Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Парадоксы параллельности. Часть 1

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    В искривленном пространстве отсутствует понятие параллельных линий. Под параллельным переносом вектора подразумевается эквиугловой перенос, то есть, перенос с сохранение угла между вектором и геодезической переноса.
    Paradoxes of parallelism. In curved space, there is no concept of parallel lines. Parallel translation of a vector means equiangular translation, that is, translation with preservation of the angle between the vector and the translation geodesic

   Оглавление
   Сущность параллельности
         Определение прямой линии
         Смысл геодезической
         Сущность параллельного переноса
   Использование понятия параллельного переноса
         Перемещение по контуру
         Перемещение зависит от пути
         Произвольный путь переноса
   Заключение
   Литература
  
   Сущность параллельности
  
   В ряде источников, учебников, рассматривающих вопрос определения внутренним, двухмерным наблюдателем кривизны собственного пространства, можно встретить утверждение, что он способен сделать это без привлечения понятия пространства большей размерности, так называемого пространства погружения:
   "... внутренняя кривизна пространства-времени, т.е. кри-визна, при определении которой не только не используется по-гружение в какое-либо гипотетическое плоское многообразие более высокой размерности, но даже не допускается мысли о возможности такого погружения" [36, т.1, с.411].
   "В двумерном случае можно представить кривое пространство вложенным в трехмерное пространство. Однако пространство данной размерности можно изучать и непосредственно, по внутренним свойствам, не обращаясь к идее вложения. ... Итак, отличие кривой поверхности от плоской можно обнаружить, исследуя геометрию самой двумерной поверхности, без вложения" [29, с.108].
   В качестве одного из способов такого определения кривизны изнутри чаще всего рассматривается явление поворота, изменение направления вектора при его параллельном переносе по замкнутому контуру:
   "Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. Изменение направления вектора зависит от исходного направления вектора, а также от ориентации двумерной поверхности, в которой расположен этот замкнутый контур; при заданной ориентации изменение направления вектора пропорционально площади, охватываемой замкнутым контуром. [14, с.82].
   Обратим внимание на то, что и название процедуры переноса и её описание содержат слово "параллельный". Однако в искривлённом пространстве такого понятия не существует по определению. В искривлённом пространстве нет и быть не может параллелей, параллельных прямых в традиционном, евклидовом смысле этих понятий. Примечание: далее в цитатах мы будем заменять уравнения и специфические обозначения переменных многоточием там, где они не влияют на смысл утверждений в цитатах и выводы в них, но усложняют текст.
   Под традиционным, евклидовым смыслом следует понимать их определение, данное Евклидом:
   "23. Параллельные **) суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно ***), ни с той ни с другой "стороны" между собой не встречаются ****) (17).
   **) ... т.е. прямые, проведённые друг подле друга.
   ***) ... буквально "в неопределённость". Греки избегали нашего понятия "бесконечность".
   ****) ... совпадают, сталкиваются, встречаются друг с другом, но ни в коем случае не пересекаются" [28, с.14].
   В плоском пространстве Евклида все прямые, параллельные одной прямой, также параллельны друг другу. Безусловно, такое определение параллельности можно назвать фундаментальным, поэтому все авторы практически без исключения в дальнейшем используют его строго в таком же виде:
   "... под параллельным прямым мы понимаем прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек" [24, с.459].
   "... две прямые называются параллельными, если они, находясь на одной плоскости, не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки)" [12, с.6].
   На похожее описание этого определения ссылается сайт Википедии:
   "В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются ..." [40].
   Такое же определение находим ещё по одной ссылке:
   "... прямые, принадлежащие одной плоскости, если они не имеют общих точек или совпадают" [41].
   Заметим, что здесь понятие параллельности необоснованно, на наш взгляд, расширено на совпавшие, слившиеся в одну прямые. Напротив, в сферическом пространстве, на сфере параллельных друг другу линий, как указано в следующих трёх цитатах, нет вообще и даже нет простого аналога:
   "В отличие от прямых, два больших круга всегда пересекаются - нет аналога параллельных прямых!" [37, с.12].
   "... определяющим свойством евклидовой (плоской) геометрии является постулат параллельности: изначально параллельные прямые остаются параллельными навсегда. ... в искривленном пространстве это не так; на сфере ... изначально параллельные геодезические со временем пересекутся" [3, с.86].
   Обратим внимание на фрагменты "изначально параллельные... со временем" и используемое в таком же контексте "некоторое удаление". По этому поводу возникает резонный вопрос. До какой точки на геодезической, на меридиане сферы эти понятия "изначально" или "некоторое удаление" сохраняются, действуют? На каком удалении от экватора? Этот вопрос не освещается в литературе явно, но указанное, возникающее нарушение параллельности описывается повсеместно. На самом деле на искривлённой поверхности вообще не существует точек, где эти условные прямые параллельны.
   "Из двумерной аналогии - геометрии на сфере - видно, что понятие параллельных линий, содержащееся в пятом постулате Евклида, в сферической геометрии вообще теряет всякий смысл, ибо любая дуга большого круга, проходящая через точку C, лежащую вне круговой линии АВ, обязательно пересекает АВ, притом в двух точках" [23, с.15].
   Аналогами прямых вообще в таких пространствах определены геодезические, линии наименьших расстояний. Именно эти линии считаются в этих пространствах прямыми линиями, хотя на самом деле они являются линиями кривыми. Попытки ввести евклидово понятие прямой линии на искривлённой поверхности неизбежно ведёт буквально к рекурсии: определению параметра через сам определяемый параметр.
  
   Определение прямой линии
  
   Очевидно, одними из первых, если не самыми первыми математическими, геометрическими определениями прямой линии, а также плоскости - плоской поверхности и параллельных прямых, являются определения, данные Евклидом:
   "4. Прямая (4) линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней...
   7. Плоская поверхность (6) есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней" [28, с.11].
   Определение прямой линии Евклидом можно было бы признать "автономно неполным". Действительно, окружность вполне можно считать "равно расположенной" относительно точек на ней. Исключение окружности из определения обеспечивает второй постулат, который исключает её из определения буквальным уточнением, что эта линия незамкнута, то есть, имеет концы. Однако самым веским доводом было бы дополнение первого постулата указанием, что эта проведённая прямая линия - единственная.
   "1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.
   2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой ..." [28, с.14].
   Нам неизвестны строгие, обоснованные возражения против определения прямой Евклида, но известно другое подобное определение прямой линии:
   "Параллельное перемещение может дать возможность ввести понятие о прямой линии. В каждой точке кривой эта кривая имеет определенное направление, характеризуемое направлением бесконечно малого вектора" [56, с.38].
   Здесь понятие прямой линии выводится из произвольной линии, кривой в общем случае. Сразу же отметим, что определение опирается на взаимосвязанные и пока сами плохо определённые параметры: параллельность, направление и, вообще-то, вектор, который уже представляет собой отрезок прямой линии.
   "Возьмем в некоторой точке ... кривой бесконечно малый вектор, определяющий направление в этой точке кривой ...; переместим параллельно этот бесконечно малый вектор в какую-либо точку" [56, с.38].
   "Таким образом, вместо того, чтобы говорить о направлении кривой в точке P, мы можем теперь говорить о направлении бесконечно малого вектора в точке Р" [56, с.38].
   Несомненно, в указанной точке даже бесконечно малый вектор имеет какое-то направление, и это направление мы можем выбрать совпадающим с направлением кривой.
   "Кривую, обладающую тем исключительным свойством, что направление параллельно перемещенного в любую точку P указанного только что вектора совпадает с направлением кривой в этой точке, условимся называть прямой линией; прямая линия отличается от всех других кривых тем исключительным свойством, что направление ее вдоль по самой линии параллельно перемещается" [56, с.38].
   Что значит "параллельно перемещается"? Вообще, что такое параллельное перемещение по поверхности, на которой параллельные линии отсутствуют по определению? На таких поверхностях возможно только эквиугловое перемещение, то есть, перемещение с сохранением угла между переносимым вектором и линией переноса. Здесь не использовано явно понятие касательных, которое мы назвали некорректным и даже ошибочным, но, видимо, оно подразумевалось. Приведённое определение прямой линии и "исключительное" свойство выглядят несколько противоречиво или неполно.

