Эткин В. А.: другие произведения.

Описывает ли вектор Пойнтинга поток электромагнитной энергии?

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:

Конкурсы: Киберпанк Попаданцы. 10000р участнику!

Конкурсы романов на Author.Today
Женские Истории на ПродаМан
Рeклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    На основе предложенного термодинамического вывода уравнений Максвелла показано, что вектор Пойнтинга представляет собой в действительности сумму встречных потоков электрической и магнитной энергии и потому в принципе не может описывать некоей единой сущности, именуемой электромагнитным полем

Введение. Известно, что понятие потока энергии Jε через границы системы впервые ввел Н. Умов в 1873 г. Этот поток определялся интегралом по поверхности системы от 'вектора Умова' - плотности потока внутренней энергии jε, переносимой телом при наличии в нем механического напряжения. Спустя 10 лет (1884 г.) аналогичное выражение было предложено Пойнтингом для потока электромагнитной энергии, понятие о которой как о единой сущности было введено Дж.К. Максвеллом в 1864 г. До него электрическая и магнитная энергия рассматривались как её независимые формы, что подтверждалось в электростатике экспериментально. Однако опыты М. Фарадея по изучению явления электромагнитной индукции еще в 1831 показали, что напряженности электрического и магнитного 'полей' Е и Н изменяются синфазно. Это послужило Максвеллу, также придерживающемуся концепции поля, основанием для представления об электромагнитном поле (ЭМП) как о некоей субстанции, подобной эфиру. Оно нашло отражение и в уравнениях Максвелла для ЭМП, обобщивших в математической форме известные на то время эксперименты с магнитами, индуктивностями и токами [1]. Введение 'вектора Пойнтинга' закрепило такое представление, несмотря на то, что эксперименты не обнаружили не только наличия у эфира электрических и магнитных свойств, но и самого эфира. С тех пор определение электромагнитного поля как разновидности материи (наряду с веществом) вошло во все физические энциклопедии.

Поскольку уравнения Максвелла до сих пор считались не выводимыми из каких-либо первичных принципов, у исследователей не было возможности проследить за ходом рассуждений, приведших к выводу о том, что электричество и магнетизм не просто взаимосвязаны в динамике, но и проявляют себя в ней как единая сущность. Лишь с появлением такого вывода [2] становятся понятными причины, породившие представление об их неразделимости.

1. Термодинамический вывод уравнений Максвелла. Этот вывод основывается на полном соответствии представлений Фарадея и Максвелла о 'потоках сцепления', выражаемых через воображаемые силовые линии, и представлением о потоках в современной термодинамике необратимых процессов [3], обобщенной на системы, совершающие полезную работу [4]. С позиции этой теории пространственно неоднородная система отличается от однородной тем, что положение ri центра характеризующих её состояние экстенсивных параметров состояния Θi (объема, энтропии, массы, чисел молей к-х веществ, свободного и связанного заряда, компонент импульса системы и её момента) смещается от его равновесного значения r на величину Δri, образуя некоторый 'момент распределения' Zi = ΘiΔri. В поляризованных и намагниченных средах, где можно выделить положительные Θi' и отрицательные Θi" заряды (или северные и южные полюса), определив положение их центров ri' и ri" независимым образом, эти моменты приобретают особенно четкий физический смысл поляризационых моментов Zi = Θi'ri'+ Θi"ri" = Θiri с плечом Δri = ri"- ri'. Примерами таких параметров являются векторы электрической D и магнитной B индукции.

Благодаря существованию моментов распределения Zi энергия системы Э становится зависящей не только от параметров Θi, но и от их положения в пространстве Э = Эi,ri). При этом выражение полного дифференциала энергии принимает вид:

dЭ = Σiψi dΘi - Σi Xi·dZi,                                                            (1)

где ψi = (∂Э/∂Θi) - обобщенные потенциалы типа абсолютного давления, температуры, энтальпии, химических потенциалов к-х веществ и т.п.; Xi = - (∂Э/Zi) - обобщенные силы в их энергетическом представлении. Первая и вторая суммы этого выражения характеризуют изменение соответственно внутренней U и внешней E энергии. Внешнюю работу đWе, выражаемую 2-й суммой (1), удобно представить в более привычном виде đWе = -ΣiFi·dri, используя понятие силы Fi = - (∂Э/ri) = ΘiXi в её обычном (ньютоновском) понимании. Это облегчает введение понятия потока смещения Jiс = dZi/dt = Θivi как потока, обусловленного переносом 'энергоносителя' Θi внутри системы со скоростью vi = dri/dt.

