Опря В. Р.

Теория относительности, как топология времени

В этом файле выложена только глава, которая сейчас пишется.

Если Вы хотите посмотреть весь текст, перейдите по ссылке:. Теория относительности, как топология времени

7. Ускоренные системы отсчета

7.1 Эволюция теории относительности

Традиционно, теория относительности делится на две части, специальную теорию относительности и общую теорию относительности. Во второй части, Эйнштейн попытался объединить ранее созданную версию теории относительности, специальную теорию относительности (1905г.), и созданную им же теорию гравитации, над которой он работал параллельно со специальной теорией относительности.

Смотрим книгу М.В.Сажин "Теория относительности для астрономов":

Успех специальной теории относительности, правильное формулирование принципа относительности для инерциальных систем отсчета, движущихся со скоростями близкими к скорости света, побудил А.Эйнштейна на распространение этого принципа на ускоренные системы отсчета.

Это еще один миф и неточное изложение фактов, а точнее, официальная версия событий, отретушированная и упрощенная. И в этой версии есть, по крайней мере, один недостаток. Она нелогична. Конечно, различие между инерциальными и ускоренными физическими системами было известно еще в классической физике. Но в классической физике различие между этими системами не распространялось на ход времени. В классической физике во всех системах отсчета, ускоренных и инерциальных, время идет одинаково.

В приведенной Сажиным версии событий, история подана так, как будто Эйнштейн, создавая специальную теорию относительности, знал, что она неприменима к ускоренным системам отсчета. Эйнштейн не мог этого знать заранее, это можно было узнать, только выдвинув основные принципы, затем рассмотрев все следствия. И эта работа заняла у Эйнштейна несколько лет. Теория относительности Эйнштейна не была создана в результате одного или двух озарений, а были результатом многолетней работы, в которой Эйнштейн допускал ошибки и исправлял их, делал новые открытия и приходил к новому пониманию своей теории. Вот, к примеру, так распространенное ныне понятие 'пространственно-временной континуум' в работах Эйнштейна появляется только в статье "Геометрия и опыт" в 1921 году. И это знак того, что Эйнштейн в это время вышел на принципиально новый уровень понимания созданной им теории.

Это может показаться парадоксальным, но большой вклад в развитие теории относительности внесли оппоненты Эйнштейна, которые, находя слабые места его теории, побуждали его находить новую аргументацию и исправлять ошибки. Немалую роль в этом процессе сыграли парадоксы теории относительности.

Обратимся к первоисточнику, к статьям самого Эйнштейна, посвященным теории относительности. Смотрим по сборнику: Альберт Эйнштейн Собрание научных трудов в четырех томах. Под редакцией И. Е. Таммма, Я. И. Смородинского, В. Г. Кузнецова. Том 1. Работы по теории относительности (1905-1920) Серия: "Классики науки". Изд "Наука" Москва 1965г.

Итак, год 1905. Эйнштейн публикует статью "К электродинамике движущихся тел", с которой и ведет свое начало теория относительности. В этой статье Эйнштейн действительно начинает построение своей системы со случая, когда тела движутся прямолинейно и без ускорения. Такой подход, от простого к сложному, часто используется в физике и математике. Естественно, начинает Эйнштейн с простых вещей:

Пусть имеется координатная система, в которой справедливы уравнения механики Ньютона. Для отличия вводимых позже координатных систем и для уточнения терминологии, назовем эту координатную систему "покоящейся системой".

Но затем, Эйнштейн рассматривает ускоренное движение и приходит к выводу, что для них выводы теории тоже применимы.

Примеры подобного рода, как и неудавшиеся попытки обнаружить движение Земли, относительно "светоносной среды", ведут к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют состоянию абсолютного покоя и даже, более того, - к предположению, что для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики, справедливы те же самые электродинамические и оптические законы...

Обратите внимание! Разделения систем отчета на инерциальные и ускоренные здесь нет, более того, ясно сказано: "для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики". Для ускоренных систем уравнения механики однозначно справедливы. Может быть, Эйнштейн не достаточно ясно выразил свою мысль? Далее Эйнштейн переходит к рассмотрению движения объектов по ломаной линии, а это уже ускоренное движение:

Сразу видно, что этот результат получается и тогда, когда часы движутся из A в B по любой ломаной линии.

А потом, сразу после этого, Эйнштейн переходит к рассмотрению ускоренного движения:

Если принять, что результат, доказанный для ломаной линии, верен также для непрерывно меняющей свое направление кривой, получаем следующую теорему.

И Эйнштейн излагает следствия этого предположения. По этой версии теории относительности, никаких дополнительных эффектов изменения скорости времени не предусматривалось.

Теория продолжает развиваться. Эйнштейн публикует по несколько статей в год, открывая новые грани своей теории. Смотрим, год 1907, статья "По поводу заметки Пауля Эренфеста":

С помощью этих формул ... из закона ускорения медленно движущегося электрона находят закон ускорения электрона, движущегося сколь угодно быстро. Следовательно, здесь речь идет совсем не о "системе", в которой неявно бы содержались бы отдельные законы, выводимые из нее простой дедукцией, но всего лишь о принципе, который позволяет свести одни законы к другим.

Никакого особого способа вычисления замедления времени для ускоренных систем отсчета Эйнштейн не предлагает, как и не делает особого различия инерциальных и ускоренных систем отсчета по отношению к ходу времени. Все это сформируется гораздо позже в борьбе с оппонентами. Примерно в это время был сформулирован парадокс близнецов.

Год 1910. Выходит статья 'Принцип относительности и его следствия'. В этой статье он повторяет принципы теории относительности, выступает с критикой теории эфира Лоренца, приводит информацию о некоторых обнаруженных за эти годы следствиях теории относительности и совсем ничего не говорит об ускоренном движении.

Вот уже год 1911. Выходит статья "Теория относительности", в которой эта теория получает свое официальное название. До сих пор, Эйнштейн писал только о "принципах относительности". В этой статье Эйнштейн повторяет свои постулаты, и опять посвящает значительный объем критике теории эфира Лоренца, и, наконец, вот интересующая нас информация. Эйнштейн пересказывает базовую ситуацию парадокса близнецов:

Положение становится еще более поразительным, если представить себе следующее. Пусть эти часы приобретут очень большую скорость (почти равную c) и будут равномерно двигаться дальше, а потом, после того, как они пройдут большое расстояние, получат импульс в противоположном направлении, так, что снова возвратятся в исходный пункт, откуда они начали движение. Тогда окажется, что положение стрелок этих часов почти не изменилось, тогда как на тождественных часах, оставленных в состоянии покоя в пункте отправления, положение стрелок за это время изменилось бы весьма существенно.

И дальше Эйнштейн обсуждает возможность посылки живого организма, который тоже "изменился бы сколь угодно мало".

Рассуждая о времени и часах в этой статье, Эйнштейн продолжает мыслить критериями классической физики:

"положение стрелок за это время изменилось бы весьма существенно".

Временем он называет время, прошедшее "в пункте отправления", а время, прошедшее у движущегося объекта, он называет "показания стрелок". И это не опечатка, и не упрощение, судя по всему, он именно так мыслил, и при этом, это была весьма прогрессивная для того времени позиция. Что характерно для этой статьи, то в ней Эйнштейн продолжает хранить молчание по поводу ускоренных систем отсчета, только везде в тексте, где это возможно, расставляет замечания о том, что рассматриваются только системы отсчета двигающиеся равномерно и прямолинейно.

В конце своей статьи Эйнштейн делает сообщение об интересном математическом направлении, которому теория относительности обязана безвременно скончавшемуся математику Минковскому. Направлению, которое так и не займет действительно положенного ему места в теории относительности, оставшись скорее удобным способом представления данных, чем самостоятельной геометрией.

В это время Эйнштейну, как это следует из текста, уже известна исходная ситуация парадокса близнецов. Но вот толкового объяснения неравноправия объекта совершавшего путешествие и объекта оставшегося "в пункте отправления" он не дает.

Год 1912. В статье 'Относительность и гравитация' Эйнштейн, наконец, признает необходимость создания новой теории:

Теперешняя теория относительности, по-моему, всегда будет сохранять свое значение как простейшая теория пространственно-временных процессов для важного предельного случая постоянного гравитационного потенциала. Задачей ближайшего будущего должно быть создание релятивистской схемы, в которой найдет свое выражение эквивалентность инертной и тяжелой массы.

Возникает вопрос, зачем понадобилась Эйнштейну предположение об эквивалентности гравитационной и инертной масс? Не последнюю роль в этом играет парадокс близнецов. Если оба близнеца были равноправными системами отсчета, то возникает вопрос, почему время замедлилось только у одного из космонавтов? Теория относительности объясняет этот парадокс тем, что принцип относительности распространяется только на равномерно и прямолинейно движущиеся системы отсчета, но не распространяется на ускоренные системы отсчета. Собственно по этой причине, Эйнштейн и стал особо выделять этот пункт, в своих работах начиная с 1911 года. Но возникает еще один вопрос, а чем именно вызвано такое неравноправие инерциальных и ускоренных физических систем? Что вызывает дополнительное изменение хода времени?

Несколько ранее, Эйнштейн столкнулся с другой проблемой. Оказалось, что для того, чтобы объяснить движение света в гравитационном поле, необходимо предположить, что его скорость уменьшается, перестает быть постоянной. Эйнштейн нашел объяснение этого эффекта, которое позволило сохранить постулат о постоянстве скорости света. Он предположил, что в поле гравитации изменяется геометрия пространства, а внешне это выглядит как уменьшение скорости света.

С точки зрения чистой математики, нет никакой разницы в том, какой из этих вариантов выбрать. Можно получить столь же непротиворечивую логическую систему, предположив, что в гравитационном поле скорость света действительно уменьшается, а пространство остается евклидовым. И результаты вычислений будут идентичны. Но Эйнштейн уже один раз сделал выбор в пользу постоянства скорости света. А его оппоненты так радовались тому, что теория относительности наконец опровергнута, что ему не оставалось ничего другого, как продолжать настаивать на прежнем, на постоянстве скорости света.

Еще, скоро выяснилось, что в гравитационном поле не только должна уменьшаться скорость света, но еще и должна уменьшиться скорость течения времени. Противники теории относительности заявляли о ее полном провале. А Эйнштейн нашел способ "убить сразу двух зайцев". Если ускоренные системы отсчета эквивалентны физическим системам, находящимся в поле гравитации, то в таком случае, они автоматически получали статус систем отсчета, в которых время идет иначе. В уравнениях теории относительности для ускоренных физических систем появились гравитационные члены - дополнительная добавка к замедлению времени.

И все бы хорошо, только эта теория основывалась больше на общих философских принципах, чем на точных расчетах. А расчеты таковы. Теоретически можно с ускорением 1g за несколько лет разогнать космический корабль до скоростей сравнимых со скоростью света, и затем, с тем же самым ускорением затормозить. А после этого, точно так же отправить в полет к Земле. При таком графике, весь полет будет проходить в комфортной обстановке и привычном для людей значении силы тяжести на борту. Эта сила тяжести будет соответствовать ускорению свободного падения на поверхности Земли. Можно показать, и я сделаю это немного позднее, что эффект близнецов в этом варианте тоже будет действовать.

Тогда возникает вопрос, а чем же отличается неинерциальный близнец с космического корабля, от близнеца на Земле, который испытывает на себе действие гравитации? Согласно основному принципу общей теории относительности ничем. Кроме того, величина замедления скорости хода времени, обусловленная гравитацией, будет очень мала. Это близко к поверхности черной дыры скорость хода времени сокращается в разы, а на поверхности Земли величина гравитации несоизмеримо меньше. Она настолько мала, что этим эффектом вообще можно пренебречь, если только речь не идет об ускорениях в десятки тысяч раз превышающих возможности человеческого организма.

