# Из формулы Циолковского. Планеты с которых не взлетают

Аноним Иван

Из формулы Циолковского 3

Планета с которой не взлетают


В смысле народились на какой-то экзопланете инопланетяне, хотят в космос на химических ракетах, а как-то не получается. Гравитация большая.


Какая именно большая, чтобы было затруднительно выйти на низкую круговую орбиту на химической ракете?


Центростремительное ускорение на низкой круговой орбите вокруг планеты

a=V^2/R

и

a=G*M/R^2

M=4/3*pi()*R^3*Ro


где

a - ускорение центростремительное и равное ему сила тяжести на планете, м/с2

V - орбитальная скорость, м/с

R - радиус орбиты и, условно, радиус экзопланеты, м

(Высотой орбиты над планетой пренебрегаем в силу её малости относительно радиуса планеты)

G - гравитационная постоянная

M - масса экзопланеты, кг

Ro - плотность планеты, кг/м3


Отсюда:

a=V^2/R=G*M/R^2


V^2=G*M/R


V^2=G*M/R

M=4/3*pi()*R^3*Ro


V^2=G*4/3*pi()*R^3*Ro/R


Квадрат орбитальной скорости:

V^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro

----

Квадрат отношения орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRv^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro/(G*4/3*pi()*Rz^2*Roz)

RRv^2=R^2*Ro/(Rz^2*Roz)


где

Rz - радиус Земли

Roz - плотность Земли


RRv^2=R^2*Ro/(Rz^2*Roz)


RRv^2=RRr^2*RRo


где

RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности


Отсюда:

Отношение орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

----

RRv=RRr*(RRo^0,5)

где

RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности

----

----


V^2=a*R

V^2=G*4/3*pi()*R^2*Ro


a*R=G*4/3*pi()*R^2*Ro


Отсюда:

Центростремительное ускорение

----

a=G*4/3*pi()*R*Ro

----


Отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRa=G*4/3*pi()*R*Ro/(G*4/3*pi()*Rz*Roz)


RRa=R*Ro/(Rz*Roz)


----

RRa=RRr*RRo

где

RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRr - отношение радиусов экзопланеты и эталонного земного радиуса

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности

----

Выражаем RRr через RRa и RRo

RRr=RRa/RRo


Тогда

RRv=RRa/(RRo^0,5)


Отношение масс планет

RRm=RRr^3*RRo

RRm=(RRa)^3/RRo^2

==============

Формула ракеты исходя из уравнения Циолковского


P=( (1-D-(K+D)*(exp(V/I/n)-1))/exp(V/I/n) )^n

где

D - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты или отношение ускорения ракеты к ускорению двигателей без баков и полезной нагрузки

K - отношение массы баков к массе находящегося в них топлива

n - число ступеней ракеты (ступени подобны по конструкции - одинаковое K и D)

V - потребная характеристическая скорость, м/с

I - скорость истечения или удельный импульс, м/с

P - отношение массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты


Для земных условий:


D - лежит в диапазоне примерно 0,02 ("Союз") - 0,01 ("Фалькон-9")

K - лежит в диапазоне примерно 0,08 ("Союз") - 0,04 ("Фалькон-9")

n - лежит в диапазоне 4 ("Союз-Молния") - 2 ("Фалькон-9")

V - примерно 9400 м/с

I - примерно 3000 м/с в атмосфере и 3500 м/с в вакууме для керосина-кислорода и 4500 в вакууме для водорода-кислорода.

Для атомных двигателей с твердофазной активной зоной (отработаны на полигонах) - 9000 м/с в вакууме

P - в земных условиях примерно от 0,023 ("Союз") до 0,029 ("Фалькон-9")

=============

На ракету действуют два разных типа сил: аэродинамические и силы инерции.

Величина аэродинамических сил мало зависят от силы притяжения планеты, а величина сил инерции полностью зависит от притяжения планеты. (Сравниваем Землю и Венеру, скажем.)


