В школе меня учили, что математика начинается со счета на пальцах. Один палец плюс другой палец получается два пальца. Затем ввели дробные числа: один палец плюс половина пальца получается полтора пальца. Больно, но ладно. Потом ввели ноль - это, когда вообще нет пальцев. Бывает и такое. Далее появились отрицательные числа. Что такое минус один палец, я еще кое-как уразумел, но почему, если отрубленный палец прибавить просто к пальцу, получается ноль, я так и не понял. Наконец изобрели мнимые числа - корень из отрубленного пальца. Ужас! Как представил себе это чудище, так сразу отпала охота поступать на мехмат. Пришлось, чтобы не прервать династию, поступать в военное заведение - Харьковское высшее командно-инженерное училище.
II
Перед поступлением в училище у меня был репетитор по математике - Юлий Витальевич Покорный. Это сейчас он заслуженный деятель науки, доктор физико-математических наук, профессор, заведующей кафедрой математического анализа Воронежского университета, автор замечательной книжки: "Унижение математикой?". А в то время был простым аспирантом. Ютился в двухкомнатной "хрущевке" с женой и двумя детьми. Много курил, писал кандидатскую диссертацию в туалете, поскольку свободного места в квартире не было. Зрением он страдал капитально. Почти ничего не видел, даже в огромных очках-лупах, но красивых девушек распознавал моментально, даже на другой стороне улицы. Не знаю, как сейчас, но тогда он был убежденным фаталистом, утверждая, что тот, кто не способен свести практическую задачу к математической, ничего не понимает в своей прикладной области. Я с ним соглашался, но без особого энтузиазма, поскольку получалось, что математики чаще всего правильно решают неправильно сформулированные задачи. Тем не менее, именно этот человек приобщил меня к великой математической культуре. Причем сделал это мягко корректно, в основном на собственном примере. Научить математике другого может только тот, кто знает ее сам.
III
Для поступления в училище надо было сдать пять экзаменов в следующем порядке: математика (посменно), математика (устно), физика (устно), иностранный язык (устно), русский язык (сочинение). Конкурс был около двенадцати человек на место. После первого экзамена он сократился втрое, а оставшиеся с ужасом ждали очередной математической экзекуции. Я же, получив отличную оценку, начал подумывать о том, не вернуться ли в родной Воронеж и подать документы в университет на мехмат. Тем более, что карманные деньги подходили к концу, поскольку, как оказалось, Харьков - город соблазнов.
Перед отбоем я поделился этими мыслями с земляком, с которым познакомился в поезде "Воронеж - Харьков". Парень он был веселый и сообразительный, но все предметы знал не более, чем на тройку, да и то, если повезет. На первую мысль он не отреагировал, а по поводу дефицита денег сказал: "Не волнуйся. Что-нибудь придумаем".
Утром, я проснулся от шума. Открыл глаза и обомлел. Рядом с моей кроватью восседал с деловым видом мой земляк и чего-то чирикал на листе бумаги. Передним ним простиралась толпа из полусотни возбужденных абитуриентов, пытающихся прорваться в наше расположение. Опасливо оглядевшись, я все понял и успокоился. Над изголовьем моей кровати висел плакат с надписью крупными буквами: "Здесь проводятся консультации по математике для всех желающий. Цена - один руб.". Далее изображалась стрелка, указывающая в аккурат на мою голову.
Вечером мы уже сидели в ресторане "Динамо" и пили замечательное харьковское пиво с не менее замечательным блюдом "котлеты по-киевски". Мысль о возвращении домой отпала сама собой, но появилась новая: математика - это не только наука, но и средство, помогающее поправить пошатнувшееся финансовое положение.
