Путенихин Петр Васильевич. Динамические диаграммы Пенроуза

Оглавление

Несколько предварительных замечаний

Обмен сверхсветовыми сигналами между неинерциальными системами

Определение уравнений мировых линий тахионов

Сигнализация в прошлое в специальной теории относительности

Определение уравнений мировых линий тахионов в ИСО A

Определение координат событий в ИСО B

Определение уравнений мировых линий тахионов в ИСО B

Круг на диаграмме Пенроуза и вращающаяся в круге стрелка

Литература

Несколько предварительных замечаний

В литературе по физике и математике всегда используются различные системы координат. Практически каждый, интересующийся этими науками хорошо знаком, как минимум, с декартовыми координатами. В процессе исследований часто появляется необходимость создания различных модификаций координатных систем, поскольку многие явления становятся более наглядными в своих специфических системах координат. Для величин, изменяющихся в широких диапазонах, были разработаны, например, логарифмические системы координат, в которых величина отображалась на оси в виде логарифма. Двойная координатная сетка, в частности, используется для демонстрации процесса расширения Вселенной после Большого Взрыва. Триллионные величины расстояний в световых годах и времени в годах заменяются в этом случае шкалами в 15-20 единиц.

Некоторые другие процессы требуют еще более длительных интервалов, поэтому для них разрабатывались ещё более компактные шкалы. Например, в диаграммах Крускала-Шекереса, в которых применен "часовой принцип" отображения времени, напоминающего часовую стрелку, бесконечный интервал времени сжат в пределах прямого угла. Для этого угловая шкала сделана неравномерной: на её границах деления стремятся к бесконечно малым углам.

Почти такой же принцип использован ещё в одной системе координат, исследованию которой и посвящена данная работа. Это диаграммы Картера-Пенроуза. В физической литературе обычно их называют диаграммами Пенроуза.

Следует отметить, что при всех технических различиях, все без исключения координатные диаграммы являются потомками декартовых координат, их своеобразными клонами. Одним из самых революционных вариантов систем отсчета можно назвать диаграммы Минковского, используемые в математике теории относительности. Эти диаграммы превосходно демонстрируют фундаментальное положение теории относительности - принцип относительности, провозглашающий равенство всех инерциальных систем отсчета. При этом переходы между системами можно трактовать как поворот системы отсчета на некоторый угол.

Рассматриваемые в данной работе диаграммы Пенроуза тоже не составляют исключения, являясь преемниками как диаграмм Минковского, так и декартовых координат. Главными специфическими чертами диаграмм Пенроуза является сжатие бесконечно длинных осей времени и расстояния до конечных размеров. При этом для обеспечения преемственности с диаграммами Минковского это сжатие произведено путем конформного преобразования координат. Это привело к тому, что и шкала времени и шкала расстояний простираются от минус до плюс бесконечности, а особый вид линий - так называемые светоподобные геодезические - сохранили угол наклона в 45 градусов. Любая линия, изображенная в декартовых координатах или на диаграмме Минковского с наклоном в 45 градусов, будет точно такой же прямой, наклоненной под 45 градусов и на диаграммах Пенроуза.

Считается, что конформное преобразование координат сохраняет углы. Однако, даже беглого взгляда на диаграммы Пенроуза достаточно, чтобы увидеть: углы, например, между произвольными параллельными прямыми не сохраняются. Но главное все-таки в сохранении углов для светоподобных геодезических - линий распространения света. Это позволяет, в частности, оперировать понятиями световых конусов и четко просматривать на диаграммах поведение вещественных событий (объектов). Их мировые линии всегда должны находиться в рамках этих световых конусов.

Итак, рассматриваемые здесь диаграммы Пенроуза являются просто системой координат в обычном смысле этого понятия, хотя шкалы осей этой системы "компрессированы", то есть сжаты по определенному алгоритму. Используя понятие "логарифм-ическая" шкала, такой алгоритм можно называть алгоритмом "тангенс-ического" сжатия. Понятно, что в данном случае для сжатия шкалы вместо функции логарифм используется функция тангенс, вернее, его обратная функция - арктангенс.

Процесс такого сжатия шкал или процесс конформного преобразования представляет собой, по сути, построения новой шкалы для координат расстояния r и времени t как функции от этих переменных в некоторой исходной системе координат u-v:

u = arctg(t + r)

v = arctg(t - r)

Иначе говоря, мы строим в системе координат u-v семейство линий, которые образуют новую координатную сетку. При этом из уравнений видно, что новая сетка оказывается заключенной в квадрат со стороной π, поскольку при изменении величин r и t в диапазоне от минус до плюс бесконечности, функции u и v изменяются в диапазоне от минус π/2 до плюс π/2. Действительно, сетка одной из осей при таком построении будет иметь вид a):