Но разница между временем прошедшим у близнеца на Земле и прошедшем у близнеца, летавшего в далекий космос, остается. И, как выяснилось еще в первой главе, разница весьма приличная. Для объяснения этой разницы, Эйнштейн добавляет в уравнение еще один член, которой выводит из гравитационного потенциала. Подразумевается, что эта разница в ходе часов зависит от величины ускорения и времени, в течение которого, объект ускорялся. Для того чтобы убедиться, что это не так, не нужно строить сложных моделей или рассчитывать тензорные уравнения. Достаточно просто рассчитать несколько разных вариантов полета, в котором космический корабль не просто летит вначале в одну сторону, а потом в другую, а такие, в которых он еще несколько раз меняет направление полета. Никакой корреляции между гравитацией и полученной разницей во времени нет. Немного позже, я на этом тоже подробно остановлюсь.

Кроме того, если предположить, что данный член все же непосредственно связан с гравитацией, окажется, что две физические системы, та, которая находилась в поле гравитации, и та, которая ускорялась, неэквивалентны. Ведь в ускоренной системе время замедлялось гораздо сильнее, чем в той, которая находилась в гравитационном поле, хотя по величине ускорения, они были идентичны. Опять нарушается основной принцип общей теории относительности.

Мое мнение по этому вопросу состоит в том, что Эйнштейн создал великолепный математический аппарат, способный достаточно точно описать определенный класс явлений. А вот внятного объяснения сущности описываемых явлений, он так и не дал.

После опубликования общей теории относительности, ее критики стали выдвигать новые претензии к теории Эйнштейна, заявляя, что парадокс близнецов так и не объяснен. Реакция Эйнштейна на эти обвинения, точно такая же, как и реакция современной официальной физики, мол, нет никакого парадокса, а есть непонимание элементарных основ теории относительности.

И только в 1918 году, под давлением оппонентов, в частности, физика Эрнста Герке, Эйнштейн опубликовал статью "Диалог по поводу возражений против теории относительности". В этой статье он привел описание парадокса близнецов так, как он его видел. Он сделал это очень популярно, почти не используя формул. Кроме того, словно издеваясь над оппонентами, он написал эту статью в архаичной форме, в виде диалога между Релятивистом и Критиком. Такая форма была популярна в трудах античных философов и популяризаторов эпохи Возрождения.

Конечно, после недолгого спора, Критик признал свое поражение, а Релятивист торжествовал победу. При этом Релятивист так и не сказал ничего нового, а Критик так и не задал действительно важных вопросов.

М.В.Сажин в книге "Теория относительности для астрономов" говорит об этой статье так:

Одно из лучших изложений "парадакса близнецов" привел А.Эйнштейн в своей популярной статье "Диалог по поводу возражений против теории относительности".

Если это одно из лучших...

Это я не о том, что теория Эйнштейна неверна, а о том, что совершенно неудовлетворительны доводы, приводимые Эйнштейном по этому вопросу в упоминаемой статье, а, соответственно и современной официальной физикой.

В этой статье, рассматривая две физические системы, К, которая оставалась инерциальной и К', которая была ускоренной, Эйнштейн пишет:

Системы координат К и К' никоим образом не являются равноправными. В самом деле, это теория утверждает равноценность только всех галилеевых (неускоренных) систем координат.

И далее:

Поэтому нельзя выдвинуть никаких возражений против теории относительности.

Это скорее риторика юриста, а не ученого. Юриста или служащего патентного бюро, который ссылается на принятые законы и на их основании выносит решение. Но не ученого, который должен объяснить, а почему это ускоренные системы влияют на ход времени как-то иначе. Между словами "теория утверждает" и "теоретически доказано", большая разница. В первом случае, это просто принцип, принятый без доказательств, но позволяющий объяснить явление. Во втором - теоретически, а возможно и практически, обоснованный вывод. Равнозначность с точки зрения хода времени только неускоренных систем, это именно постулат, а не теоретически доказанный вывод. Да, этот постулат позволяет построить достаточно непротиворечивую теорию для определенного класса явлений. Почему же нельзя возражать против обоснованности принятого постулата? Только потому, что он позволяет спасти теорию?

Правда, Эйнштейн дальше дает такое объяснение:

В самом деле, согласно общей теории относительности, часы идут тем быстрее, чем больше гравитационный потенциал в том месте, где часы находятся.

Других причин Эйнштейн не указывает. А то, чего стоит этот довод, я уже говорил.

И начинает закрадываться смутное подозрение, что в 1918 году Эйнштейн сам не имел ответов на эти вопросы, но рассчитывал получить их в будущем. Ведь это только в официальной версии событий говорится так:

С 1911 года Эйнштейн разрабатывал общую теорию относительности (ОТО), включающую гравитацию, на основе принципа эквивалентности, которую завершил в 1916 году.

Достаточно просмотреть его статьи разных лет, чтобы убедиться, что с 1911 по 1916 годы Эйнштейн сформулировал основные принципы общей теории относительности и решил ряд острых вопросов. А дальше, он продолжает активно работать над этой теорией. И эта работа продолжается и в 1918 году, и в двадцатых годах, и в тридцатых, и в сороковых. Вот, например, год 1946. Эйнштейн публикует работы: 'Обобщение релятивистской теории гравитации', 'Элементарный вывод эквивалентности массы и энергии' и 'E = mc²: настоятельная проблема нашего времени'. И только в пятидесятых годах, когда стало уже совсем неприлично продолжать дорабатывать уже заслужившую мировую известность теорию, Эйнштейн продолжает вести эти исследования под брендом 'Теория поля'. И достаточно посмотреть эти статьи, чтобы понять, те же формулы, та же база, некоторые новые идеи, просто на сей раз Эйнштейн пытается обобщить теорию относительности на квантовую механику.

Но давайте обо всем по порядку и более подробно.

7.2 Ускоренное движение

Вначале я хочу рассмотреть ускоренное движение так, как Эйнштейн его рассматривал в работах посвященных теории относительности в 1905-1907 годах. То есть, до того, как был сформулирован парадокс близнецов. Поэтому, обратимся к работе "К электродинамике движущихся тел". В четвертом параграфе этой статьи, которая называется "Физический смысл полученных уравнений для движущихся твердых тел и движущихся часов", Эйнштейн рассматривает движение по ломаной линии. При этом он указывает, что при движении с постоянной скоростью, собственное время движущегося объекта замедляется и может быть найдено по формуле

Из этой формулы Эйнштейн выводит приближенную формулу для расчета замедления времени в системах, движущихся со скоростями значительно меньшими, чем скорость света. Для этого он делает следующее преобразование. Он высчитывает разницу в показаниях часов, которые остаются неподвижными в выбранной системе отсчета и часами, которые движутся:

При скоростях сравнимых со скоростью света, ошибка, которую дает эта приближенная формула, становится слишком велика, для того, чтобы ее можно было использовать.

Далее Эйнштейн указывает:

"Сразу видно, что этот результат получается и тогда, когда часы движутся из A в B по любой ломаной линии".

Затем Эйнштейн предполагает, что раз данный вывод верен для любой ломанной линии, то он должен быть верен и для "непрерывноменяющей свое направление кривой линии".

Речь идет о кусочно-линейном методе расчета, который использовался еще в Древней Греции и, скорее всего, был известен еще жрецам и мистикам Древнего Египта, у которых учились древнегреческие математики и философы. В то время этот принцип использовался, прежде всего, в геометрии. Например, с его помощью решался вопрос о вычислении длины окружности. Как это можно сделать на практике?

Как вообще можно измерить расстояние между двумя точками используя средства того времени? Для этого необходимо было в землю забить два колышка и натянуть между ними веревку. Длина веревки, натянутой между колышками, и будет равна расстоянию между двумя точками, обозначенными колышками. Геометрия в Древней Греции была не только чистой наукой и базой для мистерий пифагорейцев, но в первую очередь имела большое прикладное значение, именно "измерение земли" в изначальном смысле.

Но что делать, если нужно вычислить длину окружности? В таком случае, нужна не только веревка, но и еще много колышков. Вбиваем один колышек в центре окружности и при помощи веревки расчерчиваем окружность. Теперь, по всей длине окружности устанавливаем много колышков, а потом оборачиваем получившуюся конструкцию веревкой. Так мы измерим длину окружности. Это на практике. А в теории уже тогда математики стали рассматривать задачу о длине окружности, как задачу о длине периметра правильного многоугольника с очень большим числом сторон. То есть линия окружности рассматривалась как ломаная линия с очень большим количеством маленьких прямых отрезков.

Такая практика себя очень хорошо зарекомендовала, и на ее основе впоследствии Кеплер построил теорию расчета объемов винных бочек, а еще позже Ньютон разработал интегральное исчисление. В отличие от Кеплера, который применил кусочно-линейную модель для измерения объемов, Ньютон стал применять кусочно-линейный метод еще и для расчета ускоренного движения тел. При этом, траектория любого объекта движущегося ускоренно, стала рассматриваться как последовательность большого числа очень маленьких участков движения с постоянной скоростью.

Так, что Эйнштейн, применив в данном случае кусочно-линейное моделирование, опирался на более чем двухтысячелетний опыт человечества.

В своей статье Эйнштейн рассмотрел случай, когда некоторый объект по произвольной ломаной линии или по произвольной кривой линии движется с постоянной скоростью относительно выбранной системы отсчета. Но пусть вас указание на постоянство скорости не вводит в заблуждение. Любой знакомый с физикой человек должен знать, что движение с постоянной скоростью по кривой линии, это ускоренное движение. Например, космонавты перед полетом тренируются в центрифуге, которая может вращаться с постоянной скоростью, и при этом космонавты будут испытывать перегрузки.

Кроме того, уже в первой своей работе Эйнштейн выдвинул принцип относительности, а согласно этому принципу, физические процессы должны происходить одинаково в любой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно. Отсюда следует, что описанное движение по ломаной линии должно выглядеть точно так же и в системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно, относительно выбранной вначале системы отсчета. И вот из другой системы отсчета движение по ломаной линии с постоянной скоростью или по кривой линии с постоянной скоростью будет выглядеть как движение с разными скоростями, как ускоренное движение в любом смысле.

Делаю вывод. Утвеждения о том, что в своей первой работе Эйнштейн не рассматривал ускоренного движения, предполагают один из нескольких вариантов. Либо они рассчитаны на людей, не знающих физику, либо они исходят от людей, не знающих физику, либо они предполагают, что физику не знал сам Эйнштейн, создавая свою теорию. Еще вероятнее, намеренное искажение фактов с целью повысить авторитет Эйнштейна и его теории относительности. Это может сработать с людьми, не читающими первоисточники, либо не задумывавшимися о том, что они читают.

Факт состоит в том, что Эйнштейн уже в первой своей работе по теории относительности рассматривает движение по замкнутой кривой линии произвольной формы, в частности, окружности, с постоянной скоростью и для такого движения предполагает верной формулу

Второй факт состоит в том, что из этого вывода однозначно следует, что никакого дополнительного замедления времени связанного с ускорением объекта, Эйнштейн не рассматривает и даже не предполагает о такой возможности. И наконец, из этого следует вывод, что в это время Эйнштейн рассчитывал любое ускоренное движение, по линейно-кусочной модели. Этот вывод подтверждает и замечание Эйнштейна в статье 1907 года "По поводу заметки Пауля Эренфеста":

"С помощью этих формул ... из закона ускорения медленно движущегося электрона находят закон ускорения электрона, движущегося сколь угодно быстро. Следовательно, здесь речь идет совсем не о "системе", в которой неявно бы содержались бы отдельные законы, выводимые из нее простой дедукцией, но всего лишь о принципе, который позволяет свести одни законы к другим".

