Исаев Александр Васильевич

Виртуальная космология (космология чисел, миры Исаева)

Космология – это раздел астрономии, изучающий Вселенную как единое целое. Космологию интересует строение (структура) и эволюция Вселенной в пространстве и во времени.

Виртуальная космология (космология чисел, миры Исаева) – это игра-гипотеза, возникшая в моей скучающей голове в 2000 г. и существующая до сих пор только в моих книгах (c 11.11.2009 г. к ним добавился ещё Рунет). Главное в этой игре ума – бесконечный ряд натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), который рассматривается под своеобразным углом зрения. Своеобразие заключается в следующем:

1. Математика, которую я использую, – очень доступная, она по силам обыкновенным старшеклассникам, так как построена на простых рассуждениях, алгоритмах, формулах. Здесь уместно подчеркнуть, что общеизвестная теория чисел (натуральный ряд – один из объектов её изучения) относится к сложнейшим разделам высшей математики, и студенты мат-меха (мех-мата) в университетах изучают не более, чем основы (архисложной) теории чисел.

2. Для изучения (исследования) мира чисел я активно использую компьютер, который профессиональными математиками, вообще говоря, игнорируется. Ведь настоящему математику (с его аналитическими методами работы) достаточно всего лишь... несколько листков бумаги и авторучку. Отчасти поэтому математики "не замечают" мои математические открытия (гипотезы) в части теории чисел, и, тем более, в части виртуальной космологии, которая математикам, вообще говоря, не интересна (ведь это уже физика).

3. Все мои исследования и полученные мною результаты можно без труда проверить (повторить) в простейших электронных таблицах (например, "Excel"). Более того, подобными исследованиями читатели могут заняться самостоятельно, особенно, если они владеют основами программирования, и если им интересна космология, физика.

4. Моя игра-гипотеза содержит множество "отражений" реальной космологии (и прочей физики) в виртуальном мире чисел. Например, в реальном физическом мире совершенно очевидна "магия" числа 7 (здесь и далее имеется в виду 7 ± 2, то есть числа 5, 6, 7, 8, 9), а "внутренняя" структура натурального ряда также порождает очевидную "магию" числа 7.

5. Указанные "отражения" приводят меня к очевидной гипотезе: "внутренняя" структура натурального ряда изоморфна (математической) структуре пространства-времени. Образно говоря, мир чисел – это своеобразное "зеркало" Вселенной, в котором "отражаются" фундаментальные физические принципы (но в неком "зашифрованном" виде). Вероятно, природа натурального ряда – это наипростейшая математическая модель реального пространства-времени, которое имеет много разных математических моделей, а самой сложной из них является М-теория (логическое развитие теория суперструн).

6. До настоящего времени достижения теории чисел находили своё практическое применение лишь... в криптографии (с 1977 г.), занимающейся кодированием секретных сообщений. И физики до сих пор продолжают "не замечать" теорию чисел. Профессиональным физикам (как и математикам) виртуальная космология попросту неизвестна, поскольку этой игрой-гипотезой я развлекал буквально одного себя (тираж каждой из моих книг не превышал 1000 экземпляров и продавались они только в Санкт-Петербурге).

7. Виртуальная космология (повторю ещё раз) – не более чем ИГРА одинокого разума (поэтому – миры Исаева). Хотя лично для меня виртуальная космология уже давно стала чем-то вроде новой религии: я просто ВЕРЮ (и всё тут!), что мир чисел – это, действительно, "зеркало" Вселенной. И речь идет даже не о конкретных "отражениях" (плодах сугубо моей фантазии), а о более серьезных вещах: в фундаментальной основе реального мира могут лежат предельно простые истины (что-то вроде ряда натуральных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...). См. также мою статью "Без математики – путь в Никуда".

Виртуальная космология – эта полезная игра ума, она способна приобщить самую широкую аудиторию к миру чисел (к его красивой математике), а также к космологии и физике (поражающих наше воображение своими открытиями), поскольку многие любознательные читатели пожелают найти собственные объяснения указанным выше "отражениям", а это неизбежно ведет к погружению в бездонный мир чисел, полный совершенства, гармонии и неразгаданных тайн.

