Задача первая

Есть два бикфордовых шнура. Разных. Известно одно: каждый из них, подожжённый с конца, полностью сгорает ровно за час. Однако гарантировать, что шнуры горят равномерно, нельзя: разные участки шнура горят с разной скоростью. Как при помощи этих шнуров (и зажигалки) отмерить ровно 45 минут?

Эта задача была изобретена в кулуарах Майкрософта и в числе прочих подобных задач использовалась на собеседованиях для приёма работников в фирму. Началось это очень давно, уж точно в прошлом столетии.

В оригинальном майкрософтовском варианте персонаж, которому предстояло проделать такое измерение времени, был помещён в пещеру, видимо, для того, чтобы подчеркнуть, что других средств и предметов в его распоряжении нет. Это несколько забавное добавление формально не требуется, оно просто усиливает требование не использовать иных предметов и приспособлений, кроме шнуров и зажигалки, хотя в дальнейшем нам пригодится при обсуждении. Я им его ещё припомню.

Потом подборка этих задачек просочилась в Интернет, но появилась в не слишком популярном месте, их стали задавать на собеседованиях в фирмах пожиже.

Потом эти задачи были опубликованы в сети широко и стали известны всем. Насколько я знаю, мода задавать подобные задачи на собеседованиях прошла уж лет десять назад.

Считается правильным следующий ответ:

Необходимо поджечь первый шнур с обоих концов одновременно. Он полностью сгорит за полчаса. Одновременно с первым шнуром поджигаем второй шнур только с одного конца, и когда первый шнур догорит (30 минут), второму шнуру останется гореть ещё полчаса - поджигаем второй шнур и с другого конца, на горение остатка второго шнура уйдёт ещё 15 минут.

По крайней мере именно его считали верным в Майкрософте (и, само собой, в фирмах пожиже).

Решение остроумно, но, строго говоря, неверно. На самом деле условия сформулированы неполно и неточно, и предложенный способ не гарантирует отсчёта необходимых вам сорока пяти минут.

Дело в том, что как только в условии появилось указание на неравномерность горения шнуров, надеяться на какие-либо иные их свойства уже невозможно.

Так как же мы в таком случае можем полагаться на то, что шнур номер один, будучи подожжённым с двух концов, сгорит ровно за полчаса? В условии задачи этого нет, а вывести это из указанного свойства сгорать полностью за час без дополнительных предположений невозможно. Более того, в условии даже не указано, что шнур сгорает полностью за час, будучи подожжён с любого из его концов. Но предположим даже, что это так, всё равно это нам ничего не даст.

Построим контрпример. Пусть у нас есть шнур, который, будучи подожжённым с одного (любого) конца, горит следующим образом. Первая четверть шнура сгорает быстро, за 6 минут. Но на самом деле скорость непостоянна, горение постепенно замедляется. Вторая четверть шнура сгорает, замедляясь всё больше, уже за 12 минут. Третья четверть шнура тормозится всё больше и на её сгорание понадобится уже 18 минут. А последняя четверть горит ещё медленнее, постепенно тормозя, и ей нужно гореть 24 минуты.

Такой шнур будет гореть в общей сложности 6+12+18+24 = 60 минут.

А если поджечь его с обоих концов, он будет гореть 6+12 = 18 минут, а вовсе не полчаса.

Второй шнур, если он обладает такими же свойствами, подожжённый с одного конца, сгорит за 18 минут ровно наполовину. Поджигая его с другого конца, мы запустим быстрый поначалу процесс горения этого другого конца. Четвёртая четверть второго шнура сгорит за шесть минут, огонь, движущийся в обратном направлении, перейдёт на третью четверть, она будет гореть не более 12 минут, на самом деле меньше, так как огонь движется, хотя и медленнее, по этой же третьей четверти ещё и в прямом направлении. Общее время процедуры составит менее получаса, точнее вывести из предложенных мною свойств контрпримера невозможно без дополнительных предположений.

