Доказательство:

Так как при x>0 для знаменателя геометрической прогрессии выполняется неравенство:

,

то подинтегральная дробь является бесконечной суммой убывающей геометрической прогрессии:

Рассмотрим функцию:

Производная этой функции равна:

Эта производная равна нулю в точке

В этой же точке производная функции f(x) меняет свой знак с "плюса" на "минус", следовательно, эта точка является точкой максимума функции, и в ней функция принимает максимальное значение, равное:

Следовательно, для любых значений аргумента x, удовлетоворяющего условию

,

выполняется неравенство:

, и так как сходится ряд:

,

то равномерно по x сходится ряд:

,

и, следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать:

Интеграл

вычисляется интегрированием по частям

Первый предел:

Второй предел находится с помощью правила Лопиталя:

Следовательно,

Доказано соотношение:

2. Вычисление суммы ряда

Для функции

коэффиициенты Фурье равны:

Ряд фурье для этой функции:

Отсюда следует:

Искомая сумма ряда равна:

3. Вычисление суммы ряда

Для функции

коэффиициенты Фурье равны:

Ряд фурье для этой функции:

Отсюда следует:

Искомая сумма ряда равна:

Вычисление интеграла для нахождения светимости абсолютно-чёрного тела