Ниже приведены лишь некоторые (ключевые) сведения из виртуальной космологии, позволяющие понять:

• каким образом натуральный ряд 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (казалось бы, что может быть проще?) приобретает богатейшую ''внутреннюю'' структуру (крайне сложную, неисчерпаемую, полную почти непостижимых тайн!);

• каким образом возникают загадочные ''отражения'' (физической реальности в мире чисел), объяснение которых ещё ждет своего часа. И здесь ничто не ограничивает полет Вашей фантазии (а мои "отражения" – не более, чем примеры возможного фантазирования).

---

В физике нельзя отделить пространство от времени, поскольку пространство-время – это единая форма существования материи, и этой форме ученые отводит центральную роль. Есть физические теории, где вещество рассматривается не более как возмущение этой основной структуры. Пространство-время имеет много измерений (скажем, в теории суперструн – 12 измерений), однако человеку (в его весьма ограниченных ощущениях) доступны только 4 измерения, условно говоря, это: длина, ширина, высота и время.

Теоретическая физика в своих гипотезах допускает, что в невообразимо малых масштабах (на уровне так называемых планковских времен) пространство-время уже дискретно (хотя нам время кажется чем-то непрерывным, плавно текущим).

Планковское время – это квант (наименьшая "частица") пространства-времени, его ещё называют элементарным временным интервалом (эви), а числовое значение у него следующее: 1 эви ≈ 10⁻⁴⁴ с (десять в "минус" 44-й степени секунды). Это время (1 эви) лежит далеко за гранью человеческого воображения, поэтому даже и не пытайтесь его себе представить. Возраст нашей Вселенной (от момента так называемого Большого взрыва) составляет около 13 млрд. лет, то есть это 100.000.000.000.000.000 ≡ 10¹⁷ секунд ≈ 8·10⁶⁰ эви (если округлить, то получим 10⁶¹ эви).

Теперь мы можем сформулировать главную гипотезу виртуальной космологии: единица (фундаментальный математический объект) "эквивалентна"... кванту пространства-времени (1 эви). Иначе говоря, натуральный ряд (состоящий из целых чисел) 1, 2, 3, 4, ... воплощает собой некую простейшую "модель" дискретного пространства-времени (которое "течёт"): 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, ... . Заметим, что самые-самые (наиболее фундаментальные) параметры во Вселенной (количество волн в суперструнах, количество протонов в ядре атома и т. п.) всегда выражаются именно целыми числами.

Из указанной гипотезы вытекает, что возрасту нашей Вселенной можно поставить в соответствие так называемый Большой отрезок (как некий "продукт" Большого взрыва), включающий натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 10⁶¹ (ведь именно такое колоссальное количество эви содержится в возрасте Вселенной). Более того, в виртуальной космологии любому отрезку времени (или отрезку длины, пройденному фотонами за данный отрезок времени) ставится в соответствие некий отрезок натурального ряда (набор натуральных чисел):

1 с ≈ 1,85·10⁴³ эви, то есть 1 секунда "эквивалентна" отрезку натурального ряда, содержащего числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 10⁴³;

1 м ≈ 6,25·10³⁴ эви, то есть 1 метр "эквивалентен" отрезку натурального ряда, содержащего числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 10³⁴.

Благодаря указанной, скажем, "эви-конвертации" (для секунды и метра) абстрактный мир чисел "оживает", его многочисленные параметры начинают "изменяться во времени (и пространстве)". Наряду с упомянутым Большим отрезком автор выделяет и другие отрезки: малый, центральный, предельный и прочие отрезки (их количество зависит только от полёта нашей фантазии).

Малый отрезок включает числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 10²⁰. Такое количество эви "эквивалентно" (после "эви-конвертации") ядерному времени или характерному размеру протона – частицы первостепенной важности в ядерной физике. Ядерное время – это наименьший интервал времени, который требуется, чтобы протон наблюдался как единое целое. За ядерное время фотон (квант света) пересечет протон.