Раз так, используем линейно-кусочную модель для вывода формул прямолинейного равноускоренного движения. Тем более что такое движение можно рассматривать как частный случай рассмотренного Эйнштейном варианта, при котором, объект движется по замкнутой окружности относительно значительно удаленного центра.

Я уже показывал в прошлых главах, что линейный закон сложения скоростей соблюдается для релятивистских скоростей. И если мы складываем скорости небольшими порциями, то есть, линейно-кусочно, вот так:

V₂ = V₁ + ΔV,

где величина ΔV это совсем небольшое приращение скорости, линейный закон сложения скоростей тоже должен соблюдаться. Причем, не предусматривается никаких ограничений ни по тому, насколько малы будут эти приращения, ни по тому, насколько часто они будут происходить. Так мы естественно переходим к рассмотрению ускоренного движения, когда за промежуток собственного времени ускоренного объекта Δτ, его скорость изменяется на постоянную величину ΔV. То есть мы получили постоянное ускорение

Отсюда следует также, что при прямолинейном равноускоренном движении релятивистская скорость изменяется по закону

V = V₀ + aτ.

Для наших целей будет удобно выразить релятивистскую скорость в единицах скорости света, то есть, перейти к измерению скорости в радианах, как угла между векторами. Тогда:

Для упрощения вычислений, предположим, что значение φ₀ = 0. То есть, что в начальный момент времени, рассматриваемый объект был неподвижен в выбранной системе отсчета.

Когда объект достигнет некоторой скорости V, с точки зрения наблюдателя неподвижного в выбранной инерциальной системе отсчета, время у него будет идти замедлено. Каждому небольшому промежутку собственного времени объекта dτ, будет соответствовать промежуток времени dt в выбранной системе отсчета. Эти величины связаны между собой соотношением

dt = ch |φ| dτ.

За этот же промежуток времени, объект пролетит расстояние

dS = v dt = v ch |φ| dτ,

относительно выбранной системы отсчета. Вспоминаем формулу

v = ic th |φ|,

подставляя которую получаем соотношение:

dS = v ch |φ| dτ = ic th |φ| ch |φ| dτ = ic sh |φ| dτ.

Интегрируем полученные соотношения.

и

Смотрим формулы для расчета равноускоренного движения космического корабля, для полета к звездам в следующем источнике: Т.А. Агекян. Звезды, галактики, Метагалактика. - 3-изд, перераб. и доп. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической лит. 1981. стр. 381,383.

Находим эти же формулы, но немного иначе записанные:

Зачем понадобилась демонстрация вывода этих формул? Только для того, чтобы показать две вещи. То, что для их вывода требуется просто последовательно использовать кусочно-линейную модель. И то, что согласно этим формулам, время, прошедшее в ускоренной системе отсчета, находится просто как длина кривой линии в Т пространстве.

На рисунке 96 показана траектория равноускоренного движения объекта в системе отсчета (t, ix). В точке O скорость этого объекта относительно этой системы отсчета равна нулю. В точке B скорость объекта равна φ = V_B/c. И мы рассматриваем на траектории движения этого объекта некоторый небольшой участок A, который с достаточно большой точностью можно считать прямолинейным. Величина ΔS - расстояние, пройденное объектом за время Δt, относительно выбранной системы отсчета, а величина Δτ - собственное время объекта на этом участке. И вот, мы обнаруживаем, что собственное время в ускоренной системе отсчета это просто сумма таких небольших отрезков. Может, я повторяюсь, но в теории относительности этот факт очень важен, поскольку весьма распространен миф о том, что в ускоренной системе отсчета время идет принципиально иначе, чем в системе, движущейся равномерно и прямолинейно

Никаких предположений о том, что при ускоренном движении время идет как-то иначе, чем при движении равномерном, здесь не требуется. Более того, подобное предположение противоречит данным формулам. Из этих формул следует, что в каждый момент времени разница хода времени определялась только скоростью. А предположение о дополнительном замедлении времени при ускорении противоречит кусочно-линейной модели.

В целом, такая модель проста, естественна и достаточно наглядна. Она хорошо согласуется с геометрией Минковского. Для того чтобы отказаться от такой модели или начать ее изменять, должно было произойти нечто важное. И это что-то, было открытие парадокса близнецов.

7.3 Релятивизм и абсолютизм

В настоящее время словом "релятивистский" принято обозначать нечто, связанное с теорией относительности Эйнштейна или возникшее благодаря ей. Это еще один миф. В физике сообщество ученых, называвших себя релятивистами, существовало еще лет двадцать до опубликования первой работы по теории относительности. Значительной фигурой в этом движении был ученый и философ Эрнст Мах. В нашей стране его исследования в течение почти ста лет замалчивались, книги не публиковались. Те крохи информации, которые просачивались в печать, давали этим исследованиям либо отрицательную оценку, либо значительно занижали их значимость. Причина проста. Эрнст Мах, совместно с Рихардом Авенариусом, был родоначальником эмпириокритицизма, философии, критике которой Владимир Ильич Ленин посвятил целую книгу. Иногда, для того, чтобы подчеркнуть незначительные различия во взглядах Авенариуса и Маха, философские взгляды Маха называют махизмом. По этой причине и теория относительности некоторое время в СССР официально считалась буржуазной лженаукой, извратившей исследования русского ученого Лебедева. По крайней мере, так об этом было написано в первом издании Советской Энциклопедии. В своей книге "Механика" (Эрнст Мах Механика. Историко-критический очерк ее развития. - Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.) Мах пишет (стр.207):

Взгляд, что "абсолютное движение" есть понятие бессмысленное, бессодержательное и научно никуда не годное, - взгляд, который двадцать лет назад вызывал почти полное отчуждение, в настоящее время разделяется многими выдающимися исследователями. В качестве решительных "релятивистов" я мог бы назвать: Сталло, Дж. Томпсона, Людвига Ланге, Лове, МакГрегора, Пирсона, Мансиона, Клейнпетера. Число релятивистов быстро растет и приведенный список наверное уже не полон.

Именно труды Маха и ряда других исследователей подготовили базу для теории относительности. Это была не только философская база, но еще и целый ряд новых концепций, возникших в физике в конце девятнадцатого века. Теория относительности Вам кажется непонятной? Для того чтобы ее понять, прежде всего, нужно вернуться немного раньше и разобраться с первоисточниками, которые взял за основу Эйнштейн.

Эйнштейну не пришлось пробивать головой стену, в этой стене уже была дыра. И Эйнштейну не пришлось собирать группу единомышленников, наоборот, это он присоединился к уже существующей группе ученых-релятивистов. И здесь представляет интерес вопрос, а каковы были разногласия между релятивистами и их противниками, о чем вообще шел спор? Хотя направление в физике, которое называлось релятивизмом, оформилось в конце девятнадцатого века, разногласия касались основ классической физики, заложенных Ньютоном. Основные вопросы этой дискуссии были известны еще во времена Ньютона, но в конце девятнадцатого века они стали весьма актуальны.

Один из вопросов касался физического механизма всемирного тяготения. Выдвигались две основные версии, которые можно назвать так: дальнодействие и обмен частицами. Принцип дальнодействия предполагал мгновенное распространение гравитации на все объекты вселенной. А версия обмена частицами предполагала существование частиц, переносящих гравитационное воздействие с большой скоростью.

Другая дискуссия развернулась по поводу природы инерции тел. Классическая физика времен Ньютона исходила из предположения, что тела сохраняют направление и скорость своего движения относительно абсолютного пространства. Демонстрацией такой точки зрения могли служить опыты по сохранению постоянного тока в индуктивности. По аналогии можно было предположить, что пространство является такой большой индуктивностью, сохраняющей движение в ней частиц.

Релятивисты возражали, что если бы существовало абсолютное пространство, то при вращении движущихся тел центробежные силы были бы направлены иначе, не так, как центробежные силы неподвижных вращающихся тел. В частности, они в качестве примера приводили поведение маятника Фуко, которое никак не зависело от направления движения Земли вокруг Солнца. Исходя из этого, релятивисты делали вывод: раз силы инерции действуют одинаково в любой движущейся системе, то абсолютного пространства не существует. Тогда возникал еще один вопрос, что в таком случае является источником сил инерции. Мах выдвинул версию, что совместное гравитационное взаимодействие всех масс в физической вселенной и есть этот источник. Таким образом, он объяснял и пропорциональность инертной и гравитационной масс тел.

С новой силой дискуссия разгорелась после опубликования Максвеллом уравнений электромагнитного поля. Из этих уравнений следовало, что скорость света должна быть постоянной величиной в любой системе отсчета. Этот вывод релятивисты стали использовать в качестве еще одного доказательства не существования абсолютного пространства. Все физические процессы происходят одинаково в любой системе отсчета - говорили они.

А что же сторонники существования абсолютного пространства? У них были свои доводы, и, кстати, тоже достаточно основательные. Один из этих доводов можно было бы выразить так: "природа не терпит пустоты".

В первой половине девятнадцатого века русский математик Лобачевский опубликовал свои исследования пространства имеющего отрицательную кривизну и подвергся насмешкам своих современников. Гаусс, по праву носивший титул "король математиков", тоже вел подобные исследования, записи о которых были найдены только после его смерти. Опубликовать их при жизни он не решился. Абсолютное большинство людей воспринимало трехмерное пространство как евклидову трехмерную пустоту. Они полагали, что есть звезды, планеты, а между ними пустота, отсутствие чего бы то ни было. Естественная реакция на публикацию Лобачевского было непонимание. Искривление пустоты? Как такое возможно? Исказить, искривить можно только то, что является объектом. То чего нет, исказить нельзя. И другого пространства, кроме как евклидовой пустоты, представить себе люди не могли. Только осознание того, что возможны другие формы пространства, другие геометрии, привело к тому, что люди стали задумываться о том, что трехмерность, это вовсе не естественное состояние, а каким-то образом возникшее устойчивое состояние нашей физической вселенной. И еще о том, что пространство это сложный объект.

И вот Лоренц создает свою теорию, в которой утверждает, что пространство само по себе объект, некая субстанция, передающее гравитационное воздействие и поддерживающее инерцию тел. А для объяснения уравнений Максвелла, он предположил, что во время движения объектов через абсолютное пространство, их размеры в направлении движения сокращаются. Для описания этого процесса, Лоренц разработал великолепную математическую модель. Чтобы опровергнуть эту точку зрения, Эйнштейн впоследствии полностью заимствовал созданный Лоренцем математический аппарат.

Из текстов современных учебников физики следует, что Эйнштейн вначале взялся за решение задачи о постоянстве скорости света, а затем, с успехом решив эту задачу, занялся другой проблемой, теорией гравитации. Не было одной и другой проблемы. Была единая проблема: существование абсолютного пространства, передающего гравитацию, и поддерживающего инерцию тел. И была частная задача, распространение света в этом абсолютном пространстве. Поэтому, когда Эйнштейн опубликовал первую редакцию теории относительности, было естественным ожидать его мнения по поводу гравитационного взаимодействия тел и сил инерции. Сказав "А", нужно было продолжать фразу.

По опубликованным Эйнштейном работам, очевидно, насколько велико было влияние на него трудов Маха, которое не ограничивалось просто заимствованием принципа эквивалентности гравитации и ускоренного движения. В теории относительности в полной мере жив дух махизма. Согласно эмпириокритицизму, окружающий мир для человека только комплекс ощущений и задача науки описывать эти ощущения, а не объяснять их. И вот в своей книге "Механика", Мах восторженно описывает исследования Исаака Ньютона, который не придумывал гипотез, по его собственным словам, а просто находил закономерности:

"Многократные определенные заверения Ньютона, что ему важны не умозаключения о скрытых причинах явлений, а исследование и констатирование того что дано в фактах, его ход идей, ясно и коротко выражающийся в его словах "hypotheses non fingo" ("Я гипотез не строю"), характеризует его, как философа выдающегося значения. Он вовсе не желает привести себя в изумление собственными своими выдумками, поражать себя или импонировать себе, он хочет познать природу".

