Исаев Александр Васильевич. Основы мироустройства

Основы мироустройства

К настоящему времени в физике насчитывается немало самых разнообразных гипотез о происхождении Вселенной, о первых её мгновениях, и даже о том, что этому предшествовало. Подобные гипотезы физиков-теоретиков превосходят самые изощренные сценарии писателей-фантастов, при этом пока невозможно сказать какие именно сценарии были реализованы на самом деле около 13,7 миллиардов лет назад при возникновении Вселенной. В предлагаемой статье я очередной раз пытаюсь сказать, что некий ключ к разгадке тайн зарождения Вселенной (пространства-времени) может подсказать... мир чисел (тот, который изучает общеизвестная теория чисел). Иначе говоря, мир чисел - это некое "зеркало" первооснов мироустройства с точки зрения математики. Здесь уместно напомнить, что современная теоретическая физика, по сути дела, сводится к различным интерпретациям ("проговариванию") сложнейших математических уравнений. То есть реальный мир наиболее правдоподобно, полно и точно описывает именно язык математики, а вовсе не "гуманитарная" беллетристика (пусть даже нобелевских лауреатов). Эту каверзную для подавляющего числа людей особенность мироустройства давно подчеркнул знаменитый английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (1214 - 1292): "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества."

Данная статья, скорее всего, мало кого убедит в том, что мир чисел действительно содержит ключи к пониманию физического мира. Ведь лично моя убежденность в столь парадоксальном взгляде на мир чисел основана на материале всех моих книг и целого ряда статей (см. портал "Техно-сообщество России" http://technic.itizdat.ru/, мой псевдоним там - iav2357). Однако предлагаемая статья вполне может дать неожиданный толчок собственным глубоким и продуктивным размышлениям читателя.

Итак, в мире чисел есть так называемые простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) - это числа, которые делятся (нацело) только на единицу и на самих себя. Подобно тому, как из кирпичиков строятся самые разнообразные здания, так и простые числа формируют любое натуральное число (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... и т.д. до бесконечности). Для примера мы построим число N = 261360 ("внутри" которого довольно много "кирпичиков"): 261360 = (2*2*2*2) * (3*3*3) * 5 * (11*11) = (2^4) * (3^3) * 5 * (11^2), и никакой другой набор (произведение) простых чисел (кроме 2, 3, 5, 11) не даст нам число 261360. Таким образом, для математиков значение простых чисел, как неких фундаментальных кирпичиков, трудно переоценить. В теории чисел одна из главнейших теорем утверждает, что количество (K) простых чисел, не превосходящих числа N (если двигаться последовательно от 1 к числу N) устремляется к выражению:

K = N/lnN, (1)

которое читается так: N, деленное на логарифм натуральный числа N. Термин "устремляется..." говорит о том, что чем больше число N - тем ближе параметр K будет к реальному количеству простых чисел, расположенных на отрезке [1; N], то есть от 1 до N (включительно). Не будет большим преувеличением, если мы скажем, что закон K = N/lnN - это, некая "квинтэссенция" мира чисел; это некое "динамическое поле" мира чисел (такими терминами физики определяют таинственную тёмную энергию).

Моя виртуальная космология (теория-игра), как правило, ограничивает мир чисел рамками так называемого Большого отрезка - это отрезок натурального ряда, содержащий колоссальное количество целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., (8*10^60). Именно столько планковских времен (миг времени порядка 10^-44 секунды) "помещается" в возрасте Вселенной, то есть 13,7 миллиардов лет включают в себя порядка 8*10^60 планковских времен. В мире чисел Большой отрезок символизирует современную нам эпоху - эпоху существования разумных существ, "наше время", "сегодня", и т.д. Таким образом, в виртуальной космологии мир "сухих" чисел словно оживает и становится более интересным для исследователя, неискушенного в теории чисел (довольно сложной и "скучной"). Насколько виртуальная космология продуктивна с точки зрения реальной космомикрофизики - судить не мне, поскольку сам я твердо верю (это стало буквально моей религией), что мир чисел шифрует "внутри" себя некие важные "ключи" к пониманию реального мироустройства.

