Сентябрьское солнышко, еще теплое, но уже не такое жаркое, как летом, в преддверии зимы щедро разбрасывало свои горячие лучи. Один из лучиков заглянул в попавшееся ему на пути окошко и пощекотал чью-то макушку.
Макушка принадлежала мальчику, который в это время склонился над тетрадкой в клеточку. Он внимательно изучал пустой лист, а потому не заметил прикосновение луча. Мальчика звали Саня Гаврилов, и он мучился оттого, что в который раз никак не мог приступить к выполнению домашнего задания по геометрии.
Он брал карандаш, заносил его над листом, потом внимательно глядел на кончик, бормотал: "Он тупой" и принимался карандаш подтачивать. Затем трогал деревянный угольник, на котором корявым почерком было написано "Саня + Олька =", а дальше шла жирная клякса. Саня вздыхал, раскачивался на трехногом табурете, чесал затылок и кусал кончик карандаша. Три предыдущие попытки сделать домашку закончились неудачей и несколькими вырванными из тетради листами. А все почему? Потому что линии получались не прямыми, а кривыми. Потому что ластик не стирал, а рвал бумагу. Еще пара неудачных попыток - и чистые листы в тетрадке закончатся.
- Наверное, угольник кривой, - наконец решил Саня и, взяв его за кончик, выкинул в мусорницу, что находилась за столом.
- Ты чего это безобразничаешь? - раздался возмущенный голос.
- Кто здесь? - испугался Саня и подпрыгнул на табурете. Тот дернулся и упал. Вслед за ним упал и мальчик. Солнечный лучик в панике заметался по комнате.
- Я, - ответил тот же голос.
- Да кто "я"? - Саня уже чуть не плакал.
- Кто, кто... Я, угольник! Из урны меня достань.
Саня осторожно заглянул за стол. Маленькие тонкие ручки-ниточки, зацепившись за край мусорницы, напрягались изо всех сил. Один из деревянных углов сверкал парой гневных глаз. Мальчик протянул дрожащую руку. Тут же одна из ручек ухватилась за палец, и угольник скатился на пол. Да-да, именно скатился! А потом покатился к Сане, переваливаясь с угла на угол, будто треугольное колесо.
- Значит, я кривой, да? - сказал он, остановившись. - А может быть, у кого-то руки кривые?
- У кого? - удивился Саня.
- Ах, ты не знаешь? - рассердился угольник. - Так я тебе объясню. У того, кто не может прочертить прямую линию без единого зигзага и скачка, будто его толкают под локоть. Кто вместо окружности всегда получает спираль, да и ту вихляющуюся. У того, наконец, чьи отрезки толсты, как бревна! Хотя всем давным-давно известно, что ни отрезки, ни прямые, ни вообще какие-либо линии в стране Геометрии не имеют толщины вообще!
- Как это - не имеют толщины вообще? - изумился Саня.
- Ну, - смутился угольник, - тут я преуменьшил. Конечно, имеют. Их толщина равна толщине точки. А вот уже точка толщины не имеет!
- Не может быть!
- Может!
- А как докажешь?
Угольник задумался.
- Вообще-то я тебе ничего доказывать не обязан. Особенно после вот этого безобразия, - он ткнул пальцем в надпись у себя на боку.
- Это не я, - поспешно сказал Саня, - это Мишка написал. Из вредности. Потому что Олька ему списать не дала, а мне дала.
- Так ты еще и списываешь, ай-яй-яй, - вздохнул угольник. - Эх ты. Хотел было я пригласить тебя на прогулку в страну Геометрию, но теперь сомневаюсь - стоит ли.
Саня воспрянул духом. Не сказать, чтобы его прельщала прогулка. Но возможность оттянуть подготовку домашнего задания очень даже прельщала.
- Стоит, стоит, - закивал он головой, - я вообще-то редко списываю. Можно сказать - всего один раз и списал-то!
- Она и одного может не простить.
- Кто она?
- Ее величество Плоскость.
- Ну так мы не будем ей ничего говорить, - предложил Саня.
- Она и так все знает, - сердито произнес угольник. - И про списывания тоже.
- И что?
- Ничего. Не любит она этого. В науке, понимаешь ли, надо самому всего добиваться.
- Так то в науке! Я ведь еще только учусь!
- Ну и что? Ты ведь во время учебы науку постигаешь! Понял? А, ладно. Пока сам не увидишь - не поймешь. Пошли! Но сначала поставь меня на тетрадный лист.
Саня так и сделал. Потом ухватился за протянутую руку угольника.
И мгновенно уменьшился в размерах. Теперь они с угольником были одного роста и стояли рядышком на листе в клеточку.