0x01 graphic

Рисунок из работы [56]

   "... остановимся на ... таком параллельном перемещении, которое оставляет неизменным угол двух параллельно перемещающихся по одной и той же кривой векторов ..." [56, с.36].
   Замечаем неточность, двусмысленность. В данном определении явно читается, что неизменным остаётся угол ω между двумя связно перемещаемыми векторами. Такое определение параллельного переноса вектора кардинально отличается от того, какое используется в исключительном большинстве иллюстраций поворота вектор при таком переносе. Однако ни при каком перемещении этот угол не меняется.
   "Само собой разумеется, что для различных определений параллельного перемещения мы будем иметь и разное определение прямых линий" [56, с.38].
   Правда, выше даётся описание традиционного параллельного перемещения:
   "Чтобы дать более ясное представление о параллельном перемещении, рассмотрим это понятие для обычной эвклидовой плоскости, определив параллельное перемещение вектора как обычный параллельный перенос вектора из одной точки в другую ... перенос, при котором величина вектора не меняется, а прямые линии, на которых лежит вектор до и после перемещения, остаются параллельными (в обычном смысле). ... Нетрудно видеть, что, при только что установленном определении параллельного перемещения, угол для двух параллельно перемещающихся векторов не меняется, равно как не меняется и величина параллельно перемещающегося вектора; таким образом, эвклидово параллельное перемещение характеризует пространство, являющееся частным случаем пространства Римана" [56, с.37].
   И не только его. Указанное параллельное перемещение не изменяет угол между векторами ни в каком пространстве.
   "Возьмем в некоторой точке Po нашей кривой бесконечно малый вектор, определяющий направление в этой точке кривой ...; переместим параллельно этот бесконечно малый вектор в какую-либо точку P кривой, тогда, в большинстве случаев, направление перемещенного в точке Р вектора не будет совпадать с направлением нашей кривой в этой точке. Кривую, обладающую тем исключительным свойством, что направление параллельно перемещенного в любую точку P указанного только что вектора совпадает с направлением кривой в этой точке, условимся называть прямой линией; прямая линия отличается от всех других кривых тем исключительным свойством, что направление ее вдоль по самой линии параллельно перемещается. Само собой разумеется, что для различных определений параллельного перемещения мы будем иметь и разное определение прямых линий. Обратимся теперь к эвклидовой плоскости. В ней, очевидно, будут иметься кривые, не обладающие тем свойством, что их направление вдоль по кривой перемещается параллельно ..., но будут и определенные выше прямые линии, каковые" [56, с.38].
   Здесь следует указать на необходимость определения также и понятия направление. В противном случае приведённое определение прямой линии довольно легко применить и "прямым" на сфере, поскольку описываемый в литературе параллельно переносимый вдоль геодезической на сфере вектор, его "направление" всегда совпадает с геодезической. Однако, большие круги на сфере, геодезические прямыми как таковыми не являются.
  
   Смысл геодезической
  
   Аналогами прямых в искривлённых пространствах определены, "назначены" геодезические, линии наименьших расстояний, считающиеся в этих пространствах прямыми линиями, но на самом деле являющиеся линиями кривыми. Попытки ввести понятие прямой линии на искривлённой поверхности неизбежно ведёт буквально к рекурсии: определению параметра через сам определяемый параметр.
   Рассмотрим подробнее смысл, вкладываемый в понятие геодезической линии, определение геодезических.
   "... можно однозначно определить линию, являющуюся кратчайшей между двумя точками. Например, на поверхности сферы этими линиями являются большие круги. Такие кратчайшие линии называются геодезическими" [15, с.107].
   Видим, что в данном определении решающим, определяющим свойством названа длина линии.
   "... геодезическая линия, определяется как кривая, проходящая через две данные точки, расстояние вдоль которой между этими точками меньше, чем расстояние по любой другой кривой, проходящей через эти же точки" [14, с.60].
   Как видим, здесь уточняется, что геодезическая не только кратчайшая, но и определена как кривая линия. Правда, следовало бы уточнить, с чьей точки зрения. Нередко рассматриваются так называемые "плосковитяне" - обитатели этого искривлённого двухмерного пространства. По всей видимости, для них "кривая геодезическая" видна столь же прямой, как и обычная евклидова прямая, и может быть определена точно так же, как в его геометрии.
   "... в "искривленном" неэвклидовом пространстве - времени, тела двигаются по так называемым геодезическим линиям, которые представляют четырехмерное, т.е. пространственно-временное обобщение "прямейших" линий неэвклидовой геометрии" [27, с.31].
   "... объекты движутся в искривленном пространстве - времени по наикратчайшим путям. Такие пути именуются геодезическими линиями. Геодезическая - это обобщение понятия прямой линии в плоском пространстве" [33, с.80].
   "Геодезическими называются такие кривые, которые на данной поверхности (локально) служат "кратчайшими маршрутами" [43, с.172].
   "Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жестко связанными с телом" [45, с.111].
   Последнее определение несколько выпадает из общего контекста. Действительно, на первый взгляд следовало бы ожидать, что движение по более короткой линии, каковой и является геодезическая, должно потребовать меньшего времени.
   "Геодезическая - это кривая, касательная которой переносится параллельно самой себе, то есть это "максимально прямая" кривая" [11, с.29].
   Здесь просматривается бесконечно малый вектор из определения прямой, эквивалент касательной, переносимый параллельно, тождественно сохранению "направления". Не удивительно, что и здесь геодезическая отождествляется с прямой линией, правда, максимально прямой. Однако есть здесь и сомнительный момент. На искривлённой поверхности нет и быть не может евклидовых прямых, каковыми по определению являются касательные к ней. Кроме того, касательная не принадлежит искривлённой поверхности и может переноситься только в пространстве погружения, за пределами поверхности. А в таком пространстве понятие параллельности имеет чёткое, евклидово определение.
   Есть и более замысловатое определение, из которого, тем не менее, следует, что геодезическая всё-таки не является прямой линией, это линия кривая, хотя и "прямейшая":
   "Геодезичесской линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Таким образом, смысл этого определения в том, что оно выделяет класс "прямейших" линий на поверхности" [47, с.379].
   Уточним, что геодезическая кривизна линии отличается от кривизны поверхности и означает, что кривая лежит в плоскости, ортогональной к поверхности в данной точке.
   "... геодезическая линия, соединяющая две точки, является не только линией со стационарным значением длины, но и "наипрямейшей" линией" [35, с.231].
   Вновь приводится компромиссное название - "наипрямейшая линия". Но, если "наикратчайшая" не вызывает никаких нареканий, то "наипрямейшая", несомненно, является определением условным и, по большому счёту неверным.
   "Пусть касательный вектор к кривой l в точке s0 переносится параллельно вдоль этой кривой в точку s. Если перенесённый таким образом из точки s0 в произвольную точку s касательный вектор оказывается равным касательному вектору к кривой l в точке s, то такая кривая называется геодезической линией" [22, с.59].
   Отметим спорность такого определения. Касательная к геодезической в искривлённом пространстве является фрагментом этой геодезической, сливается с нею. Поэтому можно было сразу сказать: если описанные вектор и касательный вектор совпадают в каждой точке линии, то линия, кривая является геодезической. В искривлённом пространстве параллельность отсутствует по определению, вернее, такого корректного определения не существует. Обычно рассматриваемая в подобных примерах касательная, евклидова прямая линия не принадлежит искривлённому двухмерному пространству, а имеет с ним только одну общую точку. Перенос касательного вектора производится не по искривлённой двухмерной поверхности, а в пространстве погружения E3, в трёхмерном пространстве Евклида. Согласно разным описаниям, касательная всегда меняет направление в этом пространстве, то есть, определённо перенос не является параллельным. При действительно параллельном переносе вектора в плоском пространстве погружения по любой линии поворота и изменения вектора не происходит. В конечной точке искривлённого пространства после переноса криволинейный вектор меняет своё направление только при эквиугловом переносе и только по геодезической, линии наименьшей длины.
   "Геодезическая линия является аналогом прямой линии в евклидовом пространстве" [22, с.60].
   Их аналогия заключается только в одном: это линии наименьшего расстояния.
   "Геодезической линией называется кривая, направление которой во всех точках постоянно" [42, с.64].
   Понятие направления само нуждается в корректном определении. Интуитивное представление о нём явно не соответствует представлению о геодезической, её определению. Например, направление параллели на глобусе выглядит таким же постоянным, как и направление главной параллели - экватора.
   "Как и в римановом случае, геодезической называется гладкая кривая ... касательный вектор которой переносится вдоль этой кривой параллельно" [17, с.27].
   "В искривленном пространстве мы можем рисовать линии, которые являются "как можно более прямыми", требуя параллельного переноса касательного вектора. Они называются геодезическими" [9, c.156].
   "... понятия прямой (геодезической) линии. Прямой мы будем называть линию, направление которой не меняется, иначе говоря, касательная к которой при переходе от точки к точке вдоль кривой испытывает бесконечно малое параллельное смещение" [21, с.122].
   Весьма спорные утверждения. Манипуляции с бесконечно малыми величинам требуют большой аккуратности. Конечное число бесконечно малых является бесконечно малой величиной, однако, не нулевой. Бесконечно большое количество бесконечно малых - величина неопределённая, то есть, может быть чем угодно. Возможно, в цитате под бесконечно малым смещением подразумевается его отсутствие, то есть, отсутствие, нулевое изменение направления. Иначе, что будет с бесконечно длинной прямой линией?
   "Дуги окружности большого круга образуют "кратчайшие" пути (так называемые геодезические кривые) на поверхности сферы; эти дуги лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы" [44, с.66].
   Из этих цитат, рассмотренных выше, возражений не вызывает только последняя, где геодезическая отождествляется с кратчайшей линией. Таким образом, из приведённых определений непротиворечивой мы можем однозначно, безусловно, признать только одну характеристику геодезической: это наикратчайшая линия между двумя точками на искривлённой поверхности. Называть её прямой неверно. Компромиссное название "наипрямейшая" линия можно применять условно, всегда помня, что по большому счёту, в реальности эта линия, геодезическая не является прямой. Визуально такая "наипрямейшая" линия, геодезическая в искривлённых пространствах оказывается линией кривой. Визуальность означает "взгляд" из пространства большей размерности, чем рассматриваемое, то есть, из пространства погружения, в данном случае трёхмерного пространства Евклида E3. В этой связи заметим также, что пятый постулат Евклида является прямым следствием трёх предыдущих, без четвёртого, являющегося, как считается, следствием первых трёх. Производность пятого постулата означает, что нарушение, например, третьего постулата делает его недействующим. Собственные пятые постулаты в искривлённых пространствах отрицательной или положительной кривизны ни в каком смысле не эквивалентны пятому постулату Евклида, поскольку в этих пространствах нарушается, отсутствует третий постулат. Отсутствие этого важного третьего постулата и делает возможными (эквивалентные) формулировки об отсутствии или множестве аналогов прямых, проходящих через внешнюю точку и параллельных заданной.
   Отметим, что даже при явном и признаваемом отсутствии параллельности, термин этот всё-таки используется как описание реального взаимного расположения линий:
   "Две геодезические, первоначально параллельные и отстоящие друг от друга на ... ("отклонение геодезических"), на некотором удалении s уже не будут параллельными" [36, т.1, с.63].
   Однако такая "первоначальная параллельность" является противоречием. Поскольку любой прямолинейный отрезок на сфере - это кривая линия, называть их параллельными нельзя. Фактически параллельными кривыми линиями могут быть лишь отрезки нулевой длины, точки, например, на экваторе.
   Например, в "Притче о двух путешественниках" описывает движение двух путешественников A и B от экватора на северный полюс. Изначально они находятся вдоль экватора на некотором удалении друг от друга. Далее,
   "... начав двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, обнаруживают тем не менее, что приближаются друг к другу, пройдя некоторое расстояние" [52, с.239].
   Здесь вновь упоминается то самое неясное "некоторое расстояние", на котором становится заметным нарушение параллельности при движении.
   Ещё в одном примере путешественники имеют имена, часто используемые в иллюстрациях в квантовой механике:
   "... предположим, что ... есть два человека, идущих от экватора к северному полюсу, Алиса и Боб. Как видите, Алиса и Боб движутся навстречу друг другу" [7, с.196].
   Здесь явно не указано, что в начале пути путешественники идут параллельными курсами, но факт их встречного движения свидетельствует об отсутствии параллельности. На приведённом к описанию рисунке показана соответствующая сфера и траектории путешественников.
   В следующей работе для демонстрации искривлённого пространства рассмотрен глобус и конкретный город на экваторе. Рассматриваются две геодезические от экватора до полюса:
   "Переместимся теперь на восток от Кито на нашем глобусе на несколько сантиметров и построим новую прямую линию (часть большого круга, геодезическую), которая на экваторе будет в точности параллельна проходящей через Кито. Так же, как и первая, эта линия пройдет через северный полюс. Причиной, которая заставляет изначально параллельные прямые пересекаться, является кривизна нашего глобуса" [53, с.105].
   Как видим, здесь так же отмечено традиционное явление: пересечение "изначально" параллельных прямых. Похожая картина описывается с использованием грузовиков:
   "Допустим, оба грузовика едут на север по соседним меридианам (а это геодезические линии). Оба они направляются на север и сначала движутся параллельно друг другу, но чем дальше на север они забираются, не отклоняясь от своих меридианов, тем ближе друг к другу оказываются. В конце концов они столкнутся на Северном полюсе" [51, с.329].
   Вместо путешественников или грузовиков могут рассматриваться муравьи, ползущие по сфере "параллельно" от некоторого подразумеваемого экватора на соответствующий условный северный полюс:
   "На поверхности сферы с положительной кривизной расстояние между муравьями уменьшается - то есть соседние геодезические сходятся" [6, с.14].
   В этом же цитируемом источнике, приведены подобные траектории на плоской поверхности и на поверхности отрицательной кривизны.
  