Вернемся к формуле (1), из которой следует, что на отрезке [1; N] отношение K/N устремляется к выражению 1/lnN. Так, в конце Большого отрезка мы получим следующее: K/N = 1/lnN = 1/ln(8*10^60) = 1/140 (округляя до целых чисел), то есть на каждое простое число в среднем приходится около 140 натуральных чисел. И уже здесь можно усмотреть, что число 1/140 довольно близко к числу 1/137 (0,007299...), которое в физике условно символизирует постоянную тонкой структуры (ПТС = 0,007297...) - самую таинственную фундаментальную и безразмерную константу связи (то есть ПТС меняется со временем, правда, в настоящее время - едва уловимо, исчезающее мало). В рамках виртуальной космологии (и именно в конце Большого отрезка) это далеко не единственная "бледная тень" ПТС - об этом много сказано в моих книгах и статьях; так и в данной статье ниже мы получим весьма точное значение ПТС. Возможно, что ПТС - это важный безразмерный параметр Вселенной, характерный для современной эпохи (со временем этот параметр, как и все прочие, изменится), причем этот параметр имеет множество ипостасей (подобно "магическому" числу 7, возникающему то тут, то там в "недрах" натурального ряда, в том числе и в конце Большого отрезка).

Глядя на "простенькую" формулу (1) уместно вспомнить древнюю латинскую пословицу: "Simplex sigilum veri" ("Простота - это признак истинности"). Вместе с тем, формулу (1) математики смогли строго (аналитически) доказать только в 1896 году, хотя способ нахождения всех простых чисел (на отрезке любой длины) был известен не менее 2000 лет (см. решето Эратосфена). Обманчивая простота формулы (1), а также всё, что мы узнаем ниже про неё, позволяют нам лучше осознать слова знаменитого физика Альберта Эйнштейна (1879 - 1955): "Наш опыт убеждает нас, что природа - это сочетание самых простых математических идей". Здесь речь идет об идеях, лежащих в невидимом "фундаменте" мироздания, а уже вся видимая нами "надстройка" мироздания может быть чрезвычайно сложной, поэтому разобраться в современной теоретической физике (а, по сути дела, в сплошной сверхсложной математике) - это доступно далеко не каждому человеку.

Далее мы рассмотрим формулу (1) в рамках моей виртуальной космологии, то есть так, как этого никогда не делали ни математики, ни физики, ни кто-либо ещё. Говоря языком математики, формула K = N/lnN - это функция (f) параметра K от аргумента N, то есть K = f(N). На рис. 1 изображено поведение указанной функции (параметра K = N/lnN, значения которого откладываем по вертикальной оси) при всех возможных значениях аргумента N (значения которого откладываем по горизонтальной оси). В мире чисел единица (число N = 1) - совершенно особое число - это хорошо понимали ещё древние математики. Так и наша функция в точке N = 1 претерпевает так называемый разрыв: когда аргумент N подходит (со стороны нуля) к единице слева - параметр K устремляется в "минус" бесконечность (никогда её не достигая, чёрная линия на рис. 1), а когда аргумент N подходит к единице справа - параметр K устремляется в "плюс" бесконечность (никогда её не достигая, красная линия на рис. 1).

В точке N = е = 2,718... параметр K принимает наименьшее положительное значение, равное самому числу "е", поскольку: K = e/lne = e = 2,718... - это, образно говоря, дно положительной "ямы" нашей функции (на рис. 1 дно "ямы" обведено треугольником). Напомню, что число "е" (е = 2,718...) - это основание натуральных логарифмов, фундаментальная математическая константа. Таким образом, с точки зрения поведения функции (1) (параметра K), положительную числовую ось можно разделить на три участка (смысл новых терминов прояснится ниже): экзочисла (числа N, лежащие между 0 и 1), проточисла (числа N, лежащие между 1 и числом "е") и обычные числа (числа N, превосходящие число "е"). Все указанные числа ниже мы будем рассматривать "сквозь призму" функции K = N/lnN.

