Путенихин Петр Васильевич: другие произведения.

О количестве информации на горизонте Черной дыры

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Литературные конкурсы на Litnet. Переходи и читай!
Конкурсы романов на Author.Today

Создай свою аудиокнигу за 3 000 р и заработай на ней
📕 Книги и стихи Surgebook на Android
Peклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Действительно ли информация в черной дыре хранится на её поверхности и отсутствует внутри?


   Утверждается, что информация в чёрной дыре измеряется площадью её поверхности, что энтропия чёрной дыры определяется площадью её горизонта, что горизонт является местом их хранения. И, напротив, в объёме чёрной дыры информация не содержится. Все это крайне интересно, поскольку весьма странно. Ясно, что площадь горизонта прямо связана с объемом черной дыры. Почему же информация "выдавливается" на её поверхность? Что вообще это означает? В сущности, горизонт событий Черной дыры - это материально ничем не примечательное место в пространстве, главной особенностью которого является лишь некоторое специфическое значение гравитационного потенциала. Действительно, пространства чуть выше или чуть ниже горизонта различаются только этим, и свободно падающий наблюдатель никак не сможет увидеть, почувствовать разницу между ними.
   Описание явления можно легко найти в интернете. Но весьма простое и весьма развернутое доказательство этого явления приведено в популярной книге Сасскинда [1]. Конечно, оно не является строгим научным описанием, однако, выводы все-таки сформулированы достаточно четко и однозначно. Авторитет автора не вызывает никаких сомнений - это один из ведущих физиков современности. И здесь возникла интересная ситуация. Простая попытка уточнить, почему же все-таки объём черной дыры не содержит информации, привела к неожиданному результату. По сути, вышло, что утверждение Сасскинда неверное. Во-первых, тезис о равенстве информации в черной дыре площади её горизонта не подтверждается. Разница почти в 8 раз. Во-вторых, объем черной дыры явно связан с объемом содержащейся в ней информации. Как-то это странно выглядит: при добавлении информации объем черной дыры возрастает по строгой функциональной зависимости. Связь имеется, но почему отрицается наличие в этой связи информации?
   Очень простое доказательство приведено на 155 странице книги [1]. Вкратце оно выглядит следующим образом. Автор предлагает вычислить, насколько увеличится площадь горизонта черной дыры при добавлении к ней одного бита информации. Сначала вычисляется увеличение энергии черной дыры от добавления этого бита, затем по формуле Эйнштейна определяется увеличение её энергии, которая после этого переводится в массу. По изменившейся массе черной дыры определяется новый гравитационный (шварцильдовский) радиус черной дыры и по его величине определяется прирост площади горизонта дыры.
   Опустим все предварительные рассуждения и сразу перейдем к основному выражению. После добавления черной дыре одного бита информации её масса увеличилась на величину:

 []

   Здесь Δm - увеличение массы черной дыры, Rs - её исходный гравитационный радиус, с - скорость света, а h - постоянная Планка. Продолжим выкладки, не сильно отклоняясь от рассжудений автора, и вычислим новую массу ЧД:

 []

 []

   По этой массе, равной исходной массе плюс её приросту, найдем новый гравитационный радиус ЧД:

 []

 []

   Здесь ΔRs и есть прирост гравитационного радиуса. Можно сравнить, у автора получился точно такой же результат [1]:

 []

   Однако, как мы предположили выше, есть хитрость, которая состоит в том, что объем и радиус сферы однозначно взаимосвязаны. А, поскольку объем информации пропорционален площади сферы, то, выходит, он также должен быть пропорционален и её объему. Новый объем сферы черной дыры после поглощения бита информации равен сумме исходного объема и его прироста за счет увеличения радиуса:

 []

   И её площадь

 []

   Исходные объем и площадь сферы равны:

 []

   Пропорции увеличения объема и площади заметно не равны. Площадь увеличилась в:

 []

   Объем увеличился в:

 []

   Самое интересное и вместе с тем опасное - это трактовки полученных результатов. Как видим, при увеличении информации на 1 бит площадь возрастает как квадрат, а объем - как куб некоторой величины. Пока неясно, что это означает. Рассмотрим два параметра сферы:

 []

   Пусть радиус сферы увеличится в k раз, тогда:

 []

   Первая очевидность, бросающаяся в глаза, это степенная пропорциональность. При увеличении информации в черной дыре её площадь и объем увеличиваются согласно соответствующим степеням увеличения радиуса. Но почему возникает такая интересная связь - пропорциональность между информацией и площадью поверхности черной дыры (горизонта)? На каком основании сформулировано правило:
   "Добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу". [1]
   Выше мы (и автор книги) нашли, что прирост радиуса черной дыры от добавления к ней 1-го бита составил:

 []

   И, как утверждается, эта величина приводит к увеличению площади горизота, равной, в сущности, константе, поскольку правило имеет вид универсальной формулировки. Однако, это не совсем очевидное утверждение. Действительно, Rs - это радиус некоторой черной дыры. Но эта величина определённо не является константой. Поэтому на один бит информации прирост площади горизонта вследствие прироста радиуса черной дыры, вполне может быть в каждом случае разным! Попробуем вычислить его, найдя разницу исходной площади и увеличившейся:

 []

