Исаев Александр Васильевич

Теория струн... в мире чисел?

Теория струн - это физическая теория, в основе которой лежит чудовищно сложный математический аппарат (возможно, и поэтому теорию струн многие физики просто... не признают). Эта теория возникла в 1968 г. в результате творческого 'озарения' физика-теоретика Габриэле Венециано. Середина 1980-х и 1990-х годов ознаменовались бурным развитием теории струн, так как ожидалось, что она 'вот-вот' позволит сформулировать так называемую 'единую теорию (всего мироздания!)', или 'теорию всего', поискам которой Альберт Эйнштейн безуспешно посвятил последние десятилетия своей жизни. Однако несмотря на математическую строгость и целостность теории струн, до сих пор нет достоверной экспериментальной проверки этой теории. Тем не менее, развитие теории струн продолжается, и есть надежда, что недостающие элементы струнных теорий будут найдены в ближайшем будущем, в том числе в результате экспериментов на Большом адронном коллайдере в Женеве (это самый дорогой и самый сложный эксперимент в истории науки!).

Что же такое струна в указанной теории? Представьте себе резиновый шнур исчезающе малой толщины, то есть имеющий только одно измерение - длину. [Так, например, для нас в повседневной жизни волосы на голове также имеет 'только' длину, а про толщину волоса (80 мкм) мы, вообще говоря, даже не вспоминаем. Вот и физикам-теоретикам толщина струны просто 'не нужна'.] Из этого резинового шнура образовано ('свернуто в бублик') кольцо невообразимо малого размера ('диаметр бублика') порядка

0,00000000000000000000000000000000001 м, где после запятой стоит 34 нуля, то есть, если говорить по-научному, это число порядка 10 в 'минус' 35-й степени метра. Именно такой размер имеет так называемая планковская длина -фундаментальная физическая постоянная (в физике много разных констант).

Согласно теории струн, планковская длина - это минимально возможный размер кольца ('диаметр бублика' из струны с нулевой толщиной). Однако теория струн говорит, что размеры иных колец могут быть больше планковской длины на несколько порядков. Более того, согласно гипотезе автора, максимально возможный размер кольца может быть больше планковской длины в... триллион раз (см. мою статью про i-триллион - триллион Исаева:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2000.shtml).

То есть моя виртуальная космология утверждает, что отдельные (относительно редкие) кольца могут достигать размеров порядка

0,00000000000000000000001 м (порядка 10 в 'минус' 23-й степени метра). Но даже столь 'огромные' кольца - это всё ещё в 100000 раз меньше того размера, который физики способны 'увидеть' в своих экспериментах. Ведь всё, что меньше аттометра (это 10 в 'минус' 18-й степени метра) - для физиков-экспериментаторов как бы 'сливается' в одну точку (она пока 'неразрешима' для 'микроскопов' в экспериментах). Поскольку струны (размеры колец) чрезвычайно малы (гораздо меньше аттометра), то они выглядят для экспериментаторов как точечные частицы и не противоречат результатам экспериментов, поставленных в рамках других физических теорий (их есть немало), где фигурируют не струны, а именно точечные частицы (см. мою статью про элементарные частицы:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2030.shtml).

А теперь представьте, что выше описанный (бесконечно тонкий) резиновый шнур, свернутый в (крошечное) кольцо, колеблется (вибрирует), причем по окружности кольца укладывается всегда исключительно целое количество волн (эти количества - суть натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., что также дает право автору верить в свою религию - виртуальную космологию, рассматривающую ряд натуральных чисел под неожиданным углом зрения, см. мой раздел на 'Самиздате':

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/ ).

Струны - это новый (и последний, предельно глубокий?) микроскопический уровень в известной иерархии материи, весьма грубое описание которой можно свести к следующему: в основе мироздания лежат только струны, которые 'формируют' кварки и лептоны; из которых 'склеены' протоны, нейтроны и прочие элементарные частицы; из которых состоят атомы; из которых составлены молекулы; из которых построено всё вещество (так, живые клетки построены из органических молекул, а человек состоит из этих молекул).

Мы описали замкнутые струны (вибрирующие 'кольца', именно о них мы и будем говорить в данной статье), однако существуют ещё открытые струны (как бы 'палочки' со свободными концами), и для них справедливо почти всё, что было и ещё будет сказано нами о замкнутых струнах.

Итак, читателю уже должно быть ясно, что бесконечно тонкая одномерная (имеющая только 'длину', без толщины) струна  - это математическая идеализация. Но из чего на самом деле состоят струны? Обычно считают, что этот вопрос не имеет смысла, так как нет ничего более фундаментального, чем струна (она не имеет компонентов, более глубокой основы; хотя уже есть интригующие догадки о более глубоких уровнях структуры струны). 'Материал' всего вещества и всех четырех фундаментальных взаимодействий (четырех сил природы, в том числе гравитации) в теории струн - одинаков, так как все струны абсолютно идентичны. А до теории струн считалось, что все фундаментальные частицы 'отрезаны от разных кусков ткани': для каждого из шести (сортов) кварка - своя 'ткань', для электронов - своя, для нейтрино - своя и т. д. Напомню, что всего известно 12 фундаментальных частиц - кирпичиков мироздания (6 кварков и 6 лептонов), а также известно ещё 4 вида квантов полей (переносчиков 4-х фундаментальных сил в природе, самая загадочная из четырех сил - это гравитация). У каждого кварка и лептона есть своя античастица, поэтому полный набор состоит из 28  фундаментальных образований (12 частиц + 12 антицастиц + 4 кванта полей). До теории струн просто считалась, что кварки и лептоны образуют бесконечное (?) множество сортов (видов) элементарных частиц, каждая из которых - это некая своя неповторимая комбинация фундаментальных частиц, причем в свободном виде кварк существовать не может - это аксиома и парадокс науки.

В теории струн совершенно иное объяснение того, что такое элементарная частица (любая, в том числе и фундаментальная: кварки, лептоны) - в теории струн 'просто' каждая из разрешенных мод колебаний струны проявляется в виде... элементарной частицы (масса и заряды которой определяются конкретным видом колебания струны). Та же идея применима к фундаментальным взаимодействиям, а вернее, к частицам (квантам полей), которые их переносят. Таким образом, согласно теории струн, всё вещество и все силы природы обязаны своим происхождением одной фундаментальной величине - колеблющейся струне, которая имеет резонансные частоты, то есть всё в этом мире состоит из комбинаций вибрирующих волокон. Микроструктура Вселенной - это сложно переплетенный, многомерный лабиринт, в котором струны бесконечно закручиваются и вибрируют, ритмично отбивая законы космоса. То есть ВСЁ (в том числе все тайны жизни, мы с вами и наши мысли) - это своеобразный танец струн. Представить это непросто (и это круче любого фэнтези, круче любой фантастики, в том числе и религии!)...

Теория хаоса учит, что при увеличении сложности системы начинают действовать новые законы (помните из школьной философии: закон перехода количества в качество!). Так понимание электрона (благодаря теории струн) - это одно, а понимание, скажем, грозового разряда (молнии) - совсем другое, но это не связано с работой новых физических законов. В объяснении молнии есть только чисто вычислительные проблемы, главное - это понять, как устроен 'фундамент' мироздания, а всё остальное - 'дело техники'. Этот 'фундамент' (первооснову) мироздания и пытается описать теория струн, а также... и моя виртуальная космология (но лишь в отдельных малых фрагментах огромного 'фундамента' и в предельно простой форме).

Масса любой фундаментальной частицы (то есть сорт конкретного кварка, лептона и т.д.) определяется энергией колебания струны, 'формирующей' эту частицу: струны более тяжелых частиц (t-кварков и др.) совершают более интенсивные колебания, струны легких частиц (d-кварков и др.) колеблются менее интенсивно. Чем больше амплитуда и чем короче длина волны, тем больше энергия. Согласно квантовой механики энергия колебания струн может иметь только дискретные значения (и снова перед нами возникают натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... и 'тень' моей виртуальной космологии).

Единственным параметром, который требуется для калибровки теории струн, является натяжение струн. Расчеты показали, что интенсивность взаимодействия, передаваемого колебанием струны ('формирующей' гравитон - квант гравитации), обратно пропорциональна натяжению струны. Из слабости гравитационного взаимодействия (самая слабая сила в природе) следует колоссальное (планковское) натяжение струн - до 10 в 39-й степени тонн! Таким образом, струны чрезвычайно жесткие, откуда получаем три важных следствия:

1). Типичная струна сжимается до планковского размера, но есть малая вероятность того, что натяжение может быть меньшим, а размер струн гораздо больше (иначе говоря, 'диаметры' вибрирующих струн-колец чаще всего имеют планковский размер - это наиболее вероятный размер струн в мироздании).

2). Типичная энергия колеблющейся струны чрезвычайно большая (планковская). Но струна всегда испытывает действие квантовых осцилляций, которые с энергетической точки зрения сокращают обычные колебания струны. Так мода колебаний, являющаяся кандидатом на роль гравитона, характеризуется полным сокращением энергии частицы (что приводит к нулевой массе гравитона). Но более типичные колебания струны соответствуют частице, масса которой равна планковской массе (0,000000001 кг - это масса пылинки, что для микромира является гигантской массой). То есть сравнительно легкие элементарные частицы образуются, словно из тумана, расстилающего над ревущим океаном высокоэнергетических струн.

3). Существует бесконечное число мод колебаний струны, то есть количество различных сортов (видов) элементарных частиц - бесконечно (см. мою статью 'Количество элементарных частиц - 807430':

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2030.shtml).

'Теория всего' - так можно назвать теорию струн, ибо все события во Вселенной являются отражением одного великого физического принципа (главного уравнения теории струн). Теория струн обещает нам унифицированное описание физического мира - универсальную теорию мироздания. Причем теория струн - это не конец науки, а её начало; прочное основание (точка опоры) для строительства нашего понимания мира. Теория струн - мощная парадигма понятий о пространстве-времени, выводящая нас на финишную прямую; она впервые дает изящные ответы на самые фундаментальные вопросы.

Главный недостаток теории струн заключается в том, что её математический аппарат столь чудовищно сложен, что сегодня никто даже не знает точных уравнений, их вида. Сейчас для приближенных вариантов этих уравнений (они тоже очень сложны) найдены только частичные решения. Подобно тому, как уравнение 0хN = 0 имеет бесконечно много решений (число N может быть любым), так и в теории струн уравнения имеют множество решений (в итоге - рог изобилия всевозможных вселенных, большинство из которых не имеют никакого отношения к наблюдаемому миру). В том числе теория струн приводит и к Вселенной, свойства которой находятся в качественном согласии с данными для известных частиц и взаимодействий. Но представить ('выудить') детальные количественные характеристики теория струн ещё не в состоянии. В настоящее время теория струн окончательно не разработана, не имеет надежного экспериментального подтверждения и не принята всем научным сообществом, хотя волна критики теории струн в начале 21 века существенно пошла на убыль. Всё ждут экспериментов в ближайшем будущем, в том числе на Большом адронном коллайдере в Женеве, причем косвенные подтверждения теории струн могут быть получены в любой момент (вот главная интрига современности!).

Уважаемый читатель! Всё сказанное выше - это только прелюдия к тому, о чем автор хотел рассказать в данной статье. И ещё мне пора пояснить, что весь материал в части теории струн (что изложен и выше, и ниже) автор построил на основе мирового бестселлера: Грин Брайан, 'Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории', М.: Едиториал УРСС, 2004 г. (эта замечательная книга есть и в Рунете на самых разных его сайтах, кое-где её можно даже бесплатно скачать, а прочитать её надо обязательно, если Вы себя считаете образованным человеком!).

Итак переходим к главному (в данной статье).

В теории струн колебательные движения струны разделяют на две категории (и все движения струны - это просто их суперпозиция):

- обычные колебания (вдоль струны укладывается в точности целое число волн);

- однородые колебания (соответствуют поступательному движению струны как целого, форма струны не изменяется), энергия этих колебаний обратно пропорциональна радиусу (R) циклического измерения. Большие значения ра-диуса R соответствуют большим значениям топологической энергии и малым значениям колебательной энергии, а малые значения радиуса R соответствуют малым значениям топологической энергии и большим значениям колебательной энергии.

В итоге получается важнейший результат: всякому большому радиусу (R) вселенной соответствует некий малый радиус, при котором топологические энергии струны, вычисленные для вселенной с большим радиусом, равны колебательным энергиям струны, вычисленным для вселенной с малым радиусом (и наоборот). Кстати, здесь уместно пояснить, что слово 'вселенная' пишут с маленькой буквы, когда речь идет о вселенной 'вообще' (о любой возможной вселенной, в том числе и нашей Вселенной - в которой мы живем).

