражении силы Xм= ∫ H·dм от криволинейного интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной м к интегралу ∫rot H·dfe по поверхности fе, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (17) и (18) имеем:

   ∫rot Е·dfм = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                   (19)

   ∫rot H·dfe = ∫(dD/dt)dfe ;                                                      (20)

или в дифференциальной форме:

      rot H = dD/dt,                                                                (21)

rot E = - dB/dt .                                                               (22)

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений Максвелла тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции. Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения энергодинамики (1) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания D и B. Характерно, что и сам Максвелл первона­чально записывал свои уравнения через полные производные от этих параметров. Однако этим уравнениям можно придать и более привычный вид, рекомендованный Хэвисайдом и Герцем, если в выражении полной производной электрической и магнитной индукции D = D(r,t) и В = В(r,t) по времени

dD/dt = (∂D/∂t)r + (vе·grad)D                                                 (23)

dВ/dt = (∂В/∂t)r + (vм·grad)В                                                 (24)

принять grad·D = ρе и (vе·grad)D = ρеvе = jе, где jе - ток проводимости,  и  dВ/dt = (∂В/∂t) ввиду отсутствия магнитного аналога этого тока.  Тогда уравнения (23), (24) принимает вид

rot E = - (∂B/∂t),                                                         (25)

rot H = jе + (∂D/∂t) .                                                    (26)

Однако, поступая так, мы исключаем из рассмотрения потоки смещения связанных зарядов ρе', ρе" и полюсов ρм', ρм", также входящих в полные производные D и B в соответствии с выражениями (4) и (5). С учетом потоков смещения связанных зарядов и полюсов выражения (23) и (24) принимают вид

dD/dt = (∂D/∂t)r + jе + jе' + jе" ,                                                (27)

rot H = jе + (∂D/∂t) .                                                    (26)

dВ/dt = (∂В/∂t)r + jм' + jм" ,                                                (28)

где jе' = ρе'vе', jе" = ρе"vе"; jм'= ρм'vм', jм"= ρм"vм". Потоки смещения связанных зарядов отнюдь не компенсируются, а, напротив, складываются ввиду того, что в процессе образования электрических диполей противоположны по знаку не только заряды, но и скорости их смещения vе' = - vе". Точно так же складываются и потоки разноименных полюсов, поскольку vм'= - vм". В результате возникают конвективные потоки смещения связанных зарядов jеk  = jе' + jе" и полюсов jмk = jм' + jм", и уравнения (25) и (26) принимают вид []:

rot E = jмс - (∂B/∂t),                                                         (29)

rot H = jе + jес + (∂D/∂t) .                                                    (30)

Видоизменяется и другая пара уравнений Максвелла []:

div D = ρе + ρе' + ρе"                                                                  (31)

div B = ρм' + ρм" ,                                                                  (32)

если только связанные заряды и магнитные массы полюсов взаимно не компенсируются, т.е. ρе' + ρе" ≠ 0 и ρм' + ρм" ≠ 0. Это происходит, например, когда заряды или полюса одного знака выдвигаются за границы системы и возникает так называемый 'поляризационный' заряд или его магнитный аналог.

Явный учет потоков смещения в уравнениях электромагнитного поля снимает ряд трудностей электродинамики, в частности, те из них, что связаны с известными исключениями из правила потока [] (Р. Фейнман и др., 1977). Действительно, согласно  (17) и (18) электро­движущая и магнитодвижущая силы возникают не только вследствие изменения векторов электрической и магнитной индукции D и B, но и наличия потоков энергоносителя (электрического и магнитного зарядов), независимо от того, чем эти потоки вызваны - перераспределением зарядов по системе или движением самой системы. Это объясняет, почему ЭДС возникает там, где 'поток' ∂B/∂t  не меняется, и не возникает там, где этот поток изменяется (см. примеры с потоком сквозь вращающийся диск и при повороте пластинок, приведенные Р.Фейнманом, 1977). Благодаря этому исключается отмеченная им необходимость использования различных законов силы для случая движущегося контура и меняющегося поля.

