Опря В. Р.

Теория относительности, как топология времени

1. Парадоксы теории относительности

1.1 О чем эта статья

Среди массы статей, книг и учебников, посвященных теории относительности, за последние сто лет, наверное, большинство посвящено поиску ошибок в этой теории, разработке альтернативных и более продвинутых теорий. В данной работе этого не будет, ну может, почти не будет. Я не буду обсуждать вопрос о том, верна ли теория относительности или насколько она верна. Основная цель этой работы иная. Я хочу просто описать теорию относительности, но не так, это делается в большинстве учебных пособий. То, что показывается в этих пособиях это даже не фасад, а та часть теории относительности, которая обращена к классической физике. Я хочу показать ее с другой стороны, с той стороны, с которой ее обычно не показывают и о существовании которой большинство людей просто не подозревает. Я хочу провести вас за кулисы и показать внутреннюю логику этого механизма. То есть, это не альтернативная теория относительности, а ее альтернативное изложение.

В изложении теории относительности сложился определенный стиль, и, практически все авторы, используют ряд весьма затасканных штампов, которые кочуют из одной книги в другую. Что характерно для этого стиля изложения материала, который я буду называть классическим, он основывается на знании классической нерелятивистской физики. То есть, авторы начинают с привычных для читателя представлений о мире, а затем заглядывают в мир физики релятивистской. Очень логичный подход.

Недостаток такого подхода к изложению, заключается в том, что нужно постоянно удерживать свое внимание на двух разных системах представлений о мире, релятивистской (то есть теории относительности) и нерелятивистской (обычной, классической физике). Это самое сложное, потому, что в каждый момент времени нужно четко понимать, к какой из этих двух систем представлений о мире относятся формулы и логические построения, которыми вы пользуетесь. Большая часть формул, которые приводятся в материалах по теории относительности, переводят величины из одной системы в другую, поэтому каждый раз, когда вы их используете, вы должны понимать, к какой системе отсчета относится одна величина, а к какой другая. В некоторых формулах одновременно используются целый ряд величин, одни из которых относятся к движущимся системам отсчета, а другие к 'неподвижным'. Все дело только в том, что понятие 'неподвижная система отсчета', это термин классической физики, который не должен применяться в теории относительности, разве что в контексте "неподвижно относительно".

Вот, например, одна из основных формул теории относительности, формула сложения скоростей:

В эту формулу входят только скорости, измеренные по правилам, установленным еще в классической физике. Не удивительно, что формула получилась столь громоздкой. Хотя она и приводится в большинстве учебниках как формула теории относительности, в этой формуле вообще нет величин, относящихся к этой теории, в ней есть только величины, относящиеся к классической физике. Данное заявление я обосную несколько позже.

При таком стиле изложения, разобраться в основах теории относительности так же непросто, как научиться летать, не отрываясь от земли, плавать в сухом бассейне или выучить иностранный язык без погружения в соответствующую языковую среду. И все это порождает массу предрассудков по поводу теории относительности. Большинство авторов, которые опровергают эту теорию, как раз строят свои рассуждения, отчасти основываясь на логике классической физики, отчасти на логике физики релятивистской. Конечно, при таком подходе обязательно отдельные детали этого механизма не состыкуется. Школьные учебники теорию относительности отражают в очень краткой форме и консервативно-классическом стиле, в результате чего, большинство людей приходит к выводу, что им вообще не дано понять теорию относительности. Я думаю, что даже большинство физиков эту теорию до конца не понимают.

Сейчас есть целый ряд продвинутых теорий, которые основаны на идеях теории относительности и квантовой физики, но эти теории полностью остаются территорией небольшого числа физиков и математиков, которые способны представить себе одинадцатимерное пространство описываемое формулами тензорного исчисления. Я буду пользоваться математическими формулами, которые способен понять любой человек, имевший в школе заслуженную четверку по математике, и не все еще, из выученного, забыл.

В данной работе я буду излагать теорию относительности не как физику, а как вид геометрии, не немного сложнее той, которую изучали в школе, но несколько непривычный. И, по мере того, как я буду показывать внутреннюю логику этой системы, уже с этой точки зрения покажу, как выглядит классическая физика.

1.2 Миф о замедлении времени

Пожалуй, самое распространенное заблуждение, связанное с теорией относительности, заключается в утверждении, что для тела, движущегося с большой скоростью, время идет медленнее, чем для тела неподвижного. Это заблуждение распространенно настолько, что большинство людей, читающих эти строки, могут вполне искренне возмутиться. Они будут правы, ведь данное утверждение есть даже во многих учебниках. На самом деле, это утверждение противоречит основному постулату теории относительности, принципу относительности. Согласно этому принципу, любые инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, независимо от того, в каком направлении и с какой скоростью они движутся относительно друг друга. Поэтому и все разговоры о том, что в одной системе отсчета время идет медленней, чем в другой, противоречит самим основам теории относительности.

В действительности, когда одно тело (A) пролетает мимо другого (B) со скоростью сравнимой со скоростью света, то наблюдатель A будет видеть, что у B часы идут медленнее, чем у него, а наблюдатель B, точно так же, будет видеть, что медленнее часы идут у наблюдателя A. Когда два объекта A и B с большой скоростью, то есть, со скоростью сравнимой со скоростью света, летят в разных направлениях, время у них течет по-разному. Но говорить о том, что у кого-то из них часы действительно идут медленнее, совершенно неверно, ну разве что, только с точки зрения классической физики. Но ее лучше в это дело не впутывать.

В те времена, когда Коперник утверждал, что Земля круглая, и что она вертится, его противники богословы и ученые, сторонники представлений о мире Аристотеля, выдвигали очень весомый аргумент. Они говорили, что на обратной стороне Земли люди жить не могут, а еще там не может быть растений и животных, рек, морей и океанов. А все потому, что люди не могут ходить вверх ногами, а просто упадут вниз. Они не знали, что на другой стороне Земли низ направлен в другую сторону.

Утверждение, о том, что для движущегося с большой скоростью объекта время замедляется, выглядит примерно так же, как упомянутый выше средневековый предрассудок. Для объектов, которые движутся в разных направлениях и с разными скоростями, время действительно идет по-разному, 'в разных направлениях'. Проекция времени текущем "в одном направлении" на время текущее "в другом направлении" действительно, с точки зрения классической физики, выглядит как "замедление времени". Представления о том, что время это нечто линейное, и что время идет одинаково и в одном направлении для всех объектов во вселенной, это наследие классической физики, которая именно так и описывала окружающий нас мир.

Для наглядности, можно привести пример из евклидовой геометрии. Представим себе два отрезка OA и OB одинаковой длины и выходящих из одной точки O под углом в 60°, как это показано на рисунке.

Затем опустим перпендикуляр из точки A на отрезок OB и перпендикуляр из точки B на отрезок OA. Теперь у нас есть проекция OA₁ отрезка OA на отрезок OB и проекция OB₁ отрезка OB на отрезок OA. Если вы еще помните школьную геометрию и алгебру, то очевидно, что длина проекции отрезка OA на отрезок OB определяется формулой:

|OA1| = |OA| cos 60° = 1/2 |OA|.

Точно так же обстоит дело и в отношении длины проекции отрезка OB на отрезок OA:

|OB1| = |OB| cos 60° = 1/2 |OB|.

Если бы на этих отрезках жили бы фантастические одномерные существа, с точки зрения их одномерного мышления, они бы принимали проекции отрезков за его реальные величины. Таким образом, они бы могли заключить, что при увеличении некоторого параметра (величины угла между отрезками OA и OB), величина отрезка OB уменьшается, относительно отрезка OA, а величина отрезка OA уменьшается, относительно отрезка OB. Нечто подобное происходит и при переходе из одной системы отсчета в другую в теории относительности, с учетом, конечно, что свойства пространственно-временного континуума значительно отличаются от свойств евклидовой геометрии.

При описании теории относительности очень часто ссылаются на 'парадокс близнецов', мысленный эксперимент, в котором два близнеца расстаются на некоторое время, один остается на планете Земля, а другой летит в космос с большой скоростью к далекой звезде. Проходят годы, путешественник возвращается и обнаруживает, что по его часам прошло лет двадцать, а по часам брата, оставшегося на Земле, лет сорок. Просто для примера, предположим, что на Земле прошло в два раза больше времени, хотя это соотношение может быть и совсем другим.

Некоторые авторы описывают этот парадокс как интересный феномен, а некоторые пытаются с его помощью опровергнуть теорию относительности. И еще этот пример приводят как обоснование утверждения, что при движении со скоростью, сравнимой со скоростью света, течение времени замедляется. При этом слово "относительно" либо пропускается, либо ему придается совершенно формальное значение. Большинство людей совершенно искренне полагают, что согласно теории относительности при движении со скоростью, близкой к скорости света, ход времени действительно замедляется, без всяких оговорок об относительности.

Да, конечно, человек, остававшийся на Земле, может подумать, что образовавшаяся в "парадоксе близнецов" разница во времени связана с тем, что его брат с большой скоростью перемещался в пространстве. Именно так оно и выглядит, если смотреть на теорию относительности через призму физики классической. И сам парадокс существует, только если смотреть на происходящее с точки зрения физики классической.

Но давайте взглянем на ситуацию с точки зрения другого человека, того, который проделал космическое путешествие. Для наглядности, предположим, что разгоняется и тормозится корабль этого человека очень быстро. Очень быстро, это соответствует ускорениям в десятки, может быть сотни g, то есть значительно больше, чем ускорение свободного падения на поверхности Земли. Предположим, что техника будущего позволит выдерживать такие ускорения без вреда для организма. Тогда разгон и торможение у него займет несколько месяцев и можно будет проследить за происходящим, отдельно рассмотреть участки разгона и торможения, отдельно рассмотреть участки неускоренного прямолинейного движения.

Все время, пока он, разогнавшись, летел от Земли к далекой звезде с постоянной скоростью и в одном направлении, с его точки зрения, время на Земле шло медленнее чем у него примерно в два раза. А затем, когда он возвращался от звезды к Земле и тоже летел с постоянной скоростью и тоже в одном направлении, с его точки зрения, время на Земле тоже шло медленнее, чем у него, примерно в два раза. Точно так же, как с точки зрения наблюдателя с Земли, медленнее шло время у космонавта. Ведь в это время он был вполне равноправной с Землей 'инерциальной системой отсчета'. Это один из наиболее важных принципов теории относительности, все инерциальные системы отсчета равноправны и во всех инерционных системах отсчета физические законы совершенно идентичны, включая постоянство величины скорости света.

С точки зрения наблюдателя, расположенного на Земле, у космонавта время шло в два раза медленнее. А с точки зрения космонавта, время на Земле шло в два раза медленнее, чем у него. Но речи о реальном замедлении времени не идет, ни в одном, ни в другом случае, речь идет только о том, что проекция одного направления времени на другое равна половине реальной величины.

Мы приняли, что в одну сторону космонавт летел десять лет по своим часам, а потом он летел обратно тоже десять лет по своим часам, всего двадцать лет. Следовательно, пока он летел с постоянной скоростью, с его точки зрения, на Земле прошло времени в два раза меньше, чем у него, всего десять лет. Когда же он возвращается на Землю, то обнаруживает, что там прошло сорок лет. Возникает естественный вопрос, а куда делись еще тридцать лет? Согласитесь, это не так мало.

Ответа на этот вопрос вы не найдете в школьных учебниках и вообще во многих из пособий по теории относительности. Классический стиль изложения материала по этой теме страдает удивительной болезнью: 'шаг вперед, полшага назад'. И даже при упоминании парадокса близнецов, информация о нем дается в большинстве случаев в урезанном виде. Все серьезные вопросы, в конце концов, сводятся к взгляду с точки зрения классической физики.

Более серьезные источники описывают теорию относительности при помощи формул тензорного исчисления, и для большинства людей эти источники остаются совершенно непонятными. Так, что придется думать самим. А ведь, кроме временных парадоксов, в теории относительности еще есть такие вещи, как изменение геометрических размеров тел, превращение массы в энергию и обратно, парадокс одновременности и еще много других интересных эффектов. При классическом стиле изложения материала трудно понять, причины этих эффектов и они выглядят как фокусы умелого иллюзиониста.

Давайте рассуждать. Единственный источник разницы в тридцать лет, это, то время, когда космонавт разгонялся и потом тормозил, то есть изменял свою скорость в пространстве и не являлся инерциальной системой отсчета. Возможно, некоторые из читателей, уже начали прикидывать влияние гравитационного поля и движения с ускорением на замедление времени. Этот эффект существует, но он настолько мал, что в данном случае им можно объяснить разницу в нескольких минут, возможно, нескольких часов, но уж точно не тридцати лет.

Наиболее продвинутые источники по теории относительности отмечают этот факт, и указывают, что причиной того, что у космонавта прошло меньше времени, не в том, что космонавт двигался с большой скоростью, а в том, что он ускоряется и переходил из одной системы отсчета в другую. В самом начале, для того, чтобы разогнаться, а затем, ускоряется для того, чтобы уменьшить свою скорость относительно Земли, и в обоих случаях меняет свою систему отсчета. Торможение это ведь тоже ускорение, но в другую сторону. Но даже в этих источниках вы не найдете ряд любопытных особенностей происходящего. Вот, например, в источнике "Теория относительности для астрономов" (М.В.Сажин Государственный Астрономический Институт им. П.К.Штернберга, Москва), приводится весьма толковое изложение теории относительности. В этой работе указывается следующее:

"Одним из наиболее распространенных способов опровергнуть СТО служил т.н. парадокс близнецов". "Хорошо" - говорит желающий опровергнуть СТО. "Теперь давайте рассмотрим ситуацию с точки зрения брата - путешественника. С его точки зрения Земля движется со скоростью близкой к скорости света, а следовательно, на Земле часы должны идти медленнее. Брат - путешественник, вернувшись на Землю, обнаружит, что у его брата - близнеца часы показывают только 365 дней". "Парадокс!" - восклицает опровергатель, "Это доказывает внутреннюю противоречивость СТО!". После чего делается вывод, что СТО не верна. Разумеется, этот вывод основан на ошибке. Ошибка заключается в том, что космонавт, путешествующий на ракете, часть пути находится в неинерциальной системе отсчета. Поэтому две системы неэквивалентны. Доказано это будет, когда мы познакомимся с вычислением собственного времени в ускоренных системах отсчета".

И далее по тексту приводится анализ этого парадокса самим Альбертом Эйнштейном. В этом анализе утверждается, что причиной замедления времени у космонавта является гравитационное поле, которое возникает при ускорении космического корабля. Вот, например такая фраза:

"В течении пятой стадии часы вновь замедляются гравитационным полем".

Приводится формула, в которой присутствуют два слагаемых, так называемые пропорциональный и потенциальный член. Пропорциональным членом автор называет вклад в замедление времени собственно гравитационным полем. Это тот же эффект, который замедляет время в гравитационном поле черной дыры, однако на всех стадиях полета, вкладом данного члена можно пренебречь. Он очень мал. Интересен другой член, который автор называет потенциальным и который зависит не только от величины ускорения, но и от расстояния между Землей и космическим кораблем:

"Гравитационный потенциал между точками нахождения двух часов составляет величину Φ=+gL. Знак плюс выбран потому, что ускорение направлено от A к B ".

Что же это за "гравитационный потенциал", который зависит от величины и направления ускорения космического корабля и прямо пропорционален расстоянию между комическим кораблем и Землей? К гравитационному полю Земли эта величина никакого отношения не имеет. На мой взгляд, используемый термин не отражает реальных причин данного явления и просто запутывает исследователей. Давайте разбираться в реальном физическом смысле этого "потенциала". Но прежде давайте познакомимся с эффектом относительности одновременности.

1.3 Эффект лазерной указки и одновременность

В теории относительности уже есть эффект фонарика. Эйнштейн представляет, что он сидит на луче света с фонариком в руке, светит вперед и луч из фонарика летит со скоростью света относительно автора теории относительности. А раз этот предмет уже занят, я буду использовать другой образ - лазерную указку, хотя для данного эксперимента фонарик тоже подойдет.

Если Вы возьмете в руку лазерную указку и посветите на стену в своей комнате, а потом чуть покачаете рукой, пятно света отклонится на несколько сантиметров. Если вы посветите на соседнее здание и сделаете такое же движение, то пятно света отклониться на несколько десятков метров. Если посветить на Луну, то Вы ничего не увидите, потому, что отраженный луч будет слишком слабым, но понятно, что в этом случае луч света отклонится уже на тысячи километров. Смещение будет пропорционально расстоянию до объекта.

Есть в теории относительности такое явление, как зависимость одновременности событий от системы отсчета. Если вы переходите в другую систему отсчета, то некоторые события, которые вы раньше считали происходящими одновременно, окажутся одни в прошлом, другие в будущем. А для того чтобы изменить систему отсчета, достаточно изменить скорость или направление движения.

Следующий эксперимент лучше выполнять мысленно, ну или, в крайнем случае, с соблюдением всех правил дорожного движения. Представьте себя за рулем машины, стоящей у обочины. Теперь представьте в километре от вас инспектора дорожно-патрульной службы. Вы набираете скорость и едете в его направлении со скоростью 60 км/час. Знаете ли Вы, что за то время, пока машина набирала скорость, инспектор сместился в прошлое? Совсем немного, на небольшую величину, но времени у него пройдет несколько больше, чем у вас. Современные атомные часы такое небольшое смещение не зафиксируют. Если же Вы поедите в обратную сторону с той же скоростью, от инспектора, то он сместится в будущее, на такую же малую величину времени и окажется, что у вас прошло времени больше, чем у него.

В этом примере инспектор находится сравнительно недалеко от вас, всего в километре. Если бы он находился в далекой галактике, например, за 18000000 световых лет от Вас, то ваше изменение скорости на величину 60 км/ч, переместило бы его во времени на один год. Здесь эффект тот же, что с лазерной указкой, чем дальше от вас находится объект, тем сильнее перемещает его во времени ваше изменение скорости. Подсчитать это перемещение для скоростей значительно меньше скорости света очень просто по формуле:

Δt = TΔv/c,

где: Δt - величина перемещения во времени удаленного от вас объекта, T - время, за которое луч света долетит до этого объекта, Δv - изменение вашей скорости, c - скорость света.

Если вы изменили свою скорость в направлении объекта, объект переместится в прошлое, если в обратную сторону, объект переместится в будущее. Каждый раз, когда вы набираете скорость или тормозите, далекие от Земли галактики смещаются относительно вас во времени на величины превышающие срок человеческой жизни. Вот только для того, чтобы зафиксировать этот эффект требуются не только особо точные приборы, но и миллионы лет, пока свет от далеких галактик достигнет Земли.

При помощи этой формулы можно определить и то, на какую величину сместится во времени инспектор ДПС из описанного выше примера. Этот промежуток времен будет равен величине 0,00000000000018 секунды. Измерить такой промежуток времени при помощи современных приборов практически невозможно. Для того, чтобы на практике зафиксировать этот эффект необходимо либо двигаться гораздо быстрее скорости, разрешенной правилами дорожного движения, либо переместить инспектора на несколько миллионов километров от вас. Правда, и во втором случае, проведение необходимых измерений, все равно останется очень сложной технической задачей.

Подобное перемещение во времени не просто кажущееся, в случае с эффектом близнецов, рассмотренным выше, это перемещение было бы вполне реальным. Парадокс близнецов, с точки зрения того брата, который летал в космос, должен выглядеть следующим образом. Когда корабль разгоняется вблизи Земли, Земля, относительно корабля несколько смещается в будущее, на несколько часов или дней, в зависимости от величины ускорения. Смещается в будущее, означает, что время на Земле шло медленнее и события, которые он мог ожидать в определенное время, переместились в еще не наступившее будущее. То же самое происходит и тогда, когда корабль тормозит, приближаясь к Земле. А вот когда корабль с тем же самым ускорением маневрирует вблизи удаленной звезды, событие на Земле, которое космонавт считал происходящим одновременно с ним, очень быстро смещается в прошлое на тридцать лет. И после этого оказывается, что пока на космическом корабле прошло несколько месяцев, на Земле прошло уже тридцать лет.

Итак, вот рецепт. Для того чтобы сместиться во времени относительно Земли на несколько лет, нужно отлететь от нее достаточно далеко и там изменить свою скорость, а затем вернуться обратно. Когда вы точно так же изменяете свою скорость вблизи от Земли, смещения во времени практически не происходит. Вот вам машина времени, которая может переместить вас только в одну сторону, в будущее.

Но работает эта машина времени в одну сторону, только потому, что для того, чтобы вернуться обратно, нужно ускориться в направлении Земли, а это сместит Землю в прошлое, относительно вас. Вот если бы, для того, чтобы вернуться, нужно было ускоряться в другую сторону, то этот маневр смещал Землю в будущее относительно вас. Тогда бы, у того брата, который летал в космосе прошло бы больше времени, чем у того, который остался на Земле.

1.4 Большое путешествие

Несколько позже, я дам точный и подробный расчет происходящих событий, а пока, поверьте мне на слово. Когда космонавт разгоняется и тормозится вблизи Земли, с его точки зрения, на Земле проходит несколько месяцев, даже меньше, чем на космическом корабле. Когда космический корабль летит по прямой и без ускорения, с его точки зрения, то есть относительно его системы отсчета, на Земле проходит в два раза меньше времени, чем на корабле. А вот когда, точно так же он тормозится и разгоняется вдали от Земли, у цели своего путешествия, происходит нечто необычное. Он обнаруживает, что за эти несколько месяцев на Земле прошло почти тридцать лет.

Ниже приведена схема рассматриваемого полета.

Все происходящее изображено в системе отсчета наблюдателя, оставшегося на Земле. Вертикальная прямая A1-A2 обозначает ось времени, с точки зрения наблюдателя с Земли. Поскольку он никуда не перемещается, его положение в пространстве совпадает с этой осью. Горизонтальные линии изображают одновременно происходящие события, как их видит наблюдатель на Земле. Одновременность здесь не означает, что этот наблюдатель сразу видит происходящее. Если некоторое событие прошло одновременно на расстоянии n световых лет от Земли, то сигнал о происходящем достигнет Земли только через n лет. Кривая A1-B-C-D-E-F-A2 показывает перемещение космического корабля в системе отсчета наблюдателя с Земли. Дуга A1-B это участок разгона космического корабля.

Горизонтальная стрелка на уровне точки B (-->B) показывает, в какой момент закончилось торможение корабля с точки зрения наблюдателя на Земле. Если это событие произошло в нескольких световых месяцах от Земли, то радиосигнал достигнет Земли только через несколько световых месяцев.

Для человека, летящего со скоростью близкой к скорости света, понятие об одновременности событий совсем другое. Как выглядит одновременность с точки зрения космонавта, показывает наклонная стрелка B-->B. С точки зрения космонавта, на Земле должно пройти немного меньше времени, чем на космическом корабле.

Горизонтальная стрелка на уровне точки C (-->C) показывает положение момента времени, когда космический корабль начинает тормозить, то есть это конец прямолинейного и неускоренного участка полета космического корабля. На отрезке B-C на космическом корабле прошло около десяти лет. Наблюдатель на Земле считает, что у него в этот момент прошло двадцать лет и время на космическом корабле шло замедленно.

А вот в системе отсчета космонавта, одновременность выглядит иначе, на одновременное с космонавтом событие на Земле, с его точки зрения, показывает наклонная стрелка C-->C. А отрезок B-C на прямой A1-A2 показывает, сколько времени прошло на Земле с точки зрения космонавта, С его точки зрения, пока он летел прямолинейно и без ускорения, на Земле прошло всего около пяти лет.

А вот теперь космонавт начинает уменьшать свою скорость относительно цели его путешествия и относительно Земли. Дуга C-D показывает участок торможения. В точке D скорость корабля становится практически равной скорости Земли и понятие об одновременности у них полностью совпадают и это показано горизонтальной линией D-D.

Вот здесь как раз и начинается самое интересное. С точки зрения наблюдателя с Земли торможение C-D займет несколько месяцев. На самом корабле тоже пройдет несколько месяцев. А вот на Земле, с точки зрения космонавта, за это время пройдет целых пятнадцать лет. Причем, эта разница во времени практически не зависит от величины ускорения. Даже если корабль остановится практически мгновенно, эта составляющая разницы во времени останется неизменной - пятнадцать лет. Это разница зависит от расстояния до Земли и разницы в скоростях при изменении системы отсчета. Здесь можно отметить еще и зависимость этой разницы от площади фигуры, ограниченной прямой A1-A2 и кривой A1-B-C-D-E-F-A2. От величины ускорения зависит только время, за которое космонавт сменит одну систему отсчета на другую.

Дальше все происходит в обратном порядке, пока в течение нескольких месяцев космический корабль набирает скорость в обратном направлении на участке D-E, на Земле, с точки зрения космонавта пройдет еще пятнадцать лет. Затем, пока корабль летит без ускорения на участке E-D в течение десяти лет, с точки зрения космонавта на Земле пройдет пять лет. И наконец, еще несколько месяцев на торможение.

В результате, по данным космического путешественника, из сорока лет прошедших на Земле за время полета, тридцать лет приходится на небольшой участок C-D-E, на котором корабль маневрировал возле цели своего путешествия.

Вы до сих пор уверенны, что время у быстродвижущегося объекта замедляется? Тогда давайте проведем еще несколько мысленных экспериментов.

1.5 Путешествие наоборот

Рассмотрим ситуацию, в которой космический корабль со скоростью близкой к скорости света движется к Земле, но, не долетев некоторое расстояние, уменьшает свою скорость относительно Земли, а затем начинает ускоряться в другую сторону и улетает обратно. Смотри рисунок ниже.

Как и на прошлом рисунке, прямая A1-A2 показывает наблюдателя с Земли, в системе отсчета которого и выполнена данная схема. Линия B-C-D-E-F показывает траекторию космического корабля. На участке B-C он летит с постоянной скоростью в направлении Земли. На участке C-D начинает ускоряться, уменьшая свою скорость по отношению к Земле. В точке В корабль неподвижен, относительно Земли, затем ускоряется и улетает обратно, участки D-E и E-F.

Поскольку схема выполнена в системе отсчета наблюдателя с Земли, горизонтальные линии -->C, -->D и -->E показывают события, которые происходили одновременно с точки зрения наблюдателя на Земле. А вот с точки зрения космонавта события развиваются иначе. В момент времени C, перед тем, как начать торможение, космонавт, используя такие данные, как знание расстояния до Земли и радиосигналы точного времени с Земли, определяет, одновременное с ним событие на Земле. Одновременность в этот момент, с точки зрения космонавта, показана стрелкой C-->C. После того, как космонавт уравняет скорость космического корабля со скоростью Земли в точке D, он вновь производит измерения и обнаруживает, что то событие на Земле, которое он считал одновременным с собой, точка C, переместилось в еще не наступившее будущее. А теперь, одновременным с ним событием будет событие D.

Затем, корабль ускоряется в обратном направлении и начинает удаляться от Земли со все возрастающей скоростью. В точке E корабль достигает необходимой скорости, и космонавт вновь производит измерения. Теперь, с его точки зрения, одновременное событие, это точка E на прямой A1-A2. Событие D переместилось в еще не наступившее будущее, а событие C переместилось еще дальше в еще не наступившее будущее.

Если данный маневр проводится в нескольких световых годах от Земли, то в результате, за те несколько месяцев ускорения корабля по дуге C-D-E, событие C может переместиться в будущее на несколько лет. И здесь речь уже не идет о замедлении времени на космическом корабле в результате действия "гравитации". Скорее уж, наоборот, с точки зрения космонавта, в результате маневра космического корабля замедлилось время на Земле. И даже не замедлилось, а пошло в обратном направлении.

Что изменилось? Только взаиморасположение Земли и направления ускорения космического корабля. Но, в результате этого изменения, событие C на Земле, которое космонавт считал одновременным с событием С на корабле перемещается на несколько лет, но не в прошлое, как в предыдущем примере, а в будущее. Данный маневр не может использоваться как машина времени для перемещения в прошлое уже только по одной причине, свойства нашего пространства таковы, что в результате этого маневра человек не может вернуться на Землю, для того чтобы лично сверить часы. И это не единственная причина.

Можно поставить еще один мысленный эксперимент, который позволит исключить маневры вдали от Земли. Можно даже поставить этот эксперимент в двух разных вариантах, на ваш выбор. В первом варианте необходимо сделать фантастическое предположение о том, что изобретена телепортация, которая позволяет мгновенно переносить объекты из одной точки пространства в другую. Во втором варианте, более прозаичном, просто нужны два разных космических корабля.

В первом варианте, космический корабль стартует с Земли, ускоряется, летит прямолинейно и без ускорения десять лет по своим часам, а затем телепортируется. После телепортации, корабль оказывается в другой точке пространства и продолжает двигаться с той же скоростью и в том же направлении. Пусть перемещение будет мгновенным и корабль не перемещается ни в прошлое, ни в будущее, а остается в том же самом моменте, с его точки зрения, то есть, в его собственной системе отсчета. Дополнительно, потребуем, чтобы точка выхода из телепортации находилась на том же расстоянии от Земли, что и точка входа, но расположена диаметрально противоположно. Тогда, после выхода из телепортации космонавт обнаружит, что он движется с той же скоростью и в том же направлении, но уже не удаляется от Земли, а приближается к ней. Далее, он летит к Земле, тормозит, приземляется и сверяет часы.

Однако телепортация это вещь еще совершенно не исследованная, поэтому можно заменить этот эксперимент другим, аналогичным, но без телепортации. Во втором варианте, космический корабль стартует с Земли, ускоряется, летит прямолинейно и без ускорения десять лет по своим часам. И вот в этот момент времени, в системе отсчета космонавта, в диаметрально противоположной от Земли точке оказывается другой космический корабль. Этот второй корабль находится от Земли на таком же расстоянии, движется в одну с ним сторону и в том же направлении.

Отдельного рассмотрения требует вопрос о том, каким образом, определяется одновременность событий. В первом варианте, что момент входа и момент выхода из телепортации, это один и тот же момент времени. Во втором варианте, что в один и тот же момент времени корабли находились на одинаковом расстоянии от Земли. С точки зрения классической физики, такая постановка вопроса вообще некорректна, ведь в этой теории время имеет только одно направление. А вот в теории относительности одновременность событий зависит от системы отсчета, поэтому этому вопросу следует уделить особое внимание.

Вопрос критерия одновременности событий подробнее будет рассмотрен в следующих главах. А пока я просто покажу, как это может происходить на практике. Если два корабля летят в пространстве в одном направлении и с одинаковой скоростью, они могут обмениваться радиосигналами, либо они оба могут обмениваться сигналами с третьим вспомогательным объектом. Если корабли обмениваются сигналами, то это может быть так, как показано на рисунке 5.

В системе отсчета, к которой относятся оба космических корабля, они неподвижны относительно друг друга, не приближаются и не удаляются. На рисунке вертикальная ось соответствует времени, а горизонтальная - расстоянию между кораблями. В точке C корабль A посылает радиосигнал, который в точке E получает корабль B и посылает ответный сигнал, который достигает корабль A в точке F. Разделив интервал времени пополам, наблюдатель A может определить момент времени G, которую может считать одновременным событию E.

Еще один, более точный, способ определения одновременности связан с использованием третьего объекта, который посылает и принимает радиосигналы. При помощи этого третьего объекта может быть произведена достаточно точная калибровка времени. Для двух космических кораблей, которые движутся с большой скоростью относительно Земли, но неподвижны относительно друг друга, таким источником может быть третий корабль, который неподвижен в их системе отсчета. То есть, этот третий корабль должен лететь с той же скоростью и в том же направлении, что и два первых, относительно Земли. Для упрощения, можно предположить, что и расстояние от каждого из первых двух кораблей до третьего одинаково. Земля, как объект, движущийся со скоростью близкой к скорости света, относительно системы отсчета кораблей, в качестве источника калибровочных импульсов не может быть использован.

Анализируя ответы на свои сообщения, наблюдатель на третьем корабле может с большой точностью определить, что корабли A и B находятся от него на равном расстоянии и неподвижны. Так же, он может определить, что события G и E произошли одновременно. То, что для того, чтобы произвести нужные измерения понадобится несколько десятков лет, это уже следствие больших расстояний.

После выхода из телепортации в первом варианте или синхронизации часов во втором, корабль летит еще десять лет до Земли, снижает свою скорость, приземляется и космонавты сверяют часы. И что же они обнаружат? В сумме, от момента взлета первого корабля с Земли до посадки второго прошло в сумме двадцать лет, а на Земле всего десять. С точки зрения космонавтов время замедленно шло именно на Земле.

Вот как произошедшие события выглядит с точки зрения наблюдателя на Земле.

На этой схеме в точке A космический корабль стартует с Земли, в точке B достигает расчетной скорости и далее, до точки C летит по прямой и без ускорения. С точки зрения космонавта, расстояние BC равно десяти годам. С точки же зрения наблюдателя с Земли это путешествие заняло около двадцати лет. В точках C и D космонавты на разных кораблях синхронизируют свои часы, или корабль телепортируется из точки C в точку D. Хотя, с точки зрения наблюдателя с Земли, событие D произошло еще до старта с Земли первого корабля, а событие C произошло уже после посадки второго корабля на Землю, с точки зрения обоих космонавтов события C и D происходят одновременно. С точки зрения наблюдателя с Земли событие C и D разделяют 40 лет. С точки зрения космонавтов разницы во времени между этими событиями нет. И эту точку зрения мог бы подтвердить независимый наблюдатель, летящий с той же скоростью и в том же направлении, что и оба корабля.

На Земле с момента старта первого корабля до момента посадки второго проходит около десяти лет, отрезок AF. С точки зрения космонавтов, путь BC занял десять лет, событие C и событие D происходят одновременно, а затем, путь DE занимает еще десять лет. Итого, в сумме двадцать лет. Как видите, эксперимент, поставленный космонавтами, показывает, что замедлялось время на планете Земля, а вовсе не на космических кораблях.

Ну что же, пора начинать разбираться с происходящим.

2. Пространство и время

2.1 Геометрия Минковского

Иногда можно услышать утверждение, что пространство-время нашего мира четырехмерно и включает в себя три пространственных измерения и одно временное. Это не вполне верно, действительно, для описания этого пространства-времени нужны, как минимум, четыре переменные, но они не являются независимыми друг от друга. Для того чтобы подчеркнуть этот факт, физики используют слово континуум: пространственно-временной континуум. В пространственно-временном континууме нет того количества степеней свободы, которыми должно обладать полноценное четырехмерное пространство. Это далеко не евклидово четырехмерное пространство, это совсем другая геометрия, которая и четырехмерной на самом деле не является. Одной из моделей такого пространства, которую активно используют в теории относительности, является геометрия математика Германа Минковского, учителя Альберта Эйнштейна.

В геометрии Евклида расстояние между точками определяется по формуле R² = x² + y² и, соответственно, действует правило, открытое согласно легенде Пифагором: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Одна из самых важных фигур в Евклидовой геометрии это окружность, по определению, множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра.

Символ const в математике применяется для обозначения постоянных величин - констант.

В геометрии Минковского для определения расстояния между точками используется другая формула, R² = y² - x².

Соответственно, изменяются правила сложения катетов треугольников, а место окружности занимает гипербола.

Несмотря на внешнее сходство с Евклидовой геометрией, на самом деле, геометрия Минковского в еще большей степени неевклидова, чем неевклидовы геометрии открытые Лобачевским и Риманом. Об этих геометриях мы еще поговорим.

Когда мы используем декартовы координаты, возникает иллюзия, что эти геометрии похожи. А вот если перейти в радиальные координаты, то есть в координаты, в которых верно отображаются расстояния от центра до любой из точек пространства, картинка станет совсем другой. При таком способе изображения искажаются многие другие вещи, но становится отчасти понятно, насколько это геометрия отличается от евклидовой геометрии. Подобные искажения неизбежны, когда мы хотим на евклидовой плоскости изобразить неевклидову геометрию.

Первое отличие, на которое я предлагаю обратить внимание, заключается в том, что в радиальной системе координат прямой отрезок AB, изображенный, кстати, и на предыдущем рисунке, выглядит как кривая линия, на пределе стремящаяся к точке O. Следует отметить, что в данном представлении, не искажаются по форме и размерам только прямые линии, которые проходят через точку O. Все остальные линии будут выглядеть искаженными.

Представление геометрии Минковского в декартовых координатах на евклидовой плоскости тоже невозможно без искажений. Но, в этом случае, прямые линии выглядят как прямые, и только искажается длина прямых линий, проходящих под углом к оси y.

В радиальной системе координат, линия, которая является гиперболой в евклидовой геометрии и выглядит как гипербола в декартовых координатах, совершенно точно показана как дуга окружности. На схеме совершенно точно отображается тот факт, что расстояние от точки O до любой из точек этой окружности, равно постоянной величине. Вот только в геометрии Минковского свойства этой окружности отличаются от свойств окружности в евклидовой геометрии. Во-первых, эта окружность разбита на два не связанных между собой участка CD и EF. К тому же, длина каждого из этих участков стремится к бесконечности.

Еще одно отличие геометрии Минковского от евклидовой геометрии в том, что здесь расстояние между двумя различными точками может быть действительным положительным числом, может быть равно нулю, и может быть мнимым положительным числом.

Вернемся к декартовой системе координат.

На схеме на рисунке 11 расстояние от точки O, с координатами (0; 0) до точки A с координатами (x_A; y_A) может быть найдено по формуле:

R_OA² = (y_A - y₀)² - (x_A - x₀)².

Поскольку эта точка лежит на оси y, то ее координата xA равна нулю, следовательно:

R_OA² = (y_A - y₀)² - (x_A - x₀)² = (y_A - 0)² - (0 - 0)² = y_A²

Поскольку, координаты в геометрии Минковского задаются действительными числами (положительными, отрицательными и нулем), то значение расстояния между точкой O и точкой A будет целым положительным числом.

А вот расстояние между точками A (x_A; y_A) и B (x_B; y_B), для которых y_A = y_B, будет равно:

R_AB² = (y_B - y_A)² - (x_B - x_A)² = 0² - (x_B - 0)² = - x_B².

Здесь квадрат целого числа x_B² - положительное число, но оно умножено на минус единицу, следовательно, квадрат числа RAB2 будет числом отрицательным, а расстояние может быть только мнимым числом.

В качестве краткой справки.

Из школьного курса математики можно узнать, что если любое действительное число умножить само на себя, то в результате получится положительное действительное число или ноль. То есть, если b = a², где: a € R, b € R, то b ≥ 0. Здесь символом R обозначено множество действительных (или вещественных) чисел.

При решении ряда уравнений математикам приходилось сталкиваться со случаями, когда квадрат действительного числа оказывался равным отрицательной величине. Для таких случаев были придуманы мнимые числа, их отличительной особенностью является то, что квадрат такого числа равен отрицательному действительному числу. Обычно мнимые числа обозначаются при помощи множителя i, который называется мнимой единицей.

То есть, если b = (ia)², где: a € R, b € R, то b ≤ 0. Принадлежность к множеству мнимых чисел обычно обозначается так: ia € I. Для операций с мнимой единицей следует знать следующие тождества: i² = -1, 1 / i = - i, (ia)² = - a².

В ряде уравнений встречаются числа, которые являются суммой числа действительного и числа мнимого. Такие числа называют комплексными, и они широко используются в теории электротехники и радиосвязи. Используются комплексные числа и в теории относительности. Вот один из видов представления комплексного числа, которая называется алгебраической формой: z = a + ib. Если z = a + ib, a € R, ib € I, то: z € C.

