Мак Петр Анатольевич. Вг1

ЛN5. ТЕМАN3: ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА -- КРЮГЕРА

Поверхность эллипсоида или шара не может быть развернута в плоскости без разрывов и складок, поэтому изображение ее на карте может быть только условным с теми или иными искажениями. Условный способ изображения земной поверхности на плоскости, при котором стремятся удовлетворить тем или иным требованиям, называется картографической проекцией. Условия для изображения земной поверхности на плоскости могут быть самые разнообразные, поэтому и картографических проекций можно создать бесчисленное множество.

Однако все картографические проекции можно классифицировать по двум признакам: по характеру искажений и по виду сетки меридианов и параллелей.

По первому признаку (кроме рассмотренных ранее) проекции делятся на конформные, эквивалентные и произвольные.

Конформными, или равноугольными, проекциями называются такие, в которых сохраняется равенство соответствующих углов на проекции и на земной поверхности, т.е. бесконечно малые контуры на земной поверхности изображаются на проекции подобными им бесконечно малыми контурами.

Эквивалентные проекции сохраняют постоянное отношение площадей на карте к соответствующим площадям на земной поверхности. В частном случае проекций, в которых сохраняется равенство соответствующих площадей на карте и на земной поверхности, называются равновеликими.

Произвольные проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни постоянного соотношения площадей. Однако, несмотря на это, произвольные проекции применяются довольно часто. Дело в том, что выбором тех или иных условий для создаваемой произвольной проекции можно добиться того, что на определенном месте картографируемой территории искажения углов в ней будут меньше, чем в эквивалентной, а искажения площадей меньше, чем в конформных проекциях на эту же территорию.

Из классификации по второму признаку -- по способу построения -- укажем четыре основных типа проекций: перспективные, зенитальные (иначе азимутальные), конические и цилиндрические.

Перспективные проекции. В этих проекциях все точки с поверхности эллипсоида (шара) проектируются лучами, выходящими из одной точки ("точки глаза"), на картинную плоскость. Расстояние "точки глаза" и картинной плоскости от шара (эллипсоида) может быть каким угодно.

3енитальные (азимутальные) проекции. В этих проекциях точки с поверхности шара переносятся по определенным правилам на картинную плоскость, касающуюся шара в какой-либо точке его поверхности.

Так как в перспективных проекциях картинная плоскость может находиться на любом расстоянии от шара, а следовательно, и касаться его поверхности, то зенитальные проекции имеют сходство с перспективными. Разница в том, что переход с поверхности шара на картинную плоскость в зенитальных проекциях делается вообще не по правилам перспективы. Если же применить в этих проекциях метод перспективы, то они совпадут с проекциями перспективными.

Конические и цилиндрические проекции. Эти проекции получили такие названия потому, что в них перенос точек с поверхности эллипсоида (шара) на плоскость, осуществляемый по определенным правилам, зависящим от свойств проекций (конформные, эквивалентные), можно представить геометрически, если вообразить, что сначала делается переход с эллипсоида на конус или цилиндр (касательный к эллипсоиду или секущий), а затем поверхности их разрезаются по образующим и развертываются на плоскость.

Такое геометрическое представление создания этих проекций и применим в дальнейшем.

Прежде чем перейти к характеристике отдельных проекций, разберем вопрос масштабов и искажений, общий для всех проекций.

Известно, что масштабом называется отношение длины линии на карте к соответствующей ей длине линии (горизонтальной проекции ее) на местности (на поверхности эллипсоида).

Масштаб, который взят в основу составления карты и в котором изобразились бы на карте любые линии на земной поверхности, если бы на ней не было искажений, называется главным масштабом. Этот масштаб подписывают на всякой карте.

Так как поверхность эллипсоида не может быть развернута на плоскости без искажений, то и любая линия на поверхности эллипсоида не может быть в картографической проекции уменьшена в одно и то же постоянное число раз. Следовательно, один и тот же главный масштаб не может быть сохранен на всей карте. Этот масштаб в картографических проекциях обыкновенно сохраняется только по одной или нескольким линиям. По всем остальным направлениям масштабы отличаются от главного и крупнее или мельче него. Такие масштабы называются частными. Все эти понятия более подробно будут рассмотрены в курсе картографии. А сейчас рассмотрим подробно прекецию и масштаб Гаусса-Крюгера.

-- Общие сведения о проекции Гаусса -- Крюгера

Геодезические измерения проводятся на земной поверхности, т. е. на поверхности эллипсоида, но обработка результатов этих измерений на эллипсоидальной поверхности была бы очень сложна, поэтому пользоваться эллипсоидальными координатами (широтами и долготами) пунктов триангуляции или пунктов аналитических сетей для обоснования съемок было бы очень неудобно. Вычисления ведут в системе плоских прямоугольных координат в наиболее подходящей для этого картографической проекции и получают координаты пунктов триангуляции 2 класса и ниже.

Понятно, что если для исходных пунктов, например для пунктов триангуляции 1 класса, известны широты и долготы, то прежде всего нужно эти эллипсоидальные координаты, а также все измеренные на местности линии, углы или направления перенести на плоскость по соответствующим проекции правилам, а затем уже можно делать дальнейшие вычисления, пользуясь формулами плоской тригонометрии.

В настоящее время наиболее подходящей для обработки геодезических измерений признана прямоугольная, конформная проекция Гаусса.

