П.Б.. Парадокс Такто

ПАРАДОКС ТАКТО

("новый" парадокс близнецов)

Товарищи ученые, не сумлевайтесь, милые:

Коль что у вас не ладится (ну там, не тот эффект),

Мы мигом к вам заявимся с лопатами и с вилами,

Денёчек покумекаем и выправим дефект!

В.Высоцкий

Парадокс близнецов

Один из результатов Специальной теории относительности (СТО) сосотит в том, что в системе, движущейся относительно неподвижного наблюдателя с постоянной скоростью (равномерно и прямолинейно), отрезки длин и промежутки времени сокращаются для этого наблюдателя по сравнению с теми же величинами относительно наблюдателя, который движется вместе с системой. (Длины сокращаются только в направлении движения.) Обе системы отсчета -- связанная с неподвижным наблюдателем и с равномерно движущейся системой -- называются инерциальными (ИСО), поскольку обе не испытывают ускорений, т.е. движутся по инерции. Обе они равноправны: если перенестись в наблюдаемую систему, то теперь движущейся станет бывшая неподвижная система и сокращаться будут ее интервалы.

Величина сокращения вычисляется по формулам преобразований Лоренца. (Преобразования координат, которые нужно совершить при переходе из одной ИСО в другую, для того чтобы физические законы работали после перехода так же, как до него.) Эта величина зависит от относительной скорости систем и расстояния между ними. Она очень мала, практически незаметна, пока скорость движущейся системы мала по сравнению со скоростью света в вакууме. Для больших скоростей сокращение становится все заметнее и тем сильнее, чем ближе скорость к скорости света в вакууме -- предельной скорости передачи сигналов.

Это не просто кажущееся сокращение, оно вполне реально. Проявляется, например, в росте времени жизни некоторых короткоживущих частиц, разогонанных до субсветовых скоростей товарищами учеными, чахнущими за финхрофазотронами. Таким образом, часы и вообще все процессы в движущейся системе идут медленнее, чем в неподвижной.

Существенно, что формулы преобразований применимы только в инерциальных СО. Для систем, движущихся с ускорениями (как прямолинейным, так и центростремительным, т.е. по кривой произвольной формы), преобразования Лоренца не работают. Неинерциальные СО следует рассматривать с точки зрения Общей теории относительности (ОТО), которая гораздо сложнее, чем СТО, и дает другие численные результаты.

Почти с момента формулировки СТО (А.Эйнштейн, 1905) известен так называемый парадокс близнецов. Формулируется он примерно так. Представим себе ракету, взлетающую с Земли. В ракете на огромной скорости улетает далеко-далеко в космос странник-астронавт, а на Земле остается ждать его брат-близнец.

Поскольку время в движущейся ракете будет течь медленнее, чем на Земле, то, когда сранник вернется, он окажется моложе своего брата-землянина, потому что медленнее старел из-за меньшей скорости течения времени в ракете.

Однако если мы встанем на точку зрения близнеца-странника, то он, странник, в соответствии с равноправием ИСО ракеты и Земли вправе считать неподвижной свою ракету, а Землю -- улетевшей в путешествие и вернувшейся к ракете. Тогда получается, что медленнее стареть должен как раз землянин и что в момент встречи именно он окажется моложе.

Но не может быть, чтобы оба брата помолодели друг относительно друга! Как же на самом-то деле?

Такой вот парадокс, намекающий на существование в теории относительности неких скрытых внутренних противоречий.

Опровергается "парадокс близнецов" довольно просто.

Дело в том, что в отличие от землянина странник не может совершить путешествие и вернуться, не испытав по пути ускорений. При прямолинейном движении он обязательно должен разогнаться, потом может какое-то время лететь с постоянной скоростью, потом должен затормозиться, вновь ускориться в обратную сторону и в конце пути снова затормозить, чтобы остановиться. Инерциальных участков может и вовсе не быть, если за ускорением сразу следует торможение и наоборот. Странник также может совершить вояж по круговой траектории с постоянным центростремительным ускорением, по криволинейной замкнутой или по смешанной траектории -- но, так или иначе, на его пути обязательно будут неинерциальные участки.