Поэтому величину зависимости коэффициента K от ускорения силы свободного падения планеты можно представить так:

K=Kz*(RRfa*(1-RRi)+RRi*RRa*RRh)

где:

Kz - коэффициент K земного аналога

RRfa - отношение давления атмосферы экзопланеты к давлению земной атмосферы

RRi - часть инерционных сил в сумме сил действующих на ракету.

RRa - отношение ускорения свободного падения на экзопланете и Земле

RRh - отношение высоты ракет на экзопланете и на Земле.


RRi точно узнать сложно, но, вероятно, лежит в диапазоне 0,9 - 0,5


Для нашего расчета можно принять 0,7

Давление атмосферы на экзопланете условно принимаем таким же как на Земле.

Отношение высот ракет принимаем таким же.

Однако при требовании такой же полезной нагрузки на экзопланете, как на Земле, отношение высот ракеты будет примерно пропорционально корню кубическому из отношения стартовых масс или из обратного отношения коэффициентов P ракет.


Т.е. принимаем:

K=Kz*(0,3+0,7*RRa)

--------------

Потребная характеристическая скорость определяется орбитальной скоростью вокруг экзопланеты.

Приближенно считаем, что пропорционально орбитальной скорости


V=Vz*RRv

V=Vz*RRa/(RRo^0,5)

где:

Vz - потребная характеристическая скорость земной ракеты (9400 м/с)

RRv - отношение орбитальных скоростей (RRv) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRv=RRa/(RRo^0,5)


RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности

-------------

Отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты (D) пропорционально отношению центростремительных ускорений (RRa)


D=Dz*RRa

где:

D - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты

RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

----------

n - число ступеней определяется максимальным P в данных условиях.

Первая ступень с атмосферным удельным импульсом (Iатм), последующие - с вакуумными удельными импульсами (Iвак).

I=(Iатм+Iвак*(n-1))/n

----------

P - грузоподъемность - в земных условиях примерно от 0,023 ("Союз") до 0,029 ("Фалькон-9")

Сложности начнутся когда P станет меньше 0,0001 - Старшип выведет всего лишь полтонны груза.

Очень большие трудности начнутся, когда P станет меньше 0,0000001 - Старшип выведет всего лишь один легкий кубосат.

----------

Удельный импульс I считаем таким же, как на Земле, хотя в общем случае, он зависит от давления атмосферы.

3000 м/с на поверхности

3500 м/с в космосе при кислород-керосине

4500 м/с в космосе при водород-кислороде


Кроме того, удельный импульс зависит от давления/плотности газов на срезе сопла.

Что может диктоваться не только давлением атмосферы, но и высотой ракеты и связанным с этим гидравлическим давлением столба топлива на конструкцию ракеты и, соответственно, площадь среза сопла.

Может потребоваться увеличить давление на срезе сопла и поэтому снизить отношение давленийв камере сгорания и на срезе сопла. Соответственно уменьшится и удельный импульс двигателя.

I=Iz*RRii=Iz*( (1-(Fz*RRfa*RRh*RRa/RRii/Fк)^Sz) )^0,5/( (1-(Fz/Fк)^Sz) )^0,5

где:

Iz - удельный имульс земного аналога, м/с

Fz - давление на срезе сопла земного аналога, Па

RRfa - отношение давлений на экзопланете и на Земле (учитывается для первых - атмосферных - ступеней)

RRh - отношение высоты ракет на экзопланете и на Земле.

RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRii - отношение удельных имульсов двигателя на экзопланете и на Земле.

Fк - давление в камере сгорания двигателя, Па

Sz - специальный коэффициент, характеризующий адиабату работы двигателя. Специфичен для каждого топлива и в некоторой степени условий в камере сгорания двигателя.


---

Отношение высот ракет RRh и отношение ускорений RRa начинает играть роль для удельного импульса с определенного P.

Ибо при относительно больших P можно просто уменьшить грузоподъемность ракеты при той же высоте.


Определяется это минимальной грузоподъемностью Pz0 земного аналога и отношением ускорений свободного падения экзопланеты и Земли.


RRhpr=(Pz0/P)^(1/3)*RRa > 1

При RRhpr <=1 RRhpr приравнивается к 1


т.е.