- Ну, - спросил Саня, - и где же страна Геометрия?
- Как - где? Да ведь мы уже в ней!
Саня огляделся и заметил, что все вокруг изменилось. Не было больше его родной комнаты и письменного стола, и даже лист бумаги стал ровным-ровным, а клеточки, что были на нем, растаяли прямо на глазах. Вокруг не было ничего!
- Тут так пусто, - разочарованно сказал Саня.
- Вовсе нет, - возразил угольник, - просто ты еще не умеешь видеть абстракцию. Ведь геометрия - наука абстрактная! Хотя и служит вполне конкретным целям... Ты ведь знаешь, что все науки - они служат чему-нибудь? Так вот. Назначение геометрии содержится прямо в ее названии. Гео - это земля, метрия - мерить, измерять. В Древнем Египте люди начали измерять площади полей, вычислять объемы тел. А позже, в Древней Греции, науку измерений обобщили и абстрагировали. Разделили на множество других наук. Вот мы сейчас с тобой стоим на плоскости. Двумерная геометрия называется планиметрией. Это понятно? Ты ведь знаешь слово "план"?
Саня кивнул. Планы, или чертежи он, конечно, видел не раз. Однако сейчас его больше занимало то, что происходило вокруг. Под его ногами начали мелькать какие-то линии, дуги, спирали. Он потряс головой. Мельтешение прекратилось.
- Прекрасно, - продолжал угольник, сделавшись вдруг из деревянного совсем плоским и тонким, так что даже надпись на нем почти исчезла. - Теперь давай разберемся с размерами точки.
В одной руке угольника появился карандаш - Саня узнал свой, с обгрызенным кончиком, а в другой - миниатюрный микроскоп.
- Смотри, - сказал угольник, - я ставлю точку вот сюда, под окуляр микроскопа. Посмотри, есть она там?
Саня посмотрел. Точка была.
- А теперь начинай ее приближать! Что ты видишь?
Она была видна очень четко - маленькое черное пятнышко. Но вот что странно. Сколько бы Саня ни приближал точку, как бы не крутил колесико у микроскопа, она не желала увеличиваться.
- Микроскоп сломался, - сказал Саня.
- Ничего не сломался, - возразил угольник, - давай рассмотрим, например, кончик карандаша.
Эксперимент с карандашом показал, что микроскоп действительно работает, и работает нормально.
- Волшебство, - шепнул Саня, и, желая услышать подтверждение, спросил: - Ведь это волшебство, да?
- Нет, - твердо возразил угольник, - это законы мира геометрии. Ну, давай пойдем дальше...
- А куда тут идти? - уныло спросил Саня. - Куда ни иди, везде бесконечная плоскость и все.
- Мы пойдем дальше в изучении этого удивительного, моего родного, моего любимого мира! - восторженно воскликнул угольник. - С точкой мы разобрались. Дальше рассмотрим прямую. Думаю, не надо доказывать, что ширина прямой равна одной точке. А вот как ты думаешь, какова длина прямой?
- Никакова, - брякнул Саня. - Вернее, бесконечная, как и сама прямая!
- И, значит, точек на ней тоже...
- Бесконечное множество! То есть, невозможно сосчитать!
- Молодец. Нет, правда, молодец! Я начинаю тобой гордиться! Ну, и чтобы закончить эту тему, рассмотрим отрезок.
С этими словами угольник упал плашмя и карандашиком чиркнул вдоль одной из своих сторон.
- Ну, - спросил он, вскакивая, - какова длина отрезка?
- Длину измеряют линейкой с делениями, - уверенно ответил Саня.
- А сколько в нем точек?
Вот тут Сане пришлось крепко призадуматься.
- Наверное, надо посчитать количество точек в одном миллиметре и потом умножить на длину отрезка, - сказал он наконец.
- А как ты посчитаешь это количество?
Последовало долгое молчание.
- Ну хорошо, - сказал угольник, - я открою тебе страшную тайну. Точек в отрезке, как и на прямой, тоже бесконечное множество.
- Ну, этого не может быть! - уверенно сказал Саня. - Вот же он, этот отрезок. Вот начало, вот конец. Он же конечный!
Угольник поднял отрезок и положил его под окуляр микроскопа.
- Давай так. Если количество точек конечно, то согласись, что при большом - очень большом - увеличении найдутся такие две точки, между которыми окажется пустой промежуток. Так?
Саня почувствовал подвох, и потому не спешил с ответом. Более того, он уже знал, что какой бы мощный микроскоп ни взять, он не обнаружит на отрезке ни малейшего зазора.
Угольник ухмыльнулся.
- Я вижу, ты начинаешь понимать. А вот и очередная тайна. Если взять отрезки разной длины, то они будут иметь одинаковое количество точек!
- Не может быть, - снова сказал Саня.
- Может. Это так и есть. И доказывается довольно просто. Давай начертим еще один отрезок. А теперь мы поставим в пару к каждой точке одного отрезка ровно одну точку второго. Как в детском садике - построим точки парами. Понял?
Саня молчал.
- Давай так. Первый отрезок - домик для точек-девочек. Второй - для точек-мальчиков. В каждой паре должны стоять девочка и мальчик...
- Да как мы их поставим-то? -чуть не плакал Саня. - По одной будем вытаскивать, что ли?
- Ну-ну, - сказал угольник, - ты давай без паники. А карандаш у нас на что? Вот им-то мы и будем соединять пары! Для начала соединим крайние точки...
Он обозначил крайние точки первого отрезка д1 и д2, второго - м1 и м2. Потом провел еще два отрезка - д1м1 и д2м2.
- Во-от, - протянул он удовлетворенно, - первые пары готовы.
- Так их всего две, - сказал Саня, - а осталось еще... еще бесконечное множество минус две!
- Бесконечное множество минус две так и останется бесконечным множеством, - заметил угольник. - Теперь следи за мной очень внимательно. Начинается собственно доказательство. Разделим оба первоначальных отрезка пополам... И назовем их... д3 и м3. Соединим.... Так? Вот и третья пара - д3м3. Теперь делим еще пополам... Сначала д1д3 пополам, получим д4. Потом м1м3 пополам, получим м4. Соединим.
- И что?
- А вот что. Дальше мы будем делить каждый полученный "девочковый" отрезок пополам еще раз, "мальчиковый" тоже, и соединять эти серединки. И так до бесконечности... Ты понимаешь, почему это можно делать до бесконечности? Потому что между любыми двумя точкам всегда найдется как минимум еще одна!
- Невероятно, - только и смог сказать пораженный Саня. - Отрезки разной длины, а количество точек на них одинаково!
Он развел руками, задев при этом микроскоп. Тот упал, но не на плоскость, а прямо сквозь нее, не оставив однако никакого следа. Плоскость же оказалась полупрозрачная. Мальчик еще какое-то время наблюдал за уменьшающимся прибором, пока тот не превратился в точку ("бесконечно малую точку" - почему-то подумал Саня).
- Не волнуйся, - сказал угольник, - он нам больше не понадобится.
- Я не волнуюсь. Вернее, я волнуюсь... А куда он упадет? Ну, микроскоп-то? На землю? А вдруг на голову кому-нибудь?
- Александр, - вдруг очень строго, тоном математички Нины Алексеевны сказал угольник, - ты уже достаточно взрослый, а говоришь полную чушь. Мы не на земле. Мы вообще в другом мире. В другом измерении, если хочешь. Здесь и законы, как ты успел заметить, несколько другие.
- Успел, - кивнул мальчик. - Конечно, мне не все понятно... Например, вот. Законы здесь другие. Так? Так. Но тогда зачем же мы эти законы изучаем там, у себя? В школе столько лет на это тратим? А могли бы вместо этого поиграть, в футбол, на речку...
- О-о-о... - угольник даже застонал. - Так ведь все эти другие, эти абстрактные законы применяются во вполне конкретных делах! Представь, что люди не знали бы о параллельных прямых. И стены твоей комнаты были бы косые-кривые. Да что там стены. Все в мире было бы кривым. Я уже не говорю о том, что никогда и ни за что не была бы построена телевизионная башня! Ты видел башню на Шаболовке? Ее части представляют собой особую поверхность - параболоид!
- Еще бы! У нас, в стране Геометрии, очень много кривых, поверхностей и тел носят прекрасные имена и даже имена открывших их ученых. Ты только послушай: строфоида, эпициклоида, леминиската Бернулли, улитка Паскаля... Да и само строение этого мира безумно красиво. Он, как земля на трех слонах, стоит на аксиомах.
- Земля не стоит на слонах, - возразил Саня.
- Конечно, не стоит. Это аллегория.
- Это... что?
- О-о-о... Он даже про аллегорию не слышал. Ну, потом в словаре посмотришь, если не забудешь. Мы же вернемся к аксиомам. Итак, наш мир стоит на аксиомах, то есть, предложениях, принимаемых без доказательства...
Саня машинально посмотрел себе под ноги. Ему показалось, что где-то очень глубоко он увидел эти Аксиомы - огромные столбы, поддерживающие это бесконечное пространство.