На это можно возразить: "А разве бывают такие шнуры? Шнур должен гореть с одинаковой скоростью в одной и той же точке что вперёд, что назад."

Первую половину возражения я пока отложу. А вот вторая часть означает, что в условии задачи это было опушено, но подразумевалось.Условие задачи никоим образом этого не гарантирует. Свойство скорости процесса не зависеть от направления называется изотропией и про это свойство составитель задачи злостно умолчал! Более того, он утверждал, что "известно только одно", именно, общая длительность процесса (один час на шнур). Вдобавок на самом деле, но это уже в некотором роде дебри, для вывода предположения, что шнур, сгорающий за час, если его поджечь с одного конца, будучи подожжённым с двух концов, сгорит за полчаса, необходимо ещё одно предположение, а именно, что скорость горения шнура в каждой из точек зависит только и исключительно от свойств этой самой точки. А не от, предположим, истории горения предыдущих отрезков шнура, или, возможно, вообще от свойств упомянутой Майкрософтом пещеры. (Вот она, родимая, и пригодилась!) Это свойство называется локальностью (как по времени, так и по пространству), и о нём составитель тоже умолчал.

Теперь о вопросе "А разве бывают такие шнуры?". Понятно, что задача в некотором роде фантастическая, но всё-таки. Хотелось бы, чтобы, раз уж мы делаем разные якобы естественные предположения, чтобы мы имели дело с более-менее реальными, не чересчур фантастическими объектами. Выдуманные мной ради контрпримера шнуры не только обладают странными свойствами, но ещё и непонятно, как были изготовлены, и как возможно было проконтролировать и гарантировать их эти самые хитрые свойства.

Но ведь точно такой же вопрос можно задать и про исходные шнуры, свойства которых постулированы в условии от Майкрософта. Если скорость горения шнура заведомо неравномерна, то как же с достаточной точностью были отмерены аж два куска этого продукта (возможно, они вообще разной длины), чтобы гарантировать полное сгорание каждого из них ровно за час?

Всякая проблема имеет решение, и я могу предложить несколько технологий изготовления, дающих такую гарантию. Но они все будут громоздкими, а главное, непонятно, а нафик такие хитрые продукты создавать? Обычно бикфордовы шнуры, позволяющие отмерять время (опять же, обычно до запланированного взрыва) старательно делаются, насколько это можно обеспечить, горящими именно равномерно. От этой равномерности и точности в конце концов зависит жизнь людей, производящих взрывные работы.

На такие фантастические шнуры, какие описаны в задачке, я бы не стал полагаться, особенно если я сижу в пещере и собираюсь кого-то или что-то взорвать.

И тут наступает момент выявить ещё одну, хотя и побочную, фантастичность задачи. Вот скажите, ради бога, а нафик мне, даже сидя в пещере (я бы сказал, особенно сидя в пещере), отмерять ровно сорок пять минут? Для того, чтобы потешить Билла Гейтса или для чего-то более полезного?

Ведь на самом деле бикфордовы шнуры обычно предназначены для того, чтобы что-то взорвать, а за отмеренное ими время смыться подальше или скрыться понадёжнее. Но дело-то в том, что при помощи предлагаемого решения ничего полезного я проделать не могу. Я не могу предложить, особенно в условиях пещеры, то есть в отсутствие других разнообразных предметов, никакого способа отсчитать эти сорок пять минут автоматически, без своего участия.

Я должен сам лично, не отходя далеко от первого шнура, поджечь второй конец второго шнура. Ведь в каком именно месте кончится горение первого шнура - неизвестно. И некуда присоединять пока не подожжённый конец второго шнура. В сущности, условие задачи заставляет меня таскать эти шнуры с собой или уж торчать на месте. Так же точно не существует никакого способа привязать догорание второго шнура к какому-нибудь действию, если только я сам это действие не проделаю.