Для решения квадратных уравнений при помощи комплексных чисел, могут быть полезны следующие тождества: (a+ib)² = a² + 2iab - b², a² + b² = (a + ib)(a - ib).

В восемнадцатом веке стала использоваться тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r(cos φ + i sin φ). Для решения уравнений с комплексными числами в тригонометрической форме может быть полезна формула Муавра:

zⁿ = [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ).

Существует еще одна форма записи комплексного числа, которая называется показательной: z = re^iφ, где e - основание натурального логарифма e ≈ 2,718.

Еще одной особенностью геометрии Минковского является существование пар различных точек, расстояние между которыми равно нулю. Вот, например координатная ось x, проходящая через точку O, и параллельная ей прямая проходящая через точки A и B, это, несомненно, две разные прямые. Лежащие на этих прямых точки, это разные точки. Тем не менее, расстояние между точками O и B равно нулю.

Для точек O и B, поскольку, y_A - y₀ = x_A - x₀, расстояние будет равно нулю:

R_OA² = (y_A - y₀)² - (x_A - x₀)² = 0.

Расстояние от точки O до точек расположенных ближе к оси t y чем штрихпунктирная линия, как, например, до точки C (рис. 11), будет целым положительным числом. Расстояние от точки O до точек расположенных ближе к оси x будет мнимым положительным числом. Расстояние от точки O до любой из точек, расположенных на штрихпунктирной линии, равно нулю.

Геометрия Минковского имеет еще целый ряд особенностей, но они будут рассмотрены в рамках теории относительности.

2.2 Системы координат и системы отсчета

Прежде чем перейти к вопросу самой теории относительности, я хочу определить различие между понятиями система отсчета и система координат.

Система координат включает в себя понятие о начале координат, координатных осях и единицах измерения расстояния и времени. Конечно, это еще не все. Существуют разные типы координатных систем, прямоугольные декартовы, непрямоугольные, сферические, цилиндрические. Но это уже детали, как и способы измерения времени, расстояний и скоростей.

Одной системе отсчета может соответствовать бесконечное число различных систем координат. Объекты, которые движутся в одном направлении и с одинаковой скоростью, то есть, которые неподвижны в пространстве относительно друг друга, принадлежат к одной системе отсчета. Различные наблюдатели, которые находятся в разных точках пространства, но принадлежат к одной системе отсчета, могут использовать разные системы координат. Различные наблюдатели могут принимать за начало координат различные события, события, которые расположены в разных моментах времени и в разных точках пространства. Различные наблюдатели могут различным образом располагать направления в пространстве, которые они принимают за координатные оси. Они могут применять различные единицы измерения времени и расстояний в пространстве. Объединяет все системы координат, принадлежащих к одной системе отсчета то, что координатные оси времени у них всех параллельны.

Для того чтобы перейти в другую систему отсчета, достаточно изменить скорость или направление движения. Объекты, которые движутся в разных направлениях и с разными скоростями, то есть движутся относительно друг друга, принадлежат к различным системам отсчета. Наблюдатели, которые принадлежат к различным системам отсчета, различным образом располагают оси времени. Оси времени, которые принадлежат к различным системам отсчета, располагаются под углом друг к другу. Кроме того, наблюдатели, которые принадлежат к разным системам отсчета, различным образом определяют одновременность событий, пространственные и временные промежутки между различными событиями.

2.3 Интервал

Теория относительности возникла не на пустом месте, а была основана на работах ряда исследователей, которые Эйнштейн гениально скомпилировал. В числе этих источников следует отметить преобразования Лоренца, упомянутую выше геометрию Минковского и принципы относительности Галилео Галилея. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что он распространил принципы относительности Галилея на явления, связанные с распространением света, использовал при этом геометрию Минковского и преобразования Лоренца.

В том варианте геометрии Минковского, который использован в теории относительности, точки в пространстве-времени называются событиями, учитывая, что все события происходят не только в пространстве, но и в определенный момент времени. Так что в теории относительности, полет космического корабля, это линия соединяющая событие A и событие B. Для определения расстояния между событиями в пространственно-временном континууме используется величина, которая называется интервал. Формула для определения интервала между двумя событиями A и B такова:

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - c² · (t_B - t_A)² ,

где с - величина скорости света. Коэффициент с² нужен для того, чтобы перевести размерность квадрата времени в размерность квадрата расстояния.

Учитывая, что расстояние в трехмерном евклидовом пространстве вычисляется как:

r_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² ,

то, величина интервала равна:

I_AB² = r_AB² - c² · (t_B - t_A)² = r_AB² - c² · t_AB².

То есть, величина интервала между двумя событиями в теории относительности определяется по тем же правилам, что и расстояние между точками в геометрии Минковского.

Разберемся в том, какой физический смысл имеет эта величина. Если два события произошли одновременно, то есть, t_B - t_A = 0, то величина интервала равна расстоянию между двумя событиями в пространстве:

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - 0 = r².

Сформулируем этот вывод в виде определения: если величина интервала является действительным положительным числом, то он равен расстоянию между событиями в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно.

В том случае, когда интервал является положительным мнимым числом, то его можно определить иначе. Если два события произошли в одной и той же точке пространства, но в разное время, то:

I_AB² = 0 - c² · (t_B - t_A)² = c² · t_AB².

Следовательно, в этом случае интервал можно определить так: если величина интервала является мнимым положительным числом, то он по абсолютной величине равен расстоянию, которое пройдет свет за время, разделяющее два события в той системе отсчета, в которой они произошли в одной точке пространства, но в разное время.

В теории относительности часто называют величину интервала инвариантом, то есть, на обычном языке, величиной, которая остается постоянной в любой системе отсчета. Физический смысл этого инварианта таков. Вы сидите на поверхности астероида и измеряете линейкой расстояние между двумя точками. Результат ваших измерений никак не должен зависеть от того, с какой скоростью и в каком направлении пролетают мимо вас космические корабли. А формула для нахождения интервала

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - c² · (t_B - t_A)² ,

это просто способ пересчета этого расстояния из другой системы отсчета.

Если два события A и B расположены так в пространственно-временном континууме, что свет, испущенный в событии A, приходит в некоторое событие B, то интервал между этими событиями равен нулю. На рисунке 12 множество событий, интервал между которыми и некоторой точкой O равен нулю, условно обозначен в виде конуса. Он так и называется в теории относительности - световой конус. Это изображение условно, потому, что на самом деле поверхность светового конуса, который окружает область, показанную серым цветом, это не окружность, а поверхность сферы.

Световой конус, построенный от некоторой точки O, делит пространственно-временной континуум на три отдельные области. Выше точки O внутри светового конуса расположено множество событий, которое называется областью абсолютного будущего по отношению к событию O. Ниже точки O внутри светового конуса расположено множество событий, которое называется абсолютным прошлым по отношению к событию O. Множество событий, которое расположено вне светового конуса называется пространственной областью, по отношению к событию O.

Очень важный факт, которому в учебниках по теории относительности не всегда уделяют достаточного внимания, состоит в том, что при переходе в любую другую систему отсчета события, относящиеся к пространственной области, сместятся, но останутся в пространственной области. События, относящиеся к области абсолютного будущего, при переходе в любую другую систему отсчета сместятся, но останутся в области абсолютного будущего. События, относящиеся к области абсолютного прошлого, при переходе в любую другую систему отсчета, сместятся, но останутся в области абсолютного прошлого. События расположенные на поверхности светового конуса, относительно события O, при переходе в любую другую систему отсчета останутся на поверхности светового конуса.

Интервал между событием O и любым событием, расположенным на поверхности светового конуса равен нулю. А это означает две вещи, согласно данным выше определениям интервала. Первая состоит в том, что для наблюдателя движущегося со скоростью света расстояние между событием O и событием, расположенным на световом конусе, стремится к нулю. Вторая состоит в том, что для наблюдателя движущегося со скоростью света время, которое потребуется для преодоления расстояния между событием O и событием, расположенным на поверхности светового конуса, должно стремиться к нулю.

Конечно, с точки зрения квантовой физики, временной промежуток и пространственный промежуток не могут быть одновременно определены как равные нулю, согласно принципу неопределенности Гейзенберга. Так что, можно рассматривать модели, в которых интервал между точкой O и событием, расположенным на поверхности светового конуса, равен не нулю, а очень малой комплексной величине. В этой комплексной величине мнимая часть соответствовала бы временной составляющей, а действительная - пространственной. Но это, хотя и позволяет устранить эффект "короткого замыкания" между разными событиями, уже выходит за рамки классической теории относительности.

2.4 Причина и следствие

Термины абсолютное прошлое, абсолютное будущее и пространственная область, напрямую связанны с возможностью причинно-следственных связей между событиями. Так, любое событие, расположенное, а области абсолютного прошлого, по отношению к событию O, потенциально может быть причиной того, что событие O произошло. Например, это может быть событие, в котором некий электрон столкнулся с атомом, затем атом перешел в возбужденное состояние, а потом испустил квант света, который достиг точки O. В любом случае, наблюдатель в точке O потенциально может иметь информацию о событиях, произошедших в области абсолютного прошлого и на поверхности светового конуса, окружающую область абсолютного прошлого.

По крайней мере, все события, которые повлияли на событие O, должны были находиться в области абсолютного прошлого. В то же время, событие O никак не может быть причинной процессов и событий, происходящих в области абсолютного прошлого.

Событие O потенциально может быть причинной событий, расположенных в области абсолютного будущего. По крайней мере, все события, причинной которых станет событие O, должны располагаться в области абсолютного будущего. Любое сообщение, посланное из точки O, станет известно только в области абсолютного будущего относительно события O.

На рисунке 13 в схематической форме показано, как могут быть связаны между собой причинно-следственными связями ряд событий. Событие A вызывает событие B, которое, в свою очередь является причиной события O. Таким образом, событие B является непосредственной причиной события O, а событие А является непосредственной причиной события B и косвенной причиной события O. Но при любом раскладе, события A и B должны быть расположены в абсолютном прошлом, по отношению к точке O.

Событие O тоже может быть причиной еще ряда событий, например события C и D. Оба эти события обязательно должны располагаться в области абсолютного будущего, по отношению к событию O.

Любые события, которые расположены в пространственной области относительно друг друга, как события O и B на рисунке 14, не могут быть причинной или следствием друг друга. Никакая информация из точки O не может попасть в точку B, и никакая информация из точки B не может попасть в точку O.

Перемещение со скоростью, превышающей скорость света, было бы нарушением этого принципа. Можно показать, что для любого перемещения со скоростью превышающей скорость света можно подобрать такую систему отсчета, в которой это движение будет являться перемещением из будущего в прошлое. И если придерживаться одного из основных принципов теории относительности о том, что все инерциальные системы равноправны, то совмещая переходы из одной системы в другую и движение со скоростью превышающей скорость света, можно организовать движение из будущего в прошлое. Однако еще раз хочу отметить, что, согласно теории относительности, такое невозможно.

Несмотря на то, что события O и B не могут являться причиной или следствием друг для друга, они могут иметь некоторую общую причину в области абсолютного прошлого для обоих этих событий. На рисунке 14 эта область, в которой расположена точка A и которая показана серым цветом. События O и B могут также иметь общее следствие, точки C и D, расположенные в области абсолютного будущего для событий O и B. На рисунке 14 эта область показана серым цветом и в ней расположены события C и D.

2.5 Мнимое и действительное

Давайте поговорим о том, что считать мнимым и что считать действительным. Предположим, что вам предлагается выбрать, как назвать две линии. Одну из них вы можете провести карандашом по бумаге, с ней понятно, взяли линейку, карандаш и провели. А вот вторая линия является бесконечной последовательностью точек, которые никак не связанны друг с другом, и разбросаны по определенному алгоритму в пространстве. Какие бы инструменты вы ни применяли, технически провести такую линию вы не сможете, хотя в математике есть подобные функции. И вот теперь, ответьте на вопрос, какую из этих двух линий вы назовете действительной, а какую мнимой?

Я бы назвал действительной ту, которую физически можно провести, а мнимой, или воображаемой, ту, которая может быть проведена только теоретически.

А вот теперь давайте вернемся к теории относительности. Я уже приводил формулу, при помощи которой находится расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве:

r_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² ,

У этой формулы есть более короткая форма записи. Например, можно обозначить координаты точки A и точки B вот так:

x_A = a₁, y_A = a₂, z_A = a₃

и

x_B = b₁, y_B = b₂, z_B = b₃.

После этого формулу можно записать вот так:

r_AB² = (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)².

Но математики таких длинных записей не любят, скорее они запишут эту формулу вот так:

Этот символ в школе не изучают, а я обещал, что школьных знаний будет достаточно, поэтому объясняю его. Эта формула означает, что мы хотим суммировать (∑ - сигма, символ суммирования) три слагаемых (от j=1 до 3) которые отличаются только своими индексами j. В данном случае, первое из слагаемых будет равно (b_j - a_j)², где: j = 1; второе из слагаемых будет равно (b_j - a_j)², где: j = 2; третье из слагаемых будет равно (b_j - a_j)², где: j = 3.

В теории относительности часто используют тензорное исчисление, в котором символы сигма должны были бы появляться много раз в каждой формуле, поэтому, математики договорились их вообще не использовать, просто подразумевая, что они есть. В такой записи формула определения расстояния будет выглядеть еще проще:

r_AB² = (b_j - a_j)², где: j = 1..3.

И всем математикам понятно, что в этой формуле нужно не просто найти квадрат разности двух чисел, а суммировать три слагаемых, каждое из которых является квадратом разности двух чисел.

Подобная сокращенная запись применяется и в отношении формулы интервала:

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - c² · (t_B - t_A)².

Вот только для того, чтобы сократить запись, в данную формулу требуется тоже внести ряд изменений. Во-первых, перед четвертым слагаемым должен быть знак плюс, а не минус. Это можно сделать, если выразить время через мнимую единицу, вот так:

-c² · (t_B - t_A)² = (ict_B - ict_A)² = (ict_AB)²,

где: с - скорость света, а i - мнимая единица. Это вполне согласуется с тем, что промежутки времени в формуле интервала оказываются равными мнимым числам, как это было отмечено выше.

Во-вторых, координаты точек запишем так же, как это делали в формуле для определения расстояния в евклидовом пространстве:

x_A = a₁, y_A = a₂, z_A = a₃, ict_A = a₄,

и

x_B = b₁, y_B = b₂, z_B = b₃, ict_B = b₄ .

Тогда формулу интервала можно записать так:

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - c² · (t_B - t_A)² =

= (b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)² + (b₃ - a₃)² + (b₄ - a₄)².

Следует только помнить, что величины пространственных координат (b₁, a₁, b₂, a₂, b₃,и a₃) выражаются действительными числами, а координаты соответствующие моментам времени (b₄ и a₄) выражены мнимыми числами.

При такой форме записи можно использовать и сокращенные формы записи этой формулы: или в тензорной форме:

I_AB² = (b_j - a_j)², где: j = 1..4.

Можно относиться к этим формулам, как к абстрактным символам, но за ними стоит определенная философия, определенная форма восприятия мира. И в той форме восприятия окружающей реальности, которую диктует нам теория относительности в своем классическом изложении, пространство отображается действительными величинами, а время мнимыми величинами. И в этом есть определенный смысл, пространство представляется вполне материальным и видимым, а время представляется некой вечно ускользающей фикцией, которая служит лишь мерой изменчивости окружающей нас реальности. Но такой подход к восприятию реальности это тоже предрассудок, доставшийся в наследство от классической физики.

То, что мы привыкли воспринимать как окружающее нас пространство, на самом деле является смесью пространства и времени. Уже просто потому, что любое восприятие, это процесс, который требует определенного времени. Человек не может воспринимать пространство, отделенное от времени. Но у людей есть воображение, и они могут себе представить себе пространство, лишенное времени. Обычно люди представляют себе такое пространство как застывшую трехмерную картинку. Раз! Все остановилось, и наблюдатель ходит и рассматривает застывшие в пространстве фигуры.

На самом деле, все совершенно не так. Есть ограничения связанные с законами причинности в пространственно-временном континууме. Когда мы представляем себе пространство, остановленное в определенный момент времени, то должны понимать, что оно лишено не только движения, но и причинно-следственных связей между любыми расположенными в нем объектами.

В остановленном в определенный момент времени пространстве мы не можем послать сигнал из одной точки пространства, а другую. И не просто потому, что для этого требуется сигнал, движущийся быстрее скорости света, а потому, что в таком пространстве нарушаются все физические связи между отдельными его точками. Это не свойство среды, которая не пропускает сигнал со скоростью выше скорости света, речь идет о нарушении топологической связи между точками пространства.

В трехмерном евклидовом пространстве можно нарисовать линию и на этой линии соседние точки будут связаны между собой. Остановленное физическое пространство будет очень похоже на евклидово трехмерное пространство, но оно топологически будет состоять из бесконечного множества не связанных между собой точек. В таком пространстве провести линию из одной точки в другую невозможно. Но, тем не менее, в таком пространстве можно найти множество точек, которые не будут между собой связаны, но, тем не менее, они могут быть отображены на евклидово пространство, как действительная линия. И при их отображении на действительное евклидово пространство, они превратятся в действительную линию, в связанную последовательность точек.

Есть лишь один способ вдохнуть в остановленное пространство жизнь и связать его точки между собой - добавить к нему время. Только в присутствии времени, отдельные точки пространственного сечения пространственно-временного континуума оказываются топологически связаны между собой, и между ними можно будет провести линию. Более того, для того, чтобы провести линию между двумя событиями в пространственно-временном континууме движение в пространстве совсем не обязательно. Нужно только время, а точка в пространстве может быть неподвижна.

И получается, что в математическом аппарате теории относительности действительными считаются линии, которые физически невозможно провести. В то же время линии, которые соответствуют движению физических частиц, считаются мнимыми.

В результате такого подхода возникает иллюзия, что ограничения в скорости движения света, это свойство самого света или эффект взаимодействия света с пространственно-временным континуумом. И еще, в результате этого подхода возникает иллюзия того, что для достижения сверхсветовых скоростей требуются всего лишь особые частицы - тахионы. Тот факт, что любое сечение пространственно-временного континуума, при котором точки попадают в пространственную область по отношению друг к другу, является множеством топологически не связанных между собой точек, обычно игнорируется.

В этой работе описываются эффекты теория относительности, такие, как например, эффект близнецов. Если человечество решит стоящие перед ним проблемы, социальные, экономические, политические и много других, то, через сотню другую лет, проблема путешествий к другим звездам станет не теорией, а реальной, стоящей перед человечеством задачей. Но я не верю, что подобное путешествие будет происходить так, как это описано в парадоксе близнецов. Путешествие, даже к ближайшим звездам, по этому сценарию должно происходить в течение десятков лет. И такой полет, по своей сложности и опасностям будет подобен попытке переплыть Тихий Океан по экватору на байдарке. Кроме того, за те годы, которые космонавты проведут в полете, возникнет множество новых научных теорий и технологий.

Я думаю, что раньше, чем человечество будет способно на такой подвиг, будут открыты другие способы движения в пространстве, в том числе, связанные с изменением свойств самого пространства и движение будет происходить со скоростями во много раз превышающими скорость света. А для этого необходимо, как минимум, вначале точно сформулировать стоящие задачи. В том числе осознать тот факт, что при попытке движения со скоростью выше скорости света, согласно основам теории относительности, само пространство перестает быть топологически связанным. Тогда задача движения со скоростью быстрее скорости света превращается в задачу о том, как сделать отдельные точки пространства связанными между собой при таком движении.

2.6 Топология времени

Приняв промежутки времени за действительные величины, а промежутки пространственные за величины мнимые, мы получает топологию, которая значительно отличается от евклидовой геометрии. В этой топологии через некоторую точку пространства можно провести бесконечное количество действительных прямых линий - направлений, в которых могут двигаться физические частицы. Когда вдоль одной из таких прямых линий в пространственно-временном континууме движется наблюдатель, в его системе отсчета эта линия является направлением оси времени. Для наблюдателя в другой системе отсчета это направление будет другим.

На рисунке 15 изображен пучок действительных прямых, проходящих через точку O. Это направления, в которых могут двигаться частицы.

Каждому направлению времени будет соответствовать определенная система представлений о событиях происходящих одновременно - пространственное сечение. Любое пространственное сечение в этой топологии является мнимым трехмерным пространством. На рисунке 16 одной из осей времени t, проходящей через событие O, соответствует пространственное сечение XYZ.

По сути, это пространственное сечение является множеством всех событий, которые происходят одновременно с событием O, с точки зрения наблюдателя, движущегося в пространственно-временном континууме по или параллельно оси t. Наблюдатели, движущиеся в других направлениях в пространственно-временном континууме, построят множество событий, одновременных с событием O, совершенно иначе, пространственное сечение будет совсем иным.

Ни одна пара точек, входящих в пространственное сечение, не может быть связанна между собой сигналами, не могут быть причинной или следствием друг для друга, и вообще эти точки не связаны ни физически, ни топологически. Еще раз подчеркиваю, любое пространственное сечение в пространственно-временном континууме, это бесконечное множество топологически не связанных между собой событий-точек. Если начать двигать пространственное сечение во времени, то можно обнаружить, что многие из событий расположены очень близко друг к другу и взаимодействуют между собой. Но это только в присутствии времени.

Раз за основу топологии взяты оси времени, то и расстояния между событиями придется измерять в единицах времени. Для этого, вместо пространственного интервала

I_AB² = (x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)² - c² · (t_B - t_A)².

будем использовать интервал времени:

Легко заметить, что интервал времени и пространственный интервал, который широко используется в теории относительности, связанны соотношением:

По абсолютной величине, по модулю, эти две величины отличаются только коэффициентом с - постоянной скорости света, однако, когда пространственный интервал равен целому положительному числу, интервал времени является положительным мнимым числом, а когда пространственный интервал является положительным мнимым числом, интервал времени будет целым положительным числом.

Физический смысл интервала времени между событиями A и B таков. Если интервал времени это целое положительное число, то он равен времени, которое потребуется некоторому объекту для того, чтобы переместится из события A в событие B, двигаясь прямолинейно и без ускорения, по часам самого этого движущегося объекта.

Если интервал времени это мнимое положительное число, то по абсолютной величине он равен времени, которое потребуется кванту света для того, чтобы преодолеть расстояние в пространстве между событиями A и B, в той системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно.

Вот, например, на рисунке 17 изображена система отсчета наблюдателя, который движется из события B в событие C. Для этого наблюдателя события B и C происходят в одной и той же точки пространства, но в разные моменты времени. И еще, в его системе отсчета события A и B происходят одновременно. Для него интервал времени между точками B и C равен времени, по его собственным часам, между событиями B и C.

Разница во времени между событиями A и B, которые произошли одновременно в данной системе отсчета, будет равна нулю. Интервал времени между событиями A и B будет равен мнимой величине, которая по абсолютному значению равна времени, за которое свет преодолеет расстояние между точками A и B. Не путайте термины разница во времени и интервал времени, это разные вещи. При этом квант света физически не может переместиться между событиями A и B, и перемещается между событиями A и C. В выбранной системе отсчета это будет выглядеть как перемещение из точки A в точку B, но переместившуюся во времени.

Естественно, интервал времени между событием "космонавт пролетает мимо звезды альфа" и событием "тот же самый космонавт пролетает мимо звезды бета", будет равен разнице во времени по часам самого космонавта. Для наблюдателя с Земли разница во времени между этими двумя событиями будет равна совсем другой величине.

3. Основы топологии времени

3.1 Аналог сферы в топологии времени

Предположим, что в некоторый момент времени из события O вылетает множество частиц, летящих с разными скоростями и в разных направлениях. Пусть также, пролетев определенное время по своим часам, эти частицы излучают квант света.

Согласно классической физике, в которое время течет во всей вселенной одинаково, все частицы должны послать фотон совершенно одновременно, для любого из наблюдателей. В теории относительности, излучение фотонов частицами должно будет происходить в разные моменты времени. И для любого из наблюдателей, в любой из систем отсчета, то есть, движущегося в любом направлении и с любой скоростью, происходящее будет выглядеть так, как это изображено на рисунке 18.

Множество событий S в пространственно-временном континууме соответствуют моментам времени и положению в пространстве частиц, когда они испускали квант света в приведенном выше примере. Фигура, которую это множество образует в прямоугольных декартовых координатах, называется гиперболоидом. Конечно, нужно понимать, что на схеме эта фигура изображена упрощенно, только в координатах x, y и t. В таком виде она выглядит как расширяющаяся во времени окружность. Если эту фигуру изобразить полностью, в координатах x, y, z и t, то она будет выглядеть как расширяющаяся во времени сфера. Но такое изображение сложно для восприятия.

В показанной на рисунке системе отсчета раньше всех пошлет сигнал та частица, которая в этой системе отсчета неподвижна, а движущиеся частицы подадут свои сигналы позже. Однако то же самое можно сказать и про любую другую систему отсчета. Даже наблюдатель, который будет двигаться со скоростью близкой к скорости света в первой системе отсчета, например, вдоль оси t', будет видеть точно такую же картинку. Но при этом форма и размеры поверхности S не изменятся (рис. 19).

Вся разница только в том, что по центру вместо оси t во второй системе отсчета расположится ось t', а угол φ между осями останется прежним. Да еще пространственные оси x, y и z будут заменены на другие: x', y' и z'.

Список удивительных особенностей данной поверхности на этом далеко не исчерпывается. Стоит только упомянуть хотя бы некоторые из них. Например, то, что если мы перейдем в радиальные координаты, как делали выше в геометрии Минковского, окажется, что множество событий S это часть сферы, центром которой является событие O (рис. 20).

На этом рисунке видно, что множество S это часть сферы. Правда эта сфера сильно отличается от сферы в евклидовом пространстве. Какое пространство, такая и сфера. Дуга от края до края показанной части сферы S имеет бесконечную длину и, кроме этого имеет мнимую величину.

Если же нас заинтересует внутренняя топология этого множества точек, то окажется, что это пространство с отрицательной кривизной с радиусом T. Почти что, то самое неевклидово пространство, которое было открыто Лобачевским. Пространство, в котором сумма углов треугольника меньше 2π. В евклидовом пространстве свойствами, подобными этому пространству, обладает фигура, которую принято называть седловина (рис. 21). От пространства открытого Лобачевским это пространство отличается тем, что в данном пространстве все линии мнимые. И это еще не все, а только самые очевидные необычные свойства этой "сферы".

Однако давайте вернемся к тому фейерверку, который мы устроили. После того, как первые из частиц, двигающихся из события O, испустят фотоны, сфера начнет очень быстро расширяться. Очень быстро, это означает, что в самом начале эта скорость бесконечно велика, затем в тысячи, в сотни и в десятки раз больше скорости света. Постепенно эта скорость уменьшается, стремясь к скорости света, но всегда оставаясь больше скорости света.

Подобное явление не противоречит теории относительности, ведь быстрее скорости света движется не физический объект, а волна, причем вызванная событием в точке O. Никакая пара событий, расположенных на поверхности S, не может быть связана между собой физически или топологически, никакая из пар этих событий не может быть причинной или следствием друг для друга.

Уместна аналогия с другим явлением. Если вы посветите мощным лазером или радиолучом на расположенное далеко в космосе пылевое облако, то небольшой поворот этого луча вызовет движение "зайчика" со скоростью в сотни раз превышающее скорость света. Но это не означает, что некоторое сообщение может перемещаться из одной освещенной "зайчиком" области в другую со скоростью выше скорости света. Это лишь означает, что сигнал с Земли может одновременно достигать различных удаленных друг от друга областей.

3.2 Гиперболическая тригонометрия

Ниже приводятся справочные данные. Для чтения они не обязательны, но могут быть полезны для понимания дальнейшего материала.

Если вы еще помните школьную геометрию и функции синус и косинус, ничего сложного для вас здесь не будет. Такие функции как гиперболический синус (sh φ) и гиперболический косинус (ch φ) во многом похожи на гармонические функции синус (sin φ) и косинус (cos φ). Для примера можно привести два тождества

cos²φ + sin²φ = 1 и ch²φ - sh²φ = 1,

a также, определения этих функций:

sin φ = (e^iφ - e^-iφ) / 2i

cos φ = (e^iφ + e^-iφ) / 2i

и

sh φ = (e^φ - e^-φ) / 2

ch φ = (e^φ + e^-φ) / 2.

Видите, на самом деле, гиперболические функции даже проще функций синус и косинус, которые изучаются в школе. При вычислении гиперболических функций не нужно возводить основание натурального алгоритма в степень мнимого числа, а затем результат делить на мнимую единицу. Все действия производятся только с действительными числами.

Но конечно, если вы захотите пользоваться этими функциями, лучше всего приобрести инженерный калькулятор, или скачать из интернета на компьютер программу калькулятор, на котором они есть.

Точно так же, как для функций синус и косинус определены их отношения тангенс и котангенс:

tg φ = sin φ / cos φ

и

ctg φ = cos φ / sin φ,

для гиперболических функций определены их отношения гиперболический тангенс и гиперболический котангенс:

th φ = sh φ / ch φ

и

cth φ = ch φ / sh φ.

Графически гиперболические и гармонические функции конечно различаются. Если функции синус и косинус периодические (рис. 22), то гиперболический синус и гиперболический косинус функции не периодические и выглядят совсем иначе (рис. 23).

Функции синус и гиперболический синус в математике называются нечетными, для них характерна центральная симметрия относительно начала отсчета координат и верны тождества:

sin (-φ) = - sin φ

и

sh (-φ) = - sh φ.

Функции косинус и гиперболический косинус в математике называются четными, для них характерна симметрия относительно оси f(φ) и верны тождества:

cos φ = cos (-φ)

и

ch φ = ch (-φ).

Иногда бывают полезны формулы перевода функций гармонических в функции гиперболические и обратно:

cos (iφ) = ch φ

ch (iφ) = cos φ

sin (iφ) = i sh φ

sh (iφ) = i sin φ

sh φ = -i sin (iφ)

sin φ = -i sh (iφ)

tg (iφ) = i th φ

th (iφ) = i tg φ

th φ = -i tg (iφ)

tg φ = -i th (iφ).

Здесь i, естественно, мнимая единица.

Для нахождения функции суммы аргументов, можно использовать следующие тождества:

sin (φ + θ) = sin φ cos θ + cos φ sin θ;

sh (φ + θ) = sh φ ch θ + ch φ sh θ;

cos (φ + θ) = cos φ cos θ - sin φ sin θ;

ch (φ + θ) = ch φ ch θ + sh φ sh θ;

Для нахождения производных используются следующие соотношения:

При малых значениях аргументов (φ ≈ 0, |φ| << 1) возможны подстановки (при условии, что аргумент выражен в радианах):

sin φ ≈ φ

cos φ ≈ 1 - φ²/2;

tg φ ≈ φ

sh φ ≈ φ

ch φ ≈ 1 + φ²/2;

th φ ≈ φ.

3.3 Измерение углов в евклидовой геометрии

В евклидовой геометрии есть несколько способов измерения углов. Один из них заключается в том, что вся окружность разбивается на 360 одинаковых частей - градусов. Вершина угла, величину которого необходимо измерить, совмещается с центром окружности, и определяют, сколько 360-х долей окружности - градусов попадает в створ угла.

После Великой Французской революции, когда казнили королей и разрушали тюрьмы, было модно менять все на новое. Меняли названия месяцев, вводили новые стандарты измерения физических величин. Некоторые из этих новых веяний прижились, мы до сих пор пользуемся принятым в те годы стандартными метром и килограммом. Тогда же было предложено делить окружность не на 360 частей, а на 400, то есть, было предложено прямой угол делить на 100 частей - привести измерение углов к десятичной системе исчисления. Одной четырехсотой длины окружности дали название град, но широкого распространения эта система измерения углов не получила.

В астрономии используется способ измерения углов связанный с принятой системой измерения времени. В этой системе окружность делится на 24 часа, каждый час на 60 минут, минута на 60 секунд. Но эту систему измерения углов никто кроме астрономов и штурманов не использует.

Еще один способ измерения углов широко используется математиками. В этой системе, для измерения угла, вокруг его вершины проводят окружность произвольного радиуса, измеряют длину дуги L, попавшей в створ угла, и находят отношение этой длины дуги к радиусу окружности R (рис. 23). Полученное таким образом значение φ = L/R называется величиной угла AOB в радианах.

Величину угла можно рассчитать, зная проекции его сторон на координатные оси. Для этого, вначале нужно построить координатные оси, например прямоугольную систему координат. Построить такую систему координат в евклидовой геометрии вполне можно не используя ни один из описанных выше способов, используя только циркуль и линейку. Древние греки для этого вместо линейки вообще использовали натянутую веревку.

Один из способов такого построения изображен на рисунке 25.

Технология этого построения такова. Вначале у нас есть некоторая прямая a и точка O, расположенная на этой прямой. Прямую a мы хотим использовать в качестве координатной оси, а точку O в качестве начала координат. Используя циркуль, отмечаем на прямой a точки A и B, лежащие на одинаковом расстоянии от точки O. Затем, увеличив радиус циркуля, проводим две дуги с центрами в точках A и B, так, чтобы эти дуги пересеклись в двух точках C и D. Проводим через точки C и D прямую b которая будет второй координатной осью, расположенной под прямым углом к первой координатной оси. Проверкой точности построений может служить то, что точка O должна оказаться на прямой b.

Имея прямоугольную систему координат можно рассчитать угол между координатной осью и любой другой прямой, используя формулы зависимости отношений катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника от величины его углов. Чтобы не слишком усложнять материал, предположим, что одна из сторон угла совмещена с координатной осью x, а вершина угла совмещена с началом отсчета O (рис. 25).

Тогда, измерив расстояние от точки O до произвольной точки A, лежащей на другой стороне угла, опустив проекции из точки A на координатные оси: OB - проекцию отрезка OA на ось х, и OC - проекцию отрезка OA на ось y, а затем, найдя величины этих проекций, можно вычислить значение угла по любой из формул:

cos φ = |CA|/|OA|; => φ = arccos( |CA|/|OA|)

sin φ = |AB|/OA|; => φ = arcsin( |AB|/|OA|)

tg φ = |AB|/|CA||; => φ = arctg( |AB|/|CA|).

3.4 Измерение углов в пространственно-временном сечении

Рассмотренные выше соотношения верны для евклидового пространства, а в геометрии Минковского действуют совсем другие соотношения. Начать можно с того, что измерять углы ни в градусах, ни в градах, ни в единицах времени не получится. Причина этого в свойствах той линии, которая выглядит в прямоугольных декартовых координатах как гипербола, а на деле является частью окружности, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от некоторой точки - центра. Длина этой линии бесконечно велика и даже если разделить ее не на 360 или 400 частей, а на 360 миллионов частей, длина каждой части все равно будет бесконечно велика.

А вот измерение углов в радианах, в этой геометрии возможно. Можно измерить длину дуги, хотя она и будет мнимым числом, и разделить ее на радиус окружности. Все точно так же, как это было в евклидовой геометрии. Еще, можно рассчитать величину угла, зная координаты лежащих на нем событий.

Вот, например, на рисунке 26 в декартовой прямоугольной системе координат представлена схема в системе отсчета для наблюдателя, для которого события O, D и B происходят в одной точке пространства, но в разное время. Для этого же наблюдателя одновременно происходят события B и A, а также одновременно происходят события O и C.

Обозначение |r/c|, взятие по модулю, несколько отличается от того, что принято в математике. Корректно было бы записать

re^-iφ/2/c.

Смысл этой записи в том, что мы заменяем мнимое число равным ему по абсолютному значению действительным числом.

Величина |r/c|² взята по модулю, а уже потом возведена в квадрат, потому, что длину мы считаем мнимой величиной, а формула гиперболы y² - x² = cost, предполагает, что оба аргумента вещественные числа. В противном случае, пришлось бы записать эту формулу так:

T² = t² + (r/c)² = const.

При этом нужно было помнить, что число r/c - мнимое. Однако при такой записи, эту формулу можно было бы спутать с формулой окружности в евклидовом пространстве.

Имеет смысл еще раз подчеркнуть, что мы имеем дело не с евклидовой геометрией, и, когда мы пытаемся изобразить происходящее на плоском евклидовом листе бумаги, все наклонные линии оказываются искаженными. Хотя они и остаются при этом прямыми, их размер значительно увеличивается. Если посмотреть на ту же самую схему в радиальной системе координат, которая верно отображает модуль интервала времени от начала отсчета до любого другого события, мы получим схему, представленную на рисунке 27.

На этой схеме уже не так очевидно, что в этой системе отсчета события B и A произошли одновременно, зато видно, что интервалы времени |OD| и |OA| одинаковы. Мнимая прямая линия BA, параллельная оси r, в радиальной системе координат выглядит как кривая, постепенно загибающаяся в сторону события O. Да и действительная прямая AC, параллельная оси t, превратилась в ломанную кривую, состоящую из двух сегментов, вначале она по дуге устремляется к событию O, а уже потом, от события O по дуге идет к точке C. При этом, событие C оказывается смещенным несколько правее от оси t, чем событие A. К сожалению, не существует способа перенести неевклидову геометрию на плоский лист бумаги без искажений.

Однако вернемся к схеме на рисунке 26. Поскольку множество точек

T² = t² - r² = const

в прямоугольных декартовых координатах является гиперболой, к нему можно применить формулы гиперболических соотношений для треугольника OAB. Тогда, зная величину гипотенузы |OA| = |OD| = T, то есть, интервал между событиями O и A, величины катетов |BA| и |OB| можно вычислить по формулам:

|BA| = |ic| T sh |φ|

и

|OB| = T ch |φ|.

В данном случае символ |φ| используется для того, чтобы показать, что мнимая величина φ заменяется равной ей по абсолютному значению действительной величиной, но с учетом знака. То есть, положительное мнимое число заменяется на положительное действительное, а отрицательное мнимое на отрицательное действительное.

Учитывая, что катет OB это промежуток времени между событиями O и A в системе отсчета t, а катет BA - расстояние между событиями O и A в пространстве, а величина угла φ это отношение длины мнимой дуги DA к действительному радиусу T, в эти формулы можно ряд изменений. Например, промежуток времени между событиями O и B и величина интервала между событиями O и A, связаны соотношением:

|OB| = t_OB = T ch |φ|,

а, учитывая, что величина угла φ мнимая, и тождество cos(iφ) = ch φ, то получаем:

t_OB = T cos φ.

Но где вы встречали калькулятор, извлекающий косинус из мнимого числа? Так, что придется все же пользоваться формулой:

t_OB = T ch |φ|.

Аналогично обстоит дело и со вторым катетом, с катетом BA, расстоянием в пространстве между событиями O и A в системе отсчета t.

r_BA = iс |OC| sh |φ| = iс T sh |φ|.

Однако если у вас есть калькулятор, который может вычислить синус мнимого угла φ, то, учитывая тождество sh(ix) = i sin φ, вы можете использовать формулу:

В классической физике отношение расстояния r_BA к времени t_OB, известно как скорость объекта, движущегося от события O в событие A прямолинейно и без ускорения. А это значит, можно использовать еще одну формулу:

v_OA = r_BA / t_OB = (iс T sh |φ|) / (T ch |φ|) = iс th |φ|.

Обратите внимание, здесь скорость, как отношение мнимой величины к действительной, тоже величина мнимая.