Учет в уравнениях поля потоков смещения в их общефизическом понимании легко объясняет факт появления электрической поляризации в движу­щемся магнетике в отсутствие внешнего поля H. Отличие от нуля производной dD/dt обусловлено в данном случае наличием конвективной составляющей тока смещения jек, связанной с движением электризованного тела. С этих позиций возникновение магнитного поля при движении поляризован­ного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета) также объясняются как следствие jек, не требуя привлечения релятивистских преобразований. В частности, становится ясным, что даже в однородно поляризованных телах при наличии 'конвективной' составляющей jеk  разнонаправ­ленные потоки смещения jе', jе'' и jм', jм'' становятся различными по величине. Это обстоятельство может иметь прямое отношение к явлению 'самодвижения' ферромагнетиков после начального толчка (эффект Сёрла), наблюдаемому многими исследователями.

Предложенный здесь термодинамический вывод уравнений электромаг­нит­ного поля опровергает расхожее мнение о том, что уравнения Максвелла не выводимы из каких-либо первичных принципов. Вместе с тем этот вывод обнажает ряд допущений, заложенных в их основание. Прежде всего, электродвижущая и магнитодвижущая силы определялись в (17) и (18) для замкнутых электрических и магнитных цепей. Следовательно, уравнения Максвелла не применимы к незамкнутым электрическим токам и элементам тока. Это подчеркивалось и самим Максвеллом. Во-вторых, исключались из рассмотрения неизбежные джоулевы потери, имеющие место в процессе не только электропроводности, но и переполяризации диэлектриков, а также перемагничивания магнитопровода. Далее, предполагалось, что потоки электрической и магнитной индукции в выражениях (12) и (13) однородны по сечению проводника и магнитопровода. Наконец, предполагалось, что баланс мощностей Nе = Nм  соблюдается для каждой локальной области рассматриваемой системы, поскольку в противном случае переход к дифференциальной форме (21) и (22) становится некорректным.

Предпринятый вывод уравнений Максвелла показывает, таким образом, что повсеместно применяемые уравнения Максвелла описывают процессы в электромагнитных системах отнюдь не исчерпывающим образом и не являются универсальными для всех их конструктивных разновидностей. Кроме того, они не свободны от внутренних противоречий, поскольку наличие тока проводимости не совместимо с допущением об обратимости рассматриваемого процесса преобразования энергии. Все это говорит о том, что в уравнениях Максвелла заключена отнюдь не вся электродинамика, которая, таким образом, делает целесообразным рассмотрение её с более общих позиций единой теории процессов переноса и преобразования любых форм энергии, каковой является энергодинамика  [1]. 

Литература

1.      Максвелл Дж.К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. - М.: Гостехиздат, 1954, 688 с.

2.      Фейнман Р.П., Лейтон Р. Б., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.5.,  М.: Мир, 1977.

3.      Де Грот С.. Мазур П. Неравновесная термодинамика, М.: Мир, 1964.

4.      Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т.8 : Электродинамика сплошных сред, М.: Наука, 1982.

5.      Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). - С-Пб, 'Наука', 2008

6.      Поливанов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982.

7.  Эткин В.А. Термодинамический вывод уравнений Максвелла (http: (//sciteclibrary.ru /rus/catalog/pages/7628.html), 07.06. 2004

      

      


1) Более известных нам в представлении Герца - Хэвисайда


 Ваша оценка:

РЕКЛАМА: популярное на Lit-Era.com  
  Н.Геярова "Шестая жена" (Попаданцы в другие миры) | | А.Эванс "Право обреченной 2. Подари жизнь" (Любовное фэнтези) | | С.Шавлюк "Песня волка" (Попаданцы в другие миры) | | И.Зимина "Айтлин. Лабиринты судьбы" (Молодежная мистика) | | Д.Сойфер "Секрет фермы" (Женский роман) | | Т.Мирная "Чёрная смородина" (Фэнтези) | | Лаэндэл "Заханд. Финал" (Боевое фэнтези) | | К.Амарант "Будь моей игрушкой" (Любовное фэнтези) | | Д.Вознесенская "Таралиэль. Адвокат Его Темнейшества" (Любовное фэнтези) | | О.Обская "Невеста на неделю, или Моя навеки" (Попаданцы в другие миры) | |
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Э.Бланк "Атрион. Влюблен и опасен" Е.Шепельский "Пропаданец" Е.Сафонова "Риджийский гамбит. Интегрировать свет" В.Карелова "Академия Истины" С.Бакшеев "Композитор" А.Медведева "Как не везет попаданкам!" Н.Сапункова "Невеста без места" И.Котова "Королевская кровь. Медвежье солнце"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"