I=Iz*RRii=Iz*( (1-(Fz/Fк*RRhpr/RRii)^Sz) )^0,5/( (1-(Fz/Fк)^Sz) )^0,5


RRii=( (1-(Fz/Fк*RRhpr/RRii)^Sz) )^0,5/( (1-(Fz/Fк)^Sz) )^0,5


RRii=dd*(1-cc*(RRhpr/RRii)^Sz)^0,5


Где:

Iz - удельный имульс земного аналога, м/с

I0 - максимально возможная скорость у данного топлива, исходя из закона сохранения энергии, м/с

керосин-кислород - 4406 м/с

водород-кислород - 5160 м/с

Fz - давление на срезе сопла земного аналога, Па

Fк - давление в камере сгорания двигателя, Па

dd=1/(1-cc))^0,5

Sz=cc/ln(Fz/Fк)

cc=(I/I0)^2


керосин керосин метан водород

НК-33 РД-180 Раптор 3 РД-0120

I м/с 2914 3059,739 3433,5 3464,892

I0 м/с 4406,739706 4406,739706 4479,648424 5160,555526

Fz атм 1 1 1 1

Fk атм 143,9 253,3 338,73 215,8194


cc 0,562735422 0,517903513 0,412529258 0,549197315

dd 1,512264827 1,440233859 1,304688634 1,489384236

Sz 0,115703759 0,118882909 0,15200296 0,111508785


RRhpr 31 53 72 45

RRii 0,387748685 0,359817327 0,375885088 0,374323594


RRhpr 15 15 15 15

RRii 0,664123505 0,73212808 0,77491373 0,711984272


RRhpr 10 10 10 10

RRii 0,739972194 0,788160399 0,821934607 0,772979299


RRhpr 5 5 5 5

RRii 0,839581448 0,866694875 0,888302777 0,857502244


RRhpr 1 1 1 1

RRii 1 1 1 1


Больше влияния оказывает давление в камере сгорания вне зависимости от состава выхлопных газов.

(при данной прикидке; данные по Раптору и метану возможно менее точные.)


Условно принимаем

RRii=dd*(1-cc*(RRhpr/RRii)^Sz)^0,5

RRii=1,440233859*(1-0,517903513*(RRhpr/RRii)^0,118882909)^0,5 (керосин-кислород для РД-180)

RRhpr <= 53


при RRhpr> 53 RRii=0,0001 (Условный ноль. Чтобы деление на ноль не обрабатывать.)

При RRhpr <=1 RRii=1


RRii вычисляется подбором значений.

12 итераций считаем, что хватит.


---


RRhpr=(Pz0/P)^(1/3)*RRa > 1


Pz0 - минимальная грузоподъемность земного аналога, до которой её можно уменьшить, не приводя в негодность груз его разбиением на части.


Условно считаем что минимальный груз цельным кусочком одна тонна.


Высота Старшипа (122 метра) - максимальна в смысле без увеличения давления на срезе сопла.

Диаметр Старшипа 9 метров.

Стартовая масса 5000 тонн

Выводит на орбиту 150 тонн


Минимальное отношение высоты к диаметру ракеты исходя из аэродинамики равно 3.


То есть, при утолщении Старшипа стартовая масса может быть доведена до


122*(122/3)^2/(122*9^2)*5000=102085 тонн.


Т.е. Pz0 равно десять в минус 5 степени.

---


Примерный график зависимостей RRa от RRo приведен на рисунке


a и b - коэффициенты для приближенного уравнения

RRa=exp(ln(RRo)*a+b)

по которому построены линии на графике.

Точность приближения приближенных уравнений в области значений графика - примерно до 3%

-----

Такую постановку вопрося не я выдумал.

Её выдумал еще Михаэль Хиппке в 2018 году.


https://arxiv.org/abs/1804.04727

"Spaceflight from Super-Earths is difficult"

https://lenta.ru/news/2018/04/24/alien/

"Объяснена невозможность контакта с инопланетянами"


Но он написал очень общую работу.