Лично я думаю, что Ньютон по праву заслужил право считаться философом выдающегося значения своими исследованиями, и то, что он "не придумывал гипотез" не главная его заслуга.

Путем Ньютона предлагал идти и Мах, просто наблюдать и не строить гипотез. Он даже сомневается в существовании атомов, вот одно из его критических замечаний (стр. 185):

"Мы можем это сказать и в том случае, если мы подобно некоторым авторам дойдем до счета гипотетических атомов".

Человек получает в виде ощущений представления об окружающем его веществе, а атомы непосредственно не могут быть человеком восприняты, поэтому гипотеза об их существовании представлялась Маху излишней.

И вот, когда Эйнштейн описывает сокращение размеров летящих навстречу друг другу тел, тело A сокращается в размерах относительно тела B, а тело B сокращается в размерах относительно тела A, он, как настоящий эмпириокритицист, не вдается в измышления гипотез, а говорит просто: таковы свойства пространства. Во многих случаях Эйнштейн не задается вопросом, почему так происходит, а ограничивается только описанием происходящего. Разве что при этом еще утверждает, что эфира не существует, точно так же, как Мах утверждал, что не существует атомов.

Конечно, любая наука начинается со сбора данных, наблюдений, обобщения и анализа имеющейся информации, а затем, на основе этих данных ученые строят модели, алгоритмы, выводят законы. Но если наука этим ограничится, как предлагал Мах, ее ждет кризис. Цикл должен быть завершен, тогда наука сможет развиваться дальше. На основе моделей и физических законов должны возникнуть новые представления о мире, новые гипотезы, новое понимание человеком окружающего его мира и себя в этом мире. Если этого не будет, не будет и развития науки. Путь, предлагаемый эмпириокритицизмом, это хорошая тактика в определенной фазе развития, когда только вырисовываются контуры будущей теории, но данных для построения законченной модели явно не хватает. Но не нужно использовать идеи эмпириокритицизма как стратегию.

Практически все идеи, лежащие в основе теории относительности, были высказаны другими исследователями еще до Эйнштейна. Например, идея о том, что в поле гравитации пространство искривляется. Ведь это идея типичная для сторонников абсолютного пространства. Искривляться может только то, что является объектом. И когда Эйнштейн рассматривал искривление пространства в поле гравитации, но при этом отрицал существование эфира, конечно, он давал повод обвинить себя в непоследовательности. Сторонники абсолютного пространства как раз и представляли себе мировой эфир как некую среду, которая может быть искривлена или увлечена за собой материальным телом. Впрочем ко времени создания теории относительности, Лоренц уже создал теорию эфира в которой увлечение эфира движущимися телами был отброшен как предрассудок, и его теория объясняла происходящее без этого предположения.

Я уже упоминал выше, о предположениях, о механизме передачи гравитации как дальнодействия или при помощи частиц. Когда выяснился факт постоянства скорости распространения электромагнитных волн, в среде физиков возникла идея о том, что гравитационное взаимодействие тоже может передаваться частицами со скоростью света. Но эта идея столкнулась с рядом проблем. Об одной из них я уже упоминал. При вращении тел относительно общего центра масс, силы гравитации должны быть направлены не так, как в теории всемирного тяготения. Не к центру масс системы, а к тем точкам пространства, в которых тела были раньше по времени. И в результате такого взаимодействия, тела должны были постоянно ускоряться и переходить на все более высокую орбиту. И все это должно было происходить с нарушением закона сохранения энергии.

Другая проблема состояла в том, что если тела активно обмениваются некими гипотетическими частицами, сейчас их называют гравитонами, то эти частицы, в соответствии с законами классической физики, должны не притягивать тела, а расталкивать их. В самом деле, если в тело попадает частица, то это тело должно приобрести импульс в направлении движения частицы, но никак не в направлении, откуда частица летела. Из целого ряда предположений о том, как можно обойти данное затруднение, мне наиболее правдоподобными представляются две версии.

Одна из них заключается в том, что переносчиками гравитации являются частицы с отрицательной массой. Тогда, в полном соответствии с формулами классической физики, тело испускающее гравитон, должно получить импульс в том же направлении, в котором гравитон вылетел. Естественно, тело, равномерно испускающее гравитоны во все стороны, должно оставаться в покое. Тело, сталкивающееся с гравитоном, должно получать импульс в том направлении, откуда гравитон прилетел.

Вторая версия состояла в том, что гравитоны воздействуют не на сами тела, а на геометрические свойства пространства их окружающего. То есть, на свойства мирового эфира. Вот эта вторая версия смогла теоретически объяснить и первую проблему. В этом случае предполагается, что геометрия пространства изменяется так, что компенсирует нарушение закона сохранения, и в этом искривленном пространстве планеты продолжают двигаться по траекториям близким по форме к форме эллипса.

Мах к этой теории отнесся критически, ведь она подразумевала существование некой среды, на геометрию которой можно воздействовать при помощи гравитации (Механика, стр. 163):

Пауль Гербер (Paul Gerber ... 1898) находит из движения перигелия Меркурия (41 секунда за столетие) скорость распространения тяготения равной скорости распространения света. Будь это определение верно, оно бы говорило в пользу эфира, как среды тяжести.

Эта та самая книга "Механика", которая так повлияла на мировоззрение Эйнштейна. В ней уже есть или упомянуто почти все, что нужно было для создания теории относительности. И не прошло и двадцати лет, а предположение об искривлении пространства стало рассматриваться как неотъемлемая часть теории относительности. А еще позже возник миф о том, что это именно Эйнштейн предположил, что в гравитационном поле геометрия пространства изменяется.

В конце концов, релятивизм победил, выиграв по очкам, но, так и не ответил на ряд принципиальных вопросов, поставленных "абсолютистами". Но это противоречие между релятивизмом и абсолютизмом, противоречие между системой мира, в которой действуют принципы относительности и при этом пространство само по себе рассматривается как объект, обладающий физическими свойствами, в рамках представлений о мире, как о трехмерном пространстве, в принципе неразрешим. Если рассматривать пространство как физический объект, имеющий три пространственных измерения, то правы абсолютисты и Лоренц просто не сумел найти достаточно аргументированные доводы своей правоты, чтобы убедить научный мир. Но в этом случае, релятивизм, это только иллюзия, присущая нашей физической вселенной. Если последовательно следовать релятивизму, в рамках трехмерного пространства, то остается неразрешенным физический механизм изменения геометрии пространства. Только выходя за рамки и рассматривая физическую вселенную как объект, существующий в пространстве и времени, можно обнаружить, что разногласия между релятивистами и абсолютистами на этом новом уровне исчезают.

Эйнштейн назвал эту концепцию пространственно-временным континуумом. Но она так и продолжает толковаться по-разному, одними в духе релятивизма, другими в духе абсолютизма, но, как правило, в рамках представлений о трехмерном пространстве, в котором время лишь мера изменчивости. Естественно, противоречия при этом так и остаются нерешенными. Если же рассматривать пространство и время вместе как единый абсолютный объект, протяженный и во времени и в пространстве, то оказываются правы и релятивисты и абсолютисты. Действительно, с одной стороны, такой объект обладает физическими свойствами и может быть деформирован, а с другой стороны каждой системе отсчета соответствует свое пространственное сечение этого объекта. И точно так же, как на чертеже детали, разные сечения показывают ее с разных сторон, в разных пространственных сечениях одни объекты сохраняют свои геометрические размеры, а другие выглядят деформированными.

История создания Эйнштейном теории гравитации тоже не всегда передается верно. В ряде источников по теории относительности приводится информация о том, что Эйнштейн теоретически предсказал, что луч света, проходя мимо Солнца, должен отклониться на величину 0,83 угловые секунды, и это предсказание было подтверждено наблюдениями астрономами полного солнечного затмения в 1916 году. Другие источники, рассказывая ту же самую историю, указывают величину 1,7 или 1,75 угловой секунды. Более полная версия происходящего, изложена, например, в книге Паули Теория относительности (Паули В. Теория относительности: пер. с нем. и англ.- 3-е изд., испр./Под ред. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова.- М.: Наука. 1991. стр. 194-196). Эта версия звучит так:

Эйнштейн показал, что искривление световых лучей имеет следствием доступное проверке смещение положения звезд, наблюдаемых у края солнечного диска. Значение смещения им было тогда определено равным 0,83".

Это описывается работа 1907 года. Дальше Паули пишет:

Однако в 1915 году он обнаружил, что требования, предъявлявшиеся им раньше с точки зрения инвариантов к уравнениям гравитационного поля, отнюдь не определяют этих однозначно.

При помощи Римановой теории кривизны ему, действительно ... удалось установить общековариантные уравнения, соответствующие всем исходным физическим требованиям. В дальнейшем сообщении Эйнштейн смог показать, что его теория количественно правильно объясняет движение перигелия Меркурия и предсказывает отклонение световых лучей в гравитационном поле, которое вдвое больше выведенного с помощью принципа эквивалентности для однородного поля.

Другое изложение этой истории находим в книге Жукова "Введение в теорию относительности" (Жуков А. И. Введение в теорию относительности. Редактор В. Д. Козлов. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1961г. Стр 144.):

На это явление Эйнштейн указал еще в 1907 году; однако величина самого отклонения была им вначале вычислена неправильно. В последующих работах 1911 и 1915 гг. он внес необходимые исправления и обратился к астрономам с предложением попытаться проверить эти выводы.

Дело в том, что отклонение это весьма мало. ... Если бы можно было рядом с Солнцем увидеть звезды, то эффект отталкивания мог бы в принципе, быть заметным.

Но как увидеть звезды рядом с Солнцем? Эта возможность осуществляется в моменты полных солнечных затмений.

Рядом с этим текстом приведен рисунок, скопированный с работы самого Эйнштейна, на котором видно, что лучи света, проходя мимо поверхности Солнца, отклоняются от прямой, притягиваются Солнцем, в результате чего у наблюдателя на Земле возникает иллюзия, что близкие к краю Солнца звезды отталкиваются от его поверхности.

Естественно, вся эта история описывается с точки зрения победившего релятивизма. И полученный результат преподносится как победа теории относительности над классической физикой Ньютона. Это действительно было крупное достижение. С 1907 по 1915 год Эйнштейн работал над теорией гравитации и общей теорией относительности, но все это время он рассматривал гравитационное поле в рамках эвклидовой геометрии. Естественно Эйнштейн находился под сильным влиянием идей Маха. А Мах теорию Пауля Гербера об искривлении геометрии пространства вокруг массивного тела, считал очень сильным аргументом в пользу существования абсолютной системы отсчета.

Рассматривая геометрию пространства вокруг массивного тела как евклидову, Эйнштейн некоторое время даже отказался от принципа постоянства скорости света. В это время, он разработал вариант теории гравитации совместно с Гроссманом, и согласно этой теории, вблизи массивных тел ход времени должен был замедлиться, а следовательно должна была замедлиться и скорость света. В статье 1914 года "К теории гравитации", он пишет:

Теория Эйнштейна - Гроссмана сложнее, чем теория Нордстрема, поскольку она отказывается от принципа постоянства скорости света и поэтому приходит к необходимости обобщения теории относительности.