   Сущность параллельного переноса
  
   Рассмотрим одно из описаний сущности параллельного переноса в следующей цитате, считая при этом, что она содержит подмену понятий. Разобьём цитату на фрагменты, приведя комментарии к каждому из них.
   "Выведем теперь одно весьма существенное свойство параллельного перенесения векторов на поверхности, сближающее это перенесение с обычным" [47, с.370].
   Отметим, что речь идёт о переносе векторов по искривлённой поверхности. Оставим пока без комментария формулировку "обычное перенесение", считая её неясной; "обычное" - это какое? перенесение на плоской поверхности?
   "А именно, если в начальной точке t = 0 задать не один вектор a0, а рассмотреть всевозможные касательные к поверхности векторы и подвергнуть их затем все параллельному перенесению вдоль кривой на поверхности, то длины этих векторов и углы между ними сохраняются без изменения" [продолжение цитаты].
   Очевидно, во-первых, все эти векторы переносятся независимо друг от друга; во-вторых, ни один из векторов не принадлежит поверхности переноса, имеет с нею только одну общую точку, поскольку находится в касательной плоскости. По сути, каждый вектор переносится параллельно самому себе в пространстве погружения, в данном случае, в пространстве Евклида E3. Сразу же заметим как очевидное: такой перенос в плоском пространстве, действительно, никак не меняет векторы.
   "Другими словами, если представлять себе, что касательная плоскость к поверхности в начальной точке t = 0 образована всевозможными векторами, касательными к поверхности в этой точке, то ..." [продолжение цитаты].
   Да, это очевидно. В любой точке искривлённой поверхности без излома возможна только одна касательная плоскость, следовательно, все касательные векторы в этой точке обязательно лежат в касательной плоскости в этой же точке:
   "... при параллельном перенесении этих векторов касательная плоскость перемещается как твердое тело" [продолжение цитаты].
   Напомним, что перенос векторов происходит в плоском трёхмерном E3 пространстве погружения Евклида, что явно видно в описании процесса, поэтому линия переноса не оказывает никакого влияния на взаимное расположение векторов. Линия может и не принадлежать какой-либо заранее заданной двухмерной поверхности и может иметь любую самую замысловатую, трёхмерную форму. При этом перенос в трёхмерном пространстве погружения в общем случае также не является параллельным.
   "... (совпадая последовательно с касательными плоскостями во всех точках пути перенесения)" [окончание цитаты].
   Все описанные векторы всегда имеют общую точку своих начал и по определению лежат в одной плоскости - касательной. Понятно, что эта плоскость всегда может быть к чему-либо касательной этой общей точкой векторов; она может быть касательной к любой кривой или поверхности. Сразу же следует вывод, что описанный процесс ничего не проясняет в процессе переноса по искривлённой поверхности векторов, лежащих на ней и принадлежащих этой поверхности. Подмену понятий мы видим в том, что описан процесс переноса касательных векторов в плоском, трёхмерном E3 пространстве Евклида, однако заявлено выведение свойства переноса на двухмерной поверхности, хотя и отмечается различие переноса векторов, лежащих на искривлённой поверхности, от переноса векторов, лежащих на плоскости.
   Итак, можно сказать, что сущность параллельного переноса вектора многими исследователями сводится к его переносу вместе с касательной плоскостью, находящейся в трёхмерном евклидовом пространстве погружения E3. При этом многие авторы изображают вектор вообще выходящим за пределы пространства, в котором он якобы перемещается, либо изображают его прямой линией, что не соответствует его кривизне в этом пространстве. При этом такие "параллельные" линии имеют важную особенность: параллельные заданной, они не параллельны друг другу.
   Кроме того, следует указать на пренебрежение малыми величинами. Манипуляции с бесконечно малыми величинами используют многие авторы. Однако большое количество малых величин в некоторых случаях имеет вполне весомое, конечное значение.
   "Исходя из произвольной точки M, проделаем параллельное обнесение вектора по замкнутому пути с возвращением в прежнюю точку M. В случае абсолютного параллелизма мы возвращаемся в точку M с прежним значением вектора. (Действительно, перенесение от пути в этом случае не зависит, так что результат обнесения по замкнутому контуру будет таким же, как и тогда, когда весь этот контур стянут в одну точку M и когда, следовательно, переносимый вектор просто остается на месте.) [48, с.519].
   Термин "абсолютного параллелизма" относительно редкий, но довольно звучный. Известно сравнение пространства абсолютного параллелизма с кристаллической решеткой. В этом случае можно рассматривать его как аналогию параллелизма по Евклиду, то есть, как описание параллельных линий в плоском пространстве.
   Уклонение же параллельно обнесенного вектора от прежнего значения будет связано, таким образом, с нарушением абсолютного параллелизма. Это уклонение мы и будем рассматривать и покажем, что для бесконечно малого контура оно (в своей главной части) характеризуется тензором кривизны в точке M" [там же].
   Довольно странная формулировка: нарушение абсолютного параллелизма. Выглядит так: только что параллелизм был абсолютным, и вдруг он нарушился.
   "Чем больше отличаются координаты тензора кривизны от нулевых значений, тем резче отклоняется параллельно обнесенный вектор ... от первоначального вектора ... при прочих равных условиях. В этом смысле тензор кривизны характеризует в геометрии данного Ln степень нарушения абсолютного параллелизма" [48, с.530].
   Мы понимает это так: чем сильнее искривлена поверхность, тем больше изменение направления вектора. В этом случае степень нарушение абсолютного параллелизма следует, видимо, трактовать так же: это степень искривлённости поверхности. Но главная подмена понятий всё-таки по-прежнему в использовании термина "параллельный перенос" в отношении искривлённого пространства. В пространстве с "нарушенным абсолютным параллелизмом" не существует параллельных линий. Пространство с "не абсолютным параллелизмом" - это пространство без параллелизма.
  