Теоретическое обоснование этой проекции дано Гауссом (1825 г.) в его работе, решившей общую задачу изображения одной данной поверхности на другой данной поверхности с сохранением подобия в бесконечно малых частях, т. е. с соблюдением конформности изображения. Однако эта общая теория долгое время, вплоть до 1917 г., не получала в геодезии должного применения. Только после работы Л. Крюгера, опубликованной в 1912 г., в которой он применил общую теорию Гаусса к конкретной задаче конформного изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости и дал формулы для практических вычислений, эта проекция стала применяться во многих странах.

Так как работа Л. Крюгера имела очень большое значение для практического применения теории Гаусса, то полученную проекцию стали называть проекцией Гаусса -- Крюгера.

Применяя проекцию Гаусса -- Крюгера, поверхность земного эллипсоида делят меридианами, отстоящими один от другого на 6® по долготе (иногда на 3®), на двуугольники, называемые зонами. Зоны совпадают с колоннами листов международной карты масштаба 1: 1 000 000 и долготы средних меридианов зон, называемых осевыми, рассчитывают по формуле

L₀ = 6®n -- 3®,

где n -- целые числа 1, 2, 3 и т. д. Так, в 1-й зоне осевой меридиан имеет долготу L₁ = 3®, во второй зоне L₂ = 9® и т. д.

В каждой такой зоне переход с поверхности эллипсоида на проекцию делается самостоятельно, но по одним и тем же правилам. Поэтому, несмотря на то, что каждая зона в проекции представляет собой как бы отдельную карту, положение всякой точки на земной поверхности определяется аналитически однообразным способом.

Благодаря введению зон, искажения в проекции Гаусса -- Крюгера, зависящие, как увидим далее, от удаления точек от среднего меридиана карты, будут небольшими и просто и точно учитываемыми. Это обстоятельство имеет очень большое значение, так как в проекции осуществляется перенос на плоскость с числовым выражением данных точных геодезических измерений.

Перенос точек, заданных широтами и долготами с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса -- Крюгера, сделаем в такой последовательности: сначала от широт и долгот перейдем к прямоугольным эллипсоидальным координатам, а затем от них, при условии конформного изображения, к прямоугольным плоским. Одновременно выведем формулу и для сближения меридианов.

Заметим, что прямоугольные плоские (Декартовы) координаты точек в проекции Гаусса -- Крюгера кратко называют "координаты Гаусса -- Крюгера".

2. Вывод формул для вычисления прямоугольных эллипсоидальных координат

Вывод полных формул для вычисления в 6-градусной зоне очень громоздкий из-за сложности фигуры эллипсоида. Рассмотрим вывод сокращенных формул для вычислений в 2-градусной зоне. В этом случае можно принять Землю за шар и, применяя при выводе метод разложения тригонометрических функций в ряды, ограничиться двумя или тремя членами рядов.

На рис. 2.1 РfdO -- осевой меридиан зоны с долготой L₀; D -- точка на поверхности сферы с широтой В и долготой L; f -- основание сферического перпендикуляра, опущенного из точки D на осевой меридиан; d -- точка пересечения параллели точки D с осевым меридианом; O -- точка пересечения осевого меридиана с экватором; Df -- дуга первого вертикала в точке f или сферическая ордината точки D; обозначим ее через y_c ; Dd -- параллель точки D с широтой В; DC -- сферический перпендикуляр, восставленный в точке D к дуге Dd, или, иначе, дуга малого круга, плоскость которого параллельна плоскости осевого меридиана; Of -- сферическая абсцисса точки D; обозначим ее через х_C ; это дуга осевого меридиана от экватора до основания ординаты; ?₁ -- сближение меридианов.

0x01 graphic

Рис. 2.1

Обозначим широту точки f через В_f. Радиус сферы примем равным N -- радиусу кривизны первого вертикала в точке D.

В прямоугольном сферическом треугольнике fPD нам известны: угол fPD = L -- L₀ =l; сторона РD = 90® -- В. Выражая сторону fD, равную y_c в долях радиуса, по формулам сферической тригонометрии можем написать

0x01 graphic
(2.1)

0x01 graphic
, (2.2)

0x01 graphic
(2.3)

Вспомним разложение в ряд:

0x01 graphic

Беря для малых величин 0x01 graphic

sin и sin l по два члена ряда, получаем

0x01 graphic

Для последнего малого члена 0x01 graphic

можно принять 0x01 graphic

, тогда

0x01 graphic

Переходя к градусной мере, окончательно получим

0x01 graphic
. (2.4)

Выведем формулу для сближения меридианов. Возьмем для малых величин tg ?₁ и tg l по два члена ряда и тогда (2.3) примет вид

0x01 graphic

Переходя к градусной мере, окончательно получаем

0x01 graphic
(2.5)

Абсциссу х_с легко получим, если будем знать длину дуги меридиана от экватора до параллели с широтой В и дугу df. Обозначая длину дуги от экватора до параллели с широтой В через Х, видим (см. рис. 2.1), что

Длины дуг меридиана от экватора до параллелей с любыми широтами можно вычислить заранее или взять готовыми из таблиц, поэтому для определения абсциссы х_с нам нужно только вывести формулу для вычисления дуги df или, что то же самое дуги (х_с -- Х).

По формуле (2.2: 0x01 graphic

) определим tg В:

tg В = cos l tg B_f.