Поскольку физические свойства вселенной зависят лишь от полной энергии конфигурации струны (ПЭКС), то теория струн приводит к важнейшему результату, который мы назовем ФЕНОМЕНОМ КВАНТОВОЙ ГЕОМЕТРИИ: нет никакого физического различия между геометрически различными состояниями вселенной: когда мы мысленно обращаем историю Вселенной вспять, то сокращение её радиуса R ниже значения планковской длины физически эквивалентно... увеличению радиуса 1/R (это величина обратная R). Читатель уже, наверняка, уловил суть сказанного в части радиуса Вселенной (R), однако будет полезным, обратиться к главе 10 (Квантовая геометрия) указанной книги Брайана Грина - лучше него рассказать о тайнах радиуса Вселенной, практически, невозможно!

ВИРТУАЛЬНАЯ КОСМОЛОГИЯ (удивительный мир чисел).

Моё 'ноу-хау' ('изобретение') в части радиуса Вселенной заключается в следующем: в рамках виртуальной космологии полную энергию конфигурации струны (ПЭКС, см. выше) 'отражает'... предельно простая (!) на вид функция A = х/lnx, которая в теории чисел играет фундаментальную роль (теория чисел - это архисложный раздел высшей математики, про который студентам лишь вкратце рассказывают на первых курсах университета: мат-меха, мех-мата, физфаков).  Именно поэтому можно сказать (образно говоря), что теория струн 'зашифрована'... в мире чисел, что мир чисел - это 'зеркало' Вселенной, в котором как бы 'отражаются' самые фундаментальные математические законы, описывающие структуру реального пространства-времени (то есть нашу Вселенную). Мир чисел на первый взгляд кажется до смешного простым (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...), но его законы, управляющие распределением целых делителей (они есть у каждого натурального числа), - уже далеко не банальны и во многом напоминают ('отражают'?) законы, которыми управляется реальный физический мир. Поэтому у автора и родилась ключевая идея виртуальной космологии: математическая ('внутренняя') структура ряда натуральных чисел столь прекрасна и имеет столько поразительных свойств, что, несомненно, должна указывать на что-то более глубокое (на устройство 'фундамента' мироздания)! Здесь уместно вспомнить древнюю латинскую пословицу: 'Simplex sigilum veri' ('Простота - это признак истинности'), а также слова прозорливого Эйнштейна: 'Наш опыт убеждает нас, что природа - это сочетание самых простых математических идей' (лежащих в 'фундаменте' мироздания, а уже вся прочая 'архитектура' мироздания может быть чрезвычайно сложной!). А что может быть проще, когда я говорю, что математическая структура реального пространства-времени (потока его дискретных квантов), возможно, кое в чём аналогична математической структуре 'потока' чисел  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Если теория струн - это сложнейшая математическая модель пространства-времени (ММПВ), то моя виртуальная космология - это самая простая ММПВ, которая моделирует и объясняет физический мир лишь фрагментарно и очень примитивно.

Пространство-время выглядит для нас (людей), как непрерывное ('гладкое'), без всякого намёка на его дискретность (зернистость) лишь только потому, что аттометр (ещё доступный физикам в экспериментах) превышает планковский размер в 10 в 17-й степени раз (гигантское соотношение!). Для сравнения: даже пролетая на самолете над тайгой на высоте H ~ 10000 м, мы видим только гладкий зеленый ковёр, а не нагромождение деревьев (высотой h ~ 10 м), хотя в данном примере (с самолетом) мы имеем всего лишь отношение H/h = 1000 (это 10 в 3-й степени), что на 14 (!) порядков меньше, чем отношение 10 в 17-й степени, характерное для микромира (где царит куда больший 'бурелом', чем в тайге, но мы этого просто не видим, по крайней мере, в нашей обычной земной жизни!).

В масштабах, характерных для человека (это масштабы порядка одного метра) Вселенная имеет три пространственных измерения (это, скажем, 'длина', 'ширина' и 'высота' комнаты, в которой Вы сейчас находитесь) и одно временное измерение, которое абсолютно равноправно пространственным измерениям и зависит от скорости наблюдателя (при скоростях близких к скорости света ход времени... замедляется). С точки зрения математики описания пространства и времени оказались очень похожими, более того, в действительности это две стороны одной единственной структуры, именуемой 'пространство-время'. Причём в современной физике (в квантовой теории) пространству и времени отводится центральная роль, существуют даже гипотезы, где вещество (в том числе и мы с Вами, уважаемый читатель!) рассматривается не более как возмущение этой основной структуры. Средняя плотность видимого вещества во Вселенной оценивается как 1 атом вещества на куб пространства со стороной 2,55 м. Грубо говоря, наша Вселенная - это почти 'пустое' пространство-время, которое дискретно и непрерывно расширяется. А ряд натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., безусловно, дискретен и также в некотором смысле... 'расширяется': 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, .... (разве не так?).

Далее я буду более подробно рассказывать о своём 'ноу-хау', пытаясь говорить предельно просто, поэтому заранее прошу извинить меня за возможные казусы в глазах профессионалов (математиков, физиков и т.п.).

Среди бесконечного множества натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...) есть так называемые простые числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. Ряд простых чисел также бесконечен: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, ...

---

Примечание:

Ряд простых чисел -  это числовая последовательность (номер) A000040 на сайте OEIS - от англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences - Энциклопедия целочисленных последовательностей - интернет-ресурс, посвящённый целочисленным последовательностям, коих там свыше 164500. Не смотря на указанное (огромное!) количество, моя виртуальная космология добавила в эту энциклопедию несколько новых целочисленных последовательностей: А166688, А166689, А166690, А166691, А166693, которые я отправил (18.10.2009 г.) по интернету Нейлу Слоан - автору и хранителю сайта OEIS.

---

Одно из главных чудес мира чисел заключается в том, что любое натуральное число (вплоть до бесконечности!) можно представить в виде произведения простых чисел (это так называемая основная теорема арифметики, см. в Википедии). Например (где х - это знак умножения): 32 = 2х2х2х2х2; 91 = 7х13; 108 = 2х2х3х3; 114 = 2х3х19; 140 = 2х2х5х7; 150 = 2х3х5х5. Вот почему простые числа называют ещё базисом натуральных чисел, ведь из простых чисел, как из 'кирпичиков', строятся все целые положительные числа (кроме 0 и 1, о которых - разговор особый). И если теперь (вернее, чуть ниже) мы вдруг скажем, что в мире чисел есть некая 'энергия' - это количество всех простых чисел на отрезке [2; х] (то есть от числа 2 до некого числа х), то интуитивно нам должно быть понятно, что речь идет, действительно, о некой 'внутренней энергии' числового отрезка [2; х], ведь каждое натуральное число сформировано исключительно из простых чисел (не превосходящих числа х) - базисных 'кирпичиков' мира чисел (с числами 0 и 1 есть проблемы, но не в этом суть!).

Чем дальше мы перемещаемся вдоль натурального ряда (вправо от единицы) - тем, вообще говоря, всё реже и реже нам будут встречаться простые числа. Иначе говоря, разность ('расстояние') между соседними простыми числами, вообще говоря, будет увеличиваться. Кстати, на строгом языке математики фраза 'вообще говоря' означает, что бывают случаи, когда это не так (очень удобная договоренность в части указанной фразы!). И даже можно указать отрезки натурального ряда сколь угодной длины (какой захотим!), на которых не будет ни одного (ни одного!) простого числа - в нашей голове это даже не укладывается (тем более, что такие отрезки будут невообразимо далеко от единицы), но в этом, отчасти, и состоит прелесть мира чисел, полного парадоксальных утверждений, которые выходят далеко за рамки нашего воображения (увы, весьма и весьма ограниченного!).

Сколько простых чисел содержится на отрезке [2; х]? Мне трудно сказать, кто первым увидел, что на этот сложнейший (!) вопрос отвечает простейшая (!) формула A = х/lnx, где А - это приблизительное количество простых чисел на отрезке [2; x], причем, чем больше число х, тем меньше относительная погрешность указанной формулы (в части указания количества простых чисел). Так, например, гениальный математик Карл Гаусс (1777-1855 гг.) ещё в 15 лет, рассматривая подаренные ему таблицы логарифмов, увидел и записал эту формулу. А потом за свою долгую 79-летнюю жизнь он нашел все простые числа на отрезке [2; 3000000], и всё сравнивал их с указанной формулой. Однако лишь в 1896 г. математики смогли абсолютно строго (аналитически) доказать, что именно формула A = х/lnx, порождает ответ на вопрос о количестве простых чисел (см. в Википедии теорему о распределении простых чисел).

Формулу A = х/lnx можно трактовать ещё следующим образом: А - это порядковый номер (в ряду всех простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...) последнего (наибольшего) простого числа, равного числу x. Например, для 3-го по порядку простого числа х = 5 мы получим А =5/ln5 = 3 (для прочих простых чисел получается не столь 'складное' равенство, но суть сейчас не в этом). В связи с указанной трактовкой любопытен случай, когда х = 1, то есть, когда мы пытаемся представить единицу в качестве... первого простого числа (вообще говоря, первое простое число - это 2). При этом мы получаем A = 1/ln1 = 1/0, то есть при этом мы пытаемся разделить единицу на нуль, что, строго говоря, в математике запрещено (никакое число нельзя делить на нуль), и, тем не менее, именно поэтому в виртуальной космологии утверждается, что единица - это совершенно особое простое число, порядковый номер которого... бесконечно большой (как предельный результат деления единицы на нуль; попробуйте сами продолжить цепочку таких делений: 1/0,1; 1/0,01; 1/0,001; 1/0,0001; 1/0,00001; ...). Иначе говоря, в рамках виртуальной космологии единица эквивалентна (тождественна) понятию... 'бесконечность'! Возможно, именно так мир чисел 'зашифровывает', 'отражает' парадоксальный феномен теоретической физики: из уравнений Эйнштейна вытекает возможность того, что черная дыра может быть окном в другую вселенную, связанную с нашей Вселенной лишь в центре черной дыры (наша единица 'отражает' указанный центр черной дыры?!).

Главное допущение виртуальной космологии - это 'эквивалентность' каждого натурального числа N - кванту времени (планковскому времени), равному 0,000...00054 секунды, где после запятой стоит 43 нуля (то есть это 10 в 'минус' 44-й степени секунды). Это допущение возможно лишь потому, что из физических теорий ясно следует - при самом 'глубоком' рассмотрении - время уже не 'течёт' (непрерывно и плавно, как нам просто кажется, это только иллюзия!), а время уже квантуется, уже проявляется его дискретный характер. И неким аналогом последнего (и в этом -  самая суть 'ноу-хау' автора) является именно ряд натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., где между числами нет никаких 'мостков' (ведь десятичные числа мы здесь не рассматриваем!).

Возраст нашей Вселенной - это около 13,75 млрд. лет от так называемого Большого взрыва - первого мгновения существования Вселенной. Иначе говоря, возраст Вселенной составляет около

433620000000000000 секунд или около

N* = 8021970000000000000000000000000000000000000000000000000000000

квантов времени (планковских времен), то есть речь идет о числе порядка это 10 в 61-й степени. Вот почему в рамках виртуальной космологии с возрастом нашей Вселенной отождествляется так называемый Большой отрезок, на котором находятся порядка 10 в 61-й степени целых чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N*), а, точнее говоря, столько целых чисел, сколько квантов времени (планковских времен) содержится ('помещается') в возрасте нашей Вселенной.  

В теоретической физике наряду с планковским временем существует ещё одна фундаментальная величина - планковская длина - это путь, который проходят фотоны (кванты) света за планковское время. При этом заметим, что в природе (во Вселенной) ничто не может двигаться быстрее фотонов света, чья скорость почти равна 300000000 м/с. Нетрудно вычислить, что за каждый квант времени (за планковское время) фотоны света проходят около 0,000...0001 м, где после запятой стоит 34 нуля (то есть это порядка 10 в 'минус' 35-й степени метра) - это и есть планковская длина (меньше этой 'длины' в природе ничего быть не может).

Таким образом, для любого момента времени t (от одного кванта времени и более) в ходе эволюции Вселенной мы можем указать радиус (R) Вселенной  - это путь, который проходят фотоны света за время t. Нехитрый расчет показывает, что за всё время существования Вселенной (за 13,75 млрд. лет) фотоны света прошли путь около 130086000000000000000000000 м, грубо говоря, это единица с 26-ю нулями (10 в 26-й степени метров) - число, безусловно, колоссальное (это и есть 'габаритный' размер нашей Вселенной).

