# Осторожно, вода! Размышления о формуле гидростатического давления

Олег Юрьевич Князев

Размышления о формуле гидростатического давления

Введение

Общепринятая формула гидростатического давления p = ρgh включает три компонента: плотность жидкости (ρ), ускорение свободного падения (g) и высоту столба (h). Я попробовал разобраться, что к чему.

Базовые определения

1 Паскаль = 1 ньютон/м^2

1 Н = масса * g

Формула Паскаля вычисляет давление как произведение плотности, высоты столба и ускорения свободного падения:

Плотность = кг/м^3

g = 9,8 м/с^2

Анализ на примере воды

9,8 паскалей получаются при 1 мм водного столба.

Разберем это соотношение:

9,8 Па = 10 кг (масса воды в 0,01 м^3) × 0,001 м (1 мм водного столба) × 9,8 (g) / 0,01 м^3 (объем)

Мимоходом замечаем: 9,8 Па равно g.

Преобразуя формулу: 1 Па = 10 кг / 0,01 м^3 × 0,001 м × 9,8 м/с^2/ 9,8

Здесь g сокращается! Получаем: 1 Па = 10 / 0,01 × 0,001 = 0,1 мм водного столба

Проверка на примере ртути

Одному мм ртутного столба соответствует 133,3226 паскалей.

133,3 Па = 136 кг (масса ртути) / 0,01 м^3 × 0,001 м (1 мм ртутного столба) × 9,8 м/с^2

Снова замечаем: 136 кг эквивалентно силе свободного падения 1333 ньютонов. По этой формуле, масса (136 кг вещества) преобразуется в силу (путем умножения на 9,8 м/с^2)

Выстраиваем формулу вычисления одного паскаля, и получается интересное:

1 Па = 136 кг / 0,01 м^3 × 0,001 м × 9,8 м/с^2 / 133,28

Имеет ли это хоть какой-то смысл? 1 паскаль ведь здесь получается при 1 мм ртутного столба.

По этой формуле мы переводим соотношение веса ртути и воды (13,6) в силу свободного падения, а потом делим то, что получилось на само себя, чтобы получить 1 ньютон.

Что-то не сходится. Мне кажется, формула Паскаля искусственно подогнана под, например, то, чтобы давлению 1 мм водного столба соответствовало давление 13,6 мм ртутного столба, а Паскаль равен Ньютону. Паскаль хотел доказать гидростатическое давление? Паскаль подогнал коэффициенты и доказал. Делаю вывод, что единственное, что по-настоящему влияет на столб жидкости в барометре - это не ньютоны, не метры (как длина может влиять на длину?), не метры в кубе, и уж, тем более не мифические 'паскали'. Влияет лишь масса жидкости и то, насколько вес жидкости больше, чем вес воды.

При 1 мм в случае ртути, она тяжелее воды в 13,6 раз при том же объеме. 13,6 * 9,8 = 133,28 паскалей.

При 1 мм в случае воды 1 * 9,8 = 9,8 паскалей.

Совпадает с результатами из Гугла.

Количество мм столба жидкости влияет на то, сколько паскалей, но мало что говорит о том, что такое 1 паскаль.

Чтобы описать 1 единицу давления, я выполнил такой вот умственный конструкт: умножается соотношение массы ртути к массе жидкости в трубке на 9,8, затем умножается на количество миллиметров в трубке, поделенное на тысячу, и все это деленное на эту массу ртути в 1 мм столбика, умноженную на количество мм, а затем умноженную на 9,8. 9,8 и количество мм в числителе и знаменателе равное. И все это тождественно давлению 1 ньютона на метр квадратный, просто потому что потому. А может, мы 10 яблок высотой n мм, умноженные на 9.8 коров, разделили на 10 груш высотой n мм, умноженных на 9.8 коров, и решили, что это эквивалентно 1 арбузу?

