Аннотация: Либо А, либо не А, либо... одно из двух)
Среди законов логических рассуждений (силлогистики), собранных Аристотелем, был закон исключенного третьего, который в современной форме утверждает, что высказывание "А или не А" является истинным для любого А. Например, "Сократ смертен, либо Сократ бессмертен" - логически безупречное верное высказывание. Несмотря на простоту и очевидность этого закона, он играет важную роль в классических логических рассуждениях, которые Аристотель и его последователи направляли, в частности, против замаскированных логических ошибок древнегреческих софистов (хвала им - они стимулировали развитие классической логики!). Вот любопытный пример использования закона исключения третьего в доказательстве математических теорем. Существуют ли рациональные числа вида a^b, где a и b - иррациональные? Рассмотрим число c=sqrt(2)^sqrt(2). В силу закона исключенного третьего, оно либо рационально, либо иррационально. Если оно рационально, то ответ утвердителен: a=b=sqrt(2). Если оно иррационально, то положим a=c, b=sqrt(2). Имеем, a^b=(sqrt(2)^sqrt(2))^sqrt(2)=sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2))=sqrt(2)^2=2 - рациональное число. Доказательство подкупает своей простотой: оно, безусловно, доказывает существование искомой пары иррациональных чисел, но в тени остается вопрос: какой же именно из вариантов - первый или второй - следует взять в качестве конкретного примера? Если предположить, что в природе не существует никакого способа выяснить рационально ли число с=sqrt(2)^sqrt(2), то положительное утверждение теоремы становится бесполезным. К счастью, существует (сложное) доказательство того факта, что с - иррационально, но нетрудно придумать пример, в котором бесполезность закона исключенного третьего будет более рельефной. Рассмотрим функцию f, которая равна 1, если в десятичной записи числа Пи встречаются 2019 цифр 8 подряд, и равна 0 в противном случае. Очевидно, что функция f с определенностью либо равна 1, либо не равна 1, но вот выяснить какой вариант имеет место, проблематично (если вообще возможно!). В современных логических системах закон (аксиому) исключенного третьего иногда заменяют на более слабую аксиому невозможности отрицания: либо А, либо невозможно доказательство истинности А. Другая линия обобщения возникает в так называемых многозначных логиках, в которых отрицание отрицания некоторого утверждения не эквивалентно самому утверждению. Операция отрицания в таких теориях является циклической некоторого порядка (т.е. лишь n-кратное отрицание утверждения становится эквивалентным самому утверждению). В таких теориях появляется "закон исключенного n-ого":
либо А, либо не А, либо нене А, .... - верно. Любопытно, что в реальной жизни мы легко абстрагируемся от классического закона исключенного третьего. К примеру, совсем не трудно осознать тот факт, что Сократ и смертен и бессмертен одновременно: как индивидуальная личность - он смертен, но в некотором смысле его жизнь продолжается в истории человеческой мысли. Это легко понять, но сложно формально объяснить на языке различных семантических полей, которые пересекаются в утверждении "Сократ смертен, либо Сократ бессмертен."