Возьмем для cos l три члена ряда, тогда напишем

0x01 graphic

Из сферического треугольника fPD имеем

0x01 graphic

Теперь можно написать

0x01 graphic

Для малой величины 0x01 graphic

возьмем два члена ряда, тогда

0x01 graphic

Применяя к этому двучлену формулу бинома Ньютона и ограничиваясь двумя его членами, имеем

0x01 graphic

Для малого члена 0x01 graphic

можно принять

0x01 graphic

Подставляя это выражение для в формулу для 0x01 graphic

в формулу для sin(B_f -B),

пишем

0x01 graphic

Выражая (B_f -B) в секундах дуги и беря для sin(B_f -B) один член ряда, так как дуга

B_f -B мала, получаем

Имея теперь разность широт точек f и d, вычисляем искомую длину дуги fd = х_с -- Х по формуле

0x01 graphic

(при перемножении выражений, стоящих в скобках, последний член-- 0x01 graphic

, в ввиду его малости, отброшен). Делая дальнейшие преобразования, последовательно получаем

0x01 graphic

Так как

6 cos² В -- 1 = 6 cos² В -- sin² В -- cos² В = 5 cos² В -- sin² В,

окончательно получим

0x01 graphic
(2.6)

3. Масштаб в проекции Гаусса -- Крюгера

Перенос точек с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса -- Крюгера происходит при следующих условиях:

1) осевой меридиан зоны изображается прямой линией, принимаемой за ось абсцисс (у = 0);

2) для точек осевого меридиана абсциссы должны быть равны соответствующим дугам, т. е. расстояниям этих точек от экватора эллипсоида, следовательно, начало прямоугольных координат -- точка пересечения осевого меридиана с экватором, на проекции изображающимся прямой линией; он является осью ординат (х = 0); масштаб вдоль осевого меридиана равен единице;

3) проекция комформная, следовательно, масштабы по главным направлениям должны быть равны m=n.

На рис. 3.1 показано определение точки на поверхности эллипсоида, а на рис. 3.2 -- на проекции координатами х и у.

0x01 graphic

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Указанные условия делают проекцию Гаусса -- Крюгера поперечно-цилиндрической с касанием цилиндра по осевому меридиану зоны.

PfdOP₁ -- осевой меридиан зоны; QqOq₁Q₁ -- экватор; EdDE₁ -- параллель точки D; PqP₁q₁Р -- зона; дуга Odf -- сфероидическая абсцисса точки D -- х_с ; дуга fD -- сфероическая ордината у_с точки D.

Главные направления совпадают с направлениями, параллельными сфероидическим осям координат, а в проекции -- с направлениями, параллельными осям координат х и у.

Меридианы и параллели в проекции Гаусса -- Крюгера, как и вообще в поперечно-цилиндрических проекциях, изображаются кривыми линиями.

Сравним проекцию Гаусса -- Крюгера с поперечной цилиндрической проекцией Зольднера -- Кассини. Обе проекции прямоугольные; как в той, так и в другой проекции цилиндр касается эллипсоида или шара по меридиану, который изображается в проекции прямой линией, принимаемой за ось абсцисс. В обеих проекциях для точек осевого меридиана абсциссы равны соответствующим дугам от экватора на поверхности эллипсоида или шара. Следовательно, искажения по направлениям, параллельным оси х, в этих проекциях одинаковы. Таким образом, в проекции Гаусса -- Крюгера масштаб в точках по оси х, так же, как и в проекции Зольднера -- Кассини, равен 0x01 graphic

Принимая в соответствии с нашим выводом радиус шара равным N, для проекции Гаусса -- Крюгера находим

m = 0x01 graphic
.

По условию конформности в проекции Гаусса -- Крюгера масштаб по другому главному направлению, т. е. по направлению оси у, должен быть таким же, следовательно,

m = n = 0x01 graphic
.

Разложим

cos -- в ряд и возьмем три члена ряда, тогда

0x01 graphic
(3.1)

Из (2.4:

следует, что ордината у_c зависит от широты и долготы точки, поэтому масштаб в каждой точке проекции различный и искажения зависят от удаления точки от осевого меридиана зоны по оси у (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Масштабы на краю шестиградусной зоны (при l = 3®)

Масштаб	Широта
Масштаб		0®	15®	30®	45®	60®	75®	90®
m=n..........	1,0014	1,0013	1,0010	1,0007	1,0004	1,0001	1
p...............	1,0028	1,0026	1,0020	1,0014	1,0008	1,0002	1

Искажения углов нет, поэтому ? = 0.

На рис. 3.3 изображена сетка меридианов и параллелей этой проекции.

0x01 graphic

Рис. 3.3

Если бы в проекции Гаусса -- Крюгера касание цилиндра происходило не по меридиану, а по экватору, то она обратилась бы в проекцию Меркатора.

4. Формулы для вычисления координат Гаусса -- Крюгера по геодезическим координатам и геодезических координат по координатам Гаусса -- Крюгера

По условию проекции абсцисса х точки в координатах Гаусса-- Крюгера равна ее сфероидической абсциссе х_с поэтому

0x01 graphic
(4.1)

Выведем формулу для ординаты у.

Обозначим бесконечно малый элемент ординаты на плоскости через dy, а соответствующий ему бесконечно малый элемент сфероидической ординаты через dy_с. Тогда, по определению масштаба и согласно (3.1), напишем

0x01 graphic

Интегрируя это уравнение, получаем

0x01 graphic

Последний член в этой формуле целесообразно учитывать одновременно со сжатием земного эллипсоида. При выводе формулы для сфероидической ординаты у_с сжатия земного эллипсоида не учитывали, поэтому и сейчас в правой части написанного уравнения ограничимся двумя членами.