Если это соотношение кажется переусложненным, то у меня хорошие новости. Это выражение можно сильно упростить. Сущность одного паскаля - это соотношение массы жидкости в столбике с массой воды такого же объема. Которое затем умножается на ускорение свободного падения в надежде получить ньютоны на квадратный метр. Затем то, что получилось, делится на само себя. Это примерно то же самое, что и разделить птеродактиля, умноженного на ускорение свободного падения, на птеродактиля, умноженного на ускорение свободного падения, в надежде получить одну авиабомбу.

Единица, полученная в результате, может говорить о том, что давление атмосферы математически тождественно весу столба жидкости. А может не говорить вообще ни о чем. Что угодно, деленное на само себя, даст единицу.

В 1643 году Торричелли 'доказал', что давление атмосферы, действующее на поверхность жидкости, уравновешивается весом столба жидкости.

Рассмотрим куб воды с гранью 0,001 м (1 мм):

Объем: 0,000000001 м^3

Масса: 0,001 г

В 1 м^3 1000 килограммов воды и 1 000 000 000 мм^3. Значит, 1 мм^3 весит 0,000001 килограмма или 0,001 грамма.

По формуле Паскаля масса воды высотой 1 мм эквивалентна давлению 9,8 Па = 9,8 Н/м^2.

Как масса в 0,001 грамма может уравновесить силу 9,8 ньютонов/м^2? Ведь на квадратный миллиметр приходится давление 9,8 /1 000 000 = 0,0000098 ньютонов/мм^2.

Что на самом деле означает опыт Торричелли:

Трубка Вивиани, который экспериментально доказывал теоретические выкладки Торичелли, была длиной в метр. Ее заполнили ртутью, которую насытили воздухом, многократно перевернув трубку, затем окунули открытый конец трубки в ртуть. Ртуть начала выливаться. В верхней части трубки воздух становился все более и более разряженным. Сработал тот же эффект, что в вакуумной присоске - ртуть стала втягиваться в область с разряженным воздухом.

Ртуть, которая весила в 13,6 раз больше воды при том же объеме, закономерно текла вниз в 13,6 раз усерднее, а вакууму было в 13,6 раз сложнее тянуть ртуть вверх. Неудивительно, что ртуть создавала при тех же условиях в 13,6 раз меньший столбик, чем вода.

За меня уже провели наглядный эксперимент, доказывающий это, спроектировав бидоны для масляных жидкостей с двумя отверстиями, одно внизу, другое вверху. Иначе жидкость не вытекает по-нормальному. Проектировщики бидона могли и не помнить об опытах, проводимых столетия назад, зато они современнные нам люди и знают, как действует вакуум. Без второго отверстия жидкость с высокой вязкостью стремится остаться на месте, и образуются пузыри воздуха, которые стремятся заполнить пустое пространство внутри бидона. В одно из двух отверстий бидона при выливании жидкости заходит воздух, и не образуется вакуума, который стремятся заполнить жидкость в бидоне и пузыри воздуха. Другими словами, уровень жидкости стремится остаться в сосуде на одном и том же уровне, потому что вакуум всасывает жидкость. Как в случае с вакуумными присосками вакуум притягивает друг к другу резину и поверхность, к которой крепится присоска. Или как в космическом корабле вакуум высасывает воздух из открытого шлюза. Или как вакуумный пылесос затягивает в себя воздух и пыль. Во ртути в перевернутой несколько раз трубке Вивиани были пузырьки воздуха. Достаточно было одного крошечного пузырька. Воздух стремился вверх, в Торичеллеву пустоту. Чем большим становился объем пустого пространства внутри трубки при вытекании жидкости, тем более чистый вакуум, и тем сильнее засасывалась ртуть внутрь трубки. Столбик ртути уменьшался, пока две силы не пришли к равновесию. И ни одной из этих сил не было давление атмосферного воздуха.

Что же тогда такое барометр? Это испорченный, ни на что не годный термометр.