   Использование понятия параллельного переноса
  
   Перемещение по контуру
  
   Несмотря на отсутствие в принципе каких-либо параллельных линий на искривлённых поверхностях, формулировка "параллельный перенос вектора" используется повсеместно. Можно отметить три группы таких описаний переноса:
   по замкнутому контуру, то есть, с возвратом переносимого вектора в исходную точку;
   по разным траекториям из одной точки в другую;
   перенос как таковой, включая бесконечно малый, и по произвольной траектории, нередко не являющейся геодезической.
   Наиболее наглядным информативным примером такого "параллельного" переноса можно назвать перенос по замкнутой траектории, по замкнутому контуру.
   "... параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру ... К тензору кривизны ... можно прийти ..., рассматривая параллельный перенос произвольного вектора (тензора) по замкнутому контуру" [23, с.67].
   В более широкой трактовке - перенос не только вектора, но и тензорных величин в общем смысле:
   "... ковариантную производную можно определить через операцию параллельного переноса тензорных величин в искривленном пространстве-времени" [23, с.48].
   Кривизна поверхности как таковая, ранее, как правило, хорошо представимая именно в таком обозначении, не требующая большого воображения, в приведённой трактовке определяется через понятие тензора кривизны, для оперирования которым, следует отметить, необходима специальная подготовка.
   "Другой путь введения тензора кривизны основан на рассмотрении операции параллельного переноса смещений (или тензоров) по замкнутому контуру" [23, с.49].
   Многие авторы для демонстрации кривизны поверхности, двухмерного пространства используют параллельный перенос вектора точно так же, не усложняя описание указанием на то, что это двухмерный тензор первого ранга. Но параллельный перенос в пространстве, в котором отсутствуют параллельные линии, невозможен.
   "Параллельное смещение по замкнутой кривой в искривленном пространстве" [5, с.23].
   Цитата является подписью к рисунку, который, следует заметить, сам по себе на самом деле ни в каком смысле нельзя признать доказательным: это весьма условная иллюстрация. Искажение вектора, его вращение при заявленном "параллельном переносе" выводится аналитически, а рисунок лишь крайне схематично и неубедительно показывает, как выглядит это искажение вектора.
   Следующая работа хотя и содержит иллюстрации, но мы её рассматриваем всё-таки как аналитическое описание процесса параллельного переноса, поскольку иллюстрации не содержат никаких доказательных элементов. Отметим, что в самой цитируемой работе даётся весьма обстоятельное описание сути параллельного переноса:
   "... рассмотрим параллельный перенос вектора вдоль замкнутой кривой. Для пояснения выкладок вначале выберем двумерную поверхность сферы" [49, с.102].
   Важно: в контексте можно увидеть неявное утверждение, что переносимый вектор лежит строго в "плоскости" поверхности, на двухмерной поверхности, по которой переносится, не "выглядывает" за поверхность сферы.
   В следующей цитате мы обратим внимание на важное замечание, хотя смысл его пока раскрыт недостаточно: это состав контура из трёх геодезических.
   "... в искривленном пространстве при параллельном переносе вектора вдоль замкнутого контура ... начальное и конечное направление вектора не совпадают... Параллельный перенос вектора A по замкнутому контуру (который в этом примере состоит из трех геодезических). В искривленном пространстве начальное и конечное направление вектора не совпадают" [16, с.54-55].
   Уточним: мы во многих случаях пишем без кавычек слова "параллельный перенос", относящийся к искривлённому пространству. Тем не менее, всегда следует помнить, что мы не считаем такой "перенос" параллельным на самом деле.
   В качестве наглядной демонстрации изменения направления вектора при параллельном переносе обычно приводится перенос вектора на поверхности сферы. В этом случае роль прямой играют дуги больших кругов сферы, получаемые сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр. Во всех таких примерах наглядно демонстрируется, что при параллельном переносе вектора по поверхности сферы в исходную точку его направление не совпадает с направлением исходного вектора.
   Рассмотрим более детально один из таких примеров очерчивания контура при параллельном переносе вектора на поверхности сферы, ожидая, что в нем никаких неясностей, неопределенностей нет.
   "На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом ... вокруг сферического треугольни-ка, все углы которого равны 90o. По возвращении в исходную точку вектор ... оказывается повернутым на 90o"[36, т.1, с.412].
   Рисунок мы не приводим, поскольку нас интересует сейчас главным образом терминология, использование фразы "параллельный перенос". Как видим в цитате, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор традиционно не совпал по направлению с исходным.
   Далее, в следующей цитате укажем на то, что вновь рассматривается вектор, не принадлежащий поверхности сферы:
   "Один из интуитивно понятных способов визуализировать это - рассмотреть перенос геометрического вектора на двумерной сфере, встроенной в трехмерное пространство ... В качестве вектора мы берем касательный вектор к сфере. Рассмотрите возможность переноса вектора по пути на поверхности сферы, обозначенной пунктирной линией, начиная и заканчивая на северном полюсе, сохраняя вектор касательным к поверхности и не вращая его. Это называется параллельным переносом вектора" [4, с.13].
   Утверждение: "касательный вектор к сфере" - некорректное в плане демонстрации параллельного переноса на по поверхности сферы. Такой вектор по определению не принадлежит двухмерному искривлённому пространству, поверхности сферы. Фактически этот вектор переносится не по поверхности сферы, не в её пространстве, а в пространстве погружения - трёхмерном E3 пространстве Евклида. Сразу же совершается главное нарушение правила "параллельного" переноса. Утверждается, что вектор "не вращается", но на самом деле
   "Из рисунка видно, что вектор после однократного завершения цикла не указывает в том же направлении, что и изначально. Параллельная транспортировка вектора из одной точки в другую на сфере, как правило, будет зависеть от пройденного пути" [4, с.13].
   Это однозначно указывает на то, что вектор повернулся именно в пространстве Евклида, то есть, никакого параллельного перемещения на самом деле не было. Присвоенное процессу название "параллельного переноса вектора" неверно. На самом деле, правильно - это брать касательный вектор к линии переноса. Но в этом случае вектор по определению должен совпасть с геодезической линией переноса, то есть, быть отрезком большого круга.
   "Кроме того, параллельная транспортировка по замкнутому контуру будет эффективно вращать вектор на некоторый угол. Это неотъемлемая черта искривленных пространств" [4, с.13].
   Вновь неверно. Поворот вектора, касательного к геодезической, при таком переносе исчезает автоматически. В исходной точке траектории существует единственная касательная, независимо от того, откуда она "пришла". Поворот возникнет только в том случае, если в точке излома, перехода с одного геодезического участка траектории на другой мы принудительно изменяем угол между вектором и траекторией. Пришёл он к этой точке касательным к предыдущему участку, а ушёл уже под углом к следующему участку траектории, но уже не касательным. Эта точка - единственная, в которой вектор был "перемещён" параллельно самому себе. На самом деле он не сдвинулся с места, просто его формально в точке излома "прикрепили" к следующему участку.
   "Ясно, что трехмерное встраиваемое пространство - это просто инструмент для нас, чтобы визуализировать сферу, и нет необходимости выполнять параллельный перенос и приходить к тем же выводам" [4, с.13].
   Признаемся, что смысл утверждения нам не вполне ясен. Кроме того под "трехмерным встраиваемым пространством", видимо, подразумевается традиционное понятие "пространства погружения".
   Далее приводим несколько цитат, некоторые без комментариев, чтобы просто показать использование фразы "параллельный перенос вектора" в искривлённом пространстве:
   "На рисунке ... показан результат параллельной транспортировки вектора по замкнутому треугольнику" [6, с.33].
   "Будем параллельно переносить вектор вдоль замкнутой кривой ..., пока не вернемся в исходную точку. При этом перенесенный вектор либо будет совпадать с исходным, либо будет от него отличаться" [15, с.218].
   Это верное замечание: вращение может быть (составная геодезическая), а может и отсутствовать.
   "В искривленном пространстве параллельный перенос но замкнутому пути, вообще говоря, не дает вновь исходного вектора. Например, рассмотрим поверхность сферы ..., на которой из геодезических кривых построен сферический треугольник" [20, с.54].
   Отметим важную деталь в цитате: здесь чётко указано, что треугольная траектория переноса "собрана" из геодезических.
   "Возьмем в точке A бесконечно малый вектор а, совпадающий по направлению с направлением дуги AB (прямой); переместим параллельно этот вектор по сомкнутой линии, образующей треугольник ABC; в точку А наш вектор вернется в виде вектора а' с уже изменившимся направлением" [56, с.42].
   "... в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. ... если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой" [34, с.349].
   "Обобщенное определение кривизны многомерной поверхности будет даваться через изменение вектора при его переносе вдоль замкнутой кривой, причем при таком переносе, который оставляет вектор параллельным самому себе" [55, с.193].
   "Когда вектор, параллельно перемещаясь из точки ... по замкнутой кривой ..., вернулся ... в ту же точку, то величина его, вообще говоря, изменится" [56, с.44].
   "... любой вектор ..., будучи параллельно перенесенным по замкнутой кривой, должен по возвращении в исходную точку принять свое первоначальное значение. Вообще же это может и не иметь места" [26, с.93].
   Перенос вектора по замкнутому пути в искривлённом пространстве всеми цитированными авторами рассматривается как параллельный, но в искривлённом пространстве это невозможно, в нём отсутствуют параллельные линии. Делается вывод, что вернувшийся в исходную точку вектор имеет иное направление, нежели первичный, переносимый.
  