Рис.1 Последовательность создания "пустой" диаграммы Пенроуза

Как видно на рисунке а), сетка получилась с наклоном. Для наглядности на сетке показаны действительные оси координат u-v, в которых она построена, и конформные оси t-r, которые и предполагается использовать в дальнейшем. Для приведения масштабной сетки к обычному виду, когда её нулевая ось расположена либо вертикально, либо горизонтально, полученную сетку нужно просто повернуть на 45 градусов против часовой стрелки. В этом случае мы получим сетку оси времени t, как показано на рисунке b). После этого мы можем нарисовать по указанным уравнениям конформного преобразования вторую масштабную сетку и повернуть её теперь на 45 градусов по часовой стрелке. В результате мы получим сетку оси r, как показано на рисунке с). Объединив эти обе сетки, мы получим полную сетку диаграммы, как показано на рисунке d). Теперь мы можем нанести на рисунок все необходимые обозначения, в результате чего будет получена полная "пустая" диаграмма Пенроуза, как показано на рисунке e). Слово "пустая" означает, что на диаграмме нет никаких событий, мировых линий.

Собственно алгоритм построения сеток достаточно прост. Для удобства поворот сеток производится сразу же, в момент их построения. Поскольку алгоритм прост, приведем его в неформальном виде, в виде словесного описания:

Цикл 1: Для каждого -М < t < +M c шагом 1

Цикл 2: Для каждого -М < r < +M c шагом S

Вычислить u = arctg(t + r) и v = arctg(t - r)

Повернуть полученную точку a(u, v) на 45 градусов по или против часовой стрелки (зависит от назначения линий сетки - время или расстояния)

Вывести полученную точку а(u, v) на координатную плоскость

Конец Цикла 2

Конец Цикла 1

Буквой М названа условная бесконечность, то есть, число большое, но не превышающее возможностей вычислительной системы (компьютера). Шаг S подбирается из соображений частоты линий на диаграмме. Слишком много линий просто затемнят картину. Из этих же соображений цвет линий сетки выбран ярко-бирюзовым. На его фоне линии другого цвета (мировые линии) просматриваются вполне четко.

Теперь на диаграмму можно вывести любые события и мировые линии. Для этого используется точно такой же алгоритм, но только его "внутренняя часть", без циклов. По требуемой функциональной зависимости мы выводим последовательность точек a(u, v) (с поворотом!) и при необходимости соединяем их отрезками линий. Частота вывода линий - это темп реального хода времени, если мы создаем анимацию. Интервалы, очевидно, должны быть достаточно малыми, чтобы была незаметна ломаная структура линий. На рис.1 дискретность каждой дуговой линий составляет 800, поэтому они выглядят как гладкие кривые. Для наглядности на анимации добавлена ещё одна линии - линия настоящего. Она обычно окрашена в оранжевый цвет. Мировые линии событий могут иметь произвольные цвета. Мировые линии света и тахионов имеют предпочтительные цвета - красный, малиновый.

Описанный алгоритм ранее рассмотрен в работе [7].

Обмен сверхсветовыми сигналами между неинерциальными системами

Данная работа посвящена исследованию парадокса, возникающего в специальной теории относительности в результате применения её к сигналам, распространяющимся со сверхсветовой скоростью. Эта проблема ранее была рассмотрена на примере использования традиционных диаграмм Минковского, где показано, что сверхсветовая сигнализация неизбежно приводит СТО к абсурдным выводам типа "парадокса дедушки" [5]. Для сравнения рассмотрен обмен разрешенными в теории световыми сигналами [6]. Нужно отметить, что этот парадокс является исключительной особенностью именно специальной теории относительности. В физике Ньютона при передаче сверхсветовых сигналов не возникает никаких парадоксов.

В данной работе мы также попытаемся рассмотреть на диаграммах Пенроуза сверхсветовую сигнализацию, приводит ли она к возникновению акаузальных парадоксов, парадоксов причинности. Ранее на диаграммах Пенроуза был рассмотрен случай обмена световыми сигналами, никаких парадоксов или проблем при этом не возникло [8].

Сначала рассмотрим ситуацию в общем виде, для движения произвольных, неинерциальных систем отсчета. И отметим, что практически на всех диаграммах Пенроуза, встречающихся в литературе, рассматривается ситуация только с точки зрения неподвижного, инерциального наблюдателя. Иллюстрации, подтверждающие принцип относительности, в литературе отсутствуют. Хотя в текстах описания можно встретить отступления типа "падающий на сингулярность наблюдатель достигнет её за каноническое (по собственным часам), конечное время".

В сущности, это можно понятно, ведь построение картины, видимой из ускоренной системы отсчета, требует сложных вычислений из общей теории относительности [9], а полученное изображение, пожалуй, не столь информативно, как в специальной теории относительности.