Обычные числа и проточисла

Область всех значений функции K = N/lnN вправо от числа "е" (синяя линия на рис. 1) - это область, которую изучает общеизвестная теория чисел, поэтому такие N мы будем называть обычными числами. Однако между 1 и числом "е" формула (1) работает ничуть не хуже, чем в области обычных чисел, поэтому я назвал проточислами - все действительные (вещественные) числа, лежащие между 1 и числом "е". Образно говоря, проточисла послужили отправным моментом для "зарождения" обычных чисел. Вероятно, по своему количеству проточисел ничуть не меньше, чем натуральных чисел, но об этом парадоксальном утверждении мы ещё поговорим ниже (в свете теорем Кантора).

С точки зрения простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, ...), которые на рис.1 обозначены зелеными кружками, число "е" и его ближайшие окрестности - это, можно сказать, область сингулярности, в которой формула (1) ещё не начала свою работу (в контексте теории чисел). Это видно даже на рис. 1: зеленые кружки (простые числа) "разбросаны" относительно синей линии (начертанной законом K = N/lnN), хотя при больших значениях N зеленные кружки будут всё точнее и точнее попадать на синюю линию (сливаясь с ней при бесконечно больших N).

Вплоть до числа N = 7,389056... синяя линия вогнутая, а после него - выпуклая. То есть в указанной точке (на рис. 1 это большой кружок на синей линии) функция K = N/ln(N) меняет свою кривизну, и в этом проявляется очередная "магия" числа 7, которая совершенно очевидна в рамках виртуальной космологии (как и в нашей реальной жизни - о "магии" числа 7 достаточно много написано в моих статьях и книгах). Указанную кривизну хоть и не видно на рис. 1, но её можно обнаружить аналитически, то есть "увидеть" на формулах - именно такое видение весьма характерно и для теоретической физики. Ведь часто физик-теоретик сначала получает (выводит аналитически) формулу, а уже потом своими словами "расшифровывает", "проговаривает" сокровенный смысл данной формулы (и порой этот смысл может превзойти самую изощренную фантазию человека). Итак, добавим в наши исследования немного аналитики.

Как известно, если взять производную от функции K = N/lnN, то мы получим скорость (V) изменения параметра K (с ростом аргумента N), и эта скорость будет меняться по следующему закону (производная первого порядка от нашей функции):

V = (lnN - 1)/(lnN)^2 . (2)

На рис. 2 скорость V показана толстой линией, о поведении которой можно сказать следующее. При росте аргумента N (вправо от единицы) скорость V стремительно возрастает от "минус" бесконечности до нуля (V = 0 при N = е = 2, 718...), а поведение самого параметра K можно трактовать как стремительное уменьшение ("сжатие", "обратный взрыв", "схлопывание" и т.п., см. рис. 1). При дальнейшем росте аргумента от N = 2,718... до N = 7,389056... скорость V всё ещё довольно быстро возрастает от нуля до своего максимального значения Vmax = 0,25. После этого скорость V начинает свой бесконечный плавный спуск (устремляясь к нулю при бесконечно большом N). В конце Большого отрезка (при N = 8*10^60) по формуле (2) мы получим скорость V = 0,007080, которая численно почти равна ПТС = 0,007297... (относительная погрешность V около 3%).

Если взять вторую производную от функции K = N/lnN (то есть взять производную от первой производной - от скорости V) то мы получим ускорение (A) параметра K (то есть получим скорость изменения скорости V):

A = [2/(lnN)^3 - 1/(lnN)^2]/N . (3)