В этой треклятой пещере я являюсь единственным возможным передаточным звеном в описанном процессе и никуда не могу из неё подеваться! Так что единственное, что я смогу сделать, когда процесс завершится (не поджигать же, в конце концов, имеющейся зажигалкой непосредственно запал завалявшегося тут же поблизости динамита) - это удовлетворённо вздохнуть про себя: "Я сумел отмерить ровно сорок пять минут! Билл Гейтс наверняка порадуется!"

Если уж так подумать, то, особенно сидя в пещере, проще понизить требования к точности решения задачи в пользу повышения надёжности. Прицепить один из шнуров к пачке динамита, поджечь его, а самому смыться, и пусть это произойдёт через час, а не через сорок пять минут, но меня уж точно там не будет. Ещё и один шнур съэкономлю.

А если ещё учесть, что на решение идиотской задачки я потрачу наверняка примерно четверть часа, то общее время до взрыва так или иначе составит час, хоть сложным способом по Билли Гейтсу, хоть простым по рабоче-крестьянски.

Выводы

1) Билл Гейтс - козёл.

2) Задача с подвохом, в её условии пропущены и не указаны в явном виде некоторые необходимые предположения.

3) На анализ и поиск необходимых предположений и вообще критический подход к условиям решающего задачу наводит именно наличие указанного хитрого предположения о неравномерности горения шнуров. Не будь его - задача бы решалась по рабоче-крестьянски (отмерить три четверти одного из шнуров) и никто не стал бы копаться глубже.

4) Если уж в формулировке вашей задачи появились какие-то экзотичные условия, следует проанализировать её на предмет иных условий, возможно, принимаемых по умолчанию, но существенных для её решения.

5) Появление непривычных или нестандартных условий также заставляет задуматься о физических или иных материальных основах задачи, выводя логические загадки за рамки чистой математики в область физических, химических либо изобретательских задач.

Задача вторая

Полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца. Сколько яиц снесут две курицы за три дня?

Эта задача по форме повторяет типичные задачи "про производительность", решаемые обычно, когда дело доходит до изучения пропорций.

История задачи примерно такова. В советское время в подобных задачах из стандартного учебника никаких "половин куриц" ни в коем случае не было. Условия задачи и числа в них подбирались так, чтобы не отвлекать школьника от математической сути, оставляя вопросы о применимости математических расчётов к реальной жизни на потом, пока что делая их очевидными. Не только исходные величины не могли быть экзотическими, но даже в результатах "полтора землекопа", как в известном мультике, не могли возникнуть, это сигнализировало об ошибке, допущенной при решении. Хотя получившиеся "полземлекопа" можно легко интерпретировать самым естественным образом, даже двумя способами.

Во-первых, можно считать, что "полземлекопа" - это подмастерье, производительность (и соответственно оплата) которого вдвое меньше, во-вторых, поскольку тут пропорциональность не только по числу исполнителей, но и по времени, можно естественно считать, что если на выполнение работы нужно полтора землекопа, то надо отправить на выполнение работы двоих, но одного из них использовать только половину времени, отправив потом его на выполнение другой работы.

Тогда же, в советское время, очень возможно, что по мотивам как раз мультика с полуторами землекопами, была изобретена и задачка про полторы курицы. Как шуточная задача для школьников, изучающих математику в повышенном объёме, предположим, в кружках. Утверждают, что сами школьники её и сочинили.

Её решали стандартным способом, не обращая внимания на экзотические "полторы курицы", но при этом понимали возникающие несоответствия и считали их забавными.

По достаточно понятным причинам, когда в производство учебников для школы пришли элементы дикого капитализма, задачники по математике были наводнены задачками с дикими условиями. Потому что главным требованием к задаче стала её оригинальность (а отнюдь не польза для ученика и уместность в данном разделе). Так задача про полторы курицы вошла в жизнь простых школьников и их родителей. Содержится она в задачниках для третьего (или четвёртого) класса. Аналогичные задачи в советское время решали в пятом классе, хотя и в начальных классах могла появиться такая задачка для подготовки детей к последующему этапу обучения.