Он не учитывал ни многоступенчатость ракет, ни различную плотность планет, ни возможность орбитальной заправки, ни возможность использования ионных двигателей на орбите. Поэтому у него сразу скорость убегания в расчетах. Хотя упомянул возможность поднять ракету на гору для уменьшения атмосферного давления.

Упомянул космический лифт, но не упомянул башню Покровского.

Так что он только в общем случае обрисовал проблему на одном примере планеты Kepler-20 b.


Но необходимость ядерных движков на планетах с поверхностной силой тяжести больше 5 g таки есть.


Проблемы у инопланетян начнутся уже при 2 - 3 g.

( Если у них планеты не из золота, конечно :) )

Во всяком случае юпитерианам будет очень сложно взлететь с Юпитера на химической тяге.

Ну или землянам что-то с Юпитера вывезти на химических двигателях.


------------------


Проход ракетой слоя атмосферы с очень высоким давлением воздуха.


P0 - Давление на уровне моря экзопланеты, Па

P0z - Давление на уровне моря Земли, Па, 101325

P - Давление на высоте H, Па

H - Высота точки над уровнем моря, м

H12z - высота снижения давления наполовину, м, 5500 м


P = P0z*exp(ln(0,5)/H12z*H)

P = P0z*exp(-0,000126026760101808*H)


Плотность ракеты примерно 700 кг/м3

Поэтому если атмосфера будет иметь бОльшую плотность, то ракета в ней будет плавать.

Соответственно максимальное превышение давления на уровне моря экзопланеты над давлением на уровне моря на Земле RRfa равно


RRfa=P0/P0z=700/1,2=583


P = P0z*RRfa*exp(-0,000126026760101808*H)

--

Соответственно

H=ln(1/583)/-0,000126026760101808=50530 метров


высота предельного пробиваемого слоя плотной атмосферы для планеты с земной силой тяжести.

Для экзопланеты с более высоким тяготением, чем на Земле толщина слоя будет меньше.


P = P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*H)

где

P0z - Давление на уровне моря Земли, Па, 101325

H12z - высота снижения давления наполовину, м, 5500 м

RRfa - отношение давления на уровне моря экзопланеты и давления на уровне моря на Земле

RRa - отношение ускорения свободного падения экзопланеты к ускорению свободного падения на Земле

P - Давление на высоте H, Па

H - Высота точки над уровнем моря, м


P0z = P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*Hслоя)

Hслоя=ln(1/RRfa)/ln(0,5)*H12z/RRa

----

Потери характеристической скорости ракеты пропорциональны ускорению сил сопротивления (гравитационных и аэродинамических) и времени действия этих сил.


deltaW=(g+P/P0z*Ro0z*alfa*v^2/2/ ((Rot*ht)*(1+K)) )*deltat


где:


deltaW - потеря характеристической скорости исходя из формулы Циолковского, м/с

g - ускорение силы тяжести, м/с2

P - давление воздуха в месте потерь, Па

P0z - давление воздуха на уровне моря на Земле, Па

Ro0z - плотность воздуха на уровне моря на Земле, кг/м3, 1,2

1/P0z*Ro0z - характеристика воздуха

v - скорость ракеты в месте потерь, м/с

Rot - плотность топлива, кг/м3

alfa - коэффициент аэродинамического сопротивления ракеты,

условно 0,2 - как у автомобиля

ht - высота топлива в баках ракеты / она же высота ракеты, м

K - отношение массы баков к массе топлива в них

deltat - время прохождения участка потерь ракетой, с


Обозначим:

bb=1/P0z*Ro0z*alfa/2/ ( (Rot*ht)*(1+K) )


тогда


deltaW=(g+P*bb*v^2)*deltat

---

deltaW=(g+P*bb*v^2)*deltaH/v


где:


deltaH - высота участка потерь, м


Отсюда:


deltaW/deltaH=(g+P*bb*v^2)/v


deltaW/deltaH=g/v+P*bb*v


deltaW/deltaH - отношение потерь характеристической скорости к пути, пройденному ракетой.


При deltaH стремящемуся к 0 равно g/v+P*bb*v


Соответственно существует некая скорость v, при которой потери характеристической скорости минимальны в конкретной точке траектории.

