Исаев Александр Васильевич

Теория струн в мире... целых чисел? (часть 2)

Приближение Гаусса

Обозначим символом K - точное количество простых чисел на отрезке [2; х], то есть от числа 2 до числа х (включительно). В рамках виртуальной космологии указанный параметр K из виртуального мира чисел "отражает" важнейший физический параметр мироздания - полную энергию конфигурации струны, то есть энергию, от которой зависят физические свойства Вселенной (см. мою статью "Теория струн... в мире чисел (часть 1)". В данной статье мы рассмотрим "внутреннюю структуру" параметра K в предельно популярной форме, доступной неискушенному в математике читателю (но, увы, совсем без формул в данной "сложной" теме нам уже никак не обойтись). Мои математические выкладки в полном объеме в части указанной темы можно посмотреть по данной ссылке:

http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/index_1.shtml

Гениальный немецкий математик Карл Гаусс (1777 - 1855 гг.) первым стал вычислять площадь (S) под графиком функции у = 1/lnx для того, чтобы определить числовое значение параметра K, то есть найти количество простых чисел на отрезке [2; х]. Поэтому именно приближением Гаусса (реального значения K) мы назовём выражение, позволяющее найти точное значение площади S (стремящейся к параметру K , когда аргумент х устремляется к бесконечно большому числу). Чтобы как можно проще, доступнее рассказать о приближении Гаусса, мы сначала введем несколько определений.

Будем говорить, что Gk = (lnx)^k/k/k! - это k-ое гауссово слагаемое числа х, где:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...(до бесконечности) - порядковый номер (гауссова) слагаемого;

х - аргумент (может быть любым положительным числом больше нуля);

k! - это факториал числа k, то есть k! = 1∙2∙3∙4∙5∙...∙k (где ∙ - символ умножения);

^ - это "крышка", символизирующая возведение в степень (как и в программе Excel).

Если сказать просто словами, то Gk (то есть k-ое гауссово слагаемое числа х) равно натуральному логарифму числа х, возведенному в степень k, а затем поделенному на k и ещё раз поделенному на k-факториал (согласитесь, что формула красивее, чем слова).

Очевидно, что для любого числа х (кроме х = 0) мы можем вычислить сумму гауссовых слагаемых, которую обозначим символом sum(Gk):

sum(Gk) = (lnx)^1/1/1! + (lnx)^2/2/2! + (lnx)^3/3/3! +

+ (lnx)^4/4/4! + (lnx)^5/5/5! + ...  + (lnx)^k/k/k! + ...         (1)

Поскольку у любого числа х количество гауссовых слагаемых бесконечно, то мы введем ряд понятий, которые позволят нам "обрубать" ("отрезать") количество гауссовых слагаемых в разумных пределах (пригодных для нужд виртуальной космологии).

Будем называть гауссовы слагаемые Gk - весомыми, если они больше, либо равны единице, а все прочие гауссовы слагаемые Gk (которые меньше единицы, и которых у любого числа х бесконечно много по количеству!) - будем называть невесомыми, поскольку их общая сумма никогда не превысит числа 1,85 (для любого х - это я отдельно  доказываю в рамках виртуальной космологии). Кстати, это число близко к пресловутому "золотому сечению" (1,618 или 0,618), которое, по-моему само является всего лишь некой тенью действительно важных параметров из мира чисел (подобно моему числу 1,85). [В части "золотого сечения" - см. на Самиздате мою книгу "Суперструны...", стр. 154].

Будем называть наименьшее весомое гауссово слагаемое (ближайшее к единице, либо равное единице) - единичным (гауссовым) слагаемым, а его порядковый номер обозначим символом kе.

Таким образом, говоря о сумме гауссовых слагаемых [sum(Gk)] числа х, мы, вообще говоря (бывают случаи, когда это не так), будем иметь в виду сумму только всех весомых слагаемых (то есть до единичного слагаемого включительно).

В высшей математике доказано, что площадь (S) под графиком функции у = 1/lnx на отрезке [2; х] (см. выше) определяется следующим выражением:

S = sum(Gk) + lnlnх - Li(2),                                          (2)

где Li(2) = 0,467948... - это определенный интеграл, взятый для числа 2 (этот интеграл был введен Леонардом Эйлером ещё в 1768 г. и называется интегральным логарифмом);

lnlnх - это двойной логарифм числа х, то есть, строго говоря, нам бы следовало написать ln(ln(х)), однако скобки мы здесь для краткости опускаем (как и в записи логарифма lnx).

Читатель может легко убедиться (скажем, в программе Excel), что для достаточно большого числа х (скажем, начиная с числа х = 770) площадь S численно, действительно, практически (с относительной погрешностью менее 1%), равна сумме весомых гауссовых слагаемых данного числа х:

S = sum(Gk) .                                                             (3)

Итак, всякому числу х, большему числа 2, мы будем приписывать площадь S, определяемую по формуле (2) или (3), причём указанная площадь S (численно) устремляется к точному количеству простых чисел (K) на отрезке [2; х], когда число х устремляется к бесконечности.

Гауссовы слагаемые огромных чисел

Гауссовы слагаемые персональный компьютер (ПК) способен вычислять "в лоб", то есть по формуле Gk = (lnx)^k/k/k!, только до числа х = 1000...000, где после единицы стоит 28 нулей, то есть, говоря по-научному, до числа 10 в 28-й степени (число 10 надо 28 раз умножить на самое себя). Но вот уже 170-ое гауссово слагаемое ПК вычислить не способен, поскольку это слагаемое содержит произведение 170х170!, превосходящее число 10 в 308-й степени - предельное число, которое ПК ещё "видит" ("понимает"). Однако в данном случае, оказывается, можно помочь компьютеру, если вспомнить (поистине волшебные!) свойства логарифмической функции (ln), а также тот факт, что любое число х представимо в виде х = 10^B. Тогда нетрудно получить рекуррентную формулу (4), которая позволяет вычислять последующее (k-ое) гауссово слагаемое (Gk) по значению предыдущего гауссова слагаемого G(k -1) с порядковым номером (k - 1): 

Gk = (10^W) ∙ G(k -1),                                                                 (4)

где k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... - порядковый номер гауссова слагаемого у числа х = 10^B;           

G1= Bln10  - это первое гауссово слагаемое (при k = 1) у числа х = 10^B;

W =  [lnB + lnln10 + ln(1/k - 1/k^2)]/ln10 - показатель степени в формуле (4).

Рекуррентная формула (4) - это, вероятно, самый простой способ вычисления всех гауссовых слагаемых у числа х, превосходящего 10^28 (то есть 10 в 28 степени).

Вычисляя на ПК площадь S у больших чисел х по формулам (4) и (3), мы доберемся до х = 10^311, имеющего kе = 1934 весомых слагаемых, для которого получим:

S = sum(Gk) = 1,3984∙10^308.

Небольшие математические хитрости (которые в данной статье я опускаю) позволили мне добраться вплоть до числа х = 10^10470 (согласитесь, что это - более чем колоссальное число!), для которого я получил следующие значения:

kе = 65514;   S = sum(Gk) = 4,148∙10^10465.

Внимательный читатель уже, вероятно, помнит, что так называемый Большой отрезок (БО) в рамках виртуальной космологии "эквивалентен" современной нам эпохе и конец этого отрезка (время, в котором мы живем) определяется таким числом:

х = 8∙10^60 = 10^B,    где B = (ln8 + 60∙ln10)/ln10 = 60,903... .

Данная степень В (в конце БО) порождает k = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 371 весомое гауссово слагаемое (эти Gk превосходят единицу). Первое из них - это G1 = lnx ≈ 140, а далее с ростом k слагаемые Gk увеличиваются, и при k = 139 мы получим наибольшее слагаемое G139 = 1,9358∙10^57, которое находится на пике графика Gk = f(k). Этот график (с линейной шкалой для Gk - по вертикали, а по горизонтали - идут номера k) напоминает симметричную крутую горку с почти острой вершиной. А вот если все Gk откладывать в логарифмической шкале, то горка станет пологой с почти круглой вершиной. И впредь, имея в виду именно "крутую горку с острой вершиной (пиком)", наибольшее гауссово слагаемое у всякого числа х мы будем называть пиковым слагаемым (Gп), а его номер - пиковым номером (kп). То есть в конце БО параметры "пика" гауссовой горки будут следующими:  kп = 139 (местонахождение "пика") и Gп = 1,9358∙10^57 (высота "пика").

Гауссова сумма в конце БО будет равна sum(Gk) = 5,74600122961012∙10^58 - именно такое количество простых чисел (K) находится на Большом отрезке [поскольку K = S = sum(Gk)], и эта оценка параметра K в конце Большого отрезка - самая точная из всех моих оценок K (в рамках виртуальной космологии).

Ещё можно выделить, скажем, околопиковые гауссовы слагаемые Gk, формирующие гауссов пик [на графике Gk = f(k) это точки, "поднявшиеся" над горизонтальной осью - осью абсцисс с аргументом k]. Так, в конце Большого отрезка околопиковые номера - это, например, k = 100...180, и хотя они составляют только 81/371 = 22% всех весомых номеров k, зато сумма околопиковых гауссовых слагаемых Gk - это 99,94% от суммы всех слагаемых [S = sum(Gk)] у числа х = 8∙10^60.

Итак, в связи с понятием "приближение Гаусса" мы припишем Большому отрезку (вернее, последнему его числу х = 8∙10^60) следующие важнейшие параметры:

K = 5,74600122961012∙10^58 - количество всех простых чисел на Большом отрезке;

lnlnx = 4,9433... - двойной логарифм числа х (он растет очень медленно с ростом х);

G1 ≡ lnx = 140,2345... - первое гауссово слагаемое у числа х;

G139 = 1,9358∙10^57 - наибольшее (пиковое) гауссово слагаемое у числа х;

kп = 139 - номер пикового гауссова слагаемого у числа х;

kе = 371 - номер единичного (последнего весомого) гауссова слагаемого у числа х;

S/Gп = 29,68 - кратность площади S (параметра K) относительно пикового слагаемого Gп;

х/Gп = 4133 - кратность самого числа х (относительно пикового слагаемого Gп).

Указанные здесь числовые параметры Большого отрезка из виртуальной космологии, возможно, имеют некие "отражения" в физическом мире (но какие именно?). Иначе говоря, указанные числа могут иметь важное значение в фундаментальной физике, а мир чисел дает им некую новую (дополнительную, глубокую философскую?) трактовку.

 

Пиковое и единичное гауссово слагаемое

Рассмотрим числа х = 10^B, у которых x больше 2 (то есть В больше 0,301).

Каждое такое число х имеет гауссовы слагаемые Gk = (lnx)^k/k/k!, где k = 1, 2, 3, 4, ..., среди которых всегда есть наибольшее - пиковое слагаемое (Gп), имеющее пиковый номер (kп). Заметим, что у малых чисел х также есть Gп (с номером kп), хотя на их графике Gk = f(k) нет "пика" (здесь Gп - это просто наибольшее гауссово слагаемое).

Любое пиковое гауссово слагаемое можно записать в виде Gп = 10^П, тогда отношение х/Gп = 10^Z (где степень Z = В - П) говорит о том, во сколько раз число х превосходит своё пиковое слагаемое. В данной главе мы укажем закон, по которому растет параметр Z при увеличении числа х, то есть мы установим вид функции Z = f(х), а также вид функций  kп = f(х) и kе = f(х) (разумеется, что символ "f" у меня обозначает совершенно разные функции, то есть обозначает функцию "вообще"). Ещё мы найдем отношение K/Gп, где K - количество простых чисел на отрезке [2; x].

Сначала установим до какого числа х первое слагаемое G1 ≡ lnx будет являться пиковым слагаемым: G1 = Gп. Очевидно, это прекратится, когда G1 = G2, то есть когда (lnx)^1/1/1! = (lnx)^2/2/2!, откуда находим:

x = exp(4) = 54,5981...  или  B = 4/ln10 = 1,7371...  .                 (10)

Для чисел x из диапазона от 2 до exp(4) мы получаем:

Z = B - lnB/ln10 - lnln10/ln10.                                              (11)

При х = 2, 3, 5, 7 имеем Z = 0,460; 0,436; 0,492; 0,556, а далее параметр Z растет почти линейно от lnx и при х = 53 достигает Z = 1,125. Если построить график Z = f(x) с линейной шкалой по обеим осям графика, то начальный рост Z выглядит как "взрыв", поскольку при x > 53 функция Z = f(x) растет едва заметными темпами по закону:  

Z = 0,6514∙lnlnx + 1,2677.                                                     (12)

При x = exp(4) происходит раздвоение пикового слагаемого: Gп = G1 = G2. Заметим, что если у (любого) конкретного числа х существует два одинаковых гауссовых слагаемых, то именно они - наибольшие (то есть пиковые гауссовы слагаемые).