Рассмотрим сначала обмен сверхсветовыми сигналами между двумя неинерциальными системами. Наблюдать процесс будем из лабораторной, нашей условно неподвижной системы отсчета. Мировые линии двух участников, обменивающихся тахионами, а именно так принято называть сверхсветовые частицы, установим такими же, как в рассмотренном ранее случае обмена световыми сигналами:

r₁ = -10 + 2.4(t - 10) - 0.24(t - 10)²/2

r₂ = 4 + 1.6(t + 10) - 0.18(t + 10)²/2

На диаграмме Пенроуза эти мировые линии для наглядности мы изобразим синим и зеленым цветом. В процессе движения в пространстве-времени на динамической диаграмме в верхней части выводим соответствующие значения координат этих мировых линий на момент времени t, а на диаграмме линия, соответствующая этому времени (время настоящего), выделена оранжевым цветом. Легко понять, что уравнения этих систем схожи с уравнениями брошенного вверх камня в условиях земной гравитации.

Анализ уравнений показывает, что в некоторые моменты времени объекты сами могут двигаться со сверхсветовой скоростью. Однако, мы выбираем временной отрезок, на котором их мировые линии времениподобны:

Рис.2 Мировые линии r₁ и r₂ исследуемых систем отсчета времениподобны

Для построения мировых линий тахионов, которыми обмениваются участники, нам необходимо выбрать, по меньшей мере, один момент времени. В этот момент один из участников отправляет свой сигнал, а второй после получения его отправляет свой ответный сигнал.

Определение уравнений мировых линий тахионов

Помимо момента отправки первого сигнала, нам нужно задать какую-то скорость тахиона, его мировую линию. Здесь мы в выборе полностью вольны. Поэтому будем исходить исключительно из эстетических соображений, чтобы получить максимально наглядную картину. Поэтому установим скорость сигнала (тахиона) принудительно в 10 скоростей света. Более высокую скорость брать нецелесообразно, поскольку придётся либо делать слишком мелкие дискреты по времени, либо линия будет чрезмерно ломаной.

Далее для наглядности картины зададим примерные координаты, через которые будут проходить сверхсветовые сигналы вблизи от центра диаграммы. Смотрим на диаграмму. Пусть для первого сигнала r₃ это будет точка M_n(-2, -1). Следовательно, уравнение этой линии будет уравнением прямой:

r₃ = a₃ + 10t

Находим значение неизвестного параметра:

-2 = a₃ + 10(-1)

Откуда получаем

a₃ = -2 + 10 = 8

Следовательно, уравнение первого сигнального тахиона имеет вид:

r₃ = 8 + 10t

Уравнение второй сигнальной мировой линии будет определено по точке пересечения с мировой линией получателя:

r₄ = a₄ + b₄t

На обычной диаграмме Минковского эти линии будут прямыми, пространственноподобными. На диаграмме Пенроуза они тоже пространственноподобные, но будут иметь форму дуг, связывающих точки i⁰ пространственноподобных бесконечностей.

Теперь, как в случае обмена световыми сигналами [8], мы должны определить точку в пространстве-времени, когда сигналы могли быть испущены объектами. Пусть первый сигнал r₃ будет испущен объектом r₂. Точка этого испускания в пространстве-времени не может быть произвольной. Для её определения нам необходимо найти точку пересечения мировых линий объекта и сигнала. Рассмотрим эти уравнения в общем виде:

r₂ = x₀ + v₀(t - t₀) + g(t - t₀)²/2

r₃ = a₃ + 10t

Здесь считается, что первое уравнение - это мировая линия r₂ - зеленое событие, а r₃ - мировая линия принятого сигнала. Решаем уравнение в общем виде, после чего просто подставим числовые значения.

Решаем систему двух уравнений:

r₂ = x₀ + v₀(t - t₀) + g(t - t₀)²/2

r₃ = a₃ + b₃t

После несложных преобразований находим:

gt² + 2t(b₃ + v₀ - gt₀)+2( x₀ - a₃ - v₀t₀) + gt₀² = 0

Находим его корни:

t₁ = (-b - √D)/2a

t₂ = (-b + √D)/2a

где

a = g

b = 2(b₃ + v₀ - gt₀)

c = 2(x₀ - a₃ - v₀t₀) + gt₀²

D = b² - 4ac

Из второго уравнения системы находим координату пересечения:

r₃ = a₃ + 10t₂

В численном виде эти координаты мы определим в математической модели, в процессе построения диаграммы. Итак, точка излучения первого тахиона - M₃(t₂, r₃). Мы выбрали координату t₂, поскольку только она может быть положительной.

Точно такие же вычисления необходимо произвести и для определения точки M₄(t₄, r₄) пересечения мировых линий этого сигнала и второго объекта. Мировую линию второго, ответного тахиона мы автоматически получаем решением уравнения:

r₄ = a₄ - 10t₄

Очевидно, что все четыре мировые линии существуют на всём пространстве-времени, поскольку ни одно из них не имеет сингулярных точек. Поэтому моменты начала мировых линий мы задаём из априорных условий. Для мировых линий систем отсчета - это начальный момент времени на диаграмме. Для мировых линий начальными точками являются координаты их пересечения с мировыми линиями источников. Все эти величины мы вычислили, необходимо теперь внести их в алгоритм программы построения диаграммы.