А в 1915 году, после значительного числа опубликованных версий обобщенной теории относительности и, наверное, еще большего числа неопубликованных вариантов, Эйнштейн пишет в статье "К общей теории относительности":

В последние годы я старался построить общую теорию относительности исходя из относительности также и неравномерных движений. Я думал, что на самом деле нашел единственный закон гравитации, который соответствует понятному по смыслу общему постулату относительности, и пытался доказать необходимость именно этого решения в работе, появившейся в прошлом году в этом журнале.

Однако заново проведенный анализ показал, что следуя по предложенному пути, совершенно невозможно ничего доказать; то, что это казалось сделанным, было основано на заблуждении.

По этим причинам я полностью потерял доверие к полученным мной уравнениям поля и стал искать путь, который бы ограничивал возможности естественным образом.

Здесь Эйнштейн имеет в виду, что полученные им уравнения поля имели много решений, среди которых он не мог выбрать естественным образом одно определенное. И этот факт постепенно привел его к убеждению, что ранее рассматривавшиеся модели неверны. С этой статьи начинается новая эра в теории относительности. Эйнштейн вернулся к началу своей работы (1906-1907 гг.) и построил теорию гравитации заново. Конечно, при этом он использовал многие наработки этих восьми лет. В этой новой версии теории, в гравитационном поле не только происходило замедление времени, но еще и сокращение геометрических размеров тел, а в результате, наблюдатель, двигающийся в этом гравитационном поле, обнаружил бы, что скорость света остается постоянной, но геометрия пространства слегка отличается от евклидовой геометрии.

Таким образом, аналитически Эйнштейн пришел к той самой концепции гравитационного поля, которая была предложена Паулем Гербером еще в 1898 году. На основе новой модели он предсказывает значение отклонения лучей света возле поверхности Солнца 1,7". Это предсказание позже подтвердилось, и было установлено, что теория всемирного притяжения Ньютона не вполне точна.

И вот чудо! Конец 1915 года, в начале статьи "Принцип Гамильтона и общая теория относительности", Эйнштейн пишет:

В последнее время Г. А. Лоренцу и Д. Гилберту удалось придать общей теории относительности особенно наглядную форму тем, что они вывели ее из одного единственного вариационного принципа.

В сноске читаем, что речь идет о серии из четырех статей, опубликованных Лоренцем. Лоренц, всегдашний оппонент Эйнштейна и главный противник релятивизма так увлеченно работает над общей теорией относительности! Осознал свои ошибки? Нет! Просто на этом новом уровне произошло сближение взглядов. Это Эйнштейн наконец признал концепцию изменения геометрических свойств пространства, о которой абсолютисты говорили уже лет шестнадцать назад. С точки зрения Лоренца, Эйнштейн последние годы шел в заведомо неправильном направлении, а теперь прозрел. И в таком виде Лоренцу уже не столь важно, признает ли Эйнштейн, что изменять свои геометрические свойства может только физический объект, уже не столь важно как его называют, эфиром или пространственно-временным континуумом. Величину 1,7" можно считать совместным прогнозом Эйнштейна и Лоренца, поскольку по этому вопросу они достигли согласия. И я не думаю, что при этом Лоренц отказался от своих взглядов на природу пространства.

Возможно, многим покажется, что такая точка зрения, это преувеличение. Действительно, после десятков статей и лекций Эйнштейна между 1905 и 1915 годами, в которых он доказывал, что эфира не существует, трудно поверить, что он мог изменить свое мнение. Одна из гениальных способностей Эйнштейна была его способность, пусть с неохотой, но признавать свои ошибки. И вот в 1920 году, в статье "Эфир и теория относительности" Эйнштейн пишет:

Между тем, ближайшее рассмотрение показывает, что специальная теория относительности не требует безусловного отрицания эфира; следует только заботиться о том, чтобы не приписывать ему определенное состояние движения; иначе говоря, абстрагируясь нужно отнять у него последний механический признак, который ему еще оставил Лоренц.

И далее:

Специальная теория относительности запрещает считать эфир состоящим из частиц, поведение которых во времени можно наблюдать, но гипотеза о существовании эфира не противоречит специальной теории относительности. Не следует только приписывать эфиру состояние движения.

И еще через несколько страниц находим следующее:

Эфир общей теории относительности принципиально отличается от эфира Лоренца тем, что его состояние динамически определяется с помощью дифференциальных уравнений материи и состоянием эфира в соседних точках ... Можно сказать еще так: эфир общей теории относительности мы получаем из эфира Лоренца, релятивируя последний.

Еще бы, ведь Эйнштейн сравнивает свои представления об эфире общей теории относительности, с представлениями, бытовавшими в физике на двадцать лет раньше. Конечно, есть различия. И сам Лоренц уже признал общую теорию относительности в новой редакции.

Нам пока еще не ясно, какую роль новый эфир призван играть в картине мира будущего. Мы знаем, что он определяет метрические соотношения в пространственно-временном континууме, например возможные конфигурации твердых тел или различные гравитационные поля, но мы не знаем, участвует ли он в построении элементарных электрических частиц образующих материю.

Ну, что же, пусть Эйнштейн и высказал свое особое мнение, эти строки триумф Лоренца и признание за эфиром права на существование.

7.4 Гравитационный потенциал

Вернемся немного назад и рассмотрим, как же изменяются геометрические свойства пространства в поле тяготения. Наиболее нагляден образ листа бумаги, резиновой пленки или материи, прогибающейся под действием тяжелого тела (рис. 97). При этом образуется углубление, и геометрические свойства такой поверхности, это поверхность с отрицательной кривизной, причем при приближении к массивному центру, радиус кривизны уменьшается, а при удалении от центра, радиус кривизны стремится к бесконечности и свойства геометрии пространства стремятся к евклидовым.

При такой геометрии пространства, тело, движущееся по прямой линии, если точнее, в математике эта линия называется геодезической, попав в такую выемку, изменит направление своего движения. Люди мало знакомые с физикой и геометрией иногда задают очень правильный вопрос, они интересуются, в какое измерение прогибается трехмерное пространство вблизи гравитационной массы. Им обычно отвечают, что вопрос некорректен, пространство просто изменяет свою геометрию, свои свойства, и никуда не прогибается. Но, для наглядности, конечно же, можно себе представить, что трехмерное пространство прогибается в некое четвертое пространственное измерение.

И вот в связи с этим несколько любопытных фактов. Факт первый заключается в том, что в гравитационном поле относительное замедление времени пропорционально разности гравитационных потенциалов. И здесь нужно разобраться с тем, что такое гравитационный потенциал и какое отношения он имеет к теории относительности. По величине гравитационный потенциал Ф пропорционален энергии, необходимой для того, чтобы переместить объект из некоторой точки гравитационного поля в бесконечность:

В этой формуле m - масса перемещаемого тела, а ΔE - величина необходимой для перемещения этого тела энергии, поэтому величина гравитационного потенциала выражается в единицах квадрата скорости. Если мы принимаем за ноль гравитационный потенциал тела удаленного в бесконечность Ф₀, то гравитационный потенциал точки пространства приближенный к центру гравитационной массы Ф, по определению будет отрицательным. От массы перемещаемого тела величина потенциала не зависит. Для тела с меньшей массой для перемещения его в бесконечность потребуется меньшая энергия, для тела с большей массой соответственно большая.

Для людей мало знакомых с теорией космических полетов, такая постановка вопроса может оказаться неожиданной. Как может быть, чтобы для перемещения в бесконечность потребовалась конечная величина энергии? На самом деле, чтобы вырваться из поля притяжения Земли космическому аппарату, находящемуся на орбите Земли, требуется развить вторую космическую скорость, всего около 11,2 километра в секунду. Тогда его энергии было бы достаточно для того, чтобы удалиться в бесконечность, если бы Земля не входила в Солнечную систему. А так, космическому аппарату придется преодолевать еще и гравитационное поле Солнца.

Чтобы не стакиваться с подобными сложностями, рассмотрим удаленную от всех остальных массу, и рассмотрим ее гравитационное поле. Если скорость некоторого тела в некоторой точке гравитационного поля меньше определенной величины, то это тело никогда не покинет это гравитационное поле и останется в нем навсегда, описывая близкие по форме к эллипсу траектории. Если скорость тела больше этой величины, то тело удалится в бесконечность и там продолжит двигаться с некоторой скоростью. Конечно, для того, чтобы удалиться в бесконечность, телу потребуется бесконечно большое время. Поэтому гравитационный потенциал равный нулю, это такая же абстракция, как абсолютный ноль температуры, то есть, величина недостижимая. А если скорость объекта будет в точности равна определенной величине, то тело способно удалиться в бесконечность, но там его скорость будет стремиться к нулю.

Давайте определим, с какой скоростью должен двигаться объект, чтобы покинуть гравитационное поле. Рассмотрим этот процесс в евклидовом пространстве. В каждой точке этого пространства ускорение направлено в сторону гравитационной массы и может быть найдено по формуле:

где: a - ускорение свободного падения на расстоянии R от массы M, которая создает гравитационное поле. Величина G - гравитационная постоянная. Знак минус означает, что ускорение направлено на уменьшение расстояния.

Решение этого дифференциального уравнения было известно еще во времена Ньютона. Наглядно это решение можно дать в форме производных:

Используем соотношение:

Или:

Теперь выберем скорость v₀ таким образом, чтобы при R₁ -> ∞, скорость стремилась к нулю. То есть:

Получаем:

Следовательно:

Эта минимальная скорость, при которой объект, находящийся на расстоянии R₀ от центра гравитационного поля может его покинуть. При этом, удаление в бесконечность сопровождается стремлением скорости к нулю.

Подставляем это значение в формулу:

Если объект будет удаляться от центра массы подобным образом, скорость этого объекта будет уменьшаться, стремясь к нулю, и через бесконечно большое время, на бесконечно большом расстоянии от центра массы станет равна нулю. Еще одна абстракция, поскольку в реальной физической вселенной на этом пути тело попадет в гравитационное поле другого объекта, и эксперимент будет нарушен.

Часто в источниках по теории относительности информация о гравитационном потенциале подается так, как будто непосредственно сам гравитационный потенциал влияет на замедление времени. Гравитационный потенциал отчасти физически аналогичен электрическому потенциалу. Напряжение в электротехнике это разность между двумя различными потенциалами, и для того, чтобы замерить напряжение требуется одновременно подключить прибор к этим двум точкам. Так и здесь, если мы предполагаем, что ход часов непосредственно зависит от величины гравитационного потенциала, следовательно, мы предполагаем, что часы должны "знать" разность между потенциалом, в той точке, где они находятся, и в точке удаленной в бесконечность. А иначе, нужно предположить, что эффект замедления часов, как и гравитационный потенциал, связаны с еще каким то явлением и оба зависят именно от этого явления. Например, этим дополнительным явлением может быть напряженность гравитационного поля.

Факт второй.

Согласно общей теории относительности, закон движения материальной точки в чисто гравитационном поле выражается уравнением геодезической.

Это цитата из статьи 1923 года "Основные идеи и проблемы теории относительности". Сознательно обращаюсь к более поздним версиям теории относительности, в которых она приобрела уже достаточную стабильность.

Для того чтобы это определение было верным, нужно вначале иметь понятие инверсии свойств прямой. Ни у Эйнштейна, ни в современной версии общей теории относительности таких оговорок не делается. В теории относительности это неочевидно, поскольку производная функции и для ее максимума и для ее минимума равна нулю, а уравнение геодезической линии определяется именно таким образом, через равенство производной нулю.