(получается при помощи приравнивания нулю производной по v выражения g/v+P*bb*v)


v=(g/(P*bb))^0,5 - скорость при минимальных потерях характеристической скорости.


подставим зависимость давления воздуха от высоты

P = P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*H)

где:

P0z - Давление на уровне моря Земли, Па, 101325

bb=1/P0z*Ro0z*alfa/2/ ( (Rot*ht)*(1+K) )

P0z - сокращается.


v=(g/(bb*P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*H) ))^0,5


v=( aa*RRa/(cc*RRfa*exp(dd*RRa*H)) )^0,5

где:

aa=g0z

cc=Ro0z*alfa/2/ ((Rot*ht)*(1+K))

dd=ln(0,5)/H12z


--

v=( ff*RRa/RRfa/exp(dd*RRa*H) )^0,5

где:


ff=aa/cc=2*(Rot*ht)*(1+K)*g0z/(Ro0z*alfa)

dd=ln(0,5)/H12z

Rot - плотность топлива, кг/м3, 800

ht - высота топлива в баках ракеты / она же высота ракеты, м

условно 100 метров - как у Старшипа

K - отношение массы баков к массе топлива в них, 0,08

(Rot*ht)*(1+K) - удельная масса на м2 столба ракеты

g0z - ускорение силы тяжести на Земле, м/с, 9,81

Ro0z - плотность воздуха на уровне моря на Земле, кг/м3, 1,2

alfa - коэффициент аэродинамического сопротивления ракеты,

условно 0,2 - как у автомобиля не самого обтекаемого.

RRfa - отношение давления на уровне моря экзопланеты и давления на уровне моря на Земле

RRa - отношение ускорения свободного падения экзопланеты к ускорению свободного падения на Земле

H12z - высота снижения давления наполовину на Земле, м, 5500 м

H - Высота текущей точки, м

-------

Скорость при нулевой высоте должна быть нулевой.

И быстро она не увеличится до оптимальной. Ибо есть предел ускорения ракеты.


Около нулевой высоты скорость ракеты подчиняется формуле:


v=(2*H*a)^0,5


где:

v - текущая скорость ракеты, м/с

H - текущая высота, м

a - ускорение подъема ракеты, м/с2


Причем высота H ограничена высотой слоя атмосферы с повышенным давлением:


Hслоя=ln(1/RRfa)/ln(0,5)*H12z/RRa

Hслоя=ln(1/RRfa)/dd/RRa


Соответственно профиль полета будет таким:

1.Разгон с постоянным ускорением до оптимальной скорости на некоторой высоте.

2.Полет с оптимальной скоростью, увеличивающейся с высотой с некотороым увеличивающимся ускорением.

3.Когда ускорение, потребное для достижения оптимальной скорости, превысит стартовое ускорение, переход на полет с постоянным ускорением до достижения высоты с низким давлением атмосферы.


Полет с оптимальной скоростью может быть, а может и не быть. В зависимости от выбранного максимального постоянного ускорения полета и свойств конкретной атмосферы.

Тогда полет будет только с постоянным ускорением от начала старта.

----


Потеря характеристической скорости:


deltaW=(g+P*bb*v^2)*deltaH/v


где:

g - ускорение силы тяжести экзопланеты, м/с2

v - текущая скорость ракеты, м/с

deltaH - высота участка потерь, м


P - Давления воздуха, Па

P = P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*H)

P0z - Давление на уровне моря Земли, Па, 101325


bb=1/P0z*Ro0z*alfa/2/ ( (Rot*ht)*(1+K) )

RRfa - отношение давления на уровне моря экзопланеты и давления на уровне моря на Земле

Ro0z - плотность воздуха на уровне моря на Земле, кг/м3, 1,2

alfa - коэффициент аэродинамического сопротивления ракеты,

условно 0,2 - как у автомобиля не самого обтекаемого.