ОБЫЧНЫЕ ЧИСЛА

Выше мы 'обосновали', что в мире чисел есть некая 'энергия' - это количество всех простых чисел на отрезке [2; х] (то есть от 2 до некого целого числа х), то есть количество, которое определяется с помощью формулы A = х/lnх. А теперь мы эту формулу запишем так: A = Х/lnХ, где величину А будем понимать как некую... 'внутреннюю энергию' самого числа Х, которое теперь будем считать любым действительным числом (напомню, что натуральные числа - это 'частный случай' действительных чисел). Все числа Х мы будем называть обычными числами и это имеет смысл только в рамках виртуальной космологии. Очевидно, что при Х = е = 2,718... (число 'е' - основание натуральных логарифмов, см. Википедию) 'энергия' имеет минимально возможное значение: А = e/lne = e = 2,718... Чем больше обычное число Х (а значит, и чем больше R - радиус Вселенной в мире обычных чисел), тем больше 'энергия' числа Х.

ПРОТОЧИСЛА

А теперь рассмотрим формулу A = П/lnП, где величину А будем понимать как некую... 'внутреннюю энергию' числа П, которое теперь будем считать любым действительным числом, находящемся между единицей и числом е = 2,718... . Все числа П мы будем называть проточислами (то есть первичными числами; числами, лежащими в первооснове обычных чисел Х) и это имеет смысл только в рамках виртуальной космологии. Очевидно, что, чем меньше проточисло число П (а значит, и чем больше 1/R - радиус вселенной в мире проточисел чисел), тем... больше 'энергия' проточисла П - убедитесь в этом сами (по формуле A = П/lnП)! Когда проточисло П устремляется к единице - 'энергия' прочисла П устремляется к бесконечности. То есть проточисло П = 1 'эквивалентно' бесконечности на множестве обычных чисел Х.

Теперь настало время вспомнить ФЕНОМЕН КВАНТОВОЙ ГЕОМЕТРИИ (см. выше), который 'зашифрован' (!?) в мире чисел в следующем виде: нет никакого физического ('энергетического') различия между различными состояниями вселенной мира чисел: когда мы мысленно обращаем историю Вселенной вспять, то сокращение её радиуса R ниже значения е = 2,718 (это почти планковская длина в виртуальной космологии) физически ('энергетически') эквивалентно... увеличению радиуса 1/R (это величина обратная R).

Любому (каждому) значению 'энергии' А (ясно, что А всегда больше числа e = 2,718...) в мире чисел всегда можно поставить в соответствие два числа: проточисло П и обычное число Х. Такие числа П и Х (с одинаковой 'энергией' А) мы будем называть равномощными числами. Например, нетрудно убедится, что концу Большого отрезка, то есть обыкновенному числу Х порядка 10 в 61-й степени (что 'эквивалентно' нашему времени - порядка 10 в 61-й степени планковских времен), будет равномощно проточисло 1,000...0001, где после запятой стоит 59 нулей. В этом смысле можно сказать, что 'внутри' единицы 'спрятана' неведомая нам вселенная из проточисел, которая эквивалентна нашей Вселенной (из мира обычных чисел). Образно говоря, там, где останавливаются стрелки часов нашей Вселенной начинается отсчет времени (другой) вселенной (из проточисел), которая прикреплена к нашей (подобное утверждение есть и в теории струн!).

Из этого примера мы догадываемся, насколько неудобно оперировать проточислами - мы к такой математике просто не привыкли. Наша математика просто 'не приспособлена' для работы в 'захлопнутом' мире проточисел, хотя последний, в принципе, ничем не хуже мира обычных чисел!

Прелесть проточисел П в том, что мы можем легко ответить, скажем, на такой вопрос: какой отрезок содержит 99,7% всех проточисел? Ясно, что отрезок длиной (е - 1) содержит 100% всех проточисел П, причем все они, очевидно, распределены равномерно на данном отрезке. Тогда отрезок длиной (е - П) будет содержать следующую долю (Д) всех проточисел: Д = (е - П)/(е -1), считая проточисла П справа налево от числа е. Затем умножая Д на 100% - мы получаем для каждого проточисла П - свой процент (свою долю Д). Таким образом, нетрудно найти, что искомым 99,7% отвечает проточисло П = 1,00515, то есть:

- между числами П = 1,00515 и е = 2,718 содержится 99,7% всех проточисел, причем указанному проточислу П будет равномощно обычное число Х = 1420 ('энергия' А = 196; радиус R -  порядка 10 в 'минус' 32-й степени метра).

Аналогичным образом находим, что:

- между числами П = 1,07904 и е = 2,718 содержится 95,4% всех проточисел, причем указанному проточислу П будет равномощно обычное число Х = 57 ('энергия' А = 14; радиус R -  порядка 10 в 'минус' 33-й степени метра);

- между числами П = 1,5446 и е = 2,718 содержится 68,3% всех проточисел, причем указанному проточислу П будет равномощно обычное число Х = 7 ('энергия' А = 3,6; радиус R -  порядка 10 в 'минус' 34-й степени метра).

Взятые нами проценты (68,3%; 95,4%; 99,7%) вытекают из вероятностей (Р = 0,683; Р = 0,954; Р = 0,997), которые напрямую связаны с понятием о среднем квадратичном отклонении при нормальном распределении плотности вероятности (кривая Гаусса). Всё это - азы теории вероятности, на которой, образно говоря, построен весь реальный физический мир (более подробно об этом смотри в моей книге 'Зеркало' Вселенной' на стр. 45 или см. по следующей ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_4.shtml ).

Если же сказать предельно просто, то из всей нашей 'возни' с процентами (68,3%; 95,4%; 99,7%) у проточисел П - вытекает некое 'объяснение' загадочного вопроса: почему природа 'любит' именно малые числа? 'Простой' ответ на столь загадочный вопрос дает... виртуальная космология: подавляющее большинство проточисел (99,7%) 'эквивалентны' (в части их 'внутренней энергии') именно малым обычным числам - от числа е = 2,718 до числа Х = 1420, и числа именно из указанного диапазона чаще всего фигурируют в теоретической физике и математике (о подобном наблюдении я где-то прочитал, возможно у Роджера Пенроуза в его замечательной книге 'Новый ум короля...'?)

Стоит ещё только добавить, что любовь природы к малым числам, отчасти также объясняется и законом Бенфорда - прямым следствием того очевидного факта, что мы живем в экспоненциальном мире (о законе Бенфорда см. по ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number2060.shtml ).

ЭКЗОЧИСЛА

Нельзя не согласиться, что открывшийся нам мир проточисел во многом весьма необычен, непривычен, неудобен (для нас). Но ещё большее загадок таит в себе мир экзочисел (то есть совсем уже 'внешних', 'наружных', 'чуждых' нам чисел) - так я назвал числа, заключенные между нулем и единицей. Все чудеса с экзочислами возможны лишь потому, что на отрезке [0; 1] формула A = Э/lnЭ (где Э - любое экзочисло)... продолжает прекрасно работать! Правда, теперь все значения 'энергии' мы получаем со знаком 'минус' (как это можно 'расшифровать' с точки зрения теоретической физики?). Очевидно, что чем меньше экзочисло Э (чем оно ближе к нулю) - тем меньше модуль (абсолютная величина) значения, которое выдает формула A = Э/lnЭ (то есть без учета знака 'минус' у А). Когда экзочисло Э устремляется к единице (слева от неё), то 'энергия' экзочисел устремляется к 'минус' бесконечности.

 Любому (каждому) значению 'энергии' А (напомню, что А всегда больше числа e = 2,718...) в мире чисел всегда можно поставить в соответствие два числа: экзочисло Э и обычное число Х. Такие числа Э и Х (с одинаковой 'энергией' А и без учета знака 'энергии', то есть на знак 'минус' у экзочисел - закрываем глаза!) мы будем называть равномощными числами. Например, нетрудно убедится, что концу Большого отрезка, то есть обыкновенному числу Х порядка 10 в 61-й степени (что 'эквивалентно' нашему времени - порядка 10 в 61-й степени планковских времен), будет равномощно экзочисло Э = 0,999...999, где после запятой стоит 60 девяток. В этом смысле можно сказать, что 'внутри' единицы 'спрятана' неведомая нам вселенная из экзочисел, которая эквивалентна нашей Вселенной (из мира обычных чисел) и вселенной из проточисел. Образно говоря, там где останавливаются стрелки часов нашей Вселенной начинается отсчет времени (другой) вселенной (из экзочисел), которая прикреплена к нашей.

Возможно, что упомянутые выше отсчеты времени, в какой-то мере эквивалентны, тождественны пересчету 'дырок' (то есть нулей) у малых проточисел П, и пересчету девяток (после запятой) у больших экзочисел Э.

Из этого примера мы также догадываемся (как и с проточислами), насколько неудобно оперировать экзочислами - мы к такой математике опять-таки просто не привыкли. Наша математика просто 'не приспособлена' для работы в 'захлопнутом' экзотическом мире экзочисел, хотя последний, в принципе, ничем не хуже мира обычных чисел или мира проточисел! Кстати говоря, согласно М-теории (это дальнейшее логическое развитие теории струн) на масштабах, меньше планковских существует таинственная область - нуль-брана, в которой совершенно иные понятия о пространстве-времени (быть может, их там нет вовсе?). Также любопытна гипотеза Венециано-Гасперини, допускающая существование доисторической Вселенной, а в загадочном мире чисел её, возможно, отчасти 'отражают' интервалы (0; 1) и (1; е), рассмотренные нами выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Именно удивительную математическую ('внутреннюю') структуру экзочисел, проточисел и обычных чисел - автор считает в настоящее время наиболее убедительным доводом в пользу правомочности и полезности существования всей виртуальной космологии (предыдущее название - ГТНЧ - графическая теория натуральных чисел, см. по ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/ ).

И если профессиональные физики разнесут мою 'бредовую' теорию в пух и прах, то я приму это более-менее спокойно, ибо во мне живет интуитивная уверенность в полезности моих ключевых идей - это явно продуктивный бред, способный породить некие зерна на пути к Истине!

Кроме того, львиная доля моих книг и статей посвящена попросту КРАСОТЕ, ГАРМОНИИ, СОВЕРШЕНСТВУ мира чисел, и если кто-то этого не способен понять, почувствовать, оценить - мне остается только ему посочувствовать. Знаменитый английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон (ок. 1214 - 1292) однажды сказал: "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества."

Приближение Гаусса

Обозначим символом K - точное количество простых чисел на отрезке [2; х], то есть от числа 2 до числа х (включительно). В рамках виртуальной космологии указанный параметр K из виртуального мира чисел "отражает" важнейший физический параметр мироздания - полную энергию конфигурации струны, то есть энергию, от которой зависят физические свойства Вселенной (см. мою статью "Теория струн... в мире чисел (часть 1)". В данной статье мы рассмотрим "внутреннюю структуру" параметра K в предельно популярной форме, доступной неискушенному в математике читателю (но, увы, совсем без формул в данной "сложной" теме нам уже никак не обойтись). Мои математические выкладки в полном объеме в части указанной темы можно посмотреть по данной ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_1.shtml

Гениальный немецкий математик Карл Гаусс (1777 - 1855 гг.) первым стал вычислять площадь (S) под графиком функции у = 1/lnx для того, чтобы определить числовое значение параметра K, то есть найти количество простых чисел на отрезке [2; х]. Поэтому именно приближением Гаусса (реального значения K) мы назовём выражение, позволяющее найти точное значение площади S (стремящейся к параметру K , когда аргумент х устремляется к бесконечно большому числу). Чтобы как можно проще, доступнее рассказать о приближении Гаусса, мы сначала введем несколько определений.

Будем говорить, что Gk = (lnx)^k/k/k! - это k-ое гауссово слагаемое числа х, где:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...(до бесконечности) - порядковый номер (гауссова) слагаемого;

х - аргумент (может быть любым положительным числом больше нуля);

k! - это факториал числа k, то есть k! = 1∙2∙3∙4∙5∙...∙k (где ∙ - символ умножения);

^ - это "крышка", символизирующая возведение в степень (как и в программе Excel).

Если сказать просто словами, то Gk (то есть k-ое гауссово слагаемое числа х) равно натуральному логарифму числа х, возведенному в степень k, а затем поделенному на k и ещё раз поделенному на k-факториал (согласитесь, что формула красивее, чем слова).

Очевидно, что для любого числа х (кроме х = 0) мы можем вычислить сумму гауссовых слагаемых, которую обозначим символом sum(Gk):

sum(Gk) = (lnx)^1/1/1! + (lnx)^2/2/2! + (lnx)^3/3/3! +

+ (lnx)^4/4/4! + (lnx)^5/5/5! + ...  + (lnx)^k/k/k! + ...         (1)

Поскольку у любого числа х количество гауссовых слагаемых бесконечно, то мы введем ряд понятий, которые позволят нам "обрубать" ("отрезать") количество гауссовых слагаемых в разумных пределах (пригодных для нужд виртуальной космологии).