Факт третий. Рассматривая движение тела в гравитационном поле нужно обязательно соотносить его с законами сохранения. В этом плане очень полезна еще одна абстракция, понятие о теле, свободно падающем в поле тяготения из бесконечности. При этом, предполагается, что в начальный момент времени, то есть в бесконечности, скорость этого тела была равна нулю и тело начало свое движение под действием гравитации. При таком движении, сумма потенциальной и кинетической энергии тела всегда будет равна нулю. В начальный момент времени, скорость этого тела равна нулю, а следовательно, его кинетическая энергия тоже равна нулю. А гравитационный потенциал точки находящейся в бесконечности, мы тоже принимаем за ноль. Согласно закону сохранения энергии, для этого тела в любой последующий момент времени сумма потенциальной и кинетической энергии тоже равна нулю:

E_К + E_П = 0.

По мере роста скорости свободно падающего тела, когда оно движется в направлении гравитационной массы, кинетическая энергия растет, а потенциальная энергия уменьшается, согласно формуле:

Учитывая, что энергии, о которых обычно идет речь, малы, используем пока классическую формулу:

Поэтому гравитационный потенциал связан со скоростью свободно падающего из бесконечности тела следующим образом:

Именно в такой форме гравитационный потенциал часто входит в формулы общей теории относительности. Для слабых гравитационных полей звезд типа Солнца это вполне оправдано. Но нужно понимать, что это формула для приблизительных вычислений. Используем формулу:

E_K = c² m (ch |φ| - 1).

где: E_K это та часть энергии тела, которая ассоциируется с его движением.

Откуда:

Но в таком виде эта формула может пригодиться разве что для расчетов процессов в поле тяготения черных дыр. Ну а еще для того, чтобы определить величину замедления времени в поле гравитации. Если обозначить разницу между небольшим промежутком времени dt, прошедшим у наблюдателя находящегося вне гравитационного поля, и небольшим промежутком собственного времени свободно падающего из бесконечности объекта dτ как d(Δτ), то обнаружится прямая связь с гравитационным потенциалом:

d(Δτ) = dt - dτ = - dτ (1 - ch |φ|).

Откуда:

Я использую дифференциальную форму уравнения потому, что положение в пространстве свободно падающего объекта постоянно меняется.

В случаях, когда величина d(Δτ) значительно меньше, чем величина dτ, эту формулу можно записать так, через время наблюдателя расположенного за пределами гравитационного поля:

Или, если нужна точность:

Также можно найти зависимость между собственным временем объекта, свободно падающего из бесконечности dτ и временем наблюдателя расположенного вне гравитационного поля dt:

А теперь рассмотрим свободное падение из бесконечности с точки зрения одновременности. Поскольку движение объекта ускоренное, то в каждый момент времени одновременность наблюдатель связанный с объектом будет воспринимать по-разному. Рассмотрим это в векторной форме. На рисунке 98 показано движение свободно падающего объекта в сторону центра гравитационного поля.

Сам этот центр совпадает с осью времени t, а движение объекта показано как последовательность векторов.

Теперь рассмотрим векторное поле множества объектов, свободно падающих на центр гравитационного поля (рис. 99).

Вспоминаем еще раз правила построения перпендикуляров в пространственно-временных сечениях. Они отличаются от правил построения перпендикуляров в евклидовом пространстве и были рассмотрены ранее:

На рисунке 100 изображены две перпендикулярные прямые.

Теперь на векторном поле скоростей множества свободно падающих из бесконечности объектов построим поверхность, которая в каждой своей точке будет перпендикулярна этому векторному полю (рис. 101):

Если рассматривать эту поверхность в пространстве, то она будет выглядеть так (рис. 102):

Конечно, кривизна этой поверхности для наглядности сильно преувеличена, и сильно, это в тысячи раз. У этой поверхности есть несколько особенностей. Первая из них уже была упомянута, в каждой точке эта поверхность перпендикулярна векторам скорости множества свободно падающих из бесконечности объектов. Вторая особенность следует из первой, эта поверхность - поверхность одновременности для этого векторного поля. То есть, свободно падающие в поле гравитации объекты вот так воспринимают одновременность, точка за точкой. И наконец, для любого объекта, одновременность событий которого совпадает в определенной точке с этой поверхностью, сумма кинетической и потенциальной энергии равна нулю, то есть являются базой для закона сохранения энергии.

По своей геометрии это и есть та самая поверхность, с которой мы начали этот параграф. И эта геометрия возникает в результате прогиба трехмерного пространства (на рисунке 102 показаны только два измерения), только прогиба не в четвертое пространственное измерение, а прогиба во времени. Для множества свободно падающих к центру гравитации объектов, центральная часть этой поверхности смещается в будущее.

Но было бы слишком большим упрощением считать, что это и есть геометрия пространства в гравитационном поле. Для примера можно рассмотреть движение объекта, который свободно движется от центра гравитационного поля в бесконечность, так, чтобы в бесконечности его скорость стала равна нулю.

Поверхность одновременности, построенная для такого векторного поля, будет геометрически эквивалентна рассмотренной выше, только центральная часть этой поверхности будет смещена во времени не в будущее, а в прошлое. С точки зрения протекания физических процессов во времени, такое движение симметрично свободному падению из бесконечности и для такого движения сумма кинетической и потенциальной энергии движущегося объекта в любой момент времени тоже равна нулю.

Представим себе, что некоторый объект движется по траектории свободного падения из бесконечности из точки A' в точку B, а затем, в точке B быстро меняет направление своего движения и движется обратно по траектории свободного полета в бесконечность из точки B в точку A" (рис. 104).

При таком движении собственное время, прошедшее у объекта, двигавшегося по траектории A'-B-A", будет на величину Δt меньше, чем у объекта остававшегося неподвижным в точке A (траектория A'-A").

Вот примерно такой была теория гравитации Эйнштейна до 1915 года. В этой теории относительное замедление времени вызывается только разностью скоростей объектов. Легко показать, что в этой математической модели гравитационного поля, для двух наблюдателей, которые находятся на разном расстоянии от центра, но неподвижны относительно друг друга, время будет идти одинаково. То есть, специфического воздействия самой гравитации на ход времени здесь нет. Именно в такой модели отклонение луча света вблизи поверхности Cолнца получается равным 0,83'.

В этой модели использованы наработки специальной теории относительности, плюс использован принцип объекта подающего из бесконечности, как базы для законов сохранения энергии. Ну, еще, отличие в том, что Эйнштейн рассматривал проекцию поверхности одновременности на евклидово трехмерное пространство, сдвиг во времени рассматривал как замедление времени, а изменение геометрии пространства, как уменьшение в гравитационном поле скорости света.

7.5 Искривление пространства в гравитационном поле

Математическая модель пространства, рассмотренная в прошлом параграфе, включает в себя некоторые понятия гравитационной теории Эйнштейна, но это недостаточно. В той модели, которая была рассмотрена выше, объект движется в поле гравитации по прямой в искривленном пространстве, но если рассматривать не только пространство, а пространственно-временной континуум, то окажется, что траектория объекта, свободно падающего на центр гравитации, это кривая линия. Геометрия такого пространства-времени это по-прежнему геометрия Минковского и прямые линии в ней отображаются на прямые линии при отображении на евклидово пространство, а траектория падения объекта на рисунке 98 это, несомненно, кривая линия.

Первый подход, предусматривает, что в поле гравитации лучи света в пространстве движутся по прямой линии. Но это остается верным только в системе отсчета тела являющегося источником гравитационного поля. При переходе в другую систему отсчета, она, скорее всего, уже не будет прямой линией. Если же принять как факт, что лучи света движутся по прямой в пространственно-временном континууме, то при переходе из одной системы отсчета в другую изменится только направление линии, но она все равно останется прямой. Но при этом, траектория движения луча света в пространстве это, как правило, кривая линия. И вот уже в 1917 году в статье "О специальной и общей теории относительности" Эйнштейн пишет:

"Отсюда следует заключить, что в гравитационных полях световые лучи распространяются, вообще говоря, по криволинейному пути".

Для того чтобы получить геометрию, в которой падение объекта в поле гравитации будет происходить по прямой в пространственно-временном континууме, нужно внести изменения в геометрию Минковского. Предположим, что в поле гравитации в зависимости от величины гравитационного потенциала замедляется ход времени, причем, это дополнительное замедление времени происходят в дополнении к замедлению времени связанному с движением. Сажин в книге "Теория относительности для астрономов" приводит формулу для нахождения замедления времени объекта, движущегося в гравитационном поле:

где: dτ - собственное время объекта движущегося в поле гравитации, dt - собственное время наблюдателя находящегося за пределом гравитационного поля, для которого величину потенциала можно принять равным нулю, кроме того, этот наблюдатель должен быть неподвижен относительно гравитационной массы. Ф - потенциал гравитационного поля, который определяется так же, как мы делали в прошлом параграфе, по определению, эта величина отрицательна, относительно потенциала бесконечно удаленной от массы точки. По этой причине, член Ф/c2 входит в формулу со знаком плюс, хотя речь и идет о замедлении времени при увеличении гравитационного потенциала. Конечно, это формула приблизительная, для расчетов движения тел со скоростью значительно меньшей, чем скорость света.

В такой модели, с точки зрения удаленного в бесконечность наблюдателя, при приближении к гравитационной массе длительность временных отрезков увеличивается. Если мы расположим одинаковые часы, на разном расстоянии от центра массы, и при помощи этих часов будем отсчитывать одинаковые отрезки времени, то получим следующую картинку:

Временные интервалы, показанные стрелками, равны по своей величине. То есть, если мы берем жесткий временной интервал, параллельный оси t и начинаем его смещать в сторону гравитационной массы, его длина, с точки зрения наблюдателя находящегося за пределами гравитационного поля, увеличивается.

После таких изменений в геометрии, траектория свободного падения становится геодезической линией, то есть прямой линией в этом пространстве. Эйнштейн описывает эту геодезическую линию уравнением:

(Лекция "Общая теория относительности", 1921 год, формула 90.) В этой формуле первый член описывает неускоренное движение в пространстве без гравитационных полей:

Второй член описывает форму гравитационного пространства Г^μ_αβ и его влияние на движение тел.

Нечто похожее по смыслу изучают в старших классах школы, только для более простых задач. Там экстремум, то есть максимум или минимум функции, тоже определялся через равенство первой производной этой функции нулю. Вот только в отличие от евклидовой прямой, линия, описываемая этим уравнением, является не самой короткой, а самой длинной траекторией на множестве последовательных путей.

Для того чтобы точно доказать это, нужно найти значение этой функции для второй производной, но легко продемонстрировать на простом примере, что данная прямая линия не самая короткая. Вот, например, на рисунке 106 показана траектория свободного падения тела на центр гравитационной массы AB и симметричная ей линия A'B'. Если аппроксимировать эти две линии ломанными ACB и A'DB', то мы обнаружим, что ломанная линия A'DB' короче, чем линия ACB. В самом деле, отрезок A'D равен отрезку CB, а отрезок DB' короче отрезка AC (смотри рисунок 105).

Можно аппроксимировать траекторию свободного падения объекта большим числом отрезков ломанной, чем больше, тем лучше, но суть останется неизменной. Траектория свободного падения объекта действительно является экстремумом длины пути, но это самый длинный путь и любое небольшое изменение формы этого пути сокращает его длину.

Но вот в такой геометрии, если мы рассматриваем свободное падение объекта из бесконечности на центр гравитационной массы, то относительное сокращение времени в каждой точке траектории оказывается вдвое больше, чем это было в геометрии, рассмотренной в прошлом параграфе. В этом случае оказывается, что сумма двух равных членов в уравнении Ф/c² и v²/2c² ровно в два раза больше одного только члена v²/2c². По этой причине и геометрия пространства, показанного на рисунках 99-104, оказывается такой же по форме, но ее кривизна увеличивается ровно вдвое. По этой причине и лучи света по этой теории в гравитационном поле отклоняются на вдвое большую величину, чем в прежней версии, то есть примерно 1,7".