Rot - плотность топлива, кг/м3, 800

ht - высота топлива в баках ракеты / она же высота ракеты, м

условно 100 метров - как у Старшипа

K - отношение массы баков к массе топлива в них, 0,08

(Rot*ht)*(1+K) - удельная масса на м2 столба ракеты


g0z - ускорение силы тяжести на Земле, м/с, 9,81

RRa - отношение ускорения свободного падения экзопланеты к ускорению свободного падения на Земле

H12z - высота снижения давления наполовину на Земле, м, 5500 м

H - Высота текущей точки, м


deltaW=(g0z*RRa+RRfa*сс*v^2*exp(dd*RRa*H) )*deltaH/v

где:

cc=Ro0z*alfa/2/ ((Rot*ht)*(1+K))

dd=ln(0,5)/H12z

------

Удельный импульс

I=Iz*RRii

RRii=1,440233859*(1-0,517903513*(P/P0z*253,3/(P/P0z+253,3))^0,118882909)^0,5

Iz=3000


Где:

P - Давления воздуха, Па

P = P0z*RRfa*exp(ln(0,5)/H12z*RRa*H)

P0z - Давление на уровне моря Земли, Па, 101325

dd=ln(0,5)/H12z


Отсюда

RRii=1,440233859*(1-0,517903513*(RRfa*exp(dd*RRa*H)*253,3/(RRfa*exp(dd*RRa*H)+253,3))^0,118882909)^0,5

-----

Аналитически это считать не получится.Так что цифровым компьютерным подсчетом в лоб.


Требуемую характеристическая скорость в м/с приближенно можно получить по формуле:


V=exp(0,3104*ln(RRfa) + 6,2217)


Она почти не зависит от силы тяжести на планете.


y = 0,4279x + 6,2621


---

Приведенную к I=3500 м/с требуемую характеристическую скорость в м/с приближенно можно получить по формуле:


Vприв=exp(0,4279*ln(RRfa) + 6,2621)


( Она нужна для сравнения с вакуумными ступенями ракеты. )


---


Требуемую грузоподьемность P ступени можно оценить по формулам:


P= -0,1277*ln(RRfa) + 0,8625

при RRa=1


P= -0,1224*ln(RRfa) + 0,8081

при RRa=3


P= -0,1197*ln(RRfa) + 0,7696

при RRa=5


Он зависит от силы тяжести на планете, но не очень сильно.

Приблизительно можно так преобразовать:


P= 0,002*RRa*ln(RRfa) - 0,1293*ln(RRfa) -0,0232*RRa + 0,8831


где:

RRfa - отношение давления атмосферы на поверхности экзопланеты к давлению на поверхности Земли.

RRa - отношение ускорения силы тяжести на поверхности экзопланеты к ускорению силы тяжести на поверхности Земли.


P - отношение массы полезной нагрузки ступени (последующие ступени и полезная нагрузка всей ракеты) к стартовой массе ракеты.


Формулы приближенные. Примерно 20% точность.


Профиль полета ступени будет таким:

1.Разгон с постоянным ускорением до оптимальной скорости на некоторой высоте.

2.Полет с оптимальной скоростью, увеличивающейся с высотой с некотороым увеличивающимся ускорением.

3.Когда ускорение, потребное для достижения оптимальной скорости, превысит стартовое ускорение, переход на полет с постоянным ускорением до достижения высоты с низким давлением атмосферы.


Полет с оптимальной скоростью может быть, а может и не быть. В зависимости от выбранного максимального постоянного ускорения полета и свойств конкретной атмосферы.

Тогда полет будет только с постоянным ускорением от начала старта.


Существует оптимальное ускорение, при котором грузоподъемность наибольшая.

Количество ступеней этой поднимающей ступени выбрано исходя из максимальной грузоподъемности.


Некоторые числовые результаты:


RRfa 583 100 10 2 583 100 10 2

RRa 5 5 5 5 1 1 1 1

a, м/с2 8 15 20 14 2 4 7 6


P 0,02 0,21 0,48 0,70 0,04 0,29 0,57 0,76

V, м/с 3622 2040 1156 505 3755 2123 1198 606

Vприв 8469 3345 1510 605 9114 3548 1578 728


V - потребная характеристическая скорость ступени.