Приложим теперь основное уравнение энергодинамики (1) к анализу системы, обладающей в статике электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Эv единицы объема такой системы является функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности внешних полей E и H. Если исключить из рассмотрения процессы объемной деформации такой системы, её массообмена с окружающей средой, диффузии в систему каких-либо веществ, ускорения системы и т.п., выражение (1) для неё  принимает вид [3]:

     v = ТdS - E·dD - H·dB .                                              (2)

Члены правой части этого выражения характеризуют соответственно элементарную работу

поляризации đWеv = E·dD и намагничивания đWмv = H·dB данного тела. При этом нетрудно

, что параметры D и B в этом выражении имеют смысл алгебраической суммы моментов распределения в системе единичного объема V  соответственно  плотности связанных зарядов ρе', ρе" и так называемых 'магнитных масс полюсов' ρм', ρм" [4]. Действительно, поскольку в условиях баланса ρе" = - ρе' и ρм"= - ρм', то

D = Z'еV + Z"еV = ρе'rе'+ ρе"rе" = ρе"Δrе ,                                    (3)

   B = Z'мV + Z"мV = ρм'rм'+ ρм"rм" = ρм"Δrм ,                                 (4)

где Δrе = rе"- rе'; Δrм = rм"- rм' - плечо соответственно электрического и магнитного диполя.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

      Nе = E·dD/dt; Nм = H·dB/dt.                                            (5)

Если такие процессы протекают обратимо, энергия системы Эv и ее энтропия S остаются неизменными. При этом имеет место очевидный баланс мощностей Nе = - Nм, свидетельствующий о том, что работа и мощность процессов  поляризации и намагничивания имеют противоположный знак. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

     E·(dD/dt) = - H·(dB/dt).                                                   (6)

Этим простым соотношениям можно придать вид уравнений Макс­велла для вещества1). Для этого рас­смот­рим достаточно общий случай системы, состоящей из замкнутого электрического контура произвольной длины e и переменного (в общем случае) сечения fe, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной m и переменным по длине сечением fm. Учитывая их непостоянство, в соотношении (4) следует перейти к интегральной форме:

Nе = ∫ E·(dD/dt)dVe; Nм = ∫ H·(dB/dt)dVм ,                                   (7)

Элементы объема можно представить в виде dVe = dedfe и dVм = dмdfм, где de, dм и dfe, dfм - ортогональные векторные элементы соответственно длины и сечения электрического контура и магнитопровода. Тогда выражения (5) можно переписать в виде:

Nе = ∫∫E·(dD/dt)·de·dfe = ∫∫(E·de)(dD/dt)·dfe ;                                          (8)

Nм = ∫∫H·(dB/dt)·dм·dfм = ∫∫(H·dм)·(dB/dt)·dfм.                                        (9)

Если принять, что E и H остаются неизменными по сечению соответственно проводника и магнитопровода по всей их длине e и м, т.е. не зависят от fe и fм , то выражение (E·de) и

 (H·dм) можно вынести за знак интеграла по dfe и dfм, переписав эти выражения в

терминах  неравновесной термодинамики [4] следующим образом:

  Nе = ∫ E·de ∫ (dD/dt)dfe = Xe Je ;                                            (10)

  Nм = ∫ H·dм ∫ (dB/dt)dfм = Xм Jм,                                           (11)

где Jeс = ∫(dD/dt)dfe,    Jмс = ∫(dB/dt)dfм - скалярные электрический и магнитный потоки

смещения, называемые в электродинамике 'потоками сцепления' и традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечение соот­ветственно электричес­кого контура и магнитопровода [5]; Xe = ∫E·de, Xм = ∫ H·dм - модули так называемых

электродвижущей и магнитодвижущей силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией соответственно векторов E и H вдоль замкнутых электрического и магнитного контуров.

