Путенихин Петр Васильевич. Неравенства Белла в теории вероятностей, дополнения

Дополнения к статье "Неравенства Белла в теории вероятностей" в сборнике статей XXXVIII международной научной конференции "ТЕХНОКОНГРЕСС" Издательского дома "Плутон", 11 февраля 2019 года, с.7-18, URL:
https://t-nauka.ru/wp-content/uploads/k38.pdf c7-18
Полный текст статьи будет размещён на портале eLibrary

Эксперимент с частицами, описываемыми теориями с дополнительными переменными. Подобие эксперимента Алена Аспекта

Полученные соотношения и выражения неравенств, надо признать, выглядят несколько отвлеченно. Физическая суть неравенств просматривается недостаточно отчетливо. Попробуем и мы сформулировать собственные неравенства, стараясь вложить в них более отчетливо эту физическую суть. За основу возьмем эксперимент, изображенный на рис.1. Источник запутанных фотонов излучает пары, которые анализируются двумя расщепляющими поляризаторами.

При составлении неравенств будем исходить их вероятностей, а не из их математических ожиданий, которые зачастую имеют довольно отвлеченный характер. Например, что означает математическое ожидание при бросании игрального кубика и равное 3,5, поскольку на его гранях такое число отсутствует?

В нашем эксперименте мы имеем 4 равновероятных исхода. Считая их строго случайными, вероятностными, мы можем записать

Сразу же отметим, что при составлении выражения мы немного схитрили. Во-первых, мы отказались от понятия отрицательная вероятность, поскольку математически объяснить её практически невозможно. Во-вторых, мы искусственно поставили отрицательный знак одному из слагаемых. Случайно или нет это совпало со многими другими записями неравенств, нам неизвестно. Наш знак минус призван уничтожить два из слагаемых в теориях с дополнительными переменными, но сохранит их в квантовой механике. Поскольку для теории с дополнительными переменными все измерения равновероятны, то в выражении будут присутствовать все слагаемые, которые, согласно теории вероятностей равны 1\4. Действительно, в нашей установке есть два расщепляющих поляризатора. Следовательно, поступивший на его вход фотон может выйти только на одном из его выходов - положительном или отрицательном. Через какой именно, неизвестно - это полностью случайное событие. Точно такая же картина наблюдается и на втором расщепляющем поляризаторе. Следовательно, вероятность появления фотона на одном из выходов равна 1\2. При этом фотоны пройдут на выходы как первого, так и второго поляризатора, то есть возможны только четыре различных прохода фотонов: оба на плюсовые выходы, оба на минусовые выходы, левый - на плюсовой выход, а правый - на минусовой, и, наконец, левый - на минусовой выходы, а правый - на плюсовой. Согласно теории вероятностей для случайных событий каждая из этих пар проходов фотонов равновероятна, то есть, вероятность равна 1\4.

Согласно такому расчету, величина S не может быть больше 1\2, поскольку в выражении два равных слагаемых в его середине сокращаются. То есть, полученную величину неравенства мы сформировали искусственно, принудительно. Заметим, кстати, что знак "меньше" оставлен по той причине, что в реальном физическом эксперименте некоторые фотоны могут исчезнуть, поглотиться поляризатором. Тот факт, что исчезнуть могут все фотоны, кроме тех, которые описывает третье слагаемое, мы также искусственно компенсируем знаком модуля.

Но это неравенство соответствует теории с дополнительными параметрами. Следовательно, нам нужно показать это в эксперименте. Если мы прямо используем установку рис.1, то это будет соответствовать квантовому эксперименту, поскольку ясно, что фотоны запутаны, поэтому результаты измерения и их корреляция не являются случайными величинами. Действительно, для запутанных фотонов, описываемых волновой функцией:

(5)

Результат прохождения поляризаторов нам известен. Вероятности парного прохождения описываются выражением (4) из статьи Аспекта:

Неравенства Белла

Подставив эти значения в наше неравенство Белла, мы получаем:

Как видим, наше неравенство Белла квантовой механикой нарушено. Но наши выкладки неполны, поскольку нам следует показать эксперимент, в котором мы бы увидели, что для теории с дополнительными стохастическими переменными наши неравенства не нарушаются. Такой эксперимент мы можем реализовать на установке, подобной рис.1, в которой мы просто разрушаем запутанность фотонов:

Неравенства Белла

Рис.2. Два фотона v₁ и v₂, испускаемые источником S, пропущены в направлениях a и b через синхронно вращающиеся линейные поляризаторы П1 и П2, затем через расщепляющие поляризаторы I и II.