Будем называть гауссовы слагаемые Gk - весомыми, если они больше, либо равны единице, а все прочие гауссовы слагаемые Gk (которые меньше единицы, и которых у любого числа х бесконечно много по количеству!) - будем называть невесомыми, поскольку их общая сумма никогда не превысит числа 1,85 (для любого х - это я отдельно  доказываю в рамках виртуальной космологии). Кстати, это число близко к пресловутому "золотому сечению" (1,618 или 0,618), которое, по-моему само является всего лишь некой тенью действительно важных параметров из мира чисел (подобно моему числу 1,85). [В части "золотого сечения" - см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 154].

Будем называть наименьшее весомое гауссово слагаемое (ближайшее к единице, либо равное единице) - единичным (гауссовым) слагаемым, а его порядковый номер обозначим символом kе.

Таким образом, говоря о сумме гауссовых слагаемых [sum(Gk)] числа х, мы, вообще говоря (бывают случаи, когда это не так), будем иметь в виду сумму только всех весомых слагаемых (то есть до единичного слагаемого включительно).

В высшей математике доказано, что площадь (S) под графиком функции у = 1/lnx на отрезке [2; х] (см. выше) определяется следующим выражением:

S = sum(Gk) + lnlnх - Li(2),                                          (2)

где Li(2) = 0,467948... - это определенный интеграл, взятый для числа 2 (этот интеграл был введен Леонардом Эйлером ещё в 1768 г. и называется интегральным логарифмом);

lnlnх - это двойной логарифм числа х, то есть, строго говоря, нам бы следовало написать ln(ln(х)), однако скобки мы здесь для краткости опускаем (как и в записи логарифма lnx).

Читатель может легко убедиться (скажем, в программе Excel), что для достаточно большого числа х (скажем, начиная с числа х = 770) площадь S численно, действительно, практически (с относительной погрешностью менее 1%), равна сумме весомых гауссовых слагаемых данного числа х:

S = sum(Gk) .                                                             (3)

Итак, всякому числу х, большему числа 2, мы будем приписывать площадь S, определяемую по формуле (2) или (3), причём указанная площадь S (численно) устремляется к точному количеству простых чисел (K) на отрезке [2; х], когда число х устремляется к бесконечности.

Гауссовы слагаемые огромных чисел

Гауссовы слагаемые персональный компьютер (ПК) способен вычислять "в лоб", то есть по формуле Gk = (lnx)^k/k/k!, только до числа х = 1000...000, где после единицы стоит 28 нулей, то есть, говоря по-научному, до числа 10 в 28-й степени (число 10 надо 28 раз умножить на самое себя). Но вот уже 170-ое гауссово слагаемое ПК вычислить не способен, поскольку это слагаемое содержит произведение 170х170!, превосходящее число 10 в 308-й степени - предельное число, которое ПК ещё "видит" ("понимает"). Однако в данном случае, оказывается, можно помочь компьютеру, если вспомнить (поистине волшебные!) свойства логарифмической функции (ln), а также тот факт, что любое число х представимо в виде х = 10^B. Тогда нетрудно получить рекуррентную формулу (4), которая позволяет вычислять последующее (k-ое) гауссово слагаемое (Gk) по значению предыдущего гауссова слагаемого G(k -1) с порядковым номером (k - 1): 

Gk = (10^W) ∙ G(k -1),                                                                 (4)

где k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - порядковый номер гауссова слагаемого у числа х = 10^B;           

G1= Bln10  - это первое гауссово слагаемое (при k = 1) у числа х = 10^B;

W =  [lnB + lnln10 + ln(1/k - 1/k^2)]/ln10 - показатель степени в формуле (4).

Рекуррентная формула (4) - это, вероятно, самый простой способ вычисления всех гауссовых слагаемых у числа х, превосходящего 10^28 (то есть 10 в 28 степени).

Вычисляя на ПК площадь S у больших чисел х по формулам (4) и (3), мы доберемся до х = 10^311, имеющего kе = 1934 весомых слагаемых, для которого получим:

S = sum(Gk) = 1,3984∙10^308.

Небольшие математические хитрости (которые в данной статье я опускаю) позволили мне добраться вплоть до числа х = 10^10470 (согласитесь, что это - более чем колоссальное число!), для которого я получил следующие значения:

kе = 65514;   S = sum(Gk) = 4,148∙10^10465.

Внимательный читатель уже, вероятно, помнит, что так называемый Большой отрезок (БО) в рамках виртуальной космологии "эквивалентен" современной нам эпохе и конец этого отрезка (время, в котором мы живем) определяется таким числом:

х = 8∙10^60 = 10^B,    где B = (ln8 + 60∙ln10)/ln10 = 60,903... .

Данная степень В (в конце БО) порождает k = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 371 весомое гауссово слагаемое (эти Gk превосходят единицу). Первое из них - это G1 = lnx ≈ 140, а далее с ростом k слагаемые Gk увеличиваются, и при k = 139 мы получим наибольшее слагаемое G139 = 1,9358∙10^57, которое находится на пике графика Gk = f(k). Этот график (с линейной шкалой для Gk - по вертикали, а по горизонтали - идут номера k) напоминает симметричную крутую горку с почти острой вершиной. А вот если все Gk откладывать в логарифмической шкале, то горка станет пологой с почти круглой вершиной. И впредь, имея в виду именно "крутую горку с острой вершиной (пиком)", наибольшее гауссово слагаемое у всякого числа х мы будем называть пиковым слагаемым (Gп), а его номер - пиковым номером (kп). То есть в конце БО параметры "пика" гауссовой горки будут следующими:  kп = 139 (местонахождение "пика") и Gп = 1,9358∙10^57 (высота "пика").

Гауссова сумма в конце БО будет равна sum(Gk) = 5,74600122961012∙10^58 - именно такое количество простых чисел (K) находится на Большом отрезке [поскольку K = S = sum(Gk)], и эта оценка параметра K в конце Большого отрезка - самая точная из всех моих оценок K (в рамках виртуальной космологии).

Ещё можно выделить, скажем, околопиковые гауссовы слагаемые Gk, формирующие гауссов пик [на графике Gk = f(k) это точки, "поднявшиеся" над горизонтальной осью - осью абсцисс с аргументом k]. Так, в конце Большого отрезка околопиковые номера - это, например, k = 100...180, и хотя они составляют только 81/371 = 22% всех весомых номеров k, зато сумма околопиковых гауссовых слагаемых Gk - это 99,94% от суммы всех слагаемых [S = sum(Gk)] у числа х = 8∙10^60.

Итак, в связи с понятием "приближение Гаусса" мы припишем Большому отрезку (вернее, последнему его числу х = 8∙10^60) следующие важнейшие параметры:

K = 5,74600122961012∙10^58 - количество всех простых чисел на Большом отрезке;

lnlnx = 4,9433... - двойной логарифм числа х (он растет очень медленно с ростом х);

G1 ≡ lnx = 140,2345... - первое гауссово слагаемое у числа х;

G139 = 1,9358∙10^57 - наибольшее (пиковое) гауссово слагаемое у числа х;

kп = 139 - номер пикового гауссова слагаемого у числа х;

kе = 371 - номер единичного (последнего весомого) гауссова слагаемого у числа х;

S/Gп = 29,68 - кратность площади S (параметра K) относительно пикового слагаемого Gп;

х/Gп = 4133 - кратность самого числа х (относительно пикового слагаемого Gп).

Указанные здесь числовые параметры Большого отрезка из виртуальной космологии, возможно, имеют некие "отражения" в физическом мире (но какие именно?). Иначе говоря, указанные числа могут иметь важное значение в фундаментальной физике, а мир чисел дает им некую новую (дополнительную, глубокую философскую?) трактовку.

 

Пиковое и единичное гауссово слагаемое

Рассмотрим числа х = 10^B, у которых x больше 2 (то есть В больше 0,301).

Каждое такое число х имеет гауссовы слагаемые Gk = (lnx)^k/k/k!, где k = 1, 2, 3, 4, ..., среди которых всегда есть наибольшее - пиковое слагаемое (Gп), имеющее пиковый номер (kп). Заметим, что у малых чисел х также есть Gп (с номером kп), хотя на их графике Gk = f(k) нет "пика" (здесь Gп - это просто наибольшее гауссово слагаемое).

Любое пиковое гауссово слагаемое можно записать в виде Gп = 10^П, тогда отношение х/Gп = 10^Z (где степень Z = В - П) говорит о том, во сколько раз число х превосходит своё пиковое слагаемое. В данной главе мы укажем закон, по которому растет параметр Z при увеличении числа х, то есть мы установим вид функции Z = f(х), а также вид функций  kп = f(х) и kе = f(х) (разумеется, что символ "f" у меня обозначает совершенно разные функции, то есть обозначает функцию "вообще"). Ещё мы найдем отношение K/Gп, где K - количество простых чисел на отрезке [2; x].

Сначала установим до какого числа х первое слагаемое G1 ≡ lnx будет являться пиковым слагаемым: G1 = Gп. Очевидно, это прекратится, когда G1 = G2, то есть когда (lnx)^1/1/1! = (lnx)^2/2/2!, откуда находим:

x = exp(4) = 54,5981...  или  B = 4/ln10 = 1,7371...  .                 (10)

Для чисел x из диапазона от 2 до exp(4) мы получаем:

Z = B - lnB/ln10 - lnln10/ln10.                                              (11)

При х = 2, 3, 5, 7 имеем Z = 0,460; 0,436; 0,492; 0,556, а далее параметр Z растет почти линейно от lnx и при х = 53 достигает Z = 1,125. Если построить график Z = f(x) с линейной шкалой по обеим осям графика, то начальный рост Z выглядит как "взрыв", поскольку при x > 53 функция Z = f(x) растет едва заметными темпами по закону:  

Z = 0,6514∙lnlnx + 1,2677.                                                     (12)

При x = exp(4) происходит раздвоение пикового слагаемого: Gп = G1 = G2. Заметим, что если у (любого) конкретного числа х существует два одинаковых гауссовых слагаемых, то именно они - наибольшие (то есть пиковые гауссовы слагаемые).

При х больше exp(4) гауссов пик начинает перемещаться: для каждого номера k = kп = 2, 3, 4, ... найдется свое число хп ≡ 10^B, которое мы назовем пиковым числом, поскольку оно имеет два пиковых слагаемых. Для пиковых чисел имеем (где k = kп):  

xп = exp(k + 1/k + 2),  или  B = (k +1/k +2)/ln10.                          (13)

Показатель степени В, найденный по формуле (13), - это как бы "лезвие ножа": если показатель степени В чуть-чуть уменьшить, то пиковым станет слагаемое с номером kп = k, а если В чуть-чуть увеличить, то пиковым станет слагаемое с номером kп = k +1. Поэтому выше мы указали, что k = kп в формуле (13), причем из неё вытекает квадратное уравнение k^2 + (2 - B∙ln10)∙k + 1 = 0, которое имеет два корня и первый из них (k1) равен искомому пиковому номеру, а второй корень (k2) - это число, обратное искомому пиковому номеру (k2 = 1/kп):

kп  =  k1 = 0,5∙B∙[1 + (1 - 4/B/ln10)^0,5]∙ln10 - 1.                        (14)

k2  = 0,5∙B∙[1 - (1 - 4/B/ln10)^0,5]∙ln10 - 1.                        (15)

Заметим, что формула (14) указывает точный пиковый номер kп только для пиковых чисел (когда В - это показатель степени пикового числа хп = 10^B).

Из формулы (13) при k >>1 вытекает такая оценка пикового номера:

kп = B∙ln10 - 2,   или   kп = lnх - 2,                                  (16)

Моя эмпирическая оценка относительной погрешности (ОП) формулы (16):

|ОП| < 0,333/B^2   при  B свыше 3,97.                                      (17)

Заметим, что формула (16) близка к формуле Дирихле (Тs = lnх + 2∙C - 1), поскольку Тs - kп = 2∙C + 1 = 2,1544. Таким образом, у достаточно большого числа х (степень которого существенно больше единицы: B >> 1) его пиковый номер (kп) чуть меньше среднего арифметического типа (Тs) всех натуральных чисел из отрезка [1; x]. Ещё поясню так: Тs - это среднее арифметическое количество всех целых делителей у всех целых чисел на отрезке от 1 до х (более подробно об этом - см. в моём разделе на Самиздате, скажем, книгу "Суперструны...", стр. 87).

Формула Дж. Стирлинга (1730 г.) позволила мне получить такую оценку:

Z = [(k + 3/2)∙lnk - k∙ln(k +1/k +2) + 1/k + 2 + 0,5ln(2∙ПИ)]/ln10,            (18)

где ПИ = 3,14... (число "пи") - фундаментальная математическая константа.