Теперь уравнениям электромагнитного поля можно придать форму, принятую в термодинамике необратимых процессов [5]:

    Jeс = Lee Xe + LXм;                                                           (12)

     Jмс = LмeXe + LммXм .                                                        (13)

Эти законы отражают идею взаимосвязи электрических и магнитных явлений, проявляющуюся в том, что каждый из потоков Jeс и Jмс зависит от всех сил, действующих в данной системе. При этом диагональные члены Lee Xe и LммXм в этом выражении характеризуют явления электропроводности и 'магнитопроводности', возникающие под действием одноименных сил; перекрестные же члены LXм и LмeXe характеризуют сопротивление, связанное с преодолеваемыми 'чужеродными' силами, вызывающими превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Поскольку Nе = - Nм, соотношениям (10)-(11) можно придать более простой вид:

       Jeс /Xм = - Jмс /Xe .                                                         (14)

Сопоставляя это уравнение с феноменологическими законами (12) и (13), находим, что левая часть (14) определяет коэффициент L, а правая - коэффициент Lмe. Отсюда следуют условия антисимметрии Онсагера-Казимира [4]:

           L= - Lмe .                                                         (15)

Эти соотношения недвусмысленно указывают на то, что электричество и магнетизм - два независимых явления, взаимосвязь между которыми появляется только в динамике (при наличии потоков Jeс и Jмс). Что касается величины и размерности этих коэффициентов, то они зависят от выбранной системы единиц. В системе СИ Lem = - Lme = 1, и с учетом этого вместо (12) можно написать:

        Xe = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                    (16)

        Xм = ∫(dD/dt)dfe ,                                                      (17)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея, согласно которому ЭДС численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур (правило потока). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы Xe= ∫E·de от криволинейного интеграла по замкнутому

электрическому контуру длиной e к интегралу ∫rot Е·dfм по сечению магнито­провода fм.

Подобным же образом перейдем в выражении силы Xм= ∫ H·dм от криволинейного

интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной м к интегралу ∫rot H·dfe по поверхности fе, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (16) и (17) имеем:

   ∫rot Е·dfм = - ∫(dB/dt)dfм ,                                                   (18)

   ∫rot H·dfe = ∫(dD/dt)dfe ;                                                      (19)

или в дифференциальной форме:

      rot H = dD/dt,                                                                (20)

rot E = - dB/dt .                                                               (21)

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений Максвелла лишь тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции. Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения энергодинамики (1) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания D и B. Характерно, что и сам Максвелл первона­чально определял ЭДС также через полную производную dФ/dt от магнитного потока Ф [4].

Выражению (20) можно придать более привычный вид, если в выражении полной производной электрической индукции D = D(r,t) по времени

dD/dt = (∂D/∂t)r + (vе·grad)D                                                 (22)

принять, как это обычно делается, div·D = ρе. Тогда второй член (22) представляет собой

плотность тока проводимости jе = ρеvе ,  и уравнение (21) принимает вид

rot H = jе + (∂D/∂t) .                                                    (23)

     Аналогичный (22) вид имеет полная производная по времени от вектора магнитной индукции

dВ/dt = (∂В/∂t)r + (vе·grad)В                                                 (24)

       Поскольку для магнитных явлений аналога тока проводимости не существует, то обычно принимают dВ/dt = (∂В/∂t)r , что приводит к привычному виду уравнения (21):

       rot E = - (∂B/∂t),                                                         (25)

                                                   

Что же касается другой пары уравнений Максвелла:

       div D = ρе ,                                                                 (22)

       div B = 0 ,                                                                  (23)

то первое из них является непосредственным следствием закона Гаусса, записанного в дифференциальной форме, а соотношение же (23) просто констатирует факт отсутствия магнитных 'монополей', аналогичных электрическому заряду ρе.

Предложенный здесь термодинамический вывод уравнений Максвелла недвусмысленно указывает на то, что они отражают процесс преобразования в замкнутых цепях электрической энергии в магнитную (и наоборот). При этом они исходят из равенства мощностей этих процессов, т.е. из противоположной направленности работы поляризации đWеv = E·dD и

намагничивания đWмv = H·dB данного тела (đWеv = - đWмv). Это обстоятельство следует иметь

в виду, осуществляя формальные математические преобразования уравнений Максвелла.