Рис. 0

Однако на этих неинерциальных участках нельзя производить расчеты по формулам Лоренца. СТО здесь неприменима. Если же провести корректные расчеты согласно ОТО, то окажется, что и тот и другой близнецы при встрече увидят одно и то же -- что странник постарел меньше землянина.

Парадокс выявил не внутреннюю противоречивость СТО, а некорректность попытки ее применения к неинерциальной системе.

Новый парадокс близнецов

Несколько лет назад в одном небольшом кружке интернет-общения славился своими афоризмами философ науки Чердаков-Ужасный, он же Хома Брут. (Философия науки, она же методология, -- раздел философии.) Вот несколько замечательных афоризмов Ч.-У.

Физика и прочие науки развились из философии...

Аналитическая геометрия и матанализ имеют в основе простейшие идеи философии математики.

Философия объективна и поправляет всех -- и тех, кто ее чрезмерно критикует, и тех, кто приписывает ей чужие заслуги.

...Философы сами себя критикуют на опредленном этапе своего развития, а иные физики повторяют это от своего имени с важным видом и думают, что сказали нечто истинное.

...Противопоставлять философию не-философии -- это все равно что противопоставлять деятельность максимально осмысленную и взятую под углом своего собственного максимального осмысления той же самой деятельности, но вершимой инстинктивно и без такого смыслового упора.

Философия науки начинается на поле методологии. Но она осмысляет и саму методологию.

В любой области философия дает возможность дойти до основанья. А затем... -- это уже не ее задача.

Увы, года два назад Чердаков-Ужасный покинул наш кружок. Но -- хвала интернет-небесам! -- свято место пусто не бывает, и на смену Ч.-У. заступил чем-то очень его напоминающий Такто, который тоже частенько балует нас афоризмами житейской и философской мудрости.

Так вот, господин Такто вскоре после своего появления высказал оригинальную физическую идею. Тогда по этому поводу случилась дискуссия, ему возражали, но к согласию спорщики не пришли. А недавно Такто вновь выступил с той же идеей в слегка уточненной формулировке. Идея касается парадокса близнецов и состоит вот в чем.

Примем, что на пути странника перемежаются неинерциальные и инерциальные участки, и вычислим отдельно, на основе ОТО, на сколько медленнее будет идти время (стареть странник) на неинерциальных участках. Оставшиеся участки пути будут инерциальными, и на них можно пользоваться СТО.

Для удобства рассмотрения мысленно перенесем все инерциальные участки в конец пути. А теперь представим, что странник не преодолевал никаких участков с ускорением, а его путешествие началось только на последнем, инерциальном участке. Переведем часы странника в начале инерциального участка в положение, которое занимают в это время часы на Земле.

"Я утверждаю следующую схему синхронизации. Знание в Ракете, который час сейчас на Земле по ее земным часам, и установка на часах Ракеты именно этого времени", -- also sprach Takto.

Для перевода часов, то есть для определения, который час на Земле, не требуется обмена сигналами между ракетой и Землей, потому что нужные показания часов можно вычислить по ранее найденному замедлению на неинерциальных участках.

Тем самым мы избавились от неинерциальности и в то же время синхронизировали часы, как если бы странник отправился в путешествие с Земли.

Но тогда, несмотря на устранение неинерциальных участков, мы вновь получаем парадокс, аналогичный парадоксу близнецов -- теперь уже на инерциальном участке, на котором СТО справедлива:

Землянин должен увидеть, что странник, пролетев этот участок с постоянной скоростью, постарел меньше, чем он сам, а странник -- что меньше постарел землянин.

Такто назвал эти рассуждения "новым парадоксом близнецов", ну а мы в честь первооткрывателя назовем Парадоксом Такто.

