О гипотезе Ходжа и исследовании формы сложных объектов.
Существует математический метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", параллелепипеды, которые стыкуют плоскостями, соединяют их между собой без зазоров, и образуют подобие объекта. Происходит это следующим образом: сначала в объект вставляется самый большой "кирпич", далее в области между поверхностью объекта и боковыми поверхностями первого "кирпича" вставляются меньшие "кирпичики", и так далее. Этот процесс идет при условии, что размеры параллелепипедов уменьшаются и все вершины параллелепипедов касаются поверхности объекта или находятся в объекте.
Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
Никакие численные эксперименты или вычисления в этой задаче невозможны.
Представим всё 3-х мерное пространство, в котором расположен исследуемый объект.
В этом пространстве образуются две области - пространство с внешней стороны объекта, за его поверхностью, и пространство внутри объекта, которые разграничены поверхностью объекта. Причем, если в объекте есть полости пустоты, разделение пространства на две области сохраняется. В общем пустоту можно рассмотреть как второй объект, расположенный в первом объекте, который условно можно принять за внешнее пространство, поэтому задача не меняется. Поэтому рассмотрим только случай однородного (сплошного) объекта.
Представим, что 3-х мерное пространство сложено или состоит из множества единичных "кубиков". Ясно, что относительно выбранной системы координат все "кубики" в пространстве имеют одинаковую ориентацию. В этих условиях "составленное" из единичных "кубиков" пространство и объект в нём разделяются на 3 области:
Область 1 - состоящая из "кубиков", которые не пересекаются, не касаются поверхности объекта и находятся вне его;
Область 2 - состоящая из "кубиков", которые рассекаются поверхностью объекта или касаются поверхности, находясь или внутри или снаружи объекта;
Область 3 - состоящая из "кубиков", которые расположены внутри объекта и не касаются поверхности объекта;
Очевидно, что если единичный "кубик" "вставляется" в объект, такое разделение на 3 области можно провести всегда, и при всех единичных "кубиках" меньшего размера.
Допустим возможность уменьшать размеры "кубиков" до сколь угодно (бесконечно) малой величины.
Очевидно, при задании начала координат и 3-х осей координат можно определить положение каждого из "кубиков", при любой величине единичного "кубика", найти объем и площадь поверхности "кубиков" в любой системе измерения длин, площади и объема.
Рассмотрим Область 2; Очевидно, что она имеет две поверхности, внешнюю, которой её кубики соприкасаются с Областью 1 и внутреннюю, которой её кубики соприкасаются с Областью 3. Обе поверхности образованы поверхностями единичных "кубиков" Области 2, её составляющих. Понятно, что если из суммарной площади поверхности всех кубиков Области 2 вычесть сумму площади поверхности, которыми кубики соприкасаются между собой, получим сумму площадей внешней и внутренней многогранных поверхностей. При уменьшении размеров единичных "кубиков" внешняя и внутренняя поверхности сближаются и в пределе, при единичных "кубиках" бесконечно малой величины, внешняя и внутренняя поверхности стремятся соединиться и становятся равной поверхности исходного объекта. Относительно поверхности объекта уровень "шероховатости" 2-х многогранных поверхностей равен при любом единичном "кубике".
Очевидно, что внутренняя поверхность Области 2, идентична внешней поверхности Области 3, а внешняя поверхность Области 2, идентична внутренней поверхности Области 1.
Прим. Очевидно, что аналогичное разделение пространства и объекта возможно и параллелепипедами, размеры которых стремятся к бесконечно малой величине.
Рассмотрим Область 3. Возьмем единичный "кубик" в любом месте центральной части Области 3, такой, чтобы он не соприкасался с поверхностью Области 2. Нарастим на него слой прилегающих единичных "кубиков". Получим Куб 2 из 27 единичных "кубиков". Если Куб2 не соприкасается с поверхностью Области 2, нарастим на него новый слой прилегающих к Кубу 2 единичных "кубиков", получим Куб 3 из 125 кубиков. Наращивание производится пока не произойдет контакт Куба N с поверхностью Области 2. Продолжаем наращивание слоями единичных кубиков те плоскости Куба N, которые не контактируют с поверхностью Области 2. Наращивая получаем пераллелепипед. Очевидно, что после контакта последней грани с поверхностью Области 2, получили самый первый и большой "кирпич" Области 3. Далее, имеем меньшие полости образовавшиеся между первым "кирпичом" и поверхностью Области 3. По такой же схеме заполняем полости единичными "кубиками" и получаем более мелкие "кирпичи" и новые полости. Действуем по той же схеме до получения полостей равных единичным "кубикам" и заполняем Область 3 единичными "кубиками" полностью, без пустот!!! Это возможно потому, что пространство и Области составлены из единичных "кубиков" по начальным принятым условиям. Ясно, при условии, что единичные "кубики" стремятся к бесконечно малой величине возможность разбиения пространства и объекта на 3 Области и построения множества "кирпичей" в объекте, по этой схеме, сохраняется.
Так как внутренняя поверхность Области 2, идентична внешней поверхности Области 3, при условии, что единичные "кубики" стремятся к бесконечно малой величине (БМВ) получаем, что заполнение объекта "кирпичиками" возможно с необходимой степенью точности или "шероховатости".
Очевидно, что разделение на 3 Области можно провести всегда и при всех единичных "кубиках" меньшего размера. Следовательно, объект с пустотой внутри можно заполнить "кирпичиками" БМВ, а далее, группируя их, составить "кирпичики" формируя Область 3.
Имхо, теорема Ходжа для объектов имеющих объем выполняется.
Метод исследования формы сложных объектов удалением "кирпичиков".
Очевидно, что если объект заключить в параллелепипед минимального возможного размера, и при этом объем объекта существенно больше половины объема параллелепипеда, то выгоднее получить форму объекта приближаясь к ней снаружи, поскольку потребуется меньшее количество математических операций удаления "кирпичиков" из объема параллелепипеда.
Очевидно, что используя оба возможных метода легче изучать объекты имеющие "пустоты".
Поверхности можно изучать составив пространство из "кубиков" БМВ, и разделив пространство на 3 Области, а односторонние поверхности изучать разделив пространство на 2 Области.
Шероховатость поверхности можно получить как расстояние между внутренней и внешней поверхности Области 2 при единичных "кубиках" некоторой размерности , а степень точности вычислений как расстояние между внутренней и внешней поверхности Области 2 при единичных "кубиках" определенной величины.
Если Область 2 - состоит из "кубиков", которые рассекаются поверхностью объекта или касаются поверхности, но только внутри или только снаружи объекта имеем возможность определить площадь поверхности объекта; Площадь поверхности объекта стремится к 1/6 площади поверхности выбранных единичных "кубиков" БМВ.