Никитин Андрей Викторович : другие произведения.

Ноль и бесконечность

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
Школа кожевенного мастерства: сумки, ремни своими руками Юридические услуги. Круглосуточно
 Ваша оценка:
  
  А.В.Никитин
  

Ноль и бесконечность. С самого начала...

  
  Сначала хочу выразить благодарность Шенягину В.П. за статью {3}, и руководству АТ за решение о публикации. От всех любителей математики. Хочу также поблагодарить В.Ю.Ипатова за участие в подготовке формул и обсуждении некоторых положений данной статьи.
  Эта тема для дилетантов и любителей. Профессионалы тут и ухом не поведут:, у них есть вполне стройная теория множеств и теория пределов. Там все давно расписано.
  Но, любопытство неистребимо.
  Как мне кажется, почти любой начинающий математик обязательно стукнется об эти бесконечно большие и бесконечно малые:, попробует свои силы в действиях с бесконечностью. И придет к парадоксальному выводу: бесконечность, это все равно - число, отношение или количество. А дальше, как ни назови:
  И, значит, мы вправе делать с ним те же действия, что и с остальными числами и множествами. Это вроде никто и не запрещал.
  Правда, есть неопределенности, но, можно и их попробовать разрешить:
  Почему эта тема постоянно интересна?
  Потому, что книг, рассказывающих о действиях с бесконечностями простым и доступным для всех языком, или мало, или нет совсем, не знаю. Но мне такие пока не попадались. А в серьезных книгах и язык изложения соответствующий, дилетанту не разобраться. Справочники, даже такие, как {4} и {5} помогают в этом мало.
  Вот и пытаемся мы, дилетанты, дойти до понимания своим умом. Как умеем, так и доходим.
  Надо подготовиться...
  Введем несколько понятий для обоснования и вывода формул.
  Данные ниже определения не претендуют на точность формулировок. Для получения более полной информации можно обратиться к {1,2}.
  Счетным множеством называют множество чисел, например, натуральных или рациональных, которое имеет хоть и неизвестную, но счетную мощность. Любое число из счетного множества исчислимо и является счетной величиной.
  Счетные величины:
   ξ - бесконечно малое рациональное число;
  М - бесконечно большое рациональное число;
  а - конечное рациональное число.
  
  Несчетным множеством называются множества, которые не могут быть вычислены. Это предел, к которому стремится то или иное счетное множество. Любое число несчетного множества потенциально неисчислимо и может назваться несчетной величиной. Примеры несчетных величин - константы π и е, например. Мы знаем их давно, но точное значение этих иррациональных чисел никогда не будет вычислено:
  Нас интересуют такие несчетные величины:
  0 - бесконечно малое вещественное число;
  ∞ - бесконечно большое вещественное число.
  
  Если с понятием бесконечности и несчетности величины ∞ проблем почти не возникает, то с понятием несчетной величины 0 - одни проблемы.
  Есть абсолютная величина 0 = НИЧЕГО. Пустое место. Это вроде понятно. Когда мы видим пример 1-1=0, то четко понимаем, в ответе - Ничего. Пустота.
  Когда мы сталкиваемся с относительным пониманием, что 0, это предельная точность измерения или предел погрешности этих измерений, то тут начинаются сложности. Где "еще не 0", а где "уже точно - 0"?
  Над этим можно бы и посмеяться, но посмотрите на электронные термометры, развешенные по улицам города для того, чтобы жители могли знать температуру воздуха. При температуре близкой к 0оС эти термометры начинают давать интересные показания: то +0, то -0:, и почти никогда без знака (+) или (-). Так 0 или не 0? Как это понимать?
  А так и понимать, что в данном случае, 0 - понятие относительное, связанное с точностью проводимых измерений.
  И "0" становится неуловимым. К нему можно стремиться бесконечно.
  Мы будем относиться к числу 0 в формулах несчетных величин, как относительной величине в пределе своего приближения к абсолютному значению. Да, это ноль, но все же, немножечко, не ноль. На самую малость. Она меньше чем даже бесконечно малая, но... абсолютной пустоты не дает. Вот эту малость мы и будем записывать как 0 в формулах с несчетными величинами. Вот примерно так...
  Иначе переходить от счетных величин к несчетным будет трудно.
  
  Теперь дадим основные соотношения и пояснения по введенным величинам.
  Сначала дадим формулу для:
  
nol [ANikitin]   1)  
  
  Эта счетная бесконечно малая величина уже была введена автором статьи [3] формулой (35):
  
nol [ANikitin]   2)  
  
  И дополнением к формуле (38) там же [3]:
  
nol [ANikitin]   3)  
  
  Как мне кажется, совершенно справедливо и обосновано.
  
  Теперь дадим формулу получения М.
  Например, так:
  
nol [ANikitin]   4)  
  
  Бесконечно большое число М в своем пределе стремится к ∞.
  Величины ξ и М мы ввели как счетные эквиваленты несчетных величин 0 и ∞ соответственно.
  Число a, это любое рациональное число в диапазоне ξ<а<М. Как частные случаи, мы будем рассматривать и несколько числовых значений, например: а1=1.
  Теперь можно составить шкалу размерностей:
  
0< ξ < a < M < ∞;   5)  
  
  Осталось одно замечание: Ниже, в тексте статьи, в каждой нумерованной строке формул слева дается формула для счетной величины, справа - для несчетной. Линии табличного формата оставлены для облегчения чтения формул.
  Все подготовительные действия сделаны. Можно переходить к изложению материала.
  