На рис. 2 ускорение А показано тонкой линией, о поведении которой можно сказать следующее. При росте аргумента N (вправо от единицы) ускорение А стремительно (катастрофически) убывает от "плюс" бесконечности до нуля (А = 0 при N = 7,389056...), после чего ускорение навсегда становится отрицательным, проходя через свой минимум Аmin = - 0,0026... при N = 11,5824... ("магия" числа 12 - подобную "магию" также можно усмотреть как в реальном мире, так и в мире чисел; правда, "магия" числа 12 не столь очевидная как у числа 7). При дальнейшем росте аргумента N ускорение А, оставаясь всегда отрицательным, начинает свой бесконечный плавный рост (устремляясь к нулю при бесконечно большом N). В конце Большого отрезка по формуле (3) мы получим ускорение А = - 6,26*10^-66, что может символизировать ускорение расширения Вселенной (в планковских единицах). Это ускоренное расширение Вселенной физики связывают с ненулевой космологической константой (с тёмной энергией, с квинтэссенцией). Однако у физиков пока нет теории, способной однозначно ответить на вопрос: почему космологическая константа так мала (почти равна нулю). Если рассматривать космологическую константу как тензор энергии-импульса вакуума, то она может интерпретироваться как суммарная энергия, которая находится в пустом пространстве (функция K = N/lnN - это также некая "суммарная энергия" в мире чисел). При этом все существующие на данный момент теоретические предсказания физиков в части числовых значений космологической константы называют... худшими в истории физики (значит, выше полученное числовое значение 6,26*10^-66 может оказаться... правильным?).

Для наших дальнейших рассуждений замечу следующее. В законе K = N/lnN вместо буквы N иногда удобно (более "понятно") писать другие буквы, так дальше мы будем подразумевать такую запись: K = R/lnR (где R - обычное число); K = П/lnП (где П - проточисло число); K = Э/lnЭ (где Э - экзочисло число). В рамках виртуальной космологии можно допустить, что параметр K символизирует собой ("отражает" в неком "зеркале" мира чисел) полную энергию струны (в контексте теории струн); а всякое обычное число R - символизирует (большой) радиус вселенной, а число "е" = 2,718...- символизирует планковскую длину. Тогда закон K = R/lnR говорит нам о том, что если R растет (двигаясь вправо от числа "е" к бесконечности) или уменьшается (двигаясь влево от числа "е" к единице) - параметр K будет расти (вплоть до бесконечности). Таким образом, любому параметру K (превосходящему значение K = е = 2,718...) в мире чисел можно поставить в соответствие, как минимум, два числа: обычное число R (расположенное на числовой оси справа от числа "е") и проточисло П (расположенное между единицей и числом е = 2,718...). Числа R и П , которые после их подстановки в формулу K = N/lnN выдают одинаковый параметр K, мы будем называть равномощными числами.

Например, обычному числу R порядка 10 в 61-й степени, будет равномощно проточисло 1,00000000...0001, у которого после запятой стоит 59 нулей. Образно говоря, между числами 1 и 2 "спрятана" неведомая нам вселенная из бесконечного количества вещественных (действительных) проточисел, которая эквивалентна нашей Вселенной (из мира обычных чисел). И там, где останавливаются стрелки часов нашей Вселенной начинается отсчет времени (другой) вселенной (из проточисел), которая "прикреплена" к нашей. Причем аналогичное утверждение формулируется и в теории струн (см. чуть ниже). Из приведенного примера (с числом 1,00000000...0001) видно, насколько неудобно оперировать проточислами - мы к такой математике явно не привыкли (где все проточисла "намотаны" на единицу). Наша математика явно "не приспособлена" для работы в "захлопнутом" мире проточисел, хотя последний, в принципе, ничем не хуже (!) мира обычных чисел.

"Теория всего" - так можно назвать теорию струн, которая обещает нам универсальную теорию мироздания. Согласно этой теории физические свойства (любой) вселенной зависят лишь от полной энергии струны. В итоге физики-теоретики, фактически, приходят к удивительной гипотезе: всякой полной энергии струны можно поставить в соответствие два равноправных (тождественных, эквивалентных) радиуса вселенной - большой радиус (R) и некий малый радиус (в мире чисел это проточисла?). Иначе говоря, нет никакого физического различия между геометрически различными состояниями вселенной: когда мы мысленно обращаем историю вселенной вспять, то сокращение её большого радиуса (R) ниже значения планковской длины физически эквивалентно... увеличению малого радиуса (равного 1/R). Если читателя интересует более точный физический смысл сказанного, то советую обратиться к мировому бестселлеру: Грин Брайан, "Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории" (М.: Едиториал УРСС, 2004 г.). А если ещё конкретней, то в указанной книге прочитайте главу 10 (Квантовая геометрия), в которой рассказано о возможных радиусах вселенной.