Параметр Z растет чрезвычайно медленно и достигает значения Z = 7 (см. на Самиздате мою статью "Магия числа 7") у числа х = 10^10924, что является самой настоящей "бесконечностью" в рамках нашей виртуальной космологии. В конце Большого отрезка я получил Z = 3,6162... и число х = 8∙10^60 превосходит своё наибольшее гауссово слагаемое (Gп) почти в 4133 раза.

Из формулы (18) при k >> 1 мы получаем (предельное) выражение:

Z = a∙lnlnx + b,                                                     (19)

где для коэффициентов a и b можно принять следующее допущение (моя модель в рамках виртуальной космологии):

a = - 0,0594∙Q^3 + 0,1459∙Q^2 - 0,1202∙Q + 0,6847,                           (20)

b =    0,2272∙Q^3 - 0,6026∙Q^2 + 0,5350∙Q + 0,2401,                           (21)

где Q = lnlnlnln(x) - это четвертной логарифм [строго говоря, Q ≡ ln(ln(ln(ln(x))))], который определен при х > 15,1542 (при B > е/ln10 = 1,1805..., где е = 2,718... - основание натуральных логарифмов). В связи со сказанным в части моего параметра Q интересно было бы узнать, как часто в точных фундаментальных науках находит применение четвертной (!) логарифм? Лично я видел в математике формулу с тройным логарифмом, но не более того.

При указанном моделировании коэффициентов a и b формула Z = a∙lnlnx + b обеспечит модуль относительной погрешности |ОП| < 0,01% в диапазоне значений х от 10^56 до 10^80000. И это иллюстрирует тот факт, что в рамках виртуальной космологии из графической модели (из графиков на компьютере), вообще говоря, нельзя получить зерно абсолютной истины [в данном случае - точную формулу]. Однако иногда графики виртуальной космологии не только приблизительно описывают мир чисел (кое-что предсказывая), но иногда даже позволяют угадать абсолютно правильную формулу!

Формула (19) напоминает нам формулу Гаусса-Мертенсома (G), которая вычисляет сумму чисел, обратных простым числам (Р) и меньшим числа х (Р < х):

G = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...+ 1/Р = lnlnx + 0,261497 + Е(х).                 (22)

Возможно, что при х, стремящемся к бесконечности, отношение Z/G устремляется к некому числовому пределу, скажем, похожему на пресловутое "золотое сечение".

Итак, выше мы подробно рассмотрели отношение х/Gп, а теперь перейдем к отношению K/Gп, где K - количество простых чисел на отрезке [2; x], которое при больших х равно сумме гауссовых слагаемых у числа х = 10^B (где x > 2 и В > 0). То есть параметр K/Gп, вообще говоря (скажем, для х > 100), показывает во сколько раз гауссова сумма числа х превосходит его пиковое (максимальное) слагаемое Gп.

Мы уже знаем, что при x < exp(4) = 54,6 (или B < 4/ln10 = 1,7) пиковым будет являться первое слагаемое (числа х): Gп = G1 = lnx = B∙ln10.

При 3 < x < 53 отношение K/Gп растет почти линейно:  K/Gп = 0,0454∙x + 1,711. Если построить график K/Gп = f(x) с линейной шкалой по обеим осям графика, то линейный рост K/Gп выглядит как "взрыв", так как при x > 53 функция K/Gп = f(x) медленно растет примерно по следующему закону:

K/Gп = 2,5∙(lnх)^0,5.                                                (23)

Далее мы рассмотрим единичные гауссовы слагаемые (Gk, превосходящие единицу).

Будем называть х = 10^B - стройным числом, если его единичное слагаемое в точности равно единице: Gk = 1 при k = kе. Именно для стройных чисел несложно ответить на следующий вопрос: какой номер (kе) будет у единичного слагаемого числа х, то есть сколько весомых слагаемых (Gk > 1) будет у числа х?

Очевидно, что стройные числа (где k = kе = 1, 2, 3, 4, 5, ...) имеют такой параметр:                                

B = (k∙k!)^(1/k)/ln10.                                                (24)

При k = 1 имеем B = 1/ln10 и B = lnx/ln10, значит, стройные числа это х ≥ е, где е = 2,718... - основание натуральных логарифмов (фундаментальная математическая константа).

Если х = 10^B не является стройным числом, формула (24) все равно позволяет указать единичный номер kе достаточно точно (c относительной погрешностью ОП < 1/kе). Например, при kе = 371 и kе = 372 мы получим: В = 60,86 и В = 61,02, а, интерполируя эти данные на конец Большого отрезка (В ≡ 60,9...), получаем kе = 371, что соответствует действительности.

Если в формуле (24) член k! расписать по формуле Дж. Стирлинга, то для стройных чисел х получим очень точную и удобную формулу (где k = kе):

B = (k/е)∙k^(1/k)∙(2∙ПИ∙k)^(0,5/k)/ln10.                                 (25)   

Из моих формул следует, что kе/kп = е/(1 - 2/lnx), поэтому отношение kе/kп устремляется к числу е при х, стремящемся к бесконечности. Предельное равенство kе/kп = е = 2,718... выполняется с такой погрешностью: |ОП| < 2/B^0,95493. У стройных чисел х реальное отношение kе/kп сначала, вообще говоря, убывает до значения 14/6 (это минимум), а затем уже бесконечно долго растет до числа е.

В конце Большого отрезка kе/kп = 371/139 = 2,669, то есть ОП = (е - 2,669)/е = 0,018, что лишь в 2,48 раза больше постоянной тонкой структуры (ПТС), чья "тень" то и дело возникает в рамках виртуальной космологии (и, как правило, - в конце Большого отрезка).

Наличие гауссовой горки [на графике Gk = f(k)] говорит о том, что у всякого достаточно большого числа х существует гауссово слагаемое (Gг), которое почти "возвращается" (численно) к первому слагаемому G1 ≡ lnx. Для Большого отрезка (где G1 = 140,2345) таковым является слагаемое G366 = 166,8125, порядковый номер которого мы назовем годовым номером и обозначим символом kг (поскольку год - это почти 366 дней, за которые Земля возвращается в исходную точку своей орбиты вокруг Солнца). Итак, у числа х = 8∙10^60 (в конце Большого отрезка) годовой номер равен kг = 366, и этот номер связан с указанным х следующим очевидным выражением:

lnlnx = [(k + 3/2)∙lnk  - k + 0,5ln(2∙ПИ)]/(k - 1).                     (26)

Формула (26) позволяет установить (путем подбора нужного k = 1, 2, 3, ...) годовой номер kг у произвольно взятого и достаточно большого числа х.

Невесомые гауссовы слагаемые

 

Напомню читателю, что ранее мы назвали целое число стройным, если у него есть гауссово слагаемое в точности равное единице (Gk = 1). Теперь номер такого слагаемого мы обозначим по-новому: k = E (то есть 'единичный' номер).

Напомню, что Gk = (lnx)^k/k/k! - это k-ое гауссово слагаемое числа х, где:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...(до бесконечности) - порядковый номер (гауссова) слагаемого;

х - аргумент (может быть любым положительным числом больше нуля);

k! - это факториал числа k, то есть k! = 1∙2∙3∙4∙5∙...∙k.

Для любого числа х (кроме х = 0) мы можем вычислить сумму гауссовых слагаемых, которую обозначим символом sum(Gk):

sum(Gk) = (lnx)^1/1/1! + (lnx)^2/2/2! + (lnx)^3/3/3! +  (lnx)^4/4/4! + ...  + (lnx)^k/k/k! + ...        

Для стройных чисел введем обозначение: Xс = 10^B*, где показатель степени В* находится по формуле (24), либо (что менее точно) по формуле (25). Таким образом, у первых стройных чисел Хс (имеющих E = 1, 2, 3, 4, ...) мы без проблем находим невесомые гауссовы слагаемые (Gk < 1 при k > E), которым припишем свои, скажем, невесомые номера: n = k - E = 1, 2, 3, ... . Несложно убедиться, что у первых стройных чисел Xс сумма невесомых гауссовых слагаемых (Sн) растет:

от минимума   (Sн)min = 0,317902151454404 (при E = 1  и  X = e = 2,718...),

до максимума (Sн)max = 0,849950329576348 (при Е = 5  и  В* = 1,5610...,  Х = 36,39...),

а затем сумма Sн бесконечно долго убывает, устремляясь к числу 1/(e - 1) ≈ 0,582.       

На числовой оси между соседними стройными числами расположено бесконечно много прочих (не стройных) чисел Х = 10^B, у которых единичное слагаемое больше единице (Gk > 1 при k = Е). У таких чисел Х также можно найти сумму невесомых слагаемых, которая описывается примерно так:

Sн = U∙exp[(В - В*)∙R],                                           (27)

где В* - это показатель степени ближайшего стройного числа Хс = 10^B*, стоящего слева от данного Х (то есть Хс < Х); и с каждым новым стройным числом Хс (при росте Х): параметр U растет от 0,3682 до 0,8534 (при Е = 5), а затем убывает до U = 0,582; параметр R растет от 3,6119 до значения R = e∙ln10 = 6,259.... (при Xс, стремящемся к бесконечности).

Наибольшая сумма невесомых слагаемых равна Sн = 1 + (Sн)max = 1,85 и эту сумму имеет число X, стоящее вплотную слева от стройного числа с E = 5.

Возьмем стройное число Xс, у которого E = 65489 (В* = 10465,8521...) и найдем его невесомые слагаемые (Gk < 1 при k > E), которым припишем свои, скажем, невесомые номера: n = k - E = 1, 2, 3, ... . Первые 30-ть невесомых слагаемых (Gn) позволяют построить хорошую линию тренда: Gn = 1,0013/e^n. И такую же линию тренда мы получим (аналогичным образом) для последующего стройного числа Хс, у которого E = 65490 (В* = 10466,0119...).

Таким образом, средствами виртуальной космологии мы приходим к верному заключению для стройных чисел: Gn устремляется к числу 1/e^n при неограниченном росте номера E.  Столь 'стройный' результат я получил и аналитическим путем:

Gk = exp[(1 + 3/2/E)∙k∙lnE - (3/2 + k)∙lnk - (1 - k/E)∙0,5∙ln(2∙ПИ)].       (28)

У стройных чисел Xс при бесконечно большом E для невесомых слагаемых (k/E = 1) формула (28) нам дает Gk = exp[k∙ln(E/k)]. Поскольку 0 < k/E ≤ 2, то логарифмическую функцию разложим в степенной ряд: ln(E/k) =  E/k - 1, и в итоге получим уже известный нам результат (из анализа графиков): Gn устремляется к числу 1/e^n.

На числовой оси между соседними стройными числами расположено бесконечно много прочих (не стройных) чисел Х = 10^B, у которых единичное слагаемое больше единице (Gk > 1 при k = Е). У таких чисел Х также можно найти невесомые слагаемые Gn и построить для них линии тренда, имеющие такой вид:

Gn ≈ Н/е^n,                                                       (29)

где n = k - E = 1, 2, 3, ...- это номера невесомых слагаемых числа X = 10^B; а Е - порядковый номер единичного слагаемого числа Х (Gk < 1 при k > Е); а вот параметр Н растет по такому закону (но как его получить аналитически?):

Н = exp[(В - В*)∙e∙ln10],                                     (30)

где В* - это показатель степени ближайшего стройного числа Хс = 10^B*, стоящего слева от Х (Хс < Х). У всякого стройного числа имеем Н = 1 (поскольку В - В* = 0).

Выше для больших стройных чисел мы получили В* = Е/(е∙ln10), поэтому разность значений В* у соседних стройных чисел устремляется к числу 1/(е∙ln10) = 0,1597..., а отношение соседних стройных чисел (большее/меньшее число) устремляется к значению 10^0,1597 = 1,44466... (почти 'золотое сечение'). Отсюда также следует, что у больших чисел Х параметр Н может изменяться в таких пределах: 1 < Н < e.

Конец Большого отрезка (В = 60,9031) лежит между стройными числами хс и Хс, у которых Е = 371,  В* = 60,8594... и Е = 372, В* = 61,0198... (иначе говоря, хс и Хс соответствуют 12,4 и 17,9 млрд. лет от Большого взрыва). Для этого отрезка:

- вместо формулы Gn = 1/e^n (для n = k - 371) получаем Gn = 1,117/e^(1,0067n), то есть в части показателя степени (n) имеем |ОПб| = 0,0067 - численно это почти постоянная тонкой структуры (ПТС),а что такое  ОПб - см. чуть ниже;

- вместо формулы (30) мы получаем Н = 1,1172∙exp[(В - В*)∙6,0888], то есть в части показателя степени (е∙ln10) имеем ОПб = 0,027 (в 3,7 раза больше ПТС).