Теперь, для того, чтобы определить угол в пространственно-временном континууме между осью t и прямой OA, можно использовать любую из формул:

t_OB = T ch |φ| => |φ| = arch (t_OB / T) => φ = i arch (t_OB / T)

r_BA = iс T sh |φ| => |φ| = arsh (r_BA / iсT) => φ = i arsh (r_BA / iсT)

v_OA = iс th |φ| => |φ| = arth (v_OA / iс) => φ = i arth (v_OA / iс) .

На практике, используя эти соотношения, можно определить какой промежуток времени пройдет на космическом корабле, который движется со скоростью v_OA, пока на Земле пройдет время t_OB, естественно, в системе отсчета землянина:

Это аналог классической формулы теории относительности:

При желании, одну формулу можно вывести из другой. И результат вычислений будет тот же самый.

Также, по этим формулам можно определить, какое расстояние r_BA преодолеет космический корабль с точки зрения наблюдателя с Земли, пока для космонавта пройдет время t_OA при скорости v_OA:

Можно узнать, с какой скоростью должен двигаться космический корабль, чтобы относительное замедление времени на нем, относительно наблюдателя с Земли, составило определенную величину k = t_OB / t_OA:

Задавая любые две независимые величины, из приведенных выше, можно определить все остальные.

Теперь остается открытым вопрос о том, действительно ли в этой геометрии, как и в евклидовой, величина угла φ равна отношению длины дуги DA, попадающей в створ угла к радиусу окружности (в декартовых координатах - гиперболы) T (рис. 28).

Чтобы ответить на этот вопрос, дифференцируем формулу T² = t² - |r/c|² = const. Так мы узнаем, как изменяется для этого множества событий положение события в пространстве при небольшом изменении его положения во времени. Аргумент r - мнимая величина, поэтому, избавляясь от операции получения модуля этого аргумента, запишем формулу T² = t² - |r/c|² в виде: T² = t² + (r/c)². Дифференциал постоянной величины равен нулю, поэтому:

T² = t² + (r/c)² = const => d(T²) = d(t²) + d((r/c)²) = 0.

Используя формулу дифференцирования d(xⁿ) = n x^n-1 dx, получаем:

Запомним это соотношение, оно пригодится нам в следующей главе.

Обозначим длину дуги DA как L. Согласно формуле интервала времени, T² = t² + (r/c)², длина небольшого участка этой дуги будет равна (dL)² = (dt)² + (dr/c)², откуда находим:

Выше мы уже определили, что

t = T ch |φ|

и

r = iс T sh |φ|,

поэтому, делаем подстановку:

Получаем:

Постоянную величину T, сразу можно вынести из под знака радикала:

Постоянную величину - мнимую единицу выносим из скобок второго слагаемого радикала:

Используем формулы дифференцирования:

d(ch x) = sh x dx

и

d(sh x) = ch x dx.

Получаем:

И, поскольку

в результате получаем:

dL = iT d|φ|.

Или, учитывая, что φ все же мнимая величина,

dL = -T dφ.

Теперь можно определить формулу для расчета длины дуги DA на рисунке 29. Для этого используем формулу интегрирования:

Следовательно:

Значит, действительно, величину угла φ_DA можно найти как отношение длины дуги L_DA к радиусу окружности T. Длина дуги число мнимое, радиус окружности число действительное, а, следовательно, величина угла тоже мнимое число.

Знак минус в этой формуле обозначает направление обхода. В школьном курсе математике на этом обычно не акцентируют внимание, но в высшей математике положительной принято считать величину угла, измеренного против часовой стрелки, и отрицательной величину угла, измеренного по часовой стрелке. Таким образом, в евклидовой геометрии положительным направлением обхода считается движение против часовой стрелки. В пространственно-временном сечении положительным будет направление обхода по часовой стрелке (рис. 30).

4. Системы отсчета

4.1 В других системах отсчета

В прошлой главе была выведена следующая формула:

По этой формуле можно определить, как будет проходить касательная прямая к множеству точек T² = t² - |r/c|² = const в любой ее точке (рис. 31).

В этой геометрии и в декартовых прямоугольных координатах любая прямая, мнимая и действительная, будет выглядеть как прямая. Поэтому, для этой прямой можно написать:

По этой формуле можно определить, как будет проходить касательная прямая к множеству точек T² = t² - |r/c|² = const в любой ее точке (рис. 31).

Ведь для прямой это соотношение верно для любой точки, а не только в точке касания с окружностью. С точки зрения геометрии, это будет означать, что треугольник OBA и треугольник ABE подобны, за исключением замены действительных прямых на мнимые и наоборот.

Подобие этих треугольников можно выразить также в виде пропорций:

где: |OB| = t, |BA| = r = Δr, |EB| = Δt,

или

|BA| : |OB| : |OA| = |EB| : |BA| : |EA|.

Эти "чисто геометрические" соотношения напрямую связанны с очень интересными физическими эффектами.

Вот, например. На Земле прошло время OB и, с точки зрения наблюдателя с Земли, на корабле прошло время OA. Отрезок OA короче отрезка OB и равен отрезку OD. То есть, наблюдатель с Земли будет считать, что время у космонавта идет в k = |OB|/|OA| раз медленнее, чем на Земле. Из пропорции следует, что отношение |BA|/|EA| тоже равно k. А это означает, что, с точки зрения космонавта расстояние от него до Земли представляется в k раз меньше, чем наблюдателю с Земли. Кроме того, из этого следует, что космонавту будет представляться, что геометрические размеры Земли, и все связанные с ней объекты, уменьшились в k раз в направлении его движения.

Для наблюдателя, который находится на Земле, его ось времени - t, будет представляться, что все события, лежащие на мнимой прямой DC, касательной к окружности в точке D, происходят одновременно с событием D. Для наблюдателя, который движется по оси времени t', то есть, по прямой OA, одновременными с событием A будут казаться события, лежащие на мнимой прямой EA, касательной к окружности в точке A. То есть, если землянин считает, что одновременно с событием B произошло событие A, то космонавт считает, что одновременно с событием A произошло событие E. И эти две системы отсчета равноправны, поэтому, ни один из них, ни землянин, ни космонавт, не могут считаться в большей степени правым, чем другой.

Логика теории относительности в этом вопросе проста. Тот наблюдатель, который все время был инерциальной системой отсчета, не ускорялся, тот и считается эталоном. Это означает, что когда тот брат, который летал к звездам, вернется, он будет сверять свои часы с землянином, который никуда не летал и все время был инерциальной системой отсчета. А сам факт того, что человек ускорялся, был неинерциальной системой отсчета, признается, теорией относительности поводом считать показания его часов недействительными.

В системе отсчета наблюдателя, движущегося вдоль оси t, видно, что отрезки OD и DC перпендикулярны. А вот с точки зрения наблюдателя, который движется вдоль оси t', точно так же очевидно будет, что перпендикулярны отрезки OA и AE. Перпендикулярные линии в декартовых координатах на евклидовой плоскости выглядят как перпендикуляры только тогда, когда они параллельны осям координат.

Еще одна особенность этой геометрии в том, как строятся перпендикулярные линии, и как осуществляется поворот перпендикулярных линий в пространстве. В евклидовом пространстве и в пространственно-временном сечении это происходит по-разному (рис. 32). В евклидовом пространстве при повороте прямой a на угол φ, перпендикулярная ей прямая b поворачивается на тот же угол φ и в том же направлении. Если прямая a поворачивается по часовой стрелке, то и перпендикулярная ей прямая b поворачивается тоже по часовой стрелке. Если прямая a поворачивается против часовой стрелки, то и перпендикулярная ей прямая b поворачивается тоже против часовой стрелки.

В пространственно-временном сечении поворот прямой a по часовой стрелке на угол φ приводит к тому, что перпендикулярная ей прямая b поворачивается в другую сторону, то есть, против часовой стрелки, но тоже на угол φ. А при повороте прямой a против часовой стрелки на угол φ, перпендикулярная ей прямая b поворачивается по часовой стрелке на угол φ.

Представить себе такое в евклидовом пространстве, очень трудно, и это еще один факт, который показывает, насколько различны свойства этих геометрий.

Предположим, что на рисунке 30 был изображен переход из системы отсчета t по часовой стрелки угол φ в систему отсчета t'. При этом перпендикуляр к оси t, мнимая прямая BA, поворачивается на угол φ против часовой стрелки и совмещается с мнимой прямой AE.

Вот так, постепенно, мы дошли до преобразования координат из одной системы отсчета в другую. В евклидовой геометрии, для поворота системы координат (X₁; Y₁) в другую систему координат (X₂; Y₂), часто используются формулы:

Вывести эту формулу из формул, приведенных в параграфе 3.2 очень просто. И очень похожие формулы можно использовать для поворота систем координат в пространственно-временном сечении.

Давайте посмотрим, как изменяются координаты определенного события при повороте координатных осей (рис. 33). На рисунке 33 ось времени t поворачивается на угол φ по часовой стрелке и совмещается с осью t'. Перпендикулярная ей пространственная ось x поворачивается тоже на угол φ, но против часовой стрелки и совмещается с осью x'.

Временной интервал между событиями O и A является постоянной величиной - инвариантом. При переходе из одной системы координат в другую, это значение не изменяется. Я уже отмечал раньше, и повторю еще раз, временной интервал, это время, за которое объект переместится из события O в событие A, двигаясь прямолинейно и с постоянной скоростью. Причем, измерение времени производится по часам движущегося объекта. Естественно, что это значение никак не зависит от того, из какой системы отсчета за ним наблюдает другой человек. Если другой наблюдатель видит, что время у движущегося объекта замедляется, то, в том же отношении, замедляется и ход часов у движущегося объекта. Результат получается тот же самый.

Величина временного интервала не изменяется, изменяется только величина угла между прямой OA и координатными осями. В первой системе координат, координаты точки A можно найти по формулам:

t_A1 = T ch |φ₁|

x_A1 = iс T sh |φ₁|.

Здесь и ниже символ |φ_n| в данной формуле используется для того, чтобы показать, что мнимая величина φ_n заменяется равной ей по абсолютному значению действительной величине, но с учетом знака. То есть, положительное мнимое число заменяется на положительное действительное, а отрицательное мнимое на отрицательное действительное.

Во второй системе координат значение временного интервала T не изменяется, и координаты той же самой точки можно найти по формулам:

t_A2 = T ch |φ₂|

x_A2 = iс T sh |φ₂|.

Учитывая, что угол φ1 больше угла φ2 на величину φ, можно переписать эти формулы так:

t_A2 = T ch |φ₁ - φ|

x_A2 = iс T sh |φ₁ - φ|.

А если использовать тождества:

sh (φ + θ) = sh φ ch θ + ch φ sh θ

и

ch (φ + θ) = ch φ ch θ + sh φ sh θ,

то формулы для нахождения координат можно записать так:

t_A2 = T ch |φ₁ - φ| = T (ch |φ₁| ch |- φ| + sh |φ₁| sh |- φ|) = T (ch |φ₁| ch |φ| + sh |φ₁| sh |- φ|)

x_A2 = iс T sh |φ₁ - φ| = iс T (sh |φ₁| ch |- φ| + ch |φ₁| sh |- φ|) = iс T (sh |φ₁| ch |φ| + ch |φ₁| sh |- φ|).

А учитывая, что:

t_A1 = T ch |φ₁|

x_A1 = iс T sh |φ₁|

получим:

t_A2 = t_A1 ch |φ| + (x_A1 sh |- φ|) / iс

x_A2 = x_A1 ch |φ| + iс t_A1 sh |- φ|.

Или в стандартном виде:

t_A2 = t_A1 ch |φ| - ( x_A1 sh |φ|) / iс

x_A2 = - iс t_A1 sh |φ| + x_A1 ch |φ| .

Это аналог преобразований Лоренца в теории относительности.

4.2 Определение одновременности

Вернемся к схеме, на которой изображена окружность T = const, которая, вследствие искажений, возникающих при отображении пространственно-временного сечения на евклидову плоскость, выглядит как гипербола. На рисунке 33 отрезок OAB лежит на оси времени t'. В системе отсчета t', которая повернута к оси t на угол φ, пространственная ось координат x' повернута на угол φ по отношению к оси x, но в другую сторону.

Через событие A проведена окружность T = const и к этой окружности в точке A проведена касательная прямая CAD. Из формул подобия треугольников, приведенных в параграфе 4.1, можно заключить, что прямая CAD расположена под углом φ к оси координат x, а следовательно, прямая CAD параллельна пространственной оси координат x'. Так, что еще один способ точно провести эту касательную, просто сделать параллельный перенос оси x' в событие A.

Однако есть еще один способ построить эту прямую. Для этого необходимо построить прямоугольник OCBD, как это показано на рисунке 34. Стороны этого прямоугольника образованы световыми прямыми. То есть, для того, чтобы попасть из события O в событие D, необходимо двигаться со скоростью света по прямой OD. То же самое касается и всех остальных отрезков прямых, составляющих прямоугольник OCBD.

В системе отсчета t' эта же схема выглядит так, как показано на рисунке 35. В таком виде совершенно очевидно, что события C, A и D произошли одновременно. Наблюдатель в системе отсчета t' в событии O посылает импульсы света или радиосигнал в разные стороны. В событиях C и D сигнал отражается и возвращается к наблюдателю в событии B.

В теории относительности постулируется постоянство скорости света, хотя на самом деле, речь идет о существовании некой предельной скорости, с которой связаны очень многие физические процессы. Скоростью света она называется только потому, что скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме приближается к этой максимальной скорости. А в воздухе и в воде свет распространяется со скоростью гораздо меньшей, чем скорость света в вакууме.

Вот и в данной схеме, постоянство скорости света в вакууме служит одной из причин заключить, что событие A и D произошли одновременно. Раз свет шел с постоянной скоростью в одном направлении от события O к D, а потом с той же постоянной скоростью в другом направлении от события D к B, то эти процессы заняли одинаковое время. То есть событие D должно произойти одновременно с событием A, делящим отрезок OB точно пополам.

Если бы дело было только в максимальной скорости распространения электромагнитного излучения, то можно было бы использовать другой физический процесс и обнаружить (смотри рисунок 33), что события A, C и D происходят в разные моменты времени. Однако первый постулат теории относительности звучит так: Все процессы природы протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. А это означает, что, согласно теории относительности, не существует таких процессов, при помощи которых можно определить какую-то выделенную неподвижную систему отсчета. Не существует также физических процессов, которые позволяют сделать вывод, что система отсчета, если она инерциальная, движется.

Конечно, если человек ориентируется по окружающим его объектам, то он может обнаружить, что перемещается с большой скоростью в пространстве относительно окружающих его звезд, галактик и фона реликтового излучения. Но внутри корабля, согласно теории относительности, все физические процессы будут протекать точно так же, как если бы скорость космического корабля была мала, относительно звезд и галактик.

Так, что схема на рисунке 34 показывает, как будет воспринимать события наблюдатель в системе отсчета t'. Это не просто эффект применения радара для движущегося объекта, а демонстрация свойств пространственно-временного континуума. Наблюдатель может применять для своих экспериментов другие средства. Например, можно определить расстояние до объекта методом параллакса, а затем вычислить время, за которое электромагнитный импульс испущенный в событии D достигнет события B. Результат определения одновременности событий C, A и D будет тем же.

4.3 Сложение расстояний

Вернемся на некоторое время к евклидовой геометрии. Представьте себе, что в мире с евклидовой геометрией на поверхности сферы живут существа, которые думают, что они живут на евклидовой плоскости. Знакомая ситуация?

Существует история о том, как грек Эратосфен Киренский (276 год до н.э. - 194 год до н.э.), сделал открытие шарообразности Земли. Якобы, он обратил внимание на то, что в день летнего солнцестояния (самый длинный день в году) в городе Сиене (Египет) солнечные лучи освещают дно глубоких колодцев, а стволы деревьев не оставляют тени. А затем, он обратил внимание на то, что в Александрии Египетской, севернее, солнечные лучи до дна колодцев в этот день не достают, из этого он заключил, что Солнце светит в этих городах под разными углами. Эратосфен измерил величину тени, расстояние между городами и вычислил радиус и длину окружности Земли. Согласно Эратосфену, длина окружности Земли должна составлять 252000 стадий. В древнем мире было несколько разных единиц длины, которые назывались стадиями. Некоторые исследователи считают, что вычисления Эратосфена были весьма точны, но при этом, известно, что его вычисления принимал в расчет Колумб, отправляясь в путешествие. Может быть, Колумб ошибся с выбором той единицей длины, которую Эратосфен называл стадией, но он полагал, что переплыв Атлантический океан, окажется в Индии. Ошибившись, Колумб очень удачно приплыл к американскому континенту.

В рассказе об этом открытии Эратосфена есть ряд нестыковок, поэтому я считаю, что этот рассказ неточен. Эратосфен очень хорошо знал геометрию и он хорошо представлял себе, что если солнечные лучи в обоих городах движутся практически параллельно, то Солнце должно быть очень далеко от Земли и по размеру быть, если и не больше Земли, то уж сравнимо с Землей по размерам. Для нашего современника эти все вещи привычны настолько, что мы даже не замечаем этих противоречий, а для простого грека в этом открытии слишком много новых идей. И шарообразность Земли, и то, что Солнце удалено от Земли на огромные расстояния, и что Солнце не уступает Земле по размерам.

Я думаю, что, скорее всего, история умалчивает о некоторых мелочах. Скорее всего, этот ученый принадлежал к одному из мистических сообществ - герметических школ, в которых обучались большинство известных ныне древнегреческих философов и математиков. И, скорее всего, будучи посвященным, достаточно высокого ранга, он верил в то, что Земля как Солнце и Луна имеет форму шара, возможно, верил в множественность обитаемых миров и множественность жизней - реинкарнацию. Во всю ту ересь, которой гораздо позже заразился Джордано Бруно. Еще я думаю, что история с колодцами действительно была, но это открытие послужило лишь подтверждением тех убеждений, которые у него уже были, как бы это открытие, ни было преподнесено окружающим.

Если бы Эратосфен действительно был вначале убежден в том, что Земля плоская, то он как математик, легко бы нашел причину того, что солнечные лучи в разных городах падают под разными углами. Он должен был прийти к заключению, что Солнце расположено на определенном расстоянии над Землей и мог вычислить расстояние до него. По его измерениям это должно было быть, что то, порядка сорока тысяч стадий. По одной из версий, стадия равнялась 158 метрам, следовательно, Эратосфен мог предположить, что Солнце висит над Землей на расстоянии около шести тысяч километров. Это гигантское расстояние для человека той эпохи. Подобное предположение было вполне естественно и логично.

Вот на рисунке 36 я схематично изобразил два случая, в одном параллельные лучи падают на сферическую поверхность, в другом концентрические лучи падают на плоскую поверхность. В обоих случаях на поверхности есть точка, в которой лучи будут падать вертикально. И в обоих случаях, при удалении от этой точки, лучи падают под углом к поверхности.

Эратосфен принял свое открытие как аргумент в пользу шарообразности Земли, а я предлагаю представить себе существ, которые пришли к выводу, что Солнце висит над плоской поверхностью. Более того, я предлагаю предположить, что свое открытие эти существа стали использовать для измерений расстояний на своей поверхности.

На рисунке 37 совмещены две схемы. На той схеме, которая изображена черным цветом, показано, как свет от источника S падает на плоскую поверхность P в точке B под углом α к вертикальной линии. На другой схеме, которая изображена синим цветом, показано, как из источника света, расположенного далеко за пределами схемы, луч света падает в точку A, расположенную на поверхности сферы E. Угол между прямой OA, перпендикулярной к этой поверхности, и лучом света будет тоже равен α.

На этой схеме видно, что центр сферы O, точка A и точка B лежат на одной прямой. Кроме того, треугольники OBC и SBC подобны, а, следовательно, всю эту схему можно упростить и представить задачу как проекцию точки A лежащей на поверхности сферы E на плоскую поверхность P в точку B (рис. 38).

Теперь о самой задаче. Речь идет о том, какие искажения при измерении расстояний возникнут, если гипотетические существа, живущие на сфере, будут измерять расстояния при помощи Солнца. Напоминаю, эти существа полагают, что живут на плоскости, а само Солнце висит сравнительно невысоко над поверхностью.

Пока, во время путешествий, которые совершают эти существа, они отдаляются от точки C на расстояние l << R, то есть, значительно меньшее, чем радиус сферы, ошибки в определении расстояния будут малы. Но когда они научатся путешествовать на более далекие расстояния, и начнут перепроверять свои расчеты другими методами, их будет ожидать неожиданность.

Смотрим на схему на рисунке 38. Угол α = |AC|/|OC| = |AC|/R , то есть, отношению длины дуги AC к радиусу сферы OC. А расстояние между точками B и C можно найти по формуле:

|BC| = R tg α.

Зная, что при малых значениях угла α (α << 1) выполняется соотношение tg α ≈ α, можно доказать, что при малых углах действительно длина дуги CA и длина отрезка CB практически равны.

А вот при больших значениях угла α, расстояние, вычисленное придуманными существами, будет расти нелинейно. Пусть, города F, G и H расположены на прямой линии и расстояние между городами F и G такое же, как между городами G и H. Тогда расстояние между городами F и H, измеренное "по Солнцу" окажется больше, чем арифметическая сумма расстояний.

|FH| > |FG| + |GH|.

Исследуя это явление, эти существа могут вывести формулу сложения расстояний. Мы уже знаем, в чем причина, и нам несложно будет узнать, результат этого исследования.

Реальное расстояние между точками на поверхности будет равно αR, то есть, величине угла в радианах, умноженному на величину радиуса сферы. А расстояние "по Солнцу" у воображаемых существ будет равно R tg α. Тогда суммарное расстояние можно определить по формуле:

А учитывая, что:

где: l₁ и l₂ - это расстояния, которые нужно сложить, получаем в результате формулу для сложения расстояний:

И вот теперь, пока придуманные существа пытаются понять, почему закон сложения расстояний в их мире такой сложный, мы снова вернемся к теории относительности.

4.4 Сложение скоростей

На рисунке 39 вновь изображена часть сферы, которая при отображении на евклидово трехмерное пространство в декартовых координатах выглядит как гиперболоид. Внутренняя топология этой поверхности - трехмерное пространство с отрицательной кривизной, хоть и мнимое, а радиус кривизны равен расстоянию до центра этой сферы (событие O). Однако, закон сложения расстояний вдоль дуги по поверхности этой фигуры, в геометрии это еще называют геодезической линией, это простая арифметическая сумма.

Радиус T этой поверхности величина постоянная, а величины углов определены как отношение длины дуги к радиусу, поэтому и закон сложения углов в любой плоскости, содержащей ось времени, это тоже просто арифметическая сумма:

φ = φ₁ + φ₂.

Причем, и это важно, величины углов не меняются при переходе из одной системы отсчета в другую. Это постоянные величины, которые не зависят от системы координат. При переходе в другую систему отсчета или в другую систему координат, меняется только расположение углов относительно координатных осей.

Теперь давайте посмотрим, как связаны между собой углы и скорости. Рассмотрим схему на рисунке 40.

Рассмотрим движение в пространственно-временном континууме трех объектов, A, B и С, которые движутся из одного события O, но с разными скоростями. Через одинаковый интервал времени T эти объекты окажутся соответственно в событиях A, B и С. Эти точки на схеме соединены пунктирной линией T² = const.

С точки зрения любого из наблюдателей, эти события произойдут в разные моменты времени, но интервалы времени |OA|, |OB| и |OC| равны. Поскольку интервал времени, это промежуток времени, измеренный по часам самого движущегося объекта, эта величина никак не зависит от смены систем отсчета. Длины дуг |AB| и |BC| тоже остаются постоянной величиной в любой системе отсчета. Кроме того, при переходах из одной системы отсчета в другую остаются постоянными величины углов:

φ₁ = |AB|/T и φ₂ = |BС|/T.

Для углов, так же как и для длин дуг действуют арифметический закон сложения:

φ = φ₁ + φ₂

и

|AB| + |BC| = |AC|.

А теперь посмотрим, что изменяется при переходах из одной системы отсчета в другую. Вот, например, один из наблюдателей, в системе отсчета объекта A, полагает, что одновременно с событием A произошли события B' и C'. События A, B и C расположены на одной мнимой прямой, параллельной оси x. Для наблюдателей в других системах отсчета, эти события будут происходить в разные моменты времени, и расстояние между ними в пространстве тоже будет изменяться. Но в любой системе отсчета интервал между этими событиями останется неизменным, любой интервал, хоть пространственный, хоть временной.

Теперь отметим такой факт. Зная координаты событий B' и C' в системе отсчета наблюдателя A, можно рассчитать относительную скорость этих объектов.

Эти скорости можно найти, еще зная интервал времени T и величины углов φ₁ и φ:

v_AB = ic th |φ₁|

и

v_AС = ic th |φ|.

Также, используя эту формулу можно определить и относительную скорость объекта C, относительно B. Для этого, даже не нужно переходить в систему отсчета B, ведь угол φ₂ можно найти просто как разность φ₂ = φ - φ₁:

v_BC = ic th |φ₂|.

А так же, можно вывести формулу для сложения скоростей:

Или, учитывая, что:

th |φ₁| = v_AB / ic

и

th |φ₂| = v_BC / ic,

получаем:

Это стандартная формула сложения скоростей, которую принято считать формулой теории относительности.

Не напоминает ли вам это формулу, выведенную в прошлом параграфе?

Разве что знак минус в одной формуле заменен на плюс в другой. Но и это вполне объяснимо. Отмотаем чуть назад. Вот две формулы:

В первой формуле углы α₁ и α₂ в радианах определяются как отношение одной действительной величины к другой действительной величине, длины дуги к радиусу окружности. То есть, величины углов α₁ и α₂ - это действительные величины. А во второй формуле величины углов φ₁ и φ₂ определяются как отношение мнимой величины к действительной величине, мнимой длины дуги к радиусу. Следовательно, величины углов φ₁ и φ₂ - это мнимые величины. Но в этой формуле есть операция перевода мнимых величин в действительные величины, которая обозначена прямыми скобками. Если убрать эту операцию, то вторая формула будет выглядеть так:

Вот теперь видно, что это практически та же самая формула, только с мнимыми аргументами. Эти две формулы описывают не только два процесса идентичных алгебраически и топологически, но и физически аналогичные процессы.

4.5 Релятивистские скорости

В примере с существами, живущими на сфере, но думающими, что живут на плоскости, все достаточно ясно. При движении по поверхности сферы и вместе с этим движением происходит поворот вокруг оси - постоянный переход из одной системы отсчета в другую. Поэтому и длина должна накапливаться не по прямой, а по дуге окружности. И, если измерять длину по дуге окружности, то сумма расстояний рассчитывается как простая арифметическая сумма.

L = L₁ + L₂.

Но, если положение объекта проецировать на плоскость, его равномерное движение по поверхности сферы, будет выглядеть ускоренным, а закон сложения расстояний - нелинейным.

Если мы рассматриваем скорость движения объекта, вращающегося в евклидовом пространстве на одинаковом расстоянии от некоторой оси, то скорость движения вычисляется как расстояние, которое объект проходит за единицу времени по дуге окружности:

v_d = L_d/t.

Только в некоторых специальных случаях используется не скорость движения по дуге окружности, а ее проекция на плоскость. Это может использоваться, например, при расчете движения кулачкового механизма, когда вращающаяся часть механизма воздействует на отдельную деталь, которая может двигаться только в одной плоскости. В большинстве же случаев, используется именно скорость движения объекта по дуге окружности. При сложении скоростей движения по дуге окружности применяется обычное арифметическое суммирование:

v_d = v_d1 + v_d2.

В случае с пространственно-временным континуумом, объект, ускоряясь, тоже постоянно переходит из одной системы отсчета в другую. Поэтому, при ускорении, его скорость накапливается не по плоскости, а по дуге окружности. Необычным является только тот факт, что в пространственно-временном континууме ось, направленная в направлении движения, ось времени, является действительной, а перпендикулярное ей трехмерное пространство - мнимым. Как следствие, при отображении на евклидову плоскость, окружность из пространственно-временного континуума выглядит как гипербола.

В классической физике, и еще раньше, с тех времен, когда Земля считалась плоским блином, лежащим на трех китах, скорость движения объекта измеряли как отношение расстояния, пройденного объектом, ко времени, за которое это расстояние было пройдено:

v = L/t.

На рисунке 41 это соответствует отношению длины отрезка AB' к длине отрезка OA. То есть, при способе измерения скорости принятом в классической физике, скорость оказывается пропорциональна длине отрезка AB, пройденного объектом за единицу времени. Когда объект движется с ускорением a = dv/dt, в классической физике приращение скорости dv накапливают вдоль прямой линии AB. При маленьких скоростях, такой упрощенный подход себя оправдывает. А вот при скоростях, сравнимых по величине со скоростью света, оказывается, что эти приращения накапливаются вдоль дуги AB.

Дугу AB можно рассматривать как последовательность небольших мнимых отрезков и величина этой дуги имеет размерность длины. Поэтому, когда мы находим отношение этой дуги к радиусу T, это отношение имеет размерность скорости. Этот способ измерения скорости вполне аналогичен упомянутому выше способу измерения скорости вращения точки по окружности, в классической физике. В данной работе, эту скорость V, найденную как отношение длины дуги AB к радиусу T, я буду называть релятивистской скоростью.

V = L_AB/T.

Такое употребление термина "релятивистская скорость" отличается от общеупотребительного значения, при котором он означает просто скорость, сравнимую по величине со скоростью света. Однако здесь можно сделать ссылку на замечательную работу в этом направлении, в которой уже была использована подобная терминология: В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский, Е. Л. Сурков Релятивистский мир.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. (Библиотечка "Квант". Выпуск 34.) Именно эта работа в середине восьмидесятых годов стала толчком к моему исследованию в данном направлении. Следует только сделать замечание, в упомянутой выше работе, "V- скорость", "релятивистское пространство", "сложение скоростей в релятивистском пространстве" рассматриваются скорее как удобный математический прием, позволяющий производить расчеты движения объектов со скоростями близкими к скорости света. Я же в данной работе обращаю внимание на то, что релятивистская скорость, или V-скорость, по терминологии, использованной в вышеупомянутом источнике, имеет вполне конкретное физическое значение.

Более того, если в классической физике формула нахождения скорости объекта, который ускорялся в течении времени t с постоянным ускорением a

v = v₀ + at,

верна только для скоростей значительно меньших, чем скорость света, а при скоростях сравнимых со скоростью света ее использовать нельзя, то аналогичная формула для релятивистской скорости, верна для любого ее значения:

V = V₀ + at.

Но здесь есть небольшая тонкость. Космонавт, ускоряясь с постоянным ускорением a от начальной скорости V₀ = 0, достигнет некоторой скорости V, за время t по своим собственным часам. Для стороннего наблюдателя, который находится, например, на Земле, это время будет другим.

Для любых значений релятивистских скоростей верна формула их сложения:

V = V₁ + V₂.

При сложении релятивистских скоростей в пространстве, они складываются как обычные векторы, начало второго вектора прикладывается к концу первого:

V = V₁ + V₂,

где: V, V₁ и V₂ - векторы.

Никаких сложных пересчетов, при которых формула

относится к числу наиболее легких, не требуется.

Еще в начале первой главы я указывал, что данная формула сложна только потому, что в ней используются физические величины классической физики, скорости, измеренные по правилам классической физики.

Зная величину релятивисткой скорости легко найти и безразмерную мнимую величину

φ = V/c,

угол в радианах между направлением осей времени объектов, движущихся относительно друг друга.

Затем можно определить классическую скорость объекта - отношение расстояния пройденного объектом ко времени, за которое это произошло, с точки зрения другого наблюдателя:

v = L/t = ic th |φ| = ic th |V/c|.

Это не сложнее, чем найти величину катета прямоугольного треугольника, зная величины гипотенузы и угла.

Многие формулы физики, в которых, так или иначе, используется сложение скоростей или ускорение, в том числе, формулы, в которых масса, энергия и импульс частиц рассчитывается по разнице скоростей объектов, становятся намного проще и понятней, когда в них используется релятивистская скорость.

5. Игры с геометрией

5.1 Геометрическая матрешка

Пространственно-временной континуум, с точки зрения топологии, очень интересный объект. В нем, как в русской кукле-матрешке сочетаются и вложены друг в друга различные геометрии. Цели данной работы не позволяют подробно описать все известные мне геометрии из этого ряда, поэтому я остановлюсь только на самых простых и очевидных из них. Остальные я, возможно, рассмотрю в отдельной статье.

Самой простой, из самых простых геометрий, очевидно, будет евклидова геометрия. Исключительно потому, что она подробно изучается в школе, и еще потому, что это геометрия хорошо описывает наблюдаемый нами окружающий мир. В пространственно-временном континууме подобными свойствами обладает любое пространственное сечение, перпендикулярное определенной оси времени. С точки зрения наблюдателя, движущегося в пространственно-временном континууме вдоль этой оси времени, все точки-события, принадлежащие такому сечению, происходят одновременно.

Вблизи больших гравитационных масс, свойства такого пространственного сечения несколько отличаются от свойств евклидовой геометрии, но в большинстве случаев этим вполне можно пренебречь. В пределах Солнечной системы эти искажения настолько малы, что едва регистрируются при помощи самых точных приборов. Результатом этих искажений является небольшое отклонение лучей света от звезд, проходящих вблизи поверхности Солнца. Небольшое отклонение составляет угол 0'85. Это величина примерно равна 1/4235 доли градуса. Ничтожная величина. Отличия свойств пространственного сечения от евклидовой геометрии должны стать ощутимыми только вблизи таких объектов, как черные дыры. Но эту тему я здесь не рассматриваю.

На самом деле и в евклидовой геометрии много подводных камней. Привыкнув следовать определенной логике, мы на многие вещи просто не обращаем внимания. Для нас нормальным является факт, что прямая это самый короткий путь в пространстве, что плоскость можно замостить правильными шестиугольниками, а пятиугольники и семиугольники для этой цели не годятся. Еще, нас не удивляет тот факт, что если прямая a перпендикулярна прямой b, то и прямая b всегда перпендикулярна прямой a.

Пространство, в котором мы живем, обладает определенными свойствами и по определенным причинам. Вопрос о том, почему пространство обладает такими свойствами, следует отнести ко времени формирования нашей вселенной.

Прежде всего, рассмотрим тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника в евклидовом пространстве (рис. 42).

Для прямоугольного треугольника в евклидовой геометрии верны соотношения:

γ = π/2

α + β = π/2

sin α = cos β = a/c

cos α = sin β = b/c

tg α = ctg β = a/b

tg β = ctg α = b/a

a² + b² = c²

Для произвольного треугольника в евклидовой геометрии выполняются следующие соотношения (рис. 43):

α + β + γ = π

a + b > c

a + c > b

b + c > a

Теорема синусов:

(sin α)/a = (sin β)/b = (sin γ)/c

Теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2bc cos α

b² = a² + c² - 2ac cos β

c² = a² + b² - 2ab cos γ

Для определения площади S произвольного треугольника в Евклидовой геометрии можно использовать следующие формулы:

S = 1/2 ah_a = 1/2 bh_b = 1/2 ch_c,

S = 1/2 ab sin γ = 1/2 ac sin β = 1/2 bc sin α,

S = pr,

S = abc/4R,

S² = p(p - a)(p - b)(p - c) (формула Герона),

S = 1/2 R²(sin 2α + sin 2β + sin 2γ),

S = 1/2 R(a cos α)(b cos β)(с cos γ),

S = p(p - a) tg (α/2) = p(p - b) tg (β/2) = p(p - c) tg (γ/2),

S = (p - b)(p - c) ctg (α/2) = (p - a)(p - c) ctg (β/2) = (p - a)(p - b) ctg (γ/2).

В этих формулах использованы следующие обозначения:

h_a, h_b и h_c - высоты треугольника, отложенные соответственно от сторон a, b и c.

R - радиус описанной вокруг треугольника окружности.

r - радиус вписанной в треугольник окружности.

p = (a + b + c)/2 - полупериметр треугольника.

Характерным свойством евклидовой геометрии является постоянное соотношение длины окружности L к ее радиусу r:

L = 2πr.

Для этой геометрии Евклид в своей многотомной книге "Начала" сформулировал пять требований - постулатов, ряд аксиом и определений. Некоторые исследователи считают, что ряд определений, аксиом, и даже постулатов, были включены в текст "Начал" позднейшими авторами.

Из определений того, что такое точка, прямая, плоскость, угол, треугольник, окружность, и тому подобных вещей, можно узнать много интересного о свойствах этой геометрии. Например, о том, что окружность это замкнутая линия.

Аксиомы и постулаты в евклидовой геометрии, это недоказуемые предположения, на основе которых в дальнейшем строятся все теоремы. Среди исследователей до сих пор продолжаются споры о том, по какому критерию Евклид провел различие между аксиомами и постулатами. Одно из мнений в этом споре состоит в том, что аксиомы более очевидны, чем постулаты. Многие аксиомы были введены в евклидову геометрию (не в текст "Начал"!) гораздо позднее, как предположения необходимые для логического построения теорем, но недоказуемые. Вот аксиомы, которые приведены в "Началах":

1. Равные одному и тому же, равны между собой.

В современной формулировке это звучит так: если a = с и b = c, то a = b.

2. Если к равным прибавляются равные, то и результаты будут равны.

Если a = b и с = d, то a + с = b + d.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

Если a = b и с = d, то a - с = b - d.

4. Если к неравным прибавляются равные, то результаты будут не равны.

Если a ? b и с = d, то a + с ? b + d.

5. Удвоенные одного и того же равны между собой.

Если a = b, то ak = bk.

6. И половины одного и того же, равны между собой.

Если a = b, то a/k = b/k, при k?0.

7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Это аксиома конгруэнтности.

8. Целое больше части.

9. Две прямые не содержат пространства.

Параллельно с аксиомами Евклида я привел арифметические аксиомы, но сам Евклид вкладывал в них именно геометрический смысл. Две последние аксиомы, по-видимому, позднейшая вставка. Смысл девятой аксиомы в том, что двумя прямыми невозможно отделить на плоскости участок конечного размера.

Постулаты:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Смысл первого постулата в том, что между двумя любыми точками пространства может быть проведена прямая линия. Выше мы видели, что в пространственно-временном сечении этот постулат не соблюдался. Провести можно было только действительную линию, а мнимая линия являлась последовательностью топологически не связанных между собой точек.

Второй постулат, в том значении, которое в него вкладывал Евклид, не соблюдается на поверхности сферы. Если на сфере продолжать прямую линию, то она замкнется на саму себя.

Третий постулат соблюдается в евклидовой геометрии, а в пространственно-временном сечении линию окружности замкнуть невозможно.

Четвертый постулат показывает, что Евклид делал различие между измерением величины угла и построением прямого угла как перпендикуляра одной прямой к другой. Во всех, рассматриваемых в этой работе геометриях, данный постулат соблюдается.

На отрицании пятого постулата построил свою геометрию русский математик Лобачевский. Обычно именно семейство геометрий, основанных на отрицании пятого постулата, называется неевклидовыми геометриями. На самом деле, можно построить неевклидову геометрию на отрицании любого из постулатов.

Когда мы переходим от евклидовой геометрии к пространственному сечению, то получаем аналог евклидовой геометрии, в которой все линии мнимые. При этом все углы между мнимыми прямыми в этой геометрии имеют действительное значение. Это относится ко всем приведенным выше в этом параграфе формулам. Для того чтобы получить настоящую евклидову геометрию, пространственное сечение нужно заставить постоянно двигаться во времени.