Как предлагается решать задачу? Поскольку в задачах "на пропорции" подразумевается, что всё пропорционально, то мы предполагаем, что производительность кур, вне зависимости от их разрезания на части, пропорциональна как их количеству, так и прошедшему времени. Поэтому, чтобы выяснить, сколько яиц снесёт одна курица за те же полтора дня, мы делим количество кур на количество снесённых ими яиц, получая одно яйцо на курицу за полтора дня. Осталось умножить на то количество кур, которое указано в вопросе задачи (две штуки), получив два яйца за полтора дня, а затем ещё и на два, так как искомые три дня вдвое больше полутора. Получаем ответ ЧЕТЫРЕ.

Однако из-за экзотичности условий следует усомниться в том, что пропорциональность количества яиц количеству кур соблюдается при таких значениях. Это зависит от интерпретации.

Достаточно логично можно предположить, что половина курицы не способна нести яйца от слова вообще.

То есть вся производительность полутора куриц обеспечивается оставшейся живой особью. Тогда одна курица несёт полтора яйца в полтора дня, то есть одно яйцо в день, а две курицы в три дня снесут ШЕСТЬ яиц. При этом мы подразумеваем, что если у нас в качестве промежуточных или конечных результатов получаются целые куры, то они действительно целые, а не составленные из двух половин, на которые их сперва разрезали.

Разберём более подробно вопрос интерпретаций. Можно предложить парочку интерпретаций, при которой будет правильным первый, казённый способ решения, дающий ответ четыре яйца.

Одна из этих интерпретаций статистическая. Ясно, что, во-первых, эту интерпретацию невозможно легко объяснить ребёнку 9-10 лет, а во-вторых, статистики и сами, чтобы не путаться, не употребляют подобных значений вроде полутора куриц. Они предпочитают иметь дело с большими числами, потому что законы статистики работают именно в области массовых значений.

Вторая интерпретация - экономическая. То есть, предположим, кур никто напополам не резал, но мне лично в большом стаде принадлежат условные полторы курицы. И я могу рассчитывать на полтора яйца каждые полтора дня, а там уже неважно, выдадут мне эти половинки яиц разрезанными в варёном виде или же будут дожидаться момента, когда мне будет положено целое число яиц и выдадут всё сразу, без деления напополам. Самое удобное просто получать одно причитающееся мне яйцо каждый день.

Тоже не слишком ясно, как эти хитросплетения объяснить ребёнку. Хотя я уже продвинулся, придумав интерпретацию про фермерскую семью, в которой брату и сестре выделили под присмотр три курицы, а яйца они делят уже когда завтракают.

Третья возможная интерпретация похожа на интерпретацию про подмастерье землекопа. Предположим, есть курица, вдвое меньшая по весу, несущая маленькие яйца. И мы договариваемся считать такое яйцо за половину. Это очень большая натяжка, потому что в данном случае можно считать такое яйцо и за единицу, а не за половину. В зависимости от того, какие мы примем предположения (скажем, учитываем мы яйца по штукам или по весу) могут получаться разные подходы к решению и, соответственно, разные результаты. В общем, весьма скользко. Как известно, различие в интерпретациях исходных данных и результатов - лучшая почва для разнообразного мошенничества.

Представляете, как будет вам обидно, если вы вроде бы договорились получать принадлежащую вам продукцию ваших полутора кур в рамках этой интерпретации, а придя через десять дней за причитающимся вам десятью штуками, получите десяток малюсеньких яиц.

Благодаря обсуждениям в форуме к статье я расширил обсуждение задачи про полторы курицы. Дело в том, что я до того сосредоточился на том моменте, что куры - предметы явно квантованные, и отдельно взятые полкурицы явно не могут нести яйца, даже половинки яиц. Однако Lena при обсуждении ввела в рассмотрение ещё два фактора: квантование самих яиц и квантование суток при рассмотрении процесса снесения яиц курами. За что я ей чрезвычайно благодарен.