Центральный отрезок включает числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N , где N ≈ 10³⁰ (корень квадратный из числа 8·10⁶⁰, символизирующего Большой отрезок). Такое количество эви "эквивалентно" диаметру большинства эукариотных клеток (10 ÷ 100 микрометров). А эти клетки – элементарные единицы строения и жизнедеятельности всех живых организмов (которые находятся в центре внимания Творца, ведь человек – это якобы венец его творения). Здесь следует подчеркнуть совершенно очевидное "отражение": в мире чисел, как и в реальном мире, операция извлечения корня квадратного часто дает очень важную информацию (см. ниже: малые делители).

Предельный отрезок включает числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 10²⁰⁰ – именно такое (более чем колоссальное) количество натуральных чисел мы получим, если переведем 10¹⁵⁰ лет в эви. То есть предельный отрезок символизирует так называемый фотонный век, когда Вселенная (по мнению физиков-теоретиков) достигнет состояния предельно низкой энергии (к этому времени уже распадутся все протоны, а за ними и все чёрные дыры во Вселенной).

Сингулярность в мире чисел – это некая, пока строго не обозначенная, часть малого отрезка (0, 1, 2, 3, ..., ?), в которой ещё не начали "работать" основные законы теории чисел (относительная погрешность этих законов слишком велика). Например, в сингулярности ещё не работает закон распределения простых чисел (ЗРПЧ), который можно записать в следующем виде: K ∼ N/lnN, где N – это правая граница отрезка [1; N], а K – это количество простых чисел на указанном отрезке (иначе говоря, K – это порядковый номер наибольшего простого числа среди набора чисел 1, 2, 3, 4, 5, ..., N). Описанная сингулярность имеет "отражение" и в космологии, где понятие "сингулярность" наделяется весьма схожим смыслом.

Делители. У любого натурального числа N есть: малые делители (от единицы до числа N^½ – корень квадратный из числа N) и большие делители – частное от деления числа N на малые делители. Так, у числа N = 20 есть три малых делителя – 1, 2, 4, а также три больших делителя – 5, 10, 20 (то есть 20/4, 20/2, 20/1). Таким образом, малые делители выступают в роли "паспорта" числа N, содержащего исчерпывающую информацию о "внутренней" структуре числа N.

Богатство (S) числа N – это сумма всех его делителей. Например, для числа N = 20 получаем такое богатство: S ≡ 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42. Очевидно, что богатство любого простого числа Р на единицу больше самого числа: S = 1 + Р. Зная каноническое разложение произвольного числа N, несложно вычислить богатство этого числа N по формуле, найденной Валлисом.

Богатство единицы (N = 1) вызывает вопросы, и недаром ещё Эйлер полагал, что единица есть особое – начальное целое число (ни простое, ни составное). А вот богатство нуля (N = 0) может принимать... бесконечное число разных конечных значений – это впервые доказал всё тот же гениальный Эйлер в одном из своих замечательных мемуаров (триста лет назад свои открытия математики излагали в специальных мемуарах).

Согласно моим исследованиям максимально возможное богатство (S_max) большого числа N (расположенного за пределами Малого отрезка) будет следующим: S_max ≈ (π²⁄6)·(lnlnN + 0,261497)·N. Таким образом, в конце Большого отрезка S_max ≈ 8,56·N (отсюда получаем S_max ⁄ N ≈ 8,56 – это один из многих примеров "магии" числа 7 в конце Большого отрезка).

Богатство отрезка (S_o ) – это сумма богатств всех целых чисел (1, 2, 3, 4, ..., N) из данного отрезка [1; N]. Согласно моей оценке богатство отрезка можно выразить формулой: S_o ≈ (π²⁄6)·(N²⁄2). То есть, в конце Большого отрезка S_o ∼ 10¹²², и в этом я вижу "отражение" космологического лямбда-члена (Λ), численно равного Λ ≈ 10⁻⁵⁶ см⁻² (после эви-конвертации мы получим Λ ≈ 10¹²² эви).

Сумма всех малых делителей у всех целых чисел на отрезке [1; N] (обозначим эту сумму символом S_м), по-моему, выражается следующей формулой: S_м ≈ 2⁄3·N^3⁄2. В конце Большого отрезка S_м ∼ 10⁹⁰, и в этом я усматриваю "отражение" энтропии Вселенной в настоящее время (эта энтропия также равна безразмерному числу 10⁹⁰).