Результат компьютерных вычислений представлен на анимации:

Рис.3 Анимированная диаграмма Пенроуза - обмен тахионами

На рисунке мировые линии и их уравнения выделены одинаковыми цветами. Мировые линии систем отсчета - синим и зеленым цветом. Мировые линии тахионов - красным и малиновым цветом.

Можно сделать заключение, что на этой анимации никакие акаузальные парадоксы не видны. Моменты испускания сигнала, последующего получения его, испускания ответного сигнала и его получение по времени расположены строго последовательно. Однако, следует признать, что и на диаграммах Минковского для инерциальных систем отсчета не всегда заметно нарушение причинности при обмене сверхсветовыми сигналами. Если, например, рассматривать картину с точки зрения некоторого третьего, условно неподвижного наблюдателя, обмен тахионами между двумя ИСО не будет явно, заметно нарушать причинность. Все сеансы излучения-поглощения будут строго последовательны во времени. Но с точки зрения участников обмена эффект сигнализации в прошлое будет очевиден [6]. Поэтому можно ожидать, что и на диаграммах Пенроуза для ИСО будет получен такой же результат.

Сигнализация в прошлое в специальной теории относительности

Для построения инерциальных диаграмм Пенроуза мы выбираем две инерциальные системы отсчета, подобные рассмотренным ранее в задаче по обмену световыми сигналами [5]. Рассмотрим две диаграммы с уравнениями движущейся ИСО A или ИСО B, когда другая неподвижна

r_B = a_АВ + vt = 2 + 0.5t; r_А = 0

r_А = -a_A_В - vt = -2 - 0.5t; r_B = 0

В данном случае будет производиться обмен тахионами - сигнальным r₃ и ответным r₄, движущимися со скоростью в ИСО A, равной v_t_А = 10с, и мировыми линиями, описываемыми уравнениями

r₃ = a₃ + v_t_At = a₃ + 10t

r₄ = a₄ - v_t_At = a₄ - 10t

Неизвестные параметры уравнений мы найдём далее из дополнительных условий обмена.

Определение уравнений мировых линий тахионов в ИСО A

На рисунке представлена диаграмма Пенроуза, полностью соответствующая диаграмме Минковского для ситуации с точки зрения неподвижного наблюдателя ИСО A. Изображены ожидаемые мировые линии тахионов. Точка M₀₁_A обозначает событие излучения сигнального тахиона r₃ из ИСО A, точка М_02А обозначает события получения сигнального тахиона r₃ и излучение ответного тахиона r₄ в ИСО B с точки зрения ИСО A (по её часам), а точка М_03А обозначает событие получения (поглощения) тахиона r₃ и ответным r₄в ИСО A.

Рис.4 Диаграмма Пенроуза для ИСО, обменивающихся тахионами, с точки зрения ИСО A

При построении этой диаграммы для события M₀₁_A отправки тахиона r₃ из ИСО A мы задаем произвольно t₀ = -0.5, а r₀ = 0 определяется автоматически.

Нам известен вид уравнения мировой линии первого тахиона r₃ и точка, через которую он проходит (t₀, r₀), из чего находим

r₃ = a₃ + v_tAt₀ = r₀, откуда

a₃ = r₀- v_tAt₀ = 0 - 10(-0.5) = 5 и

r₃ = 5 + 10t

Событие излучения теперь имеет вид M₀₁_A(-0.5, 0). Время t_4Вполучения (поглощения) тахиона в ИСО B находим из соотношения

r_B = a_АВ + vt_4В = r₃ = a₃ + v_tAt_4В

Отсюда после преобразований находим

t₄_В = (a₃ - a_АВ)/(v - v_tA) = (5 - 2)/(0.5 - 10) = -3/9,5 ≈ -0.316

Координата точки поглощения тахиона, соответственно, равна

r_4В = r_B = a_АВ + vt_4В = 2 + 0.5(-3/9.5) - 1.842

Теперь точку поглощения тахиона можно записать в виде М_02А(-0.316, 1.842). Уравнение ответного тахиона имеет вид r₄ = a₄ - 10t, а по точке поглощения тахиона r₃ можем найти неизвестный параметр, используя соотношение

r₄ = a₄ - v_tAt_4В = r_4В = a_АВ + vt_4В

После преобразований находим параметр

a₄ = a_АВ + t_4В(v + v_tA) = 2 - 0,316(0,5 + 10) ≈ -1,316

Следовательно, уравнение ответного тахиона имеет вид

r₄ = -1,316 - 10t

Таким образом, получив от наблюдателя ИСО A сигнальный тахион r₃, в этот же момент свой ответный тахион r₄отправит теперь уже наблюдатель ИСО B. Решая совместно уравнения мировой линии ИСО A и ответного тахиона, находим точку его прибытия в ИСО A

r_А = 0 = r₄ = a₄ - v_tAt

После преобразований, находим

t_4А = a₄/v_tA = -1,316/10 ≈ -0,13

Поскольку, по определению r_4А = 0, точку поглощения ответного тахиона запишем в виде М₀₃_А(-0.132, 0).