Яйца-то несутся одномоментно (скажем так, достаточно быстро), но вот готовятся в организме курицы довольно долго. Порядка суток-полутора, а на самом деле ещё сложнее: внутри у курицы организован конвейер, и отдельное яйцо готовится куда дольше суток, но скорость (частота) выхода с конвейера готовой продукции обычно близка к суткам. То есть это явно квантованная величина.

По сути дела, если уж мы признали, что полкурицы яиц не несут, то получается, что оставшаяся кура несёт одно яйцо в день. А за полтора, упомянутые в условии задачи? Может успеть снести, может нет. Выходит, что количество снесённых в "полтора дня" яиц трудно интерпретировать иначе, как следующим образом: посчитать на большом отрезке времени и условно пересчитать к величине полтора дня. Это чисто статистическая величина, и школьнику объяснить такой подход непросто.

Замечу на полях, что вероятностная и статистическая трактовки в данном случае несколько не совпадают. Вероятность того, что курица за добавочные полсуток всё-таки снесёт ещё одно яйцо, гораздо меньше, чем того, что не успеет. Сумма обеих вероятностей - единица. Поэтому вероятность, что за полсуток курица успеет снести добавочное яйцо, заведомо меньше половины. А вот усреднение по большому отрезку времени даёт величину в пол-яйца.

Хотя статистика и теория вероятности - близкие дисциплины, и одна основана на другой.

Ещё немного смущает при анализе исходных условий задачи тот факт, что если принять одну из интерпретаций, при которой задача решается рекомендованным сочинителями способом (и получается ответ четыре), что период снесения яйца курицей оказывается равен полутора дням. Хотя скорость физиологических процессов куриного организма синхронизирована обычно с сутками. Опять мы вынуждены принимать какое-то статистическое толкование: если курица несёт яйца "раз в полтора дня", то скорее всего её график всё же суточный, но некоторые дни она пропускает. Скажем, сносит обычно два яйца в каждые три дня, пропуская один из дней. Снова мы вынуждены усреднять, то есть прибегать к статистике.

Выводы

1) Билл Гейтс - козёл.

Ой, это случайно при переносе из более ранней части текста появилось, но поскольку это остаётся верным, стирать не буду.

2) Составители современных учебников и задачников для школ - козлы.

3) Совершенно ясно, что на самом деле оригинальность работы составителя задачника состоит не в том, чтобы придумать побольше небывалых задач, а в том, чтобы подобрать, даже возможно и существующие задачки, в удачный комплект, наилучшим способом решающий проблему обучения.

4) При этом одной из забот составителя задач должно быть обеспечение того, чтобы ученик не запутывался в вопросах интерпретации математических исходных данных и результатов, а они были очевидными и вызывали как можно меньше затруднений. Ведь проблемы оснований математики, то есть насколько и как следует применять математику к живой жизни, - это самые сложные проблемы этой науки. Там возникает множество парадоксов, и этими тонкостями можно грузить только продвинутых учеников.

5) Как правило, сложности с тем, как интерпретировать условия задачи и их результаты, возникают при появлении в условии какой-то экзотики, в данном случае нецелых значений количества кур. Нецелое значение количества яиц тоже оказывается экзотичным, заставляя вводить в рассмотрение вопросы физиологии кур, и даже нецелое количество дней (суток но мы везде считаем "день" и "сутки" синонимами, чтобы ещё больше не усложнять) оказывается в рассматриваемой области экзотикой! Процесс снесения яиц курами, оказывается, существенно квантован ещё и по времени!

Вы видите, как всё шире и сложнее становится обсуждение на вид простенькой задачки для третьего класса? А ведь это произошло оттого, что сочинитель задачи неосторожно использовал в её условии неуместные в ней нецелые числа.

Эта неосторожность сближает задачу про кур с задачей про шнуры. Неосторожность в формулировках порождает дуализм. Но в задаче про шнуры дуализм приводил к возможности либо невозможности решить задачу, а тут возникает несколько разных решений.