В соответствии с 2.4: 0x01 graphic

будем иметь

0x01 graphic

(здесь во втором члене 0x01 graphic

взято для у_с приближенное его значение 0x01 graphic

Окончательно получим

0x01 graphic
. (4.2)

По (4.1) и (4.2) можно делать вычисления в пределах двухградусной зоны, т. е. при l ©1® или при l > 1® применяют полные формулы. Приводим эти формулы без вывода

0x01 graphic

(4.3), (4.4)

Здесь

0x01 graphic
.

Формулы для вычисления геодезических координат В и L по известным координатам х и у Гаусса -- Крюгера выводятся из совместного решения уравнений (4.3) и (4.4) способом приближений. Путь вывода следующий.

Из (4.4), беря в правой части равенства один первый член, находим l" в первом приближении

0x01 graphic
.

С этим значением l" определяем l"³ и, подставляя его во второй член уравнения (4.4), имеем

0x01 graphic
.

По этому уравнению находим l" во втором приближении и по найденному для него значению определяем l"³ и l"⁵. Подставляем найденные для них значения снова в уравнение (4.4) и определяем из него l" в третьем приближении. С третьим приближением для l" определяем l"², l"⁴ и l"⁶ и, подставляя найденные для них значения в (4.3), находим (опуская математические преобразования)

0x01 graphic

(4.5)

Напомним, что абсцисса х -- дуга осевого меридиана зоны от экватора до основания ординаты у (на рис. 3.1 это дуга Of), Х -- дуга осевого меридиана от экватора до параллели с широтой В (на рис. 3.1 это дуга Od). Широту точки f обозначали через B_f следовательно, разность х -- Х - дуга осевого меридиана, соответствующая разности широт В_f -- В.

Обозначим

b"=- (B_f -- В)"; s = х -- Х..

Применим формулу для вычисления дуги меридиана и заменив в ней во втором члене в скобках дугу s ее приближенным значением по равенству

0x01 graphic

(4.6)

Приравнивая правые части (4.5) и (4.6), получаем уравнение, из которого способом приближений определяем (В_f -- В)".

Нетрудно видеть, что полученная разность будет зависеть от неизвестной пока широты В. Поэтому для получения окончательной формулы производят в правой части равенства, определяющего разность (В_f -- В)", математические преобразования, приводящие к замене функций широты В функциями широты B_f, и получают для разности (В_f -- В)" формулу

(4.7)

Искомую широту В вычисляют по формуле

B = B_f - (В_f -- В). (4.8)

Разность долгот l", полученную ранее в третьем приближении, после математических преобразований, также приводящих к замене функций широты В функциями широты B_f, вычисляем по формуле

0x01 graphic

(4.9)

Искомая долгота определится по формуле

L = L₀ + l, (4.10)

где L₀ -- долгота осевого меридиана зоны.

Для вычислений по формулам (4.3), (4.4), (4.7) и (4.9) составлены специальные таблицы.

5. Гауссово сближение меридианов

Как известно, прямыми линиями в проекции Гаусса -- Крюгера изображаются только осевой меридиан зоны и экватор. Всякие другие линии на поверхности эллипсоида изображаются в проекции кривыми. На рис. 5.1 схематически показано изображение в проекции Гаусса -- Крюгера: Pf -осевой меридиан зоны; PD -- меридиан в точке D; DС -- сфероидический перпендикуляр, восставленный в точке D к сфероидической ординате; у -- ордината точки D; ?₁ -- сближение меридианов на эллипсоиде, называемое геодезическое сближение меридианов; ? -- сближение меридиа нов на плоскости, называемое Гауссово сближение меридианов.

0x01 graphic

Рис. 5.1

Гауссово сближение меридианов -- это угол между изображением меридиана и направлением, параллельным оси х.

Проекция конформная, следовательно, угол ?₁ в проекции равен его величине на эллипсоиде и определяется выведенной нами формулой (2.5: 0x01 graphic

) Гауссово сближение меридианов ?очень мало отличается от геодезического сближения меридианов ?₁ и практически их можно считать равными. Точная формула для Гауссова сближения меридианов такая

0x01 graphic
(5.1)

Сближение меридианов и координаты вычисляют одновременно.

6. Вычисление координат Гаусса -- Крюгера по геодезическим координатам и геодезических координат по координатам Гаусса -- Крюгера

"Таблицы для вычисления плоских конформных координат Гаусса" основаны на приведенных выше полных формулах, но для удобства пользования ими и для сокращения записей при вычислениях эти формулы при составлении таблиц преобразованы и приведены к виду рядов по степеням l и у.

Не раскрывая формул для отдельных членов этих рядов, напишем сразу в окончательном виде полные практически применяемые формулы.

1. Вычисление координат Гаусса -- Крюгера по геодезическим координатам

0x01 graphic

2. Вычисление геодезических координат по координатам Гаусса-Крюгера

0x01 graphic

В этих "Таблицах" даны подробные объяснения, как пользоваться ими и приведены примеры с полными вычислениями обеих задач.

6. Перенос линии c поверхности эллипсоида на плоскость (редуцирование расстояний)

Измеренная на поверхности эллипсоида линия (базис триангуляции, непосредственно измеренная сторона треугольника триангуляции, стороны полигонометрических ходов) длиной s изображается в проекции Гаусса -- Крюгера кривой DE, имеющей длину S (рис. 6.1).

