Хмельник Соломон Ицкович. Решение системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

Хмельник С. И.

Решение системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

Новый метод и MATLAB-программа

Аннотация

Описывается новый метод и алгоритмы решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Метод основан на найденом автором вариационном принципе оптимума в линейных электрических цепях переменного тока [1]. Это означает, что для любой такой цепи существует единственный оптимум некоторого функционала. Следовательно, существует и единственный оптимум некоторого функционала, оптимальное значение которого является решением системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Этот единственный оптимум может быть найден быстродействующим методом градиентного спуска, что очень привлекательно для приложений. При этом существует обратная зависимость между точностью и временем решения. На практике это означает, что пользователь может быстро перебирать приближенные варианты, а затем более точно расчитать выбранный вариант.

Здесь приводятся программы в системе MATLAB (М-функции) и тестовые примеры, также выполненные в виде М-функий.

Содержание

1. Описание метода

2. Основная программа

3. Тесты

4. О сходимости

5. О быстродействии и точности

Литература

Программы

1. Описание метода

0x01 graphic

Фиг. 1.

0x01 graphic

Фиг. 2.

2. Основная программа

М-функция для расчета электрической схемы имеет вид:

function [res,erMin,k,q,er] = ...

SinLin(E,Z,maxEr,maxK)

Входными аргументами здесь являются

E - вектор с, определенный в (1),

Z = a + j*b - см. (1),

maxEr - допустимая относительная ошибка

maxK - допустимое количество итераций

Выходными величинами здесь являются

q = x - результат вычисления,

k - достигнутое количество итераций,

er - массив ошибок на каждой итерации,

erMin - полученная ошибка результата,

res - признак результата:

-- res=0 - результат получен,

-- res=1 - превышено допустимое количество итераций,

-- res=2 - превышена допустимая ошибка.

3. Тесты

В тестах дополнительно приняты следующие обозначения:

qt=xt=Z\c - результат традиционного вычисления,

ert = Z*xt - c - ошибка традиционного вычисления,

comp - относительная ошибка результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам.

Пример 4. Программа решения одного уравнения с комплексными коэффициентами:

function [xt,x,erMin,k] = test1

Пример 5. Программа решения двух уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB:

function [res,qt,q,erMin,k] = test2

Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2.

Пример 6. Программа решения трех уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB:

function [res,qt,q,erMin,k] = test3

Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2.

Пример 7. Программа решения N уравнений с комплексными коэффициентами системе MATLAB.

function [comp,erMin,k] = testN(N, maxEr)

Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 1 и фиг. 2. Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам.

4. О сходимости

Итерационный процесс сходится, если матрицы M и R являются знакопределенными (положительно или отрицательно).

Пример 8. Программа решения трех уравнений с комплексными коэффициентами:

function [res,qt,q,erMin,k] = test3r

Здесь матрица M не является знакопределенной, процесс расходиться и прекращается, когда ошибка в 100 раз превышает ошибку в начале итерации. Отображаются графики вида, приведенного на фиг. 3. Пользователь может экспериментировать, назначая знакоопределенные и знаконеопределенные матрицы а и в, указанные в коментариях.

0x01 graphic

Фиг. 3.

5. О быстродействии и точности

Эксперименты показывают, что

-- comp ~ maxEr,

-- comp пропорционально maxEr,

-- количество итераций пропорционально maxEr,

-- количество итераций пропорционально размерности N.

Пример 9. Программа решения N уравнений с комплексными коэффициентами:

function testNv

Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам. Отображаются графики зависимости количества итераций и ошибки comp от размерности N при фиксированой величине maxEr - см. фиг. 4. Видно, что, во-первых, comp < maxEr и, во-вторых, количество итераций пропорционально размерности N.

0x01 graphic

Фиг. 4.

Пример 10. Программа testNe решения N уравнений с комплексными коэффициентами

function testNe

Параметр comp служит для сравнения результатов вычислений по данному и традиционному алгоритмам. Отображаются графики зависимости количества итераций и ошибки comp от заданной величины maxEr при фиксированой размерности N - см. фиг. 5. Видно, что, во-первых, comp пропорционально maxEr и, во-вторых, количество итераций пропорционально maxEr.

0x01 graphic

Фиг. 5.

Литература

1. Хмельник С.И. Вариационный принцип экстремума в электромеханических и электродинамических системах, третья редакция. Publisher by "MiC", printed in USA, Lulu Inc., ID 1769875, Израиль, 2010, ISBN 978-0-557-04837-3.

Оставить комментарий © Copyright Хмельник Соломон Ицкович Размещен: 03/02/2011, изменен: 21/06/2011. 9k. Статистика. Статья: Естествознание Математика Иллюстрации/приложения: 7 шт.		Ваша оценка:
Аннотация: В книге [1] описан (в частности) метод расчета электрических цепей постоянного тока с диодами. Такую же книгу на английском можно скачать здесь, на СИ. В этой статье описывается программа для такого расчета в системе MATLAB. Данные для расчета подготавливаются в виде таблицы. Размерность задачи ограничена только ресурсами компьютера. Открытые коды этой MATLAB-программы можно приобрести у автора на сайте http://mic34.com/bookrumatlab.htm, позиция 361. С предложениями о дополнительных разработках можно обратиться по адресу solik@netvision.net.il.

Хмельник Соломон Ицкович : другие произведения.

Решение системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами