Исаев Александр Васильевич

Решение 6-й проблемы Гильберта?

Давид Гильберт (1862 - 1943) - немецкий математик-универсал, внёсший значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910-1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) Гильберт был признанным мировым лидером математиков. Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки (хотя на первый взгляд некоторые области математики бесконечно далеки друг от друга), а также в единстве математики и физики (многие ошибочно полагают, что математика - не более чем инструмент в руках физика). В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода, и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой. Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравнений Эйнштейна - основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 года практически одновременно с Альбертом Эйнштейном (1879 - 1955). Фактически Гильберт первым получил правильные уравнения гравитационного поля общей теории относительности, хотя опубликовал их позже Эйнштейна. Кроме того, неоспоримо существенное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельной работы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период в интенсивной переписке).

Известный немецкий математик Герман Вейль (1885 - 1955) так оценил роль Давида Гильберта в математике: "Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним... Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые... действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе." Упомянутые Вейлем так называемые проблемы Гильберта - это список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы не были решены, однако на данный момент (спустя свыше 100 лет) решены 16 проблем из 23, ещё две проблемы не решены никак, а три проблемы решены только для некоторых случаев. Про оставшиеся две проблемы Гильберта можно сказать следующее: одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет; другая, далёкая от решения, - проблема не математическая, а... физическая. И эта физическая проблема (6-я проблема в списке Гильберта) сформулирована  следующим образом: "Математическое изложение аксиом физики", причем эта формулировка расценивается учеными как "слишком расплывчатая". Возможно, указанную формулировку отчасти поясняют следующие слова Гильберта: "Мы видим, что не только наши представления о пространстве, времени и движении коренным образом меняются по теории [относительности] Эйнштейна, но я убежден также, что основные уравнения её дадут возможность проникнуть в самые сокровенные процессы, происходящие внутри атома и, что особенно важно, станет осуществимым привести все физические постоянные к математическим константам, а это, в свою очередь, показывает, что приближается принципиальная возможность сделать из физики науку такого рода, как геометрия".

Начиная с 1997 года, с помощью компьютера я начал "исследовать" мир натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...; природу этих чисел изучает общеизвестная теория чисел) под необычным углом зрения, который также можно расценивать и как попытку... решения 6-й проблемы Гильберта. Помимо всего прочего, в одной из моих книг ("Зеркало "Вселенной", 2004 г., на стр. 48 - 51), говорится о том, как я "обнаружил" (повторяю, в мире... натуральных чисел!) одну из самых загадочных физических величин - постоянную тонкой структуры. Ниже приводится предельно упрощенное описание указанного "открытия".

Постоянная тонкой структуры (ПТС) - это фундаментальная физическая постоянная, характеризующая силу электромагнитного взаимодействия, которое существует между частицами, обладающими электрическим зарядом. ПТС - безразмерная величина и в этом её отличие от всех прочих фундаментальных физических постоянных, имеющих свою размерность. Численное значение ПТС не зависит от выбранной системы единиц и в настоящее время рекомендуется использовать следующее значение: ПТС = 0,007 297 352 569 8 (24). Заметим, что отношение 1/137 = 0,007 299... дает величину, довольно близкую к численному значению ПТС, поэтому (скажем, для "красоты" повествования) зачастую речь ведут просто о числе 137, понимая под этим отношение 1/ПТС. Почему ПТС является безразмерной величиной? Да хотя бы потому, что отношение 1/ПТС может быть определено, например, как отношение планковского заряда (Q) к элементарному электрическому заряду (E), то есть к заряду электрона:

1/ПТС = (Q/E)^2 = 137.                                                                       (1)

В формуле (1) отношение Q/E возводится в квадрат (во 2-ую степень), поэтому формула (1) говорит о том, что планковский заряд (Q) приблизительно в 11,7 раз больше, чем заряд электрона (Е) (поскольку 11,7^2 = 137, напоминаю, что условно мы округляем результат до целого числа 137). Физическая размерность обоих зарядов (Q и E) - одинаковая (оба заряда выражаются в кулонах), поэтому у отношения Q/E размерность исчезает (сокращается) и отношение 1/ПТС предстает перед нами именно как безразмерная величина. Ричард Фейнман (1918 - 1988), выдающийся американский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии, один из "отцов" квантовой электродинамики (которая объясняет фундаментальные основы всего мироздания) однажды назвал ПТС - "одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком". Этим словам Фейнмана нам остается просто поверить, поскольку приведенные выше (предельно краткие) сведения о ПТС - никак не раскрывают столь интригующего заявления (условно говоря, о "магии" числа 137).

Чтобы "обнаружить" ПТС в виртуальном мире чисел, необходимо сказать о главной аксиоме физики, математическим "изложением" которой (в терминах 6-й гипотезы Гильберта) является... натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...  (это уже моя гипотеза и не более того). Суть этой аксиомы в том, что главная структура мироздания - это пространство-время, а вовсе не вещество, тем более, видимое нами вещество, которое составляет только... 4% мироздания (остальные 96% "начинки" мироздания мы не видим и абсолютно не понимаем). То есть вещество - это не более, чем возмущение основной структуры (пространства-времени). Кроме того, пространство-время - дискретно и расширяется, поэтому именно ряд целых чисел  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... (ряд, который также дискретен и "расширяется": 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...), возможно, и является математическим "изложением" главной аксиомы физики.

В своих теориях физики уже доказали, что при описании главной структуры мироздания нельзя обойтись без так называемых планковских величин [по имени немецкого физика Макса Планка (1858 - 1947)], к которым в том числе относятся следующие фундаментальные параметры пространства-времени:

Планковская длина (элементарная длина), которая равна 0,00000000000000000000000000000000001616252 метра, то есть порядка 10^-35 м (порядка 10 в "минус" 35-й степени метра). Представить столь малый размер невозможно, но здесь уместны некие аналогии, например, если (мизерный) атом увеличить до размеров (колоссальной) Вселенной, то планковская длина станет равной высоте... среднего дерева (около 9 метров). Наука предсказывает, что невозможно измерение с точностью, которая превосходит планковскую длину (меньше которой - ничего не существует в природе);

Планковское время, которое равно 0,0000000000000000000000000000000000000000000539121 секунды, то есть порядка 10^-44 сек (порядка 10 в "минус" 44-й степени секунды).  Второе название планковского времени -элементарный временной интервал (эви). Именно за такое время фотоны (кванты) света, двигаясь с максимально возможной во Вселенной скоростью, проходят планковскую длину. Можно также сказать, что планковское время - это наименьший миг времени, который требуется для протекания любого мыслимого физического события. Традиционное представление известной нам физики о пространстве-времени неприменимо на расстояниях меньше планковской длины или для промежутков времени меньше, чем планковское время.

Наукой установлено, что с момента зарождения Вселенной, то есть с момента так называемого Большого взрыва прошло около В = 13,75 миллиарда лет (символом В мы обозначили возраст Вселенной). Если этот промежуток времени выразить в планковских величинах, то мы получим следующий результат:

В = 8021970000000000000000000000000000000000000000000000000000000 планковских времен, то есть порядка 8*10^60-й эви (элементарных временных интервалов). Таким образом, математическим "изложением" возраста Вселенной может служить (согласно моей главной гипотезе), скажем, Большой отрезок натурального ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., В, где наибольшее число В = 8*10^60, то есть B численно равно возрасту Вселенной, выраженному в элементарных временных интервалах (эви). А если исследовать (изучать) указанный Большой отрезок (с помощью компьютера, с помощью теории чисел, с помощью каких угодно прочих средств и методов), то мы снова и снова будем "обнаруживать", что "внутренняя" структура Большого отрезка напоминает своеобразное математическое "изложение" аксиом физики (фундаментальных законов физики, ключевых числовых параметров реального мира). Например, в конце Большого отрезка есть некое, скажем, самое мощное число, у которого будет наибольшее количество целых делителей (среди всех чисел Большого отрезка) - порядка Т = 7*10^11 целых делителей. Условно мы будем полагать, что самым мощным числом Большого отрезка является его последнее число В = 8*10^60 (на самом деле это число действительно близко к числу В). Так вот, указанный параметр Т = 7*10^11, названный мною и-триллионом, также является важным параметром реальной Вселенной - именно порядка и-триллиона звёзд насчитывается в каждой из крупнейших галактиках во Вселенной (таких как наша Галактика), а количество всех галактик во Вселенной также порядка и-триллиона; более того, в окружающем нас мире (на нашей планете) также можно нередко "обнаружить" и-триллион (ранее никем не замеченный).

Большой отрезок, рассматриваемый в логарифмической (это важно!) шкале, можно разбить на 140 равных интервалов [поскольку ln(8*10^60) = 140], при этом в каждом из полученных интервалов будет своё количество целых делителей числа В (разумеется, что общее количество делителей во всех интервалах даст нам и-триллион). А так называемый центральный интервал (визуально он расположен именно в центре, повторяю, логарифмической шкалы) будет содержать наибольшее количество целых делителей (числа В) - это количество мы назовем керном (К) числа В (в нашем случае получим керн порядка  К = 2,39*10^10 целых делителей, возможно, это число также является важным параметром в реальном мире).

Так вот, оказывается, что для Большого отрезка можно записать следующее выражение:

D =  0,1591*(Т/K)^2 = 137.                                                                           (2)

Поясню для искушенного читателя как я пришел к формуле (2). Параметр D - это дисперсия дискретной случайной величины, иначе говоря, D - это мера разброса дискретной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания, равного ln(B^0,5) = 70 (порядковый номер центрального интервала). Случайное событие заключается в том, что произвольно (наугад) взятое натуральное число из Большого отрезка [1; В] оказывается делителем числа В. При этом, вспоминая общеизвестную теорию вероятности, можно утверждать, что наибольшая вероятность (Pmax) указанного случайного события будет у натуральных чисел, лежащих в центральном интервале числа В, причем указанная вероятность будет, очевидно, равна Pmax = K/Т. Но, с другой стороны, из теории вероятности известно, что всегда Рmax = 1/(2*пи*D)^0,5. Таким образом, мы и приходим к формуле (2), в которой есть множитель 1/(2*пи) = 1/(2*3,14) = 0,1591. А тот удивительный факт, что в конце Большого отрезка дисперсия D дорастает (от нулевого значения у натуральных чисел, расположенных в начале Большого отрезка) именно до величины 137 (то есть до значения 1/ПТС) - мною строго (аналитически) не доказан, однако проведенные исследования на компьютере показывают, что гипотеза D = 137 весьма правдоподобна.

Полученная мною (аналитически) формула (2) весьма напоминает формулу (1) из физики; напоминает настолько, что я всё-таки рискну записать парадоксальный вывод, "следующий" из совместного рассмотрения формул (1) и (2):

ПТС = 2*пи*(K/Т)^2,                                                                                 (3)

где (просто напоминаю ещё раз):

Т - количество всех целых делителей у самого мощного числа Большого отрезка (условно говоря, у числа В);

K - количество целых делителей в центральном интервале у самого мощного числа Большого отрезка.

Формула (3), по сути дела, утверждает, что 1/ПТС = D, то есть величина, обратная ПТС, выражает... дисперсию из мира натуральных чисел (в указанном выше смысле для Большого отрезка). Этот мой вывод не более безумный, нежели другие попытки объяснения "сокровенного" смысла ПТС (например, см. в Википедии статью "Постоянная тонкой структуры", где есть любопытная глава под названием "Попытки рассчитать ПТС..."). Более того, моя указанная гипотеза в части ПТС, возможно, является лишь одним из (многих!) доказательств главной моей гипотезы - математическая природа натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) является математическим "изложением" главной аксиомы физики (в терминах 6-й гипотезы Гильберта).