0x01 graphic

Рис. 6.1

Обозначим бесконечно малые элементы этих линий соответственно через ds и dS. По определению масштаба проекции, учитывая ее конформность имеем

0x01 graphic

Рассмотрим в (3.1: 0x01 graphic

) для масштаба изображения два первых члена ряда и напишем

0x01 graphic

Заменим в этой формуле радиус кривизны N средним радиусом кривизны R (этим учтем сфе- роидичность Земли), а сфероидическую ординату у_c ординатой у Гаусса -- Крюгера. Такую замену ординат можно сделать, так как мы ограничились для масштаба двумя членами ряда. Теперь получим

0x01 graphic

Небольшие по длине линии (до 10 -- 12 км) можно практически считать бесконечно малыми в сравнении с размерами Земли и принять

ds=s и dS=S.

Для ординаты у возьмем среднее значение у_m из ординат конечных точек линии, тогда окончательно будем иметь

0x01 graphic
(6.1)

Радиус кривизны R ввиду малого изменения его с изменением широты можно брать для средней широты значительной по размерам территории.

Величина

всегда положительная, следовательно, длины изображений линий в проекции Гаусса -- Крюгера всегда больше длин соответствующих линий на поверхности эллипсоида. Это также видно и по величине масштаба, так как он больше единицы. Формула (6.1) показывает, что при переносе линий с поверхности эллипсоида на проекцию нужно во все измеренные линии вводить поправку, равную 0x01 graphic

. Эта поправка называется р е д у к ц и е й р а с с т о я н и я.

Искажения длин линий показаны в табл. 6.1 и 6.2.

Кривизна изображения линии в проекции, а также углы ?₁ и ?₂, которые кривая составляет с хордой, невелики, поэтому практически можно принять длину хорды равной длине кривой. Обозначая длину через d, можем написать

0x01 graphic
(6.2)

Табл. 6.1

Относительные искажения длин линий на краях 6® зоны в различных широтах

Широта	Относительные искажения
0®	1 : 720
30®	1 : 1000
45®	1 : 1430
60®	1 : 2500

Формулой редукции расстояний часто пользуются в логарифмическом виде

0x01 graphic

Ограничиваясь одним членом ряда для выражений вида 1g (1+ х), имеем

1g (1+ х) = ?х,

где ? -- модуль Бригговых логарифмов, равный 0,4342945.

Табл. 6.2

Относительные искажения в зависимости от удаления (от величины y_m) линии

От осевого меридиана зоны

В километрах	Относительные искажения	В километрах	Относительные искажения
50	1 : 32 000	200	1 : 2500
100	1 : 8000	250	1 : 1300
150	1 : 3500	300	1 : 900

Поэтому, ограничиваясь одним членом ряда, можем написать

0x01 graphic
(6.3)

Формула (6.3) обеспечивает в поправке за редукцию расстояния единицу седьмого знака логарифма и применяется в сетях триангуляции 3 и 4 классов и в полигонометрии.

В триангуляции 2 класса применяется более точная формула

0x01 graphic
(6.4)

или, в логарифмическом виде,

0x01 graphic
(6.5)

обеспечивающая в поправке 0,5 единицы седьмого знака логарифма.. Наконец, в триангуляции 1 класса пользуются формулой

0x01 graphic

сохраняющей в поправке за редукцию расстояния единицу 8-го знака логарифма.

В этих формулах ?у -- разность: ордината конечной точки линии минус ордината начальной точки линии.

Ординаты точек для вычисления поправок за редукцию расстояний достаточно вычислять с точностью до 5 м.

7. Перенос направлений с поверхности эллипсоида на проекцию (редуцирование направлений). Формула вычисления дирекционного угла направления

Стороны треугольников триангуляции при переносе с земной поверхности (с поверхности эллипсоида) на плоскость изображаются кривыми, вогнутостью направленными в сторону оси абсцисс. Углы между этими кривыми, считаемые как углы между касательными к кривым в вершине угла, по условию конформности проекции равны измеренным на местности. Чтобы иметь возможность решать треугольники, от криволинейных сторон переходят к прямолинейным, заменяя кривые хордами. Как показано ранее, длины прямолинейных сторон практически равны длинам их действительных изображений. Углы в новых треугольниках с прямолинейными сторонами отличаются от углов с криволинейными сторонами, а следовательно, и от измеренных на местности, на величины, зависящие от углов между кривыми и хордами. Заменяя кривые (действительные) изображения сторон угла хордами, мы изменяем направления сторон угла на величину ?. Следовательно, эти величины нужно рассматривать как поправки к измеренным направлениям при переходе от криволинейного изображения линий, соответствующих этим направлениям, к прямолинейным изображениям. Поэтому углы ? называются поправками за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в проекции Гаусса -- Крюгера или, кратко, редукциями направлений. Направления же, в которые введены эти поправки, называются редуцированными на плоскость направлениями.

Выведем формулу для вычисления величины ?.

Пусть на рис. 7.1: аа'b -- изображение в проекции Гаусса -- Крюгера геодезической линии или нормального сечения (стороны треугольника триангуляции) между точками а и b с координатами х₁, у₁ и х₂, у₂.

0x01 graphic

Рис. 7.1 Рис. 7.2

На поверхности эллипсоида (рис. 7.2) соответственно (см. рис. 7.1) имеем: ОDС -- осевой меридиан зоны, АВ -- геодезическая линия, ВС и AD -- эллипсоидальные координаты точек В и А. По малости длины линии АВ в сравнении с размерами Земли примем ее за шар с радиусом R, равным среднему радиусу кривизны в точке с широтой средней между широтами точек А и В и проведем дугу большого круга СА. Конечно, АВ, СВ, AD и DC также являются дугами больших кругов.