Прелесть проточисел П заключается также и в том, что мы легко отвечаем на следующий вопрос: какой числовой отрезок содержит, скажем, 99,7% всех проточисел? (На подобный вопрос ответить невозможно в мире обычных чисел R.) В мире проточисел очевидно, что отрезок длиной (е - 1) содержит 100% всех проточисел П, и все они распределены равномерно на данном отрезке. Тогда отрезок длиной (е - П) будет содержать следующую долю (Д) всех проточисел: Д = (е - П)/(е -1). Затем, умножая Д на 100%, мы получаем для каждого проточисла П - свой процент (свою долю Д). Таким образом, нетрудно найти, что искомым 99,7% отвечает проточисло П = 1,00515. Понятие о проточислах, вероятно, позволяет ответить и на загадочный вопрос: почему природа отдает явное предпочтение именно малым числам? Мой ответ на этот вопрос (помимо моего объяснения закона Бенфорда) так же добавляет следующее объяснение: подавляющее большинство проточисел (99,7%) равномощны ("эквивалентны") именно малым обычным числам (от числа е = 2,718 до числа R = 1420), которые чаще всего фигурируют в теоретической физике и математике.

Экзочисла (числа, лежащие за пределами "близких", "понятных" нам чисел)

Так я назвал числа из интервала (0; 1) (исключающего из рассмотрения сами числа 0 и 1). Кстати говоря, многие математики (особенно в Европе) относят 0 (ноль, нуль) к натуральным числам, и данная моя статья, вероятно, говорит в пользу такого допущения (ведь 0 попадает в "сферу интересов" закона K = N/lnN). Ещё данная статья доказывает, что единицу (N = 1) вполне можно считать простым числом, порядковый номер (K) которого равен "плюс" бесконечности (с точки зрения проточисел) или даже "минус" бесконечности (с точки зрения экзочисел) - это хорошо "видно" на рис. 1, где чёрная линия показывает поведение функции K = N/lnN в области экзочисел N. Единица, "катастрофически вбирающая" в себя бесконечно много (отрицательных) экзочисел и (положительных) проточисел, возможно, символизирует таинственную чёрную дыру из реального мироустройства.

Итак, теперь речь пойдет именно об интервале, поскольку наша формула K = N/lnN теряет математический смысл при N = 0 и N = 1, хотя, условно говоря, мы можем полагать (в рамках виртуальной космологии), что при N = 0 параметр K, "равен" нулю со знаком "минус", а при N = 1 параметр K "равен" бесконечности со знаком "минус" - это также "видно" на рис. 1 Как мы видим, при росте экзочисел N от 0 до 1 наша функция буквально коллапсирует в "минус" бесконечность, претерпевая разрыв при N = 1.

Для экзочисел также продолжают работать формулы (2) и (3), при этом и скорость V , и ускорение А также всегда имеют знак "минус" (см. рис.3). При N = 0,08634... ускорение достигает своего максимума Аmax = - 3,50657565... (при этом V = - 0,57492...).

Очевидно, что каждому натуральному числу N (имеющему свой параметр K = N/lnN) мы также (как и для проточисел, см. выше) можем поставить в однозначное соответствие равномощное ему экзочисло N (превосходящее N = 0,75695...), у которого параметр K будет отличаться только знаком "минус". Значит, около 76% всех экзочисел (начинающихся от нуля) не имеют аналогов (в части параметра K и без учета знака "минус") среди обычных чисел или проточисел (у которых не бывает K меньше, чем число "е", см. рис. 1), и лишь только около 24% всех экзочисел (предшествующих единице) равномощны натуральным числам и проточислам (которых, напоминаю, бесконечно много). При этом на "детский" вопрос: "А каких чисел больше - экзочисел, проточисел или обычных чисел?", вероятно, гораздо труднее ответить, нежели может показаться на первый взгляд. Это следует из трудов известного немецкого математика Георга Кантора (1845-1918). Вот тому пример. Пусть общее количество всех натуральных чисел равно бесконечному числу W, тогда вдумайтесь в следующие два парадоксальных утверждения, строго доказанных Кантором, но которые наше воображение, увы, "отказывается" понимать: 1). Количество всех целых чисел (то есть со знаком "плюс" и со знаком "минус") также равно W (а не в два раза больше W). 2). Количество всех дробных чисел (дробей) также равно W (а никак не меньше и не больше).