Итак, на диаграмме с точки зрения наблюдателя ИСО A чисто графически мы получаем нормальную во времени последовательность испусканий и поглощений тахионов без каких бы то ни было нарушений в последовательности событий во времени:

M₀₁_A(-0.5, 0) - излучение тахиона r₃,

М_02А(-0.316, 1.842) - поглощение r₃ и излучение тахиона r_4,

М_03А(-0.132, 0) - поглощение тахиона r₄.

Теперь рассмотрим картину с точки зрения наблюдателя ИСО B, на которой мы должны будем увидеть нарушение последовательности событий во времени.

Определение координат событий в ИСО B

На следующем рисунке представлена диаграмма Пенроуза, полностью соответствующая диаграмме Минковского для ситуации с точки зрения неподвижного второго наблюдателя - ИСО B. Здесь также изображены ожидаемые мировые линии тахионов. Точка M_01В обозначает событие излучения сигнального тахиона r₃ из ИСО A с точки зрения ИСО B, точка М_02В обозначает события получения сигнального тахиона r₃ и излучение ответного тахиона r₄ в ИСО B с его точки зрения (по её собственным часам), а точка М_03В обозначает событие получения (поглощения) тахиона r₃ в ИСО A с точки зрения ИСО B (по её собственным часам).

Рис.5 Диаграмма Пенроуза для ИСО, обменивающихся тахионами, с точки зрения ИСО В

Для построения этой картины с использованием лоренцева коэффициента необходимо определить момент времени, когда наблюдатели находились в одной точке и смогли синхронизировать свои часы. Определяем его как точку пересечения двух мировых линий из соотношения

r_А = -a_A_В - vt_исх = r_B = 0

Откуда находим

t_исх = -a_A_В/v = -2/0.5 = -4

Следовательно, по часам ИСО A излучение тахиона в сторону ИСО B произошло от встречи в момент времени

t_3А = t₀ - t_исх = -0.5 - (-4) = 3.5

а с точки зрения наблюдателя ИСО B - в момент времени

t₃_В = t₃_А/γ = 3.5/γ - 4.041

где γ = √(1 - 0.5²) ≈ 0.866, а по шкале времени диаграммы это момент времени Как видим, здесь использование γ выглядит как-то непривычно. Казалось бы, для вычисления времени в ИСО В по известному времени в ИСО A нам необходимо время в А умножить на γ, а здесь стоит знак деления. Проясним эту странность. Для этого рассмотрим следующий рисунок.

Рис.6 Пример использования лоренцева коэффициента сжатия

Пусть скорость движения ИСО равна 0.866с (почти скорость света). Такая скорость удобна, ведь все сокращения наглядны, поскольку в этом случае коэффициент лоренцева сжатия γ = 0.5, то есть, интервалы времени и длины сокращаются ровно в два раза. Рассмотрим с точки зрения ИСО A момент времени t = 1. Следовательно, с точки зрения этой ИСО, часы в ИСО B показывают время t = 0.5. Пусть в этой точке пространства-времени произошло некоторое событие. С точки зрения ИСО A это событие по собственным часам ИСО B произошло в момент времени t = 0.5. Это объективные показания собственных часов наблюдателей в момент происхождения события.

Теперь рассмотрим систему с точки зрения ИСО B. Время ИСО A в этом случае можем определить как t_A = γt_B = 0.25. Однако, мы точно знаем время происхождения события в каждой ИСО по их собственным часам. Следовательно, в данном случае время происхождения события в ИСО A по её собственным часам с точки зрения ИСО B должно быть тем же самым, то есть, t_A = 1. Согласно формализму СТО это означает, что в момент t_В = 0.5, когда в ИСО B событие наступило, в ИСО A оно еще не наступило, поскольку часы в ИСО A идут медленнее. А произойдет это событие так тогда, когда собственные часы ИСО A будут показывать время этого события, то есть, t_A = 1. При этом собственные часы ИСО B, как видно на рисунке, будут показывать время t_B = 2, то есть, t_A = t_B/γ. Понятно, что это правило справедливо для любых показаний часов и скоростей ИСО.