Обозначая сферические избытки треугольников АВС и ACD ,через ?₁ и ?₂для суммы углов в сферической фигуре АВСD имеем

? = 360® + ?₁ + ?₂

Сумма углов в четырехугольной фигуре аа'bcd равна

?₁ = 360® + ?₁_.2 + ?₂_.1,

следовательно,

?₁_.2 + ?₂_.1 = ?₁ + ?₂.

Выражая сферический избыток по формуле:

0x01 graphic
или

берем один первый ее член и, определяя площадь фигуры аа'bcd по координатам ее вершин, можем написать

?₁ + ?₂ = ?_1.2 + ?_2.1 =
.

Углы ?₁_.2 и ?₂_.1 по величине различаются между собой мало и, например, для сторон триангуляции 3 класса могут быть приняты одинаковыми. Поэтому можно написать

?_1.2 = ?_2.1 =
.

Введем в эту формулу среднюю ординату у_m и выразим углы ? секундах. Окончательно получим

0x01 graphic

или

?''_1.2 = ?''_2.1 =f(x₂- x₁)y_m (7.1)

Мы получили абсолютную величину углов ?''_1.2 и ?''_2.1 . Но эти углы можно рассматривать и как поправки к направлениям при замене их криволинейного изображения прямолинейным и считать, как принято для направлений, х₁, и у₁ -- координатами начального пункта направления, х₂, и у₂ -- координатами его конечного пункта.

Рассматривая углы ? как поправки к направлениям, видим, что если для направления с точки а с координатами х₁ и у₁ на точку b с координатами х₂ и у₂ поправка ?_1.2, вычисленная по формуле (7.1), получается с одним знаком, например положительной, то для обратного направления с точки b на точку а поправка ?_2.₁, получится такой же по абсолютной величине, но с обратным знаком, т. е. отрицательной. Это понятно, так как при одной и той же средней ординате у в прямом и обратном направлениях взаимно меняются начало и конец направления и их абсциссы. Поэтому одновременно с формулой (7.1) получается и формула

?''₂_.1 = - ?''₁_.₂ , (7.2)

в которой ?_1.2 и ?_2.₁-- поправки взаимно противоположных направлений.

Этими формулами пользуются при вычислениях в триангуляции 3 класса и ниже.

В зависимости от того, х₂ > х₁ или х₂ < х₁ , а также от положительного или отрицательного у_m поправки ?, вычисленные по формуле (7.1), получаются положительными или отрицательными, и как поправки к измеренным направлениям должны всегда алгебраически вычитаться из измеренных направлений. Это ясно видно на рис. 7.3.

0x01 graphic

Рис. 7.3 Рис. 7.4

Обозначим измеренные на пункте о направления через М_ok , М_ol , М_or ,...., тогда направления, исправленные поправками за кривизну изображения геодезических линий на проекций, или редуцированные на плоскость направления N_ok , N_ol , N_or и. т. д., получаются по формулам

0x01 graphic
(7.3)

и т.д.

Определим поправку за редуцирование угла. Согласно (7.1), угол 0x01 graphic

kol (рис. 7.3), редуцированный на плоскость, равен

0x01 graphic
.

Следовательно, поправка, которую нужно прибавить к измеренному углу, равна разности: поправка для левой стороны угла минус поправка для правой стороны.

Если рассмотрим треугольник, вершины которого обозначим через 1, 2 и 3 (рис. 7.4), то для его редуцированных углов следует написать

0x01 graphic

Складывая левые и правые части этих равенств, получаем

180® = 180® + ? + (?_1.2 - ?_1.3) + (?₂_.₃ - ?₂_.₁) + (?₃_.₁ - ?₃_.₂)

или

(?_1.2 - ?_1.3) + (?_2.3 - ?_2.1) + (?_3.1 - ?_3.2) = - ? (7.4)

Этим равенством пользуются для контроля вычисления поправок ?.

В триангуляции 2 класса применяется более точная формула

0x01 graphic
. (7.5)

Как видно, поправки ?, вычисленные по этой формуле для прямого и обратного направлений, будут различаться не только знаком, но и по абсолютной величине. В триангуляции 1 класса применяется еще более полная формула.

Заметим, что в вычислительной практике считают более удобным поправку за редукцию направлений прибавлять к измеренным направлениям (по аналогии с поправками за центрировку и редукцию), поэтому вычисляют эти поправки по формулам

(7.6)

0x01 graphic
. (7.7)

Поправка за редуцирование угла в этом случае будет равна разности: поправка для правой стороны угла минус поправка для левой стороны.

Выведем формулу для вычисления дирекционного угла геодезической линии.

Рассмотрим рис. 7.5

0x01 graphic

Рис. 7.5

На рис. 7.5 показано изображение в проекции Гаусса -- Крюгера: ОР -- осевой меридиан зоны, РК -- меридиан в точке K, KL--геодезическая линия, А -- азимут геодезической линии, ?-- дирекционный угол геодезической линии, ? -- сближение меридианов.

Непосредственно по рисунку можно написать

? = А -- ? - ?_KL. (7.8)

Если же поправку ?_KL определить по (7.6) или по (7.7), то

? = А -- ? + ?_KL. (7.9)

8. Перенос триангуляционной сети с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса -- Крюгера

Перенос триангуляционной сети с поверхности эллипсоида на плоскость заключается, в конечном счете, в переходе от эллипсоидальных треугольников к плоским с прямолинейными сторонами и в получении координат Гаусса -- Крюгера для всех пунктов сети.