5.2 Геометрия Лобачевского

В пространственно-временном континууме есть еще, по крайней мере, одно множество событий-точек, которое претендует на название пространственное сечение. Но, в отличие от рассмотренного в предыдущем параграфе, с точки зрения любого из наблюдателей, эти события происходят не одновременно. Это уже знакомая трехмерная поверхность, сфера-гиперболоид T = const, которая изображена на рисунке 44.

Образуется эта поверхность, которая на рисунке обозначена букой S, как множество событий, расположенных на одинаковом интервале времени от некоторого события O. В точке A поверхность S соприкасается с рассмотренным выше пространственным сечением, которое на этом рисунке показано как диск C, ограниченный световым конусом. По расстоянию между точками A и B_C на поверхности C рассчитывается классическая скорость. По расстоянию между точками A и B_S рассчитывается релятивистская (согласно принятой в прошлой главе терминологии) скорость.

Я уже отмечал, что, несмотря на то, что эта поверхность в декартовых координатах выглядит как гиперболоид и самом деле, является сферой, ее внутренняя геометрия, это геометрия открытая Лобачевским, геометрия с постоянной отрицательной кривизной. Такую геометрию нельзя без искажений отобразить в евклидовом пространстве, разве что небольшой участок, который называется седловиной, (рисунок 45). В пространственно-временном континууме многие вещи выглядят совсем не тем, чем являются на самом деле, если их рассматривать с точки зрения евклидовой геометрии.

В геометрии Лобачевского тоже есть понятие перпендикулярных линий, а вот определение линий параллельных друг другу совсем не такое, как в евклидовой геометрии. Дело в том, что если в некоторой области пространства две прямые a и b на плоскости идут параллельно друг другу, то затем, в обоих направлениях, они расходятся, удаляются друг то друга (рис. 46).

Поэтому, если дана некоторая прямая a и точка B, расположенная на некотором расстоянии от этой прямой, то через нее можно провести множество различных прямых, каждая из которых в определенной области пространства будет параллельна прямой a. Ни одна из этого множества прямых не пересечет прямую a (рис. 47). Прямая a условно показана как прямая в евклидовом пространстве, без искажений, а остальные прямые показаны с искажением, как кривые линии.

Прямая b станет параллельна прямой a в бесконечности, справа от рисунка, а прямая с станет параллельна прямой a в бесконечности слева от рисунка. Все остальные прямые, лежащие между прямыми b и c, будут идти параллельно прямой a где то между этими двумя крайними значениями. Из этого множества прямых Лобочевский называл параллельными прямой a только те, которые становятся параллельными в бесконечности.

Естественно, при таких свойствах этого пространства, тригонометрические формулы тоже меняются. В этой геометрии сумма углов треугольников оказывается меньше, чем π:

α + β + γ < π (рис. 48).

Не удивляйтесь, глядя на форму этого треугольника. Математиками еще в 19 веке доказано, что отобразить фигуру из плоскости Лобачевского на евклидову плоскость без искажений невозможно, как невозможно на плоской поверхности без искажений отобразить поверхность глобуса. Можно задать такое отображение, при котором отдельные элементы или отдельные их параметры будут отображены без искажений. На рисунке 48 без искажений отображены величины углов и длины отрезков, но пришлось пожертвовать их прямолинейностью. В оригинале, на плоскости Лобачевского, все стороны этого треугольника - прямые линии.

Есть другие варианты отображения. Например, можно отобразить треугольник так, чтобы его стороны сохранили свой размер и прямолинейность, но тогда искаженными будут выглядеть величины углов и другие прямые линии.

Можно задать такое отображение, при котором все прямые, проходящие через определенную точку, будут выглядеть как прямые и без искажения размеров, но длины и форма других прямых будет искажена. Дополнительно, при таком отображении величины всех углов будут даны без искажения. Используя такой способ отображения удобно изображать две любые стороны треугольника и все его углы без искажений, искаженной будет в этом случае выглядеть только одна сторона (рис. 49).

Как видно на этом рисунке, стороны b и с теперь выглядят как прямые линии, длина и форма этих сторон, а также все углы треугольника даны без искажений, зато сторона a искажена еще сильнее.

Прямоугольный треугольник на плоскости Лобачевского, у которого без искажений отображены катеты и все углы, а гипотенуза значительно уменьшена, по сравнению с оригиналом, выглядят так (рис. 50):

Для этого треугольника действуют следующие тригонометрические выражения:

th (b/R) = th (с/R) cos α,

th (a/R) = th (с/R) cos β,

sh (a/R) = sh (с/R) sin α,

sh (b/R) = sh (с/R) sin β,

th (a/R) = sh (b/R) tg α = sh (b/R) ctg β,

th (b/R) = sh (b/R) tg β = sh (a/R) ctg α,

ch (с/R) = ch (a/R) ch (b/R) = ctg α ctg β,

ch (a/R) = cos α / sin β,

ch (b/R) = cos β / sin α.

В этих формулах R - радиус кривизны пространства, в нашем случае этот радиус можно определить по формуле:

R = ic T,

где: с - скорость света, Т- интервал времени между некоторым событием O и точками-событиями образующими поверхность T = const. Кроме того, не забываем, в нашем случае, это пространство не только с отрицательной кривизной, но и мнимое, поэтому в формуле присутствует мнимая единица i.

Из этих формул вполне можно получить формулы для евклидовой геометрии, если принять радиус кривизны бесконечно большим, а затем применить формулы подстановки для малых углов.

Для произвольного треугольника на плоскости Лобачевского выполняется теорема синусов и две теоремы косинусов.

Теорема синусов:

Первая теорема косинусов:

ch (a/R) = ch (b/R) ch (c/R) - sh (b/R) sh (c/R) cos α.

ch (b/R) = ch (a/R) ch (c/R) - sh (a/R) sh (c/R) cos β.

ch (c/R) = ch (a/R) ch (b/R) - sh (a/R) sh (b/R) cos γ.

Вторая теорема косинусов:

cos α = - cos β cos γ + sin β sin γ ch (a/R).

cos β = - cos α cos γ + sin α sin γ ch (b/R).

cos γ = - cos α cos β + sin α sin β ch (c/R).

Площадь произвольного треугольника на плоскости Лобачевского можно найти по формуле:

S = R²(π - α - β - γ).

Соответственно, для прямоугольного треугольника, у которого γ = π/2, площадь можно найти по формуле:

S = R²(π/2 - α - β),

в которой углы α и β - прилежащие к гипотенузе.

Из этих формул для нахождения площади треугольника непосредственно следует факт существования треугольника с максимальной площадью. В евклидовой геометрии площадь треугольника неограниченна, а на плоскости Лобачевского не может существовать треугольник с площадью большей, чем:

Smax = πR².

При такой площади значения всех углов должны стремиться к нулю, а величины его сторон к бесконечно большой величине.

Точно так же, существует и ограничение на площадь прямоугольного треугольника:

Smax = πR²/2.

Катеты и гипотенуза такого треугольника по величине стремятся к бесконечности, а величины углов, прилежащих к гипотенузе, к нулю. При этом возникает парадоксальная, с точки зрения евклидовой геометрии ситуация (рис. 51):

В данном случае прямые a и b перпендикулярны между собой, а прямая с параллельна обоим этим прямым, прямой a в направлении a -> ∞, а прямой b в направлении b -> ∞.

В геометрии Лобачевского длина окружности L увеличивается быстрее, чем радиус r, и определяется по формуле:

L = 2πR sh (r/R),

где: R - радиус кривизны пространства, r - радиус окружности.

Как следует из приведенной ранее формулы

S = R²(π - α - β - γ),

площадь треугольника пропорциональна разнице между числом π и суммой углов треугольника. Эта разница

δ = π - α - β - γ

называется дефектом треугольника. Легко доказать, что если произвольный треугольник ABC разбить прямым отрезком на две части ABD и BDC, то сумма дефектов треугольников ABD и BDC будет равна дефекту треугольника ABC. Далее, учитывая, что любой многоугольник можно разбить на отдельные треугольники, его площадь может быть найдена по формуле:

S = δR²,

в которой δ - дефект n-угольника, который может быть найден как разница между числом π(n-2) и суммой углов n-угольника.

5.3 Пространство релятивистских скоростей

Релятивистские скорости получаются просто делением расстояния между событиями на поверхности T = const на постоянную величину T. Точно так же, как в классической физике скорость получается делением пройденного расстояния на время. По этой причине, релятивистские скорости отображаются на поверхность T = 1, которая так же в декартовых координатах выглядит как гиперболоид, является сферой и имеет внутреннюю геометрию пространства Лобачевского. Только радиус кривизны пространства скоростей приведен к единице времени и равен

R_V = ic.

Следовательно, обсуждая законы сложения релятивистских скоростей, мы продолжаем тему пространства с отрицательной кривизной.

Вообще то, пространство скоростей, это удобная абстракция. Это касается и пространства классических скоростей и пространства скоростей релятивистских. Когда в классической физике, мы складываем в евклидовом пространстве два вектора скорости (рис. 52), то понимаем, что изображаем путь объекта за единицу времени. Речь не идет об еще одном, параллельном физическому миру, пространстве.

Точно так же, когда речь идет о сложении релятивистских скоростей, мы действуем подобным образом, но уже на поверхности пространства Лобачевского (рис. 53).

Учитывая, что данная поверхность, является частью сферы T = const, в декартовых координатах в пространственно-временном континууме она выглядит вот так (рис 53).

В таком виде, длины отрезков AB, BC и AC на поверхности пространства скоростей V сильно преувеличены. Преувеличены даже проекции этих отрезков на координатную пространственную плоскость Oixiy. Например, действительная величина отрезка AC равна

|AC| = ic φ_AC.

Проекция этого отрезка на плоскость Oixiy будет равна

|A'C'| = ic sh φ_AC.

А учитывая, что гиперболический синус, как правило, больше своего аргумента по абсолютной величине:

sh x > x при x > 0,

то, его изображение в декартовых координатах, преувеличено еще сильнее.

Для любителей проективной геометрии, я могу даже показать, как из проекции A'B'C' получить отображение, которое сохраняет длины и форму двух сторон, а также величины всех углов.

На рисунке 54 красным цветом показан треугольник A'B'C', который получился при отображении на рисунке 53. При таком отображении размеры всех отрезков на прямых, проходящих через точку A' значительно преувеличены. Причем, чем длиннее отрезок, тем больше искажение. Но в этой проекции в натуральную величину показаны дуги окружностей с центром в точке A'. Например, размер дуги B'D' соответствует действительному ее размеру. Длина дуги B'C' больше реального размера отрезка BC.

Для того чтобы получить реальные размеры прямых отрезков AB и AC, необходимо произвести следующее построение. Длина проекций A'B' и A'C' проецируется на функцию f(cφ) = ic sh |φ|, которая показана зеленым цветом. Затем, эти проекции опускаются на прямую линию, проходящую под углом 45 градусов к осям координат, которая изображена черным цветом и вновь возвращаются к треугольнику на прямые A'B' и A'C'. На этих прямых отмечаем точки B" и C".

Теперь, полученная фигура A"B"C", которая обозначении синим цветом, это отображение треугольника ABC пространства скоростей, у которого без искажений отображены длины и форма прямых отрезков AB и AC, а также все углы. Сторона треугольника расположенная напротив точки O изображена с искажением формы и размеров. Реальный размер этой стороны больше длины дуги B"C", но, меньше длины дуги B'C'.

Сложение релятивистских скоростей V_AB и V_BC, расположенных под углом друг к другу происходит по правилам тригонометрии плоскости Лобачевского (рис. 56):

Так, например, скорость V_AC можно найти при помощи первой теоремы косинусов:

ch (V_AC/ic) = ch (V_AB/ic) ch (V_BC/ic) - sh (V_AB/ic) sh (V_BC/ic) cos β.

Для той же цели можно использовать и дополнительный к углу β угол δ = π - β:

ch (V_AC/ic) = ch (V_AB/ic) ch (V_BC/ic) + sh (V_AB/ic) sh (V_BC/ic) cos δ.

Затем, зная величину скорости V_AC можно, используя теорему синусов, найти угол α:

sin α = sin β sh (V_AC/ic) / sh (V_BC/ic) = sin δ sh (V_AC/ic) / sh (V_BC/ic),

или угол γ:

sin γ = sin β sh (V_AC/ic) / sh (V_AB/ic) = sin δ sh (V_AC/ic) / sh (V_AB/ic).

Для тех же целей можно использовать и вторую теорему косинусов:

cos α = - cos β cos γ + sin β sin γ ch (V_BC/ic)

cos γ = - cos α cos β + sin α sin β ch (V_AB/ic)

или

cos α = cos δ cos γ + sin δ sin γ ch (V_BC/ic)

cos γ = cos α cos δ + sin α sin δ ch (V_AB/ic).

Такие формулы нахождения скорости на плоскости Лобачевского конечно сложнее чем их векторная форма

Но если на все это смотреть с точки зрения классической физики, то формула становится еще сложнее.

В связи с этим, рассмотрим еще одну форму отображения плоскости Лобачевского, которая называется интерпретацией Бельтрами, по фамилии математика ее обнаружившего. При таком отображении вся бесконечная плоскость Лобачевского отображается на круг ограниченного диаметра на евклидовой плоскости. Графически, и конкретно для релятивистских скоростей, такое отображение будет выглядеть следующим образом (рис. 57).

При этом отображении события на поверхности сферы S B_S и C_S отображаются соответственно в события B_C и C_C, круга C радиусом ic на евклидовой плоскости параллельной координатным осям ix и iy. В результате получаем следующую картинку (рис. 58).

События на сфере S, расположенные бесконечно далеко от точки A, в интерпретации Бельтрами оказываются отображенными на окружность ic - скорость света в классической физике.

С точки зрения классической физики, при помощи интерпретация Бельтрами как раз и получается скорость объекта в пространстве. То есть, длины отрезков A_CB_C и A_CC_C соответственно равны классическим скоростям, соответственно, v_AB и v_AC.

Как и любое другое отображение плоскости Лобачевского на евклидову плоскость, интерпретация Бельтрами дает целый ряд искажений. Во-первых, длины всех отрезков, в данном случае, векторов скоростей, оказываются искажены. Достаточно того, что стремящийся к бесконечности по величине вектор релятивистской скорости, отображается на вектор классической скорости, конец которого лежит на окружности v = ic. Все углы между векторами при таком отображении тоже искажены, за исключением углов, вершина которых находится в центре круга C. Только величины углов с вершиной в центре круга, отображаются верно.

Интересной особенностью интерпретации Бельтрами является то, что все прямые линии плоскости Лобачевского отображаются на прямые отрезки евклидовой плоскости. Это очень важное свойство можно использовать в расчетах.

5.4 Сферическая геометрия

Лобачевский открыл очень необычную геометрию, которая позднее была названа геометрией с отрицательной кривизной пространства, но при этом, допустил неявную ошибку. Эта ошибка не позволила ему открыть другую геометрию, геометрию, в которой сумма углов треугольника больше величины π, которую во второй половине девятнадцатого века исследовал Риман. Сферическая геометрия более наглядна, чем геометрия Лобачевского, уже просто потому, что для того чтобы убедиться в ее существовании достаточно просто посмотреть на глобус. Возможно, что если бы Лобачевский дал новую геометрию в связке со сферической геометрией, его идеи быстрее нашли понимание.

В самом начале работы Лобачевского есть теорема, в которой утверждается, что не может существовать геометрии, в которой сумма углов треугольника больше числа π. В то же время, мне было известно о существовании геометрии с положительной кривизной пространства или сферической геометрии. В этой геометрии сумма углов треугольника больше чем π, поэтому я стал разбираться, в чем тут дело.

Эту теорему Лобачевский доказывал от обратного. Вначале он предположил возможность существования геометрии, в которой сумма углов треугольника больше величины π. Затем, начал последовательно изменять форму треугольника так, чтобы его площадь и сумма углов оставались неизменными, два угла из трех становились все меньше, а третий увеличивался. Затем он доказал, что если продолжать этот процесс некоторое время, наступит момент, когда значение третьего угла станет больше величины π (рис. 59). Не привожу здесь полных версий доказательств, чтобы не перегружать текст.

Данный факт показался ему достаточным для того, чтобы заявить о наличии противоречия и о невозможности построения геометрии обладающей подобными свойствами. В чем именно состоит это противоречие, не вполне понятно, но можно продолжить данное рассуждение.

Точно так же, как был построен треугольник с углом больше величины π, можно построить и треугольник, у которого два угла больше 0, а третий угол равен π, как это показано на рисунке 60. У такого "треугольника" стороны AC и CB образуют одну прямую линию. Существование такой фигуры противоречит аксиоме 9 евклидовой геометрии, согласно которой: две прямые не содержат пространства. Это означает, что в евклидовой геометрии невозможно двумя прямыми отделить участок пространства. В данной геометрии такое возможно.

Используя принципы симметрии, можно доказать, что в этой фигуре величины углов α и β равны между собой, а так же длина отрезка AB, равна длине отрезка ACB. Далее, раз ACB это прямая линия, то к ней можно приложить еще один точно такой же треугольник (рис. 61).

Полученная фигура по площади в два раза больше треугольника ABC, а углы в вершинах A и B равны 2α.

Продолжая дальше прикладывать одна к другой подобные фигуры, как это показано на рисунке 62, можно достичь того, чтобы величины углов при вершинах A и B стремились к значению 2π, то есть, к полному углу.

Таким образом, можно доказать, что полученная фигура покроет все пространство и при этом его площадь останется конечной величиной. А это будет означать, что площадь такого пространства имеет конечную величину. Более того, можно показать, что прямая AB, если ее продолжать, замкнется сама на себя, а это уже нарушение второго постулата евклидовой геометрии.

При таких необычных свойствах этой геометрии, самое сложное, это осознать, что речь идет о хорошо знакомой поверхности шара. Именно на поверхности шара можно построить треугольник с тремя прямыми углами (рис. 63) и фигуры, изображенные на рисунках 59 - 62.

Особенностью данной геометрии является то, что дефект треугольника имеет другой знак и равен

δ = - (π - α - β - γ) = (α + β + γ) - π.

Но, точно так же, как и на плоскости Лобачевского, в сферической геометрии дефект треугольника пропорционален его площади.

S = δR².

Дефект треугольника ABC, изображенного на рисунке 63, равен

δ = (α + β + γ) - π = (π/2 + π/2 + π/2) - π = π/2.

Таких треугольников на поверхности сферы умещается 8 штук, а, следовательно, площадь всей поверхности сферы равна

S = δR² = (8π/2)R² = 4πR².

Точно так же, как и на плоскости Лобачевского, в сферической геометрии определен дефект n-угольника, который равен разности суммы углов n-угольника и числа π(n-2) и по этим данным можно определить площадь этой фигуры.

Тригонометрические формулы в сферической геометрии имеют свои особенности. Для прямоугольного треугольника на сфере действуют следующие тригонометрические выражения (рис. 64):

tg (b/R) = tg (с/R) cos α,

tg (a/R) = tg (с/R) cos β,

sin (a/R) = sin (с/R) sin α,

sin (b/R) = sin (с/R) sin β,

tg (a/R) = sin (b/R) tg α = sin (b/R) ctg β,

tg (b/R) = sin (b/R) tg β = sin (a/R) ctg α,

cos (с/R) = cos (a/R) cos (b/R) = ctg α ctg β,

cos (a/R) = cos α / sin β,

cos (b/R) = cos β / sin α.

Можно сравнить эти формулы с теми, которые действуют на плоскости Лобачевского и убедиться в том, что они почти идентичны. Почти относится к тому, что все функции ch, sh и th заменены соответственно на функции cos, sin и tg. Но этому есть простое объяснение, в формулах для плоскости Лобачевского мнимая величина отношения длин отрезков к радиусу кривизны заменена его действительным аналогом. Если же использовать мнимое значение аргументов функций, то придется использовать те же самые формулы, что и для сферической геометрии. Есть только одно обстоятельство, заставляющее использовать разные формулы, даже среди инженерных калькуляторов трудно найти такой, который извлекает гармонические функции из мнимых аргументов.

То же самое относится и к тригонометрическим соотношениям для произвольного треугольника (рис. 65).

Теорема синусов:

Первая теорема косинусов:

cos (a/R) = cos (b/R) cos (c/R) + sin (b/R) sin (c/R) cos α.

cos (b/R) = cos (a/R) cos (c/R) + sin (a/R) sin (c/R) cos β.

cos (c/R) = cos (a/R) cos (b/R) + sin (a/R) sin (b/R) cos γ.

Обратите внимание, в этих формулах меняется не только ch и sh на cos и sin, но и знак перед вторым членом в правой части уравнения. Впрочем, в полном соответствии с формулой

sin φ = -i sh(iφ);

знак должен измениться.

Вторая теорема косинусов:

cos α = - cos β cos γ + sin β sin γ cos (a/R).

cos β = - cos α cos γ + sin α sin γ cos (b/R).

cos γ = - cos α cos β + sin α sin β cos (c/R).

И здесь те же самые замены.

И вот еще один факт для тех, кто хочет разобраться с логикой происходящего. То, что дефект треугольника для сферической геометрии имеет другой знак, так же напрямую связан с тем, что в одном случае, значение радиуса кривизны мнимое, а в другом действительное. Соответственно, квадрат радиуса кривизны в одном случае имеет отрицательное значение, а в другом положительное.

5.5 Измерение углов в пространственно-временных сечениях

Для большинства людей, будет откровением узнать, что движение тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, можно рассчитывать с помощью тригонометрических соотношений, что здесь тоже действует своя теорема синусов и своя теорема косинусов. Тем не менее, это так. Правда, законы этой тригонометрии отличаются от законов геометрий рассмотренных выше.

Рассмотрим обычный прямоугольный треугольник ABC, изображенный на рисунке 66.

Угол при вершине D прямой, поскольку прямые отрезки b=AD и a=DB перпендикулярны. Отрезок a лежит под углом φ к оси ix, а отрезок b лежит под углом φ к оси t. В показанном на рисунке треугольнике две стороны b и d образованы действительными отрезками, а третья сторона a образована мнимым отрезком. Об отличиях построения перпендикулярных прямых в этой геометрии я рассказывал раньше.

Частным случаем треугольника изображенного на рисунке 66 является прямоугольный треугольник, у которого катеты параллельны координатным осям Ot и Oix, рисунок 67.

Могут быть и другие варианты, например, когда две стороны треугольника образованы мнимыми отрезками, а третья - действительными. Варианты, когда одна или несколько сторон треугольника образованы световыми линиями, я пока не рассматриваю. Но в любом прямоугольном треугольнике, если один из катетов является действительным отрезком, другой катет должен быть мнимым отрезком и наоборот.

Величины всех углов треугольников показанных на рисунках 66 и 67 мнимые, но при этом, угол α простой, а углы β и γ составные, состоят из двух частей. Обе части каждого из этих составных углов по величине бесконечно велики, но один из них со знаком плюс, а другой со знаком минус и их сумма равна конечной величине. Поэтому, этими величинами можно оперировать как обычными углами.

Например, верны следующие тригонометрические выражения:

a = id sh |α| = d sin α,

b = d ch |α| = d cos α,

a/b = i th |α| = tg α.

По-прежнему, величина угла α мнимая. А операция |α| означает замену мнимого аргумента, равным ему по величине действительным аргументом, с учетом знака. Оперировать составными углами сложнее, здесь приходится вспоминать математику Кантора, который складывал, вычитал и перемножал бесконечные величины.

Несмотря на то, что рассматриваемое пространство далеко не евклидово, к нему тоже применимо понятие кривизны, и оно относится к пространствам с нулевой кривизной. Как видно из рисунка 68, вместе обе части составного угла β и угол α составляют прямой угол.

Если увеличить катет a, так, чтобы он достиг светового конуса, построенный от точки A получим треугольник, одна сторона которого лежит на световой прямой (рис 69).

Этот прямоугольный треугольник можно было бы даже назвать равнобедренным, поскольку, по абсолютной величине, длины его катетов равны. Только один катет действительный, а другой мнимый. Но это не главная его особенность. В этом треугольнике величины углов α и β равны и стремятся к бесконечно большой величине, а длина гипотенузы d к бесконечно малой величине. Вычислить величины катетов используя длину гипотенузы и величины углов α и β, через функции синус и косинус, не получится. Но отношения

a/b = i th |α| = tg α = i.

и

b/a = -i th |β| = tg β = -i,

при α -> i∞ и β -> -i∞,

вполне можно использовать.

Если увеличить длину катета a так, чтобы он пересек световой конус, то уже угол α станет составным, а угол β состоящим только из одной части. Если продолжать настаивать на верности выражений

a = id sh |α| = d sin α,

b = d ch |α| = d cos α,

a/b = i th |α| = tg α,

то, у нас возникнут проблемы с определением этих функций от величины составного угла α. Однако теперь, можно выразить эти величины через угол β.

a = d сh |β| = d cos β,

b = id sh |β| = d sin β,

a/b = i cth |β| = ctg β.

На угол β обратим особое внимание. До сих пор, таких углов мы не рассматривали. Этот угол образован двумя мнимыми отрезками, дуга окружности, по которой мы измеряем величину угла - действительная линия, а радиус этой дуги - имеет мнимое значение и любой отрезок прямой, соединяющий точку B с этой дугой будет мнимой линией (рис. 71).

Величина угла β определена как отношение длины дуги EF к ее радиусу L. Радиус L постоянная величина. Согласно приведенному ранее определению временного интервала с мнимым значением, он равен расстоянию между точкой-событием B и любой точкой-событием на дуге в системе отсчета, в которой эти события произошли одновременно. То есть, временной интервал между точкой F и точкой B равен расстоянию в пространстве между этими событиями в системе отсчета, когда события F и B происходят одновременно.

С дугой окружности I=const связан парадокс, который в источниках по теории относительности не описан. Эта дуга действительная линия, а это означает, что возможно движение реального физического объекта по такой траектории. И двигаясь по ней, наблюдатель каждый раз будет обнаруживать, что расстояние от него до события B не изменяется, все время остается постоянным. Но самое интересное то, что с точки зрения этого наблюдателя, время объекта B остановится. Двигаясь по дуге EF и проводя измерения, наблюдатель обнаружит, что событие C постоянно происходит одновременно с любым моментом замера.

Вернемся к тригонометрии. При измерении величины углов на дуге окружности L=const, мы сталкиваемся с еще одним явлением, по определению невозможным в евклидовой геометрии. Когда радиус дуги окружности T=const был действительной величиной, мы определяли величину угла, разделив мнимую длину дуги на действительную величину радиуса. В этом отношении мнимая величина была в числителе, и величина угла тоже была мнимой величиной.

Измеряя угол по дуге окружности L=const, мы делим действительную длину дуги EF на мнимую величину радиуса L. В этом соотношении результат тоже мнимая величина, но при этом, числитель действительная величина, а знаменатель мнимая. Вспоминаем тождество, связанное с мнимыми величинами:

1/i = -i.

Поэтому, можно записать:

Или:

Знак минус в этой формуле означает, что положительное направление обхода в этой области меняется на противоположное направление. На рисунке 72 в декартовых координатах действительные линии показаны как сплошные, мнимые линии показаны как пунктирные, а световой конус как штрихпунктирные линии. Красными стрелками показано положительное направление обхода при измерении углов.

Эти же дуги окружности можно показать в радиальных координатах (рис 73). В таком виде более очевидно, что они действительно являются дугами окружности, и что полный угол включает в себя четыре дуги окружности, разделенные световыми линиями.

Каждая из этих дуг имеет бесконечную длину. Правда, те дуги, которые обозначены цифрами 1 и 3 имеют мнимую бесконечную длину, а дуги обозначенные цифрами 2 и 4 имеют бесконечную действительную длину. Для радиусов дуг все наоборот, радиусы дуг 1 и 3 имеют действительную величину, а радиусы дуг 2 и 4 имеют мнимую величину.

Когда мы рассматриваем составной угол, то должны учитывать выбранное направление обхода. Вот, например, на рисунке 74 угол φ состоит из двух частей φ₁ и φ₂.

Для угла φ₁ выбранное направление обхода, которое показано зеленной стрелкой, совпадает с положительным направлением обхода, поэтому величина этого угла бесконечно велика φ₁ = +i∞. Причина, по которой эта величина бесконечно велика, станет очевидной, если взглянуть на этот объект в декартовых координатах на рисунке 72. Для угла φ₂ выбранное направление обхода противоположно положительному направлению и тоже бесконечно велико. Этот угол равен φ₂ = -i∞.

Кроме того, при переходе через световую линию угол приобретает качество, которое не может быть выражено через величину угла. Обозначим это качество символом d. В том случае если угол несколько раз пересекает световую линию, то это качество суммируется: 2d, 3d, 4d. Здесь коэффициент при символе d равен числу световых лучей, попадающих в створ угла.

Таким образом, величина угла φ может быть найдена по формуле

φ = φ₁ + φ₂ + d = φ_Σ + d.

Теперь остается только выяснить, каким образом получить численное значение величины φ_Σ. Для этого вначале нужно выяснить, при каком условии величина φ_Σ равна нулю. Очевидно, такое условие может выполняться при равенстве углов φ₁ и φ₂ по абсолютной величине. Вот, например, на рисунке 75 угол α между перпендикулярными прямыми a и b симметричны относительно световой прямой, попадающей в створ этого угла.

Из соображений симметрии можно заключить, что величины частей α₁ и α₂ равны по абсолютной величине. Тогда

α = α₁ + α₂ + d = i∞ - i∞ + d = 0 + d.

Это величина прямого угла. Можно показать, что это выражение верно для любой пары перпендикулярных прямых. Например, угол между осями координат t и ix тоже прямой и составляющие его углы равны φ + α₁ и α₂ - φ, поэтому величина этого угла тоже будет равна величине

(φ + α₁) + (α₂ - φ) + d = 0 + d.

Ну и двигаясь дальше в том же направлении, можно выяснить, что любой развернутый угол будет равен двум прямым углам 0 + 2d и что любой полный угол будет равен четырем прямым или двум развернутым 0 + 4d.

Исходя из этого, можно вывести формулу для нахождения величины α_Σ произвольного угла α (рис. 76).

Из того факта, что оси координат t и ix перпендикулярны, можно записать следующее выражение:

φ₁ + α₁ + α₂ + φ₂ + d = 0 + d.

Конкретно на рисунке 76 величины

φ₁ > 0,

α₁ > 0,

α₂ < 0,

φ₂ < 0.

Откуда находим:

α_Σ = α₁ + α₂ = -(φ₁ + φ₂).

5.6 Тригонометрические соотношения в пространственно-временных сечениях

В начале предыдущего параграфа мы установили, что для простых углов вычисление тригонометрических функций ничем не отличается от традиционного способа. Теперь пора выяснить, как вычислять тригонометрические функции составных углов. Вернемся к прямоугольному треугольнику, изображенному на рис 77.

Для этого треугольника верны соотношения:

a = id sh |α| = d sin α = d сh |β| = d cos β,

b = d ch |α| = d cos α = = id sh |β| = d sin β,

a/b = i th |α| = tg α = i cth |β| = ctg β.

Из этих соотношений можно вывести следующее:

d sh |α| = -ia

d ch |α| = b.

А значит, из соотношения ch² |α| - sh² |α| = 1 следует:

b² - (-ia)² = b² - (-i)² a² = d²(ch² |α| - sh² |α|) = d².

(-i)² = -1

d² = a² + b².

При этом, если величина одного из катетов действительная величина, то величина другого катета всегда мнимая, поэтому величина квадрата гипотенузы всегда рассчитывается как разность абсолютных величин катетов. Например, если действительную величину имеет катет a, то формулу для расчета величины гипотенузы можно записать так:

d² = a² - |b|²,

А если действительную величину имеет катет b, а мнимую величину катет a, тогда формулу можно записать так:

d² = b² - |a|².

В прошлом параграфе мы выяснили, что сумма острых углов прямоугольного треугольника α и β равна прямому углу:

α + β = 0 + d.

Отсюда получаем:

α = - β + d.

Следовательно:

a = d сh |β| = id sh |α| = id sh |- β + d|,

b = id sh |β| = d ch |α| = d ch |- β + d|,

a/b = i cth |β| = i th |α| = i th |- β + d|.

Из этих формул можно вывести тождества:

i sh |β + d| = сh |-β| = сh |β|,

ch |β + d| = i sh |-β| = -i sh |β|,

th |β + d| = cth |-β| = - cth |β|.

и

sin (β + d) = cos (-β) = cos β,

cos (β + d) = sin (-β) = - sin β,

tg (β + d) = ctg (-β) = - ctg β.

Если вспомнить, что в евклидовой геометрии прямой угол d = π/2, то формулы

sin (β + π/2) = cos β,

cos (β + π/2) = - sin β,

tg (β + π/2) = - ctg β,

являются полным аналогом приведенных выше формул для пространственно-временного сечения.

Сдвиг на два прямых угла, то есть, развернутый угол, равносилен симметричному отображению относительно центра координат, откуда можно вывести тождества:

sh |β + 2d| = sh |β|,

ch |β + 2d| = ch |β|,

th |β + 2d| = th |β|.

и

sin (β + 2d) = sin β,

cos (β + 2d) = cos β,

tg (β + 2d) = tg β.

Ну и соответственно, поворот на полный угол, на 4d, относительно исходного угла β, тождествен углу β. В этом случае величину 4d можно просто отбросить:

sh |β + 4d| = sh |β|,

ch |β + 4d| = ch |β|,

th |β + 4d| = th |β|.

и

sin (β + 4d) = sin β,

cos (β + 4d) = cos β,

tg (β + 4d) = tg β.

Теперь рассмотрим тригонометрию произвольного треугольника в пространственно-временном сечении. Один из вариантов такого треугольника показан на рисунке 78. В этом треугольнике два острых угла α и γ простые, а тупой угол β составной, состоит из трех частей. В створ угла β попадают две световые линии, которые показаны штрихпунктирными линиями.

Именно такой треугольник мы будем рассматривать, когда вновь вернемся к парадоксу близнецов.

Сумма углов произвольного треугольника также как и у прямоугольного треугольника равна 0 + 2d. Это не трудно доказать, просто опустить высоту h_B из точки на сторону b. Тогда, треугольник ABD будет разбит на две части, прямоугольный треугольник AEB и прямоугольный треугольник EBD. Теперь легко показать, что сумма углов треугольника ABD равна сумме углов двух треугольников AEB и EBD, то есть, (0 + 2d) + (0 + 2d), за вычетом развернутого угла ε = (0 + 2d).

Для этого треугольника легко вывести теорему синусов. Из соотношений для прямоугольных треугольников можно вывести следующие соотношения:

h_B = a sh |γ|

и

h_B = d sh |γ|.

Из этих формул легко вывести соотношение:

Аналогично можно доказать и соотношение для третьей стороны, и записать теорему синусов в полном виде:

Можно вывести и теорему косинусов. Обозначим отрезок AE на рисунке 78 как b₁, а отрезок ED как b₂. Тогда b = b₁ + b₂. Учитывая, что треугольники AEB и EBD прямоугольные, для них будут верны формулы:

d² = b₁² + h_B² => b₁² = d² - h_B²

a² = b₂² + h_B² => b₂² = a² - h_B²

Тогда:

b² = (b₁ + b₂)² = b₁² + b₂² + 2b₁b₂.

Из тригонометрических соотношений в треугольниках следует:

b₁² = d² ch²|α| = d² (1 - sh²|α|)

b₂² = a² ch²|α| = a² (1 - sh²|α|).

Следовательно:

b² = (b₁ + b₂)² = b₁² + b₂² + 2b₁b₂ = d² (1 - sh²|α|) + a² (1 - sh²|α|) + 2b₁b₂ = d² + a² - (d² sh2|α| + a² sh²|α| - 2b₁b₂).

Опять же, из тригонометрических соотношений следует:

d² sh²|α| = h_B²

и

a² sh²|α| = h_B².

А, следовательно:

b² = d² + a² - 2(h_B² - b₁b₂).

Подставляем:

h_B = d ch |β₁|,

h_B = a ch |β₂|,

b₁= d sh |β₁|,

b₂ = a sh |β₂|.

Тогда:

b² = d² + a² - 2ad(ch |β₁|ch |β₂| + sh |β₁|sh |β₂|).

Здесь β₁ - угол ABE, β₂ - угол EBD.

Используя тождество

ch (|β₁| + |β₂|) = ch |β₁|ch |β₂| + sh |β₁|sh |β₂|.

Получаем:

b² = d² + a² - 2ad ch |β|.

Теорема косинусов доказана.

В приведенном на рисунке 78 примере отрезки a, b и d имеют действительные величины. Но эта теорема будет верна и для случаев, когда один, два или даже три стороны треугольника будут мнимыми. В этом случае необходимо только учитывать, что квадрат мнимой величины меньше нуля. Например, если a - действительная величина, а d - мнимая величина, то вместо d² можно написать -|d|² (рисунок 79).

В этом случае произведение ad тоже будет мнимой величиной. Пусть это не вводит вас в заблуждение. Угол β в этом случае составной, и в створ угла попадает одна световая линия, поэтому мы используем преобразование:

ch |β| = -i sh |β - d|.

Следовательно, в результате, в этом частном случае, получаем:

b² = -|d|² + a² - 2i a|d| (-i sh |β - d|) = -|d|² + a² - 2i a|d| (-i sh |β - d|) = -|d|² + a² - 2 a|d| sh |β - d|.

Еще раз, обращаясь конкретно к рисунку 79, на нем угол (β - d) имеет отрицательную величину, поскольку угол β больше прямого угла. Поэтому, величина sh |β - d| тоже имеет отрицательное значение, поэтому член -2 a|d| sh |β - d| в целом имеет положительную величину.

В принципе, в последнем примере показаны все вещи, на которые необходимо обращать внимание при использовании теоремы косинусов в пространственно-временном сечении. И эта теорема верна вне зависимости от ориентации сторон треугольника, поэтому она верна и для любого из его углов:

b² = d² + a² - 2ad ch |β|.

a² = d² + b² - 2bd ch |α|.

d² = a² + b² - 2ab ch |γ|.

Несмотря на необычность, точнее непривычность, подобной тригонометрии, в целом она имеет много общего с тригонометрией евклидового пространства.

6. Движение тел в пространственно-временном континууме

6.1 Сокращение размеров тел

В источниках по теории относительности обычно указывается, что размер движущихся тел в направлении их движения уменьшаются. Мне встречались разные описания данного эффекта. Например, такое. Если представить себе электрон в виде шарика, то при движении с большой скоростью он становится похожим на эллипсоид, а при движении со скоростью очень близкой к скорости света становится похожим на плоский диск.

Наиболее показателен в отношении сокращения размеров тел в направлении их движения связанный с этим парадокс. Ландау в книге "Что такое теория относительности" приводит другой образ (Ландау Л. Д., Румер Ю. Б. Л22 Что такое теория относительности. 3-е, доп. Изд. М., "Сов. Россия", 1975.). Он описывает поезд, длина которого совпадает с длиной платформы, когда этот поезд на ней стоит. А вот когда этот же самый поезд проносится по рельсам мимо платформы со скоростью близкой к скорости света, пассажиры этого поезда ясно видят, что размер платформы меньше размеров поезда. В то же самое время, люди, которые находятся на самой платформе, так же ясно увидят, что сократился размер поезда.