Мы используем, не задумываясь, разработки человека, во времена и в месте жительства которого производили дефекацию следующим образом: у богатых было специальное сидение, под которым находился ночной горшок. У бедных был только ночной горшок. После действа, горшок выплескивался через окно на улицу с воплем 'Осторожно, вода!', благодаря чему возникла мода на шляпы с длинными полями. При этом долго и мучительно сжигались красивые девушки, потому что они "наколдовали" вспышку дизентерии. Незадолго до Паскаля был сожжен Коперник! Современники Паскаля не смогли скопировать древнеримскую канализацию! А мы с помощью формулы бородатого века до нашей эры проектируем гидротурбины в шлюзах дамб. Осторожно, вода!


Reflections on the Formula of Hydrostatic Pressure

Introduction

The commonly accepted formula for hydrostatic pressure p = ρgh includes three components: the density of the liquid (ρ), the acceleration due to gravity (g), and the height of the column (h). I tried to figure out what's what.

Basic definitions

1 Pascal = 1 newton/m^2

1 N = mass * g

Pascal's formula calculates pressure as the product of density, the height of the column, and the acceleration due to gravity:

Density = kg/m^3

g = 9.8 m/s^2

Analysis using the example of water

9.8 pascals are obtained with a 1 mm water column.

Let's break down this ratio:

9.8 Pa = 10 kg (the mass of water in 0.01 m^3) × 0.001 m (1 mm of the water column) × 9.8 (g) / 0.01 m^3 (volume)

Incidentally, we notice that 9.8 Pa equals g.

Transforming the formula: 1 Pa = 10 kg / 0.01 m^3 × 0.001 m × 9.8 m/s^2 / 9.8

Here g cancels out! We get: 1 Pa = 10 / 0.01 × 0.001 = 0.1 mm of water column.

Verification with mercury

One millimeter of mercury column corresponds to 133.3226 pascals.

133.3 Pa = 136 kg (mass of mercury) / 0.01 m^3 × 0.001 m (1 mm of mercury column) × 9.8 m/s^2

Again we notice: 136 kg is equivalent to a free-fall force of 1333 newtons. According to this formula, mass (136 kg of a substance) is converted into force (by multiplying by 9.8 m/s^2).

We construct a formula for calculating one pascal, and something interesting appears:

1 Pa = 136 kg / 0.01 m^3 × 0.001 m × 9.8 m/s^2 / 133.28

Does this make any sense? Because here one pascal is obtained for 1 mm of mercury column.

According to this formula, we convert the ratio of the weight of mercury to water (13.6) into the force of free fall, and then divide the result by itself to get one newton.

Something doesn't add up. It seems to me that Pascal's formula was artificially adjusted, for example, so that the pressure of 1 mm of water column corresponded to the pressure of 13.6 mm of mercury column, and the pascal equaled the newton. Did Pascal want to prove hydrostatic pressure? Pascal adjusted the coefficients and proved it.

I conclude that the only thing that truly affects the liquid column in a barometer is not newtons, not meters (how can length affect length?), not cubic meters, and certainly not the mythical 'pascals.' What matters is only the mass of the liquid and how much heavier it is compared to water.

With 1 mm in the case of mercury, it is 13.6 times heavier than water at the same volume. 13.6 * 9.8 = 133.28 pascals.

For 1 mm of water, 1 * 9.8 = 9.8 pascals.

It matches the results from Google.

The number of millimeters of the liquid column affects how many pascals there are, but it says nothing about what one pascal actually is.

To describe one unit of pressure, I came up with the following mental construct: the ratio of the mass of mercury to the mass of the liquid in the tube is multiplied by 9.8, then multiplied by the number of millimeters in the tube divided by one thousand, and all of this is divided by the mass of mercury in a 1 mm column multiplied by the number of millimeters and then by 9.8. The 9.8 and the number of millimeters in the numerator and denominator are equal. And all of this is identical to the pressure of one newton per square meter, simply because it is so. Or maybe we divided ten apples of height n mm multiplied by 9.8 cows by ten pears of height n mm multiplied by 9.8 cows and decided that this is equivalent to one watermelon?