 2. Вектор Пойнтинга как разность потоков электрической и магнитной энергии. Опираясь на уравнения Максвелла, легко получить  выражение вектора Пойнтинга. Учитывая, что в соответствии (17) и (18) dB/dt = - rot E, dD/dt = rot H, вместо (1) для системы единичного объема имеем:

v/dt = E·rotH - H·rotE = - div (E×H) = - div П.                          (24)

Отсюда и следует известное выражение

         П E×H ,                                                               (25)

согласно которому вектор Пойнтинга П представляет собой внешнее произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей и ориентирован по нормали к ним в направлении распространения электромагнитной энергии. Это обстоятельство закрепило представления Максвелла о потоке электромагнитной энергии как некотором подобии потока некоторой жидкости.

Между тем, как теперь становится ясным, для потоков электрической и магнитной энергии  существуют и могут быть найдены независимые выражения, которые свидетельствуют о различии физической природы их носителей. В основе этого лежит данное выше обобщение понятия потока смещения на процессы поляризации и намагничивания. Главным при этом является то, что смысл производным от векторов D и B по времени как потокам придает исключительно наличие в полных производных их по времени (22) и (24) конвективных составляющих (vе·grad)D и (vе·grad)В, выраженных в полном соответствии с понятием потока смещения Jiс = dZi/dt = Θivi  через скорость переноса энергоносителя vе. До введения этого понятия, получившего 'прописку' и междисциплинарный статус лишь в энергодинамике [2], это понятие подергалось постоянной обоснованной критике. Действительно, мало кто понимал, что Максвелл, оперировавший именно полными производными dD/dt и dB/dt, имел в виду именно эту составляющую, которая проявляют себя так же, как и обычные потоки, т.е. представляет собой направленный перенос энергоносителя. Этот смысл был полностью утрачен, когда вместо полных производных с 'легкой руки' Хэвисайда и Герца стали записывать частные производные (∂Е/∂t) и (∂B/∂t), не имеющие ничего общего с понятием потока как чего-то перемещающегося в пространстве. Обвинения в адрес  понятия тока смещения усилилось, когда уравнения Максвелла, имеющие смысл только для вещества [6], стали применять к электромагнитному полю. Особое неприятие вызывало утверждение о наличии 'тока смещения' в вакууме, где какие-либо заряды в принципе отсутствуют. В действительности же, как следует из приведенной выше трактовки понятия тока смещения, он возникает не в вакууме, а в диэлектрике вследствие перераспределения в нем  связанных зарядов ρе' и ρе". В замкнутой электрической цепи, содержащей конденсатор с вакуумным промежутком, перераспределение зарядов происходит, естественно, в проводнике. Однако его результат - накопление избыточного заряда на одной из обкладок конденсатора - воспринимается как результат смещения центра величины заряда в занятом им объеме. Таким образом, отличие потоков смещения от тока проводимости и ему подобных потоков  заключается лишь в том, что они не пересекают границы системы, т.е. являются внутренними, и сопровождаются возрастанием перепадов потенциала на концах линии. В остальном же они проявляют себя так же, как и обычные потоки, т.е. представляют собой результат направленного переноса энергоносителя.

Возникновение потоков электрического и магнитного смещения Jeс = ∫(dD/dt)dfe и   Jмс = ∫(dB/dt)dfм с плотностью jес = dD/dt и jмс = dB/dt обусловлено релаксацией системы или совершением над ней внешней работы против равновесия. Эти потоки могут быть найдены раздельно по величине работы đWеv = E·dD, đWмv = H·dB и мощности Nе, Nм процессов поляризации и намагничивания, совершаемую электрическими и магнитными полями:

Nе = E·jес = E·dD/dt;   Nм = H·jмс = H·dB/dt.                               (26)