В некоторых источниках этот парадокс описывается как пролет космических кораблей одинакового размера навстречу друг другу со скоростью близкой к скорости света. Но все происходящее, совершенно аналогично. Пролетая со скоростью близкой к скорости света, мимо другого корабля, каждый из космонавтов увидит, что другой корабль меньше его собственного. И это не визуальная иллюзия. Измерение при помощи приборов покажет, что длина встречного корабля действительно сократилась.

Давайте проведем эксперимент. Пусть на носу и в хвостовой части обоих кораблей работает сверхскоростная видеокамера. Пусть также, с каждой из этих видеокамер будут связаны точные электронные часы, и показания часов записываются на изображении. Тогда после пролета одного корабля мимо другого останутся две видеозаписи. Сравнив эти видеозаписи пилот первого корабля будет утверждать, что был момент, когда хвост второго корабля уже пролетел мимо носа первого, но нос второго корабля еще не достиг хвоста первого корабля. Так, как это показано на рисунке 80. Камеры четко фиксируют событие, когда корабли поравнялись, и оказалось, что второй корабль короче первого и находится между видеокамерами. Конечно, с точки зрения классической физики весьма необычно то, что движущийся объект оказывается меньше его действительного размера. Однако это можно расценить как весьма необычный физический закон.

Парадокс заключается в том, что пилот второго корабля, сделав точно такую же видеозапись, может доказать, что в момент пролета первый корабль был меньше второго. Видеокамеры, установленные на втором космическом корабле, зафиксируют момент, когда первый корабль будет находиться между камерами, как на рисунке 81.

Ландау, в упомянутой выше книге, в примере с поездом и платформой, пишет: "Мы видим, что на правом рисунке платформа длиннее поезда, а на левом - поезд длиннее платформы. Какая из этих картин соответствует действительности? Вопрос ... лишен смысла. И то и другое - картины одной и той же объективной действительности, "сфотографированные" с разных точек зрения".

Это авторитетное мнение. Но причины данного явления, в комментариях Ландау совершенно не раскрыты. Отчасти это понятно, данная книга является популярным изданием. Но неужели все так сложно, что только в специальной литературе можно объяснить происходящее?

Вовсе нет! Весьма оригинально этот парадокс был описан в статье, опубликованной в первой половине 80-х годов в журнале Юный Техник в статье, предназначенной для школьников. В напечатанной там статье, рассматривались карандаш и коробка для карандашей, которая соответствует карандашу по размеру. У коробки были открыты торцевые стороны, так, чтобы карандаш мог пролететь сквозь коробку. Затем предполагалось, что карандаш и коробка движутся относительно друг друга со скоростью близкой к скорости света.

Теперь, если мы будем наблюдать происходящее с точки зрения коробки, при движении карандаш сокращается в размерах. Окажется, что есть момент, когда карандаш пролетает сквозь коробку, когда можно на короткое время закрыть торцевые стороны так, что карандаш окажется внутри коробки (рис. 82).

А вот, с точки зрения карандаша, в размерах сокращается коробка и она оказывается меньше карандаша, поэтому, когда карандаш пролетает сквозь коробку, его размер больше размера коробки, поэтому, невозможно одновременно закрыть обе стороны коробки так, чтобы карандаш оказался внутри нее (рис. 83).

В такой формулировке этого парадокса, очевидно, что происходящее противоречит не только законам классической физики, но и элементарным законам логики. Так, где же ошибка? Ошибка в том, что процессы относительного замедления времени, относительного сокращения размеров и изменение относительной одновременности в большинстве источников по теории относительности рассматриваются раздельно, как разные процессы. На самом деле это различные проявления одного процесса и, для его понимания, должны рассматриваться вместе.

Если с точки зрения коробки, то есть, в системе отсчета коробки, на рисунке 82 торцевые стороны коробки закрываются одновременно, то с точки зрения карандаша, движущегося относительно коробки, все обстоит совершенно иначе. Наблюдатель, движущийся в одной системе отсчета с карандашом (рис. 83), увидит следующее. Карандаш влетает в коробку, затем, когда его передний конец приближается к ее дальней стороне, перед ним быстро закрывается, а затем открывается торец. Потом передний конец карандаша вылетает из коробки. После этого в коробку влетает задняя часть карандаша и уже после этого вслед за карандашом быстро закрывается, а затем открывается торец. То есть, те события, которые в системе отсчета коробки произошли одновременно, в системе отсчета карандаша происходят в разное время.

В таком виде, описание происходящего уже ближе к истине, но все равно еще не полное. Остается непонятным причина, по которой события происходят в разные моменты времени, почему именно в таком порядке и почему вообще происходит сокращение движущегося относительно коробки карандаша.

Для того чтобы рассмотреть это явление более подробно, требуется рассмотреть движение карандаша на схеме в декартовых координатах в системе отсчета коробки (рис. 84). На этом рисунке карандаш двигается с классической скоростью

v = с th |φ| = Δl/Δt.

В частности, это видно по траектории движения точки B. Эта точка движется по прямой t', мировой линией точки B, по терминологии, принятой в теории относительности.

Для наблюдателя, принадлежащего системе отсчета карандаша, прямая t' является осью времени. Следовательно, пространственная ось ix' будет расположена под прямым углом к оси t', так как это изображено на рисунке.

И именно вдоль оси ix' наблюдатель в системе отсчета карандаша будет отмечать одновременность событий. То есть, он будет считать, что события B₁ и A₁ произошли одновременно. А чуть позже одновременно произошли события B₂ и A₂. Но и все физические явления он будет воспринимать в соответствии именно с этой системой отсчета. Поэтому, если он будет измерять длину карандаша, то делать это он будет вдоль оси ix'. И именно вдоль этой оси он измерит истинную длину карандаша.

С точки зрения наблюдателя в системе отсчета коробки все выглядит так, как будто карандаш развернут в пространственно-временном континууме и его передняя часть опережает во времени заднюю. Так ли это в действительности, или это только математическая абстракция, это другое дело. Но если это в действительности так, то из этого следует, что существует не только настоящий момент, а настоящее, прошлое и будущее сосуществуют. Современной физикой сосуществование прошлого, будущего и настоящего, не доказано, отчасти поэтому, физики говорят просто о сокращении длины, замедлении времени и относительности одновременности, используя образ поворота только как удобную математическую абстракцию.

Теперь посмотрим как происходящее видно с точки зрения коробки от карандашей (рис. 85). Если на концах и в середине карандаша расположить часы, которое бы были видны наблюдателю в системе отсчета коробки, то он увидит на этих часах разное время. Так, например, в тот момент времени, когда можно закрыть торцы Y и X, наблюдатель увидит на часах на носу время t₁ (точка A₁), в центре время t₂, а в задней части время t₃ (точка B₃).

Это выглядит так, что в то время, когда наблюдатель в системе отсчета коробки наблюдает точку B₃, соответствующая ей точка A₃ уже сместилась вперед во времени и там заняла положенное ей место, но наблюдатель этого пока еще не видит.

Расстояние в пространстве между точками B₃ и A₁ это видимый размер карандаша в системе отсчета коробки. Это расстояние в

k = (ch |φ|)

раз меньше, чем действительный размер карандаша.

Расстояние между точками B₃ и D соответствует расстоянию между точками в пространстве, в которых часы точек A и B покажут одинаковое время. Это расстояние в

k = (ch |φ|)

раз больше, чем действительный размер карандаша.

Таким образом, получаем пропорцию:

А из этого следует, что реальный размер движущегося объекта можно вычислить как среднее геометрическое

видимого размера объекта |B₃A₁| и расстояния в пространстве между событиями, в которых часы крайних точек объекта будут показывать одно и то же время |B₃D|.

6.2 Проблема актуальной одновременности

В основе теории относительности лежат два постулата, постулат постоянства скорости света и постулат относительности, а также ряд аксиом. Среди аксиом есть такие предположения, как предположения об однородности пространства и равноправие всех направлений пространства, а также, что геометрия пространства является евклидовой.

Знакомясь с различными источниками по теории относительности, я обнаружил, что в них постулаты, на которых строится теория относительности, формулируются различным образом. Очевидно, есть несколько причин такого положения дел. Во-первых, сам автор теории относительности посвятил ей целый ряд публикаций, в которых давал эти определения различным образом. Во-вторых, статьи посвященные теории относительности переводились на русский язык разными людьми, а различие при переводах неизбежно. А в-третьих, многие комментаторы теории относительности достаточно вольно описывают эти постулаты своими словами.

Вот, например, информация, которую я обнаружил в Википедии (интернет сайт http://ru.wikipedia.org). Там постулаты теории относительности описаны так:

СТО полностью выводится на физическом уровне строгости из трёх постулатов (предположений):

1. Справедлив принцип относительности Эйнштейна - расширение принципа относительности Галилея.

2. Скорость света не зависит от скорости движения источника во всех инерциальных системах отсчёта.

3. Пространство и время однородны, пространство является изотропным.

Иногда в постулаты СТО также добавляют условие синхронизации часов по А. Эйнштейну, но принципиального значения оно не имеет.

В книге Ыйглане В мире больших скоростей те же самые постулаты описываются так:

Специальный принцип относительности: для описания явлений природы все инерциальные системы равноправны.

Ни одно тело в природе не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света. Более того, ни одно тело не может двигаться со скоростью, равной скорости света.

Еще один источник, Лилли Теория относительности для всех:

Скорость света (приходящего с любого направления) относительно любого наблюдателя (вне зависимости от того, как он движется) всегда одинакова.

В книге Дьюрелл Азбука теории относительности все те же самые постулаты описываются так:

Эйнштейн выдвинул два общих принципа, или аксиомы:

1. Равномерное движение через эфир не поддается обнаружению

2. При любом волновом процессе скорость распространения волны не зависит от скорости источника.

Смотрим М.В.Сажин Теория относительности для астрономов:

Принцип относительности. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, эти изменения относятся.

Принцип постоянства скорости света. Каждый луч света движется в избранной системе координат со скоростью с, независимо от того, испускается ли этот луч покоящимся или движущимся телом.

Можно еще долго продолжать этот список, поэтому я решил посмотреть, как сформулировал эти постулаты сам Эйнштейн. Конечно, в первую очередь, в опубликованной им статье К электродинамике движущихся тел:

Мы формулируем оба принципа следующим образом.

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в "покоящейся" системе координат с определенной скоростью V, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом.

Как видите, автор одного из вышеперечисленных источников, все же заглянул в первоисточники и привел определение, данное самим Эйнштейном.

Ну, и для полноты картины, привожу те же самые постулаты, но уже в поздней редакции. В книге А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эволюция физики, (М., Наука, 1965.)

Два постулата: Принцип независимости скорости света: "скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета"; и Принцип относительности: "Все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета".

Формулировки постулатов, в большинстве случаев, можно все же узнать, несмотря на искажения, а вот толкования этих постулатов отличаются еще сильнее. И речь идет не о критиках теории относительности и не о людях, стремящихся исправить и дополнить эту теорию. Речь идет о ее верных последователях.

Вот например, постулат "Все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета" допускает целый ряд различных трактовок, не противоречащих теории относительности. И выбор той или иной трактовки зависит только от личных пристрастий исследователей. От того, как этот исследователь понимает теорию относительности, от того, какая концепция ему ближе.

Среди целого ряда концепций, основанных на постулатах теории относительности, я хочу выделить два взаимоисключающих варианта.

1. Выделенная система отсчета существует, но физические законы таковы, что обнаружить эту систему отсчета современными средствами невозможно.

2. Выделенной системы отсчета не существует, все системы отсчета действительно совершенно равноправны.

То, что я рассматриваю здесь только две концепции, вовсе не означает, что их всего только две. Просто, рассматривая эти две концепции, я хочу обозначить одну из главных проблем, с которой сталкивается теория относительности.

Эти две различные концепции обе вполне совместимы с классической теорией относительности, они обе не противоречат теории относительности. Обе они утверждают, что используя частицы, движущиеся со скоростями меньше скорости света и даже со скоростью света, обнаружить выделенную систему отсчета невозможно.

Но, если использование средств, доступных современной физике не дает эффекта, можно попытаться теоретически использовать другие средства, хотя бы для того, чтобы лучше понять проблему. И для этого предположим возможность передачи сигналов в пространстве быстрее скорости света. Здесь важен не физический принцип такой передачи сигналов, а просто допущение принципиальной возможности такой передачи. Существует авторитетное мнение, что скорость выше скорости света не возможна в принципе. Это тоже всего лишь одна из возможных трактовок теории относительности, но из самой теории относительности запрет на сверхсветовую скорость не следует.

Дело в том, что согласно классической теории относительности невозможно достичь скорости света постепенно и равномерно ускоряя частицу. Для того чтобы таким способом достичь скорости света просто понадобится бесконечно большое время. По этой причине невозможно и превысить скорость света, постепенно разгоняя частицу. Однако есть пример фотона, который рождаясь, сразу начинает двигаться со скоростью, близкой к скорости света, не разгоняясь. Так, что возможно построение теорий, в которых существуют частицы, постоянно движущиеся быстрее скорости света. Хотя современной физикой такие частицы пока не обнаружены, ряд физиков допускаю возможность их существования и даже придумали для них название - тахионы. Поскольку такие частицы не обнаружены, нельзя точно предсказывать все их свойства, но если тахионы взаимодействуют с обычным веществом, тогда появляясь, они не разгоняются, а сразу движутся со скоростями, превышающими скорость света.

Но даже если предположение о существования тахионов не подтвердится, в теории относительности есть еще ряд лазеек. Например, другой вариант превышения скорости света состоит в том, чтобы изменять саму геометрию пространства не меняя законов теории относительности. Это возможность обойти формальные запреты теории относительности. Если изменить свойства самого пространства так, чтобы в некотором "коридоре" расстояния сократились в миллионы раз, то по этому коридору можно было бы перемещаться, даже особенно не разгоняясь, и при этом преодолевать десятки световых лет. Все это тоже теоретически. И тоже не противоречит теории относительности.

Еще одна дыра в теории относительности связана со скоростью распространения гравитационного взаимодействия. Когда астрономы делают расчеты движения объектов в космосе, они неявно исходят из того, что гравитация распространяется мгновенно. Давайте предположим, что это не так, и посмотрим, что из этого получится. Представьте себе, что в системе из двух звезд примерно одинаковой массы вращение происходит вокруг общего центра. Теперь представьте себе, что гравитационное воздействие проходит со скоростью света. Тогда сила притяжения будет направлена не на то место, в котором звезда находится в данный момент, а к тому месту, в котором она была несколько минут назад (рис. 86).

Как видно из рисунка, при этом вектор силы притяжения будет проходить не прямо через центр масс, а чуть в сторону, таким образом, что у силы притяжения появляется поперечная составляющая, направленная в сторону движения звезды. Это составляющая должна быть сравнительно невелика, но достаточна для того, чтобы сделать неустойчивой любую двойную систему. Двойные звезды должны постоянно ускоряться и лететь все быстрее, до тех пор, пока не разлетятся окончательно в разные стороны. Причем, этот процесс должен происходить с нарушением законов сохранения импульса и энергии. Вот такой небольшой вечный двигатель. Наблюдения показывают иное. Небесные тела движутся так, как будто поперечная составляющая отсутствует. Но это предполагает, что гравитационное взаимодействие между телами передается со скоростью если не бесконечно большой, то, по крайней мере, значительно большей, чем скорость света. Эта проблема не была решена Эйнштейном, и, насколько мне известно, не решена до сих пор.

Вот теперь, пользуясь таким инструментом, как передача сигналов со скоростью выше скорости света, пусть даже теоретически, можно было бы отдать предпочтение либо концепции существования выделенной системы отсчета, либо концепции ее отсутствия. Концепция о существовании выделенной системы отсчета исторически связана понятием эфир. Так ученые девятнадцатого века называли гипотетическую среду или вещество, через которую распространяется электромагнитное излучение. Тогда высказывалось предположение, что скорость света постоянна относительно этой среды и именно движение Земли относительно эфира пробовали обнаружить в своих опытах Майкельсон и Морли.

После того, как теория относительности завоевала известность, стало популярным утверждение о том, что Эйнштейн доказал, что эфира не существует. Это еще один миф. Действительно, после появления теории относительности, предположение о существовании эфира стало менее популярным. Но даже верность теории относительности никак не может служить доказательством того, что эфира не существует. Максимум, что эфир, если он существует, имеет совсем не те свойства, которые ему приписывались в 19 веке.

Кроме того, в середине двадцатого века теория существования эфира приобрела новую жизнь. И это было связано с развитием квантовой физики и изучением свойств вакуума. В 19 веке вакуум считался пустотой, пространством, в котором отсутствует материя. Исследования века 20-го показали, что вакуум это вовсе не пустота, а определенное энергетическое состояние пространства, которое заполнено постоянно возникающими на короткое время, а затем исчезающими, самыми разными частицами, которым дано обобщающее название - виртуальные. Трехмерное пространство стало рассматриваться не как пустота, в которой движутся элементарные частицы и материальные тела, а как основа, ткань мира, вне которой не могут существовать ни частицы, ни другие тела. При таком подходе, эта основа, по сути, и есть эфир, даже если для него придумываются совсем другие названия. И вместе с тем, любая более продвинутая теория, которая бы описывала процессы, происходящие в физическом пространстве, должна включать в себя теорию относительности как частный случай, либо объяснять эффекты теории относительности иначе, но никак не объявлять их несуществующими.

И еще, любая теория должна объяснить связь между пространством и временем. И в этом вопросе оказывается, что одни исследователи склоны видеть во времени четвертую координату, отчасти подобную пространственным, а другие, считают время лишь мерой изменчивости окружающего нас мира.

Если время это мера изменчивости мира, тогда объективно существует только настоящее, прошлого уже не существует, а будущего пока еще не существует. В таком случае, путешествие в прошлое или будущее невозможно в принципе. Для такого путешествия, потребовалось бы заново создать целую вселенную. Абсолютную копию нашей вселенной, только сдвинутую во времени. Если вам такое по силу, то своим появлением в этой вселенной, вы ее измените. Ее, но не повлияете, ни на свое прошлое, ни на прошлое оригинальной вселенной.

Если же, время это координата, вдоль которой можно двигаться, то будущее и прошлое должны объективно сосуществовать с настоящим. Это совсем другая модель мира, в которой путешествия во времени становятся технической задачей, возможно осуществимой, возможно нет.

Классическая физика исходит из того, что время это мера изменчивости, что объективно существует только настоящее. Если это так, то постулат относительности следует понимать так:

Выделенная система отсчета существует, но физические законы таковы, что обнаружить эту систему отсчета современными средствами невозможно.

Но если использовать частицы, движущиеся со скоростью большей, чем скорость света, тогда, в этом случае, обнаружение выделенной системы отсчета становится возможным. В таком случае, тахионы будут распространяться со скоростями, во много раз превышающими скорость света, только в выделенной системе отсчета. И в этой системе отсчета движение тахионов будет происходить только из прошлого в будущее.

В других системах отсчета, в таком случае, возможная максимальная скорость движения тахионов будет ограничена и при этом, в разных направлениях пространства, это ограничение будет разным. Таким образом, это будет аналогом опытов Майкельсона и Морли, но на качественно ином уровне.

С помощью таких опытов, можно было бы определить систему отсчета, в которой моменты времени удаленных друг от друга точек действительно одновременны. В трудах, посвященных данному вопросу, такой вид одновременности называется разными терминами, мировое время, актуальная одновременность и другими.

Но может случиться так, что опыты с тахионами покажут, что выделенной системы отсчета не существует и для скоростей превышающих скорость света. Тогда действительно можно было бы заключить, что:

Выделенной системы отсчета не существует, все системы отсчета действительно совершенно равноправны.

Но в таком случае, обязательно должны существовать такие системы отсчета, в которых движение тахионов быстрее скорости света в одной из систем, равносильно движению не только в пространстве, но и назад во времени в другой системе отсчета. Причем вовсе не кажущееся движение назад во времени, а вполне реальное, так, что используя последовательность ряда таких движений, можно будет послать сигнал в прошлое. То есть, реализовать машину времени.

Именно этот факт, заставляет многих ученых усомниться в том, что вторая концепция верна. А в таком случае, действительно явления, рассмотренные в прошлом параграфе, это просто замедление времени, сокращение размеров, но никак не поворот движущегося объекта в пространственно-временном континууме.

6.3 Законы сохранения

Увеличение массы движущегося тела, это один из эффектов, следующих из теории относительности. И это еще один миф теории относительности. И, рассматривая этот вопрос, следует понять, что в действительности подразумевается под массой тела.

Еще Ньютон, сформулировавший принципы, на которых лежит современная физика, отметил существование двух разных проявлений массы. Эти проявления массы обычно обозначаются так: гравитационная масса и инерционная масса. Гравитационная масса, это способность тела создавать вокруг себя гравитационное поле, а инерционная масса, это способность тела изменять свою скорость под действием внешнего воздействия.

Гравитационная масса проявляет себя в формуле:

где: a - ускорение свободного падения на расстоянии R от центра массы M₁. Здесь G - постоянная тяготения, коэффициент пропорциональности между инерциальной массой и гравитационной массой.

Инерциальная масса проявляет себя в формуле:

где: a - ускорение тела массой M₂, к которой приложена сила F.

Это два разных свойства материи. Ньютон высказал предположение о том, что инертная масса и гравитационная масса одного и того же тела всегда пропорциональны. Так он получил формулу, по которой рассчитывается движение небесных тел:

Коэффициент G при этом признается постоянным и не зависящим ни от массы M₁, ни от массы M₂, ни от расстояния между телами.

Это предположение перепроверялось многократно различными экспериментаторами, начиная от Ньютона и до нашего времени. Все эти эксперименты показали только одно, инерциальная масса всегда оказывалась пропорциональна массе гравитационной, с точностью проводимых экспериментов.

Пока мы говорим о той версии теории относительности, которая была опубликована в статье "К электродинамике движущихся тел", речь идет исключительно об инертной массе. О свойстве тел изменять свою скорость под действием внешней силы.

Многочисленные критики теории относительности очень часто возвращаются к идее эфира, который увлекаются Землей при ее движении вокруг Солнца. Якобы так можно объяснить результаты экспериментов Майкельсона. Сделаем поправку. Можно было в начале двадцатого века. Но уже во второй половине двадцатого века было создано множество циклотронов и синхрофазотронов, установок, в которых частицы разгоняются до скоростей, сравнимых со скоростью света. Движение частиц в синхрофазотронах рассчитывается при помощи уравнений теории относительности и, если бы эфир просто увлекался Землей, то эти бы уравнения не действовали. И это все очень легко проверяется.

В этих установках заряженные частицы разгоняются переменным магнитным полем множества катушек, расположенных вдоль закольцованной трубы. По этой трубе летят заряженные частицы, и задача состоит в том, чтобы в каждый момент времени электрический импульс подавался именно на ту катушку, мимо которой полетает пучок заряженных частиц. Если будет допущена ошибка, то пучок частиц, либо перестанет разгоняться, либо даже станет тормозиться магнитным полем. Силу, с которой действует на частицы магнитное поле можно рассчитать. А далее все происходит так, как будто с ростом скорости масса частицы увеличивается. Прикладывая постоянную силу к частице, мы обнаружим, что с ростом скорости ускорение начинает уменьшаться. Естественно, если мы берем за основу формулу классической физики

и знаем, что сила остается постоянной, то объяснить уменьшение ускорения можно только предположив, что растет масса. Других вариантов нет. С точки зрения классической физики.

Но теория относительности уже настолько поставила под сомнение многие догмы классической физики, что еще можно предположить, что, либо неверна приведенная формула, либо эта формула неверно применяется.

Действительно, если считать ускорение, основываясь не на классической скорости, а на той скорости, которую выше я назвал релятивистской, то окажется, что ускорение, найденное по формуле

то есть, на отношении приращения релятивисткой скорости к приращению времени, то окажется, что такое ускорение будет оставаться постоянным при постоянной силе, приложенной к частице. В этом случае нет необходимости придумывать легенду о росте инертной массы частицы при повышении ее скорости. Если же за основу брать классическую скорость, то формулу нужно менять, как менялась формула сложения классических скоростей применительно к теории относительности.

Другое дело, что величина приложенной к частице силы, это тоже величина относительная. И то, что выглядит с точки зрения наблюдателя разгоняющего частицу как постоянная приложенная к частице сила, с точки зрения самой этой частицы будет выглядеть как сила постоянно и нелинейно растущая. Обратите на это внимание, если захотите копнуть поглубже.

Еще, с инертной массой связаны такие величины, как энергия и импульс частицы, а так же законы сохранения. С законами сохранения приходится считаться. После Большого Взрыва, в результате которого сформировалась наша физическая вселенная, пространственно-временной континуум пришел к устойчивому состоянию, в котором, при всех взаимодействиях между частицами, с очень большой точностью выполняются законы сохранения энергии и импульса. Законы эти гласят, что если мы будем рассматривать некую изолированную систему, то при всех взаимодействиях между частицами этой системы, сумма их полных энергий будет оставаться постоянной. При этих взаимодействиях также векторная сумма всех импульсов частиц также будет оставаться постоянной.

Причем, из постулатов теории относительности следует, что законы сохранения продолжают действовать в любой инерционной системе отсчета. Правда, при переходе из одной системы отсчета в другую, окажется, что величина суммарного импульса и величина суммы полных энергий изменились. Но это только если мы эти величины рассматриваем по отдельности. Но если рассматривать оба закона сохранения как части одного процесса, то окажется, что из суммы полных энергий и векторной суммы импульсов можно создать инвариант, величину, которая остается постоянной не только при переходах из одной инерциальной системы отсчета в другую, но и остается постоянной в любой ускоренной системе отсчета.

Рассмотрим это при помощи формул. Вначале в той форме, которая является классической в теории относительности. Полная энергия частицы определяется по формуле:

в которой: E - величина энергии частицы, m - ее масса, v - скорость, определенная по правилам классической физики, с - скорость света.

Используя формулы, рассмотренные ранее в этой статье, то же самое соотношение можно записать в другом виде, вот так:

В этой формуле, φ это угол между осями времени наблюдателя и частицы, их чаще называют мировыми линиями, а V - релятивистская скорость, определенная по правилам, данным в прошлых главах.

Импульс частицы в теории относительности определяется по формуле

где p - импульс частицы, все остальные обозначения, те же, что и выше.

Иначе эту формулу можно записать так:

Обобщенный закон сохранения, который еще называют релятивистским инвариантом, записывается следующим образом:

Или так:

Впрочем, результат тот же самый. Скорость света c является постоянной величиной и не зависит от системы отсчета, следовательно, масса частицы всегда остается постоянной в любой системе отсчета. Причем не имеет значения, инерциальная это система отсчета или ускоренная.

Обращаю ваше внимание. Информация о том, что релятивистский инвариант является постоянной величиной в любой из систем отсчета, соседствует в учебниках физики с информацией о том, что масса частицы увеличивается при увеличении скорости этой частицы. Поражает то, какое количество умных людей проходят мимо и не видят этого противоречия. Поражает то, какое количество людей, увидев это противоречие, принимает его на веру, не разбираясь в его сути. Впрочем, противоречия, по сути, тоже нет. Есть неумеренное смешение понятий классической физики и теории относительности. Какой результат вы хотите получить, если в числитель дроби пишите число в арабской системе записи, а в знаменатель в римской? Может быть в двоичной? Но когда такой подход становится системой, когда по этой системе начинают учить других людей, это уже не смешно.

Не буду вас утомлять доказательствами того, что для изолированной системы частиц в целом, эти законы сохранения тоже верны. Такого рода выкладки вы можете найти в других источниках, если вас это интересует.

С точки зрения обобщенного закона сохранения можно дать определение инерциальной и ускоренной системам отсчета. Окажется, что для любой области пространственно-временного континуума, для которого верны законы геометрий, рассмотренных в прошлой главе, выполняется обобщенный закон сохранения, причем выполняется в равной степени для инерциальных и ускоренных систем отсчета. Замечание о свойствах геометрии здесь принципиальное. После Большого Взрыва топология пространственно-временного континуума эволюционировала таким образом, что приняла некую устойчивую форму, некую геометрию. И именно следствием свойств этой геометрии и является выполнение законов сохранения.

Сверх того, для инерциальных, то есть неускоренных систем отсчета, выполняются еще и законы сохранения энергии и импульса по отдельности. Впрочем, можно на это посмотреть и с другой точки зрения. Тогда мы можем назвать инерциальной такую систему отсчета, в которой выполняется не только обобщенный закон сохранения, но и еще, по отдельности, закон сохранения сумм полных энергий и закон сохранения векторной суммы импульсов частиц.

До сих пор я употреблял термин полная энергия, не объясняя его смысл. Все дело в том, что в теории относительности и в классической физике энергия частиц рассчитывается различным образом. Из формулы

E² - c²p² = c⁴m²

Следует, что тело, которое неподвижно относительно вас, импульс которого равен нулю, уже обладает определенной энергией:

E² = c⁴m²,

при p = 0

или, в более привычной форме:

E = mc².

Этот вывод теории относительности часто трактуется как эквивалентность массы и энергии. Иногда, можно встретить трактовку массы, как концентрированной формы энергии. В классической физике до теории относительности таких концепций массы не существовало, поэтому энергия, эквивалентная массе тела, стала рассматриваться как еще один вид энергии, наряду с энергией кинетической, энергией, потенциальной, энергии тепловой и другими ее формами. Термин "полная энергия", как раз и обозначает сумму энергии кинетической и энергии заключенной в самом веществе.

Классическая физика тоже не стоит на месте и использует достижения теории относительности. И здесь мы снова оказываемся на границе теории относительности и классической физики, когда начинают смешиваться понятия. Так возникает понятие "масса покоя". Выше уже было показано, что масса это инвариант, величина, которая всегда остается постоянной, но когда мы рассматриваем происходящее с позиций классической физики, с точки зрения формул классической физики, при росте скорости масса тела увеличивается.

Именно с этих позиций масса тела была разделена на две части, постоянную, то есть, массу покоя, и переменную, зависящую от скорости частицы:

m = m₀ + Δm.

При таком подходе можно получить отдельно энергию, связанную с массой покоя частицы и отдельно энергию, связанную с движением.

Ну что же, классическая физика в своем праве, теоретические и экспериментальные выводы Ньютона давно уже признаны физическими законами, а творение Эйнштейна пока еще остается теорией. Но вот грань, между понятиями классической физики и теорией относительности, обычно четко не проводится, что приводит к сильной путанице.

Так, например, в учебниках физики можно найти таблицы, в которых указаны массы элементарных частиц, и здесь же будет указание о том, что в таблице приведены массы покоя частиц. Обычно эта информация подается как вывод теории относительности, хотя уже сам термин "масса покоя" должен навести на мысли о классической физике. Начало этой путанице положил сам Эйнштейн, который, сформулировав принципы теории относительности, затем в течение десятков лет шел пониманию того, что же на самом деле он создал. В ранних работах, посвященных теории относительности, он сам еще мыслил образами и концепциями классической физики. Чуть позже, я рассмотрю историю создания теории относительности подробнее. А сейчас я хочу рассмотреть несколько интересных моментов, которых вы не найдете в учебниках физики.

Если рассматривать соотношение массы, энергии и импульса объекта с точки зрения геометрии, все выглядит так, как будто масса элементарной частицы это ее размер во времени. Судите сами.

Довод первый. Представим себе элементарную частицу упрощенно в виде жесткого стержня, сориентированного в направлении своего движения. Можете представить себе это в виде движения длинного автобуса по дороге или в виде движения корабля в море. Чем длиннее этот автобус, тем большим будет радиус его поворота, чем меньше длина автобуса, тем меньшим может быть радиус его поворота. То же самое и с кораблем, чем он длиннее, тем больше времени нужно чтобы повернуть, тем больше будет радиус поворота.

На рисунке 87 длинный стержень в 2,5 раза длиннее короткого. И время, которое понадобилось для поворота на тот же самый угол при максимальном ускорении длинному стержню, в 2,5 раза больше, чем время, которое понадобилось короткому. То же самое можно выразить формулами, но так, в виде рисунка, это гораздо нагляднее.

Если длина стержня m, и если ему для поворота на угол ψ, и, соответственно, для того, чтобы изменить скорость на V=cψ, понадобилось время t, то получаем знакомую формулу:

A = V/t = F/m.

То есть, чем больше предполагаемый размер во времени частицы, при условии, что она имеет свойства жесткого стержня, тем большей инерцией она должна обладать.

Довод второй. В предыдущих главах я неоднократно обращал ваше внимание на то, что кривая в пространственно-временном сечении, которая выглядит в декартовых координатах гиперболой, на самом деле является окружностью, множеством точек равноудаленных от одного центра.

Тогда у таких физических величин, как энергия и импульс, тоже появляется геометрический смысл (рис. 88). Оказывается, что энергия элементарной частицы, это проекция ее длины во времени на ось времени:

E = mc² ch |ψ|.

И, оказывается, что импульс элементарной частицы, это проекция ее длины во времени на поверхность перпендикулярную оси времени:

p = mc sh |ψ|.

Ну, и есть еще третий довод. Если масса частицы, это ее размер во времени, то эффективное сечение воздействия частицы на окружающее пространство оказывается пропорциональным ее длине, то есть массе частицы. Отсюда естественным образом следует пропорциональность инертной и гравитационной масс.

Но ко всем перечисленным здесь доводам есть контрдовод. Все сказанное имеет смысл только в том случае, если время действительно является осью, вдоль которой можно перемещаться. А иначе, все сказанное остается только наглядной геометрической абстракцией.

6.4 Кинематика элементарных частиц

Еще один миф теории относительности говорит о том, что она неприменима, когда речь идет об элементарных частицах. Отчасти этот миф верен. Эйнштейну действительно не удалось построить общую теорию, объясняющую одновременно и эффекты теории относительности и теорию квантовой физики. Впрочем, ученые до сих пор работают над созданием такой "теории всего". Но когда речь идет о кинематике элементарных частиц при их взаимодействии между собой, эффекты теории относительности необходимо учитывать.

Критики теории относительности придумывают самые разные объяснения происходящего, для того, чтобы объявить эту теорию фальсификацией. Согласно этим объяснениям, эфир существует и увлекается Землей при ее вращении вокруг Солнца, отклонение лучей звезд происходит не из-за искривления пространства, а вследствие рефракции, потому, что проходят через атмосферу Солнца. Динамику движения в синхрофазотронах объясняется тем, что эфир увлекается мощным магнитным полем. Но если теория относительности фальсификация, то следует считать фальсификаторами сотни ученых физиков, работавших с камерой Вильсона, или с пузырьковой камерой, или с аналогичными аппаратами. Также, придется признать искусным фотомонтажом сотни тысяч фотографий, полученных при помощи этих приборов.

В камере Вильсона, при помощи резкого изменения давления, создается воздушная среда, находящаяся на грани конденсации пара. Пролет заряженных частиц вызывает ионизацию воздуха и образование капелек пара, по которым можно определить траекторию движения элементарных частиц - треков. Эти треки можно сфотографировать, а затем исследовать.

Для того чтобы повысить информативность камеры Вильсона, в ней создается постоянное магнитное поле, поэтому пролетающие через камеру Вильсона частицы летят по искривленной траектории. По направлению закручивания траектории можно определить заряд частицы, а крутизна закручивания зависит от массы частицы и ее скорости.

Несмотря на то, что камера Вильсона сравнительно простое устройство, при помощи нее в двадцатом веке было совершено много замечательных открытий. Но это другая тема, а нас будет интересовать самое простое, упругое рассеяние частиц. В отличие от макрообъектов, у которых при столкновении часть энергии уходит в тепло и часть теряется при деформации объектов, у элементарных частиц возможно действительно упругое рассеяние, при котором кинетическая энергия перераспределяется между частицами без потерь. При упругом рассеянии частицы не превращаются в другие частицы, а просто меняют траектории своего движения.

На рисунке 89 показан пример столкновения двух электронов в камере Вильсона. Один из них движется по треку a-b, и в точке b сталкивается с другим электроном, передает ему часть своей энергии и дальше два электрона разлетаются в разные стороны, один по треку b-c, другой b-d. По какой из траекторий движется первый электрон, а по какой второй, определить невозможно, поскольку электроны идентичны.

Для расчета параметров движения частиц используются кинематические графы, схемы, на которых отображаются скорости частиц до и после столкновения. Электрон B неподвижен в системе отсчета камеры Вильсона, а электрон A движется по отношению к этой системе отсчета со скоростью v_BA (рис. 90). Центр масс системы состоящей из двух электронов A и B движется со скоростью v_BO = v_BA/2. Соответственно, на кинематическом графе точка O, соответствующая скорости центра масс, располагается посередине отрезка AB. Это связано с тем, что электроны имеют одинаковую массу, и "неподвижный" и "движущийся".

Вначале рассмотрим, что происходит при скоростях значительно меньших скорости света, скоростях, при которых действуют законы классической физики. После столкновения электронов, центр масс системы продолжает двигаться в том же направлении и с той же скоростью. Кроме того, при упругом столкновении относительная скорость электронов не изменяется, только изменяется направление их относительных скоростей, система просто разворачивается относительно центра масс (рис. 91).

Я уже отмечал, что электроны идентичны, и определить, какой из них после столкновения двигался по какому из треков, невозможно. Но, просто для определенности, можно предположить, что после столкновения система B_OA (красный цвет) повернется относительно центра масс O на угол BOC по часовой стрелке. Тогда точка C будет соответствовать движению электрона B после столкновения, а точка D будет соответствовать движению электрона A после столкновения. Величина скорости одного электрона относительно другого, при таком столкновении, упругом рассеянии, остается той же самой, что была до столкновения, но направлена в другую сторону. Величина поворота системы при столкновении электронов, это величина случайная, которая зависит только от того, каким образом произошло столкновение.

Рассматривая схему на рисунке 91 можно понять, как связаны между собой скорости и направление движения электронов до и после столкновения. Еще раз обращаю ваше внимание, в системе отсчета камеры Вильсона скорость электрона B до столкновения равна нулю, или, по крайней мере, очень мала. И в этой же системе отсчета электрон A до столкновения движется со скоростью v_BA и в направлении вектора BA. В той же системе отсчета после столкновения электрон B будет двигаться в направлении BC со скоростью v_BC. А электрон A после столкновения будет двигаться в направлении BD со скоростью v_BD. Величину скорости электрона A можно задать с достаточно большой точностью, используя ускорители частиц.

При малых скоростях движения электронов, все эти процессы происходят так, как должны происходить в мире с евклидовой геометрией. И скорости разлетающихся электронов можно определить, зная скорость электрона A и рассчитав косинусы углов отдачи. Но вот что интересно. Согласно классической физике, при любом варианте разлета, при упругом рассеянии при данных условиях, частицы после соударения должны разлетаться под прямым углом. Этот вывод можно сделать и из формул сохранения импульса и энергии, но на рисунке 91 это видно наглядней: угол CBD всегда прямой.

А вот когда в камеру Вильсона влетает электрон, разогнанный до скоростей близких к скорости света в ускорителе, или космическая частица, угол разлета частиц после столкновения оказывается значительно меньше прямого. Например, как это изображено на рисунке 89. Это противоречит законам сохранения классической физики, но вполне объяснимо с точки зрения теории относительности.

