A( 1 , z ) = b + z
A( k , 1 ) = b для k >1
A( k , z ) = A( k-1 , A(k,z-1) )

где параметр b называется базой. Сам Аскерманн использовал несколько иные (но эквивалентные) обозначения [1,2,3]. Обычно предполагается, что база является вещественным числом, константой; аналитические свойства зависимости от базы пока не исследованы. В общем случае речь может идти о комплекснозначной функции трех комплексных аргументов b, k и z. Обычно же база b считается константой, номер k считается натуральным числом, а основным аргументом является последний аргумент z. При этом уместно также обозначение A(k,z) = A_k(z) ; каждая функция Аскерманна (кроме первой) является суперфункцией [4] от предыдущей, и каждая функция Аскерманна является передаточной функцией по отношению к последующей.
Три уравнения в определении выше недостаточны для того, чтобы определить Аскерманов для нецелых значений последнего аргмента. Класс решений может быть существенно сужен требованием голоморфизма, по крайней мере, в правой комплексной полуплоскости; тогда можно говорить о единственности решения.

Примеры

Первые функции Аскерманна, то есть A₁, A₂, A₃ и A₄ достаточно известны; первые три их них широко используются и не требуют, чтобы их идентифицировали с Аскерманном.

По определению выше, первая функция Аскерманна это просто прибавление базы b к аргументу.

Затем, используя Третье и Второе уравнения определения, можно выразить функцию A₂:

A( 2 , z) = A( 1 , A(2,z-1) ) = b + A(2,z-1)

Уравнение F(z) = b + F(z-1) имеет очевидное решение F(z) = b z .
Таким образом, A₂ - это просто умножение на постоянную базу b, то есть

A( 2 , z) = b z

Аналогично, используя Вторую функцию Аскерманна, можно написать уравнение для Третьей функции и увидеть, что A( 3 , z) = b^z

Для целых значений первого аргумента, функции Аскерманна могут строиться по одной. Вычисление следующих функции может быть основано на интеграле Коши или на регулярной итерации, в зависимости от значения базы b.
Для аккуратного вычисления произведений, требуются определенные навыки сложения.
Для аккуратного вычисления экспоненты, требуются навыки сложения и умножения. Кроме того, требуются обратные функции, то есть вычитание и деление. Тогда можно для экспоненты написать ряд Тэйлора. (Хотя для больших значений аргумента, непосредственное использование ряда Тэйлора можно порекоммендовать разве что лохам, которые не знают, куда девать вычислительные мощности компьютера.)
Для аккуратного вычисления четвертой функции Аскермана, называемой Тетрацией (tetrational) [5-9], требуются эффективные (точные и быстрые) алгоритмы для экспоненты и логарифма.
Для вычисления Пентации, то есть пятой функции Аскерманна, требуются эффективные алгоритмы вычисления Тетрации и ее обратной функции. Эта обратная функция может называться Абелекспонента или арктетрация, по аналогии с обратными тригонометрическими функциями. И так далее. При натуральных значениях k, этим функциям можно давать красивые имена-англицизмы: Тетрация, Пенация, Гексация (или сиксация), Севенация, Эйтация, Найнация, Тенация, Иллевенация,..); вложения могут быть в стиле детских сказок про Пампукскую Хрюрю или про "Дом, который построил Джек".
Поведение Пентации и более высоких функций Аскермана пока еще не очень хорошо изучено. Kогда база больше exp(1/e), вдоль вещественной оси эти функции очень быстро растут. (Экспоненциальное развитие цепной реакции по сравнению с таким ростом выглядит детской игрушкой.)

Математический анализ IXX-XX веков основан в основан на первых трех функциях Аскермана: сложении, умножении, экспоненцировании; а таже обратных операциях (вычитание, деление и логарифмирование). Функции, которые могут быть легко выражены в терминах этих операций, считаются элементарными функциями: log, sqrt, sin, arctan, и тому подобные.

Иногда говорят, что "задача допускает точное решение", или аналитическое решение, если это режение можно выразить в терминах специальных функций. Ожидается, что использование функций Аскерманна в качестве специальных функций расширит класс задач, допускающих "точное решение".