   Раскрываем скобки и производим тривиальные преобразования

 []

 []

   Согласно сформулированному правилу, это уравнение показывает, что при увеличении информации в черной дыре, её площадь увеличивается на величину, все-таки зависящую от размеров черной дыры. Вынесем константы за скобку:

 []

   Оценим значение правого слагаемого в скобках, оставив только их порядок:

 []

   К нашей радости, одна из неудобных величин в скобках оказалась очень малой по сравнению с единицей. Учитывая порядок малости, отбрасываем это слагаемое, поэтому:

 []

   Выражение предельно упростилось, с подавляющей точностью превратившись в константу. Оценим и её величину:

 []

   Это и есть прирост площади горизонта при добавлении к черной дыре одного бита информации. Для сравнения с ним вычислим квадрат планковской величины:

 []

   Конечно, как видим, в смысле пропорциональности правило выполняется с удовлетворительной точностью, поскольку все-таки 2,6 заметно не равно 20. Различаются они почти в 8 раз. Поэтому тезис Бекенштейна является более точным:
   "Энтропия черной дыры, измеренная в битах, пропорциональна площади ее горизонта, измеренной в планковских единицах".[1]
   При этом коэффициент пропорциональности является константой, равной примерно 7,7:

 []

   Конечно, можно, как автор книги сказать более кратко, но это будет совсем уж неточно:
   "Информация равна площади" [1]
   Правильнее было бы сказать, что информация в 8 раз больше площади.
   Однако, задачу нельзя считать решенной окончательно, не рассмотрев все эти же выкладки теперь уже в отношении объема черной дыры. Для этого сравним исходный и конечный объемы, где ΔV, VΔ и V - прирост объема черной дыры, её увеличившийся объем и исходный объем, соответственно:

 []

 []

   Вынесем, какие возможно, константы (дробь) за скобку:

 []

   Упростим выражение:

 []

   Вспомним вновь о порядке малости и удалим лишние слагаемые во внешних скобках:

 []

   Оценим величину полученного выражения и сравним его с планковской площадью:

 []

   Этому выражению можно дать весьма простую, наглядную трактовку. Как видим, это параллелепипед с площадью основания, равной планковской площади и высотой, равной примерно 4 радиусам черной дыры. Другими словами, добавление одного бита к черной дыре увеличивает её объем пропорционально её радиусу, умноженному на планковскую площадь. В сущности, это должно быть понятно, ведь с ростом радиуса объем сферы растет медленнее площади её поверхности ровно в треть радиуса раз:

 []

   Откуда:

 []

   В нашем случае подобное же правило выполняется и для приращений этих величин вследствие добавления к черной дыре одного бита информации:

 []

   Откуда:

 []

   Получилось, что и площадь горизонта черной дыры и её объём при добавлении одного бита информации возрастают строго синхронно и с четко определенной пропорциональной зависимостью. Другими словами можно сказать, что в этом случае увеличение площади черной дыры и её объема пропорциональны планковской площади с коэффициентами, равными примерно 7,7 и 3,85Rs, соответственно. Конечно, можно было бы сказать, что главный ответ по-прежнему неясен: почему площадь дыры пропорциональна информации в единицах планковской площади:
   "Каким-то образом в принципах квантовой механики и общей теории относительности скрыта загадочная связь между невидимыми битами информации и кусочками площади планковского размера" [1]
   Однако, с учетом приведенных вычислений правильнее было бы задать вопрос в более развернутом виде: почему они различаются в 7,7034 раза. Поскольку все-таки она ей не равна, в математическом смысле сформулированное правило не совсем точное:
   "если взять черную дыру земной массы (размером с клюквину) или черную дыру в миллиард раз массивнее Солнца? Попробуйте -- с числами или с формулами. Каков бы ни был исходный размер черной дыры, всегда выполняется правило" [1]
   И более того, полученный весьма абстрактный коэффициент несколько меняет интригу: уж не новая ли это мировая космологическая или информационная константа?
   В приведенных вычислениях использованы следующие значения величин:
   Постоянная Планка, h = 6,6162х10-34
   Шварцшильдовский радиус черной дыры, Rs = 3000 м
   Скорость света, с = 299'792'458 м/сек
   Гравитационная постоянная, G = 6,67384x10-11
    
   Литература
   1.Сасскинд Леонард, Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики. -- СПб.: Питер, 2013. -- 448 с.

 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com Т.Мух "Падальщик 2. Сотрясая Основы"(Боевая фантастика) А.Куст "Поварёшка"(Боевик) А.Завгородняя "Невеста Напрокат"(Любовное фэнтези) А.Гришин "Вторая дорога. Путь офицера."(Боевое фэнтези) А.Гришин "Вторая дорога. Решение офицера."(Боевое фэнтези) А.Ефремов "История Бессмертного-4. Конец эпохи"(ЛитРПГ) В.Лесневская "Жена Командира. Непокорная"(Постапокалипсис) А.Вильде "Джеральдина"(Киберпанк) К.Федоров "Имперское наследство. Вольный стрелок"(Боевая фантастика) А.Найт "Наперегонки со смертью"(Боевик)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Э.Бланк "Колечко для наследницы", Т.Пикулина, С.Пикулина "Семь миров.Импульс", С.Лысак "Наследник Барбароссы"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"