Согласно законам теории относительности, правила сложения векторов скоростей соответствуют геометрии Лобачевского. Поэтому, и картинка кинематического графа с рисунка 91 должна быть выполнена по правилам геометрии Лобачевского. Например, так, как это сделано на рисунке 92.

Пунктирными стрелками на этом рисунке показаны направления скоростей разлетающихся электронов V_BC и V_BD с точки зрения наблюдателя в системе отсчета камеры Вильсона. Как видите, сумма углов треугольников BOC и BOD меньше π, поэтому и угол разлета электронов меньше прямого угла. Однако, теперь, зная величины углов CBO, DBO и DBC, а, также, зная, что треугольники BOC и BOD равнобедренные, можно легко вычислить скорости разлетающихся электронов и скорость летящего электрона A.

Нарисуем кинематический граф вот так:

На графе γ это угол разлета электронов после столкновения, α и β - углы отдачи электронов после столкновения.

Теперь, из второй теоремы косинусов для тригонометрии Лобачевского (из параграфа 5.2) имеем:

Помним, что относительная скорость разлета электронов V_CD равна относительной скорости электронов до соударения V_BA. Поэтому:

Обращаю внимание! Скорости здесь даны не классические, а релятивистские. При необходимости пересчитать их в классическую скорость, используйте формулу:

Мнимые величины здесь пропущены.

Из этой формулы легко найти соотношение:

Или, если вас интересует классическая скорость:

Таким образом, для того, чтобы определить скорость налетающего электрона вполне достаточно измерить угол разлета и углы отдачи на фотографии, сделанной в камере Вильсона.

Теперь так же легко определить скорости электронов после столкновения. Используем теорему синусов для тригонометрии Лобачевского:

Для нашего кинематического графа, радиус кривизны равен величине скорости света и формула приобретает следующий вид:

Откуда легко найти величины скоростей электронов после столкновения:

и

При желании, эти значения тоже можно пересчитать к классическим скоростям.

Как я уже отмечал, все эти соотношения легко проверяются экспериментально при помощи камеры Вильсона и ускорителя частиц. И в этом случае нет никакого эфира, который мог бы, увлекаясь Землей или магнитным полем ускорителя, создавать имитацию эффектов теории относительности.

Упругое рассеяние электрона на электроне это одно из самых элементарных событий, которое можно наблюдать в камере Вильсона, но в плане изучения топологии пространства скоростей, одно из самых наглядных. Но исследуя более сложные события, включающие в себя не только рассеяние, но и превращения частиц, так же следует использовать формулы теории относительности.

6.5 Дефект массы

Дефект масс, это явление, которое характерно для распада и слияния элементарных частиц. Состоит оно в том, что после деления частицы на несколько других частиц, их арифметическая сумма масс оказывается меньше массы первоначальной частицы.

Принятое в современной физике объяснение этого феномена состоит в том, что при слиянии частиц, часть энергии, идет на создание связи между ними, а соответственно и прибавляется дополнительная масса. При распаде частицы эта энергия высвобождается, в результате чего дополнительная масса переходит в энергию. И это одно из возможных объяснений источника энергии, выделяющейся при атомном взрыве.

Интересно здесь то, что все происходящее описывается релятивистским инвариантом, то есть, формулой

E² - p²c² = m²c⁴ = const.

Но в данном случае, эта формула описывает состояние не отдельной частицы, а системы в целом. То есть, для системы в целом, величина m²c⁴ остается постоянной и не изменяется при распаде частицы.

На рисунке 94 приведена схема, соответствующая распаду частицы A с массой m_A на две частицы, частицу B с массой m_B и частицу C с массой m_C. При этом, в полном соответствии с законами сохранения энергии и импульса, соблюдаются следующие соотношения. Арифметическая сумма энергий частиц B и C равна энергии первоначальной частицы A:

E_A = E_B + E_C.

Векторная сумма произведений импульсов частиц B и C на скорость света, равна вектору импульса частицы A умноженному на скорость света:

Или, сокращая эти величины на постоянную величину скорости света:

Получаем закон сохранения импульса.

А вот если попробовать вычислить арифметическую сумму масс частиц B и C, она окажется меньше, чем была масса частицы A.

Еще раз говорю о том, что свойства пространственно-временных сечений только на первый взгляд кажутся похожими на евклидову геометрию. И в этой геометрии длины всех отрезков и векторов, расположенных под углом к декартовым осям координат, в евклидовой геометрии отображаются с искажением их действительных размеров. Действительные длины векторов OA, OB и OC изображены правее схемы, и эти величины соответственно равны m_Ac², m_Bc² и m_Сc². Длины этих векторов пропорциональны массам частиц, поэтому из соотношения

m_Ac² > m_Bc² + m_Сc²,

непосредственно следует соотношение:

m_A > m_B + m_С.

Как видите, массу системы, состоящей из двух частиц, B и C можно найти, просуммировав отдельно их энергии и импульсы, а затем, по формуле

определить массу этой системы.

Можно тот же самый результат получить другим способом. Просто использовать правило для сложения векторов в пространственно-временном сечении, тогда:

где: ψ - угол между векторами в пространственно-временном сечении, и который можно найти через релятивистскую скорость

ψ = V_BC / c,

либо через классическую скорость

ψ = arcth (v_BC / c).

Когда мы принимаем как факт, что массы частиц это не скалярные величины, как в классической физике, а вектора, и что их можно складывать, то предположение о том, что часть массы при распаде превращается в энергию, а при слиянии энергия превращается в массу, оказывается излишним. И предположение о наличии дополнительных сил связи просто приведет к несоблюдению законов сохранения.

Представления о "дефекте массы", это в полной мере интерпретация теории относительности с точки зрения классической физики. Термин "дефект массы" и теоретическое предсказание этого эффекта ввел в обиход в 1913 французский физик Поль Ланжевен. Но очевидно, что Эйнштейн не возражал против такой трактовки этого эффекта и в настоящее время информацию об эффектах дефекта массы и его классическое объяснение можно найти практически в любом учебнике по ядерной физике. Теория о том, что разница в массе идет на создание связей между частицами, это рациональное и очень убедительное объяснение происходящего с позиций классической физики. Причем, этот эффект характеризуется как вывод теории относительности.

Почему так? Здесь есть одна тонкость, которая мешает физикам эту эквивалентную массу воспринимать как векторную сумму. Оказывается, что алгебраическая сумма масс получившихся частиц меньше по величине, чем их векторная сумма. В евклидовой геометрии так не бывает! В евклидовой геометрии длина ломаной линии всегда больше, чем длина прямой, соединяющей начало ломанной с ее концом. Это аксиома! Прямая - самый короткий путь. А в случае со сложением массы, мы получаем, что алгебраическая сумма двух масс (сложение по ломаной линии) оказывается меньше их векторной суммы (длины по прямой). Длина ломанной оказывается меньше, чем расстояние по прямой. Очевидно, никто из физиков начала двадцатого века не был готов принять такие правила сложения векторов.

Я думаю, что еще со школы в вас вдолбили на уровне инстинктов, что прямая это самый короткий путь. В пространственно-временных сечениях аксиома о том, что прямая самый короткий путь не работает. Противоположное утверждение, что прямая линия это самый длинный путь, в этой геометрии тоже некорректно. Истина лежит где-то между этими взаимоисключающими утверждениями. Но, давайте по порядку.

Предположим, что у нас есть два разных события A и B в пространственно-временном сечении. Пусть, также, между ними можно провести действительную прямую. Переводя на язык теории относительности, мы предположили, что точки-события находятся во временной области по отношению друг к другу. Пусть, также, есть объект C, который мы перемещаем из точки A в точку B по некоторой траектории. Такой путь из точки A в точку B, при котором расстояние AC будет монотонно и непрерывно увеличиваться, а расстояние CB - монотонно и непрерывно уменьшаться, назовем последовательным путем. К слову сказать, все объекты, движущиеся в пространстве из прошлого в будущее и со скоростью меньше скорости света, движутся по последовательным путям. Вот тогда, на множестве последовательных путей, прямая линия - самый длинный путь.

Если мы заменим прямую линию любой ломаной линией, из множества последовательных путей, так, чтобы начало и конец у нее и у прямой линии совпадали, то ломаная линия будет короче. Если любой прямой сегмент этой ломаной линии заменить ломаной линией, то длина пути сократится еще сильнее. Если любой прямой сегмент этой ломаной линии заменить кривой линией, то длина пути тоже сократится. Единственное ограничение состоит в том, что мы рассматриваем варианты только на множестве последовательных путей.

Это всего лишь геометрия. Геометрия еще в большей степени неевклидова, чем геометрия Лобачевского. Это геометрия мира, в котором мы живем.

В самом ярком виде эффект дефекта масс проявляется во время процесса аннигиляции, когда частица сталкивается с соответствующей ей античастицей, например, электрон и позитрон. Эту реакцию иногда приводят в качестве примера полного превращения массы в энергию, а некоторые религиозные источники приводят в качестве доказательства возможности создания и уничтожения материи "из ничего", из энергии. Но даже в этом процессе, для системы частиц соблюдаются все законы сохранения, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения массы в векторной форме.

Векторная диаграмма такого "превращения" приведена на рисунке 95. Вектором синего цвета показана масса покоящегося в выбранной системе координат электрона, а вектором красного цвета показана масса движущегося позитрона. Масса электрона и масса позитрона равны, это показано пунктирной линией, соединяющей концы векторов. Суммарная масса электрона и позитрона показана вектором зеленного цвета.

При столкновении позитрона с электроном эти частицы аннигилируют, то есть превращаются в два фотона, которые разлетаются в диаметрально противоположные стороны. На рисунке соответствующие векторы показаны оранжевым цветом. Если рассматривать каждый из образовавшихся фотонов отдельно, окажется, что у него нет массы. Если точнее, для фотона согласно формуле

E² - p²c² = m²c⁴ ≈ 0,

масса либо равна нулю, либо настолько мала, что современными средствами еще не обнаружена, либо настолько мала, что не может быть обнаружена вообще, согласно принципу неопределенности Гейзенберга.

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 95, можно сделать еще один интересный вывод. Если мы будем рассматривать область пространства, заполненную только хаотично летящими в разных направлениях фотонами, то масса каждого из этих фотонов по отдельности будет равна нулю. А вот если рассмотреть эти фотоны как систему частиц, то окажется, что эта система будет обладать массой, распределенной по этой области пространства. Плотность массы и направление вектора массы для каждой из точек фотонного поля этого пространства может меняться, как во времени, так и от точки к точке пространства. Плотность этой массы будет весьма невелика даже в очень интенсивном потоке света, однако, учитывая космические расстояния, эта масса должна составить существенную добавку к скрытой массе вселенной.

Кроме того, плотность массы фотонного поля невелика только в настоящее время, а вот в самом начале образования этой физической вселенной, после отрыва света от остального вещества, плотность массы фотонного поля вполне могла быть сравнима с плотностью массы всего остального вещества.

И здесь я хочу обсудить еще один вопрос, связанный с величиной массы фотона. В учебниках физики можно найти информацию о том, что еще в 1900 году была опубликована работа русского физика Петра Николаевича Лебедева, который измерил давление света и определил массу отдельного фотона. Этот ученный провел уникальные исследования, которые стоят вровень с опытом Майкельсона и Морли. И выводы, которые сделал Лебедев, в своем докладе, вполне соответствовали достижениям физики конца девятнадцатого века. Фактически, Лебедев определил импульс фотона и, зная импульс фотона и скорость света, рассчитал массу фотона определенной частоты по формуле классической физики

p = mv.

Откуда, учитывая, что скорость равна скорости света, следует:

m = p / c.

Но мы, как впрочем, и составители учебников по физике, должны знать, что при движении со скоростью света, классическая формула даст заведомо неверный результат. Вот только опять всплывает неопределенность в определениях понятия масса в классической и релятивистской физике. Ведь действительно, с точки зрения классической физики, у фотона только масса покоя равна нулю, а сама масса зависит от величины импульса. И опять в ход идут двойные стандарты. Когда речь идет об эффекте дефекта масс, массы частиц пересчитываются по формулам теории относительности, а когда речь идет о фотонах, масса рассчитывается по формулам классической физики. И эта смесь понятий опять подается как вывод теории относительности.

6.6 Описание движения объектов в векторной форме

Для описания физических теорий математика это язык, позволяющий создать модель явления, позволяющий выразить мысль более точно. Для описания движения тел со скоростями сравнимыми со скоростью света в теории относительности широко используется векторная алгебра. И здесь я постараюсь рассмотреть приведенный выше материал с точки зрения векторной алгебры.

Вначале, я вкратце повторю рассмотренный материал о классическом и релятивистском пространствах скоростей. Только концепция без детализации. Если этот фрагмент будет сложен для Вас, просто пропустите его и читайте дальше.

Для описания математической модели пространств, описываемых здесь, необходимо и достаточно систем, состоящих из четырех некомпланарных векторов (4-векторов). Описание модели, которое я привожу здесь, несколько отличается от традиционно принятого.

Для упрощения, здесь я буду рассматривать только системы координат, основанные на ортогональных базисах, то есть, такие системы координат, в которых есть четыре взаимно перпендикулярных координатных оси. Такие системы, в которых угол между двумя любыми координатными осями - прямой. В качестве координат используем четыре оси ix, iy, iz и t. В отличие от принятого в современной физике, здесь пространственные компоненты рассматриваются как мнимые величины, а время, как действительная величина. Причины такой замены обсуждались в первой главе.

Такая модель пространства не евклидова. И даже термин псевдоевклидова геометрия не вполне точен. Это однозначно не евклидова геометрия, просто самый наглядный способ рассмотрения этой модели состоит в том, чтобы отобразить его на четырехмерное евклидово пространство E₄. Таким образом, для наглядности, мы параллельно рассматриваем неевклидово пространство Т и его отображение на евклидово пространство:

Положение любой точки в T пространстве можно сопоставить с четверкой чисел -декартовых координат x₁, x₂, x₃ и x₄.

Напоминаю, что в отличие от классической физики, здесь в качестве расстояния между точками-событиями принимается время, которое необходимо для перемещения из одного события в другое при равномерном неускоренном движении иначе, собственное время. То есть, если вы никуда не идете, просто находитесь на одном месте пространства в течение 5 минут, с момента A до момента B, то расстояние между событием A и событием B равно 5 минутам. Такой способ измерения расстояния непривычен, но он ничем не хуже, традиционного. При таком способе, расстояние между двумя звездами в 10 световых лет равно 10 годам, только имеет мнимое значение. Такую модель, в которой рассматривается топология времени, я называю T пространством.

Каждой точке T пространства можно поставить в соответствие вектор x, соединяющий начало координат с этой точкой. Тогда величина T это длина вектора х, и вектор x можно разложить по осям координат следующим образом:

Соответственно, длины векторов, разложенных по ортогональному базису системы координат следующие:

Расстояние между началом системы отсчета и точкой с координатами (t, ix/c, iy/c, iz/c) можно найти по формуле:

В этой формуле величины (x₂)², (x₃)² и (x₄)² могут принимать отрицательное значение или равны нулю, а величина (x₁)² может быть положительной или равна нулю. Соответственно, если сумма этих величин больше нуля

то, величина Т имеет положительное действительное значение. Раз мы рассматриваем вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой пространства, то это означает, что эта точка лежит во временной области, по отношению к началу координат, и в нее можно попасть из начала координат, двигаясь со скоростью меньше скорости света. Или, если эта точка лежит в прошлом, двигаясь из нее, со скоростью меньшей скорости света, можно попасть в начало координат.

А если сумма этих величин отрицательна

то, величина Т равна мнимому числу. И это означает, что переместиться из начала координат в точку можно только двигаясь со скоростью больше скорости света, или двигаясь во времени из будущего в прошлое.

Вектор х можно рассматривать как сумму двух векторов действительного и мнимого

Или, как сочетание двух составляющих временной (действительной),

и пространственной (мнимой)

Эти термины иногда используются в тексте.

В T пространстве на можно определить как подпространство, пространство релятивистских скоростей. А в отображении T пространства на четырехмерное евклидово пространство E₄ можно определить, как подпространство, пространство классических скоростей. Оба этих подпространства являются трехмерными пространствами.

Пространство классических скоростей U_E является трехмерным евклидовым пространством в пространстве E₄, множеством всех точек, для которых t = 1. Обозначим точку пересечения оси координат t в пространстве E₄ с пространством U_E как U₀. Вектор x, определяющий перемещение из начала координат в некоторую точку, определен и в T пространстве и в пространстве E₄. И в том и в другом случае, вектор x лежит на некоторой прямой линии a. Обозначим как U_A точку пересечения вектора x с пространством U_E, или пересечения прямой линии a, которой принадлежит вектор x, с пространством U_E. Тогда, вектор

будет соответствовать классической скорости движения объекта по прямой a, в направлении вектора x. Часто вектор классической скорости параллельным переносом помещается в начало вектора x.

Пространство релятивистских скоростей трехмерное и неэвклидово, это пространство с отрицательной кривизной. В четырехмерном евклидовом пространстве оно может быть с искажениями размеров отображено на множество точек G_E. Это множество состоит из трех отдельных не связанных между собой частей. Множество точек, принадлежащих двум из этих частей можно найти по формуле

Это множество в пространстве E₄ является двухполуосным гиперболоидом вращения. Так же, нужно рассматривать гиперболоид вращения

Это третья часть множества G_E.

По аналогии с тем, как мы делали при определении вектора скорости в пространстве классических скоростей, можно найти пересечение прямой a или вектора x с пространством G_E, точку G_A.

Теперь, рассмотрим обратное отображение

При этом отображении множество G_E отображается на множество S_T. В Т пространстве множество S_T это множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от начала координат O. Это некий аналог сферы в евклидовом пространстве, множество точек расположенных на единичном действительном расстоянии от точки O и множество точек расположенных на единичном мнимом расстоянии от точки O.

При этом отображении точка G_A отображается на точку S_A. Точка G_O, она же точка V_O, точка пересечения множества G_E с осью координат t, отображается на точку S_O. Проложим геодезическую линию по поверхности множества S_T от точки S_O до точки S_A. Теперь, поставим в соответствие отрезку геодезической линии S_OS_A вектор

проходящий вдоль геодезической линии из точки S_O в точку S_A. Вектор v и есть релятивистская скорость в векторной форме, а пространство S_T - пространство релятивистских скоростей.

Топология T пространства была отчасти описана выше, как геометрия пространственно-временных сечений. А топология S_T пространства, это трехмерное пространство с отрицательной кривизной, выше она была описана как топология пространства релятивистских скоростей. Естественно, раз S_T пространство трехмерно, то и векторы, описывающие релятивистскую скорость, это 3-вектора.

Т пространство, это математическая модель реального физического пространства-времени. Его отличие от геометрии Минковского только в том, что для обозначения расстояния между точками не придумывается специальный термин временной интервал, и что топология этого пространства не сводится к топологии евклидовой геометрии, а рассматривается как есть. Это не означает, что физическое пространство именно таково, как его описывает модель Т пространства, физическое пространство значительно сложнее.

При рассмотрении векторов Т пространства, мы для наглядности отображаем их на привычное нам евклидово пространство, только нужно помнить что свойства у этих векторов несколько отличаются от свойств векторов в евклидовом пространстве.

В Т пространстве скорости складываются как вектора на поверхности сферы в евклидовом пространстве. Разница только в том, что сфера в евклидовом пространстве, это подпространство с положительной кривизной, а в Т пространстве величины скоростей складываются на поверхности сферы S_T, которая имеет отрицательную кривизну.

В отличие от пространства классических скоростей, в котором закон сложения скоростей достаточно сложен, в релятивистском пространстве сложение скоростей происходит просто как сложение векторов, не более того. Помним только, что это трехмерное пространство Лобачевского с радиусом кривизны, равным скорости света, поэтому и операции с векторами производятся по правилам неевклидовой геометрии.

Учитываем, что величина c - величина скорости света, это, прежде всего, коэффициент пропорциональности между единицами измерения пространства и единицами измерения времени. Если мы начнем измерять скорость время в секундах, а расстояние в световых секундах, эта величина будет равна единице.

Удобно приводить все расстояния в релятивистском пространстве к скорости света, а радиус кривизны к единице. Тогда можно использовать угловые величины, например, так:

А затем, использовать угловые величины для расчетов при помощи гиперболических функций:

sh |φ|, ch |φ|, th |φ|.

если величина φ мнимая, или гармонические функции, если величина φ действительная:

sin φ, cos φ, tg φ.

Сложение векторов Т пространстве достаточно подробно описано выше, как геометрия пространственно-временных сечений. И еще, не забываем о явлении инверсии свойств прямой линии в пространственно-временных сечениях Т пространства: на множестве последовательных путей, прямая линия это самый длинный путь.

Вот только не нужно думать, что для евклидовой геометрии мы используем одни формулы, а для Т пространства совершенно другие. Формулы те же самые, только используются иначе. В плоских пространственных сечениях, таких, которые образуют трехмерные евклидовы пространства, величины угла φ равны действительному числу. И радиус и длина окружности, которыми мы измеряем величину угла в радианах, в этом случае мнимые величины, а их отношение - величина действительная. Для нахождения величины угла φ между векторами a и b в пространственном сечении, можно использовать следующую формулу векторной алгебры:

В записи, приятой в тензорном исчислении, эта же формула будет выглядеть так:

В левой части этих формул находится значение cos φ, при помощи которого можно определить значение величины φ. Рассмотрим правую часть.

В числителе расположено скалярное произведение векторов a и b. По величине, скалярное произведение векторов a и b равно площади параллелограмма, образованного этими векторами. Эту же величину можно найти при помощи тензорного исчисления, перемножив билинейную форму T_ij на вектора a и b.

Считаем, что разложение a и b векторов по осям координат задано:

и

Для людей, не имевших раньше дело с тензорным исчислением, поясняю, что значки i и j при векторах a и b означают не степень, а верхние индексы.

В ортогональном базисе, то есть в системе координат, в которой все координатные оси попарно перпендикулярны, билинейная форма T_ij является диагональной матрицей

Откуда легко найти величину скалярного произведения векторов зная их компоненты, разложенные по осям координат:

Учитывая, что элементы билинейной формы T_ij, у которых i ≠ j, равны 0, упрощаем выведенное выше уравнение, оставляя только элементы, расположенные по диагонали:

Следовательно, как в обычной евклидовой геометрии, скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений проекций векторов на одну и ту же ось координат. То есть, проекцию вектора a на ось x умножаем на проекцию вектора b на ось x, затем, проекцию вектора a на ось y умножаем на проекцию вектора b на ось y, и так далее. Не забываем только, что пространственную составляющую нужно разделить на квадрат скорости света и взять со знаком минус.

И возвращаясь к формуле:

рассмотрим знаменатель. В знаменателе расположено произведение модулей векторов a и b. Каждый из этих модулей в векторной алгебре можно найти при помощи скалярного произведения вектора на себя:

и

Исходя из этого, можно вывести содержимое знаменателя формулы в тензорном исчислении в приведенной выше формуле.

Когда мы рассматриваем пространственно-временные плоскости между векторами a и b, мы используем ту же самую формулу:

Но теперь, величина угла φ имеет мнимое значение. Здесь могут быть два варианта, когда радиус R действительное число, а длина окружности L мнимое, либо, когда радиус мнимое число, а длина окружности действительное, в любом случае, величина угла φ = L/R является мнимым числом.

Я уже отмечал, что большинство вычислительных средств не поддерживают нахождение функций из мнимых чисел, поэтому мнимое число φ приходится заменять на равное ему по значению действительное число |φ|, а гармоническую функцию cos φ заменяеть на гиперболическую функцию ch |φ|.

Вот в такой форме мы ее и используем для пространственно-временных сечений:

Соответственно, подобным образом при переходе от пространственных сечений к пространственно-временным меняются и другие формулы. Например, при сложении векторов

их соответствующие элементы складываются:

Тогда модуль полученного вектора c можно найти, используя формулы тензорного исчисления и зная величины компонентов векторов a и b:

А еще можно его найти, используя векторную алгебру:

для пространственных сечений, или формулу

для пространственно-временных сечений.

Определив угол между векторами a и b, теперь можно рассчитать релятивистскую и классическую скорость, с которой движутся относительно друг друга два объекта. Один, который движется в направлении заданном вектором a, и другой, который движется в направлении, заданном вектором b.

Нахождение релятивистской скорости сводится просто к выражению величины угла в единицах скорости света:

V = cφ.

По сути, различие между релятивистской скоростью и углом φ, такое, как между углом, выраженным в градусах и углом, выраженным в радианах. И еще, релятивистская и классическая скорости определены только для мнимых значений угла φ, то есть, для пространственно-временных сечений.

Классическая скорость пропорциональна гиперболическому тангенсу угла φ:

Во многих случаях, скорость, классическая и релятивистская, измеряется относительно выбранной системы отсчета. Тогда угол измеряется относительно оси времени выбранной системы отсчета, относительно оси времени выбранной системы координат. Тогда угол между осью времени t и вектором a может быть найден следующим образом.

Имеем два вектора, один из них параллелен оси времени:

Другой вектор расположен под углом к этой оси:

Угол между ними можно определить по формуле:

Рассмотрим ее по частям.

Остальные члены этой суммы равны нулю.

Угол φ, в данном случае, определенно мнимое число, поэтому используем форму ch |φ|, и в результате получаем:

То есть, гиперболический косинус угла φ равен отношению величины прилежащего катета к гипотенузе. Вот только гипотенуза, в соответствии с инверсией свойств прямой, в этом случае оказывается короче этого катета.

Когда мы переходим к рассмотрению зависимости между массой, энергией и импульсом, то просто следует напомнить, все происходит так, как будто масса частицы пропорциональна ее длине во времени. В собственном времени. И направление этой длины тоже совпадает с собственным временем. Поэтому, почти ничего принципиально нового, по отношению к уже сказанному выше, здесь нет. Просто масса частицы рассматривается как вектор, с определенными компонентами:

У вектора m_i есть действительная и мнимая составляющие. Из действительной составляющей можно найти энергию частицы:

Из мнимой составляющей можно найти импульс частицы как вектор:

или как модуль:

В математике модуль вектора обычно считается действительным числом, поскольку в евклидовой математике длина отрезка это всегда действительное число. Модули вектора p и его компонентов - равны положительным мнимым числам или нулю.

При скоростях значительно меньших, чем скорость света, можно использовать приближенные формулы классической физики. Для этого достаточно вспомнить формулы для приближеных вычислений:

Тогда при малых скоростях можно использовать классическую скорость вместо релятивистской скорости:

При малых скоростях можно использовать классическую скорость для вычисления величины импульса движущегося объекта:

Также, при малых скоростях можно использовать классическую формулу для вычисления энергии движущегося объекта:

Учитывая, что величина φ = V/c мнимая, получаем:

В классической формуле для вычисления энергии движущегося тела два члена, mc² - который связывается в классической физике с энергией самого вещества, и mv²/2 - в классической физике кинетическая энергия движущегося объекта.

7. Ускоренные системы отсчета

7.1 Эволюция теории относительности

Традиционно, теория относительности делится на две части, специальную теорию относительности и общую теорию относительности. Во второй части, Эйнштейн попытался объединить ранее созданную версию теории относительности, специальную теорию относительности (1905г.), и созданную им же теорию гравитации, над которой он работал параллельно со специальной теорией относительности.

Смотрим книгу М.В.Сажин "Теория относительности для астрономов":

Успех специальной теории относительности, правильное формулирование принципа относительности для инерциальных систем отсчета, движущихся со скоростями близкими к скорости света, побудил А.Эйнштейна на распространение этого принципа на ускоренные системы отсчета.

Это еще один миф и неточное изложение фактов, а точнее, официальная версия событий, отретушированная и упрощенная. И в этой версии есть, по крайней мере, один недостаток. Она нелогична. Конечно, различие между инерциальными и ускоренными физическими системами было известно еще в классической физике. Но в классической физике различие между этими системами не распространялось на ход времени. В классической физике во всех системах отсчета, ускоренных и инерциальных, время идет одинаково.

В приведенной Сажиным версии событий, история подана так, как будто Эйнштейн, создавая специальную теорию относительности, знал, что она неприменима к ускоренным системам отсчета. Эйнштейн не мог этого знать заранее, это можно было узнать, только выдвинув основные принципы, затем рассмотрев все следствия. И эта работа заняла у Эйнштейна несколько лет. Теория относительности Эйнштейна не была создана в результате одного или двух озарений, а были результатом многолетней работы, в которой Эйнштейн допускал ошибки и исправлял их, делал новые открытия и приходил к новому пониманию своей теории. Вот, к примеру, так распространенное ныне понятие 'пространственно-временной континуум' в работах Эйнштейна появляется только в статье "Геометрия и опыт" в 1921 году. И это знак того, что Эйнштейн в это время вышел на принципиально новый уровень понимания созданной им теории.

Это может показаться парадоксальным, но большой вклад в развитие теории относительности внесли оппоненты Эйнштейна, которые, находя слабые места его теории, побуждали его находить новую аргументацию и исправлять ошибки. Немалую роль в этом процессе сыграли парадоксы теории относительности.

Обратимся к первоисточнику, к статьям самого Эйнштейна, посвященным теории относительности. Смотрим по сборнику: Альберт Эйнштейн Собрание научных трудов в четырех томах. Под редакцией И. Е. Таммма, Я. И. Смородинского, В. Г. Кузнецова. Том 1. Работы по теории относительности (1905-1920) Серия: "Классики науки". Изд "Наука" Москва 1965г.

Итак, год 1905. Эйнштейн публикует статью "К электродинамике движущихся тел", с которой и ведет свое начало теория относительности. В этой статье Эйнштейн действительно начинает построение своей системы со случая, когда тела движутся прямолинейно и без ускорения. Такой подход, от простого к сложному, часто используется в физике и математике. Естественно, начинает Эйнштейн с простых вещей:

Пусть имеется координатная система, в которой справедливы уравнения механики Ньютона. Для отличия вводимых позже координатных систем и для уточнения терминологии, назовем эту координатную систему "покоящейся системой".

Но затем, Эйнштейн рассматривает ускоренное движение и приходит к выводу, что для них выводы теории тоже применимы.

Примеры подобного рода, как и неудавшиеся попытки обнаружить движение Земли, относительно "светоносной среды", ведут к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют состоянию абсолютного покоя и даже, более того, - к предположению, что для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики, справедливы те же самые электродинамические и оптические законы...

Обратите внимание! Разделения систем отчета на инерциальные и ускоренные здесь нет, более того, ясно сказано: "для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики". Для ускоренных систем уравнения механики однозначно справедливы. Может быть, Эйнштейн не достаточно ясно выразил свою мысль? Далее Эйнштейн переходит к рассмотрению движения объектов по ломаной линии, а это уже ускоренное движение:

Сразу видно, что этот результат получается и тогда, когда часы движутся из A в B по любой ломаной линии.

А потом, сразу после этого, Эйнштейн переходит к рассмотрению ускоренного движения:

Если принять, что результат, доказанный для ломаной линии, верен также для непрерывно меняющей свое направление кривой, получаем следующую теорему.

И Эйнштейн излагает следствия этого предположения. По этой версии теории относительности, никаких дополнительных эффектов изменения скорости времени не предусматривалось.

Теория продолжает развиваться. Эйнштейн публикует по несколько статей в год, открывая новые грани своей теории. Смотрим, год 1907, статья "По поводу заметки Пауля Эренфеста":

С помощью этих формул ... из закона ускорения медленно движущегося электрона находят закон ускорения электрона, движущегося сколь угодно быстро. Следовательно, здесь речь идет совсем не о "системе", в которой неявно бы содержались бы отдельные законы, выводимые из нее простой дедукцией, но всего лишь о принципе, который позволяет свести одни законы к другим.

Никакого особого способа вычисления замедления времени для ускоренных систем отсчета Эйнштейн не предлагает, как и не делает особого различия инерциальных и ускоренных систем отсчета по отношению к ходу времени. Все это сформируется гораздо позже в борьбе с оппонентами. Примерно в это время был сформулирован парадокс близнецов.

Год 1910. Выходит статья 'Принцип относительности и его следствия'. В этой статье он повторяет принципы теории относительности, выступает с критикой теории эфира Лоренца, приводит информацию о некоторых обнаруженных за эти годы следствиях теории относительности и совсем ничего не говорит об ускоренном движении.

Вот уже год 1911. Выходит статья "Теория относительности", в которой эта теория получает свое официальное название. До сих пор, Эйнштейн писал только о "принципах относительности". В этой статье Эйнштейн повторяет свои постулаты, и опять посвящает значительный объем критике теории эфира Лоренца, и, наконец, вот интересующая нас информация. Эйнштейн пересказывает базовую ситуацию парадокса близнецов:

Положение становится еще более поразительным, если представить себе следующее. Пусть эти часы приобретут очень большую скорость (почти равную c) и будут равномерно двигаться дальше, а потом, после того, как они пройдут большое расстояние, получат импульс в противоположном направлении, так, что снова возвратятся в исходный пункт, откуда они начали движение. Тогда окажется, что положение стрелок этих часов почти не изменилось, тогда как на тождественных часах, оставленных в состоянии покоя в пункте отправления, положение стрелок за это время изменилось бы весьма существенно.

И дальше Эйнштейн обсуждает возможность посылки живого организма, который тоже "изменился бы сколь угодно мало".

Рассуждая о времени и часах в этой статье, Эйнштейн продолжает мыслить критериями классической физики:

"положение стрелок за это время изменилось бы весьма существенно".

Временем он называет время, прошедшее "в пункте отправления", а время, прошедшее у движущегося объекта, он называет "показания стрелок". И это не опечатка, и не упрощение, судя по всему, он именно так мыслил, и при этом, это была весьма прогрессивная для того времени позиция. Что характерно для этой статьи, то в ней Эйнштейн продолжает хранить молчание по поводу ускоренных систем отсчета, только везде в тексте, где это возможно, расставляет замечания о том, что рассматриваются только системы отсчета двигающиеся равномерно и прямолинейно.

В конце своей статьи Эйнштейн делает сообщение об интересном математическом направлении, которому теория относительности обязана безвременно скончавшемуся математику Минковскому. Направлению, которое так и не займет действительно положенного ему места в теории относительности, оставшись скорее удобным способом представления данных, чем самостоятельной геометрией.

В это время Эйнштейну, как это следует из текста, уже известна исходная ситуация парадокса близнецов. Но вот толкового объяснения неравноправия объекта совершавшего путешествие и объекта оставшегося "в пункте отправления" он не дает.

Год 1912. В статье 'Относительность и гравитация' Эйнштейн, наконец, признает необходимость создания новой теории:

Теперешняя теория относительности, по-моему, всегда будет сохранять свое значение как простейшая теория пространственно-временных процессов для важного предельного случая постоянного гравитационного потенциала. Задачей ближайшего будущего должно быть создание релятивистской схемы, в которой найдет свое выражение эквивалентность инертной и тяжелой массы.

Возникает вопрос, зачем понадобилась Эйнштейну предположение об эквивалентности гравитационной и инертной масс? Не последнюю роль в этом играет парадокс близнецов. Если оба близнеца были равноправными системами отсчета, то возникает вопрос, почему время замедлилось только у одного из космонавтов? Теория относительности объясняет этот парадокс тем, что принцип относительности распространяется только на равномерно и прямолинейно движущиеся системы отсчета, но не распространяется на ускоренные системы отсчета. Собственно по этой причине, Эйнштейн и стал особо выделять этот пункт, в своих работах начиная с 1911 года. Но возникает еще один вопрос, а чем именно вызвано такое неравноправие инерциальных и ускоренных физических систем? Что вызывает дополнительное изменение хода времени?

Несколько ранее, Эйнштейн столкнулся с другой проблемой. Оказалось, что для того, чтобы объяснить движение света в гравитационном поле, необходимо предположить, что его скорость уменьшается, перестает быть постоянной. Эйнштейн нашел объяснение этого эффекта, которое позволило сохранить постулат о постоянстве скорости света. Он предположил, что в поле гравитации изменяется геометрия пространства, а внешне это выглядит как уменьшение скорости света.

С точки зрения чистой математики, нет никакой разницы в том, какой из этих вариантов выбрать. Можно получить столь же непротиворечивую логическую систему, предположив, что в гравитационном поле скорость света действительно уменьшается, а пространство остается евклидовым. И результаты вычислений будут идентичны. Но Эйнштейн уже один раз сделал выбор в пользу постоянства скорости света. А его оппоненты так радовались тому, что теория относительности наконец опровергнута, что ему не оставалось ничего другого, как продолжать настаивать на прежнем, на постоянстве скорости света.

Еще, скоро выяснилось, что в гравитационном поле не только должна уменьшаться скорость света, но еще и должна уменьшиться скорость течения времени. Противники теории относительности заявляли о ее полном провале. А Эйнштейн нашел способ "убить сразу двух зайцев". Если ускоренные системы отсчета эквивалентны физическим системам, находящимся в поле гравитации, то в таком случае, они автоматически получали статус систем отсчета, в которых время идет иначе. В уравнениях теории относительности для ускоренных физических систем появились гравитационные члены - дополнительная добавка к замедлению времени.

И все бы хорошо, только эта теория основывалась больше на общих философских принципах, чем на точных расчетах. А расчеты таковы. Теоретически можно с ускорением 1g за несколько лет разогнать космический корабль до скоростей сравнимых со скоростью света, и затем, с тем же самым ускорением затормозить. А после этого, точно так же отправить в полет к Земле. При таком графике, весь полет будет проходить в комфортной обстановке и привычном для людей значении силы тяжести на борту. Эта сила тяжести будет соответствовать ускорению свободного падения на поверхности Земли. Можно показать, и я сделаю это немного позднее, что эффект близнецов в этом варианте тоже будет действовать.

Тогда возникает вопрос, а чем же отличается неинерциальный близнец с космического корабля, от близнеца на Земле, который испытывает на себе действие гравитации? Согласно основному принципу общей теории относительности ничем. Кроме того, величина замедления скорости хода времени, обусловленная гравитацией, будет очень мала. Это близко к поверхности черной дыры скорость хода времени сокращается в разы, а на поверхности Земли величина гравитации несоизмеримо меньше. Она настолько мала, что этим эффектом вообще можно пренебречь, если только речь не идет об ускорениях в десятки тысяч раз превышающих возможности человеческого организма.

Но разница между временем прошедшим у близнеца на Земле и прошедшем у близнеца, летавшего в далекий космос, остается. И, как выяснилось еще в первой главе, разница весьма приличная. Для объяснения этой разницы, Эйнштейн добавляет в уравнение еще один член, которой выводит из гравитационного потенциала. Подразумевается, что эта разница в ходе часов зависит от величины ускорения и времени, в течение которого, объект ускорялся. Для того чтобы убедиться, что это не так, не нужно строить сложных моделей или рассчитывать тензорные уравнения. Достаточно просто рассчитать несколько разных вариантов полета, в котором космический корабль не просто летит вначале в одну сторону, а потом в другую, а такие, в которых он еще несколько раз меняет направление полета. Никакой корреляции между гравитацией и полученной разницей во времени нет. Немного позже, я на этом тоже подробно остановлюсь.

Кроме того, если предположить, что данный член все же непосредственно связан с гравитацией, окажется, что две физические системы, та, которая находилась в поле гравитации, и та, которая ускорялась, неэквивалентны. Ведь в ускоренной системе время замедлялось гораздо сильнее, чем в той, которая находилась в гравитационном поле, хотя по величине ускорения, они были идентичны. Опять нарушается основной принцип общей теории относительности.

