Также тема "Математические операции " вводится здесь для того , чтобы углубить и расширить их понимание и значение , подходя к этому с общей их стороны . В первую очередь это будет касаться арифметических действий , так как в математике имеется немало различных видов операций , имеющих геометрический и алгебраический характер . Впрочем между этими видами операций с общим подходом можно установить тождественные аналогии .
Также здесь будет испробована попытка введения новых операций, возникающих на основе анализа современной математики. В современной математике я различаю четыре рода операций , которые хотя и присутствуют в ней , но явно не выделены и не оформлены самостоятельно . Эти четыре рода представляют операции четырехугольного типа , треугольного типа , круговые и проективные .
Далее хочется сказать , что изложение будет вестись не совсем в соответствии с общепринятым в математике и будет носить новый характер , и здесь в действительности применяется общий подход .Но данного направления уже касался с самого начала в теме Физическая математика в разделе Гипотезы . Там были предоставлены некоторые первые сведения по операциям треугольного типа , и вообще некоторое расширенное понимание арифметической операции вообще и ее аналогии с функцией , представляющей алгебраичесий вид операций , отличающейся от арифметического вида тем , что кроме чисел применяются переменные и постоянные величины в буквенном обозначении . Также некоторые простые операции геометрического характера были в попытке введены в теме Синтетическая математика здесь в разделе Нерешенные задачи, в той теме излагались операции над дискретными геометрическими структурами . Но подобное уже есть в математике в топологии по клеточным пространствам , а именнно их частного вида симплексов и полиэдров . В топологии тоже присутствуют свои особые топологические операции .
Теперь попробуем совершить быстрый экскурс по развитию операций начиная с исторического прошлого . В первую очередь арифметических , остальные виды еще не были как следует развиты и оформлены , но понятие математической операции началось с арифмктических и лишь потом распространилась на другие виды операций . Первая операция можно сказать началась со счета количества отдельных и конкретных предметов , представляющих совокупность , или по современной математике множество , здесь имеется ввиду конечное и дискретное . В этом счете первым числом стала единица и первой операцией (арифметической можно опустить) сложение .Эти два простых элементарных действия стали исходными кирпичиками или первокирпичиками , на основе которыхв дальнейшем образовывались следующие числа и операции . Так при счете возник натуральный ряд чисел . Затем в практической хозяйственной деятельности человека понадобилось вычитать из большего количества сосчитанных объектов меньшее количество и появилась операция обратная сложению , (на базе этой операции более позже возникли отрицательные числа ).Затем практическая деятельность заставила слаживать несколько раз подряд одинаковые по количеству элементов кучки предметов . Появилось умножение ,которое возникло на основе повторного сложения . Затем понадобилось кучу или совокупность (множество ) предметов разделять на несколько одинаковых частей , представилась операция обратная умножению . В дальнейшем на базе этой операции возникли нецелые или дробные числа , так как отношение целых чисел не всегда давало целое число и приходилось учитывать и остаток от деления . Так произошло расширение множества чисел , в которой начали объединяться разные системы чисел, полученных посредством различных арифметических действий .
Далее уже на основе повторного умножения одинаковых количеств возникла операция возведения в степень , а несоизмеримые отрезки дали первый пример иррациональностей , которые потом выражались посредством извлечения квадратного корня целого числа . Извлечение корней или радикалы числа возникли как операции обратные возведению в степени или даже как решение простого уравнения в некоторой степени .
Так вкратце здесь описаны три первых поколения арифметических операций . Современная математика их рассматривает также с точки зрения гипероператоров (также гиперопераций) , вернее представляет их как гипероператоры первой , второй и третьей ступени .
Из википедии , Сложение и вычитание являются
элементарными арифметическими
операциями. Все остальные, более
сложные операции, получаются в
результате гиперопераций. Так, сложение
и вычитание относят к операциям
первой ступени; умножение и деление -
к операциям второй ступени; возведение
в степень, извлечение корня и
логарифмирование - к операциям
третьей ступени; тетрация и её обратные
операции являются редко
используемыми операциями четвёртой
ступени, однако такое
гипероперирование можно продолжать .