Как же все изменилось за прошедшие сорок пять лет! Конечно математика не изменила своей монетарной функции, но вместо вступительных экзаменов в вузах, ввели ЕГЭ в школах. Если меня спросить - это хорошо или плохо? Я отвечу. Во-первых, из всех известных способов мышления самым примитивным является "кроссвордное" мышление. Именно его и стремятся привить нашим детям с помощью ЕГЭ, тем самым пополняя ряды изворотливых, но бесполезных людей, которых у нас и так хоть пруд пруди. Во-вторых, поставленный вопрос эквивалентен вопросу: кто учит - министерство образования или педагог? Если ЕГЭ, то учит министерство, а педагог становится попугаем, озвучивающим рекомендованные учебники и тесты. И, в-третьих, я сам себе задам вопрос: если именно так обстоит дело, тогда зачем ЕГЭ? И сам себе отвечу: кому-то так надо! А вот кому - догадайтесь сами.
IV
После зачисления в училище на факультет управления и связи я уяснил, что математика - это ненавязчивая, но весьма прилипчивая штука. Математических дисциплин в военном училище оказалось предостаточно. Нам преподавал их профессор Гершон Иглевич Дринфельд - известный харьковский математик и замечательный педагог. Во время лекций он непрерывно курил папиросы, стряхивая пепел себе в ладонь, мало говорил и много писал на доске, постепенно покрываясь с ног до головы белым налетом мела. В конце лекции он больше напоминал моляра, чем профессора. Мы над ним посмеивались, но он на это внимания не обращал и, прихрамывая, покидал аудиторию с видом победителя. "Вот, что делает математика с людьми", - с ужасом думал я, глядя на этого пожилого сгорбленного человека в помятом и перепачканном костюме, мешком висящим на его узеньких плечах. А уже позднее вывел закономерность: чем неказистее внешний вид математика, тем он талантливее.
V
Математические ряды я понял сразу - они ассоциировались со строем солдат, с которым командир производит различные перестроения. А вот с производной вышла заминка. Только после того, как у меня закончились карманные деньги, я осознал прозорливое величие того человека, который придумал эту штуку. Все просто и наглядно: если производная функции наличия денег в кармане по функции их поступления больше нуля или равна ему, то все нормально - гуляй, веселись, а если эта производная меньше нуля, то срочно пиши родителям письмо с просьбой поддержать финансами. Маститые математики говорят, что это не так. Тогда мне никогда не понять, что такое производная.
VI
Интеграл особых трудностей у меня не вызвал. Оказалось, что если от функции ежедневной траты денег взять интеграл за месяц, то можно рассчитать, когда кончатся финансы. Так я это и так знаю: когда бы не поступила родительская помощь, деньги непременно закончатся в ближайшее воскресение. Для жизни интегралы не нужны, но очень потребны при изучении теории поля и радиотехники. Надо сказать, что в то время мы гордились тем, что мы электронщики. У нас и вид был более интеллигентный, чем, скажем, у механиков или энергетиков. И девушки, которые стайками порхали у ворот училища, были посимпатичнее. Видимо математика все-таки накладывает свою печать на внешнее обличие молодых людей, ее изучающих.
VII
Я всегда подозревал, что математика - дама капризная и разборчивая. Что-то ей нравится, а на что-то она внимания не обращает. После курса математического анализа мои подозрения подтвердились. Действительно: ей по нраву гладенькие функции, а те, у которых есть точки разрыва или углы, не нравятся. Почему? Потому, что их невозможно ни проинтегрировать и ни продифференцировать.
Насильно мил не будешь, но хочется привлечь к себе хотя бы внимание. И эти "неправильные" функции пошли на ухищрения: заткнули свои точки разрыва разными побрякушками типа дельта-функции, а углы-морщины сгладили, как это делают женщины, достигшие бальзаковского возраста.
Каким же образом отреагировала на эти уловки "капризная и разборчивая дама"? Очень просто - эти "подштукатуренные" функции пришлись ей по душе. Теперь они и дифференцировались и интегрировались.
Такая метаморфоза математической любви вызвала у меня ассоциацию. Как-то в одном из многочисленных харьковских кафе я познакомился с девушкой, которая в полутьмах показалась мне весьма привлекательной. Мы пили вино, танцевали, а в конце вечера она пригласила меня к себе домой. Но когда, перед тем как лечь в постель, она сняла с себя все побрякушки, умылась и разделась, у меня волосы встали дыбом. На ней было столько точек разрыва и такое количество угловатых поверхностей, что я пулей вылетел из комнаты, и, натягивая по дороге гимнастерку, помчался прочь.