Говоря об экзочислах, также нельзя не сказать о парадоксальной "внутренней" связи ("исчезающе малых") экзочисел с миром ("больших") обычных чисел. Примером этому может служить удивительный мемуар гениального математика Леонарда Эйлера (1707 - 1783). Суть мемуара в том, что отталкиваясь от бесконечного произведения E(x) = (1 - х^1)(1 - х^2)(1 - х^3)(1 - х^4)(1 - х^5)... (1 - х^n)... , где аргумент х рассматривается на интервале от 0 до 1 (то есть х - это экзочисло), а n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., (до бесконечности), Эйлер в конечном итоге получает формулу, по которой можно вычислить сумму всех... целых делителей любого обычного числа (более подробно об этом - см. мою книгу "Леонард Эйлер и космология чисел", стр. 51). В связи с указанным произведением E(x) уместно добавить, что функция распределения, имеющая вид F(x) = [(1 - х^1)(1 - х^2)(1 - х^3)(1 - х^4)(1 - х^5)...(1 - х^n)...]^(-Z), не только определяет число состояний струнной модели на уровне n, но также управляет расходимостью однопетлевой амплитуды в теории струн (см. книгу известного популяризатора теоретической физики, американского учёного Митио Каку "Введение в теорию суперструн", М.: "Мир", на стр. 614).

Для любого значения K (без учета знака), превосходящего число е = 2,718..., можно поставить в соответствие три числа: экзочисло Э, проточисло П и обычное число R. Поэтому такие числа Э, П и R выше мы назвали равномощными числами. Например, нетрудно убедится, что обычному числу R порядка 10 в 61-й степени, будет равномощно экзочисло Э = 0,99999999...999, где после запятой стоит 60 девяток. Возможно, что гипотетические, образно говоря, отсчеты времени (см. выше проточисла) эквивалентны пересчету "дырок" (то есть нулей) у малых проточисел П, и пересчету девяток (после запятой) у больших экзочисел Э. Кстати говоря, согласно М-теории (это дальнейшее логическое развитие теории струн) на масштабах, меньше планковских существует таинственная область - нуль-брана, в которой совершенно иные понятия о пространстве-времени (быть может, их там нет вовсе?). Также любопытна гипотеза Венециано-Гасперини и ей подобные, допускающие существование доисторической Вселенной, а в загадочном мире чисел её, возможно, отчасти "отражают" интервалы (0; 1) и (1; е), рассмотренные нами выше.

Даже если данная статья не имеет никакого отношения к реальному (физическому) миру, то мои математические "открытия" отчасти дополняют общеизвестную теорию чисел и служат её популяризации (и основ космологии) среди широкого круга читателей. При этом уместно напомнить, что в истории математики уже не раз были случаи, когда, казалось бы, абсолютно "бесполезные" (абстрактные, виртуальные) разделы математики - вдруг оказывались весьма полезными для физиков.

Исаев Александр Васильевич,

Санкт-Петербург, 09 сентября 2012 г.

0x01 graphic

Рис. 2. Скорость и ускорение справа от 1

0x01 graphic

Рис. 1. График функции K = N/lnN

0x01 graphic

Рис. 3. Скорость и ускорение для экзочисел

© Copyright Исаев Александр Васильевич (si-spb-2011@mail.ru) Размещен: 05/06/2013, изменен: 05/06/2013. 28k. Статистика. Статья: Естествознание Говоря предельно просто		Ваша оценка:

Исаев Александр Васильевич : другие произведения.

Основы мироустройства