Итак, скомпонуем предыдущие вычисления. Абсолютные координаты точки M_1А (в системе координат диаграммы) в ИСО A по условиям задачи имеют вид

M_1А(-0.5, 0)

В координатах точки встречи эта точка имеет вид

M_1А(-0.5 + 4, 0) = M_1А(3.5, 0)

Согласно рассмотренным выше правилам преобразования координат при переходе из одной ИСО в другую, координаты M_1В в координатах точки встречи в ИСО B приобретают вид

M_1В(3.5/γ, 0) ≈ M_1А(4.041, 0)

Следовательно, абсолютные координаты (в системе координат диаграммы) в ИСО B имеют вид

M_1В(3.5/γ - 4, -2.021) ≈ M_1В(4.041 - 4, -2.021) = M_1В(0.041, -2.021)

Формально уравнение преобразования в этом случае имеет вид:

t_M₁_B = (t_M₁_A - t_исх)/γ + t_исх

Уравнение движения ИСО A известно, поэтому координату r_M₁_B события М_1В в пространстве ИСО B мы определили как

r_М1В = -a_A_В - vt_М1В = -2 - 0.5(0.041) = -2.021

Параметры точки М_2В. Абсолютные координаты точки M_2А (в системе координат диаграммы) в ИСО A имеют значения, вычисленные выше

М_2А(-0.316, 1.842)

В координатах точки встречи (считая точку t_исх началом координат) эта точка имеет вид

М_2А(-0.316 + 4, 1.842) ≈ М_2А(3.684, 1.842)

Согласно рассмотренным выше правилам преобразования координат при переходе из одной ИСО в другую (правая сторона рисунка, прямое преобразование), координаты M_1В в координатах точки встречи в ИСО B приобретают значения

M_1В(3.684*γ, 0) ≈ M₁_В(3.190, 0)

Следовательно, абсолютные координаты (в системе координат диаграммы) в ИСО B имеют вид

M₂_В(3.684/γ - 4, 0) ≈ M₂_В(3.190 - 4, 0)= M₂_В(-0.810, 0)

Формально уравнение преобразования в этом случае имеет вид:

t_M₂_B = (t_M₂_A - t_исх)*γ + t_исх

Параметры точки М_3В. Абсолютные координаты точки M_3А (в системе координат диаграммы) в ИСО A по условиям задачи имеют вид

М_3А(-0.132, 0)

В координатах точки встречи эта точка имеет вид

М_3А(-0.132 + 4, 0) ≈ М_3А(3.868, 0)

M_3В(3.868/γ, -2.234) ≈ M_1В(4.467, -2.234)

Следовательно, абсолютные координаты (в системе координат диаграммы) в ИСО B имеют вид

M_3В(3.868/γ - 4, -2.234) ≈ M_2В(4.467 - 4, -2.234) = M_2В(0.467, -2.234)

Формально уравнение преобразования в этом случае имеет вид:

t_M3B = (t_M3A - t_исх)/γ + t_исх

Уравнение движения ИСО A известно, поэтому координату r_M₁_B события М_1В в пространстве ИСО B мы определили как

r_М1В = -a_A_В - vt_М1В = -2 - 0.5(0.467) = -2.234

Таким образом, три события с точки зрения ИСО В можно записать в виде

M_1В(0.041, -2.021) - излучение тахиона r₃,

M_2В(-0.810, 0) - поглощение r₃ и излучение тахиона r_4,

M_3В(0.467, 0) - поглощение тахиона r₄.

Внимание! Здесь мы видим явное нарушение последовательности событий во времени. Если излучение сигнальной тахиона r₃ и поглощение ответного r₄ произошло в нормальной последовательности, то поглощение сигнального тахиона r₃ произошло до того, как он был испущен. Аналитически мы пришли, как и ожидалось, к сигнализации в прошлое. Однако, изобразить это на диаграмме Пенроуза без замысловатых криволинейных графических построений крайне проблематично. Для работы с инерциальными системами отсчета диаграммы Минковского несравненно удобнее диаграмм Пенроуза, которые для этого малопригодны, на них циркуль и линейка бесполезны.

Тем не менее, для построения анимации завершим вычисления и определим уравнения мировых линий тахионов в ИСО В.

Определение уравнений мировых линий тахионов в ИСО B

Поскольку нам известны координаты всех событий в ИСО В, то уравнения тахионов находим из условия их прохождения через пары точек. Найдем решение в общем виде. Пусть тахион проходит через условные точки r₁,t₁ и r₂,t₂, и имеет скорость v₁ тогда

r₁ = a₁ + v₁t₁

r₂ = a₁ + v₁t₂

Выделяем неизвестный параметр а₁ из первого уравнения

а₁= r₁ - v₁t₁

Подставляем его во второе уравнение и преобразуем

r₂ = r₁ - v₁t₁ + v₁t₂

После преобразований получаем

v₁ = (r₂ - r₁)/(t₂ - t₁)

Используем вычисленные значения координат событий

M_1В(0.041, -2.021) - излучение тахиона r₃,

M_2В(-0.810, 0) - поглощение r₃ и излучение тахиона r_4,

M_3В(0.467, -2.234) - поглощение тахиона r₄.