При х больше exp(4) гауссов пик начинает перемещаться: для каждого номера k = kп = 2, 3, 4, ... найдется свое число хп ≡ 10^B, которое мы назовем пиковым числом, поскольку оно имеет два пиковых слагаемых. Для пиковых чисел имеем (где k = kп):  

xп = exp(k + 1/k + 2),  или  B = (k +1/k +2)/ln10.                          (13)

Показатель степени В, найденный по формуле (13), - это как бы "лезвие ножа": если показатель степени В чуть-чуть уменьшить, то пиковым станет слагаемое с номером kп = k, а если В чуть-чуть увеличить, то пиковым станет слагаемое с номером kп = k +1. Поэтому выше мы указали, что k = kп в формуле (13), причем из неё вытекает квадратное уравнение k^2 + (2 - B∙ln10)∙k + 1 = 0, которое имеет два корня и первый из них (k1) равен искомому пиковому номеру, а второй корень (k2) - это число, обратное искомому пиковому номеру (k2 = 1/kп):

kп  =  k1 = 0,5∙B∙[1 + (1 - 4/B/ln10)^0,5]∙ln10 - 1.                        (14)

k2  = 0,5∙B∙[1 - (1 - 4/B/ln10)^0,5]∙ln10 - 1.                        (15)

Заметим, что формула (14) указывает точный пиковый номер kп только для пиковых чисел (когда В - это показатель степени пикового числа хп = 10^B).

Из формулы (13) при k >>1 вытекает такая оценка пикового номера:

kп = B∙ln10 - 2,   или   kп = lnх - 2,                                  (16)

Моя эмпирическая оценка относительной погрешности (ОП) формулы (16):

|ОП| < 0,333/B^2   при  B свыше 3,97.                                      (17)

Заметим, что формула (16) близка к формуле Дирихле (Тs = lnх + 2∙C - 1), поскольку Тs - kп = 2∙C + 1 = 2,1544. Таким образом, у достаточно большого числа х (степень которого существенно больше единицы: B >> 1) его пиковый номер (kп) чуть меньше среднего арифметического типа (Тs) всех натуральных чисел из отрезка [1; x]. Ещё поясню так: Тs - это среднее арифметическое количество всех целых делителей у всех целых чисел на отрезке от 1 до х (более подробно об этом - см. в моём разделе на Самиздате, скажем, книгу "Суперструны...", стр. 87).

Формула Дж. Стирлинга (1730 г.) позволила мне получить такую оценку:

Z = [(k + 3/2)∙lnk - k∙ln(k +1/k +2) + 1/k + 2 + 0,5ln(2∙ПИ)]/ln10,            (18)

где ПИ = 3,14... (число "пи") - фундаментальная математическая константа.

Параметр Z растет чрезвычайно медленно и достигает значения Z = 7 (см. на Самиздате мою статью "Магия числа 7") у числа х = 10^10924, что является самой настоящей "бесконечностью" в рамках нашей виртуальной космологии. В конце Большого отрезка я получил Z = 3,6162... и число х = 8∙10^60 превосходит своё наибольшее гауссово слагаемое (Gп) почти в 4133 раза.

Из формулы (18) при k >> 1 мы получаем (предельное) выражение:

Z = a∙lnlnx + b,                                                     (19)

где для коэффициентов a и b можно принять следующее допущение (моя модель в рамках виртуальной космологии):

a = - 0,0594∙Q^3 + 0,1459∙Q^2 - 0,1202∙Q + 0,6847,                           (20)

b =    0,2272∙Q^3 - 0,6026∙Q^2 + 0,5350∙Q + 0,2401,                           (21)

где Q = lnlnlnln(x) - это четвертной логарифм [строго говоря, Q ≡ ln(ln(ln(ln(x))))], который определен при х > 15,1542 (при B > е/ln10 = 1,1805..., где е = 2,718... - основание натуральных логарифмов). В связи со сказанным в части моего параметра Q интересно было бы узнать, как часто в точных фундаментальных науках находит применение четвертной (!) логарифм? Лично я видел в математике формулу с тройным логарифмом, но не более того.

При указанном моделировании коэффициентов a и b формула Z = a∙lnlnx + b обеспечит модуль относительной погрешности |ОП| < 0,01% в диапазоне значений х от 10^56 до 10^80000. И это иллюстрирует тот факт, что в рамках виртуальной космологии из графической модели (из графиков на компьютере), вообще говоря, нельзя получить зерно абсолютной истины [в данном случае - точную формулу]. Однако иногда графики виртуальной космологии не только приблизительно описывают мир чисел (кое-что предсказывая), но иногда даже позволяют угадать абсолютно правильную формулу!

Формула (19) напоминает нам формулу Гаусса-Мертенсома (G), которая вычисляет сумму чисел, обратных простым числам (Р) и меньшим числа х (Р < х):

G = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...+ 1/Р = lnlnx + 0,261497 + Е(х).                 (22)

Возможно, что при х, стремящемся к бесконечности, отношение Z/G устремляется к некому числовому пределу, скажем, похожему на пресловутое "золотое сечение".