Задача третья

Раз задачей про кур озабочены многочисленные родители, вынужденные помогать своим чадам с домашними заданиями по математике, то, естественно, они активно обсуждают задачку на разнообразных форумах.

Мнения, естественно, разделились, на глаз примерно пополам. Одна часть несчастных "предков", вынужденных отдуваться за нынешнюю систему образования, справедливо указывают, что задача плохо сформулирована, содержит сомнительные утверждения и оттого не может быть решена от слова вообще. Вторая часть отмахивается от замеченных сложностей и возникающих парадоксов и решает задачу так, как обычно принято, не обращая внимания на странные исходные числа. Получают довольно внятные четыре яйца в ответе и успокаиваются.

Ну, не совсем успокаиваются: вопли противной стороны всё-таки каким-то образом бередят их не совсем чистую совесть. И поэтому они предпринимают попытки перевербовать их в свою веру. Одна подобная попытка выглядела так: "Ну что вы упёрлись в кур и их яйца, которые напополам не слишком-то делятся? Возьмите вместо них что-нибудь другое, что не так ограничено в возможности быть поделенным пополам! Например, свечи, сгорающие на столько-то сантиметров за столько-то минут. И у вас всё получится."

И я задался вопросом - а что получится?

Полторы свечи за полторы минуты сгорают в сумме на полтора сантиметра. На сколько сантиметров сгорят две свечи за три минуты?

Вроде бы и полсвечи можно себе просто представить, и они наверняка будут гореть, да и как минуты, так и сантимеры вполне даже делимы пополам. Но будет ли ответ на задачу таким же, как в случае с курами? Хоть в казённом толковании, при котором выходит четыре яйца, хоть в моём, при котором выходит уже шесть яиц?

На первый взгляд - полсвечи это просто вдвое более короткая свеча (на этот счёт могут быть и иные мнения, обсудим их позже). В таком случае очевидно, что полсвечи горят не вдвое медленнее целой, а ровно с той же скоростью. То есть мы уже знаем, на сколько сантиметров две свечи сгорают за полторы минуты. На те же полтора сантиметра. Осталось умножить на два и получить ТРИ сантиметра. Не четыре. И не шесть.

Почему мы получили другой результат? Да потому, что, так же, как в случае с курами, пропорциональность количества исполнителей и количества выдаваемой продукции нарушена при переходе к нецелым числам. Но, и это самое главное, нарушена по-другому. Это зависит от физической, материальной сути задачи.

Теперь вспомним, что свечи можно делить на половины по-разному. Как в моём рассказе "Полторы курицы", возникает сакраментальный вопрос: "как они их делят - вдоль или поперёк?"

Решение для случая "поперёк" мы уже нашли. Теперь поищем решение для случая, когда свеча разрезана вдоль.

Надо сказать, что резать свечи вдоль при предположениях, обрисовывающих нашу задачу, сложнее. Надо, чтобы фитиль попал в ту половинку свечи, которая будет использована. Так что формально это не совсем половинка. Половинка в точности - это когда и фитиль разрезан ровно напополам вдоль (та ещё работа), а дальше начинаются дополнительные сложности. Полсвечи, у которой фитиль протянут не внутри воска, а выступает наружу, гореть будет не слишком-то регулярно, в общем, для рассмотрения случай сложен.

Правда, у нас есть запасной вариант: обкатать воск вокруг фитиля, восстанавливая круглую форму свечи, и считать формально, что это и есть "половина свечи". Некруглые формы исходной и уполовиненной свеч не имеет смысла рассматривать - это тоже увеличивает сложность.

Бывают ещё свечи с несколькими фитилями. Мы могли бы предположить, что у нас исходно такая свеча, с парой фитилей, и разрезать её вдоль напополам, оставляя в каждой части по фитилю. Есть всякие тонкости, связанные с тем, что, скорее всего, как исходная, так и половинная свечи, будут не круглыми и несколько разной формы, но в принципе это примерно то же, что мы уже придумали. Нет, я ошибся, это не то же самое и надо рассмотреть этот случай отдельно, и на самом деле он численно эквивалентен разрезанию поперёк.