ОПб - это относительный параметр, указывающий 'местонахождение' конца Большого отрезка (БО) относительно бесконечности (б) при рассмотрении какого-либо конкретного закона из мира чисел. Например, мы нашли некую функцию Gn = f(x) асимптотического характера, скажем, Gn устремляется к числу 1/e^n при неограниченном росте х; а в конце БО эта функция имеет вид Gn = 1,117/e^(1,0067n) (функция ещё 'не доросла' до своего предельного вида Gn = 1/e^n). Поэтому |ОПб| = |1 - 1,0067|/1 = 0,0067 (в части показателя степени n). В связи со сказанным я сформулировал такую гипотезу: в мире чисел большинство формул носит асимптотический характер и если для них в конце Большого отрезка вычислять ОПб (или модуль |ОПб|), то часто мы будем получать числовое значение, близкое к... постоянной тонкой структуры (ПТС).

Используя формулу (29), мы можем вычислить сумму невесомых гауссовых слагаемых для любых больших чисел Х = 10^B (где В >> 1):

Sн = Н∙(1/e^1 + 1/e^2 + 1/e^3 + 1/e^4 + ...) =  Н/(e - 1) = Н∙0,582.                              (31)

В скобках формулы (31) стоит сумма (бесконечного числа) членов убывающей геометрической прогрессии, у которой и первый член, и знаменатель равны 1/e.

Из формулы (31) следует, что у любого большого числа Х сумма невесомых гауссовых слагаемых (Sн) находится в коридоре между двумя числами: 1/(e - 1) = 0,582 и e/(e - 1) = 1,582, и в этих числах заложен глубокий смысл. Возможно, именно число 1/(e - 1) = 0,582 логичнее всего отождествлять с пресловутым понятием 'золотое сечение'. Это понятие ещё с древних времен связывают с числом (5^0,5 - 1)/2 = 0,618, которое является корнем уравнения х^2 + х - 1 = 0 (где ещё в виртуальной космологии возникает такое квадратное уравнение?).

Ниже приведены мои аргументы в пользу того, что функция у = 1/(Х - 1) порождает правильное 'золотое сечение' (у = 0,582) именно при Х = e, но никак не при аргументе Х = (5^0,5 + 1)/( 5^0,5 - 1) = 2,618 (когда у = 0,618).

Указанная ниже эквивалентность между Хл и Хп соответствует...(где ещё у меня было число 405 и подобные рассуждения?), и это благодаря тому, что Х = е, иначе не получить число 405. А так вместо числа e можно брать любое число!

Пусть числа на интервале (1; e) - это левые числа (Хл), а числа на интервале от числа е до бесконечности - это правые числа (Хп). Интеграл от функции у = 1/(Х - 1) равен ln(Х - 1), поэтому площадь под графиком у = 1/(Х - 1) определяется выражением:

Fл = ln[(е - 1)/(Хл - 1)] на интервале [Хл; е);

Fп = ln[(Хп - 1)/(е - 1)] на интервале (е; Хп].

Будем говорить, что Хл эквивалентно Хп, когда площадь Fл будет равна Fп, то есть когда Хп = 1 + (е - 1)^2/(Хл - 1). В предельном случае мы получим Хп устремляется к бесконечности, когда Хл устремляется к единице, то есть, согласно принятым нами определениям, понятие 'бесконечность' эквивалентно... единице (и к такому парадоксальному выводу я прихожу не один раз в рамках виртуальной космологии!).

Очевидно, что на интервале [Хл; е) содержится следующая доля всех левых чисел: D = (е - Хл)/(е - 1). Например, для левого числа Хл = 1 + ПТС = 1,007297 мы получим D = 0,996, кстати, именно такова вероятность попадания непрерывной случайной величины в отрезок шириной 'плюс-минус' три сигмы (см. 'правило трех сигм' на Самиздате в моей книге 'Зеркало' Вселенной', стр. 45). То есть можно сказать, что число Хл = 1 + ПТС 'отсекает' (слева от числа е) почти 99,6% всех левых чисел, а поскольку указанное Хл эквивалентно правому числу Хп = 405,5977, то последнее также 'отсекает' (но теперь уже справа от числа е) почти 99,6% правых чисел (эквивалентных левым).

Насколько мне известно, в теоретической физике редко встречаются числа свыше 405... (и если это утверждение верно, то почему это именно так?).

Пусть число Хп эквивалентно числу Хл = 1 + 1/10^B, тогда расстояние между единицей и числом Хл назовем левым отрезком: Lл = Хл - 1 = 1/10^B, а расстояние между единицей и числом Хп = 1 + (e - 1)^2∙10^B = 1 + 2,9525∙10^B назовем правым отрезком: Lп = Хп - 1. Указанные отрезки мы назовем эквивалентными и между ними существует связь: Lп = (e - 1)^2∙10^B = (e - 1)^2/Lл = 2,9525/Lл, иначе можно записать: Lп = 1/10^Б, где Б = В + 2∙ln(е -1)/ln10. Например, Большой отрезок (это правый отрезок)  Lп = 10^60,9031 будет эквивалентен левому отрезку Lл = 1/10^60,4329, причем 'относительная погрешность' будет равна: 'ОП' = (60,9031 - 60,4329)/60,9031 = 0,0077 (опять почти ПТС, смотри выше мою гипотезу в части ПТС).

Точность приближения Гаусса

 

На компьютере легко найти точное количество (K) простых чисел на отрезке [2; x], но только до х = 10^B, где, скажем, В = 7, а далее - время вычислений становится очень большим, и нам известны лишь отдельные значения K (вплоть до В = 17, см. табл. 1.1 на стр. 8 по следующей ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/number31-1.shtml )

А вот с описанным выше приближением Гаусса ситуация иная: вплоть до сверхбольших чисел х = 10^B, у которых В = 10470 мы, пользуясь моей рекуррентной формулой (4), без всяких проблем (!) можем вычислить площадь (S), которая численно, практически, равна параметру K.

Поэтому отношение S/K (его 'поведение' относительно единицы) служит лучшей мерой точности приближения Гаусса, и мы используем отношение S/K в качестве своеобразного мощного 'телескопа' для рассмотрения мира сверхбольших чисел.

В данной главе мы будем брать в качестве чисел х = 10^B исключительно простые числа (поэтому B ≥ ln2/ln10 = 0,301...). После х = 2 у девяти первых простых чисел х = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 отношение S/K, вообще говоря, растет: S/K ≈ 0,56; 0,86; 0,93; 1,11; 1,06; 1,12; 1,06; 1,09; 1,168. После х = 29 (с максимальным S/K) начинается, вообще говоря, убывание S/K с непрерывными локальными колебаниями: при х ≈ 10^5 почти у 31% простых чисел очередное значение S/K было больше предыдущего значения. В целом же для первой сотни простых чисел (2 ≤ х ≤ 541) строится следующая линия тренда:

S/K ≈ 0,1546∙В^3 - 0,9817∙В^2 + 1,9666∙В - 0,1256,                     (32)

у которой ОП = + 4%, то есть формула (32) дает только качественную картину.

При В = 2, 3, 4, ...,17 хорошо строится следующая линия тренда:

S/K - 1 ≈ 1,626∙exp(- 1,1872∙B),

согласно которой якобы всегда S/K > 1. Однако это не так. Ещё в 1914 г. Дж. И. Литлвуд (1885 - 1977) из Кембриджа доказал, что для очень больших чисел (но каких именно?) S/K < 1. И только в 1955 г. С. Скьюс впервые оценил эту границу: числа (Литлвуда) должны быть не более, чем 10^B, где В = 10^C и С = 10^964 (то есть число Скьюса - колоссально!). Потом эта граница (Скьюса) была понижена Коэном и Мейхью, а в 1966 г. Леман (E. Lehman) ещё понизил границу, доказав следующее (гипотеза Лемана см. примечание 14 к статье 'Живые числа' - есть в Рунете):

- для любого числа 2 < х < 10^20 имеем S/K > 1;

- для числа х ≈ 10^371, очень вероятно, что S/K < 1;

- при х ≈ 10^1165 есть свыше 10^500 чисел х, у которых  S/K < 1.

О гипотезе Лемана мне больше ничего не известно [это я написал весной 2009 г., когда у меня ещё... не было интернета, а далее указанным вопросом я не занимался], но, возможно, я получил некий графический образ этой гипотезы, а каким путем - изложено ниже.

Приближение Чебышева (его утверждение из теории чисел) позволяет нам записать:

K = x/(lnx - Z),

где параметр Z устремляется к единице с неограниченным ростом аргумента х. Откуда находим Z = lnx - x/K и для В = 8, 9, 10, ...,17 хорошо строится линия тренда:

Z - 1 ≈ Q/B^M, (напоминаю, что у меня в каждом параграфе могут быть свои символы!)

где Q = 0,65580 и M = 1,1166, причем, Q и M явно убывают с ростом В. Однако такие Q и M приводят нас к противоречию с гипотезой Лемана: мы всегда получаем S/K > 1.

Гипотеза Лемана выполняется, если полагать (и это - не более, чем моя модель), что в формуле Z = 1 + Q/B^M числа Q и M в конце Большого отрезка (то есть при В = 60,903) обеспечивают равенство:

Z = 1 + ПТС, где  ПТС = 0,007.297.353.08 (ПТС в физике обозначают буквой альфа) - это важнейшая безразмерная физическая константа (см. на 'Самиздате' мою книгу 'Зеркало' Вселенной', стр. 81). Указанное условие выполняется для многих сочетаний Q и M, но мы остановимся на Q = 0,458238239 и M = 1,007445 (кстати, вариант М = 1 + ПТС был также мной рассмотрен). При таком Z (Q и M) формулу K = x/(lnx - Z) мы будем называть 'альфа-приближением' (параметра K), и будем считать, что оно дает следующую (лишь качественно достоверную?) картину в части поведения параметра S/K:

Главная для виртуальной космологии метаморфоза в части отношения S/K (когда S/K > 1 сменяется на S/K < 1), скорее всего, происходит буквально сразу после числа х = 10^20, которое эквивалентно ядерному времени (см. на 'Самиздате' мою книгу 'Зеркало' Вселенной', стр. 7).

При х > 10^20 отношение S/K устремляется к своему минимальному значению ('дно большой ямы': S/K ≈ 0,999 999 864 159) при х = 10^80, что эквивалентно возрасту Вселенной порядка 10^29 лет. К этому времени уже давно прекратится образование звезд и галактик; более того, уже распадется почти 50% всех протонов.

При 10^20 < х < 10^80 формула Z = 1 + Q/B^M явно уводит нас от реальности, поэтому минимум отношения S/K вполне может совпадать и с концом Большого отрезка (то есть современная нам эпоха - это 'дно большой ямы' отношения S/K?). Заметим также, что спуск на 'дно большой ямы' (10^20 ≤ х ≤ 10^55) соответствует следующему диапазону: от характерного размера протона (важнейшей частицы в ядерной физике) - до характерного размера галактик (главных видимых нами структурных единиц во Вселенной).

После 'дна большой ямы' S/K начинает расти и при х = 10^1150 вновь становится больше единицы, дорастая до S/K ≈ 1,000 000 000 168 при х = 10^2000, но, вероятно, и это не максимум, так как многие (целые) степени В я пропускал (для экономии времени при своих расчётах). Причем теперь S/K совершает (относительно) большие колебания вплоть до локальных 'провалов': например, при х = 10^1164 и х = 10^1170 получаем S/K < 1 ('малые ямы' или уже 'грешит' сам компьютер?).

После х ≈ 10^10193, вообще говоря, получаем S/K < 1 (но до какого числа х?).

Проточисла

Выше мы убедились, что нехитрая на вид функция у = 1/lnх имеет фундаментальное значение: площадь (S), заключенная между графиком этой функции и осью абсцисс на отрезке [2; х] численно близка к точному количеству (K) простых чисел на указанном отрезке. Мы будем исходить из того, что на этом факте (S ≈ K) миссия функции у = 1/lnх далеко не заканчивается, ибо эта функция также определена на интервалах (0; 1) и (1; 2), на которых также можно вычислить указанную площадь S. Но теперь эту площадь мы будем отождествлять с некой "энергией" действительных чисел х из интервалов  (0; 1) и (1; 2), причем на каждом из них таких чисел бесконечно много. (Не меньше, чем "обычных" действительных чисел между 2 и бесконечностью? - ответ на этот вопрос сложнее, чем может показаться.)

Рассмотрим числа х из интервала (1; 2), которые назовем проточислами, так как они первичны относительно "обычных" чисел х ≥ 2 (содержащих все простые числа). Для проточисел упомянутая площадь S определяется выражением

S = Li(2) - Li(x),                                                        (60)

где Li(x) = lnlnx + lnx + ... - это интегральный логарифм числа х, так Li(2) ≈ 0,4679. Символ lnlnх - это двойной логарифм числа х, то есть это ln(ln(х)).

