А ASinowjewundseinesozialenLogik. The logicof(Von Vladimir Leonov) Зиновьев А. А и его социальная логика. Логика Муравьева (По Владимир Леонову).
Логика
А.Г. Кислов
Содержание курса
Тема 1
Предмет и значение логики
Этимология и современное понимание термина "логика". Определение логики как науки. Мышление как предмет изучения формальной логики. Мышление и язык. Металогика: логические синтаксис, семантика и прагматика.
Логические формы мышления: понятие, суждение, умозаключение и теория (концепция). Формальная правильность рассуждений и объективная истинность мысли.
Законы логики: закон тождества, закон исключенного третьего, закон (не)противоречия, закон достаточного основания. Основные принципы правильного мышления (определенность, последовательность, непротиворечивость, обоснованность) и роль формально-логических законов. Софизмы и паралогизмы. Парадоксы.
Возникновение и исторические этапы развития логики (три "золотых века" логики): античность, средние века, современность (ХХ в.). Социокультурные предпосылки логических исследований.
Системы традиционной и современной формальной логики. Понятие о классической и неклассической логике.
Значение логической культуры. Логика и полемика. Логика и риторика. Логика и теория аргументации. Роль логики в повышении культуры мышления.
Тема 2
Логическое учение о понятии
Понятие как форма мысли. Понятие и представление. Языковые формы выражения понятий: понятие и слово. Виды признаков предметов: свойства и отношения. Основные логические приемы и этапы формирования понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение. Объем и содержание понятия.
Виды понятий. Общие и единичные понятия. Понятия с нулевым и универсальным объемом. Конкретные и абстрактные понятия. Положительные и отрицательные понятия. Относительные и безотносительные понятия. Собирательные и разделительные понятия.
Отношения между понятиями. Сравнимые и несравнимые понятия. Совместимые и несовместимые понятия. Типы совместимости: равнозначность, пересечение, подчинение. Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие. Обобщение и ограничение понятий. "Закон" обратного отношения между объемом и содержанием понятия.
Деление понятий. Виды делений: по видоизменению признака и дихотомическое. Правила деления. Ошибки в делении. Классификация и типология.
Определение (дефиниция) понятий. Виды определений: явные и неявные, реальные и номинальные определения, генетические определения и определения через род и видовое отличие. Правила явного определения. Ошибки в определении. Значение определений в научном познании и в обыденном мышлении. Процедуры, заменяющие определение: описание, характеристика, разъяснение посредством примера, сравнение, различение.
Роль понятий: уточнение смысла слов в процессе естественного рассуждения, применение логических операций с понятиями (определение, деление, обобщение и ограничение) в обучении, при формировании научных понятий и т.д.
Тема 3
Логическое учение о суждении (высказывании)
Суждение как форма мысли. Суждение и предложение. Структура простого суждения: субъект, предикат, связка, кванторное слово. Виды простых суждений: атрибутивные суждения, суждения с отношениями и суждения существования. Деление суждений по модальности. Основные категории модальности.
Простые категорические суждения. Классификация суждений по качеству и количеству ("логический квадрат"). Распределенность терминов в простом категорическом суждении.
Сложные высказывания (суждения). Образование сложных высказываний из простых с помощью логических союзов. Выражение логических связок в естественном языке. Табличное определение логических связок (союзов): конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Логические значения и условия истинности (табличное определение) сложных высказываний. Способы отрицания сложных высказываний. Понятие о тавтологии и противоречии. Выражение логических законов как сложных высказываний.
Тема 4
Логическое учение о выводном знании
Умозаключение как форма мысли. Структура умозаключения: посылки, заключение, логическая связь между посылками и заключением (вывод). Условия достижения истины в процессе получения выводного знания. Понятие логического следования. Значение умозаключений.
Виды умозаключений. Содержательные и формализованные аспекты различных видов умозаключений. Дедуктивные и правдоподобные умозаключения. Непосредственные и опосредованные (косвенные) дедуктивные умозаключения.
Определение и основные виды правдоподобных умозаключений. Индуктивные умозаключения. Методы установления причинных связей (методы Бэкона - Милля): метод сходства, метод различия, объединенный метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков. Умозаключения по аналогии. Гипотеза как форма научного познания. Гипотетико-дедуктивный метод. Взаимосвязь правдоподобных и дедуктивных умозаключений.
Тема 5
Основные системы классической дедуктивной логики
Логика высказываний: синтаксис и семантика. Алгебра высказываний. Логическое следование и логическая эквивалентность в алгебре высказываний. Дедуктивные умозаключения со сложными высказываниями: чисто условные и условно-категорические, чисто разделительные и разделительно-категорические, условно-разделительные (дилеммы, трилеммы) и др. Равносильные преобразования и нормальные формы. Понятие о пропозициональных исчислениях (формальные теории логики высказываний).