If this ratio seems overcomplicated, I have good news. This expression can be greatly simplified. The essence of one pascal is the ratio of the mass of the liquid column to the mass of water of the same volume. This is then multiplied by the acceleration due to gravity in the hope of obtaining newtons per square meter. Then the result is divided by itself. It is roughly the same as dividing a pterodactyl multiplied by the acceleration due to gravity by a pterodactyl multiplied by the acceleration due to gravity in the hope of getting one aerial bomb.

The resulting unit may indicate that atmospheric pressure is mathematically identical to the weight of a column of liquid. Or it may indicate absolutely nothing. Anything divided by itself will give one.

In 1643 Torricelli 'proved' that the pressure of the atmosphere acting on the surface of a liquid is balanced by the weight of the liquid column.

Let's consider a cube of water with an edge of 0.001 m (1 mm):

Volume: 0.000000001 m^3

Mass: 0.001 g

There are 1000 kilograms of water in 1 m^3 and 1,000,000,000 mm^3. Therefore, 1 mm^3 weighs 0.000001 kilograms or 0.001 grams.

According to Pascal's formula, with a height of 1 mm, water corresponds to a pressure of 9.8 Pa = 9.8 N/m^2.

How can a mass of 0.001 grams balance a force of 9.8 newtons/m^2? Because per square millimeter the pressure is 9.8 / 1,000,000 = 0.0000098 newtons/mm ^2.

What Torricelli's experiment actually shows:

The Viviani tube, which experimentally confirmed Torricelli's theoretical results, was one meter long. It was filled with mercury, then inverted and the open end was placed in mercury. The mercury began to flow out. In the upper part of the tube the air became increasingly rarefied. The same effect occurred as in a vacuum suction cup-the mercury was drawn into the region of rarefied air.

Mercury, which weighed 13.6 times more than water for the same volume, naturally flowed downward 13.6 times more vigorously, while it was 13.6 times harder for a vacuum to pull mercury upward. It is unsurprising that under the same conditions, mercury formed a column 13.6 times shorter than water.

An illustrative experiment proving this was already done for us, when containers for oily liquids were designed with two holes, one at the bottom and one at the top. Otherwise, the liquid does not pour normally. The designers of the container might not have remembered the experiments carried out centuries earlier, but they were modern people who understood how a vacuum works. Without the second hole, a viscous liquid tends to stay in place, and air bubbles form, trying to fill the empty space inside the container. During pouring, air enters through one of the two holes, preventing the formation of a vacuum that the liquid and air bubbles inside would otherwise try to fill. In other words, the level of the liquid tends to stay at the same level inside the container, because the vacuum pulls the liquid back.

Just like with suction cups, where a vacuum pulls the rubber and the surface together, or in a spacecraft where a vacuum draws out air through an open airlock, or in a vacuum cleaner that draws in air and dust. In Viviani's inverted tube there were several air bubbles. A single tiny bubble was enough. As the empty space inside the tube grew, the vacuum became purer, and the mercury was drawn inside more strongly. The mercury column decreased until the two forces reached equilibrium. And neither of these forces was atmospheric pressure.

So what is a barometer, then? It is a spoiled, useless thermometer. We use without thinking the inventions of a man who lived in a time and place where defecation was done as follows: the rich had a special seat with a chamber pot beneath it, and the poor had only a chamber pot. After the deed, the pot was emptied out of the window into the street with a shout of 'Watch out, water!', which is why wide-brimmed hats became fashionable. Meanwhile, beautiful women were burned at the stake because they had 'bewitched' an outbreak of dysentery. Shortly before Pascal, Copernicus had been burned! Pascal's contemporaries could not reproduce ancient Roman sewage systems! And yet we, using a formula from a bearded man of centuries past, design hydro turbines in dam sluices. Watch out, water!