Обычно функция Аскерманна имеет два аргумента. В обозначениях самого Аскерманна (1928) и Википедии (2010) второй аргумент и значение сдвинуты [1,2,3]:
A_wiki(n,z)= A(n,z+3)-3.
Такое представление [2,3] несколько сложнее представленного здесь; в соответствии с определением Науки, викино обозначение может считаться дополнительным.

Часто имеют в виду, что первый аргумент функции Аскерманна имеет значения из множества натуральных чисел. Тогда можно говорить о последовательности функций Аскерманна от одного аргумента.

Функции Аскерманна (или Аскермана) можно определить рекуррентно; каждая следующая строится на основе предыдущей. Для использования первых трех функций Аскерманна (прибавление базы, умножение на базу, экспонента по основанию база) аппарат суперфункций и функций Аскерманна обычно не требуется. Для первых четырех функций Аскерманна есть эффективные алгоритмы вычисления. Четвертая функция Аскерманна является тетрацией, обозначается tet; имеются графики [11] для значений базы b=sqrt(2), b=exp(1/e), b=2, b=e. Bопрос об аналитичности (голоморфизмe) по первому аргументу ("номеру") требует дополнительного исследования; то же можно сказать об аналитичности по базе b; при этом база выступает в роли третьего (или "нулевого") аргумента. В частности, будет интересно выяснить, является ли значение b=exp(1/e) точкой ветвления тетрации при фиксированных значениях аргумента z.

Функции Аскерманна могут использоваться для описания процессов с необычным асимптотическим поведением (например, выстрее любого полинома но медленне любой экспоненты), а также для приближенного цифрового представления огромных чисел.

Функции Аскерманна, в частности, тетрация и пентация, описаны в книге "Суперфункции" [11]. Там представлены комплексные карты и графики.

_{Внешние ссылки:
[1] W.Ackermann. Zum Hilbertschen Aufbau der reelen Zahlen. Mathematische Annalen, v.99, (1928), p.118-133.
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function
[3] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2008ackermann.pdf D.Kouznetsov. Ackermann functions of complex argument. Preprint ILS, 2008.
[4] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010superfar.pdf Д.Кузнецов, Г.Траппманн. Суперфункции и квадратный корень из факториала. Вестник Московского Университета, серия 3, том 65, No.1, с.8-14 (2010)
[5] http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/E_ECALLE_67_74_09.pdf J.Ecalle. Theorie des invariants holomorphes. Publications d'mathematiques d'Orsay. n^o 67-74 09, 1970, Universite Paris XI, U.E.R. Mathematique, 91405 Orsay, France.
[6] A.Knoebel. Exponentials reiterated. American Mathematics monthly, v.88, No.4, April 1981, pp, 235-252; especially, see page 247.
[7] http://www.ams.org/journals/mcom/2009-78-267/S0025-5718-09-02188-7/home.html D.Kouznetsov. Analytic solution of F(z+1)=exp(F(z)) in complex z-plane. Mathematics of Computation, v.78 (2009), 1647-1670.
[8] http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PAPERS/2010vladie.pdf D.Kouznetsov. Superexponential as special function. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2010, v.12, issue 2, p.31-45.
[9] http://www.ams.org/journals/mcom/2010-79-271/S0025-5718-10-02342-2/home.html D.Kouznetsov, H.Trappmann. Portrait of the four regular super-exponentials to base sqrt(2). Mathematics of Computation, 2010, v.79, p.1727-1756.
[10] http://en.citizendium.org/wiki/Tetration
[11] http://mizugadro.mydns.jp/t/index.php/Суперфункции
https://www.morebooks.de/store/ru/book/Суперфункции/isbn/978-3-659-56202-0
http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/BOOK/202.pdf
http://mizugadro.mydns.jp/BOOK/202.pdf Д.Кузнецов. Суперфункции. Lambert Academic Publishing, 2014.
Тексты в Вере на близкие темы:
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/ackermann.shtml Ackermann function, English version of this article
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mathematicsr.shtml Математика
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/2010mestor.shtml Место Науки в человеческом знании
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/hayka.shtml Наука
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/mathematicalproblemsr.shtml задачи по матану
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/000abc.shtml Алфавитный указатель текстов Веры
http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/002vera.shtml О текстах Веры
Copyleft2009-2010 by Dmitrii Kouznetsov. Thie text may be used for free, attribute http://budclub.ru/k/kuznecow_d_j/ackermann.shtml}