-------------

-------------

Требуемая характеристическая скорость земного аналога 9400 м/с


Приведенная к I=3500 м/с требуемая характеристическую скорость для земного аналога в м/с


Считаем, что первая ступень атмосферная, остальные 2 ступени вакуумные.


Vzприв=9400*1/3*3500/3000+9400*2/3*3500/3500=9922 м/с


Приведенную требуемую характеристическую скорость аналога считаем 9922 м/с


------

------

Грузоподъемость ракеты получается по формуле, выведенной из формулы Циолковского:


P=( (1-D-(K+D)*(exp(V/I/n)-1))/exp(V/I/n) )^n

где

D - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты или отношение ускорения ракеты к ускорению двигателей без баков и полезной нагрузки

Отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты (D) пропорционально отношению центростремительных ускорений (RRa)

D=Dz*RRa

Dz - лежит в диапазоне примерно 0,02 ("Союз") - 0,01 ("Фалькон-9")


K - отношение массы баков к массе находящегося в них топлива (лежит в диапазоне примерно 0,08 ("Союз") - 0,04 ("Фалькон-9") )

При уменьшении высоты ракеты в связи в увеличением силы тяжести на экзопланете может считаться как на земном аналоге.

K=Kz

Hr=Hrz/RRa

При увеличении высоты ракеты увеличивается пропорционально увеличению высоты ракеты. Из-за увеличения гидравлического давления топлива.

Hr=Hrz/RRa*RRh

K=Kz*RRh

Hr - Высота ракеты

Hrz - Высота ракеты аналога (100 м; Старшип)

Kz - отношение массы баков к массе находящегося в них топлива земного аналога (лежит в диапазоне примерно 0,08 ("Союз") - 0,04 ("Фалькон-9") )

RRh - Увеличение высоты ракеты по сравнению с оптимальным, число раз (для увеличения стартовой массы ракеты).


n - число ступеней ракеты (ступени подобны по конструкции - одинаковое K и D)

Принимается число ступеней, обеспечивающее максимальную грузоподъемность.


V - потребная характеристическая скорость, м/с

V=Vа+Vв

Va=exp(0,4279*ln(RRfa) + 6,2621) (Приближенная формула, выведенная выше; при RRfa <= 1 Vа=0)

Vв=9922*RRa/(RRo^0,5)

Vв=Vz*RRa/(RRo^0,5)

Vz - потребная приведенная характеристическая скорость земной ракеты (9922 м/с)


I - скорость истечения или удельный импульс, м/с (3500 м/с в вакууме для керосина-кислорода и 4500 в вакууме для водорода-кислорода.)

При увеличении высоты ракеты относительно оптимальной, скорость истечения будет уменьшаться, из-за увеличения давления на срезе сопла двигателя.

Iz = 3500 м/с в вакууме для керосина-кислорода и 4500 в вакууме для водорода-кислорода.

I=Iz*1,440233859*(1-0,517903513*(RRh)^0,118882909)^0,5 (Приближенная формула)

При RRh=1

I=Iz


RRfa - отношение давления на поверхности экзопланеты и Земли

RRa - отношение центростремительных ускорений (RRa) вокруг экзопланеты и эталонной планеты (Земли)

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности


P - отношение массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты. В связи с большим диапазоном изменения величины имеет смысл отображать в виде Pdb=10*lg(P) - в децибелах.


Примеры отношения массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты (в децибелах):


"Фалькон-9" - -15 дБ

"Союз" - -16 дБ

"Старшип" - -17 дБ

20 тонн на "Старшип" - -24 дБ

20 тонн на ракете диаметром 15 метров и высотой 100 м - -28 дБ

20 тонн на ракете диаметром 30 метров и высотой 100 м - -34 дБ

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 100 метров и высотой 100 м - -43 дБ

20 тонн на ракете диаметром 100 метров и высотой 300 м - -49 дБ

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 300 метров и высотой 100 м - -53 дБ

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 1000 метров и высотой 100 м - -63 дБ


Условная граница невозможности взлета с экзопланеты - -60 дБ

(Для кислород-керосина 3,6 g сила тяжести при земной плотности планеты и атмосферы)