Вывод: если ты корявый от роду, то, что ни делай, все равно не будешь интегрироваться и дифференцироваться.
VIII
С теорией исследования операций - наукой, занимающейся поиском оптимальных решений, все было легко, понятно и просто. Спасибо Елене Сергеевне Вентцель. Единственное "облачко" сомнения на безукоризненно чистом научном небосводе у меня вызывал тот факт, что даже в моей, в общем-то, незатейливой курсантской жизни я не смог найти ничего такого, что можно было бы назвать оптимальным. А одна моя знакомая, студентка харьковского политехникума, когда я попытался объяснить ей критерии оптимальности, которым должна удовлетворять моя будущая избранница, надула губки и обозвала меня идиотом, буквально - "уйди от меня". Я, конечно, ушел, но, поразмышляв на досуге, пришел к выводу, что, когда я говорю об оптимальности, сам не знаю о чем говорю.
"Ничего страшного, - успокоил я сам себя, - подучусь, наберусь опыта, найду новую подружку, и разберусь с этой оптимальностью".
Подружку я нашел, опыта набрался, а вот с оптимальностью ничего не получилось. Много позже я понял, что в нашей реальной жизни вообще нет ничего оптимального. То, что нам сегодня кажется хорошим, завтра может стать плохим, а послезавтра - очень плохим; что для одного лучшее, для другого - худшее.
IX
Небольшая загвоздка получилась и с теорией множеств, которую нам читали факультативом. Я понял, что множество состоит из элементов и само никак не определяется, а просто поясняется с помощью примеров. Так, можно говорить о множестве элементов-курсантов составляющих данную учебную роту. Важным является то, что каждый элемент может одновременно принадлежать разным множествам: я курсант и одновременно потенциальный жених. Но, может ли отдельно взятый элемент принадлежать и в то же время не принадлежать конкретному множеству? Этот вопрос я задал Гершону Иглевичу. Он с удивлением посмотрел на меня из под очков-окуляров, и категорично ответил: "Нет".
Как же так получается, подумал я. При поступлении в училище, некто по фамилии Щульга сдал все вступительные экзамены на тройки, и был зачислен условно. Целый месяц он как неприкаянный бродил по территории лагеря, что в Померках , где мы проходили курс молодого бойца, принадлежа и одновременно не принадлежа множеству курсантов. На довольствии он состоял как и все мы, но в наряды по лагерю не ходил. Потом, правда, его все таки зачислили в училище, и он стал полноценным элементом множества курсантов нашей роты. Налицо явное расхождение с теорией множеств.
Как водится в науке, это незначительное, можно сказать, надуманное несоответствие, привело к созданию новой теории - теории нечетких множеств, в которой каждый элемент может принадлежать и не принадлежать определенному множеству. Соответственно возникла новая математика, названная в последствии - "мягкой", с помощью которой осуществляются различные операции над нечеткими множествами: сложение, умножение и другие.
X
На четвертом курсе мы приступили к изучению цифровых вычислительных машин, которые потом переименовали в электронно-вычислительные, а сейчас называют на американский манер - компьютерами.
Я думал, что математика, наконец-то закончилась, и начнется новая жизнь без мучительного запоминания формул и доказательства теорем. Но математика оказалась всепроникающей - основу этих устройств составляет булева алгебра, названная по имени английского ученого Джоржа Буля . Не знаешь этой алгебры - никогда не поймешь как работает компьютер.
Она достаточно проста и изящна. В ней всего одна переменная и та принимает всего два значения: ноль и единица. Оказалось, что, позиционируя эту переменную и применяя к ней различные операции, можно получить бесконечное множество математических конструкций, которые легко переводятся в нашу обычную десятичную систему счисления. Но самое главное - эта алгебра реализуется с помощью так называемых двоичных устройств (реле, электронных ламп, транзисторов и др.), то есть устройств, принимающих два состояния, например, включено -выключено, есть ток - нет тока и т.п. Просто, как и все гениальное! Но за этой простотой скрывается фундаментальное свойство нашего мира - его бинарность. Получается, что математика не только открыла нам путь в мир информации, но и позволила добраться до основ мироустройства.