Разбор полёта

Попытаемся разобраться в этом парадоксе, для чего рассмотрим некую наглядную картинку.

Лоренцево сокращение промежутков времени и длин подчиняется одному линейному закону с точностью до коэффициента при линейном члене. Поэтому мы вправе представить всю схему графически, ставя в соответствие промежутки времени длинам отрезков.

Изобразим отрезок горизонтальной прямой [0,T]. Он будет представлять собственное время Земли от старта до возвращения ракеты (рис. 1).

Ниже изобразим параллельный отрезок [0,T']. Нули расположены друг над другом, а T' меньше T, т.е. нижний отрезок более короткий. Он представляет собственное время ракеты, т.е. в точке T' пространственная координата ракеты совпадает с пространственной координатой Земли (финиш путешествия).

Рис. 1

Разобьем нижний отрезок на две части точкой A. Левая часть [0,A] будет представлять сумму участков движения ракеты с ускорениями. Правая [A,T'] -- сумму инерциальных участков. Отрезок [0,A] -- это собственное время, сокращенное согласно ОТО. За счет этого сокращения в итоге и получается, что T' меньше T.

Процитируем еще раз: "Знание в Ракете, который час сейчас на Земле по ее земным часам, и установка на часах Ракеты именно этого времени". Что это значит?

Это значит, что странник вычислил замедление времени, связанное с ускорениями, и определил, сколько прошло бы времени по его часам, двигайся он без ускорений (мысленно как бы растянул отрезок [0,A]). Тогда на Земле по земным часам прошло бы ровно столько же времени, поскольку скорость течения внутреннего времени во всех инерциальных системах одинакова. Отметим этот момент на отрезке [0,T] точкой t.

"Синхронизация по Такто" означает, что мы берем второй из нижних отрезков [A,T') и сдвигаем его вправо так, чтобы его начальная точка оказалась вровень с точкой t верхнего отрезка. Обозначим ее t' (рис. 2). Можно считать нижний отрезок полным инерциальным отрезком пути странника без ограничений общности. Последнее означает, что можно выбрать точки t и t' правее, с учетом некоторого дополнительного инерциального участка, и даже не вровень друг с другом -- это не повлияет ни на рассуждения, ни на выводы. Просто наш выбор нагляднее.

Рис. 2

При этом расстояние, на каком окажутся концы отрезков T и T', определяется замедлением времени на неинерциальном участке [0,A].

Так вот, согласно СТО, для странника, начавшего отсчет времени с t', отрезок [t,T] землянина будет короче отрезка [t',T']. А для землянина (как бы глядя сверху) -- наоборот, что [t',T'] короче, чем [t,T]. В том и парадокс, как утверждает автор идеи.

Парадокс ли? И вообще, верны ли эти рассуждения?

Ошибка нулевая. (Возможно, Такто её не допустил, но из его метода "синхронизации" это трудно понять.)

Если ни странник, ни землянин не видят друг друга, а всё вычисляют, то и сравнивать они могут только мгновенные показания часов, переданные друг другу каким-то образом в ходе или после эксперимента. В этом случае они и увидят только показания часов, а именно собственное время обоих от точки синхронизации t до T и от t' до T'. И в том, что они увидят, никакого парадокса не будет. (Не забудем, что они оба должны помнить о сдвиге шкалы [A,t'] и в конце расчетов учесть его. Заметим также, что мы не ограничиваем общности и вправе взять любую другую точку t, которая может получиться из предварительных вычислений по ОТО. Например такую, что отрезок [t,T] окажется короче, чем [t',T']. Это не принципиально, только немножко изменятся промежуточные рассуждения.

Теперь посмотрим, а как же братцы могут увидеть друг друга, чтобы судить о том, кто из них с какой скоростью стареет. Напомним, что картинки показывают собственное время каждого, а не какие-то расстояния, причем в конечных точках расстояние между ними нулевое.