(Для кислород-керосина 3,3 g сила тяжести при венерианской плотности планеты и атмосферы)

(Для кислород-водорода 4,4 g сила тяжести при земной плотности планеты и атмосферы)

(Для ядерного ТФЯРД 6,85 g сила тяжести при земной плотности планеты и атмосферы)


20 тонн на ракете диаметром 300 метров и высотой 1000 м - -64 дБ

(невозможно из-за чрезмерной весовой нагрузки на сопло двигателя при земной силе тяготения)

1,3 кг (кубосат) на "Старшип" - -66 дБ

0,25 кг (покеткуб) на "Старшип" - -73 дБ

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 10 000 метров и высотой 100 м - -83 дБ

(очень сложно по сопромату конструкций)

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 10 000 метров и высотой 300 м - -88 дБ

20 тонн на ракете из отдельных стандартных параллельных блоков диаметром 600 000 метров и высотой 100 м - -119 дБ

20 тонн на ракете размером с планету Марс (газы от химических двигателей такой ракеты не смогут оторваться от ракеты из-за ее гравитации) - -195 дБ


График зависимости отношения массы полезной нагрузки к стартовой массе ракеты в децибелах представлен на рисунке:


Переменные в подписях линий:

RRfa - отношение давления на поверхности экзопланеты к давлению на поверхности Земли

RRo - отношение плотностей экзопланеты и эталонной земной плотности

RRh - Увеличение высоты ракеты по сравнению с оптимальным, число раз (для увеличения стартовой массы ракеты при том же диаметре).

Высота ракеты уменьшается в связи с увеличением силы тяжести по сравнению с земным аналогом

Dz - отношение массы двигателей к стартовой массе ракеты для земного аналога

Kz - отношение массы баков к массе находящегося в них топлива земного аналога

Iz - удельный импульс земного аналога в вакууме


------


Приближенно:


для кислород-керосина:

Pdb=10*lg(P)=-1,01608101286334*RRppp^2 - 12,9713833927476*RRppp - 0,595630165387412


для кислород-водорода:

Pdb=10*lg(P)=-0,790281803516336*RRppp^2 - 10,0890115373113*RRppp - 0,4638932504389


Для ядерного ТФЯРД

Pdb=10*lg(P)=-0,444390497950693*RRppp^2 - 5,67638153951104*RRppp - 0,261883669330292


Где:

RRppp=exp(0,4279*ln(RRfa) + 6,2621)/9922 + RRa/(RRo^0,5)


RRppp=0,053*RRfa^0,43 + RRa/(RRo^0,5)


при RRfa > 1

RRppp= RRa/RRo^0,5

при RRfa <= 1 ---

Суперракеты для тяжелых планет.


Обычные "карандаши" ракет не годятся, ибо тяга двигателя на единицу площади сечения сопла совершенно определенная.

Поэтому есть предельная высота ракеты, при превышении которой придется повышать давление на срезе сопла двигателя и связанное с этим ухудшение удельного импульса двигателя.


Поэтому суперракеты будeт иметь вид плоского диска или не очень глубокой чаши из блоков ракеты, соединенных параллельно и накрытой сверху надувным конусом обтекателя. Похоже на семечко подсолнуха. Только круглое, а не в виде тетраэдра.


Потребный диаметр кислород-керосиновой ракеты равен:


D=10^(Ddb/10)


Где:


Ddb=-1,7112+5*lg(RRa) - 0,5*Pdb


-1,711 = 5*lg( 4/Pi()*20000/100/(700*0,8) )=5*lg(4/Pi()*M0/Hz/Rot)+5*lg(RRa)

где

Pi() - число Пи; 3,14

M0 - масса обычной потребной полезной нагрузки; 20000 кг

Hz - максимальная высота ракеты в земных условиях; 100 м

Rot - средняя плотность связки ракетных блоков; 700*0,8 кг/м3


Ddb=-1,7112+5*lg(RRa) + 0,5080*(0,053*RRfa^0,43 + RRa/(RRo^0,5))^2 + 6,4857*(0,053*RRfa^0,43 + RRa/(RRo^0,5)) + 0,2978