Для преобразования запутанных фотонов в независимые, которые могут быть описаны теорией с дополнительными переменными, сразу же после испускания фотонов они пропущены через два синхронно вращающихся линейных поляризатора. До входа в эти поляризаторы фотоны описывались волновой функцией (5). После прохождения своих поляризаторов фотоны переходят в собственные состояния, приобретя поляризацию с направлением, соответствующим направлению поляризатора на момент прохождения. Очевидно, что в любой момент времени поляризаторы имеют одинаковое направление, поэтому и фотоны на выходе также оказываются коллинеарно поляризованными, как это предполагается теорией Эйнштейна. В этом случае каждый из фотонов описываются собственной волновой функцией, а общее состояние системы из двух фотонов описывается волновой функцией - тензорным произведением, что и означает отсутствие запутанности:

Поскольку фотоны независимы, то при их совместном измерении возможны следующие состояния:

Неравенства Белла

Согласно правилам квантовой механики и свойствам волновой функции, вероятность наблюдения каждого из этих состояний равна квадрату волновой функции. Например, вероятность совместного прохождения обоих фотонов на плюсовые выходы (значение |0?) равна:

Три остальные вероятности равны этому же значению, поэтому после их подстановки в наше неравенство Белла мы получаем значение, которое его не нарушает. Поясним, что вращение поляризаторов П1 и П2, разрушающих запутанность, сделано с целью создать условно неопределенное состояние фотонов. Направление поляризации запутанных фотонов не определено, что можно трактовать, например, как некоторое определенное направление у каждой пары фотонов, которое от пары к паре меняется неизвестным экспериментатору образом. В нашем случае разрушения запутанности мы получаем точно такую же картину: направление поляризации меняется, хотя и закономерно, но экспериментатору оно недоступно для регистрации.

Однако следует уточнить, почему при вращении поляризаторов П1П2 все парные измерения становятся равновероятными. Два коллинеарных поляризатора П1П2 переводят фотоны в состояния, полностью соответствующие теории с дополнительными переменными. В момент разделения фотонов они приобретают строго коллинеарные состояния и сохраняют их вплоть до похождения через расщепляющие поляризаторы I и II. Добавим, что наличие второго вращающегося поляризатора не только не является необходимым, но может сыграть и отрицательную роль, поглотив один фотон из пары.

Теперь нам следует выяснить, почему в этом случае два коллинеарных фотона дают равновероятно четыре парных прохождения. Согласно правилам квантовой информатики и закону Малуса вероятность прохождения фотона через поляризатор определяется выражением

то есть, зависит от угла (a, b) между направлениями поляризации фотона и поляризатора. Следовательно, вероятность прохождения пары фотонов, например, на плюсовой выход равна:

(6)

Здесь угол φ - это угол между направлением поляризации фотонов и вертикалью. Сразу же замечаем, что вероятность прохождения этих же фотонов на минусовой, ортогональный выход равна:

(7)

Соответственно, парное прохождение фотонов через разноименные выходы плюс-минус и минус-плюс равно:

Общая вероятность, что легко проверить, равна единице:

Перегруппировав слагаемые попарно первое-четвертое и второе-третье, находим:

Однако это вероятность парного прохождения через расщепляющие поляризаторы только единственной пары коллинеарных фотонов. Согласно теории с дополнительными переменными и схеме установки рис.2 каждая пара фотонов из потока имеет собственный угол наклона поляризации. Поэтому в пределах одного оборота поляризаторов П1П2 общая вероятность прохождения всех фотонов вычисляется интегрирование. Например, для плюсовых выходов:

(8)

Но все эти интегралы пока нам ничего не говорят о своих абсолютных значениях, о своей равновероятности. Для определения значений сначала найдём сумму вероятностей разноименных прохождений:

Неравенства Белла

Используя полученные выражения, вычислим две разности (9) и (10):

Неравенства Белла

Несложными преобразованиями можно показать, что на рассматриваемом интервале интегрирования 2? следующие определенные интегралы тождественно равны

(11)

Но из этого сразу же следует, что выражения (9) и (10) равны нулю, поэтому

А это, в свою очередь, и означает равновероятность всех четырех парных прохождений двух коллинеарных фотонов. Таким образом, сформулированное нами неравенство Белла теорией с дополнительными переменными не нарушается.

Комментарии: 1, последний от 04/11/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 29/01/2019, изменен: 19/03/2019. 12k. Статистика. Статья: Естествознание Дополнения Иллюстрации/приложения: 19 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Дополнения к статье "Неравенства Белла в теории вероятностей", опубликованной в журнале "Точная наука"

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Неравенства Белла в теории вероятностей, дополнения

Эксперимент с частицами, описываемыми теориями с дополнительными переменными. Подобие эксперимента Алена Аспекта