Мое мнение по этому вопросу состоит в том, что Эйнштейн создал великолепный математический аппарат, способный достаточно точно описать определенный класс явлений. А вот внятного объяснения сущности описываемых явлений, он так и не дал.

После опубликования общей теории относительности, ее критики стали выдвигать новые претензии к теории Эйнштейна, заявляя, что парадокс близнецов так и не объяснен. Реакция Эйнштейна на эти обвинения, точно такая же, как и реакция современной официальной физики, мол, нет никакого парадокса, а есть непонимание элементарных основ теории относительности.

И только в 1918 году, под давлением оппонентов, в частности, физика Эрнста Герке, Эйнштейн опубликовал статью "Диалог по поводу возражений против теории относительности". В этой статье он привел описание парадокса близнецов так, как он его видел. Он сделал это очень популярно, почти не используя формул. Кроме того, словно издеваясь над оппонентами, он написал эту статью в архаичной форме, в виде диалога между Релятивистом и Критиком. Такая форма была популярна в трудах античных философов и популяризаторов эпохи Возрождения.

Конечно, после недолгого спора, Критик признал свое поражение, а Релятивист торжествовал победу. При этом Релятивист так и не сказал ничего нового, а Критик так и не задал действительно важных вопросов.

М.В.Сажин в книге "Теория относительности для астрономов" говорит об этой статье так:

Одно из лучших изложений "парадакса близнецов" привел А.Эйнштейн в своей популярной статье "Диалог по поводу возражений против теории относительности".

Если это одно из лучших...

Это я не о том, что теория Эйнштейна неверна, а о том, что совершенно неудовлетворительны доводы, приводимые Эйнштейном по этому вопросу в упоминаемой статье, а, соответственно и современной официальной физикой.

В этой статье, рассматривая две физические системы, К, которая оставалась инерциальной и К', которая была ускоренной, Эйнштейн пишет:

Системы координат К и К' никоим образом не являются равноправными. В самом деле, это теория утверждает равноценность только всех галилеевых (неускоренных) систем координат.

И далее:

Поэтому нельзя выдвинуть никаких возражений против теории относительности.

Это скорее риторика юриста, а не ученого. Юриста или служащего патентного бюро, который ссылается на принятые законы и на их основании выносит решение. Но не ученого, который должен объяснить, а почему это ускоренные системы влияют на ход времени как-то иначе.

Правда, Эйнштейн дальше дает такое объяснение:

В самом деле, согласно общей теории относительности, часы идут тем быстрее, чем больше гравитационный потенциал в том месте, где часы находятся.

Других причин Эйнштейн не указывает. А то, чего стоит этот довод, я уже говорил.

И начинает закрадываться смутное подозрение, что в 1918 году Эйнштейн сам не имел ответов на эти вопросы, но рассчитывал получить их в будущем. Ведь это только в официальной версии событий говорится так:

С 1911 года Эйнштейн разрабатывал общую теорию относительности (ОТО), включающую гравитацию, на основе принципа эквивалентности, которую завершил в 1916 году.

Достаточно просмотреть его статьи разных лет, чтобы убедиться, что с 1911 по 1916 годы Эйнштейн сформулировал основные принципы общей теории относительности и решил ряд острых вопросов. А дальше, он продолжает активно работать над этой теорией. И эта работа продолжается и в 1918 году, и в двадцатых годах, и в тридцатых, и в сороковых. Вот, например, год 1946. Эйнштейн публикует работы: 'Обобщение релятивистской теории гравитации', 'Элементарный вывод эквивалентности массы и энергии' и 'E = mc²: настоятельная проблема нашего времени'. И только в пятидесятых годах, когда стало уже совсем неприлично продолжать дорабатывать уже заслужившую мировую известность теорию, Эйнштейн продолжает вести эти исследования под брендом 'Теория поля'. И достаточно посмотреть эти статьи, чтобы понять, те же формулы, та же база, некоторые новые идеи, просто на сей раз Эйнштейн пытается обобщить теорию относительности на квантовую механику.

Но давайте обо всем по порядку и более подробно.

7.2 Ускоренное движение

Вначале я хочу рассмотреть ускоренное движение так, как Эйнштейн его рассматривал в работах посвященных теории относительности в 1905-1907 годах. То есть, до того, как был сформулирован парадокс близнецов. Поэтому, обратимся к работе "К электродинамике движущихся тел". В четвертом параграфе этой статьи, которая называется "Физический смысл полученных уравнений для движущихся твердых тел и движущихся часов", Эйнштейн рассматривает движение по ломаной линии. При этом он указывает, что при движении с постоянной скоростью, собственное время движущегося объекта замедляется и может быть найдено по формуле

Из этой формулы Эйнштейн выводит приближенную формулу для расчета замедления времени в системах, движущихся со скоростями значительно меньшими, чем скорость света. Для этого он делает следующее преобразование. Он высчитывает разницу в показаниях часов, которые остаются неподвижными в выбранной системе отсчета и часами, которые движутся:

При скоростях сравнимых со скоростью света, ошибка, которую дает эта приближенная формула, становится слишком велика, для того, чтобы ее можно было использовать.

Далее Эйнштейн указывает:

"Сразу видно, что этот результат получается и тогда, когда часы движутся из A в B по любой ломаной линии".

Затем Эйнштейн предполагает, что раз данный вывод верен для любой ломанной линии, то он должен быть верен и для "непрерывноменяющей свое направление кривой линии".

Речь идет о кусочно-линейном методе расчета, который использовался еще в Древней Греции и, скорее всего, был известен еще жрецам и мистикам Древнего Египта, у которых учились древнегреческие математики и философы. В то время этот принцип использовался, прежде всего, в геометрии. Например, с его помощью решался вопрос о вычислении длины окружности. Как это можно сделать на практике?

Как вообще можно измерить расстояние между двумя точками используя средства того времени? Для этого необходимо было в землю забить два колышка и натянуть между ними веревку. Длина веревки, натянутой между колышками, и будет равна расстоянию между двумя точками, обозначенными колышками. Геометрия в Древней Греции была не только чистой наукой и базой для мистерий пифагорейцев, но в первую очередь имела большое прикладное значение, именно "измерение земли" в изначальном смысле.

Но что делать, если нужно вычислить длину окружности? В таком случае, нужна не только веревка, но и еще много колышков. Вбиваем один колышек в центре окружности и при помощи веревки расчерчиваем окружность. Теперь, по всей длине окружности устанавливаем много колышков, а потом оборачиваем получившуюся конструкцию веревкой. Так мы измерим длину окружности. Это на практике. А в теории уже тогда математики стали рассматривать задачу о длине окружности, как задачу о длине периметра правильного многоугольника с очень большим числом сторон. То есть линия окружности рассматривалась как ломаная линия с очень большим количеством маленьких прямых отрезков.

Такая практика себя очень хорошо зарекомендовала, и на ее основе впоследствии Кеплер построил теорию расчета объемов винных бочек, а еще позже Ньютон разработал интегральное исчисление. В отличие от Кеплера, который применил кусочно-линейную модель для измерения объемов, Ньютон стал применять кусочно-линейный метод еще и для расчета ускоренного движения тел. При этом, траектория любого объекта движущегося ускоренно, стала рассматриваться как последовательность большого числа очень маленьких участков движения с постоянной скоростью.

Так, что Эйнштейн, применив в данном случае кусочно-линейное моделирование, опирался на более чем двухтысячелетний опыт человечества.

В своей статье Эйнштейн рассмотрел случай, когда некоторый объект по произвольной ломаной линии или по произвольной кривой линии движется с постоянной скоростью относительно выбранной системы отсчета. Но пусть вас указание на постоянство скорости не вводит в заблуждение. Любой знакомый с физикой человек должен знать, что движение с постоянной скоростью по кривой линии, это ускоренное движение. Например, космонавты перед полетом тренируются в центрифуге, которая может вращаться с постоянной скоростью, и при этом космонавты будут испытывать перегрузки.

Кроме того, уже в первой своей работе Эйнштейн выдвинул принцип относительности, а согласно этому принципу, физические процессы должны происходить одинаково в любой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно. Отсюда следует, что описанное движение по ломаной линии должно выглядеть точно так же и в системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно, относительно выбранной вначале системы отсчета. И вот из другой системы отсчета движение по ломаной линии с постоянной скоростью или по кривой линии с постоянной скоростью будет выглядеть как движение с разными скоростями, как ускоренное движение в любом смысле.

Делаю вывод. Утвеждения о том, что в своей первой работе Эйнштейн не рассматривал ускоренного движения, предполагают один из нескольких вариантов. Либо они рассчитаны нf людей, не знающих физику, либо они исходят от людей, не знающих физику, либо они предполагают, что физику не знал сам Эйнштейн, создавая свою теорию. Еще вероятнее, намеренное искажение фактов с целью повысить авторитет Эйнштейна и его теории относительности. Это может сработать с людьми, не читающими первоисточники, либо не задумывавшимися о том, что они читают.

Факт состоит в том, что Эйнштейн уже в первой своей работе по теории относительности рассматривает движение по замкнутой кривой линии произвольной формы, в частности, окружности, с постоянной скоростью и для такого движения предполагает верной формулу

Второй факт состоит в том, что из этого вывода однозначно следует, что никакого дополнительного замедления времени связанного с ускорением объекта, Эйнштейн не рассматривает и даже не предполагает о такой возможности. И наконец, из этого следует вывод, что в это время Эйнштейн рассчитывал любое ускоренное движение, по линейно-кусочной модели. Этот вывод подтверждает и замечание Эйнштейна в статье 1907 года "По поводу заметки Пауля Эренфеста":

"С помощью этих формул ... из закона ускорения медленно движущегося электрона находят закон ускорения электрона, движущегося сколь угодно быстро. Следовательно, здесь речь идет совсем не о "системе", в которой неявно бы содержались бы отдельные законы, выводимые из нее простой дедукцией, но всего лишь о принципе, который позволяет свести одни законы к другим".

Раз так, используем линейно-кусочную модель для вывода формул прямолинейного равноускоренного движения. Тем более что такое движение можно рассматривать как частный случай рассмотренного Эйнштейном варианта, при котором, объект движется по замкнутой окружности относительно значительно удаленного центра.

Я уже показывал в прошлых главах, что линейный закон сложения скоростей соблюдается для релятивистских скоростей. И если мы складываем скорости небольшими порциями, то есть, линейно-кусочно, вот так:

V₂ = V₁ + ΔV,

где величина ΔV это совсем небольшое приращение скорости, линейный закон сложения скоростей тоже должен соблюдаться. Причем, не предусматривается никаких ограничений ни по тому, насколько малы будут эти приращения, ни по тому, насколько часто они будут происходить. Так мы естественно переходим к рассмотрению ускоренного движения, когда за промежуток собственного времени ускоренного объекта Δτ, его скорость изменяется на постоянную величину ΔV. То есть мы получили постоянное ускорение

Отсюда следует также, что при прямолинейном равноускоренном движении релятивистская скорость изменяется по закону

V = V₀ + aτ.

Для наших целей будет удобно выразить релятивистскую скорость в единицах скорости света, то есть, перейти к измерению скорости в радианах, как угла между векторами. Тогда:

Для упрощения вычислений, предположим, что значение φ₀ = 0. То есть, что в начальный момент времени, рассматриваемый объект был неподвижен в выбранной системе отсчета.

Когда объект достигнет некоторой скорости V, с точки зрения наблюдателя неподвижного в выбранной инерциальной системе отсчета, время у него будет идти замедлено. Каждому небольшому промежутку собственного времени объекта dτ, будет соответствовать промежуток времени dt в выбранной системе отсчета. Эти величины связаны между собой соотношением

dt = ch |φ| dτ.

За этот же промежуток времени, объект пролетит расстояние

dS = v dt = v ch |φ| dτ,

относительно выбранной системы отсчета. Вспоминаем формулу

v = ic th |φ|,

подставляя которую получаем соотношение:

dS = v ch |φ| dτ = ic th |φ| ch |φ| dτ = ic sh |φ| dτ.

Интегрируем полученные соотношения.

и

Смотрим формулы для расчета равноускоренного движения космического корабля, для полета к звездам в следующем источнике: Т.А. Агекян. Звезды, галактики, Метагалактика. - 3-изд, перераб. и доп. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической лит. 1981. стр. 381,383.

Находим эти же формулы, но немного иначе записанные:

Зачем понадобилась демонстрация вывода этих формул? Только для того, чтобы показать две вещи. То, что для их вывода требуется просто последовательно использовать кусочно-линейную модель. И то, что согласно этим формулам, время, прошедшее в ускоренной системе отсчета, находится просто как длина кривой линии в Т пространстве.

На рисунке 96 показана траектория равноускоренного движения объекта в системе отсчета (t, ix). В точке O скорость этого объекта относительно этой системы отсчета равна нулю. В точке B скорость объекта равна φ = V_B/c. И мы рассматриваем на траектории движения этого объекта некоторый небольшой участок A, который с достаточно большой точностью можно считать прямолинейным. Величина ΔS - расстояние, пройденное объектом за время Δt, относительно выбранной системы отсчета, а величина Δτ - собственное время объекта на этом участке. И вот, мы обнаруживаем, что собственное время в ускоренной системе отсчета это просто сумма таких небольших отрезков. Может, я повторяюсь, но в теории относительности этот факт очень важен, поскольку весьма распространен миф о том, что в ускоренной системе отсчета время идет принципиально иначе, чем в системе, движущейся равномерно и прямолинейно

Никаких предположений о том, что при ускоренном движении время идет как-то иначе, чем при движении равномерном, здесь не требуется. Более того, подобное предположение противоречит данным формулам. Из этих формул следует, что в каждый момент времени разница хода времени определялась только скоростью. А предположение о дополнительном замедлении времени при ускорении противоречит кусочно-линейной модели.

В целом, такая модель проста, естественна и достаточно наглядна. Она хорошо согласуется с геометрией Минковского. Для того чтобы отказаться от такой модели или начать ее изменять, должно было произойти нечто важное. И это что-то, было открытие парадокса близнецов.

7.3 Релятивизм и абсолютизм

В настоящее время словом "релятивистский" принято обозначать нечто, связанное с теорией относительности Эйнштейна или возникшее благодаря ей. Это еще один миф. В физике сообщество ученых, называвших себя релятивистами, существовало еще лет двадцать до опубликования первой работы по теории относительности. Значительной фигурой в этом движении был ученый и философ Эрнст Мах. В нашей стране его исследования в течение почти ста лет замалчивались, книги не публиковались. Те крохи информации, которые просачивались в печать, давали этим исследованиям либо отрицательную оценку, либо значительно занижали их значимость. Причина проста. Эрнст Мах, совместно с Рихардом Авенариусом, был родоначальником эмпириокритицизма, философии, критике которой Владимир Ильич Ленин посвятил целую книгу. Иногда, для того, чтобы подчеркнуть незначительные различия во взглядах Авенариуса и Маха, философские взгляды Маха называют махизмом. По этой причине и теория относительности некоторое время в СССР официально считалась буржуазной лженаукой, извратившей исследования русского ученого Лебедева. По крайней мере, так об этом было написано в первом издании Советской Энциклопедии. В своей книге "Механика" (Эрнст Мах Механика. Историко-критический очерк ее развития. - Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.) Мах пишет (стр.207):

Взгляд, что "абсолютное движение" есть понятие бессмысленное, бессодержательное и научно никуда не годное, - взгляд, который двадцать лет назад вызывал почти полное отчуждение, в настоящее время разделяется многими выдающимися исследователями. В качестве решительных "релятивистов" я мог бы назвать: Сталло, Дж. Томпсона, Людвига Ланге, Лове, МакГрегора, Пирсона, Мансиона, Клейнпетера. Число релятивистов быстро растет и приведенный список наверное уже не полон.

Именно труды Маха и ряда других исследователей подготовили базу для теории относительности. Это была не только философская база, но еще и целый ряд новых концепций, возникших в физике в конце девятнадцатого века. Теория относительности Вам кажется непонятной? Для того чтобы ее понять, прежде всего, нужно вернуться немного раньше и разобраться с первоисточниками, которые взял за основу Эйнштейн.

Эйнштейну не пришлось пробивать головой стену, в этой стене уже была дыра. И Эйнштейну не пришлось собирать группу единомышленников, наоборот, это он присоединился к уже существующей группе ученых-релятивистов. И здесь представляет интерес вопрос, а каковы были разногласия между релятивистами и их противниками, о чем вообще шел спор? Хотя направление в физике, которое называлось релятивизмом, оформилось в конце девятнадцатого века, разногласия касались основ классической физики, заложенных Ньютоном. Основные вопросы этой дискуссии были известны еще во времена Ньютона, но в конце девятнадцатого века они стали весьма актуальны.

Один из вопросов касался физического механизма всемирного тяготения. Выдвигались две основные версии, которые можно назвать так: дальнодействие и обмен частицами. Принцип дальнодействия предполагал мгновенное распространение гравитации на все объекты вселенной. А версия обмена частицами предполагала существование частиц, переносящих гравитационное воздействие с большой скоростью.

Другая дискуссия развернулась по поводу природы инерции тел. Классическая физика времен Ньютона исходила из предположения, что тела сохраняют направление и скорость своего движения относительно абсолютного пространства. Демонстрацией такой точки зрения могли служить опыты по сохранению постоянного тока в индуктивности. По аналогии можно было предположить, что пространство является такой большой индуктивностью, сохраняющей движение в ней частиц.

Релятивисты возражали, что если бы существовало абсолютное пространство, то при вращении движущихся тел центробежные силы были бы направлены иначе, не так, как центробежные силы неподвижных вращающихся тел. В частности, они в качестве примера приводили поведение маятника Фуко, которое никак не зависело от направления движения Земли вокруг Солнца. Исходя из этого, релятивисты делали вывод: раз силы инерции действуют одинаково в любой движущейся системе, то абсолютного пространства не существует. Тогда возникал еще один вопрос, что в таком случае является источником сил инерции. Мах выдвинул версию, что совместное гравитационное взаимодействие всех масс в физической вселенной и есть этот источник. Таким образом, он объяснял и пропорциональность инертной и гравитационной масс тел.

С новой силой дискуссия разгорелась после опубликования Максвеллом уравнений электромагнитного поля. Из этих уравнений следовало, что скорость света должна быть постоянной величиной в любой системе отсчета. Этот вывод релятивисты стали использовать в качестве еще одного доказательства не существования абсолютного пространства. Все физические процессы происходят одинаково в любой системе отсчета - говорили они.

А что же сторонники существования абсолютного пространства? У них были свои доводы, и, кстати, тоже достаточно основательные. Один из этих доводов можно было бы выразить так: "природа не терпит пустоты".

В первой половине девятнадцатого века русский математик Лобачевский опубликовал свои исследования пространства имеющего отрицательную кривизну и подвергся насмешкам своих современников. Гаусс, по праву носивший титул "король математиков", тоже вел подобные исследования, записи о которых были найдены только после его смерти. Опубликовать их при жизни он не решился. Абсолютное большинство людей воспринимало трехмерное пространство как евклидову трехмерную пустоту. Они полагали, что есть звезды, планеты, а между ними пустота, отсутствие чего бы то ни было. Естественная реакция на публикацию Лобачевского было непонимание. Искривление пустоты? Как такое возможно? Исказить, искривить можно только то, что является объектом. То чего нет, исказить нельзя. И другого пространства, кроме как евклидовой пустоты, представить себе люди не могли. Только осознание того, что возможны другие формы пространства, другие геометрии, привело к тому, что люди стали задумываться о том, что трехмерность, это вовсе не естественное состояние, а каким-то образом возникшее устойчивое состояние нашей физической вселенной. И еще о том, что пространство это сложный объект.

И вот Лоренц создает свою теорию, в которой утверждает, что пространство само по себе объект, некая субстанция, передающее гравитационное воздействие и поддерживающее инерцию тел. А для объяснения уравнений Максвелла, он предположил, что во время движения объектов через абсолютное пространство, их размеры в направлении движения сокращаются. Для описания этого процесса, Лоренц разработал великолепную математическую модель. Чтобы опровергнуть эту точку зрения, Эйнштейн впоследствии полностью заимствовал созданный Лоренцем математический аппарат.

Из текстов современных учебников физики следует, что Эйнштейн вначале взялся за решение задачи о постоянстве скорости света, а затем, с успехом решив эту задачу, занялся другой проблемой, теорией гравитации. Не было одной и другой проблемы. Была единая проблема: существование абсолютного пространства, передающего гравитацию, и поддерживающего инерцию тел. И была частная задача, распространение света в этом абсолютном пространстве. Поэтому, когда Эйнштейн опубликовал первую редакцию теории относительности, было естественным ожидать его мнения по поводу гравитационного взаимодействия тел и сил инерции. Сказав "А", нужно было продолжать фразу.

По опубликованным Эйнштейном работам, очевидно, насколько велико было влияние на него трудов Маха, которое не ограничивалось просто заимствованием принципа эквивалентности гравитации и ускоренного движения. В теории относительности в полной мере жив дух махизма. Согласно эмпириокритицизму, окружающий мир для человека только комплекс ощущений и задача науки описывать эти ощущения, а не объяснять их. И вот в своей книге "Механика", Мах восторженно описывает исследования Исаака Ньютона, который не придумывал гипотез, по его собственным словам, а просто находил закономерности:

"Многократные определенные заверения Ньютона, что ему важны не умозаключения о скрытых причинах явлений, а исследование и констатирование того что дано в фактах, его ход идей, ясно и коротко выражающийся в его словах "hypotheses non fingo" ("Я гипотез не строю"), характеризует его, как философа выдающегося значения. Он вовсе не желает привести себя в изумление собственными своими выдумками, поражать себя или импонировать себе, он хочет познать природу".

Лично я думаю, что Ньютон по праву заслужил право считаться философом выдающегося значения своими исследованиями, и то, что он "не придумывал гипотез" не главная его заслуга.

Путем Ньютона предлагал идти и Мах, просто наблюдать и не строить гипотез. Он даже сомневается в существовании атомов, вот одно из его критических замечаний (стр. 185):

"Мы можем это сказать и в том случае, если мы подобно некоторым авторам дойдем до счета гипотетических атомов".

Человек получает в виде ощущений представления об окружающем его веществе, а атомы непосредственно не могут быть человеком восприняты, поэтому гипотеза об их существовании представлялась Маху излишней.

И вот, когда Эйнштейн описывает сокращение размеров летящих навстречу друг другу тел, тело A сокращается в размерах относительно тела B, а тело B сокращается в размерах относительно тела A, он, как настоящий эмпириокритицист, не вдается в измышления гипотез, а говорит просто: таковы свойства пространства. Во многих случаях Эйнштейн не задается вопросом, почему так происходит, а ограничивается только описанием происходящего. Разве что при этом еще утверждает, что эфира не существует, точно так же, как Мах утверждал, что не существует атомов.

Конечно, любая наука начинается со сбора данных, наблюдений, обобщения и анализа имеющейся информации, а затем, на основе этих данных ученые строят модели, алгоритмы, выводят законы. Но если наука этим ограничится, как предлагал Мах, ее ждет кризис. Цикл должен быть завершен, тогда наука сможет развиваться дальше. На основе моделей и физических законов должны возникнуть новые представления о мире, новые гипотезы, новое понимание человеком окружающего его мира и себя в этом мире. Если этого не будет, не будет и развития науки. Путь, предлагаемый эмпириокритицизмом, это хорошая тактика в определенной фазе развития, когда только вырисовываются контуры будущей теории, но данных для построения законченной модели явно не хватает. Но не нужно использовать идеи эмпириокритицизма как стратегию.

Практически все идеи, лежащие в основе теории относительности, были высказаны другими исследователями еще до Эйнштейна. Например, идея о том, что в поле гравитации пространство искривляется. Ведь это идея типичная для сторонников абсолютного пространства. Искривляться может только то, что является объектом. И когда Эйнштейн рассматривал искривление пространства в поле гравитации, но при этом отрицал существование эфира, конечно, он давал повод обвинить себя в непоследовательности. Сторонники абсолютного пространства как раз и представляли себе мировой эфир как некую среду, которая может быть искривлена или увлечена за собой материальным телом. Впрочем ко времени создания теории относительности, Лоренц уже создал теорию эфира в которой увлечение эфира движущимися телами был отброшен как предрассудок, и его теория объясняла происходящее без этого предположения.

Я уже упоминал выше, о предположениях, о механизме передачи гравитации как дальнодействия или при помощи частиц. Когда выяснился факт постоянства скорости распространения электромагнитных волн, в среде физиков возникла идея о том, что гравитационное взаимодействие тоже может передаваться частицами со скоростью света. Но эта идея столкнулась с рядом проблем. Об одной из них я уже упоминал. При вращении тел относительно общего центра масс, силы гравитации должны быть направлены не так, как в теории всемирного тяготения. Не к центру масс системы, а к тем точкам пространства, в которых тела были раньше по времени. И в результате такого взаимодействия, тела должны были постоянно ускоряться и переходить на все более высокую орбиту. И все это должно было происходить с нарушением закона сохранения энергии.

Другая проблема состояла в том, что если тела активно обмениваются некими гипотетическими частицами, сейчас их называют гравитонами, то эти частицы, в соответствии с законами классической физики, должны не притягивать тела, а расталкивать их. В самом деле, если в тело попадает частица, то это тело должно приобрести импульс в направлении движения частицы, но никак не в направлении, откуда частица летела. Из целого ряда предположений о том, как можно обойти данное затруднение, мне наиболее правдоподобными представляются две версии.

Одна из них заключается в том, что переносчиками гравитации являются частицы с отрицательной массой. Тогда, в полном соответствии с формулами классической физики, тело испускающее гравитон, должно получить импульс в том же направлении, в котором гравитон вылетел. Естественно, тело, равномерно испускающее гравитоны во все стороны, должно оставаться в покое. Тело, сталкивающееся с гравитоном, должно получать импульс в том направлении, откуда гравитон прилетел.

Вторая версия состояла в том, что гравитоны воздействуют не на сами тела, а на геометрические свойства пространства их окружающего. То есть, на свойства мирового эфира. Вот эта вторая версия смогла теоретически объяснить и первую проблему. В этом случае предполагается, что геометрия пространства изменяется так, что компенсирует нарушение закона сохранения, и в этом искривленном пространстве планеты продолжают двигаться по траекториям близким по форме к форме эллипса.

Мах к этой теории отнесся критически, ведь она подразумевала существование некой среды, на геометрию которой можно воздействовать при помощи гравитации (Механика, стр. 163):

Пауль Гербер (Paul Gerber ... 1898) находит из движения перигелия Меркурия (41 секунда за столетие) скорость распространения тяготения равной скорости распространения света. Будь это определение верно, оно бы говорило в пользу эфира, как среды тяжести.

Эта та самая книга "Механика", которая так повлияла на мировоззрение Эйнштейна. В ней уже есть или упомянуто почти все, что нужно было для создания теории относительности. И не прошло и двадцати лет, а предположение об искривлении пространства стало рассматриваться как неотъемлемая часть теории относительности. А еще позже возник миф о том, что это именно Эйнштейн предположил, что в гравитационном поле геометрия пространства изменяется.

В конце концов, релятивизм победил, выиграв по очкам, но, так и не ответил на ряд принципиальных вопросов, поставленных "абсолютистами". Но это противоречие между релятивизмом и абсолютизмом, противоречие между системой мира, в которой действуют принципы относительности и при этом пространство само по себе рассматривается как объект, обладающий физическими свойствами, в рамках представлений о мире, как о трехмерном пространстве, в принципе неразрешим. Если рассматривать пространство как физический объект, имеющий три пространственных измерения, то правы абсолютисты и Лоренц просто не сумел найти достаточно аргументированные доводы своей правоты, чтобы убедить научный мир. Но в этом случае, релятивизм, это только иллюзия, присущая нашей физической вселенной. Если последовательно следовать релятивизму, в рамках трехмерного пространства, то остается неразрешенным физический механизм изменения геометрии пространства. Только выходя за рамки и рассматривая физическую вселенную как объект, существующий в пространстве и времени, можно обнаружить, что разногласия между релятивистами и абсолютистами на этом новом уровне исчезают.

Эйнштейн назвал эту концепцию пространственно-временным континуумом. Но она так и продолжает толковаться по-разному, одними в духе релятивизма, другими в духе абсолютизма, но, как правило, в рамках представлений о трехмерном пространстве, в котором время лишь мера изменчивости. Естественно, противоречия при этом так и остаются нерешенными. Если же рассматривать пространство и время вместе как единый абсолютный объект, протяженный и во времени и в пространстве, то оказываются правы и релятивисты и абсолютисты. Действительно, с одной стороны, такой объект обладает физическими свойствами и может быть деформирован, а с другой стороны каждой системе отсчета соответствует свое пространственное сечение этого объекта. И точно так же, как на чертеже детали, разные сечения показывают ее с разных сторон, в разных пространственных сечениях одни объекты сохраняют свои геометрические размеры, а другие выглядят деформированными.

История создания Эйнштейном теории гравитации тоже не всегда передается верно. В ряде источников по теории относительности приводится информация о том, что Эйнштейн теоретически предсказал, что луч света, проходя мимо Солнца, должен отклониться на величину 0,83 угловые секунды, и это предсказание было подтверждено наблюдениями астрономами полного солнечного затмения в 1916 году. Другие источники, рассказывая ту же самую историю, указывают величину 1,7 или 1,75 угловой секунды. Более полная версия происходящего, изложена, например, в книге Паули Теория относительности (Паули В. Теория относительности: пер. с нем. и англ.- 3-е изд., испр./Под ред. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова.- М.: Наука. 1991. стр. 194-196). Эта версия звучит так:

Эйнштейн показал, что искривление световых лучей имеет следствием доступное проверке смещение положения звезд, наблюдаемых у края солнечного диска. Значение смещения им было тогда определено равным 0,83".

Это описывается работа 1907 года. Дальше Паули пишет:

Однако в 1915 году он обнаружил, что требования, предъявлявшиеся им раньше с точки зрения инвариантов к уравнениям гравитационного поля, отнюдь не определяют этих однозначно.

При помощи Римановой теории кривизны ему, действительно ... удалось установить общековариантные уравнения, соответствующие всем исходным физическим требованиям. В дальнейшем сообщении Эйнштейн смог показать, что его теория количественно правильно объясняет движение перигелия Меркурия и предсказывает отклонение световых лучей в гравитационном поле, которое вдвое больше выведенного с помощью принципа эквивалентности для однородного поля.

Другое изложение этой истории находим в книге Жукова "Введение в теорию относительности" (Жуков А. И. Введение в теорию относительности. Редактор В. Д. Козлов. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1961г. Стр 144.):

На это явление Эйнштейн указал еще в 1907 году; однако величина самого отклонения была им вначале вычислена неправильно. В последующих работах 1911 и 1915 гг. он внес необходимые исправления и обратился к астрономам с предложением попытаться проверить эти выводы.

Дело в том, что отклонение это весьма мало. ... Если бы можно было рядом с Солнцем увидеть звезды, то эффект отталкивания мог бы в принципе, быть заметным.

Но как увидеть звезды рядом с Солнцем? Эта возможность осуществляется в моменты полных солнечных затмений.

Рядом с этим текстом приведен рисунок, скопированный с работы самого Эйнштейна, на котором видно, что лучи света, проходя мимо поверхности Солнца, отклоняются от прямой, притягиваются Солнцем, в результате чего у наблюдателя на Земле возникает иллюзия, что близкие к краю Солнца звезды отталкиваются от его поверхности.

Естественно, вся эта история описывается с точки зрения победившего релятивизма. И полученный результат преподносится как победа теории относительности над классической физикой Ньютона. Это действительно было крупное достижение. С 1907 по 1915 год Эйнштейн работал над теорией гравитации и общей теорией относительности, но все это время он рассматривал гравитационное поле в рамках эвклидовой геометрии. Естественно Эйнштейн находился под сильным влиянием идей Маха. А Мах теорию Пауля Гербера об искривлении геометрии пространства вокруг массивного тела, считал очень сильным аргументом в пользу существования абсолютной системы отсчета.

Рассматривая геометрию пространства вокруг массивного тела как евклидову, Эйнштейн некоторое время даже отказался от принципа постоянства скорости света. В это время, он разработал вариант теории гравитации совместно с Гроссманом, и согласно этой теории, вблизи массивных тел ход времени должен был замедлиться, а следовательно должна была замедлиться и скорость света. В статье 1914 года "К теории гравитации", он пишет:

Теория Эйнштейна - Гроссмана сложнее, чем теория Нордстрема, поскольку она отказывается от принципа постоянства скорости света и поэтому приходит к необходимости обобщения теории относительности.

А в 1915 году, после значительного числа опубликованных версий обобщенной теории относительности и, наверное, еще большего числа неопубликованных вариантов, Эйнштейн пишет в статье "К общей теории относительности":

В последние годы я старался построить общую теорию относительности исходя из относительности также и неравномерных движений. Я думал, что на самом деле нашел единственный закон гравитации, который соответствует понятному по смыслу общему постулату относительности, и пытался доказать необходимость именно этого решения в работе, появившейся в прошлом году в этом журнале.

Однако заново проведенный анализ показал, что следуя по предложенному пути, совершенно невозможно ничего доказать; то, что это казалось сделанным, было основано на заблуждении.

По этим причинам я полностью потерял доверие к полученным мной уравнениям поля и стал искать путь, который бы ограничивал возможности естественным образом.

Здесь Эйнштейн имеет в виду, что полученные им уравнения поля имели много решений, среди которых он не мог выбрать естественным образом одно определенное. И этот факт постепенно привел его к убеждению, что ранее рассматривавшиеся модели неверны. С этой статьи начинается новая эра в теории относительности. Эйнштейн вернулся к началу своей работы (1906-1907 гг.) и построил теорию гравитации заново. Конечно, при этом он использовал многие наработки этих восьми лет. В этой новой версии теории, в гравитационном поле не только происходило замедление времени, но еще и сокращение геометрических размеров тел, а в результате, наблюдатель, двигающийся в этом гравитационном поле, обнаружил бы, что скорость света остается постоянной, но геометрия пространства слегка отличается от евклидовой геометрии.

Таким образом, аналитически Эйнштейн пришел к той самой концепции гравитационного поля, которая была предложена Паулем Гербером еще в 1898 году. На основе новой модели он предсказывает значение отклонения лучей света возле поверхности Солнца 1,7". Это предсказание позже подтвердилось, и было установлено, что теория всемирного притяжения Ньютона не вполне точна.

И вот чудо! Конец 1915 года, в начале статьи "Принцип Гамильтона и общая теория относительности", Эйнштейн пишет:

В последнее время Г. А. Лоренцу и Д. Гилберту удалось придать общей теории относительности особенно наглядную форму тем, что они вывели ее из одного единственного вариационного принципа.

В сноске читаем, что речь идет о серии из четырех статей, опубликованных Лоренцем. Лоренц, всегдашний оппонент Эйнштейна и главный противник релятивизма так увлеченно работает над общей теорией относительности! Осознал свои ошибки? Нет! Просто на этом новом уровне произошло сближение взглядов. Это Эйнштейн наконец признал концепцию изменения геометрических свойств пространства, о которой абсолютисты говорили уже лет шестнадцать назад. С точки зрения Лоренца, Эйнштейн последние годы шел в заведомо неправильном направлении, а теперь прозрел. И в таком виде Лоренцу уже не столь важно, признает ли Эйнштейн, что изменять свои геометрические свойства может только физический объект, уже не столь важно как его называют, эфиром или пространственно-временным континуумом. Величину 1,7" можно считать совместным прогнозом Эйнштейна и Лоренца, поскольку по этому вопросу они достигли согласия. И я не думаю, что при этом Лоренц отказался от своих взглядов на природу пространства.

Возможно, многим покажется, что такая точка зрения, это преувеличение. Действительно, после десятков статей и лекций Эйнштейна между 1905 и 1915 годами, в которых он доказывал, что эфира не существует, трудно поверить, что он мог изменить свое мнение. Одна из гениальных способностей Эйнштейна была его способность, пусть с неохотой, но признавать свои ошибки. И вот в 1920 году, в статье "Эфир и теория относительности" Эйнштейн пишет:

Между тем, ближайшее рассмотрение показывает, что специальная теория относительности не требует безусловного отрицания эфира; следует только заботиться о том, чтобы не приписывать ему определенное состояние движения; иначе говоря, абстрагируясь нужно отнять у него последний механический признак, который ему еще оставил Лоренц.

И далее:

Специальная теория относительности запрещает считать эфир состоящим из частиц, поведение которых во времени можно наблюдать, но гипотеза о существовании эфира не противоречит специальной теории относительности. Не следует только приписывать эфиру состояние движения.

И еще через несколько страниц находим следующее:

Эфир общей теории относительности принципиально отличается от эфира Лоренца тем, что его состояние динамически определяется с помощью дифференциальных уравнений материи и состоянием эфира в соседних точках ... Можно сказать еще так: эфир общей теории относительности мы получаем из эфира Лоренца, релятивируя последний.

Еще бы, ведь Эйнштейн сравнивает свои представления об эфире общей теории относительности, с представлениями, бытовавшими в физике на двадцать лет раньше. Конечно, есть различия. И сам Лоренц уже признал общую теорию относительности в новой редакции.

Нам пока еще не ясно, какую роль новый эфир призван играть в картине мира будущего. Мы знаем, что он определяет метрические соотношения в пространственно-временном континууме, например возможные конфигурации твердых тел или различные гравитационные поля, но мы не знаем, участвует ли он в построении элементарных электрических частиц образующих материю.

Ну, что же, пусть Эйнштейн и высказал свое особое мнение, эти строки триумф Лоренца и признание за эфиром права на существование.

7.4 Гравитационный потенциал

Вернемся немного назад и рассмотрим, как же изменяются геометрические свойства пространства в поле тяготения. Наиболее нагляден образ листа бумаги, резиновой пленки или материи, прогибающейся под действием тяжелого тела (рис. 97). При этом образуется углубление, и геометрические свойства такой поверхности, это поверхность с отрицательной кривизной, причем при приближении к массивному центру, радиус кривизны уменьшается, а при удалении от центра, радиус кривизны стремится к бесконечности и свойства геометрии пространства стремятся к евклидовым.

При такой геометрии пространства, тело, движущееся по прямой линии, если точнее, в математике эта линия называется геодезической, попав в такую выемку, изменит направление своего движения. Люди мало знакомые с физикой и геометрией иногда задают очень правильный вопрос, они интересуются, в какое измерение прогибается трехмерное пространство вблизи гравитационной массы. Им обычно отвечают, что вопрос некорректен, пространство просто изменяет свою геометрию, свои свойства, и никуда не прогибается. Но, для наглядности, конечно же, можно себе представить, что трехмерное пространство прогибается в некое четвертое пространственное измерение.

И вот в связи с этим несколько любопытных фактов. Факт первый заключается в том, что в гравитационном поле относительное замедление времени пропорционально разности гравитационных потенциалов. И здесь нужно разобраться с тем, что такое гравитационный потенциал и какое отношения он имеет к теории относительности. По величине гравитационный потенциал Ф пропорционален энергии, необходимой для того, чтобы переместить объект из некоторой точки гравитационного поля в бесконечность:

В этой формуле m - масса перемещаемого тела, а ΔE - величина необходимой для перемещения этого тела энергии, поэтому величина гравитационного потенциала выражается в единицах квадрата скорости. Если мы принимаем за ноль гравитационный потенциал тела удаленного в бесконечность Ф₀, то гравитационный потенциал точки пространства приближенный к центру гравитационной массы Ф, по определению будет отрицательным. От массы перемещаемого тела величина потенциала не зависит. Для тела с меньшей массой для перемещения его в бесконечность потребуется меньшая энергия, для тела с большей массой соответственно большая.