   Перемещение зависит от пути
  
   Вариант "параллельного" переноса вектора из одной точки в другую, не совпадающую с исходной, призван показать, что в конечной точке векторы, пришедшие разными путями, не совпадают. Например, в работе [1, с.248] приводится рисунок, который в том или ином варианте воспроизводится во многих других работах, и который можно назвать традиционным и даже классическим вариантом иллюстрации:

0x01 graphic

Рисунок, иллюстрирующий зависимость параллельного переноса от траектории в искривленном пространстве [1, с.248]

   Согласно описанию рисунка, исходный вектор 1 из начальной точки N перемещается в конечную точку C по двум различным траекториям на сфере. При движении "напрямую" по траектории NC вектор 1 преобразуется в вектор 2. При движении в качестве альтернативы по траектории NEC он преобразуется в вектор 4. Как видно на рисунке векторы 2 и 4 различны. Традиционно считается, что угол между ними отражает кривизну поверхности сферы.
   Отмечается, что движение вектора происходило по геодезическим, большим кругам сферы. Это удобно, поскольку при таком переносе вектора легко обеспечить сохранность его длины и угла между ним и геодезической, который всегда остаётся неизменным.
   Следует отметить, что в данном случае векторы можно и нужно рассматривать как принадлежащие сферическому пространству, полностью лежащими на поверхности сферы. Однако всё-таки внесём некоторые уточнения. Если вектор начался на некоторой прямой линии, вообще-то геодезической, совпав с нею, то, вектор должен совпадать, сливаться с этой прямой линией на всём протяжении. Любой вектор на сферической поверхности должен изображаться визуально кривым отрезком, дугой, линией, предельно близкой к дуге большого круга, на которой находится любая из его точек, например, начальная. То, что векторы 1 - 4 на рисунке визуально выглядят прямыми линиями можно считать условностью, допустимой графической погрешностью. Основная мысль автора изложена вполне корректно.
   "Параллельно перенося произвольный тензор ... из произвольной точки A в точку D вдоль различных сторон параллелограмма ... можно убедиться в том, что тензор Римана-Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями (уравнение) ..." [23, с.67].
   Просто отметим, что в данном случае та же, можно сказать, тривиальная мысль о разных путях переноса вектора, трактуется в тензорных терминах. Очевидно, это более общий случай "параллельного" переноса. Заметим, что неявно такая трактовка "бросает тень" на этот тензорный формализм. Параллельный перенос в искривлённом пространстве принципиально невозможен. Доказательство такого переноса можно рассматривать как признак несостоятельности использованного для этого доказательства формализма, либо некорректности его использования.
   В следующей цитируемой работе даётся аналитическое определение параллельного переноса - "решение системы уравнений" - без явного указания, что перенос производится в искривлённом пространстве.
   "Решение системы уравнений ... с начальным условием ... называется параллельным переносом вектора ... из точки p в точку x(t) вдоль кривой γ. ... результат параллельного переноса вектора из точки p в точку q в общем случае зависит от кривой γ, соединяющей эти точки" [32, с.37].
   Собственно говоря, в данном случае мы просто полагаем, что геометрически исследуемый здесь "параллельный" перенос вектора в искривлённом пространстве выглядит именно так, как он изображается графически во множестве других работ. Главное в цитате - это полученный строго аналитически вывод о том, что при параллельном переносе результат зависит от пути, что полностью соответствует традиционному понятию пространства искривлённого.
   В следующей цитате мы вновь отметим важность для аналитических выкладок приходить к тем же выводам, что и геометрические, графические построения
   "... рассматривался все время параллельный перенос вектора вдоль заданной кривой, а не простой перенос вектора из точки P в точку P'. Последний же только в евклидовой геометрии не зависит от пути. Если же в общем случае перенести вектор ... вдоль замкнутой кривой в начальную точку, то перенесенный вектор ... будет отличен от начального вектора ..." [42, с.67].
   Здесь вывод имеет явную "лазейку": отличие перенесённого вектора от начального будет только в общем случае. Это, очевидно, позволяет отнести любые возражения по параллельному переносу к случаю частному, исключению. К этому частному случаю, следовательно, относятся все возражения по искажениям, изменениям векторов при параллельных переносах по сфере. В том числе и по замкнутой кривой:
   "Аналогично можно получить изменение ковариантных компонент вектора при параллельном переносе вектора вдоль замкнутой кривой" [42, с.68].
   Следует заметить, что выше озвученные наши возражения относятся не только к сфере, а и к некоторым другим криволинейным поверхностям, на которых при переносе вектора по любому пути результат, состояние вектора остаётся неизменным:
   "В общем случае результат параллельного переноса вектора существенно зависит от пути, по которому он выполняется. Этого не будет, только если компоненты вектора могут быть определены не только как функции s, но и как функции координат хk..." [42, с.75].
   Специфическую особенность переноса вектора Carroll формулирует следующим образом:
   "Решающее различие между плоскими и искривлёнными пространствами состоит в том, что в искривленном пространстве результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую будет зависеть от пути, пройденного между точками" [3, с.64] [2, c.104].
   Для визуальной демонстрации явления используется перемещение по двум разным путям на поверхности сферы. Рисунок мы не приводим, а процитируем только описание к нему:
   "Начните с вектора на экваторе, направленного вдоль линии постоянной долготы. Параллельно перенесите его до северного полюса по долготе очевидным способом. Затем возьмите исходный вектор, перенесите его параллельно экватору на угол θ, а затем переместите его вверх к северному полюсу, как и раньше. Ясно, что вектор, параллельно перемещённый по двум путям, прибыл в один и тот же пункт назначения с двумя разными значениями (повернутыми на угол θ)" [3, с.64] [2, c.104].
   Заключается, что два параллельных в начальной точке вектора прибыли в конечную точку повёрнутыми относительно друг друга. Однако это ошибочная ясность. Невозможно объяснить, почему на экваторе векторы параллельны, а после их приближения к полюсу вектора вдруг неожиданно "разбежались", "перенацелились" в разные стороны, причём на довольно большой угол. В какой момент, на каком удалении от экватора произошло это "распараллеливание" векторов? Наш ответ прост: вектора никогда не были параллельны, на поверхности сферы понятие "параллельности" не существует. Следовательно, никакого параллельного переноса также быть не может.
   Также вновь отметим, что вектора на рисунке в цитате изображены неточно. Они, во-первых, не могут быть прямолинейными отрезками на поверхности сферы, они на всём пути к полюсу должны совпадать с соответствующими линиями долготы. Во-вторых, они не могут выходить за поверхность сферы, как изображено на рисунке. Но сделаем на это скидку, считая, что это демонстрационное упрощение.
   Следующие две цитаты приводим, как и ранее, в качестве иллюстрации использования понятия "параллельного переноса", которое, как мы утверждаем, к искривлённым пространствам неприменимо:
   "Параллельный перенос вектора v вдоль пяти различных кривых (все они являются большими окружностями) ... Зависимость параллельного переноса от траектории движения. Показаны два различных пути от точки p к точке q, один из которых следует прямо по дуге большой окружности, а другой состоит из пары дуг больших окружностей, пересекающихся в некоторой промежуточной точке r" [44, с.263].
   "... на искривленной поверхности параллельный перенос вектора зависит от пути" [13, с.209].
  