Подставляя в выражение координаты точек М_1В и М_2В, находим скорость, параметр а₃ и уравнение тахиона r₃

v₃ = (r₂ - r₁)/(t₂ - t₁) = (0 - 2.021)/(-0.810 - 0.041) = -1,923

a₃= r₁ - v₃t₁= -2.021 + 1,923*0.041= -2,375

r₃ = a₃ + v₃t = -1,923 - 2,375t

Подставляя в выражение координаты точек М_3В и М_2В, находим скорость, параметр а₄ и уравнение тахиона r₄

v₄ = (r₂ - r₁)/(t₂ - t₁) = (0 + 2.021)/(-0.810 - 0.467) = -1,75

a₄= r₁ - v₄t₁= -2.234 + 1,75*0.041= -1,417

r₄ = a₄ + v₄t = -1,417 - 1,75t

Можно сказать, что основные параметры определены, и можно внести их в математическую модель для получения анимированной диаграммы. Но возникает техническая проблема: как на анимации изобразить движение тахиона r₃ из будущего в прошлое?

По большому счету картина движения в прошлое выглядит довольно забавно. Представим вместо тахиона или антитахиона (тахиона с отрицательной энергией), например, бокал вина, который падает со стола и разбивается. Его движение в прошлое по указанной мировой линии будет необъяснимо. Было бы нелепо утверждать, что и при движении в прошлое бокал тоже падает и разбивается. Поэтому находящийся рядом с ним наблюдатель будет видеть, как осколки собираются в целый бокал, а брызги расплескавшегося вина дружно вернулись в бокал. Именно так должна выглядеть картина движения в прошлое, что бы ни говорили теоретики возрастания энтропии.

Похоже, что настало время попытаться воспользоваться тахионной механикой Recami [1] с её антинаучным принципом переключения (switching procedure - SWP) Штюкельберга, Фейнмана и Сударшана, известным у нас как принцип реинтерпретации. В отечественной литературе есть утверждение [4], что впервые этот принцип был сформулирован Штрумом:

"... Л.Я.Штрумом было сформулировано положение (названное впоследствии ... "принципом реинтерпретации"), решающее проблему причинно-следственных связей при движении со сверхсветовыми скоростями".

Биланюк и Сударшан этот принцип формулируют в следующем виде [3]:

"Мы назвали это "принципом реинтерпретации". Частицы "с отрицательной энергией", сперва поглощенные и затем испущенные, есть не что иное, как частицы с положительной энергией, испущенные и поглощенные в обратном порядке".

Реинтерпретация должна была снять возражения, основанные на принципе причинности, против возможности существования сверхсветовых сигналов и позволить сформулировать непротиворечивую теорию тахионов. Формулировку этого принципа, не меняя её по существу, уточняет Барашенков [2]:

"более точно принцип реинтерпретации следует сформулировать следующим образом: при любом взаимодействии частица, имеющая отрицательную энергию и движущаяся в конечном (начальном) состоянии реакции обратно во времени, должна интерпретироваться как соответствующая античастица, имеющая положительную энергию и движущаяся вперед во времени в начальном (конечном) состоянии реакции".

Немного иначе этот же принцип, упомянутый под названием "принцип переключения", формулирует Чонка [11]:

"... O`, который видит частицу с отрицательной энергией, движущуюся назад во времени от t_A(O`) к t_B(O`), должен считать, что он видит частицу с положительной энергией, испущенную в момент t_B(O`) и движущуюся в прямом направлении во времени к t_A(O`). Соответственно О` не будет наблюдать никакого нарушения запаздывающей причинности".

Правда, есть одно несоответствие с нашим случаем. Принцип реинтерпретации говорит о движущихся в обратном направлении времени частиц с отрицательной энергией. Но в нашей задаче изначально таких частиц нет, их придётся аналогичным образом реинтерпретировать. Другими словами, наш тахион r₃ с положительной энергией нам придётся считать тахионом с отрицательной энергией. Это, в общем-то, не проблема. Проблема в ином. На диаграмме мы четко видим, как в момент свершения события М₂ (поглощение тахиона r₃ и излучение тахиона r₄) из этой точки в ИСО В одновременно излучаются две частицы. Не имеет значения, что это за частица вторая, но имеет значение сам факт такого излучения. Наблюдатель ИСО В уверенно может заявить: получил r₃ и излучил r₄, только её и больше ничего.

Но и это не всё. На диаграмме ИСО В сам процесс излучения начался без каких-либо оснований. По времени наблюдатель ещё не получил сигнального тахиона, так почему он начал свой процесс ответа?

Таким образом, парадокс сигнализации в прошлое неустраним. Он является исключительным свойством специальной теории относительности, когда её распространяют на сверхсветовые сигналы. В физике Ньютона таких проблем нет.

Однако, мы все-таки завершим начатую работу и заменим наш реальный тахион r₃ на антинаучную выдумку - некий антитахион r'₃ или тахион с отрицательной энергией, не вкладывая в это понятие никакого смысла.

