W Cat. Про 9 и остальных

Про 9 и остальных

План урока.

Начинается очень просто, затем требуется все более внимательное изучение. Чтение "по диагонали" не сработает.

В зависимости от уровня учащегося НЕОБХОДИМО, план изменять и дополнять.

Про 9

- Привет! За каникулы таблицу умножения не забыл?

= Наверно нет.

- Давай напишем умножение на 9.

1 * 9 = 9

2 * 9 = 18

3 * 9 = 27

4 * 9 = 36

5 * 9 = 45

6 * 9 = 54

7 * 9 = 63

8 * 9 = 72

9 * 9 = 81

= Ну, это просто.

- Теперь смотри фокус:

2 * 9 = 18, а 9 * 9 = 81

Дальше:

3 * 9 = 27, и 8 * 9 = 72

= И дальше тоже, цифры вывернуты: 4 * 9 = 36 -- 7 * 9 = 63, и умножения на 5 и 6 такие же.

- Давай 1 * 9 = 9 запишем как 1 * 9 = 09 - мы вполне можем это сделать т.к. десятков в этом числе ноль.

- И теперь посмотри в результатах умножения, в каждой строчке "десятки" увеличиваются на единицу, а "единицы" на ту же единицу уменьшаются.

- Введем новое действие "сумма цифр числа".

= Что-то непонятное.

- Десятичная запись числа состоит из отдельных цифр, их то и будем складывать.

- Например: число "123" его сумма будет 6. Попробуй сам, к примеру, 273.

= Да это легкотня. Будет 12.

- Введем еще одно действие "полная сумма числа".

- В этом случае, если результат операции "сумма числа" будет больше 9, сложение числа повторяется, но уже с полученной суммой. Давай на письме я буду обозначать "сумму числа" двумя плюсами (++), а "полную сумму" - тремя (+++).

{такие повторяющиеся операции в программировании называются "рекурсией", а отдельные операции рекурсии "итерациями"}

- Например, вычисляем полную сумму для числа "123456789":

123456789++ = 45++ = 9

То есть полная сумма числа 123456789+++ = 9.

Теперь посмотрим, для чего я вводил эти странные действия сложения.

Смотрим на таблицу умножения на 9:

9 * 9 = 81

Находим сумму числа 81.

81++ = 9

а теперь 8 * 9 = 72

72++ = 9

- Проверяй дальше.

= Удивительно. Все в сумме дают девять.

- Если в поисковике ты введешь строку "признак делимости на число 9", то ответ на запрос можно кратко изложить так: число делится на 9, если его полная сумма равна 9.

= Значит, число 123456789 делится на 9*.

- Согласись сделать два сложения числа - проще, чем делить такое большое число.

{когда электронные калькуляторы были в новинку, именно делением, такого симпатичного числа, мы демонстрировали возможности новой техники покупателям: 123456789 / 9 = 13717421 (а вот это число уже на 9 не делится)}

- Ты можешь найти и признаки делимости для других чисел, но мне ближе признак делимости на три. Число делится без остатка на 3, если его полная сумма делится на 3.

В следующей главе, я, вроде как отвлекусь от темы девятки, но потом вернусь к ней на более глубоком уровне.

Системы счисления

Кроме десятичной системы счисления (сс) ты хорошо знаешь еще несколько: "семеричную", "двенадцатеричную", "шестидесятеричную" и еще несколько.

Дни недели, хотя и не используются как сс, но имеют все характерные особенности. А вот часы, минуты, секунды - отличный пример различных систем счисления.

Смотри, какая забавная ситуация, часы мы считаем или по 12 часовой или по 24 часовой системам, а минуты и секунды по 60 - ричной системе, но самое забавное, что миллисекунды считаются по десятичной (в одной секунде - 1000 миллисекунд).

Видишь, какая путаница, а возникла она потому, что каждую из этих систем в измерении времени вводили в разное время разные народы, или точнее разные цивилизации.

Но время прошло и люди привыкли.

