Введение. Известно, что понятие потока энергии J_ε через границы системы впервые ввел Н. Умов в 1873 г. Этот поток определялся интегралом по поверхности системы от 'вектора Умова' - плотности потока внутренней энергии j_ε, переносимой телом при наличии в нем механического напряжения. Спустя 10 лет (1884 г.) аналогичное выражение было предложено Пойнтингом для потока электромагнитной энергии, понятие о которой как о единой сущности было введено Дж.К. Максвеллом в 1864 г. До него электрическая и магнитная энергия рассматривались как её независимые формы, что подтверждалось в электростатике экспериментально. Однако опыты М. Фарадея по изучению явления электромагнитной индукции еще в 1831 показали, что напряженности электрического и магнитного 'полей' Е и Н изменяются синфазно. Это послужило Максвеллу, также придерживающемуся концепции поля, основанием для представления об электромагнитном поле (ЭМП) как о некоей субстанции, подобной эфиру. Оно нашло отражение и в уравнениях Максвелла для ЭМП, обобщивших в математической форме известные на то время эксперименты с магнитами, индуктивностями и токами [1]. Введение 'вектора Пойнтинга' закрепило такое представление, несмотря на то, что эксперименты не обнаружили не только наличия у эфира электрических и магнитных свойств, но и самого эфира. С тех пор определение электромагнитного поля как разновидности материи (наряду с веществом) вошло во все физические энциклопедии.

Поскольку уравнения Максвелла до сих пор считались не выводимыми из каких-либо первичных принципов, у исследователей не было возможности проследить за ходом рассуждений, приведших к выводу о том, что электричество и магнетизм не просто взаимосвязаны в динамике, но и проявляют себя в ней как единая сущность. Лишь с появлением такого вывода [2] становятся понятными причины, породившие представление об их неразделимости.

1. Термодинамический вывод уравнений Максвелла. Этот вывод основывается на полном соответствии представлений Фарадея и Максвелла о 'потоках сцепления', выражаемых через воображаемые силовые линии, и представлением о потоках в современной термодинамике необратимых процессов [3], обобщенной на системы, совершающие полезную работу [4]. С позиции этой теории пространственно неоднородная система отличается от однородной тем, что положение r_i центра характеризующих её состояние экстенсивных параметров состояния Θ_i (объема, энтропии, массы, чисел молей к-х веществ, свободного и связанного заряда, компонент импульса системы и её момента) смещается от его равновесного значения r_iо  на величину Δr_i, образуя некоторый 'момент распределения' Z_i = Θ_iΔr_i. В поляризованных и намагниченных средах, где можно выделить положительные Θ_i' и отрицательные Θ_i" заряды (или северные и южные полюса), определив положение их центров r_i' и r_i" независимым образом, эти моменты приобретают особенно четкий физический смысл поляризационых моментов Z_i = Θ_i'r_i'+ Θ_i"r_i" = Θ_i"Δr_i с плечом Δr_i = r_i"- r_i'. Примерами таких параметров являются векторы электрической D и магнитной B индукции.

Благодаря существованию моментов распределения Z_i энергия системы Э становится зависящей не только от параметров Θ_i, но и от их положения в пространстве Э = Э(Θ_i,r_i). При этом выражение полного дифференциала энергии принимает вид:

dЭ = Σ_iψ_i dΘ_i - Σ_i X_i"dZ_i,                                                            (1)

где ψ_i = (∂Э/∂Θ_i) - обобщенные потенциалы типа абсолютного давления, температуры, энтальпии, химических потенциалов к-х веществ и т.п.; X_i = - (∂Э/∂Z_i) - обобщенные силы в их энергетическом представлении. Первая и вторая суммы этого выражения характеризуют изменение соответственно внутренней U и внешней E энергии. Внешнюю работу đW^е, выражаемую 2-й суммой (1), удобно представить в более привычном виде đW^е = -Σ_iF_i"dr_i, используя понятие силы F_i = - (∂Э/∂r_i) = Θ_iX_i в её обычном (ньютоновском) понимании. Это облегчает введение понятия потока смещения J_i^с = dZ_i/dt = Θ_iv_i как потока, обусловленного переносом 'энергоносителя' Θ_i внутри системы со скоростью v_i = dr_i/dt.