   Произвольный путь переноса
  
   Некоторые авторы явно не указывают на характер линии, траектории переноса. Это, видимо, может быть как замкнутая траектория, так и различные пути переноса. Сама траектория также не обозначается как геодезическая.
   "Говорят, что вектор ... (тензор ...) переносится параллельно самому себе вдоль некоторого пути, если при переносе его абсолютное (истинное) приращение равно ... При произвольном переносе ... вектор получает приращение ... Поскольку векторы ... переносятся параллельно самим себе, то согласно определению параллельного переноса их абсолютное приращение ... равны нулю". [30, с.51].
   "Перенос вектора (тензора), при котором его компоненты в галилеевых координатах остаются неизменными, называется параллельным переносом" [30, с.48]
   Приведённые утверждения в цитируемом тексте следуют буквально друг за другом, поэтому считать их выдернутыми из контекста вряд ли разумно. По содержанию их явно можно назвать двусмысленными. Во-первых, неясно, что подразумевается под "произвольным переносом". Строго говоря, рассматриваемый нами параллельный перенос определённо не является произвольным: линия переноса обязательно должна быть геодезической. Это очень важное и строгое ограничение. В случае "произвольного переноса" вектор может изменить своё направление и при перемещении на плоскости. Во-вторых, под приростом при перемещении всегда подразумевается изменение направления вектора. Нередко подчёркивается, что пространства, в которых вектор изменяет свою длину, под эту модель переноса не подводятся (геометрия Вейля). Конечно, с математической точки зрения допустимо поворот вектора рассматривать, как его приращение, но всё-таки желательно уточнять, что модуль, длина вектора в рассматриваемых моделях как бы параллельного переноса всегда остаётся неизменным. Вместе с тем, заметим важную мысль в цитате: параллельным перемещением как противопоставление произвольному переносу следует называть только такое, при котором отсутствует приращение вектора.
   "Рассмотрим некоторую поверхность и на ней геодезический треугольник, т.е. треугольник, сторонами которого являются отрезки геодезических линий. Далее возьмем некоторый вектор ..., определенный в одной из точек стороны ..., образующий в этой точке со стороной ... угол ... и касающийся нашей поверхности. Будем переносить вектор ... параллельно самому себе вдоль сторон треугольника ..." [30, с.76].
   Отметим частичную корректность описания. Замкнутая траектория явно обозначена как набор геодезических. Но вновь сделано неверное утверждение: вектор касательный, то есть находится в пространстве погружения, следовательно, и его перенос производится в этом пространстве. Это пространство Евклида, поэтому при параллельном переносе вектор однозначно сохранит своё направление, по какой-бы траектории не перемещалась его начальная точка. Если же уточнить, что поверхности сферы касается не вектор, а плоскость, то перемещение вектора с такой плоскостью в принципе может быть параллельным лишь в особых случаях - движения вдоль большого круга. Кроме диаметральных, все касательные плоскости к сфере не параллельны друг другу.
   Все цитируемые выводы относятся к криволинейным пространствам, поскольку в декартовой системе координат пространства Евклида компоненты векторов при параллельном переносе не изменяются, и результирующий вектор после прохождения любого замкнутого контура совпадет с исходным вектором, причем в общем случае, как считается, искривленной, вернее, деформированной может быть и сама система координат (например, диаграммы Пенроуза). Но в искривленном пространстве, как указано далее:
   "... с помощью параллельного переноса вдоль геодезической получаются различные векторы Ui. ... если данный вектор переносить параллельно из точки P1 в точку Р2 вдоль некоторой кривой, соединяющей эти две точки, то результирующий вектор а*i зависит от формы этой линии, если пространство искривленное" [35, с.231].
   Вновь заметим некоторую двусмысленность формулировок в цитате: "некоторой кривой... формы этой линии". Если линия - геодезическая, то в этом пространстве она - единственная, наикратчайшая и форма её - единственная. Форма всей линии между точками может быть разной, только если эта линия - составная, состоит из нескольких геодезических.
   Перефразируя цитату кратко, можно сказать, что при перемещении вектора по замкнутой составной линии в искривлённом пространстве он изменяется. Подчеркнём: составной, поскольку по неразрывной геодезической вектор вернётся с неизменным направлением.
   Такое "вращательное" поведение вектора при параллельном переносе, как правило, и используется в качестве определения кривизны пространства:
   "Пространство (или многообразие) называется искривленным, если в нем невозможно ввести координатную систему, которая может считаться прямолинейной. ... Координатная система будет прямолинейной, если ее оси ... во всем пространстве представляют собой прямые линии; в этом случае две определенные оси ... в любой точке пространства пересекаются под одним и тем уже углом" [14, с.60].
   Да, с этим следует согласиться. Кстати, отметим неточность:
   "Меридианы и параллели на Земле как раз и являются большими кругами..." [14, с.60].
   На карте Земли (глобусе), как это ни странно звучит, формально, то есть, только на экваторе параллельными на самом деле считаются меридианы, а не параллели, несмотря на название, которые являются не большими кругами, а просто кривыми линиями.
   "Представление о параллельном переносе позволяет уяснить специфические свойства искривленного пространства. Если взять две точки в пространстве и вектор в одной из них, то можно построить вектор во второй точке, который параллелен вектору, заданному в первой точке" [14, с.62].
   Повторим, что это определённо выглядит противоречиво, когда речь идёт об искривлённом пространстве. Как построить параллельный вектор в пространстве, в искривлённом пространстве, в котором по определению параллельные линии невозможны?
   "... проведем через рассматриваемые точки геодезическую линию и совершим перенос исходного вектора вдоль геодезической линии, принимая во внимание, что угол между прямой линией и вектором при параллельном переносе остается постоянным, что вектор не поворачивается вдоль прямолинейного пути, а только скользит вдоль него и, наконец, что при параллельном переносе длина вектора не меняется"[14, с.62].
   Заметим вновь, параллельный перенос как таковой невозможен, поэтому остаётся только то, что "принято во внимание": эквиугловой перенос, перенос с сохранением угла. И вновь отметим неточность в цитате. При описанном "параллельном переносе" вектор неизбежно вращается в "сферической плоскости многообразия" по отношению к любой другой "прямой" на сфере. Собственно, это и приводит к изменению его направления, поскольку это вращение фиксируется при переходе с одной "прямой", геодезической на другую.
   "В точности такая же процедура может быть применена к параллельному переносу вектора вдоль замкнутого пути, образованного несколькими прямолинейными сегментами..." [14, с.62].
   К месту заметим, что при переносе вектора по замкнутой, единой геодезической на сфере в исходную точку в общем случае он возвращается, совершив полный оборот вокруг оси, на 360 градусов. Понятно, что любой замкнутый путь в общем случае (не состоящий из единственной геодезической) возможен только с переходом с одного "прямолинейного сегмента" на другой. Автоматически это и приводит к замалчиваемому вращению вектора.
   "... результат параллельного переноса вектора зависит не только от исходного вектора, но и от пути, по которому совершается перенос. ... Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия) ... приводит к новому вектору в начальной точке..." [14, с.62].
   Это верно, но вновь возразим против использования термина "прямая" в искривлённом пространстве. Обратим внимание также на существенный признак: изменение вектора при перемещении по замкнутому пути происходит только в случае "ломаной" геодезической.
   Ещё одна важная характеристика на многообразии обозначена как связность, обобщающая изменения при переносе касательного вектора:
   "Кривизна, наглядное представление о которой дает искривленная поверхность, является характеристикой другой геометрической конструкции на многообразии - связности, которая обобщает на искривлённые пространства параллельный перенос в плоском пространстве. ... параллельный перенос в искривленном пространстве зависит от пути, по которому он осуществляется" [31, с.30].
   Это очевидно: разных путей параллельного переноса вектора из одной точки в другую может быть сколько угодно. В плоском пространстве существует единственное направление, параллельное заданному в какой-то точке, поэтому результат переноса определяется только исходным вектором и не зависит от пути переноса, который может быть любым. Следующее описание процесса - безусловно, верное, но является описанием процесса, неверно названного параллельным переносом, хотя, заметим, возникло это описание буквально из ничего, без каких-либо логических обоснований.
   "Тогда, обобщая параллельный перенос на плоскости, параллельный перенос касательного вектора на искривлённой поверхности можно описать как перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и наикратчайшей остаётся неизменным" [31, с.30].