Первоначальными исходными данными для построения триангуляционной сети являются широты и долготы одного или нескольких пунктов, длины базисных сторон и их азимуты и измеренные на местности углы (направления). Перенеся эти элементы триангуляции по правилам проекции на плоскость, координаты всех остальных пунктов триангуляционной сети получают вычислениями на плоскости.

Таким образом, переносят триангуляционную сеть с поверхности эллипсоида на плоскость в такой последовательности:

1) по известным широтам и долготам исходных пунктов вычисляют их прямоугольные координаты;

2) на концах базисных сторон вычисляют Гауссово сближение меридианов и дирекционные углы базисных сторон;

3) редуцируют на плоскость длины базисных сторон;

4) для измеренных направлений вычисляют поправки ? за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и получают редуцированные на плоскость направления и углы.

В заполняющих сетях 3 класса исходными данными являются пункты, для которых известны координаты Гаусса -- Крюгера, поэтому перенос такой сети с поверхности эллипсоида на плоскость сводится только к вычислению поправок ? за редукцию направлений и в получении редуцированных направлений.

Сделаем такие вычисления для рассматриваемой нами сети, изображенной на рис. 8.1.

0x01 graphic

Рис. 8.1

Вычисления ведем в такой последовательности:

1. Вычисляем приближенные координаты определяемых пунктов Дудино, Верховье, Спасское. Приближенные координаты обыкновенно вычисляют или по двум сторонам, беря их из разных треугольников и применяя формулы

х₂ = х₁ + d_1.2 cos ? _1.2 и y₂ = y₁ + d_1.2 sin ? _1.2

или по формулам котангенсов углов треугольника. Длины сторон берут из предварительного решения треугольников. Углы вычисляют по приведенным направлениям с точностью до 1''. Сделав такие вычисления, для приближенных координат пунктов получим данные, приведенные в табл. 8.1.

2. Вычисляем поправки ? (табл. 8.2 -- 8.3). Координаты пунктов выражаем в километрах до 0,01.

В триангуляции 3 класса поправки ? можно вычислять с точностью до 0'',1 по (7.1) или (7.6). Но для того чтобы яснее была видна разница в этих поправках для взаимно противоположных направлений при длинных сторонах и для большей наглядности контроля поправок ? по сферическому избытку, вычислим поправки ? по (7.5) с точностью до 0",01.

Не приводя полных вычислений поправок ? для остальных направлений сети, даем их в окончательном виде (табл. 8.4).

Поправки ? вычисляют непосредственно в карточке предварительной обработки при ее составлении и запись вычислений делают как показано для Яхонтово.

3. Контролируем вычисление поправок ? (табл. 8.5) по сферическому избытку по (7.4).

Табл.8.1

Приближенные координаты

Пункты	x в м	y в м
Дудино	6 238 850	165 072
Верховье	6 246 721	165 604
Спасское	6 240 673	170 453

Табл. 8.2

Вычисление поправок ? для пункта I Груздево

	x₁ = 6 238,80 2y₁ = 310,92
		п.II Яхонтово	п. 2 Верховье	п.1 Дудино
x₂	6252,73	6246,72	6238,85
y₂	163,21	165,60	165,07
f	0,000843	0,000843	0,000843
x₂- x₁	- 13,93	- 7,92	- 0,05
2 y₁+ y₂	474,13	476,52	475,99
?''	- 5,57	- 3,18	- 0,02

Табл. 8.3

Вычисления поправок ? для п.II Яхонтово

Направления	x 6252,73	y 163,21	?''
III Карповский	6246,87	178,34	+ 2,49
2 Верховье	6246,72	165,60	+ 2,49
I Груздево	6238,80	155,46	+ 5,66

Табл. 8.4

Поправки ?

Направл.	?''	Направл.	?''	Направл.	?''	Направл.	?''
п. III Карповский		п.1 Дудино		п. 2 Верховье		п.3 Спасское
III - 3	+ 2,76	1 - I	+ 0,02	2 - II	- 2,50	3 - III	- 2,71
- 2	+ 0,07	- 2	- 3,29	- III	- 0,06	- 1	+ 0,78
- II	- 2,57	- 3	- 0,77	- 3	+ 2,56	- 2	- 2,58
				- 1	+ 3,29
				- I	+ 3,25

Табл. 8.5

Контроль вычисления поправок ?

? I II 2 ?? = - 0'',19 ? = 0,20	? II III 2 ?? = - 0'',20 ? = 0,19	? 2 III 3 ?? = - 0'',20 ? = 0,20
? 1 2 3 ?? = - 0'',11 ? = 0,10		? I 2 1 ?? = - 0'',19 ? = 0,19

4. Вычисляем редуцирование на плоскость направления. Поправки ? за редуцирование направлений по формуле (7.7), поэтому для получения редуцированных направлений нужно эти поправки прибавить к приведенным к центру знака направлениям (в карточке предварительной обработки к направлениям "сферические"). Понятно, что редуцированные направления можно получить и так: сначала вычислить сумму с + r + ? поправок для каждого направления, затем прибавить эти суммы к измеренным направлениям.

Редуцированные направления вычисляют непосредственно в карточке предварительной обработки. (образец которой для п. Яхонтово дан в ~ 86. В этой карточке редуцированные на плоскость направления записаны под заголовком "Направления, приведенные к центру на плоскости".