Итак, выше мы подробно рассмотрели отношение х/Gп, а теперь перейдем к отношению K/Gп, где K - количество простых чисел на отрезке [2; x], которое при больших х равно сумме гауссовых слагаемых у числа х = 10^B (где x > 2 и В > 0). То есть параметр K/Gп, вообще говоря (скажем, для х > 100), показывает во сколько раз гауссова сумма числа х превосходит его пиковое (максимальное) слагаемое Gп.

Мы уже знаем, что при x < exp(4) = 54,6 (или B < 4/ln10 = 1,7) пиковым будет являться первое слагаемое (числа х): Gп = G1 = lnx = B∙ln10.

При 3 < x < 53 отношение K/Gп растет почти линейно:  K/Gп = 0,0454∙x + 1,711. Если построить график K/Gп = f(x) с линейной шкалой по обеим осям графика, то линейный рост K/Gп выглядит как "взрыв", так как при x > 53 функция K/Gп = f(x) медленно растет примерно по следующему закону:

K/Gп = 2,5∙(lnх)^0,5.                                                (23)

Далее мы рассмотрим единичные гауссовы слагаемые (Gk, превосходящие единицу).

Будем называть х = 10^B - стройным числом, если его единичное слагаемое в точности равно единице: Gk = 1 при k = kе. Именно для стройных чисел несложно ответить на следующий вопрос: какой номер (kе) будет у единичного слагаемого числа х, то есть сколько весомых слагаемых (Gk > 1) будет у числа х?

Очевидно, что стройные числа (где k = kе = 1, 2, 3, 4, 5, ...) имеют такой параметр:                                

B = (k∙k!)^(1/k)/ln10.                                                (24)

При k = 1 имеем B = 1/ln10 и B = lnx/ln10, значит, стройные числа это х ≥ е, где е = 2,718... - основание натуральных логарифмов (фундаментальная математическая константа).

Если х = 10^B не является стройным числом, формула (24) все равно позволяет указать единичный номер kе достаточно точно (c относительной погрешностью ОП < 1/kе). Например, при kе = 371 и kе = 372 мы получим: В = 60,86 и В = 61,02, а, интерполируя эти данные на конец Большого отрезка (В ≡ 60,9...), получаем kе = 371, что соответствует действительности.

Если в формуле (24) член k! расписать по формуле Дж. Стирлинга, то для стройных чисел х получим очень точную и удобную формулу (где k = kе):

B = (k/е)∙k^(1/k)∙(2∙ПИ∙k)^(0,5/k)/ln10.                                 (25)   

Из моих формул следует, что kе/kп = е/(1 - 2/lnx), поэтому отношение kе/kп устремляется к числу е при х, стремящемся к бесконечности. Предельное равенство kе/kп = е = 2,718... выполняется с такой погрешностью: |ОП| < 2/B^0,95493. У стройных чисел х реальное отношение kе/kп сначала, вообще говоря, убывает до значения 14/6 (это минимум), а затем уже бесконечно долго растет до числа е.

В конце Большого отрезка kе/kп = 371/139 = 2,669, то есть ОП = (е - 2,669)/е = 0,018, что лишь в 2,48 раза больше постоянной тонкой структуры (ПТС), чья "тень" то и дело возникает в рамках виртуальной космологии (и, как правило, - в конце Большого отрезка).

Наличие гауссовой горки [на графике Gk = f(k)] говорит о том, что у всякого достаточно большого числа х существует гауссово слагаемое (Gг), которое почти "возвращается" (численно) к первому слагаемому G1 ≡ lnx. Для Большого отрезка (где G1 = 140,2345) таковым является слагаемое G366 = 166,8125, порядковый номер которого мы назовем годовым номером и обозначим символом kг (поскольку год - это почти 366 дней, за которые Земля возвращается в исходную точку своей орбиты вокруг Солнца). Итак, у числа х = 8∙10^60 (в конце Большого отрезка) годовой номер равен kг = 366, и этот номер связан с указанным х следующим очевидным выражением:

lnlnx = [(k + 3/2)∙lnk  - k + 0,5ln(2∙ПИ)]/(k - 1).                     (26)

Формула (26) позволяет установить (путем подбора нужного k = 1, 2, 3, ...) годовой номер kг у произвольно взятого и достаточно большого числа х.