Распределение делителей "внутри" числа N – это сама по себе неисчерпаемая тема для исследований. Например, существует бесконечный ряд весьма интересных тильда-чисел (см. ниже); или, например, существуют такие числа N (1, 2, 6, 12, 420, ..., 5342931457063200, ...), у которых делители (впервые среди прочих чисел N) "копируют" k первых членов натурального ряда (1, 2, 3, 4, ...), причем, k ∼ lnN (логарифм натуральный числа N). Отсюда вытекает, что Большой отрезок можно рассматривать всего лишь как "набор" первых делителей сверхбольшого числа N ∼ exp(8·10⁶⁰), причем, подобных сверхбольших чисел бесконечно много. Возможно, это в какой-то степени иллюстрирует ("отражает") суть гипотезы известного физика-теоретика А. Линде о том, что наблюдаемая нами Вселенная – это ничтожно малая часть мульти-вселенной, то есть бесконечной паутины расширяющихся вселенных (в удаленных областях старых вселенных появляются ростки новых).

Тильда-числа – это такие числа N (например, 655200, 6746328388800) у которых делители (d_i) на графике ln(d_i) = ƒ(i) напоминают большую тильду (волнистую линию ∼), у которой правый край как бы "задран" вверх (где i = 1, 2, 3, ... – порядковый номер делителя, ƒ – некая функция от аргумента i). Согласно моим исследованиям, делители тильда-чисел N лучше всего описываются логнормальными распределениями, и при этом возникает любопытное "отражение", поскольку именно такие распределения встречается в природе очень часто (множество примеров содержится в моих книгах, см. ниже).

Ещё в 1998 г. я предложил так называемый закон распределения богатства (ЗРБ) – формулу, которая "распределяет" богатство (S) тильда-числа N среди всех его делителей: d_i ≈ S·exp{−A[ln(K ⁄ i)]^p}, где K - количество всех делителей у числа N; A и p – числовые параметры (подбираются на графике с помощью компьютера). Так, для числа N = 655200 получаем: S = 2843568; K = 216; A = 9,07025; p = 0,27372; i = 1, 2, 3, ..., 215 (последний делитель принимаем равным N).

Имеет место следующее любопытное "отражение": именно ЗРБ (из мира, казалось бы, совершенно абстрактных чисел!) наилучшим образом позволяет установить как некий суммарный доход (S), полученный всем населением (скажем, в рамках: города, или региона, или страны), распределяется среди K (одинаковых по численности) групп этого населения. Здесь d_i – это средний доход внутри i-ой группы, а для подбора значений А и р следует знать, например, (правдоподобные) доходы 10% самых богатых и самых бедных слоев населения.

Тип (Т) числа – это количество всех целых делителей у числа N. Например, у числа N = 20 всего шесть делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20), поэтому его тип Т = 6. Очевидно, что определение типа любого целого числа N сводится к поиску его малых делителей, которые все размещаются на отрезке [1; N^½]. Все возможные типы (числовые значения Т) также образуют бесконечный ряд натуральных чисел. Однако в пределах Большого отрезка ряд появившихся типов Т – это конечное число, как и количество типов-фантомов – значений Т, которые появятся лишь за границей Большого отрезка (то есть "в будущем").

Количество чисел N внутри каждого типа – бесконечно (в рамках Большого отрезка, разумеется, конечно). Исключение составляет единица (число N = 1), которая наделена целым рядом парадоксальных свойств. Например, согласно ЗРПЧ (K ∼ N ⁄ lnN, см. выше) единицу можно считать простым числом, порядковый номер (K) которого устремляется к... бесконечности (∞): K → ∞ при N → 1. Значит ли это, что единицу (первое ненулевое натуральное число) можно "отождествлять" с бесконечностью?

Средний тип числа N. В натуральном ряде появление различных типов (чисел с различными типами Т) носит псевдослучайный характер, то есть лишь на первый взгляд нельзя предсказать тип следующего случайного (достаточно большого) числа N. Однако так называемая пирамида делителей Исаева "цементирует" все делители строго на своем месте (для каждого числа N), исключая всякую игру Его Величества Случая в части значения Т у числа N (в мире чисел царит абсолютный детерминизм).