Приложим теперь основное уравнение энергодинамики (1) к анализу системы, обладающей в статике электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Э_v единицы объема такой системы является функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности внешних полей E и H. Если исключить из рассмотрения процессы объемной деформации такой системы, её массообмена с окружающей средой, диффузии в систему каких-либо веществ, ускорения системы и т.п., выражение (1) для неё  принимает вид [3]:

     dЭ_v = ТdS - E"dD - H"dB .                                              (2)

Члены правой части этого выражения характеризуют соответственно элементарную работу

поляризации đW_еv = E"dD и намагничивания đW_мv = H"dB данного тела. При этом нетрудно

, что параметры D и B в этом выражении имеют смысл алгебраической суммы моментов распределения в системе единичного объема V  соответственно  плотности связанных зарядов ρ_е', ρ_е" и так называемых 'магнитных масс полюсов' ρ_м', ρ_м" [4]. Действительно, поскольку в условиях баланса ρ_е" = - ρ_е' и ρ_м"= - ρ_м', то

D = Z'_еV + Z"_еV = ρ_е'r_е'+ ρ_е"r_е" = ρ_е"Δr_е ,                                    (3)

   B = Z'_мV + Z"_мV = ρ_м'r_м'+ ρ_м"r_м" = ρ_м"Δr_м ,                                 (4)

где Δr_е = r_е"- r_е'; Δr_м = r_м"- r_м' - плечо соответственно электрического и магнитного диполя.

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного превращения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых

      N_е = E"dD/dt; N_м = H"dB/dt.                                            (5)

Если такие процессы протекают обратимо, энергия системы Э_v и ее энтропия S остаются неизменными. При этом имеет место очевидный баланс мощностей N_е = - N_м, свидетельствующий о том, что работа и мощность процессов  поляризации и намагничивания имеют противоположный знак. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

     E"(dD/dt) = - H"(dB/dt).                                                   (6)

Этим простым соотношениям можно придать вид уравнений Макс­велла для вещества1). Для этого рас­смот­рим достаточно общий случай системы, состоящей из замкнутого электрического контура произвольной длины ℓ_e и переменного (в общем случае) сечения f_e, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной ℓ_m и переменным по длине сечением f_m. Учитывая их непостоянство, в соотношении (4) следует перейти к интегральной форме:

N_е = ∫ E"(dD/dt)dV_e; N_м = ∫ H"(dB/dt)dV_м ,                                   (7)

Элементы объема можно представить в виде dV_e = dℓ_e∙df_e и dV_м = dℓ_м∙df_м, где dℓ_e, dℓ_м и df_e, df_м - ортогональные векторные элементы соответственно длины и сечения электрического контура и магнитопровода. Тогда выражения (5) можно переписать в виде:

N_е = ∫∫E"(dD/dt)"dℓ_e"df_e = ∫∫(E"dℓ_e)(dD/dt)"df_e ;                                          (8)

N_м = ∫∫H"(dB/dt)"dℓ_м"df_м = ∫∫(H"dℓ_м)"(dB/dt)"df_м.                                        (9)

Если принять, что E и H остаются неизменными по сечению соответственно проводника и магнитопровода по всей их длине ℓ_e и ℓ_м, т.е. не зависят от f_e и f_м , то выражение (E"dℓ_e) и

 (H"dℓ_м) можно вынести за знак интеграла по df_e и df_м, переписав эти выражения в

терминах  неравновесной термодинамики [4] следующим образом:

  N_е = ∫ E"dℓ_e ∫ (dD/dt)df_e = X_e J_e ;                                            (10)

  N_м = ∫ H"dℓ_м ∫ (dB/dt)df_м = X_м J_м,                                           (11)

где J_e^с = ∫(dD/dt)df_e,    J_м^с = ∫(dB/dt)df_м - скалярные электрический и магнитный потоки

смещения, называемые в электродинамике 'потоками сцепления' и традиционно представляемые числом силовых линий, пронизывающих сечение соот­ветственно электричес­кого контура и магнитопровода [5]; X_e = ∫E"dℓ_e, X_м = ∫ H"dℓ_м - модули так называемых

электродвижущей и магнитодвижущей силы (ЭДС и МДС), определяемые циркуляцией соответственно векторов E и H вдоль замкнутых электрического и магнитного контуров.