Приблизительную формулу

можно записать через гиперболические функции. Преобразуем эту формулу:

Это тоже приблизительная формула, но она уже ближе к настоящей точной формуле:

dt = ch|φ| ch|ф|dτ.

В этой формуле угол φ можно определить из соотношения φ =V/c, а угол ф можно найти следующим образом:

Оцените, насколько в таком виде эта формула проще, нагляднее и понятнее формул общей теории относительности, которые приводятся в учебниках. Она проще и нагляднее даже упрощенной формулы, которую приводит Сажин.

Вывести эту формулу можно очень просто другим способом. В отсутствии гравитационного поля, при ф = 0, эта формула превращается в обычную формулу специальной теории относительности. А выражение ch|ф| dτ определяет замедление хода времени в гравитационном поле и относительное увеличение длины временных интервалов, параллельных оси времени гравитационной массы.

Вывести из этой формулы ту, которую использует Сажин, тоже просто. В случае малых скоростей и слабых гравитационных полей, то есть, при |φ| << 1 и ф << 1,

Последний член в этой формуле значительно меньше остальных, поэтому в теории относительности, в формуле для приблизительного вычисления, его просто игнорируют, дают эту формулу в первом приближении. И из этой формулы уже легко получить ту, которую приводит Сажин.

Технологию получения таких приближенных формул Эйнштейн иногда показывает в своих работах. Вот, например, в статье 1917 года "О специальной и общей теории относительности", он описывает получение формулы классической физики для кинетической энергии:

"Согласно теории относительности, кинетическая энергия материальной точки с массой m дается уже не общеизвестным выражением

а выражением

Это выражение становится бесконечно большим, когда скорость v приближается к скорости света c. Следовательно, скорость всегда должна оставаться меньшей c, как бы ни была велика энергия, затраченная на ускорение. Разлагая приведенное выше выражение для кинетической энергии в ряд, получаем

Третий член этого разложения всегда мал по сравнению со вторым (который только и принимается во внимание в классической механике), если величина v²/c² значительно меньше единицы".

Если Вы знакомы с математической теорией разложения в ряды, то должны знать, что в результате этой операции получается сумма бесконечного ряда членов, в котором каждый последующий член имеет большую степень. Существуют также определенные критерии, позволяющие определить, какие из членов можно отбросить без ущерба для заданной точности вычислений. В данном случае, при выполнении условия v < < c, все члены ряда после второго можно отбросить без особого ущерба для точности. А вот, если скорость объекта сравнима со скоростью света, ситуация меняется. Хотя каждый последующий член в ряду будет меньше предыдущего, но сумма последующих членов может оказаться сравнимой с предыдущим членом, а возможно и больше его, и в этом случае, игнорировать их уже нельзя.

Вот еще пример из статьи 1912 года "Скорость света и статическое гравитационное поле", который уже непосредственно связан с уравнениями гравитационного поля:

"Пусть обе системы отсчета совпадают в момент времени =0; тогда искомые уравнения связи должны, во всяком случае, иметь вид

... Ограничиваясь выписанными выше членами в разложениях, путем дифференцирования получаем ..."

Вот таким образом получены уравнения гравитационного поля, а позже, в последующих вариантах теории гравитации, Эйнштейн уже использует эти наработки.

В своих статьях Эйнштейн широко использует разложение в ряды и, комментируя математические преобразования, часто упоминает про отбрасывание незначащих членов. В результате таких операций и возникают характерные выражения типа

или

или подобные им. В рамках определенных требований точности, эти выражения почти идентичны. Подобным образом получено и используемое в общей теории относительности выражение

И для этого выражения, как и для прочих выражений, полученных при помощи отбрасывания лишних членов ряда, существуют ограничения применения. Они верны при выполнении условий v² << c² и -Ф << c².

Величина угла имеет самое непосредственное отношение к смещению частоты света в поле гравитации. В прошлом параграфе рассматривалась зависимости между скоростью свободного падения тела из бесконечности, расстоянием до центра массы и величины гравитационного потенциала. Используем формулы:

Теперь находим у Эйнштейна формулу смещения частоты света преодолевающего гравитационное поле:

где: ν₀ и ν - соответственно частота излученного и частота принятого света.

Это тоже формула для приблизительного вычисления, для слабых гравитационных полей. Учитывая формулу приближенного вычисления сh x ≈ 1 + x²/2 при x << 1, можно записать:

Или:

И соответственно, изменение длины волны света:

Обратите внимание! Длина волны света и ее частота, это обратные величины.

В обновленной теории Эйнштейна формула Ньютона для нахождения зависимости ускорения свободного падения от расстояния до центра массы

оказывается уже неверной и должна быть записана так:

В слабых гравитационных полях, где ф<<1, допускается приблизительная подстановка:

Или:

Откуда получаем формулу:

Конечно, в таком виде эта формула дает более точное приближение, чем например запись

но и в таком виде это формула верна только для слабых гравитационных полей. Это может показаться странным, ведь фрагмент формулы

очень напоминает классические формулы специальной теории относительности, но эта видимость обманчива. В теории относительности эта формула тоже получается в результате ряда приближений, в ходе которых Эйнштейн отбрасывает незначащие члены. Дело только в том, что эти члены являются незначащими только в слабых гравитационных полях, таких, как гравитационное поле Земли или гравитационное поле Солнца. В сильных гравитационных полях эта формула дает слишком большую ошибку.

Получается, что полная энергия тела неподвижно расположенного относительно гравитационной массы в сильном гравитационном поле должна изменяться по закону

Откуда нетрудно найти выражение для слабого гравитационного поля:

Но именно формулу для слабого гравитационного поля

позднее использовал Шварцшильд для описания сильных гравитационных полей. И используя именно эту формулу, он пришел к концепции возможности существования сферы Шварцшильда, космического объекта который иногда еще называют черной дырой.

Действительно, если в этой формуле величина

равна нулю, то ускорение свободного падения получается бесконечно большим.

Откуда следует вывод, что если масса тела сосредоточена внутри сферы радиусом

то ни один объект не сможет покинуть эту сферу, потому, что для этого нужна будет бесконечно большая энергия.

Концепция сферы Шварцшильда, которая была развита во второй половине двадцатого века, безусловно, весьма цена и с философской и с чисто научной точки зрения. Но гравитационное поле в окрестностях такого объекта как черная дыра слабым назвать никак нельзя, поэтому лично я сомневаюсь в правомерности использования для описания черных дыр математического аппарата предложенного Шварцшильдом. Этот вывод вовсе не отменяет принципиальной возможности существования подобных объектов, но, по моему мнению, математические модели должны быть пересмотрены.

7.6 Принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс

Вначале, слово самому Эйнштейну (статья 1913 года "К современному состоянию проблемы тяготения"):

"Два физика, A и B, очнувшись от наркотического сна, обнаружили, что они вместе с приборами находятся в закрытом ящике с непрозрачными стенками. Они не имеют никакого представления о том, где расположен ящик или как он движется. Они констатируют теперь, что тела, помещенные в середину ящика, падают в одном и том же направлении - скажем, вниз - с одинаковым общим ускорением . Что могут заключить отсюда физики? А заключает, что ящик спокойно лежит на небесном теле и что направление вниз является направлением к центру этого небесного тела, если последнее шарообразно. Однако B стоит на точке зрения, что ящик возможно, под действием приложенной к нему извне силы равномерно ускоренно движется вверх с ускорением ; при этом нет необходимости предполагать близость небесного тела. Существует ли для обоих физиков критерий, с помощью которого они могли бы решить, кто прав? Мы не знаем такого критерия, но нам также неизвестно, может ли такой критерий существовать".

Этот образ физиков, запертых в ящиках, так понравился популяризаторам теории относительности, что он приводится во многих книгах, посвященных этой теме. Рассматривая две системы отсчета, покоящуюся в гравитационном поле и ускоренную, Эйнштейн находился под сильным влиянием идей Маха. Далее он пишет:

"В самом деле, если инерция тела повышается при скоплении масс в его окрестности, то едва ли можно отказаться от того, чтобы считать инерцию точки обусловленной существованием остальных масс. Следовательно, инерция проявляется как своего рода взаимодействие ускоряемой материальной точки со всеми остальными материальными точками".

Здесь принципиально, как изменялись во времени взгляды самого Эйнштейна, только так можно действительно понять происходящее. В этот период времени он не рассматривает искривление пространственно-временного континуума, это его ранняя теория гравитации. Замедление движения тела в поле гравитации в этой работе Эйнштейн рассматривает только как воздействие массы на величину инерции тел, находящихся в гравитационном поле, а не как движение тела по прямой линии в искривленном пространственно-временном континууме. Соответственно, приняв изначально точку зрения Маха на этот вопрос, в результате, он и использует факты для подтверждения идеи Маха о том, что силы инерции вызваны воздействием на тела всех масс, расположенных в нашей физической вселенной.

В примере с двумя физиками, запертыми в ящиках, можно сформулировать требование эквивалентности их систем отсчета двояко. То есть, здесь возникает вилка. Возможность разной трактовки принципа эквивалентности гравитационного поля и ускоренной системы отсчета. Эти два варианта трактовки я буду называть строгой эквивалентностью и наблюдаемой эквивалентностью. Принцип строгой эквивалентности подразумевает, что в ускоренной системе отсчета не только все эксперименты физиков дадут тот же результат, как и в поле гравитации, но и вообще эти процессы физически эквивалентны. Принцип наблюдаемой эквивалентности, означает, что все эксперименты физиков дадут одинаковый результат, но не требует абсолютной физической эквивалентности.

Еще один очень важный нюанс состоит в том, что в этом варианте теории гравитации Эйнштейн рассматривает исключительно эквивалентность ускоренной системы отсчета и системы отсчета покоящейся в гравитационном поле. То есть он рассматривает эквивалентность таких систем отсчета, в которых наблюдатель испытывает одинаковую перегрузку. Это условие Эйнштейн подчеркивает несколько раз. И это действительно важно.

В версии 1915 года подход к теории гравитации меняется значительно, а принцип эквивалентности остается без изменений. Насколько это оправдано? В статье 1924 года в статье "Об эфире" Эйнштейн пишет:

"Мы не можем в теоретической физике обойтись без эфира, т. е. континуума, наделенного физическими свойствами, ибо общая теория относительности, основных идей которой физики, вероятно, будут придерживаться всегда, исключает непосредственное дальнодействие; каждая же теория близкодействия предполагает наличие непрерывных полей, а, следовательно, существование "эфира"".

Этим определением Эйнштейн практически ставит знак равенства между понятием пространственно-временной континуум и понятием эфир. Разница заключается лишь в том, что в отличие от представлений об эфире конца девятнадцатого века, этот эфир мыслится протяженным не только в пространстве, но и во времени. В этой теории масса влияет на геометрию пространства, а не непосредственно на инерцию тел, движущихся в его гравитационном поле.

В ранней теории гравитации логика проста. В гравитационном поле тело может оставаться неподвижным только в том случае, если оно испытывает ускорение, направленное от центра массы. На поверхности Земли такое ускорение вызвано той силой, с которой почва сопротивляется вашему дальнейшему падению к центру Земли. И при этом получалось, что в поле гравитации ход времени должен замедляться. И это замедление напрямую связывалось с тем ускорением, которое испытывает тело, покоящееся в гравитационном поле.

В данном случае принцип эквивалентности действительно оказывается строгим. Если ускорение препятствующее падению тела на массу вызывает замедление времени, то и ускорение, приложенное к телу в пространстве вне гравитационного поля, должно вызывать замедление времени. В этом варианте теории гравитационный потенциал позволяет вычислить замедление времени только покоящегося тела, неподвижного, относительно центра гравитации.