Чем дальше мы уходим вправо от единицы, тем большие типы могут появиться, причем наряду с ними неизбежно будут появляться числа и с самыми малыми типами Т = 2, 3, 4, ....

Любому натуральному числу N помимо типа Т можно приписать средний тип (Т_s), который равен среднему арифметическому всех типов у чисел от 1 до N включительно: Т_s ≡ (Т₁ + Т₂ + Т₃ + ... + Т_n) ⁄ N.

Ещё Дирихле доказал, что для достаточно больших чисел N можно записать T_s ≈ lnN, то есть, несмотря на псевдослучайные колебания типов Т, средний тип T_s ведет себя вполне предсказуемо.

Мир – это множество всех натуральных чисел N, имеющих одинаковый тип Т. Например, все простые числа N = 2, 3, 5, 7, 11, ... "населяют" мир №2, то есть порядковый номер мира равен типу его чисел (Т = 2). Миры возникают ("зарождаются", появляются первый раз в натуральном ряде) далеко не по возрастанию: 1, 2, 3, 4, 6, 5, 8, 9, 10, 12, 7, 16, 15, 18, 14, 20, 24,.... Бесконечное множество всех миров можно разделить на две группы:

редкие миры – в них числа N имеют нечетный тип Т = 1, 3, 5, 7, ....

частые миры – в них числа N имеют четный тип Т = 2, 4, 6, 8, ....

По моим данным (2002 г.) на отрезке [1; 520000] всего семь ("магия" числа 7) самых "густонаселенных" миров (составляющих лишь 8,5% всех миров отрезка) содержат львиную долю отрезка – до 89% всех его целых чисел N.

Редкие миры образуют числа вида N = i², где i = 1, 2, 3, 4, ... . Только у таких чисел N последний малый делитель равен первому большому делителю, поэтому количество больших делителей всегда будет на единицу меньше, чем малых – так возникает нечетный тип Т. Первые числа из редких миров: N = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... . Ясно, что доля таких чисел в натуральном ряде быстро убывает (поэтому миры и названы "редкими").

Лидеры миров. При движении вдоль натурального ряда у некоторого числа N впервые появится тип Т. Такое число N мы назовём лидером мира Т. Лидер как бы "открывает" данный мир Т. Очевидно, что лидеры частых миров (ЛЧМ) и лидеры редких миров (ЛРМ) – это бесконечные ряды чисел, вот первые из них:

ЛЧМ: N = 2, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 180, (192), 240, 360, 720, 840, (960), ...

ЛРМ: N = 4, 16, 36, (64), 144, 576, 900, (1024, 1296), 3600, (4096, 5184, 9216), ...

Согласно моим исследованиям (2002 г.) на Большом отрезке находится около 120000 ЛРМ и около 687430 ЛЧМ (их отношение равно 5,7 – опять "магия" числа 7), то есть всего насчитывается около 807430 разных миров (типов чисел). По моему мнению, указанные количества (условно говоря, 120000 и 687430) должны иметь фундаментальное "отражение" в физическом мире: это, например, количество разных "сортов" элементарных частиц; или, например, это количество разных "сортов" струн (бран) в рамках теории суперструн и т. п.

Верхний лидер – это такой лидер N, у которого тип Т больше всех ранее появившихся типов (верхние лидеры удобно рассматривать отдельно: как внутри ЛЧМ, так и внутри ЛРМ). Верхние лидеры образуют верхнюю границу псевдослучайных "флуктуаций" лидеров миров (их типов Т), эта граница хорошо угадывается, если типы Т всех лидеров N нанести на график T = ƒ(N). В приведенных выше рядах ЛЧМ и ЛРМ верхними лидерами не являются числа, взятые в скобки: достаточно выписать типы (Т), указанных чисел (N), чтобы убедиться в этом.

Очевидно, что с ростом N верхние лидеры будут встречаться всё реже и реже. Мои исследования (2002 г.) показывают, что на Большом отрезке набирается: в редких мирах – около 270 верхних лидеров, а в частых мирах – около 748 верхних лидеров. Автор полагает, что эти количества (270 и 748) также имеют некие фундаментальные "отражения" в физическом мире.