   Действительно, никаких упоминаний о неизменности угла до этого момента не было, а перенос вдоль геодезических, наикратчайших акцентирован именно здесь, поскольку ранее путь переноса никак не привязывался к геодезическим - это был просто путь, линия переноса. Это важное и даже решающее правильное обстоятельство: перенос вектора обязательно должен производиться вдоль геодезической и обязательно с сохранением угла между вектором и этой геодезической. Называть такой перенос параллельным - неверно. Тем не менее, далее мы вновь видим упоминание переноса в искривленном пространстве как параллельного:
   "На искривленной поверхности (в качестве примера будем рассматривать сферу) роль прямой играет наикратчайшая линия, соединяющая две точки. На сфере это дуга большого круга" [31, с.30].
   Линия кривая и называемая не прямой, а геодезической.
   "... параллельный перенос касательного вектора на искривлённой поверхности можно описать как перенос вдоль наикратчайших так, что угол между вектором и наикратчайшей остается неизменным..." [там же].
   Подчеркнём: наикратчайшая в искривлённом пространстве - это геодезическая кривая линия.
   "Сам вектор, однако, при этом поворачивается, что особенно наглядно видно, если перенести его по замкнутому контуру, когда, в отличие от параллельного переноса на плоскости ..., конечное направление ... вектора, ... не совпадает с начальным" [там же].
   Добавим: в описанной ситуации геодезическая, замкнутый контур обязательно должен быть составным. Перемещение вдоль единой замкнутой геодезической, линии, не имеющей изломов, не приводит к повороту вектора. Напомним, что перенос по замкнутой прямой линии, имеющей излом, например, на поверхности конуса, так же приводит к повороту вектора.
   "... при параллельном переносе вектора вдоль некоторой кривой в искривленном пространстве частные производные от этого вектора пропорциональны самому вектору" [19, с.54].
   В цитате не указано, и не видно оснований полагать, что это подразумевается, что кривая переноса - геодезическая. Кроме того, из приведённых в данной цитате выводов явно не видно, совпал ли вектор, перенесённый по замкнутой кривой со своим исходным состоянием, цитата выглядит как констатация известных фактов с некоторой детализацией через производные. Кроме того, возникает резонный вопрос: а в плоском пространстве частные производные от вектора разве не пропорциональны самому вектору?
   Главным недостатком приведённого варианта описания процедуры параллельного переноса вектора является отсутствие чёткого и однозначного утверждения о том, что в искривлённом пространстве при таком переносе, в частности, по замкнутой кривой вектор не сливается со своим исходным состоянием, направлением. Не видно констатации, что вернувшийся вектор - это уже другой вектор.
   Далее мы встречаем довольно редкую привязку поворота вектора и системы координат искривлённого пространства. В частности, это означает отсутствие параллельности даже между координатными линиями:
   в общих координатах компоненты тензора испытывают при параллельном переносе изменения, обусловленные различием координатных направлений в различных точках пространства. Пусть параллельный перенос тензора ... , заданного в точке ... , производится в точку ... . В таком случае в результате параллельного переноса компоненты принимают значения ... , приобретая приращения" [18, с.15].
   Здесь мы видим достаточно чёткое указание на изменение компонент тензора, понимая под ним его частный, векторный вариант.
   С понятием параллельного переноса тесным образом связана операция ковариантного дифференцирования. [18, с.16]
   Далее приводятся подтверждающие аналитические выкладки, проводящие параллель между понятием прироста компонент вектора между исходной и конечной точками и понятием ковариантной производной вектора.
   Однако в этих выкладках что же, собственно, произошло с "параллельно" перенесённым вектором просматривается, довольно завуалированно. Явной констатации, совпадут ли две его копии, если будут перемещены в некоторую точку по двум разным путям или по замкнутой траектории.
   В следующей цитате прямо не указывается, что базис описывает искривлённое пространство, а кривая является геодезической:
   "Формула ... задает изменение компонент вектора в фиксированном базисе при его параллельном переносе вдоль кривой" [22, с.59].
   Однако из контекста раздела работы явно следует, что речь идёт всё-таки об искривлённом пространстве. В цитируемой работе в достаточно общем, формальном виде приводятся определения понятий параллельного переноса вектора и понятия кривизны - тензора кривизны или тензора Римана. Отмечено, что задача о параллельном переносе и определении кривизны является корректной и имеет однозначное решение. О том, что в искривлённом пространстве параллельный перенос в принципе невозможен, ничего не говорится.
   Далее в цитате стрелка - это переносимый вектор:
   "В плоском пространстве ... Стрелку можно переносить так, чтобы она всегда оставалась параллельной своему первоначальному направлению. Однако на изогнутой поверхности это невозможно. ... Все эти особенности будут присутствовать в любом пространстве (скажем, на поверхности одновременности) в искривленном пространстве-времени" [7, с.203].
   Цитата является описанием серии весьма наглядных рисунков. Отметим явное утверждение, что на искривлённой поверхности невозможен параллельный перенос. Однако эта невозможность рассматривается в работе в широком, собирательном смысле. Параллельный перенос на некотором коротком участке считается возможным, правда под этим переносом подразумевается сохранение некоего направления, вектор переносят "сохраняя его всегда направленным в одном и том же направлении" [7, с.203]
   Назовём это простой подменой понятий, названий: фактически "параллельный перенос" отождествляется с переносом с сохранением направления. В плоском пространстве эти понятия тождественны. На искривлённой поверхности сферы любое неизменное направление - это направление на заранее выбранный произвольный полюс или вдоль геодезической переноса. Частный случай - перенос по экватору, когда неизменным направлением является направление на полюс или вдоль экватора. Но эти "неизменные" направления в пространстве погружения не являются неизменными. Вектор вращается.
   "Экватор является геодезической ... при параллельном переносе касательный вектор к геодезической остается касательным вектором, поэтому при параллельном переносе вдоль экватора V становится таким же, как U, поэтому они параллельны по определению" [8, c.121].
   Рассмотрены два альтернативных пути переноса: диаметрально вдоль экватора и в эту же конечную точку через полюс. На качественной иллюстрации видно, что векторы после переноса не совпали. Однако это верно лишь при отказе от точности терминологии. Во-первых, как мы уже неоднократно заявляли, ни тот, ни другой переносы параллельными не являются. В цитате переносится касательный вектор, который на поверхности сферы по определению является линией кривой. Параллельность кривых линий - понятие не определённое, не смотря на заявленное "они параллельны по определению". Нет такого определения "параллельные кривые линии". Например, можно встретить определение, что "под параллельными кривыми линиями подразумеваются линии, получаемые одна из другой путем параллельного переноса". Но это определение понятия через само это понятие, то есть, фактически тавтология.
   Отметим и отчасти согласимся с описанием в следующей цитате важного правила параллельного переноса, которое нарушается едва ли не в каждом его описании в разных источниках:
   "... мы рисуем вектор так, как его видит двумерный муравей на сфере, поэтому он всегда должен касаться сферы" [9, c.154].
   Укажем лишь на некоторую двусмысленность этого интересного утверждения. Если вектор касается сферы, а не линии на сфере, то такого вектора муравей не может увидеть по определению. Вектор полностью находится в пространстве погружения плоском или искривлённом, но относительно двухмерной поверхности он имеет третье измерение, принципиально недоступное для наблюдения двухмерным обитателям. Правильнее было сказать, что вектор полностью лежит на сфере и является касательным к некоторой линии на ней. Если линия - геодезическая, то этот касательный вектор полностью с ней сливается. Для внешнего наблюдателя и вектор и геодезическая видны как кривые линии, отрезки больших кругов сферы. Для муравья обе они - прямые линии.
   "... на изогнутом многообразии просто невозможно определить глобально параллельные векторные поля. Мы все еще можем определить локальный параллелизм, например, как перемещение вектора из одной точки в другую, сохраняя его параллельным и одинаковой длины. Но результат такого "параллельного транспорта" из точки A в точку B зависит от пройденного пути. ... Если векторы _V в бесконечно близких точках кривой параллельны и имеют одинаковую длину, то говорят, что векторы _V переносятся параллельно по кривой. [9, c.155]
   В общих чертах с этим можно согласиться. Но всегда следует помнить о тонкостях операций с бесконечно малыми величинами. Грубо говоря, при таких манипуляциях мы просто подменяем малый участок искривлённой поверхности на евклидову плоскость, неосознанно обозначая её бесконечно большой. Цитата описывает именно такую ситуацию.
   "Для аффинной связности параллельный перенос не зависит от пути тогда и только тогда, когда тензор кривизны равен нулю" [10, с.603].