9. Преобразование координат Гаусса -- Крюгера из одной зоны в другую

Ходы полигонометрии, проложенные между триангуляционными пунктами, нередко имеют начальный пункт, расположенный в одной зоне, а конечный в другой -- смежной. В триангуляционной сети, подлежащей уравниванию, одна часть твердых пунктов может находиться в одной зоне, а другая в смежной. И в том и в другом случае часть пунктов будет иметь координаты Гаусса -- Крюгера в одной системе (1-й зоны), а часть пунктов в другой системе (2-й зоны).

Уравнительные вычисления делают в одной системе координат, поэтому часто возникает необходимость еще до уравнивания иметь координаты всех твердых пунктов в системе одной (первой или второй) зоны.

Приходится решать следующую задачу: для пункта известны координаты Гаусса -- Крюгера х₁у₁ в зоне с осевым меридианом, имеющим долготу L₁ (1-я зона); требуется вычислить координаты Гаусса -- Крюгера х₂иу₂ этого пункта в смежной зоне с осевым меридианом, имеющим долготу L₂= L₁ + l (2-я зона).

Эта задача носит название "преобразование координат Гаусса-- Крюгера из одной зоны в другую" и может решаться различными способами. Рассмотрим два из них.

Первый способ заключается в том, что по известным для пункта координатам х₁иу₁ , вычисляют широту В и долготу L, затем по широте и долготе вычисляют координаты х₂иу₂ в смежной зоне. Вычисления требуют значительного времени, поэтому указанный способ применяют редко, когда нужно преобразовать координаты небольшого числа пунктов с большой точностью.

Рассмотрим другой способ со вспомогательной точкой. Сущность преобразования координат заключается в следующем.

Пусть триангуляционный пункт, координаты которого нужно преобразовать из одной зоны в другую, изображается на плоскости в системе 1-й зоны в точке А (рис. 9.1) и в смежной 2-й зоне в точке А' (рис. 9.2).

0x01 graphic

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Возьмем на осевом меридиане 2-й зоны вспомогательную точку Р, изображающуюся в системе координат 2-й зоны в точке Р₀'. Очевидно, во 2-й зоне координатами точки Р₀' будут: Х₀ -- длина дуги меридиана от экватора до вспомогательной точки Р и О. Поскольку вспомогательную точку выбирают заранее, величина Х₀ нам известна. Легко видеть (см. рис. 9.2), что искомые координаты х₂иу₂ определятся по формулам

0x01 graphic
(9.1)

Следовательно, задача сводится к нахождению приращений ?х'и ?у'. Для этих приращений имеем формулы Крюгера, которые имеют вид

0x01 graphic
(9.2)

0x01 graphic
(9.3)

Для получения первых членов ?х и ?у этих формул сначала по координатам Х₀ и О определяют геодезические координаты -- широту и долготу вспомогательной точки Р по которым вычисляют прямоугольные координаты Гаусса -- Крюгера х₀ и у₀ изображения Р₀ вспомогательной точки в системе координат 1-й зоны. Получив координаты х₀ и у₀ находят величины ?х и ?у

?х = x₁- x₀ и ?у = y₁ - y₀

Зная ?х и ?у, определяют величину d -- длину линии Р₀ А и ? -- дирекционный угол этой линии по уравнениям

?х = d cos ? и ?у = d sin ?

Величины h_1.1, h_1.₂, ?₂, ?₃,... и углы ?₂, ?₃, ?₄,... являются функциями:

1) масштаба изображения и Гауссова сближения меридианов в точке Р₀ при изображении эллипсоида в 1-й зоне;

2) широты В подошвы ординаты точки Р₀;

3) радиуса кривизны меридианного сечения на этой широте;

4) величины ?² = е' ² cos² В.

Все эти величины вычисляют заранее при выборе вспомогательной точки Р.

Получив, таким образом, все члены, входящие в правую часть уравнений (9.2) -- (9.3), вычисляют приращения ?х' и ?у' , затем по (9.1) находят искомые преобразованные координаты х₂ и у₂ изображения А' точки во второй зоне.

На эти вычисления требуется довольно значительное время, но решение этой задачи может быть упрощено соответствующим выбором вспомогательной точки Р и применением специальных таблиц.

При составлении этих таблиц вспомогательная точка Р взята так, что абсцисса х₀ ее изображения в первой зоне равна подлежащей преобразованию и известной абсциссе х₁ точки А, т. е. х₀=х₁, и, следовательно, дирекционный угол ? равен 90® или 270®, d = ?у ; и ?х = 0; формулы (9.2) -- (9.3) путем целесообразных преобразований приведены к простому виду.

Благодаря этому окончательные формулы, которыми пользуются при вычислениях, таковы

0x01 graphic
(9.4)

Формулы, выражающие величины а, а₁, b, b₁,с и с₁ через h_1.1, h_1.₂, ?₂, ?₃,... и т. д., входящие в (9.2) -- (9.3), не приводим. Их можно найти в самих таблицах.

В таблицах даны по аргументу х₁ величины y₀, Х₀, а, b, а₁, b₁ и по аргументам ?х_` и ?у величины с и с₁. Величина с, приведенная в таблицах без знака, имеет знак, обратный ?у.

Подробное объяснение, как пользоваться таблицами, и различные примеры на преобразование координат с полными решениями приведены в самих таблицах.

Оставить комментарий © Copyright Мак Петр Анатольевич Размещен: 26/05/2016, изменен: 26/05/2016. 92k. Статистика. Повесть: Проза Иллюстрации/приложения: 10 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:

Мак Петр Анатольевич : другие произведения.

Вг1