Полученные анимированные диаграммы Пенроуза представлены на рисунке

Рис.7 Анимированные диаграммы Пенроуза для ИСО, обменивающихся тахионами

Действительно, на диаграмме нет заметных парадоксов или противоречий. Очевидно, что тахионы движутся по пространственноподобным геодезическим, но это задано условиями задачи. Можно довольно уверенно заметить, скорость тахионов в ИСО А заметно выше, чем в ИСО В. Это означает, что скорость тахиона не инвариантна. Более того, всегда можно найти такую ИСО, в которой его скорость будет бесконечной [10]. И лишь внимательный взгляд позволит заметить, что на двух соседних диаграммах у двух событий очередность наступления меняется. Криволинейная сетка координат заметно ухудшает визуализацию. Для более яркой демонстрации искажений на диаграммах Пенроуза приведём диаграмму простой фигуры - круга.

Круг на диаграмме Пенроуза и вращающаяся в круге стрелка

Наипростейшая геометрическая фигура - круг - на диаграмме Пенроуза приобретает довольно забавные очертания, почти квадрат. Геометрические параметры рисунка таковы: радиус круга равен 3, его центр смещен в точку (0.3, 0.8), а длина вращающегося штриха (стрелки) равна 2,5.

Рис.8 Диаграмма Пенроуза для вращающейся в круге стрелки

Трудно вообразить, но на рисунке действительно изображен круг со стрелкой внутри. Что-то наподобие обычного секундомера.

Литература

1. Recami E., The Tolman-Regge Antitelephone Paradox: Its Solution by Tachyon Mechanics. \\Electronic Journal of Theoretical Physics (EJTP) 6, No. 21 (2009) 1-8 [решение релятивистского парадокса антителефона - движения в прошлое - средствами тахионной механики и принципа реинтерпретации] URL (дата обращения 14.08.2014):
http://dinamico2.unibg.it/recami/erasmo docs/SomeOld/TolmanAntitelephoneSolution.pdf

2. Барашенков В.С., "Тахионы. Частицы, движущиеся со скоростями больше скорости света", УФН, 114 (1) 133 (1974)]:

3. Биланюк О., Сударшан Е., Частицы за световым барьером (Перевод Урнова А.М.). В книге "Эйнштейновский сборник. 1973", М., Наука, 1974, стр. 112-133.

4. Малыкин Г.Б, Савчук В.С., Романец (Щербак) Е.А. "Лев Яковлевич Штрум и гипотеза существования тахионов", УФН 182 (11) 1217 (2012)]

5. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Минковского: обмен сверхсветовыми сигналами, 2014, [анимированные диаграммы - демонстрация обмена сверхсветовыми (тахионными) сигналами между двумя движущимися системами], URL:
http://econf.rae.ru/article/9636
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ddm-ftl.shtml

6. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Минковского на примере обмена световыми сигналами, 2014, [анимированные диаграммы - демонстрация обмена световыми сигналами между двумя движущимися системами; динамические оси времени и расстояний], URL:
http://econf.rae.ru/article/9643
http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/ddm-light.shtml

7. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Пенроуза, 2016, URL:
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/dp06.shtml

8. Путенихин П.В., Динамические диаграммы Пенроуза - обмен световыми сигналами, 2016, URL:
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/dil09.shtml

9. Путенихин П.В., Итак, парадокса (близнецов) больше нет! 2014, [анимированные диаграммы - решение парадокса близнецов средствами ОТО; решение имеет погрешность; на диаграмме ось времени - горизонтальна, ось расстояний - вертикальна], URL:
http://econf.rae.ru/article/9666
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/ddm4-oto.shtml

10. Путенихин П.В., Теорема об изохронном тахионе, 2014, [Гиперболическая кривая на диаграмме Минковского, пересекающая мировые линии ИСО в точках с равными показаниями часов, называется изохроной. Тахион, мировая линия которого связывает две точки на одной изохроне и две соответствующие им системы отсчета, называется изохронным тахионом. Доказана теорема. Содержит анимированные диаграммы Минковского], URL:
http://econf.rae.ru/article/9635
http://sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/14088.html swf
http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/itachyo.shtml gif

11. Чонка П.Л., Причинность и сверхсветовые частицы (Перевод Волкова Е.И.). В книге "Эйнштейновский сборник. 1973", М., Наука, 1974, стр. 178-189.]

Автор: Путенихин Петр Васильевич
31.10.2016

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Динамические диаграммы Пенроуза - сигнализация в прошлое

Комментарии: 1, последний от 17/10/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 31/10/2016, изменен: 16/04/2018. 49k. Статистика. Статья: Естествознание Иллюстрации/приложения: 11 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Рассмотрены сущность диаграмм Картера-Пенроуза, механизм их построения и пример использования. Приведены анимированные, динамические диаграммы Пенроуза для случая обмена сверхсветовыми сигналами для неинерциальных и инерциальных систем отсчета