Для людей мало знакомых с теорией космических полетов, такая постановка вопроса может оказаться неожиданной. Как может быть, чтобы для перемещения в бесконечность потребовалась конечная величина энергии? На самом деле, чтобы вырваться из поля притяжения Земли космическому аппарату, находящемуся на орбите Земли, требуется развить вторую космическую скорость, всего около 11,2 километра в секунду. Тогда его энергии было бы достаточно для того, чтобы удалиться в бесконечность, если бы Земля не входила в Солнечную систему. А так, космическому аппарату придется преодолевать еще и гравитационное поле Солнца.

Чтобы не стакиваться с подобными сложностями, рассмотрим удаленную от всех остальных массу, и рассмотрим ее гравитационное поле. Если скорость некоторого тела в некоторой точке гравитационного поля меньше определенной величины, то это тело никогда не покинет это гравитационное поле и останется в нем навсегда, описывая близкие по форме к эллипсу траектории. Если скорость тела больше этой величины, то тело удалится в бесконечность и там продолжит двигаться с некоторой скоростью. Конечно, для того, чтобы удалиться в бесконечность, телу потребуется бесконечно большое время. Поэтому гравитационный потенциал равный нулю, это такая же абстракция, как абсолютный ноль температуры, то есть, величина недостижимая. А если скорость объекта будет в точности равна определенной величине, то тело способно удалиться в бесконечность, но там его скорость будет стремиться к нулю.

Давайте определим, с какой скоростью должен двигаться объект, чтобы покинуть гравитационное поле. Рассмотрим этот процесс в евклидовом пространстве. В каждой точке этого пространства ускорение направлено в сторону гравитационной массы и может быть найдено по формуле:

где: a - ускорение свободного падения на расстоянии R от массы M, которая создает гравитационное поле. Величина G - гравитационная постоянная. Знак минус означает, что ускорение направлено на уменьшение расстояния.

Решение этого дифференциального уравнения было известно еще во времена Ньютона. Наглядно это решение можно дать в форме производных:

Используем соотношение:

Откуда получаем:

Или:

Теперь выберем скорость v₀ таким образом, чтобы при R₁ -> ∞, скорость стремилась к нулю. То есть:

Получаем:

Следовательно:

Эта минимальная скорость, при которой объект, находящийся на расстоянии R₀ от центра гравитационного поля может его покинуть. При этом, удаление в бесконечность сопровождается стремлением скорости к нулю.

Подставляем это значение в формулу:

Если объект будет удаляться от центра массы подобным образом, скорость этого объекта будет уменьшаться, стремясь к нулю, и через бесконечно большое время, на бесконечно большом расстоянии от центра массы станет равна нулю. Еще одна абстракция, поскольку в реальной физической вселенной на этом пути тело попадет в гравитационное поле другого объекта, и эксперимент будет нарушен.

Часто в источниках по теории относительности информация о гравитационном потенциале подается так, как будто непосредственно сам гравитационный потенциал влияет на замедление времени. Гравитационный потенциал отчасти физически аналогичен электрическому потенциалу. Напряжение в электротехнике это разность между двумя различными потенциалами, и для того, чтобы замерить напряжение требуется одновременно подключить прибор к этим двум точкам. Так и здесь, если мы предполагаем, что ход часов непосредственно зависит от величины гравитационного потенциала, следовательно, мы предполагаем, что часы должны "знать" разность между потенциалом, в той точке, где они находятся, и в точке удаленной в бесконечность. А иначе, нужно предположить, что эффект замедления часов, как и гравитационный потенциал, связаны с еще каким то явлением и оба зависят именно от этого явления. Например, этим дополнительным явлением может быть напряженность гравитационного поля.

Факт второй.

Согласно общей теории относительности, закон движения материальной точки в чисто гравитационном поле выражается уравнением геодезической.

Это цитата из статьи 1923 года "Основные идеи и проблемы теории относительности". Сознательно обращаюсь к более поздним версиям теории относительности, в которых она приобрела уже достаточную стабильность.

Для того чтобы это определение было верным, нужно вначале иметь понятие инверсии свойств прямой. Ни у Эйнштейна, ни в современной версии общей теории относительности таких оговорок не делается. В теории относительности это неочевидно, поскольку производная функции и для ее максимума и для ее минимума равна нулю, а уравнение геодезической линии определяется именно таким образом, через равенство производной нулю.

Факт третий. Рассматривая движение тела в гравитационном поле нужно обязательно соотносить его с законами сохранения. В этом плане очень полезна еще одна абстракция, понятие о теле, свободно падающем в поле тяготения из бесконечности. При этом, предполагается, что в начальный момент времени, то есть в бесконечности, скорость этого тела была равна нулю и тело начало свое движение под действием гравитации. При таком движении, сумма потенциальной и кинетической энергии тела всегда будет равна нулю. В начальный момент времени, скорость этого тела равна нулю, а следовательно, его кинетическая энергия тоже равна нулю. А гравитационный потенциал точки находящейся в бесконечности, мы тоже принимаем за ноль. Согласно закону сохранения энергии, для этого тела в любой последующий момент времени сумма потенциальной и кинетической энергии тоже равна нулю:

E_К + E_П = 0.

По мере роста скорости свободно падающего тела, когда оно движется в направлении гравитационной массы, кинетическая энергия растет, а потенциальная энергия уменьшается, согласно формуле:

Учитывая, что энергии, о которых обычно идет речь, малы, используем пока классическую формулу:

Поэтому гравитационный потенциал связан со скоростью свободно падающего из бесконечности тела следующим образом:

Именно в такой форме гравитационный потенциал часто входит в формулы общей теории относительности. Для слабых гравитационных полей звезд типа Солнца это вполне оправдано. Но нужно понимать, что это формула для приблизительных вычислений. Используем формулу:

E_K = c² m (ch |φ| - 1).

где: E_K это та часть энергии тела, которая ассоциируется с его движением.

Откуда:

Но в таком виде эта формула может пригодиться разве что для расчетов процессов в поле тяготения черных дыр. Ну а еще для того, чтобы определить величину замедления времени в поле гравитации. Если обозначить разницу между небольшим промежутком времени dt, прошедшим у наблюдателя находящегося вне гравитационного поля, и небольшим промежутком собственного времени свободно падающего из бесконечности объекта dτ как d(Δτ), то обнаружится прямая связь с гравитационным потенциалом:

d(Δτ) = dt - dτ = - dτ (1 - ch |φ|).

Откуда:

Я использую дифференциальную форму уравнения потому, что положение в пространстве свободно падающего объекта постоянно меняется.

В случаях, когда величина d(Δτ) значительно меньше, чем величина dτ, эту формулу можно записать так, через время наблюдателя расположенного за пределами гравитационного поля:

Или, если нужна точность:

Также можно найти зависимость между собственным временем объекта, свободно падающего из бесконечности dτ и временем наблюдателя расположенного вне гравитационного поля dt:

А теперь рассмотрим свободное падение из бесконечности с точки зрения одновременности. Поскольку движение объекта ускоренное, то в каждый момент времени одновременность наблюдатель связанный с объектом будет воспринимать по-разному. Рассмотрим это в векторной форме. На рисунке 98 показано движение свободно падающего объекта в сторону центра гравитационного поля.

Сам этот центр совпадает с осью времени t, а движение объекта показано как последовательность векторов.

Теперь рассмотрим векторное поле множества объектов, свободно падающих на центр гравитационного поля (рис. 99).

Вспоминаем еще раз правила построения перпендикуляров в пространственно-временных сечениях. Они отличаются от правил построения перпендикуляров в евклидовом пространстве и были рассмотрены ранее:

На рисунке 100 изображены две перпендикулярные прямые.

Теперь на векторном поле скоростей множества свободно падающих из бесконечности объектов построим поверхность, которая в каждой своей точке будет перпендикулярна этому векторному полю (рис. 101):

Если рассматривать эту поверхность в пространстве, то она будет выглядеть так (рис. 102):

Конечно, кривизна этой поверхности для наглядности сильно преувеличена, и сильно, это в тысячи раз. У этой поверхности есть несколько особенностей. Первая из них уже была упомянута, в каждой точке эта поверхность перпендикулярна векторам скорости множества свободно падающих из бесконечности объектов. Вторая особенность следует из первой, эта поверхность - поверхность одновременности для этого векторного поля. То есть, свободно падающие в поле гравитации объекты вот так воспринимают одновременность, точка за точкой. И наконец, для любого объекта, одновременность событий которого совпадает в определенной точке с этой поверхностью, сумма кинетической и потенциальной энергии равна нулю, то есть являются базой для закона сохранения энергии.

По своей геометрии это и есть та самая поверхность, с которой мы начали этот параграф. И эта геометрия возникает в результате прогиба трехмерного пространства (на рисунке 102 показаны только два измерения), только прогиба не в четвертое пространственное измерение, а прогиба во времени. Для множества свободно падающих к центру гравитации объектов, центральная часть этой поверхности смещается в будущее.

Но было бы слишком большим упрощением считать, что это и есть геометрия пространства в гравитационном поле. Для примера можно рассмотреть движение объекта, который свободно движется от центра гравитационного поля в бесконечность, так, чтобы в бесконечности его скорость стала равна нулю.

Поверхность одновременности, построенная для такого векторного поля, будет геометрически эквивалентна рассмотренной выше, только центральная часть этой поверхности будет смещена во времени не в будущее, а в прошлое. С точки зрения протекания физических процессов во времени, такое движение симметрично свободному падению из бесконечности и для такого движения сумма кинетической и потенциальной энергии движущегося объекта в любой момент времени тоже равна нулю.

Представим себе, что некоторый объект движется по траектории свободного падения из бесконечности из точки A' в точку B, а затем, в точке B быстро меняет направление своего движения и движется обратно по траектории свободного полета в бесконечность из точки B в точку A" (рис. 104).

При таком движении собственное время, прошедшее у объекта, двигавшегося по траектории A'-B-A", будет на величину Δt меньше, чем у объекта остававшегося неподвижным в точке A (траектория A'-A").

Вот примерно такой была теория гравитации Эйнштейна до 1915 года. В этой теории относительное замедление времени вызывается только разностью скоростей объектов. Легко показать, что в этой математической модели гравитационного поля, для двух наблюдателей, которые находятся на разном расстоянии от центра, но неподвижны относительно друг друга, время будет идти одинаково. То есть, специфического воздействия самой гравитации на ход времени здесь нет. Именно в такой модели отклонение луча света вблизи поверхности Cолнца получается равным 0,83'.

В этой модели использованы наработки специальной теории относительности, плюс использован принцип объекта подающего из бесконечности, как базы для законов сохранения энергии. Ну, еще, отличие в том, что Эйнштейн рассматривал проекцию поверхности одновременности на евклидово трехмерное пространство, сдвиг во времени рассматривал как замедление времени, а изменение геометрии пространства, как уменьшение в гравитационном поле скорости света.

7.5 Искривление пространства в гравитационном поле

Математическая модель пространства, рассмотренная в прошлом параграфе, включает в себя некоторые понятия гравитационной теории Эйнштейна, но это недостаточно. В той модели, которая была рассмотрена выше, объект движется в поле гравитации по прямой в искривленном пространстве, но если рассматривать не только пространство, а пространственно-временной континуум, то окажется, что траектория объекта, свободно падающего на центр гравитации, это кривая линия. Геометрия такого пространства-времени это по-прежнему геометрия Минковского и прямые линии в ней отображаются на прямые линии при отображении на евклидово пространство, а траектория падения объекта на рисунке 98 это, несомненно, кривая линия.

Первый подход, предусматривает, что в поле гравитации лучи света в пространстве движутся по прямой линии. Но это остается верным только в системе отсчета тела являющегося источником гравитационного поля. При переходе в другую систему отсчета, она, скорее всего, уже не будет прямой линией. Если же принять как факт, что лучи света движутся по прямой в пространственно-временном континууме, то при переходе из одной системы отсчета в другую изменится только направление линии, но она все равно останется прямой. Но при этом, траектория движения луча света в пространстве это, как правило, кривая линия. И вот уже в 1917 году в статье "О специальной и общей теории относительности" Эйнштейн пишет:

"Отсюда следует заключить, что в гравитационных полях световые лучи распространяются, вообще говоря, по криволинейному пути".

Для того чтобы получить геометрию, в которой падение объекта в поле гравитации будет происходить по прямой в пространственно-временном континууме, нужно внести изменения в геометрию Минковского. Предположим, что в поле гравитации в зависимости от величины гравитационного потенциала замедляется ход времени, причем, это дополнительное замедление времени происходят в дополнении к замедлению времени связанному с движением. Сажин в книге "Теория относительности для астрономов" приводит формулу для нахождения замедления времени объекта, движущегося в гравитационном поле:

где: dτ - собственное время объекта движущегося в поле гравитации, dt - собственное время наблюдателя находящегося за пределом гравитационного поля, для которого величину потенциала можно принять равным нулю, кроме того, этот наблюдатель должен быть неподвижен относительно гравитационной массы. Ф - потенциал гравитационного поля, который определяется так же, как мы делали в прошлом параграфе, по определению, эта величина отрицательна, относительно потенциала бесконечно удаленной от массы точки. По этой причине, член Ф/c2 входит в формулу со знаком плюс, хотя речь и идет о замедлении времени при увеличении гравитационного потенциала. Конечно, это формула приблизительная, для расчетов движения тел со скоростью значительно меньшей, чем скорость света.

В такой модели, с точки зрения удаленного в бесконечность наблюдателя, при приближении к гравитационной массе длительность временных отрезков увеличивается. Если мы расположим одинаковые часы, на разном расстоянии от центра массы, и при помощи этих часов будем отсчитывать одинаковые отрезки времени, то получим следующую картинку:

Временные интервалы, показанные стрелками, равны по своей величине. То есть, если мы берем жесткий временной интервал, параллельный оси t и начинаем его смещать в сторону гравитационной массы, его длина, с точки зрения наблюдателя находящегося за пределами гравитационного поля, увеличивается.

После таких изменений в геометрии, траектория свободного падения становится геодезической линией, то есть прямой линией в этом пространстве. Эйнштейн описывает эту геодезическую линию уравнением:

(Лекция "Общая теория относительности", 1921 год, формула 90.) В этой формуле первый член описывает неускоренное движение в пространстве без гравитационных полей:

Второй член описывает форму гравитационного пространства Г^μ_αβ и его влияние на движение тел.

Нечто похожее по смыслу изучают в старших классах школы, только для более простых задач. Там экстремум, то есть максимум или минимум функции, тоже определялся через равенство первой производной этой функции нулю. Вот только в отличие от евклидовой прямой, линия, описываемая этим уравнением, является не самой короткой, а самой длинной траекторией на множестве последовательных путей.

Для того чтобы точно доказать это, нужно найти значение этой функции для второй производной, но легко продемонстрировать на простом примере, что данная прямая линия не самая короткая. Вот, например, на рисунке 106 показана траектория свободного падения тела на центр гравитационной массы AB и симметричная ей линия A'B'. Если аппроксимировать эти две линии ломанными ACB и A'DB', то мы обнаружим, что ломанная линия A'DB' короче, чем линия ACB. В самом деле, отрезок A'D равен отрезку CB, а отрезок DB' короче отрезка AC (смотри рисунок 105).

Можно аппроксимировать траекторию свободного падения объекта большим числом отрезков ломанной, чем больше, тем лучше, но суть останется неизменной. Траектория свободного падения объекта действительно является экстремумом длины пути, но это самый длинный путь и любое небольшое изменение формы этого пути сокращает его длину.

Но вот в такой геометрии, если мы рассматриваем свободное падение объекта из бесконечности на центр гравитационной массы, то относительное сокращение времени в каждой точке траектории оказывается вдвое больше, чем это было в геометрии, рассмотренной в прошлом параграфе. В этом случае оказывается, что сумма двух равных членов в уравнении Ф/c² и v²/2c² ровно в два раза больше одного только члена v²/2c². По этой причине и геометрия пространства, показанного на рисунках 99-104, оказывается такой же по форме, но ее кривизна увеличивается ровно вдвое. По этой причине и лучи света по этой теории в гравитационном поле отклоняются на вдвое большую величину, чем в прежней версии, то есть примерно 1,7".

Приблизительную формулу

можно записать через гиперболические функции. Преобразуем эту формулу:

Это тоже приблизительная формула, но она уже ближе к настоящей точной формуле:

dt = ch|φ| ch|ф|dτ.

В этой формуле угол φ можно определить из соотношения φ =V/c, а угол ф можно найти следующим образом:

Оцените, насколько в таком виде эта формула проще, нагляднее и понятнее формул общей теории относительности, которые приводятся в учебниках. Она проще и нагляднее даже упрощенной формулы, которую приводит Сажин.

Вывести эту формулу можно очень просто другим способом. В отсутствии гравитационного поля, при ф = 0, эта формула превращается в обычную формулу специальной теории относительности. А выражение ch|ф| dτ определяет замедление хода времени в гравитационном поле и относительное увеличение длины временных интервалов, параллельных оси времени гравитационной массы.

Вывести из этой формулы ту, которую использует Сажин, тоже просто. В случае малых скоростей и слабых гравитационных полей, то есть, при |φ| << 1 и ф << 1,

Последний член в этой формуле значительно меньше остальных, поэтому в теории относительности, в формуле для приблизительного вычисления, его просто игнорируют, дают эту формулу в первом приближении. И из этой формулы уже легко получить ту, которую приводит Сажин.

Технологию получения таких приближенных формул Эйнштейн иногда показывает в своих работах. Вот, например, в статье 1917 года "О специальной и общей теории относительности", он описывает получение формулы классической физики для кинетической энергии:

"Согласно теории относительности, кинетическая энергия материальной точки с массой m дается уже не общеизвестным выражением

а выражением

Это выражение становится бесконечно большим, когда скорость v приближается к скорости света c. Следовательно, скорость всегда должна оставаться меньшей c, как бы ни была велика энергия, затраченная на ускорение. Разлагая приведенное выше выражение для кинетической энергии в ряд, получаем

Третий член этого разложения всегда мал по сравнению со вторым (который только и принимается во внимание в классической механике), если величина v²/c² значительно меньше единицы".

Если Вы знакомы с математической теорией разложения в ряды, то должны знать, что в результате этой операции получается сумма бесконечного ряда членов, в котором каждый последующий член имеет большую степень. Существуют также определенные критерии, позволяющие определить, какие из членов можно отбросить без ущерба для заданной точности вычислений. В данном случае, при выполнении условия v < < c, все члены ряда после второго можно отбросить без особого ущерба для точности. А вот, если скорость объекта сравнима со скоростью света, ситуация меняется. Хотя каждый последующий член в ряду будет меньше предыдущего, но сумма последующих членов может оказаться сравнимой с предыдущим членом, а возможно и больше его, и в этом случае, игнорировать их уже нельзя.

Вот еще пример из статьи 1912 года "Скорость света и статическое гравитационное поле", который уже непосредственно связан с уравнениями гравитационного поля:

"Пусть обе системы отсчета совпадают в момент времени =0; тогда искомые уравнения связи должны, во всяком случае, иметь вид

... Ограничиваясь выписанными выше членами в разложениях, путем дифференцирования получаем ..."

Вот таким образом получены уравнения гравитационного поля, а позже, в последующих вариантах теории гравитации, Эйнштейн уже использует эти наработки.

В своих статьях Эйнштейн широко использует разложение в ряды и, комментируя математические преобразования, часто упоминает про отбрасывание незначащих членов. В результате таких операций и возникают характерные выражения типа

или

или подобные им. В рамках определенных требований точности, эти выражения почти идентичны. Подобным образом получено и используемое в общей теории относительности выражение

И для этого выражения, как и для прочих выражений, полученных при помощи отбрасывания лишних членов ряда, существуют ограничения применения. Они верны при выполнении условий v² << c² и -Ф << c².

Величина угла имеет самое непосредственное отношение к смещению частоты света в поле гравитации. В прошлом параграфе рассматривалась зависимости между скоростью свободного падения тела из бесконечности, расстоянием до центра массы и величины гравитационного потенциала. Используем формулы:

Теперь находим у Эйнштейна формулу смещения частоты света преодолевающего гравитационное поле:

где: ν₀ и ν - соответственно частота излученного и частота принятого света.

Это тоже формула для приблизительного вычисления, для слабых гравитационных полей. Учитывая формулу приближенного вычисления сh x ≈ 1 + x²/2 при x << 1, можно записать:

Или:

И соответственно, изменение длины волны света:

Обратите внимание! Длина волны света и ее частота, это обратные величины.

В обновленной теории Эйнштейна формула Ньютона для нахождения зависимости ускорения свободного падения от расстояния до центра массы

оказывается уже неверной и должна быть записана так:

В слабых гравитационных полях, где ф<<1, допускается приблизительная подстановка:

Или:

Откуда получаем формулу:

Конечно, в таком виде эта формула дает более точное приближение, чем например запись

но и в таком виде это формула верна только для слабых гравитационных полей. Это может показаться странным, ведь фрагмент формулы

очень напоминает классические формулы специальной теории относительности, но эта видимость обманчива. В теории относительности эта формула тоже получается в результате ряда приближений, в ходе которых Эйнштейн отбрасывает незначащие члены. Дело только в том, что эти члены являются незначащими только в слабых гравитационных полях, таких, как гравитационное поле Земли или гравитационное поле Солнца. В сильных гравитационных полях эта формула дает слишком большую ошибку.

Получается, что полная энергия тела неподвижно расположенного относительно гравитационной массы в сильном гравитационном поле должна изменяться по закону

Откуда нетрудно найти выражение для слабого гравитационного поля:

Но именно формулу для слабого гравитационного поля

позднее использовал Шварцшильд для описания сильных гравитационных полей. И используя именно эту формулу, он пришел к концепции возможности существования сферы Шварцшильда, космического объекта который иногда еще называют черной дырой.

Действительно, если в этой формуле величина

равна нулю, то ускорение свободного падения получается бесконечно большим.

Откуда следует вывод, что если масса тела сосредоточена внутри сферы радиусом

то ни один объект не сможет покинуть эту сферу, потому, что для этого нужна будет бесконечно большая энергия.

Концепция сферы Шварцшильда, которая была развита во второй половине двадцатого века, безусловно, весьма цена и с философской и с чисто научной точки зрения. Но гравитационное поле в окрестностях такого объекта как черная дыра слабым назвать никак нельзя, поэтому лично я сомневаюсь в правомерности использования для описания черных дыр математического аппарата предложенного Шварцшильдом. Этот вывод вовсе не отменяет принципиальной возможности существования подобных объектов, но, по моему мнению, математические модели должны быть пересмотрены.

7.6 Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс

Вначале, слово самому Эйнштейну (статья 1913 года "К современному состоянию проблемы тяготения"):

"Два физика, A и B, очнувшись от наркотического сна, обнаружили, что они вместе с приборами находятся в закрытом ящике с непрозрачными стенками. Они не имеют никакого представления о том, где расположен ящик или как он движется. Они констатируют теперь, что тела, помещенные в середину ящика, падают в одном и том же направлении - скажем, вниз - с одинаковым общим ускорением . Что могут заключить отсюда физики? А заключает, что ящик спокойно лежит на небесном теле и что направление вниз является направлением к центру этого небесного тела, если последнее шарообразно. Однако B стоит на точке зрения, что ящик возможно, под действием приложенной к нему извне силы равномерно ускоренно движется вверх с ускорением ; при этом нет необходимости предполагать близость небесного тела. Существует ли для обоих физиков критерий, с помощью которого они могли бы решить, кто прав? Мы не знаем такого критерия, но нам также неизвестно, может ли такой критерий существовать".

Этот образ физиков, запертых в ящиках, так понравился популяризаторам теории относительности, что он приводится во многих книгах, посвященных этой теме. Рассматривая две системы отсчета, покоящуюся в гравитационном поле и ускоренную, Эйнштейн находился под сильным влиянием идей Маха. Далее он пишет:

"В самом деле, если инерция тела повышается при скоплении масс в его окрестности, то едва ли можно отказаться от того, чтобы считать инерцию точки обусловленной существованием остальных масс. Следовательно, инерция проявляется как своего рода взаимодействие ускоряемой материальной точки со всеми остальными материальными точками".

Здесь принципиально, как изменялись во времени взгляды самого Эйнштейна, только так можно действительно понять происходящее. В этот период времени он не рассматривает искривление пространственно-временного континуума, это его ранняя теория гравитации. Замедление движения тела в поле гравитации в этой работе Эйнштейн рассматривает только как воздействие массы на величину инерции тел, находящихся в гравитационном поле, а не как движение тела по прямой линии в искривленном пространственно-временном континууме. Соответственно, приняв изначально точку зрения Маха на этот вопрос, в результате, он и использует факты для подтверждения идеи Маха о том, что силы инерции вызваны воздействием на тела всех масс, расположенных в нашей физической вселенной.

В примере с двумя физиками, запертыми в ящиках, можно сформулировать требование эквивалентности их систем отсчета двояко. То есть, здесь возникает вилка. Возможность разной трактовки принципа эквивалентности гравитационного поля и ускоренной системы отсчета. Эти два варианта трактовки я буду называть строгой эквивалентностью и наблюдаемой эквивалентностью. Принцип строгой эквивалентности подразумевает, что в ускоренной системе отсчета не только все эксперименты физиков дадут тот же результат, как и в поле гравитации, но и вообще эти процессы физически эквивалентны. Принцип наблюдаемой эквивалентности, означает, что все эксперименты физиков дадут одинаковый результат, но не требует абсолютной физической эквивалентности.

Еще один очень важный нюанс состоит в том, что в этом варианте теории гравитации Эйнштейн рассматривает исключительно эквивалентность ускоренной системы отсчета и системы отсчета покоящейся в гравитационном поле. То есть он рассматривает эквивалентность таких систем отсчета, в которых наблюдатель испытывает одинаковую перегрузку. Это условие Эйнштейн подчеркивает несколько раз. И это действительно важно.

В версии 1915 года подход к теории гравитации меняется значительно, а принцип эквивалентности остается без изменений. Насколько это оправдано? В статье 1924 года в статье "Об эфире" Эйнштейн пишет:

"Мы не можем в теоретической физике обойтись без эфира, т. е. континуума, наделенного физическими свойствами, ибо общая теория относительности, основных идей которой физики, вероятно, будут придерживаться всегда, исключает непосредственное дальнодействие; каждая же теория близкодействия предполагает наличие непрерывных полей, а, следовательно, существование "эфира"".

Этим определением Эйнштейн практически ставит знак равенства между понятием пространственно-временной континуум и понятием эфир. Разница заключается лишь в том, что в отличие от представлений об эфире конца девятнадцатого века, этот эфир мыслится протяженным не только в пространстве, но и во времени. В этой теории масса влияет на геометрию пространства, а не непосредственно на инерцию тел, движущихся в его гравитационном поле.

В ранней теории гравитации логика проста. В гравитационном поле тело может оставаться неподвижным только в том случае, если оно испытывает ускорение, направленное от центра массы. На поверхности Земли такое ускорение вызвано той силой, с которой почва сопротивляется вашему дальнейшему падению к центру Земли. И при этом получалось, что в поле гравитации ход времени должен замедляться. И это замедление напрямую связывалось с тем ускорением, которое испытывает тело, покоящееся в гравитационном поле.

В данном случае принцип эквивалентности действительно оказывается строгим. Если ускорение препятствующее падению тела на массу вызывает замедление времени, то и ускорение, приложенное к телу в пространстве вне гравитационного поля, должно вызывать замедление времени. В этом варианте теории гравитационный потенциал позволяет вычислить замедление времени только покоящегося тела, неподвижного, относительно центра гравитации.

В ранней теории гравитации Эйнштейн предлагает следующую логику замедления времени в гравитационном поле (рис. 107).

А вот когда мы переходим к теории гравитации в редакции 1915 года, то вся логика происходящего меняется. Принципиальная разница в том, что в этом варианте теории дополнительное замедление времени в определенной точке в поле гравитации не ограничивается только покоящимися телами, а одинаково и для покоящегося тела и для свободно падающего тела. Наверное, в начале двадцатого века, когда работы Циолковского большинству людей казались не то что фантастикой, а вообще ненаучной фантазией, эта разница была незаметна. Но мы, живущие во времена путешествий в космическое пространство, должны знать, что свободно падающее в поле гравитации тело находится в состоянии невесомости и не испытывает силы тяжести.

Получается вот что. В этом варианте теории Эйнштейн вначале показывает эквивалентность двух систем отсчета на примере покоящейся в поле тяготения системы и системы ускоренной в пространстве. В этих случаях обе системы испытывают одинаковое ускорение и находящиеся в ящиках физики ощущают одинаковую силу тяжести. А затем, Эйнштейн распространяет принцип эквивалентности и на тело, свободно падающее в поле гравитации. Доказательства того, что такая подмена допустима, я у Эйнштейна не нашел. Но в результате получается, что одинаковое замедление времени должны испытывать три разных наблюдателя:

1. наблюдатель, покоящийся в гравитационном поле в котором ускорение свободного падения составляет величину γ,

2. наблюдатель, свободно падающий в гравитационном поле с ускорением γ,

3. наблюдатель, находящийся вне гравитационного поля, но ускоренно движущийся с ускорением γ.

Наглядно это можно изобразить в виде таблицы (рис. 108). В этой таблице сразу видно, что существует четвертый вариант, вариант классической инерциальной системы, в которой время идет нормально.

Учитывая, что согласно существующим в современной физике представлениям во всех трех случаях, когда время замедляется, величина замедления одинакова, возникает вопрос, что же в действительности является критерием замедления времени, наличие гравитационного поля или наличие ускорения, которое ощущается наблюдателем как сила тяжести?

Если играют роль оба эти фактора, то почему считается, что в случае, когда наблюдатель покоится в гравитационном поле, замедление времени не оказывается равным двойной величине, в точности равен замедлению времени в двух других случаях?

В ранних теориях гравитации Эйнштейна дополнительное замедление времени в ускоренной системе отсчета диктовалось логикой представлений о природе гравитации и инерции, предложенных Махом. В общей теории относительности в редакции 1915 года логика происходящего уже иная. В общих чертах она такова:

1. В окрестностях массивного тела изменяется скорость течения времени, в результате чего искажается геометрия пространства-времени.

2. В искривленном пространстве-времени свободно летящее тело движется по прямой (геодезической линии), которая наблюдателю, воспринимающему только пространственную составляющую, кажется кривой линией, окружностью, эллипсом, параболой, гиперболой или даже прямой, по которой тело движется ускоренно.

3. Если зафиксировать объект в поле гравитации, он будет неподвижен относительно центра масс, но с точки зрения геометрии пространственно-временного континуума этот объект будет двигаться по кривой, по изогнутой линии. А, следовательно, наблюдатель, связанный с этой системой отсчета, будет ощущать силу тяжести.

4. Аналогично, наблюдатель, находящийся в объекте движущимся ускоренно в пространстве вне поля гравитации, будет двигаться тоже по кривой линии в пространственно-временном континууме, тоже будет испытывать на себе силу полностью аналогичную силе тяжести. Разница здесь только в том, что в этом случае траектория движения объекта и в пространственной составляющей тоже будет выглядеть как кривая линия. По крайней мере, для большинства наблюдателей, находящихся в инерциальных системах отсчета.

Как видите, в этом случае, мы имеем уже не одно, а два совершено разных физических явления. Первое, это замедление времени и связанное с ним искривление геометрии пространственно-временного континуума в гравитационном поле, а второй, это возникновение силы тяжести в системах отсчета, движущихся по кривым линиям в пространственно-временном континууме.

И здесь возникает вопрос, оба этих явления попадают под принцип эквивалентности ускоренной системы отсчета и системы отсчета покоящейся в гравитационном поле, или только одно из этих явлений. Ответить на этот вопрос можно, только проанализировав эквивалентность физических явлений обоих систем отсчета. Напомню, что это краеугольный камень, основное предположение на котором построена теория гравитации.

Эйнштейн не стал пересматривать принцип эквивалентности и по его логике, если тело движется ускоренно и наблюдатель испытывает силу тяжести, то в этой системе отсчета должно происходить еще дополнительное замедление времени, как в присутствии гравитационной массы. И вот в статье 1921 года "Краткий очерк развития теории относительности" Эйнштейн пишет:

"Соображения, основанные на метрических результатах специальной теории относительности, приводят к выводу, что эвклидова метрика уже неприменима в ускоренных системах координат. Хотя это задержало развитие теории на несколько лет, возникшая трудность была смягчена знанием того факта, что эвклидова метрика справедлива для малых областей. В результате, величина ds, которая была физически определена до сих пор только в специальной теории относительности, сохранила свой смысл и в общей теории относительности".

Обращает внимание, что Эйнштейн продолжает считать топологию пространственно-временного континуума эвклидовой метрикой. А вообще, речь идет о том, что Эйнштейн отказывается от геометрии Минковского для случаев ускоренного движения объектов. Фактически это решение привело к тому, что геометрия Минковского стала использоваться в теории относительности крайне ограничено.

Здесь идет наложение двух совершенно разных теорий гравитации, предлагавшихся Эйнштейном в разные годы и выводы, верные для одной из этой теорий, совсем не обязательно должны быть верны для другой теории. В основу положен принцип эквивалентности всех физических законов для тела покоящегося в поле гравитации и тела в ускоренной системе отсчета, будем придерживаться этого принципа.

При анализе физических условий в этих двух системах отсчета в литературе, авторы обычно повторяют те же самые примеры, которые приводит сам Эйнштейн, что в обеих системах отсчета весы показывают одинаковый вес тел, и что скорость света в обеих системах отсчета одинакова. Существуют, правда, некоторые способы отличить ускоренную систему отсчета от находящейся в поле гравитации, но для этого нужны очень точные приборы. Например, одно из различий состоит в том, что гравитационное поле имеет свой центр, к которому направлено ускорение, поэтому свободно висящие в разных углах ящика отвесы будут в гравитационном поле не вполне параллельны, а направлены к этому центру. Теоретически этот эффект можно даже измерить, если размеры ящика достаточно велики. В ускоренной системе отсчета, отвесы будут расположены параллельно, так, как будто центр тяжести расположен бесконечно далеко.

Другой способ обнаружить отличие между ускоренной системой отсчета и гравитационным полем основан на том, что гравитационное поле ослабевает при удалении от центра масс. Таким образом, предмет, размещенный ближе к центру тяжести должен иметь больший вес, чем предмет, имеющий такую же массу, но размещенный в верхней части ящика. Аналогично, часы, размещенные в нижней части ящика должны идти медленнее, чем часы, размещенные в верхней части ящика. Средства современной экспериментальной физики уже позволяют проводить эксперименты, которые могут обнаружить эту разницу, или приближаются к такому состоянию. Оба этих способа известны, и для обоих способов есть один ответ: сделайте размеры ящика достаточно маленькими и запертые в них физики ничего не заметят.

И все комментаторы теории относительности останавливаются именно перед тем местом, где действительно начинаются отличия между физическими свойствами этих систем отсчета в том виде, как их описал Эйнштейн. Проведем еще один мысленный эксперимент. Пусть запертые в ящиках физики наблюдают за тем, как идут свободно падающие вниз часы по сравнению с часами неподвижными в этой системе отсчета. Трудность будет заключаться в том, чтобы не дать часам сильно изменить свою скорость, чтобы не пришлось учитывать еще и замедление времени, связанное с разностью скоростей. Хотя можно учесть этот фактор при вычислениях, рассмотрим тот случай, когда он несущественен.

В гравитационном поле свободно падающие в пространстве часы будут идти точно так же, как и часы неподвижные. Согласно современной теории гравитации замедление времени в определенной точке пространства связано с потенциалом гравитационного поля этой точки и не зависит от того, падает ли объект или закреплен.

В ускоренной системе отсчета, согласно представлениям Эйнштейна и представлениям, принятым в современной физике, неподвижные часы будут идти замедленно, поскольку на них действует сила тяжести, эквивалентная гравитационному полю. Но эти же самые силы должны действовать и на неподвижного наблюдателя, поэтому он ничего не заметит. А вот часы, которые этот наблюдатель уронит, мгновенно превращаются в инерциальную систему отсчета, для которой замедление времени не должно действовать. Поэтому часы, которые будут свободно падать в ускоренной системе отсчета, должны спешить, по сравнению с часами ускоренными вместе с этой системой отсчета.

Разница совсем небольшая, но вот например карманные часы, термин придуманный Эренфестом и использованный Эйнштейном, в которых луч света отражается между двумя зеркалами, имеет очень важную деталь, сам луч света. В тот момент, когда этот луч летит от одного зеркала к другому, он является инерциальной системой отсчета, и все электромагнитные процессы, на которых основаны химические реакции, тоже имеет в своей основе распространение излучений и движение частиц, при котором, по крайней мере, некоторое время эти частицы являются инерциальными системами отсчета. Путаница получается.

Для того чтобы рассматриваемые системы отсчета, ускоренная и гравитационная, стали действительно идентичны, достаточно сделать одну корректировку, предположить, что в поле гравитации время замедляется, а в ускоренной системе отсчета никакого дополнительного замедления времени нет. Сделав такое предположение, можно обнаружить, что теперь, все процессы действительно происходят одинаково во всех описанных Эйнштейном случаях, а сверх этого часы фиксированные и часы свободно падающие будут идти совершенно одинаково, точно так же, как в поле гравитации.

Тогда таблица, которая уже приводилась выше, должна выглядеть так (рис. 109):

Сами наблюдатели, находящиеся в закрытых ящиках, теперь не смогут обнаружить отличие, позволяющее определить в какой именно системе отсчета они находятся, в ускоренной системе или в поле гравитации. Часы у них будут идти по разному, но при этом и все остальные процессы будут идти иначе, так что наблюдатели не имеющий доступа информации извне, разницы не заметят. Это наблюдаемая эквивалентность.

Что это меняет в теории относительности? Да практически ничего, так, самую малость. Гравитационная теория вообще остается без изменений. Геометрия Минковского возвращается и оказывается верной и для инерциальных и для ускоренных систем отсчета, и нуждается в небольшой корректировке только в гравитационных полях. Практические расчеты полетов к звездам тоже остаются без изменений. Вклад, который внесет замедление времени связанное с ускорением (по Эйнштейну!) при разгоне космического корабля в течение нескольких лет с ускорением 1g до сравнимых со скоростью света скоростей, очень мала. По сравнению с остальными факторами, это замедление как диаметр яблока рядом с диаметром планеты Земля. В практических расчетах эту составляющую просто отбрасывают как малую величину.

Так что же меняется? Я же говорю, самая малость. Все теоретическое объяснение парадокса близнецов построено на предположении о воздействии гравитации на ход времени, и другого предположения современная наука так и не дала. И иногда я думаю о том, что все это так просто, что за сто лет физики-теоретики уже много раз спотыкались об этот порожек, но никто из действительно авторитетных физиков не решился его переступить, ведь потребовалось бы дать другое объяснение парадоксу близнецов. И, похоже, современная физика еще не готова принять это объяснение.