Аристотелева силлогистика. Непосредственные умозаключения с простыми категорическими суждениями: выводы по логическому квадрату, обращение, превращение, противопоставление предикату. Простой категорический силлогизм: определение и состав, общие правила, фигуры и модусы. Сокращённый силлогизм (энтимема и восстановление силлогизма из энтимемы). Сложные силлогизмы: полисиллогизм, сорит, эпихейрема.
Логика предикатов. Понятие об исчислениях логики предикатов (формальные теории логики предикатов).
Тема 6
Сведения о современной логике
Системы модальной логики: алетические, деонтические, временные и динамические логики.
Системы неклассической логики: интуиционистские и паранепротиворечивые логики.
Металогические исследования. Логика и философия: онтолого-гносеологические предпосылки логических систем. Эффективный поиск вывода.
Тенденции развития и философские проблемы современной логики. Теоретические и практические (прикладные) аспекты логики.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Занятие 1
(к теме 2: Логическое учение о понятии)
Типы заданий:
1) Дать логическую характеристику понятиям (определить вид понятия по содержанию и объему).
2) Проанализировать различия объемов понятий в предложенных суждениях.
3) Определить наличие или отсутствие отношения совместимости в предложенных парах понятий.
4) Выполнить диаграмму ("круги Эйлера"), изображающую отношения между объемами предложенных понятий (указать результаты сложения и умножения этих понятий).
5) Подобрать понятия, отношения между объемами которых соответствуют предложенной диаграмме.
6) Определить и обосновать наличие или отсутствие операций ограничения или обобщения в предложенных примерах.
7) Ограничить и обобщить предложенные понятия.
8) Проверить правильность предложенных вариантов делений.
9) Проверить правильность предложенных вариантов определений.
Литература
--
Бойко А.П. Формально-логические основы классификации //Логические проблемы исследования научного познания. М., 1980.
--
Войшвилло Е.К. Понятие. М., 1967.
--
Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления. М., 1989.
--
Горский Д.П. Определение. М., 1974.
--
Остин Дж. Значение слова //Аналитическая философия: Избранные тексты. М., 1993.
--
Фреге Г. Смысл и денота //Семиотика и информатика. Вып. 8. М., 1977.
--
Фреге Г. Понятие и вещь //Семиотика и информатика. Вып.10. М., 1978.
Занятие 2
(к теме 3: Логическое учение о суждении (высказывании))
Типы заданий:
1) Определить вид суждений и его модальность.
2) Дать анализ структуры простого категорического суждения, определить его тип (качественно-количественную характеристику) и распределенность его терминов.
3) Формализовать с помощью логических связок естественноязыковое выражение.
4) Определить значения сложного высказывания табличным способом.
Литература
--
Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику. Л., 1972, С. 3-25.
--
Костюк В.Н. Элементы модальной логики. Киев, 1978.
--
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984. С. 19-31.
--
Челпанов Г.И. Учебник логики. М., 1994. С. 53-73.
Занятие 3
(к теме 4: Логическое учение о выводном знании)
Типы заданий:
1) Формализовать естественное рассуждение и определить, является ли оно правильным, пользуясь методом приведения к абсурду.
Литература
--
Гжегорчик А. Популярная логика. М., 1979.
--
Курбатов В.И. Логика. Ростов н/Д., 1996. С. 84-95.
--
Лобовиков В.О. Алгебра высказываний (Задания для самостоятельной работы по логике для студентов философского факультета). Свердловск, 1880. С. 7 (задания 73-80).
(к теме 5: Основные системы классической дедуктивной логики)
Типы заданий:
1) Построить КНФ, ДНФ, СКНФ, СДНФ формулы.
2) Проверить - является ли формула следствием из гипотез.
3) Проверить - является ли формула гипотезой для данной.
4) Найти список всех следствий из гипотез.
5) Найти список всех гипотез для данной формулы.
Литература
--
Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику. Л., 1972. С. 16-43.
--
Лобовиков В.О. Алгебра высказываний (Задания для самостоятельной работы по логике для студентов философского факультета). Свердловск, 1880. С. 7-14 (задания 81-156).
Занятие 5
(к теме 5: Основные системы классической дедуктивной логики)
Типы заданий:
1) Дать анализ предложенных непосредственных умозаключений.
2) Сделать все непосредственные умозаключения из предложенного суждения.
3) Дать анализ силлогизма и в случае неправильного силлогизма привести контрпример.
4) Сделать все возможные выводы из предложенных посылок.
5) Восстановить энтимему.
6) Дать анализ полисиллогизма, сорита или эпихейремы.
Литература
--
Мельников А.Н. Сборник задач по логике. Киев, 1990.
--
Уёмов А.И. Задачи и упражнения по логике. М., 1961.
--
Упражнения по логике. М., 1993.
библиографический список
Обязательный:
--
Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику. Л., 1972.
--
Войшвилло Е.К. Понятие. М., 1967.