Теперь уравнениям электромагнитного поля можно придать форму, принятую в термодинамике необратимых процессов [5]:

    J_e^с = L_ee X_e + L_eмX_м;                                                           (12)

     J_м^с = L_мeX_e + L_ммX_м .                                                        (13)

Эти законы отражают идею взаимосвязи электрических и магнитных явлений, проявляющуюся в том, что каждый из потоков J_e^с и J_м^с зависит от всех сил, действующих в данной системе. При этом диагональные члены L_ee X_e и L_ммX_м в этом выражении характеризуют явления электропроводности и 'магнитопроводности', возникающие под действием одноименных сил; перекрестные же члены L_eмX_м и L_мeX_e характеризуют сопротивление, связанное с преодолеваемыми 'чужеродными' силами, вызывающими превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Поскольку N_е = - N_м, соотношениям (10)-(11) можно придать более простой вид:

       J_e^с /X_м = - J_м^с /X_e .                                                         (14)

Сопоставляя это уравнение с феноменологическими законами (12) и (13), находим, что левая часть (14) определяет коэффициент L_eм, а правая - коэффициент L_мe. Отсюда следуют условия антисимметрии Онсагера-Казимира [4]:

           L_eм = - L_мe .                                                         (15)

Эти соотношения недвусмысленно указывают на то, что электричество и магнетизм - два независимых явления, взаимосвязь между которыми появляется только в динамике (при наличии потоков J_e^с и J_м^с). Что касается величины и размерности этих коэффициентов, то они зависят от выбранной системы единиц. В системе СИ L_em = - L_me = 1, и с учетом этого вместо (12) можно написать:

        X_e = - ∫(dB/dt)df_м ,                                                    (16)

        X_м = ∫(dD/dt)df_e ,                                                      (17)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея, согласно которому ЭДС численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего электрический контур (правило потока). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы X_e= ∫E"dℓ_e от криволинейного интеграла по замкнутому

электрическому контуру длиной ℓ_e к интегралу ∫rot Е"df_м по сечению магнито­провода f_м.

Подобным же образом перейдем в выражении силы X_м= ∫ H"dℓ_м от криволинейного

интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной ℓ_м к интегралу ∫rot H"df_e по поверхности f_е, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (16) и (17) имеем:

   ∫rot Е"df_м = - ∫(dB/dt)df_м ,                                                   (18)

   ∫rot H"df_e = ∫(dD/dt)df_e ;                                                      (19)

или в дифференциальной форме:

      rot H = dD/dt,                                                                (20)

rot E = - dB/dt .                                                               (21)

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений Максвелла лишь тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции. Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения энергодинамики (1) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания D и B. Характерно, что и сам Максвелл первона­чально определял ЭДС также через полную производную dФ/dt от магнитного потока Ф [4].

Выражению (20) можно придать более привычный вид, если в выражении полной производной электрической индукции D = D(r,t) по времени

dD/dt = (∂D/∂t)_r + (v_е"grad)D                                                 (22)

принять, как это обычно делается, div"D = ρ_е. Тогда второй член (22) представляет собой

плотность тока проводимости j_е = ρ_еv_е ,  и уравнение (21) принимает вид

rot H = j_е + (∂D/∂t) .                                                    (23)

     Аналогичный (22) вид имеет полная производная по времени от вектора магнитной индукции

dВ/dt = (∂В/∂t)_r + (v_е"grad)В                                                 (24)

       Поскольку для магнитных явлений аналога тока проводимости не существует, то обычно принимают dВ/dt = (∂В/∂t)_r , что приводит к привычному виду уравнения (21):

       rot E = - (∂B/∂t),                                                         (25)

Что же касается другой пары уравнений Максвелла:

       div D = ρ_е ,                                                                 (22)

       div B = 0 ,                                                                  (23)

то первое из них является непосредственным следствием закона Гаусса, записанного в дифференциальной форме, а соотношение же (23) просто констатирует факт отсутствия магнитных 'монополей', аналогичных электрическому заряду ρ_е.