Ну и следует отметить, что чётное количество фитилей в свече не одобряется обычаем, возможно, из-за какого-то суеверия. Даже для поминок никто не готовит свечей с двумя фитилями.

Не будем вникать в сложные случаи, когда фитиль разрезается вдоль. Зависимость скорости горения от замены фитиля на подобную порнографию может для нас оказаться сюрпризом.

Остановимся на варианте: фитиль такой же, площадь поперечника "половины" вдвое меньше, чем у целой свечи. И обнаружим, что такие полсвечи сгорают, в смысле расхода сантиметров длины, не вдвое медленнее, чем целая, а примерно вдвое быстрее!

Тогда одна свеча за полторы минуты сгорает на полсантиметра, а половинка - на один сантиметр. Две свечи за полторы минуты сгорят на сантиметр, а за три минуты - на ДВА сантиметра.

Ну и, как можно было видеть, разрезание свечи вдоль привело к возникновению огромного количества вариантов, каждый со своими сложностями.

Но это ещё не все ожидающие нас подводные камни...

Дело в том, что у задач именно про свечи есть ещё одна область нелинейной зависимости изменения количества сантиметров от времени. Она проявляется, когда свеча или её половина догорает до конца и перестаёт прибавлять к общему "результату" свои сантиметры.

Сперва, естественно, этот эффект проявится на половине свечи, а потом - и на целой. Для демонстрации этого эффекта следует сделать какие-то предположения от длине свечи и её половины.

Попробуем оценить, хотя эти оценки предположительны. Свечи, фигурирующие в задаче, отличаются относительно быстрой скоростью горения, то есть они довольно тонкие. Не 2 сантиметра толщиной, как стандартные парафиновые хозяйственные свечи, а уж скорее ближе к 1 сантиметру. Соответственно, и длина скорее всего меньше стандартной длины хозяйственной свечи, равной 25 сантиметрам. Оценим её грубо в 15 сантиметров. Полсвечи, то есть семь с половиной сантиметров, сгорят, если не ошибаюсь, за 10 минут.

Таким образом, любая задача, в которой спрашивается, на сколько сантиметров сгорят свечи за время, большее 10 минут, должно учитывать скачок в скорости после этого срока - она сократится вдвое, так как станет равной скорости горения всего одной свечи.

К примеру, если спрашивается, на сколько сантиметров сгорят полторы свечи за 12 минут, пропорциональное вычисление даёт результат 18 сантиметров. На самом же деле они сгорят на 16,5 сантиметра.

А вопрос о том, на сколько сантиметров сгорят упомянутые в условии полторы свечи, за время, большее 20 минут, даст один и тот же постоянный ответ: на 22,5 сантиметров в целом.

Разумеется, это подсчитано при нашем собственном предположении о длине свечи в 15 сантиметров.

Выводы

1) Билл Гейтс - козёл.

Ну, вы понимаете...

2) Нельзя автоматически одним и тем же способом решать задачи с разными объектами. Даже если они решаются совершенно одинаково в области менее экзотических исходных значений. В данном случае семейство задач, которые можно решать одним и тем же рекомендованным в учебнике способом при целых (да ещё аккуратно подобранных) значениях, совершенно по-разному решается при переходе к нецелым числам.

3) Искусство составления задач для школьного учебника или задачника включает в себя кропотливый подбор подходящих исходных величин и проверку областей применимости сделанных предположений.

4) Обыкновенного ученика не следует путать заумными исходными данными (особенно если сам не знаешь, к чему такие данные приведут при решении). Связь изучаемого раздела математики и формулировки задачи должна быть простой и очевидной и не вызывать потребности принимать какие-то лишние предположения.

Дальше, вероятно, попробуем порешать ещё одну простую задачку с похожей формулировкой. Чтобы просто показать, насколько во многих случаях на результаты и даже способ решения влияет выбор нецелых чисел там, где они не предполагались.

(продолжение следует)