При "движении" х (влево) от 2 к 1 площадь S растет от нуля до бесконечности. Значит, S принимает такие же значения, что и в случае х > 2 (при котором S ≈ K), и всякому числовому значению S соответствуют два, скажем, равномощных числа:

- из интервала (1; 2) - это проточисло х = 1 + 1/10^П, (где П > 0),

- из отрезка [2; х] - это "обычное" число Х = 1+10^B, (где В ≥ 0).

Замечание (о чем говорят показатели степени В и П?). Согласно позиционному принципу записи в десятичной системе счисления, если, например, В = 58, то, у числа Х = 10^B за единицей мы напишем 58 нулей: Х = 1000...000, при этом отрезок [1; X] содержит Х = 10^58 целых чисел, которые мы отождествляем с квантами времени - элементарными временными интервалами или просто - эви (в виртуальной космологии 10^58 эви - это около 17 млн. лет). А вот если, например, П = 5, то проточисло будет иметь вид х = 1,00001, в котором нули после запятой мы назовем дырками, а их количество равно П - 1 = 4. Значит, при целых П ≥ 1 параметр П равен (за минусом одной дырки) количеству дырок у проточисла х = 1 + 1/10^П. Например, при П = 10^58 количество дырок у проточисла х будет равно П = 10^58, однако такое проточисло мы не сможем записать на бумаге в виде х = 1,000...0001 (хотя данное проточисло всё ещё бесконечно далеко от единицы!). И если целые числа в виртуальной космологии - это кванты времени, то тогда с чем отождествлять дырки малых проточисел, почти сливающихся с единицей?

В области малых проточисел  (когда П устремляется к бесконечности) стрелки часов нашей Вселенной явно останавливаются и начинается отсчет времени (другой) вселенной, которая прикреплена к нашей. Этот отсчет времени (другой вселенной), возможно, в какой-то мере эквивалентен пересчету дырок у малых проточисел, сливающихся с единицей (с точки зрения "обычных" чисел).

В части "поведения" площади S все проточисла мы разделим на три группы:

         х ≤ 1,1 - малые проточисла (их 10 % и они устремляются к числу х = 1);

1,1 < х < 1,9 - центральные проточисла (они составляют 80% всех проточисел);

1,9 ≤ х          - большие проточисла (их 10% и они устремляются к числу х = 2).

Для малых проточисел применимо разложение логарифма в степенной ряд: lnx ≈ (х - 1), поэтому: ln(1 + 1/10^П) ≈ 1/10^П  и lnln(1 + 1/10^П) ≈ ln(1/10^П) = - П·ln10, а формула (60) преобразуется к следующему виду:              

S ≈ Li(2) - lnlnx - lnx ≈ 0,4679 + П·ln10 - 1/10^П.                        (61)

Относительная погрешность (ОП) формулы (61) при П ≥ 1 такова:

ОП < 0,2∙1/10^П.

При П >> 1 будем полагать S ≈ - lnlnx ≈ П·ln10 ≈ 2,3026·П, что меньше реальных значений и дает нам, скажем, такую погрешность: ОП < 0,21/П.

Таким образом, двойной логарифм lnlnx вблизи (справа) от единицы, подобно сверхмощному микроскопу, "увеличивает" скрытое от нас мизерное приращение аргумента х до видимой нами величины П. Ниже мы убедимся, что проточисло х станет равномощным концу Большого отрезка при П = 10^58, то есть расстояние между единицей и таким х явно "исчезает" за гранью нашего воображения, но при этом количество абстрактных дырок равно ~ 10^58 и они, в некотором смысле, "намотаны" на единицу (аналог некого скрытого от нас измерения в теории струн?).

Когда проточисло х приближается к единице (когда П устремляется к бесконечности), то время в виртуальной космологии останавливается, а площадь S ("энергия" проточисел) устремляется к бесконечности. Поэтому мы можем отождествлять понятия "единица" (из мира Платона, см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 66) и "чёрная дыра" из реального (физического) мира?

Далее мы будем искать проточисла х = 1 + 1/10^П (их показатели степени П), которые равномощны "обычным" числам Х = 2 + 10^B (их показателям степени В).

Согласно закону распределения простых чисел (ЗРПЧ) из общеизвестной теории чисел мы имеем: K ~ X/lnX. Значит, при больших числах Х (при В >>1) площадь S (напомним, что S ≈ K) растет по закону: S ~ X/lnX ~ 10^B/(B∙ln10), то есть почти как показательная функция S ~ 10^B аргумента В. Подставляя сюда выражение (61) мы получаем, что таким Х будут равномощны следующие малые проточисла х: П ~ [1/(ln10)^2/B]∙10^B или 

П ~ (0,1886/B)∙exp(2,3026∙В).                                          (62)

Параметр П растет медленнее, чем экспонента exp(2,3026∙В), но все равно П растет очень быстро. Например, в конце Большого отрезка Х = 8∙10^60 (В ≈ 61), а равномощное проточисло - это х = 1 + 1/10^П, где П ~  0,0031∙10^61 ≈ 10^58 [и возникает вопрос: коэффициент 0,0031 может превратиться в 0,0073 (то есть в ПТС), если от знака асимптотического равенства (~) перейти к знаку точного равенства (=)?].

Равномощное Большому отрезку (БО) проточисло х содержит П = 10^58 дырок (см. выше моё Замечание), то есть Х/П ≈  5,3019∙61 ≈ 323. Таким образом, на примере БО мы убедились в важном факте: если число Х = 10^B (при В >>1) равномощно х = 1 + 1/10^П, то натуральные числа 1, 2, 3, 4, ..., Х пронумеруют все дырки данного проточисла х:

Х/П ~ B/(ln10)^2 ≈  5,3019∙B.                                          (63)

Пусть число Х равномощно проточислу х. Нетрудно убедиться, что график функции X - 2 = f(х - 1) с логарифмической шкалой по оси ординат - это тильда (см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 130-134), левый конец которой (при х стремящемся к 1) устремляется почти вертикально вверх (к бесконечности), а правый конец (при х стремящемся к 2) - устремляется почти вертикально вниз (к нулю). Центральную часть тильды (при 1,14 ≤ х ≤ 1,88 и 4,45 ≥ Х ≥ 2,24) неплохо (ОП = Ђ 5%) описывает экспонента (это линии тренда на графике тильды):

X ≈ 2 + 3,795∙exp[- ПИ∙(х - 1)].                                         (64)

Изначально (в силу наших определений) была очевидна качественная картина: с ростом проточисла х (от 1 до 2) равномощное ему число Х будет убывать (от бесконечно большого значения до числа 2). Формула (64) дает нам количественное описание указанного процесса для 74% центральных проточисел.

Для больших проточисел х ≡ 1 + 1/10^П > 1,9 (то есть при П < 0,046) соблюдается следующее эмпирическое равенство (с погрешностью |ОП| < П):

S  ≈ Q∙П,                                                                   (65)

где Q = 3,32192994... (но что это за число?).

Очевидно, что большим проточислам равномощны малые "обычные" числа Х = 2 + 1/10^В (где В ≥ 1), для которых верна следующая эмпирическая формула:

S ≈ Q∙lg(е)/10^В.                                                       (66)

Поэтому для больших проточисел х и равномощных им чисел Х получаем:

П ≈  lg(е)/10^В  ≈  0,4343∙/10^В.                                        (67)  

Итак, если проточисло х равномощно "обычному" числу Х, то тогда:

- у малых проточисел П невообразимо далёк от В;

- у центральных проточисел П соизмерим с В;

- у больших проточисел параметр П сливается с В.

Очевидно, что все проточисла на интервале (1; 2) распределены равномерно. Возьмем проточисло х* = 1,00729735308 (это 1 + ПТС, при этом S ≈ 5,3845, а ПТС - это постоянная тонкой структуры - фундаментальная физическая постоянная, не имеющая размерности), тогда интервал (х* ; 2) содержит (2 - х*)/(2 - 1)∙100% ≈ 99,3% всех проточисел (см. "правило трех сигм" в моей книге на Самиздате "Зеркало" Вселенной", стр. 45). Но проточисло х* равномощно числу Х* = 10,6161...≈ 11, поэтому в рамках виртуальной космологии у меня возникает следующая "бредовая" гипотеза:

отрезок [2; 11] должен содержать... 99,3% всей "энергии" бесконечного ряда "обычных" чисел Х, превосходящих число 2.

Указанную гипотезу (мою рефлекцию) подкрепляют, например, такие факты:

Человечество выбрало (ещё в древности) именно десятичную систему счисления, в которой достаточно десяти символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Полагают, что это связано со счётом на (десяти) пальцах. Однако моя гипотеза интереснее?

Природа отдает явное предпочтение именно малым числам (см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 155 ).

Экзочисла

При х = 1 функция у = 1/lnх имеет разрыв (ln1 = 0, а деление на нуль невозможно). Действительные числа из интервала 0 < х < 1 мы будем называть экзочислами, так как они являются как бы "внешними" числами по отношению к проточислам и "обычным" числам, расположенными справа от единицы (от таинственного разрыва).

При уменьшении х от 1 до 0 функция у = 1/lnх растет от "минус" бесконечности от нуля. И если избавиться от "минуса" (за счет модуля |lnх|), то можно построить график у = 1/|lnх| в логарифмической шкале по оси ординат. При этом мы увидим тильду с почти вертикальными концами и типичной экспонентой в центре: y ≈ 0,3321exp(2,9805x) при 0,1 ≤ х ≤ 0,7 (это около 60% всех экзочисел).

Для любого экзочисла х мы можем вычислить площадь S, заключенную между графиком функции у = 1/lnх и осью абсцисс на интервале (0; х). Если у экзочисла х и "обычного" числа Х > 2 площади S численно равны, то такие х и Х мы будем называть равномощными (всё аналогично проточислам, см. выше).

Нетрудно убедиться, что для экзочисла х указанная площадь S будет равна (но как это строго доказать?):

S = abs[F(х) - F(0)],                                                   (70)

где abs[...] - это абсолютная величина (модуль |...|) выражения, стоящего в скобках (иначе получим S < 0, что противоречит известному понятию "площадь");

         F(х) = ln|lnx| + sum(Gk), где sum(Gk) - сумма гауссовых слагаемых числа х, то есть для k = 1, 2, 3, 4, 5, ... (до бесконечности) вычисляем Gk = (lnx)^k/k/k!)  (см. выше).

F(0) = - С, где С ≡ 0,577215... - постоянная Эйлера-Маскерони. Величина F(0) - это результат двух процессов (при х стремящемся к нулю):

sum(Gk) устремляется к "минус" бесконечности и

ln|lnx| устремляется к "плюс" бесконечности,

уравнение F(х) = - С имеет такую относительную погрешностью: |ОП| < 0,5∙x.

Вычисления по формуле (70) показывают, что при 0,2 ≤ x ≤ 0,9 для оценки S можно применять совсем простую эмпирическую формулу (|ОП| = 2%):

S ≈ С + 1/(1,5409∙x - 1,818).                                           (71)

Пусть экзочисло х равномощно числу Х > 2. Нетрудно убедиться, что график функции X - 2 = f(х) с логарифмической шкалой по оси ординат - это тильда, левый конец которой (при х стремящемся к нулю) устремляется почти вертикально вниз (к нулю), а правый конец (при х стремящемся к 1) - устремляется почти вертикально вверх (к бесконечности). Центральная часть тильды (при 0,2 ≤ х ≤ 0,9) неплохо описывается экспонентой: X - 2 ≈ 0,02592∙exp(Ф∙х), где Ф = 4,669201 - число Фейгенбаума. Поэтому для 0,001 ≤ х ≤ 0,9 мы получаем такое эмпирическое соотношение (|ОП| = 2,5%):

X ≈ 2 + 0,02592∙exp(Ф∙х).                                              (72)

Наличие указанной тильды подсказывает нам разделить все экзочисла на три группы:

         х ≤ 0,1 - малые экзочисла (их 10 % от всех экзочисел);

0,1 < х < 0,9 - центральные экзочисла (их около 80%);  

0,9 ≤ х         - большие экзочисла (их 10% от всех экзочисел).

Подчеркнем, что экзочисла на интервале (0; 1) распределены равномерно (отсюда и указанные проценты).

В связи с экзочислами можно опять (который уже раз!) увидеть некую "тень" постоянной тонкой структуры (ПТС). Так, если мы возьмем экзочисло х* = 0,99270264692 (то есть разность 1 - ПТС, при этом S ≈ 4,3467), то окажется, что интервал (0; х*) содержит почти 99,3% всех экзочисел (см. "правило трех сигм" в моей книге "Зеркало" Вселенной", стр. 45, 81-84), а само экзочисло х* равномощно числу Х* = 8,2897...≈ 8 (см. мою статью "Магия числа 7"). Из подобных рассуждений в рамках виртуальной космологии напрашивается следующая гипотеза:

отрезок [2; 8] должен содержать 99,3% всей "энергии" бесконечного ряда "обычных" чисел Х, превосходящих число 2.