Противоположный знак Nе и Nм в процессе взаимопревращения электрической и магнитной энергии, ещё раз подчеркивает, что потоки jес и jмс  направлены встречно и никоим образом не могут отражать какую-либо 'единую' сущность. Становится ясным, что и в динамике электрическое и магнитное поля представляют собой две самостоятельные, хотя и взаимосвязанные сущности. Кроме того, различие знаков jес и jмс означает, что вектор Пойнтинга отражает в действительности не сумму, а разность абсолютных значений потоков электрической и магнитной энергии. При этом в условиях v/dt = 0 поток электрической энергии, входящей в систему, равен потоку магнитной энергии, выходящей из нее. Следовательно, при равенстве мощностей Nе и Nм (т.е. в отсутствие потерь) div П = 0, т.е. так называемая 'электромагнитная энергия' системой не потребляется, хотя энергообмен её с внешним полем сохраняется.  Постоянство алгебраической суммы составляющих электромагнитной энергии в этом случае объясняется их взаимным превращением в отсутствие диссипации. Имея это в виду, в таких случаях говорят о равенстве нулю 'нормальной составляющей вектора Пойнтинга', как будто он может 'скользить по поверхности проводника'. В случае же диссипации части электромагнитной энергии (её превращения в тепло диссипации) поток вектора Пойнтинга становится отличным от нуля и равным величине этих потерь Nд = Nе - Nм. Тогда и появляется 'нормальная составляющя вектора Пойнтинга', как будто электромагнитная энергия стала поступать в проводник. В действительности же один из потоков этой энергии уменьшился на величину этих потерь Nд, и появилась разница их абсолютных значений.

В еще более общем случае, когда преобразование энергии в системе сопровождается превращением части упорядоченной энергии во внутреннюю потенциальную (механическую) энергию ее упругой деформации, в правую часть закона сохранения энергии (24) наряду с работой диссипативного характера đWд добавляется механическая работа đWмех, и тогда это уравнение принимает вид:

v /dt = Nе + Nм +Nмех +Nд = - div П - div ju + Nд .                       (27)

В таком случае говорят о 'преобразовании вектора Пойнтинга в вектор Умова' [5]. Однако в действительности никакого потока через границы системы механической энергии в этом случае не наблюдается - тепловая и механическая энергия выделяется в самой системе. Таким образом, использование вектора Пойнтинга лишь затуманивает физическую картину происходящего. Он не отражает ни количественно, ни качественно процесс взаимного преобразования электрической и магнитной энергии и потому должен быть отправлен в анналы истории как бесполезный инструмент научного анализа.

Литература

  1. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества.-Москва-Ижевск, 2001.
  2. Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования эергии).- СПб.: 'Наука', 2008. 409 с.
  3. Базаров И.П. Термодинамика. Изд. 4-е. М.: Высшая школа, 1991
  4. Поли­ванов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: 'Энергоиздат', 1982.
  5. Хаазе Р.Термодинамика необратимых процессов.- М.: 'Мир'. 1967.
  6. Эткин В.А.  Описывают ли уравнения Максвелла электромагнитное поле?         http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12201.html. 2.09.2012.

1) Более известных нам в представлении Герца - Хэвисайда


 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com С.Юлия "Иллюзия жизни или последняя надежда Альдазара"(Научная фантастика) В.Василенко "Стальные псы 4: Белый тигр"(ЛитРПГ) О.Герр "Заклинатель "(Любовное фэнтези) В.Казначеев "Искин. Игрушка"(Киберпанк) А.Емельянов "Последняя петля 2"(ЛитРПГ) Н.Жарова "Выжить в Антарктиде"(Научная фантастика) А.Лоев "Игра на Земле. Книга 3."(Научная фантастика) В.Соколов "Мажор 3: Милосердие спецназа"(Боевик) О.Гринберга "Драконий выбор"(Любовное фэнтези) Н.Видина "Чёрный рейдер"(Постапокалипсис)
Хиты на ProdaMan.ru Шторм моей любви. Елена РейнОтдам мужа, приданое гарантирую. K A AКнига 2. Берегитесь, адептка Тайлэ! Темная КатеринаПодари мне чешуйку. Гаврилова АннаСлепой Страж (книга 3). Нидейла НэльтеТайны уездного города Крачск. Сезон 1. Нефелим (Антонова Лидия)Освободительный поход. Александр МихайловскийНевеста двух господ. Дарья ВеснаСколько ты стоишь? Эви ЭросЛили. Сезон первый. Анна Орлова
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
С.Лыжина "Драконий пир" И.Котова "Королевская кровь.Расколотый мир" В.Неклюдов "Спираль Фибоначчи.Пилигримы спирали" В.Красников "Скиф" Н.Шумак, Т.Чернецкая "Шоколадное настроение"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"