Ошибка первая. Отметим, что время [t',T'] -- это собственное время странника на инерциальном участке. Зная, что ракета летит со скоростью V, легко записать расстояние S = [t',T']V, которое она пролетит за это время. Это расстояние между системами в начале нового отсчета по Такто. Само по себе оно нас не интересует, и формула позволяет исключить его из вычислений, если они понадобятся, оставив только скорость и время.

Отметим на оси времени Земли точку t'', отстоящую от конца T на [t',T'] (рис. 3).

Рис. 3

С учетом разнесения ракеты и Земли в пространстве для странника момент t' одновременен более раннему событию в ИСО Земли, а именно моменту t''-d. Разница d равна времени, которое необходимо свету для преодоления рассояния S. То есть в момент t' он видит картинку Земли из момента t''-d. В этот момент он и запускает свои часы (ставит на ноль). Никакие еще более ранние события ему попросту недоступны. Если часы Земли были по расчету установлены на ноль (pfgeotys) в момент t, то странник увидит их уже не на нуле.

Напротив, момент включения часов странником будет виден с Земли с задержкой d относительно t''. Этот момент обозначен на оси времени Земли точкой t''+d и одновременен относительно Земли событию включения часов странником. Только в этот миг землянин может зафисировать показания своих часов для дальнейшего предъявления. Они будут показывать [t,T]-[t''+dx,T], тогда как часы странника -- ноль, как и в первом случае.

СТО утверждает, что на финише оба наблюдателя увидят друг у друга одинаковое замедление хода часов. При этом, с точки зрения страника, землянин постареет на столько же, на сколько сам странник за время [t'',T]. Но и с точки зрения землянина странник постареет от момента, когда землянин впервые его увидел, ровно на столько же, на сколько сам землянин за время [t'+d,T']. (Для интересующихся готов привети формулы.)

Вот и весь парадокс. Никакого одновременного относительного помолодения никто по своим часам не зафиксирует.

В сущности, рассмотрение можно было провести безо всяких сдвигов, вообще отбросив левую часть рисунков. Она никак не влияет на результат.

Ошибка вторая. Вернемся к немного видоизмененному рис. 2 -- теперь рис. 4.

Рис. 4

Как уже отмечалось, путь странника может содержать произвольно короткий участок инерциальности и вообще не содержать его. Давайте по возможности сократим инерциальный участок, а на неинерциальном будем наращивать ускорение, так что отрезок [0,A] будет сокращаться, а [0,t] -- удлиняться. Очевидно, это возможно при условии верного выбора ускорений.

При некоторых значениях "коэффициента растяжения" отрезка [0,A] точка t окажется так далеко, что собственное время [0,T'] сравняется, а потом и станет короче времени [0,t].

Тогда, выходит, согласно схеме синхронизации по Такто, мы должны запустить часы ракеты после того, как она уже вернулась на Землю (т.е. сдвинуть отрезок [A,T'] правее отрезка [0,T']. Иными словами, синхронизация теряет смысл при гладком изменении параметров безо всяких формальных запретов на такое изменение. Это сразу показывает некорректность схемы.

Строго говоря, эту ошибку можно было поставить первым номером, и рассмотрение первой ошибки потеряло бы смысл.

Как и следовало ожидать методологически, иикакого парадокса близнецов -- ни старого, ни нового -- в рамках СТО не существует. Парадокс возникает из-за неучтенных факторов при формально правильных, как представляется отдельным философам, рассуждениях. В старом парадоксе изначально нарушены формальности -- теория (СТО) применяется к объектам (нИСО), которые не являются предметом ее рассмотрения. В новом -- при условиях, когда поправка допустима (см. ошибку вторую), -- неправильны рассуждения, касающиеся относительного замедления времени в ИСО.

Комментарии: 74, последний от 31/01/2011. © Copyright П.Б. Размещен: 17/06/2009, изменен: 28/03/2012. 18k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 5 шт.		Ваша оценка:

П.Б.: другие произведения.

Парадокс Такто