В ранней теории гравитации Эйнштейн предлагает следующую логику замедления времени в гравитационном поле (рис. 107).

А вот когда мы переходим к теории гравитации в редакции 1915 года, то вся логика происходящего меняется. Принципиальная разница в том, что в этом варианте теории дополнительное замедление времени в определенной точке в поле гравитации не ограничивается только покоящимися телами, а одинаково и для покоящегося тела и для свободно падающего тела. Наверное, в начале двадцатого века, когда работы Циолковского большинству людей казались не то что фантастикой, а вообще ненаучной фантазией, эта разница была незаметна. Но мы, живущие во времена путешествий в космическое пространство, должны знать, что свободно падающее в поле гравитации тело находится в состоянии невесомости и не испытывает силы тяжести.

Получается вот что. В этом варианте теории Эйнштейн вначале показывает эквивалентность двух систем отсчета на примере покоящейся в поле тяготения системы и системы ускоренной в пространстве. В этих случаях обе системы испытывают одинаковое ускорение и находящиеся в ящиках физики ощущают одинаковую силу тяжести. А затем, Эйнштейн распространяет принцип эквивалентности и на тело, свободно падающее в поле гравитации. Доказательства того, что такая подмена допустима, я у Эйнштейна не нашел. Но в результате получается, что одинаковое замедление времени должны испытывать три разных наблюдателя:

1. наблюдатель, покоящийся в гравитационном поле в котором ускорение свободного падения составляет величину γ,

2. наблюдатель, свободно падающий в гравитационном поле с ускорением γ,

3. наблюдатель, находящийся вне гравитационного поля, но ускоренно движущийся с ускорением γ.

Наглядно это можно изобразить в виде таблицы (рис. 108). В этой таблице сразу видно, что существует четвертый вариант, вариант классической инерциальной системы, в которой время идет нормально.

Учитывая, что согласно существующим в современной физике представлениям во всех трех случаях, когда время замедляется, величина замедления одинакова, возникает вопрос, что же в действительности является критерием замедления времени, наличие гравитационного поля или наличие ускорения, которое ощущается наблюдателем как сила тяжести?

Если играют роль оба эти фактора, то почему считается, что в случае, когда наблюдатель покоится в гравитационном поле, замедление времени не оказывается равным двойной величине, в точности равен замедлению времени в двух других случаях?

В ранних теориях гравитации Эйнштейна дополнительное замедление времени в ускоренной системе отсчета диктовалось логикой представлений о природе гравитации и инерции, предложенных Махом. В общей теории относительности в редакции 1915 года логика происходящего уже иная. В общих чертах она такова:

1. В окрестностях массивного тела изменяется скорость течения времени, в результате чего искажается геометрия пространства-времени.

2. В искривленном пространстве-времени свободно летящее тело движется по прямой (геодезической линии), которая наблюдателю, воспринимающему только пространственную составляющую, кажется кривой линией, окружностью, эллипсом, параболой, гиперболой или даже прямой, по которой тело движется ускоренно.

3. Если зафиксировать объект в поле гравитации, он будет неподвижен относительно центра масс, но с точки зрения геометрии пространственно-временного континуума этот объект будет двигаться по кривой, по изогнутой линии. А, следовательно, наблюдатель, связанный с этой системой отсчета, будет ощущать силу тяжести.

4. Аналогично, наблюдатель, находящийся в объекте движущимся ускоренно в пространстве вне поля гравитации, будет двигаться тоже по кривой линии в пространственно-временном континууме, тоже будет испытывать на себе силу полностью аналогичную силе тяжести. Разница здесь только в том, что в этом случае траектория движения объекта и в пространственной составляющей тоже будет выглядеть как кривая линия. По крайней мере, для большинства наблюдателей, находящихся в инерциальных системах отсчета.

Как видите, в этом случае, мы имеем уже не одно, а два совершено разных физических явления. Первое, это замедление времени и связанное с ним искривление геометрии пространственно-временного континуума в гравитационном поле, а второй, это возникновение силы тяжести в системах отсчета, движущихся по кривым линиям в пространственно-временном континууме.

И здесь возникает вопрос, оба этих явления попадают под принцип эквивалентности ускоренной системы отсчета и системы отсчета покоящейся в гравитационном поле, или только одно из этих явлений. Ответить на этот вопрос можно, только проанализировав эквивалентность физических явлений обоих систем отсчета. Напомню, что это краеугольный камень, основное предположение на котором построена теория гравитации.

Эйнштейн не стал пересматривать принцип эквивалентности и по его логике, если тело движется ускоренно и наблюдатель испытывает силу тяжести, то в этой системе отсчета должно происходить еще дополнительное замедление времени, как в присутствии гравитационной массы. И вот в статье 1921 года "Краткий очерк развития теории относительности" Эйнштейн пишет:

"Соображения, основанные на метрических результатах специальной теории относительности, приводят к выводу, что эвклидова метрика уже неприменима в ускоренных системах координат. Хотя это задержало развитие теории на несколько лет, возникшая трудность была смягчена знанием того факта, что эвклидова метрика справедлива для малых областей. В результате, величина ds, которая была физически определена до сих пор только в специальной теории относительности, сохранила свой смысл и в общей теории относительности".

Обращает внимание, что Эйнштейн продолжает считать топологию пространственно-временного континуума эвклидовой метрикой. А вообще, речь идет о том, что Эйнштейн отказывается от геометрии Минковского для случаев ускоренного движения объектов. Фактически это решение привело к тому, что геометрия Минковского стала использоваться в теории относительности крайне ограничено.

Здесь идет наложение двух совершенно разных теорий гравитации, предлагавшихся Эйнштейном в разные годы и выводы, верные для одной из этой теорий, совсем не обязательно должны быть верны для другой теории. В основу положен принцип эквивалентности всех физических законов для тела покоящегося в поле гравитации и тела в ускоренной системе отсчета, будем придерживаться этого принципа.

При анализе физических условий в этих двух системах отсчета в литературе, авторы обычно повторяют те же самые примеры, которые приводит сам Эйнштейн, что в обеих системах отсчета весы показывают одинаковый вес тел, и что скорость света в обеих системах отсчета одинакова. Существуют, правда, некоторые способы отличить ускоренную систему отсчета от находящейся в поле гравитации, но для этого нужны очень точные приборы. Например, одно из различий состоит в том, что гравитационное поле имеет свой центр, к которому направлено ускорение, поэтому свободно висящие в разных углах ящика отвесы будут в гравитационном поле не вполне параллельны, а направлены к этому центру. Теоретически этот эффект можно даже измерить, если размеры ящика достаточно велики. В ускоренной системе отсчета, отвесы будут расположены параллельно, так, как будто центр тяжести расположен бесконечно далеко.

Другой способ обнаружить отличие между ускоренной системой отсчета и гравитационным полем основан на том, что гравитационное поле ослабевает при удалении от центра масс. Таким образом, предмет, размещенный ближе к центру тяжести должен иметь больший вес, чем предмет, имеющий такую же массу, но размещенный в верхней части ящика. Аналогично, часы, размещенные в нижней части ящика должны идти медленнее, чем часы, размещенные в верхней части ящика. Средства современной экспериментальной физики уже позволяют проводить эксперименты, которые могут обнаружить эту разницу, или приближаются к такому состоянию. Оба этих способа известны, и для обоих способов есть один ответ: сделайте размеры ящика достаточно маленькими и запертые в них физики ничего не заметят.

И все комментаторы теории относительности останавливаются именно перед тем местом, где действительно начинаются отличия между физическими свойствами этих систем отсчета в том виде, как их описал Эйнштейн. Проведем еще один мысленный эксперимент. Пусть запертые в ящиках физики наблюдают за тем, как идут свободно падающие вниз часы по сравнению с часами неподвижными в этой системе отсчета. Трудность будет заключаться в том, чтобы не дать часам сильно изменить свою скорость, чтобы не пришлось учитывать еще и замедление времени, связанное с разностью скоростей. Хотя можно учесть этот фактор при вычислениях, рассмотрим тот случай, когда он несущественен.

В гравитационном поле свободно падающие в пространстве часы будут идти точно так же, как и часы неподвижные. Согласно современной теории гравитации замедление времени в определенной точке пространства связано с потенциалом гравитационного поля этой точки и не зависит от того, падает ли объект или закреплен.

В ускоренной системе отсчета, согласно представлениям Эйнштейна и представлениям, принятым в современной физике, неподвижные часы будут идти замедленно, поскольку на них действует сила тяжести, эквивалентная гравитационному полю. Но эти же самые силы должны действовать и на неподвижного наблюдателя, поэтому он ничего не заметит. А вот часы, которые этот наблюдатель уронит, мгновенно превращаются в инерциальную систему отсчета, для которой замедление времени не должно действовать. Поэтому часы, которые будут свободно падать в ускоренной системе отсчета, должны спешить, по сравнению с часами ускоренными вместе с этой системой отсчета.

Разница совсем небольшая, но вот например карманные часы, термин придуманный Эренфестом и использованный Эйнштейном, в которых луч света отражается между двумя зеркалами, имеет очень важную деталь, сам луч света. В тот момент, когда этот луч летит от одного зеркала к другому, он является инерциальной системой отсчета, и все электромагнитные процессы, на которых основаны химические реакции, тоже имеет в своей основе распространение излучений и движение частиц, при котором, по крайней мере, некоторое время эти частицы являются инерциальными системами отсчета. Путаница получается.

Для того чтобы рассматриваемые системы отсчета, ускоренная и гравитационная, стали действительно идентичны, достаточно сделать одну корректировку, предположить, что в поле гравитации время замедляется, а в ускоренной системе отсчета никакого дополнительного замедления времени нет. Сделав такое предположение, можно обнаружить, что теперь, все процессы действительно происходят одинаково во всех описанных Эйнштейном случаях, а сверх этого часы фиксированные и часы свободно падающие будут идти совершенно одинаково, точно так же, как в поле гравитации.

Тогда таблица, которая уже приводилась выше, должна выглядеть так (рис. 109):

Сами наблюдатели, находящиеся в закрытых ящиках, теперь не смогут обнаружить отличие, позволяющее определить в какой именно системе отсчета они находятся, в ускоренной системе или в поле гравитации. Часы у них будут идти по разному, но при этом и все остальные процессы будут идти иначе, так что наблюдатели не имеющий доступа информации извне, разницы не заметят. Это наблюдаемая эквивалентность.

Что это меняет в теории относительности? Да практически ничего, так, самую малость. Гравитационная теория вообще остается без изменений. Геометрия Минковского возвращается и оказывается верной и для инерциальных и для ускоренных систем отсчета, и нуждается в небольшой корректировке только в гравитационных полях. Практические расчеты полетов к звездам тоже остаются без изменений. Вклад, который внесет замедление времени связанное с ускорением (по Эйнштейну!) при разгоне космического корабля в течение нескольких лет с ускорением 1g до сравнимых со скоростью света скоростей, очень мала. По сравнению с остальными факторами, это замедление как диаметр яблока рядом с диаметром планеты Земля. В практических расчетах эту составляющую просто отбрасывают как малую величину.

Так что же меняется? Я же говорю, самая малость. Все теоретическое объяснение парадокса близнецов построено на предположении о воздействии гравитации на ход времени, и другого предположения современная наука так и не дала. И иногда я думаю о том, что все это так просто, что за сто лет физики-теоретики уже много раз спотыкались об этот порожек, но никто из действительно авторитетных физиков не решился его переступить, ведь потребовалось бы дать другое объяснение парадоксу близнецов. И, похоже, современная физика еще не готова принять это объяснение.