Триллион Исаева имеет несколько равнозначных (друг другу) определений:

– это максимально возможный тип (T_max) у целых чисел N в конце Большого отрезка;

– это максимально возможное количество делителей у чисел N в конце Большого отрезка (у чисел из частых миров);

– это отношение крайних типов на Большом отрезке: T_max ⁄ T_min, где T_min = 1 (тип числа N = 1).

Исследования автора показывают, что T_max ≈ 7·10¹¹ или, округляя, T_max ≈ 10¹². Триллион Исаева имеет много "отражений" в окружающем нас реальном физическом мире. Среди них самыми "сильными", вероятно, являются следующие "отражения":

• число звезд в типичной (средней по размерам) галактике ∼ 10¹¹ (значит, в самых крупных галактиках насчитывается ∼ 10¹² звезд?);

• число всех галактик в наблюдаемой Вселенной ∼ 10¹¹ (значит, совершенствуя свои телескопы, астрономы вскоре насчитают ∼ 10¹² галактик?).

В конце Большого отрезка T_max частых миров почти в 8 раз превосходит T_max редких миров – это очередной пример "магии" числа 7 в структуре натурального ряда.

В конце Большого отрезка T_max ≈ 7·10¹¹ почти на 10 порядков больше среднего типа всех чисел (T_s ≈ 140), что объясняется единственным образом: мир чисел отдает явное предпочтение малым типам Т, то есть у подавляющего большинства натуральных чисел N, количество делителей невелико. Так, доля простых чисел (у них Т = 2) около 0,7% и это очень большая доля, ведь в среднем на каждый мир (Т) приходится только 0,00012% от всех чисел Большого отрезка. Данный факт "отражается" в реальном мире очевидным образом: в природе малые особи (в широком смысле, а не только биологические объекты) более распространены, чем крупные. Как следствие этого повсеместно (в природе, в самых разных областях нашей жизни) выполняется закон Бенфорда.

Бесконечные целочисленные последовательности (БЦП) – это, как правило, "продукт" работы либо некого словесного алгоритма (например, в случае ЛЧМ и ЛРМ, см. выше), либо некой точной формулы. Виртуальная космология, даже в объёме уже написанных мною книг, позволяет (в принципе) составить бесконечно много алгоритмов, порождающих самые разнообразные БЦП, в том числе из знаменитого электронного справочника Дж. Слоуна. Однако сами по себе БЦП меня мало интересуют, поэтому некоторые БЦП из моих книг (спустя годы) оказались в справочнике Слоуна без упоминания моей фамилии. Всё моё внимание приковано к загадочным "отражениям" реального мира в структуре натурального ряда. Именно эти "отражения" служат скрытой пружиной, подталкивающей мой интерес к виртуальной космологии.

ПЕРЕЧЕНЬ КНИГ, в которых зарождались основы виртуальной космологии:

1. Исаев А. В. Закон распределения богатства.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 1998. - 68 с. - ISBN 5-87050-085-0;

2. Исаев А. В. Параллельные миры или Дискретность пространства-времени.
Санкт-Петербург: Всемирная литература, 2001. - 127 с. - ISBN 5-87050-086-9;

3. Исаев А. В. Параллельные миры II или Структура пространства-времени.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2002. - 240 с. - ISBN 5-87050-199-7;

4. Исаев А. В. Тайны российской статистики или Распределение величин.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2002. - 66 с. - ISBN 5-87050-200-4;

5. Исаев А. В. Тайны статистики или Что скрывают числа.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2003. - 82 с. - ISBN 5-87050-202-9;

6. Исаев А. В. Леонард Эйлер и космология чисел.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2003. - 79 с. - ISBN 5-87050-203-9;

7. Исаев А. В. "Зеркало" Вселенной.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2004. - 109 с. - ISBN 5-87050-208-Х;

8. Исаев А. В. Суперструны и параллельные миры.
Санкт-Петербург: Издательство "ЛИСС", 2006. - 188 с. - ISBN 5-87050-211-Х.