  
  

Основные математические действия с предельными величинами.

  Начнем с самого простого.
  Сложение.
  
nol [ANikitin]
  
  Вычитание.
  
nol [ANikitin]
  
  Эти действия сомнений не вызывают. Пока, во всяком случае.
  
  Умножение.
  
nol [ANikitin]
  
   Если действия со счетными воспринимаются естественно, то можно предположить, что методологически допустимы и аналогичные записи математических действий с их несчетными эквивалентами.
  Мы понимаем, что это только формальное допущение, а с другой стороны:.
  Вернемся к этому вопросу при рассмотрении действий деления и действий со степенями.
  А пока продолжим:
  
nol [ANikitin]
  
  Эти выражения в комментариях вроде бы не нуждаются. Сомнения возникают разве что при рассмотрении формулы (16). Но примерно такое же мнение мы находим в [4] и [5] в параграфе о бесконечных:
  
  Деление.
  Деление величин одной размерности:
  
nol [ANikitin]
  
  Здесь и делимое, и делитель, это величины одной размерности. И результат деления должен быть конечной счетной величиной.
  Неопределенность результата деления несчетных величин, типа и , не устраняется, но формализуется введением деления их счетных эквивалентов. Формулы (18):(20), прежде всего, отражают формальную счетность результата деления - частного, а не конкретную величина делимого и делителя.
  
  Деление большего числа на меньшее:
  
nol [ANikitin]
  
  Деление меньшего на большее:
  
nol []
  
  Да, в формулах (23) и (26) получилось вот так..., в соответствии с выводом автора [3] и С.Алферова.
  
  Действия со степенями.
  
nol [ANikitin]
  
  Вот тут впервые появилось первое, но не последнее, конкретное значение счетной величины а в результате. В данном случае: а=1.
  Следующие четыре формулы отражают скорее философский смысл, вкладываемый в понятие бесконечно большого числа - бесконечности. Естественно, бесконечность, как несчетное множество, при а≥1 и а→М, останется таковой в любой степени этого диапазона изменения а.
  Точно также и бесконечно малое число, →0, при а≥1 и а<М, останется бесконечно малым.
  
nol [ANikitin]
  
  Но формально формулы (23) и (26) справедливы. Мы обязаны учитывать и это. Тем более, когда речь идет о формально счетных множествах М и ξ. Тем более что, чаще всего, при расчетах значения М и ξ задаются.
  В конце концов, у равенств (29) ...(31) , для 0 и ∞, две стороны..., как счетные и несчетные множества и их вполне возможно прочитать, как справа налево, так и слева направо. Если мы говорим о философских понятиях и категориях.
  Что выражает так любимое математиками выражение "множество всех подмножеств", как не максимально возможное из формулы (32)? Потому, что говорят они не о сумме каких-то множеств, а о предельно возможном качестве несчетного множества... в формально допустимой форме.
  И это выражение сомнений у математиков не вызывает. А меньшая степень вызывает сомнения?
  
  Мы переходим к другим диапазонам изменения счетной величины а и граничным точкам:
  
nol [ANikitin]
  
   По сути дела мы рассматриваем окрестности точки: a=1;
  Далее, для вывода формул нам необходимо воспользоваться предельными выражениями. Посмотрим результат:
  
nol [ANikitin]
  
  Теперь посмотрим, какой результат мы получим при возведении а, определенных выше диапазонов изменения, в любую исчислимую, а так же в бесконечно большую и бесконечно малую степень в граничных точках.
  При а=1:
  
nol [ANikitin]
  
  При а= 1+ξ;
  
nol [ANikitin]
  
  При а= 1-ξ
  
nol [ANikitin]
  
  Формулы (43) и (45) являются модификацией формул (35) и дополнения к формуле (38) в статье[3].
  Итог ожидаемый. Только целое число 1 в любой степени останется самим собой. Малейшее отклонение а от целой единицы, даже на бесконечно малую величину, ведет к изменению результата.
  Вот на этом пока и остановимся.
  
  
  

Заключение.

  Я не ставил себе целью полностью разобраться с бесконечными :
  Мне кажется, что В.П. Шенягин в своей работе [3] достаточно объективно оценил круг вопросов по этой теме. Для меня интерес представляют арифметические действия с нулем и бесконечностью. Вот на них я и сосредоточился.
  И вопрос не в том, знаком ли я с трудами Кантора и Геделя, а в том, что действия с бесконечностями хотелось бы привести к виду, понимаемому всеми, а не только профессиональными математиками. К простым формулам, пусть и немного ограниченного применения, но без особых математических нагромождений.
  Тема еще далека от своего исчерпания. Возможно, что последует продолжение разговора. Да и я еще немного подумаю:
  Если возникнут вопросы - обращайтесь.
  Поговорим...
  
  

Литература:

  1. Счетное множество. Википедия. http://ru.wikipedia.org/?oldid=31487395
  2. Теория множеств. Википедия. http://ru.wikipedia.org/?oldid=33955155
  3. Шенягин В.П. Нуль (ноль): число, функция, образ, проявление и систематизация http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161828.htm
   http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1828-shen.pdf
  4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М, ФИЗМАТГИЗ, 1959г.
  5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М, ФИЗМАТГИЗ, 1961г.
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"