XI
Где-то на пятом курсе, я пришел к убеждению, что математика - это наука парадоксов. Большинство из них связано с тем, что в математике понятие "точка" - чистая абстракция, не несущая в себе никакого физического содержания. Из математических точек ничего не складывается и ничего не собирается, а сама точка ни на что не раскладывается и не может быть собрана из чего-либо. В частности, математическая прямая или любая другая линия не состоит, как это интуитивно представляется, из точек. Таким образом, математики сами придумали абстракцию (ушли от реалий), с ее помощью получили выводы, а затем "погрузили" эти выводы в реалии и получили казусы. Не было бы абстракции - не было бы и парадоксов.
XII
После такого самооткровения, я с упоением принялся за изучение системного анализа. В этой науке роль точки играет "элемент". В отличие от математической точки, он имеет чисто физическую трактовку, и при желании может быть разложен на другие более мелкие объекты, и собран из них. Интересно, что точка, поставленная карандашом на бумаге, - это элемент плоскости или какой-либо кривой. При таком представлении точки все математические парадоксы разрешаются сами собой.
Получается, что системный анализ - это тоже математика, но не абстрактная, а реальная. Если чистые математики рассматривают формальные модели как способ получения некоторых оценок, то для системного аналитика эти модели служат лишь средством познания исследуемого процесса.
Так я стал математиком, но не классическим, а прикладным, и был уверен на 100%, что "прикладывая" классическую математику к изучению бытия, можно понять ее суть.
XIII
В действительности все оказалась куда как сложнее. Выяснилось, что гуманитарные системы менее всего соответствуют представлениям о гармоничности мироустройства, которые были положены в основу ведущего метода математики - теории дифференциального и интегрального исчисления. Поэтому математика (в ее классическом виде) не пригодна для построения моделей гуманитарных систем, адекватных наблюдаемым реалиям. При использовании традиционной математики все сводится к количеству, в результате чего происходит выхолащивание существа изучаемых процессов, в то время как качественный, интуитивный анализ подчас обретает большую практическую значимость. Из эффективности известных математических методов при исследовании физических систем вовсе не следует, что они будут также эффективны при изучении гуманитарных систем. Поэтому утверждение Галилея о том, что жизнь выражает свои законы на языке количества, по существу - иллюзия, стремление выдать желаемое за действительное.
Мой неумеренный оптимизм по поводу всесилия математики сменился разочарованием.
XIV
Молодой ученый без "крыши", что корабль без руля. Мне повезло - под свое "крыло" меня поместил Ян Залманович Савицкий. Это был выдающийся ученый, известный, к сожалению, весьма узкому кругу специалистов. Дело в том, что работали мы в закрытом военном институте, где научные публикации в открытой печати были исключены. Как ему удалось разглядеть, что "мягкая" математика по четкости представления объектов адекватна сути армейского дела, одному богу известно. Но факт остается фактом, самая четкая команда в армии: "Пойди туда, не зная куда. Принеси то, не зная что".
Он же познакомил меня сначала с основополагающими работами по этой математике, а потом и с Дмитрием Александровичем Поспеловым - основателем нового направления искусственного интеллекта - теории логико-лингвистического моделирования.
Эти два человека что-то перевернули в моем мышлении, а что конкретно, я понял много лет спустя. Между "числом" и "словом" располагаются многочисленные языки, известные и пока еще не открытые, познание которых позволит написать еще более величественную книгу, чем та, о которой мечтал великий Галилей.
Современная математика вырвалась из оков классики и, соединяясь к компьютерными технологиями, продолжила свое победоносное шествие по научным дисциплинам и направлениям, все более внедряясь в гуманитарную сферу.
XV
На этом можно было бы закончить наше краткое повествование о каверзах математики. Но я забыл сказать следующее. Не надо в школе и в вузе пугать детей и подростков математикой. Следует самим учителям и преподавателям математики разобраться в ее каверзной сущности и научиться преподавать ее без загромождения затемняющими мозги формулами. Памятуя, что математика - это не "крючки" на доске и в учебниках, но сама жизнь.