--
Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления. М., 1989.
--
Гетманова А.Д. Учебник по логике. М., 1995.
--
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
--
Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. М., 1991.
--
Горский Д.П. Логика. М., 1963.
--
Горский Д.П. Определение. М., 1974.
--
Ивлев Ю.В. Логика: Учебник. М., 1992.
--
Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. М., 1987.
--
Клини С. Математическая логика. М., 1973.
--
Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М., 1975.
--
Костюк В.Н. Элементы модальной логики. Киев, 1978.
--
Курбатов В.И. Логика. Ростов н/Д., 1996.
--
Лобовиков В.О. Алгебра высказываний (Задания для самостоятельной работы по логике для студентов философского факультета). Свердловск, 1880.
--
Логика. Минск, 1974.
--
Логический словарь: ДЕФОРТ. М., 1994.
--
Математическая теория логического вывода. М., 1967.
--
Мельников А.Н. Сборник задач по логике. Киев, 1990
--
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984.
--
Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. Екатеринбург, 1997.
--
Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973.
--
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.
Для любого утверждения Uэквивалентного утверждению Vсуществует утверждение эквивалентное утверждение W (W=U), которое также эквивалентно утверждению V (W=V)
?u,v.w(u = v?u?w?v?w); ?u,v,w(u = v?w?u?w?v).
Для любых утверждений u,v.w
Элементарная теория категорий
С точки зрения логики теория категорий может рассматриваться как элементарная теория, чьи категорные" нелогические аксиомы добавлены к первопорядковому исчиcлению с равенством. Подобный подход был реализован еще в 60-70-е годы У. Хэтчером, Ж.Блан и М.Р. Донадью и др.
Язык элементарной теории категорий ETAC состоит из:
(i) счетного множества переменных двух типов:
переменных типа объект: x1, x2, ...
переменных типа стрелки: f, g, h, ...
(ii) логических констант: ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?;
(iii) тернарного предиката D(-, -, -), где первая переменная имеет тип стрелки, а две других переменных являются переменными типа объект (D(f,x1,x2) означает "f есть стрелка из x1 в x2 ");
(iv) тернарного предиката ?(-, -, -), где все переменные имеют тип стрелки (?(f,g,h) означает "h является композицией f и g").
Аксиомы ЕТАС
--
Ах1. ?f ?!x1,x2 [D(f,x1,x2)]
--
Ax2. ?x1 ?i [??x1,i) ?D(i,x1,x1)], где ??x1,i) представляет собой формулу ?f,g,x2,x3[D(f , x1, x2)?D(g, x3, x1)??(i,f,f)??(g,i,g)]
--
Ax6. ?(f,g,k) ??(g,h,l) ??(f,l,m) ??(k,h,m?) ? m = m?
Элементарная теория категорий
Паранепротиворечивая элементарная теория категорий получается при замене классической первопорядковой логики с равенством, лежащей в основании элементарной теории категорий на паранепротиворечивую логику С1=
Пусть ?*A есть ?A?A0 (где A0 есть ?(АC?А)).
Формула F* является той же формулой F, в которой все ? заменены на ?*.
Паранепротиворечивая элементарная теория категорий получается путем удвоения аксиом обычной теории категорий, когда аксиомы паранепротиворечивой теории категорий включают в себя все старые аксиомы с ? и новые аксиомы, в которых ? заменено на ?*.
A7. Лемма Цорна: ?y(Chain(y,x) ???y?x??zMax(z,x), где
Chain(y,x): ?t(t?y ? (y?x) ??t,u?y(t?u ? u?t),
Max(z,x): z?x??t?x(z?t?z = t)" (здесь w?u означает Ъ(w?u), а x? z означает Ъ(x? z))
"Перефразируя Маркса: философы до сих пор пытались объяснить природу противоречия, но задача заключается в том, чтобы изменить ее" - К.Мортенсен.
Глава 2: релевантная арифметика
Глава 3: эквациональные теории, сконструированные из противоречивых моделей по модулю бесконечных простых чисел
Глава 4: результаты классической теории моделей (случай плотного упорядочения без конечных точек) не проходят в противоречивом случае
Глава 5: параполные теории дифференцирования
Глава 6: противоречивые функции
Глава 7: дельта функции, рассматриваемые как паранепротиворечивые производные противоречивых непрерывных функций
Глава 8: противоречивые системы линейных уравнений
Глава 9: противоречивые векторные пространства
Глава 10: противоречивые фактор-топологии
Глава 11,12,13: паранепротиворечивые топосы
Глава 12: методы Гёделя в случае противоречивой арифметики, предикат истинности для теории Крипке в случае параполной теории, противоречивая теория множеств с множеством Рассела
Релевантная арифметика Пеано R#
FOL заменяется на R
Предупреждение: ? теперь означает релевантную, а не классическую импликацию (A0): ?(x' = 0)