А какая странная система с месяцами. Как любитель математики, я бы предложил сделать 12 месяцев по 30 дней (получилось бы 360) и оставшиеся 5 - 6 дней отвел бы на праздники. Но...

Хотелось бы больше рассказать о двенадцатеричной** и троичной системах***, но не будем отвлекаться.

Систему счисления можно построить на основании любого числа. Ну, почти любого: для "0" и "1" строить систему не имеет смысла, и для очень больших чисел, пожалуй, тоже, хотя если хочется...

Программисты используют - "двоичную" и "шестнадцатеричную" системы, когда-то использовалась и "восьмеричная".

Думаю, надо привести пример. Напишу "троичную" систему нумерации, вначале будет написана десятичная цифра, затем равная ей троичная и затем вычисляется полная сумма троичного числа.

1 -> 1
2 -> 2++ = 2
3 -> 10₃++ = 1	10₃ - Читается не "десять", а "один, ноль"
4 -> 11₃++ = 2	11₃- Читается не "одиннадцать", а "один, один"
5 -> 12₃++ = 10₃(3₁₀)++ = 1	12₃ - Читается не "двенадцать", а "один, два"
6 -> 20₃++ = 2
7 -> 21₃++ = 10₃++ = 1	21₃- Читается не "двадцать один", а "два, один"
8 -> 22₃++ = 11₃++ = 2	22₃- Читается не "двадцать два", а "два, два"
9 -> 100₃++ = 1	100₃- Читается не "сто", а "один, ноль, ноль"
10 -> 101₃++ = 2

Теорема крайнего числа

Введем определение "крайнее число" - это число, характерное для данной сс, прибавление единицы к которому вызывает прибавление единицы в следующий разряд сс и замену крайнего числа на ноль.

Для десятичной системы - крайнее число - 9. Для троичной системы - 2. Для восьмеричной, это 7.

Теперь сформулируем теорему:

Полная сумма (вычисленная по правилам текущей сс) любого числа делящегося без остатка на крайнее число этой сс будет равна крайнему числу (в записи данной сс).

Как ты знаешь для десятичной системы "крайнее число" это 9. И теорема для этой девятки подтверждается.

Для троичной системы крайним является двойка, и в таблице ты можешь увидеть, что полная сумма четных чисел (в троичной системе) равняется двум. Конечно, приведенная десятка чисел не является доказательством, поэтому, написал программку, в которой я смог проверить, намного больше, но и это не доказывает теорему.

Доказательство оставим для любителей.

Пока это все.

Предупреждение.

Введенный термин "крайнее число", операции "сумма числа" и "полная сумма числа" были придуманы только для этого текста, т.е. в других книгах, других авторов, такие понятия могут означать что-то другое.

= Вопрос! Какая польза может быть от этих крайних чисел.

- Абсолютно без понятия. Я просто развлекаюсь "открытиями"****, и совершено не важно, что они были давным-давно открыты.

НО! История математики рассказывает, что иногда совершенно бесполезные теоремы, теории и т.п. оказываются чрезвычайно нужными и полезными в физике, астрономии и т.д.

Если тебя, хоть что-то заинтересовало, продолжение можешь найти в книгах по математике.

-=*=-

* С помощью комбинаторики вычислить, СКОЛЬКО трехзначных, пятизначных... чисел делятся на 9.

** Рассказ о "дюжине".

*** С точки зрения математика, именно троичная система оптимальна для вычислительной техники, и только преимущества аппаратного воплощения вызвали "победу" двоичной системы. Хотя ныне есть легко воплощаемые аппаратные троичные: "плюс - ноль - минус".

При желании пофилософствовать: "не всегда цивилизация идет оптимальным путем".

**** см. "Теорема Белого Кота"

Оставить комментарий © Copyright W Cat Размещен: 23/06/2023, изменен: 23/06/2023. 11k. Статистика. Статья: Проза Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: План урока. Начинается очень просто, затем требуется все более внимательное изучение. Чтение "по диагонали" не сработает. В зависимости от уровня учащегося НЕОБХОДИМО, план изменять и дополнять.

W Cat : другие произведения.

Про 9 и остальных