Предложенный здесь термодинамический вывод уравнений Максвелла недвусмысленно указывает на то, что они отражают процесс преобразования в замкнутых цепях электрической энергии в магнитную (и наоборот). При этом они исходят из равенства мощностей этих процессов, т.е. из противоположной направленности работы поляризации đW_еv = E"dD и

намагничивания đW_мv = H"dB данного тела (đW_еv = - đW_мv). Это обстоятельство следует иметь

в виду, осуществляя формальные математические преобразования уравнений Максвелла.

 2. Вектор Пойнтинга как разность потоков электрической и магнитной энергии. Опираясь на уравнения Максвелла, легко получить  выражение вектора Пойнтинга. Учитывая, что в соответствии (17) и (18) dB/dt = - rot E, dD/dt = rot H, вместо (1) для системы единичного объема имеем:

dЕ _v/dt = E"rotH - H"rotE = - div (E×H) = - div П.                          (24)

Отсюда и следует известное выражение

         П ≡ E×H ,                                                               (25)

согласно которому вектор Пойнтинга П представляет собой внешнее произведение векторов напряженности электрического и магнитного полей и ориентирован по нормали к ним в направлении распространения электромагнитной энергии. Это обстоятельство закрепило представления Максвелла о потоке электромагнитной энергии как некотором подобии потока некоторой жидкости.

Между тем, как теперь становится ясным, для потоков электрической и магнитной энергии  существуют и могут быть найдены независимые выражения, которые свидетельствуют о различии физической природы их носителей. В основе этого лежит данное выше обобщение понятия потока смещения на процессы поляризации и намагничивания. Главным при этом является то, что смысл производным от векторов D и B по времени как потокам придает исключительно наличие в полных производных их по времени (22) и (24) конвективных составляющих (v_е"grad)D и (v_е"grad)В, выраженных в полном соответствии с понятием потока смещения J_i^с = dZ_i/dt = Θ_iv_i  через скорость переноса энергоносителя v_е. До введения этого понятия, получившего 'прописку' и междисциплинарный статус лишь в энергодинамике [2], это понятие подергалось постоянной обоснованной критике. Действительно, мало кто понимал, что Максвелл, оперировавший именно полными производными dD/dt и dB/dt, имел в виду именно эту составляющую, которая проявляют себя так же, как и обычные потоки, т.е. представляет собой направленный перенос энергоносителя. Этот смысл был полностью утрачен, когда вместо полных производных с 'легкой руки' Хэвисайда и Герца стали записывать частные производные (∂Е/∂t) и (∂B/∂t), не имеющие ничего общего с понятием потока как чего-то перемещающегося в пространстве. Обвинения в адрес  понятия тока смещения усилилось, когда уравнения Максвелла, имеющие смысл только для вещества [6], стали применять к электромагнитному полю. Особое неприятие вызывало утверждение о наличии 'тока смещения' в вакууме, где какие-либо заряды в принципе отсутствуют. В действительности же, как следует из приведенной выше трактовки понятия тока смещения, он возникает не в вакууме, а в диэлектрике вследствие перераспределения в нем  связанных зарядов ρ_е' и ρ_е". В замкнутой электрической цепи, содержащей конденсатор с вакуумным промежутком, перераспределение зарядов происходит, естественно, в проводнике. Однако его результат - накопление избыточного заряда на одной из обкладок конденсатора - воспринимается как результат смещения центра величины заряда в занятом им объеме. Таким образом, отличие потоков смещения от тока проводимости и ему подобных потоков  заключается лишь в том, что они не пересекают границы системы, т.е. являются внутренними, и сопровождаются возрастанием перепадов потенциала на концах линии. В остальном же они проявляют себя так же, как и обычные потоки, т.е. представляют собой результат направленного переноса энергоносителя.