Также интересно , что для возведения в степень имеется две обратные ей операции , кроме извлечения корня добавляется логарифмирование . Но логарифмированию на деле обратна показательная операция , которая однако не вводилась , так как достаточно было всего лишь степеной операции . Также для умножения можно дополнительно ввести операцию деления с остатком . В математике такая операция применяется , особенно в теории чисел , где вводится сравнимость двух целых чисел и операция сравнения по определенному модулю , особенно деление с остатком используется при нахождении наибольшего общего делителя двух целых чисел по алгоритму Евклида (здесь понятие целого числа распространено в основном на положительные числа из множества целых чисел ).
К сведению , очень интересно , что операции возведения в степень двойки или квадрат какого-нибудь числа соответствует две обратные операции , деление результата на исходное число и извлечение квадратного корня из результата , чтобы получить исходное число . Здесь применил другую терминологию , вводя исходное число над которым производится операция (здесь возведение в степень ) , чтобы получить результат такого действия . Некоторая аналогия , показывая сравнение с функцией (аргумент и область определения ).
Так , что мир математических операций может стать интересной темой для рассуждений .
В математике имеется несколько различных определений понятия "операция " , которые носят наиболее общий вид через некоторые понятия всеобщего характера такие , как соответствие , отображение , множество , упорядоченная пара , прямое или декартово произведение . И для того , чтобы понять определение "операции ", которое предоставляет математика , то приходится обращаться к прочим понятиям , связанным с основным определением . В итоге можно не найти полного логического соответствия между множеством связанных друг с другом определений и мне до сих пор это логическое соответствие не представляет никакого ясного представления . В современной математике , по моему представлению , присутствует явная квантовая запутанность , разрешить которую сможет , наверное , квантовая логика (имеется в виду человека , а не искусственного разума, созданного по образу и подобию человека и по эволюционному развитию не будет выше его ). Впрочем, мы будем сужать всякия определения от наиболее общего для всех разделов математики до конкретных их частных их случаев , пример рассматривать только арифметические и алгебраические операции , а все остальные оставить в стороне , чтобы слишком не усложнять теорию .
Между арифметическими и алгебраическими операциями (функциями) имеется много общего , пример , соответствие или отображение исходного числа или чисел ( исходные переменные или аргументы функции ) в какое-нибудь прочее число , представляющим результат математического действия над исходными числами (значение функции или зависимая величина ) . И арифметические действия и функции характеризуются количеством исходных данных (заданные исходные числа , аргументы , параметры ) , называемой арностью данной операции или функции , и исходные данные называются операндами . То есть операции и функции бывают унарные , бинарные , тернарные , кватернарные и так далее . Прочие определения называт местностью операции и соответствеено , одноместные , двуместные , трехместные и прочее , операции . Также еще и такие понятия как адичность и соответственно названия моноадические , диадические , триадические и так далее . Применяется и с приставкой поли- в значении вообще множественной совокупности , полиадические , которомусоответствует в прочем понимании , многоместные и n-арные . Так что , такие разрозненные наименования из различных разделов математики можно в принципе объединить и не особенно их различать по закону аналогии и тождества .
Вот несколько определений из википедии для некоторого понимания .
Опера́ция - отображение , ставящее в
соответствие одному или нескольким
элементам множества (аргументам)
другой элемент (значение). Термин
"операция" как правило применяется к
арифметическим или логическим
действиям, в отличие от термина
" оператор ", который чаще применяется
к некоторым отображениям множества
на себя, имеющим интересные для
исследований свойства .
Операция - отображение, областью
определения которого является прямое
произведение нескольких множеств.
Операции различаются по количеству
множеств, декартово произведение
которых является её областью
определения. Например, операция может
быть унарная, если она отображает один
элемент множества на один элемент
множества, или бинарная , если
сопоставляет двум элементам множества
один элемент.
Как видно, в определених понятия операции иногда присутствует понятие прямого или декартового произведения множеств , это же понятие определяется через определение упорядоченной пары (или просто пары )элементов (или чисел) и в итоге изображают такую пару точкой на декартовой плоскости , что , конечно , близко подводит уже к функции . Далее и местность или арность операции приобретают упорядоченный набор элементов (в частности чисел) , что соответствует и функции нескольких переменных