Возможно, именно поэтому мы наблюдаем в реальном мире явную "любовь" Творца к малым числам (см. мою книгу "Суперструны...", рефлекция 32, стр. 155)

Для центральных экзочисел справедливы также следующие наблюдения.

Центральным экзочислам равномощны обычные числа из интервала 2,02 < Х < 3,80.  

Если экзочисло Хэ и проточисло Хп имеют равные площади S, то такие Хэ и Хп равномощны и связаны между собой некой тильда-функцией: (1/Хэ - 1) = f(Хп - 1), центральная часть которой близка к экспоненте:

(1/Хэ - 1) ≈ 0,0305∙exp[Ф∙(Хп - 1)], где Ф - число Фейгенбаума.

Поэтому Хп = 1,01...1,84 и Хэ = 0,9964...0,3936 связаны между собой таким соотношением (|ОП| = 3%): 

Xэ ≈ 1/{1 + 0,0305∙exp[Ф∙(Xп - 1)]}.                                   (73)

Если брать экзочисла вида Xэ = Xп - 1, то нетрудно убедиться, что для таких Xэ и Xп равенство площадей (Sэ = Sп ≈ 0,6191 - почти "золотое сечение"!) наступает в точке Xэ ≈ 0,63478 (опять "золотое сечение"?), которая равномощна числу Х ≈ 2,4972 (почти число у = 2,718...). Ещё добавим, что центральное экзочисло х ≈ 0,72 (почти "золотое сечение") равномощно числу X = е = 2,718..., роль которого в точных науках трудно переоценить. Таким образом, возможно, что пресловутое "золотое сечение" - это всего лишь некая "тень" числа е в области экзочисел и проточисел (см. мою книгу "Суперструны...", рефлекция 31, стр. 154).

Большие экзочисла удобно представить в виде

х ≡ 1 - 1/10^Э, где Э ≥ 1, а когда Э = 1, 2, 3, 4, ..., то такое (целое) Э - это количество девяток после запятой у экзочисла х. Так, при Э = 1 мы получим экзочисло х = 0,9, порождающее площадь S = 1,78 и равномощное число Х ≈ 4; а при Э = 15 мы получим экзочисло х = 0,999999999999999 с площадью S = 33,96 и равномощное числу Х ≈ 123.

Для больших экзочисел мы найдем площадь S, разложив логарифм в степенной ряд (lnx ≈ х - 1), то есть ln(1 - 1/10^Э) ≈ - 1/10^Э. Поэтому ln|lnx| ≈ - Э∙ln10, а формула (70) примет вид: S ≈ abs(- Э∙ln10 - 1/10^Э + C), откуда получаем:

S ≈ Э∙ln10 - C.                                                          (74)

Относительная погрешность (ОП) этой формулы быстро убывает:

ОП < 0,4∙exp(-2,5∙Э), и уже при Э = 2 (при х = 0,99) мы получим небольшую погрешность ОП = 0,12%.

Теперь нетрудно найти большое экзочисло х (с площадью S ≈ Э∙ln10), равномощное большому "обычному" числу Х = 10^B, у которого В >> 1 и S ~ X/lnX = 10^B/(B∙ln10) (см. выше). Для равномощного экзочисла получаем:

 Э ~ 10^B/[B∙(ln10)^2] = 10^D,                                          (75)

где D = B - (lnB + 2∙lnln10)/ln10, поэтому грубая оценка будет такова: Э ~ 10^B.                                

В конце Большого отрезка S ~ 10^58 (см. выше), и такую площадь порождает число, расположенное вправо от единицы на колоссальном расстоянии Х ~ 10^61. Но такую же площадь S порождает и равномощное экзочисло х, расположенное слева от единицы на невообразимо малом расстоянии L = 1 - x = 1/10^Э, где Э ~ 10^58 (даже L ~ 1/10^58 мы бы уже сочли исчезающее малым, однако речь идет о несоизмеримо меньшем числе L). То есть в рамках виртуальной космологии, очевидно, можно сказать, что слева от единицы (в области больших экзочисел) время почти останавливается, а параметр S - "взрывается" (от значения 2 до 10^58).

Таким образом, большие экзочисла Xэ = 1 - 1/10^Э (где Э >> 1) и малые проточисла Xп = 1 + 1/10^П (где П >> 1) равномощны одинаковым числам Х [см. формулу (62)]. Значит, можно говорить, что такие Хэ и Хп равномощны между собой. Всё выше сказанное о малых проточислах, вероятно, относится и к большим экзочислам, однако вместо "дырок" у них фигурируют "девятки" после запятой (в десятичной записи чисел Хп и Хэ), то есть Хэ ≈ 1/Хп. Возможно, что экзочисла - это мир, который является обратным относительно мира проточисел (и мира "обычных" чисел).

Малые экзочисла, согласно формуле (70), порождают площадь S, которая, как нетрудно убедиться, численно устремляется к значениям S* ≡ |x/(lnx -1)| (при х стремящемся к нулю). Но такой же формулой (правда, без модуля |...|) описывается и приближение Чебышева (см. выше): K ~ X/(lnX - 1), где K - это количество простых чисел на отрезке [2; Х], причем K ≈ S (площадь под графиком...). "Слияния" числовых значений S (равных K) и S* можно описать так: ОП = (S - S*)/S < 0,25/|lnx|^1,5. Таким образом, у малых экзочисел (при х стремящемся к нулю) площадь S убывает по закону, который у "обычных" чисел (при Х стремящемся к бескнечности) описывает рост площади S. Это интересный факт виртуальной космологии, очевидно, имеет реальные аналогии: микромир и макрокосмос подчиняются одинаковым законам (см., например, теорию струн). 

Поэтому для малых экзочисел х ≡ 1/10^Э (где Э ≥ 1) можно записать:  S ≈ |x/(lnx -1)| ≈ 1/(10^Э∙Э∙ln10). Малые экзочисла будут равномощны  числам Х = 2 + 1/10^В (где В ≥ 1), для которых верна эмпирическая формула:

S ≈ W/10^В,                                                            (76)

где W ≈ 1,4427 [или, возможно, W ≈ 10^(1/2/ПИ) = 1,4426...?].

Поэтому для малых экзочисел х и равномощных им чисел Х получаем:   

В ≈ Э + (lnЭ + lnln10 + ln1,4427)/ln10 ≈ Э + 0,4343∙lnЭ + 0,5214.              (77)

Из формулы (77) вытекает следующая грубая оценка: Э ~ В, а это значит, что расстояние от нуля до малого экзочисла х соизмеримо с расстоянием от числа 2 (от первого простого числа) до равномощного числа Х, то есть: Х ≈ 2 + х.

У проточисел и "обычных" чисел (то есть при х > 1) процесс формирования гауссовой суммы sum(Gk) - это суммирование положительных гауссовых слагаемых Gk = (lnx)^k/k/k!, при этом сумма sum(Gk) быстро достигает некого "предела" (точнее говоря, насыщения), который мы и принимаем в качестве значения sum(Gk).

Принципиально другая картина у экзочисел: при нечетных k = 1, 3, 5, ... мы имеем отрицательные гауссовы слагаемые Gk, поэтому здесь гауссова сумма sum(Gk) испытывает колебания, прежде чем приходит в некое равновесное состояние, которые мы и принимаем в качестве значения sum(Gk).

Причем, для вычисления S ≡ abs(ln|lnx| + sum(Gk) + С), у малых экзочисел (при х стремящихся к нулю) сумма sum(Gk) столь же важна, как и двойной логарифм ln|lnx| (эти два слагаемых сравнимы по величине).

На графике sum(Gk) = f(k) указанные колебания становятся заметными, условно говоря, при х ≤ 0,1 (в линейной шкале по оси ординат), а при х = 0,0001 (ему равномощно число Х = 2,0000068449) уже наблюдается полноценный солитон огибающей, который описывает пространственную локализацию колеблющейся гауссовой суммы sum(Gk), а именно: под указанной огибающей около 7 волн (см. мою статью "Магия числа 7"), сама огибающая при k = 7 достигает наибольшей высоты |sum(Gk)|max ≈ 85 (хотя при k, стремящемся к бесконечности получим площадь всего лишь S ≈ 1/10^5).

Параметр |sum(Gk)|max (наибольшее значение модуля гауссовой суммы) мы будем называть высотой солитона (Hc), а соответствующий порядковый номер k (при котором модуль |sum(Gk)| достигает своего максимума у данного экзочисла х) мы будем называть центром солитона (k*).

При дальнейшем уменьшении экзочисла х солитон огибающей движется и растет в размерах, так, при х = 1/10^7 под огибающей уже 9 волн, высота солитона Нс = |sum(Gk)|max ≈ 33280 (S ≈ 6/10^9), а центр солитона k* = 14.

Где будет центр солитона (чему равен k*) у данного экзочисла х = 1/10^Э?

Здесь уместно заметить, что у экзочисел х ≤ 0,0001 модуль |sum(Gk)| сначала монотонно возрастает, достигая максимума Нс = | sum(Gk)|max при  k = k*, а потом также монотонно убывает, устремляясь к "равновесному" значению. Поэтому ответ на поставленный вопрос можно найти, скажем, исходя из равенства Gk = Gk + 2 при чётном номере k, который, очевидно, и укажет нам искомый k* (k* = k +1, либо k* = k).

Равенство Gk = Gk + 2 означает, что (lnx)^k/k/k! = (lnx)^(k+2) /[(k + 2)(k + 2)!], откуда получаем кубическое уравнение k^3 + 5∙k^2 + [8 - (lnx)^2]∙k + 4 = 0.

Решая это уравнение общеизвестным способом, нетрудно убедиться, что данное уравнение при х < 0,015 (точнее говоря, при Э ≥ 1,82387) всегда имеет три действительных корня (решения): k1 = f1(x); k2 = f2(x); k3 = f3(x), причем всегда: k1 > 1, k2 < 0, k3 < 1. Искомый ответ (центр солитона k*) мы находим путем подбора такого х, чтобы k1 стал целым чётным числом; например, k1 = 12,00 мы получим, если возьмем х = 4,69/10^7, то есть у данного экзочисла х именно при k = k* = 12 будет достигнут максимум:

|sum(Gk)|max = 8250 (это высота солитона у данного х).

Для простоты рассуждений мы будем полагать, что k* = k1 = f1(x) (хотя это не так, см. выше). Если для малых экзочисел х = 1/10^Э, где Э = 2, 3, 4, ..., 307 найти корни k1, то нетрудно убедиться, что центр солитона k* также неплохо будет описывать следующая эмпирическая формула (уходим от кубического уравнения):

k* ≈ - lnx - 2,5   или   k* ≈ Э∙ln10 - 2,5                                   (78)

Номер k*, полученный по формуле (78) будет больше реального центра солитона: |ОП| < 0,2/Э^2 (верно для Э ≥ 12). Любопытно, что все корни нашего кубического уравнения несут некую информацию: сумма корней k1 + k2 устремляется к числу "- 5", а корень k3 указывает на погрешность формулы (79): |ОП| ≈ G∙k3, где коэффициент G убывает от 0,84 (при Э = 2) до 0,22 (при Э = 307), то есть G устремляется к 1/5?

Исследования показывают, что у малых экзочисел х = 1/10^Э (при Э >> 1) можно полагать: Нс = |sum(Gk)|max ≈ 0,5∙|Gk|max. Поэтому, зная центр солитона (k*), можно оценить и высоту солитона: Нс ≈ 0,5∙(lnx)^k/k/k!, где lnx = Э∙ln10 (знак "минус" мы просто отбрасываем) и k = k* ≈ Э∙ln10 - 2,5. Отсюда вытекают такие оценки:

Нс < 10^(Э -1)   и   Нс ~ 10^(Э - 2,5).                                      (79)

Таким образом, можно говорить об "исчезновении" площади (Sх устремляется к нулю) под кривой у = 1/lnх и наличие числового вакуума вблизи нуля, во всяком случае, там отсутствуют "партнеры" простых чисел. Вероятно, глубокий числовой вакуум при больших значениях показателя В (в представлении x = 1/10^B) - это, прежде всего, колоссальные "флуктуации" волн под огибающей виртуального солитона (с высотой Hс ~ 10^B), который относительно медленно (поскольку k* ~ B) "уходит" в бесконечность.

Однако при чем здесь теория струн?

По-моему, всё выше сказанное о мире чисел - это некое своеобразное "отражение" теории струн (её ключевых идей).