Возникновение потоков электрического и магнитного смещения J_e^с = ∫(dD/dt)df_e и   J_м^с = ∫(dB/dt)df_м с плотностью j_е^с = dD/dt и j_м^с = dB/dt обусловлено релаксацией системы или совершением над ней внешней работы против равновесия. Эти потоки могут быть найдены раздельно по величине работы đW_еv = E"dD, đW_мv = H"dB и мощности N_е, N_м процессов поляризации и намагничивания, совершаемую электрическими и магнитными полями:

N_е = E"j_е^с = E"dD/dt;   N_м = H"j_м^с = H"dB/dt.                               (26)

Противоположный знак N_е и N_м в процессе взаимопревращения электрической и магнитной энергии, ещё раз подчеркивает, что потоки j_е^с и j_м^с  направлены встречно и никоим образом не могут отражать какую-либо 'единую' сущность. Становится ясным, что и в динамике электрическое и магнитное поля представляют собой две самостоятельные, хотя и взаимосвязанные сущности. Кроме того, различие знаков j_е^с и j_м^с означает, что вектор Пойнтинга отражает в действительности не сумму, а разность абсолютных значений потоков электрической и магнитной энергии. При этом в условиях dЕ_v/dt = 0 поток электрической энергии, входящей в систему, равен потоку магнитной энергии, выходящей из нее. Следовательно, при равенстве мощностей N_е и N_м (т.е. в отсутствие потерь) div П = 0, т.е. так называемая 'электромагнитная энергия' системой не потребляется, хотя энергообмен её с внешним полем сохраняется.  Постоянство алгебраической суммы составляющих электромагнитной энергии в этом случае объясняется их взаимным превращением в отсутствие диссипации. Имея это в виду, в таких случаях говорят о равенстве нулю 'нормальной составляющей вектора Пойнтинга', как будто он может 'скользить по поверхности проводника'. В случае же диссипации части электромагнитной энергии (её превращения в тепло диссипации) поток вектора Пойнтинга становится отличным от нуля и равным величине этих потерь N^д = N_е - N_м. Тогда и появляется 'нормальная составляющя вектора Пойнтинга', как будто электромагнитная энергия стала поступать в проводник. В действительности же один из потоков этой энергии уменьшился на величину этих потерь N^д, и появилась разница их абсолютных значений.

В еще более общем случае, когда преобразование энергии в системе сопровождается превращением части упорядоченной энергии во внутреннюю потенциальную (механическую) энергию ее упругой деформации, в правую часть закона сохранения энергии (24) наряду с работой диссипативного характера đW^д добавляется механическая работа đW_мех, и тогда это уравнение принимает вид:

dЕ _v /dt = N_е + N_м +N_мех +N^д = - div П - div j_u + N^д .                       (27)

В таком случае говорят о 'преобразовании вектора Пойнтинга в вектор Умова' [5]. Однако в действительности никакого потока через границы системы механической энергии в этом случае не наблюдается - тепловая и механическая энергия выделяется в самой системе. Таким образом, использование вектора Пойнтинга лишь затуманивает физическую картину происходящего. Он не отражает ни количественно, ни качественно процесс взаимного преобразования электрической и магнитной энергии и потому должен быть отправлен в анналы истории как бесполезный инструмент научного анализа.

Литература

1. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества.-Москва-Ижевск, 2001.
2. Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования эергии).- СПб.: 'Наука', 2008. 409 с.
3. Базаров И.П. Термодинамика. Изд. 4-е. М.: Высшая школа, 1991
4. Поли­ванов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: 'Энергоиздат', 1982.
5. Хаазе Р.Термодинамика необратимых процессов.- М.: 'Мир'. 1967.
6. Эткин В.А.  Описывают ли уравнения Максвелла электромагнитное поле?         http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12201.html. 2.09.2012.