- ...Стоит изменить одну из них, и мы уже окажемся в другом мире. Но творение новых миров под силу только очень великим математикам! Опираясь на аксиомы, они создают и открывают теоремы - предложения, требующие доказательств...
Тут на плоскости произошло какое-то движение. Саня даже отскочил - тонкая черная змейка пробежала под его ступнями.
- Что это? - шепотом спросил он.
- А, это. Синусоида. Обиделась, что про нее не вспомнили. А вон там, гляди - гипербола изогнулась. Ох, какая красавица, верно?
Саня машинально кивнул, хотя оценить красоту гиперболы он не брался.
- Кривая как кривая, - пожал он плечами, - Ничего особенного.
- Послушай-ка, - сказал угольник, - я только сейчас понял. Неужели ты их тоже ВИДИШЬ?
- Ну да, вижу.
- Я тебя поздравляю, - серьезно и даже немного торжественно сказал угольник. - С этого момента ты в любое время можешь вернуться сюда, в эту волшебную страну. Сам, без моей помощи. Потому что они тебя приняли и уже считают за своего.
У Сани аж дух захватило.
- А как, как я сюда вернусь? Надо знать какое-то волшебное слово?
- Вовсе нет. Ты до сих пор так и не понял? Вот эта огромная бесконечная плоскость доступна тебе в любое время. Потому что каждый тетрадный листок, на котором рисуют школьники... каждый лист миллиметровки или ватмана, предназначенные для больших, серьезных проектов - все они являются крохотными частичками этой плоскости. А так как она бесконечна, то здесь найдется место для каждого даже самого гигантского чертежа. Понял? Берешь лист бумаги и вот этот волшебный инструмент...
Угольник потянул Сане его простой карандаш.
- Или циркуль. Плюс линейку. Можешь еще и меня прихватить... Подключаешь воображение и мгновенно переносишься сюда. Все, что ты начертил у себя в тетради, остается здесь навечно.
Саня покраснел.
- И даже все мои кривые отрезки?
Угольник вздохнул.
- И даже они.
Как по заказу, на плоскости проступили злополучные отрезки, хотя отрезками их было назвать трудно. Кое-где потертые ластиком, они обступили Саню, гневно пылая красным цветом.
- Нет худа без добра, - заметил угольник. - Раз уж мы сюда попали, давай исправим этих уродцев.
Не испытывая ни страха, ни замешательства, Саня с помощью угольника твердой рукой поправил линии. Краснота исчезла, отрезки принялись перестраиваться и составлять какие-то замысловатые ломаные линии. Потом образовали ряд параллельных - ну просто заборчик!
Танцуют - понял Саня. Наконец они вытянулись в одну линию и унеслись куда-то, постепенно исчезая из поля зрения.
- Вот и все, - сказал угольник, - теперь они заживут своей счастливой свободной жизнью. Может быть, воплотятся в какой-нибудь чертеж. Или подскажут начинающему архитектору недостающую деталь. Или просто прыгнут в рисунок мальчишки... Ох, среди этих малышей встречаются такие хулиганы!
- Ты хочешь сказать, что люди могут получить отсюда помощь?
- Да. И, кстати, регулярно ее получают!
- Ну... Это уж совсем сказки!
- А то, что ты сейчас здесь, со мной - разве не сказка?
Угольник улыбнулся.
- Те, кто дружат с геометрией, всегда замечают ее в повседневной жизни. Я уже упоминал про параллельность стен. И про телевизионную башню. Но ведь это очень маленькая частичка воплощений моей страны. А поверхности вращения - все эти вазы, цилиндры, конусы... Да любое ведро - это по сути усеченный конус! А ведь мы с тобой еще не затрагивали мою любимую тему - углы! В детстве в углу стоял? Стоял. А хоть раз задумывался над тем, что этот угол - прямой? Вот то-то. Чем больше ты будешь замечать все это, тем прочнее станет связь со страной Геометрией. Ты здесь вообще жить можешь. Хотя нет, это уже перебор... Давай-ка будем возвращаться!
Солнечный лучик с удивлением изучал мальчишку, который все никак не мог оторваться от учебника и тетради. Пойдем гулять, звал лучик, осталось несколько теплых деньков, а потом пойдут дожди, закружит вьюга... Тогда и насидишься за книжками!
Саня отмахнулся от яркого пятна. Потом обернулся к окну, улыбнулся и сказал:
- А ведь луч - это половинка прямой. И, значит, тоже часть геометрии. Ты прав - она везде вокруг нас.
Последние слова были адресованы деревянному угольнику с надписью "Саня+Олька=".
Угольник не ответил ничего. Но Саня-то знал, что он был полностью согласен.