   Здесь упоминание параллельного переноса сделано в виде "инверсной" теоремы, доказывающей независимость результата параллельного переноса в плоском пространстве.
   "... мы хотим развить внутреннее понятие кривизны, которое может быть применено к любому многообразию без ссылки на пространство более высоких измерений, в которое оно могло бы быть вложено. Такое понятие кривизны можно определить в терминах параллельного переноса" [10, с.603].
   Это распространённое, можно даже сказать, классическое заблуждение, ошибка. В искривлённом пространстве понятие параллельного переноса является ложным понятием. Не существует определения понятия параллельных кривых линий.
   "На такой поверхности, как плоскость ... или сфера ... , у нас есть интуитивное представление (которое будет математически точным ниже) того, что значит держать вектор "указывающим в одном направлении" (но всегда в касательном пространстве многообразия) при его перемещении по траектории" [11, с.29].
   И вновь целый набор ошибочных утверждений как "интуитивных", так и "математически точных ниже". Понятие "одного направления" на искривлённой поверхности является негласным отождествлением с параллельностью, которой, как мы заявили, нет и быть не может на такой поверхности. Вектора в касательном пространстве многообразия, несомненно, могут иметь явно заданное направление, быть параллельными. Но эти векторы не лежат на искривлённой поверхности, не принадлежат ей, а имеют с нею одну-единственную общую точку. Такие "удерживаемые векторы" перемещаются исключительно в пространстве погружения, которое может быть как плоским, евклидовым, так и искривлённым трёхмерным пространством.
   По искривлённой поверхности возможен только эквиугловой перенос вектора. Заметим, что такое определение кривизны "изнутри" фактически схоже с измерением суммы внутренних углов треугольника или даже "двухугольника". Известны попытки определить таким способом кривизну нашего пространства: измерения углов треугольников показало в пределах доступной точности, что наше пространство - плоское.
   "Пространство будет искривленным тогда и только тогда, когда некоторые изначально параллельные геодезические не смогут оставаться параллельными, то есть пятый постулат Евклида не сработает" [11, с.29].
   Более того: геодезические не только "не смогут оставаться параллельными", они вообще никогда и нигде параллельными не были. Естественно, пятый постулат, описывающий поведение параллельных линий, на искривлённой поверхности неприменим чисто терминологически.
   "Учитывая только многообразную структуру пространства, у нас нет естественного понятия параллельного переноса. [11, с.29].
   Это верно, такого понятия, действительно нет, ни естественного, ни противоестественного.
   "Причина в том, что касательное пространство Vp и Vq двух различных точек p и q являются разными векторными пространствами, и поэтому нельзя сказать, что вектор в p совпадает с вектором в q" [11, с.29].
   Поэтому указанная причина также лишена оснований. Естественного понятия параллельного переноса в искривлённом пространстве нет по причине отсутствия в таком пространстве параллельных линий, самого понятия параллельности.
   "... выводится уравнение отклонения геодезических, которое характеризует кривизну с точки зрения неспособности изначально параллельных геодезических оставаться параллельными" [11, с.30].
   Эта точка зрения ошибочна. Не могут оставаться параллельными линии, которые не только изначально, а никогда не были и не могли быть параллельными.
   Как мы уже не раз отмечали, в любых доступных литературных источниках, учебниках и статьях при рассмотрении искривлённых пространств делается вывод о том, что при параллельном переносе вектора он изменяет своё направление. В следующей работе, в работе Германа Вейля перенос вектора по поверхности сферы описан таким образом:
   "На сфере радиуса а (в трехмерном евклидовом пространстве) большие круги являются геодезическими линиями. При движении по большому кругу изменение dt касательного вектора t единичной длины нормально самой касательной. Из равенства (t t) = 1 следует поэтому, что (t dt) = 0. Кроме того, dt лежит в плоскости, проходящей через центр сферы. Таким образом, t совпадает с направлением нормали к сфере, т.е. t испытывает при движении вдоль кривой параллельное перенесение на поверхности" [21, с.123].
   Описание верно отчасти, если рассматривает его с точки зрения пространства погружения - евклидова пространства E3. С точки зрения двухмерной поверхности сферы - все утверждения ошибочны. Вектор приращения dt нормален к поверхности сферы, то есть, он этой поверхности не принадлежит. Кроме того, поверхности не принадлежит и сам переносимый вектор, поскольку он лежит в касательной к поверхности плоскости. Заявлять, что вектор переносится на поверхности - неверно. У вектора с этой поверхностью лишь одна общая точка - начало вектора. Более того, ни в одной точке траектории этот нормальный вектор приращения не остаётся параллельным своему предыдущему состоянию. Иначе это тождественно утверждению, что все радиусы сферы - параллельны, что, конечно же, является нелепостью.
   "Рассмотрим параллельный перенос касательного вектора ... из точки ... c координатами ... в точку ..." [25, с.426].
   Как мы уже не раз отмечали, перенос касательного вектора не является переносом вектора по искривлённой поверхности. Это перенос вектора в пространстве погружения. Такое перенос может быть каким угодно: параллельным, эквиугловым, с поворотом или без поворота вектора. Касательный вектор к искривлённой поверхности этой поверхности не принадлежит.
   "Параллельный перенос касательного вектора вдоль поверхности Σ осуществляется следующим образом ... сначала переносим вектор ... из точки у в точку ... как вектор в R3 (...), а затем берем его проекцию на касательную плоскость в точке ..." [25, с.428].
   Довольно неплохая детализация процесса, но, к сожалению, имеющая очевидные противоречия. Первый описываемый перенос в R3 - это перенос касательного вектора. Явно не указан характер переноса, можно лишь предположить, что вектор в R3 перенесён параллельно. Сразу же возникает вопрос: почему касательный к искривлённой поверхности вектор не лежит в касательной к ней же плоскости? Насколько нам известно, все вектора, касательные к искривлённой поверхности в некоторой точке лежат в одной плоскости - касательной к этой поверхности в этой же точке. В таком случае описанная проекция касательного вектора на касательную плоскость равна самому вектору. Неясно, в чём смысл процедуры.
   "При параллельном переносе в плоском пространстве сохраняется направление вектора. В частности, сохраняются углы, образуемые вектором с прямой (т.е. геодезической), соединяющей исходную и конечную точки переноса. [29, с.110].
   Заметим, что обозначение, именование прямой, прямой евклидовой линии как геодезической, очевидно, приводит к возникновению множества ошибок при описании параллельных переносов. Поскольку прямая - это геодезическая, то многие авторы, видимо, полагают и обратное: геодезическая - это прямая. Но есть и другое существенное отличие: в плоском пространстве параллельный перенос вдоль прямой линии, что тождественно переносу с сохранением направления, возможен по определению и он эквивалентен эквиугловому переносу вдоль прямых линий. В искривлённом пространстве нет ни понятия параллельности, ни переноса с сохранением направления, поэтому и параллельного переноса быть не может, а возможен только эквиугловой.
   "При обходе замкнутого контура положение вектора совпадает с исходным. В искривленном пространстве это не так. Легче всего это понять на примере сферы ..." [29, с.110].
   Это верно лишь отчасти. Если замкнутый контру образован единственной геодезической, то поворота вектора не буде. В общем случае, если геодезическая составная, в искривлённом пространстве вектор не совпадает с исходным.
   "Выйдем из полюса с вектором, направленным по меридиану. Дойдем до экватора и перенесем вектор параллельно самому себе вдоль экватора, после чего вернемся по другому меридиану на полюс" [29, с.110].
   В искривлённом пространстве отсутствуют понятия параллельного переноса и переноса с сохранением направления. Сравнивать принципиально разные, различающиеся переносы: параллельный перенос в плоском пространстве с эквиугловым переносом в искривлённом следует с чёткими оговорками. В обоих случаях следует указать, что перенос именно эквиугловой, не используя понятия параллельности или неизменности направления. Кроме того, линия переноса в плоском пространстве - это прямая евклидова линия, а в искривлённом - линия кривая, геодезическая. Обе линии - наикратчайшие между точками. Всё сказанное относится и к высказыванию следующего автора:
   "Единичный вектор, касательный к геодезической, претерпевает параллельный перенос" [50, с.20].
   Единичный и любой иной вектор, касательный к геодезической всегда сливается с нею. Мы говорим - геодезическая, поскольку речь идёт об искривлённом пространстве. Перенос такого вектора - это даже более, чем эквиугловой, он, скорее, конгруэнтный, но никак не параллельный. В искривлённом пространстве нет такого понятия - параллельность.
  
   Заключение
  
   На искривлённых поверхностях не существует параллельных линий и, следовательно, никакой перенос вектора не может быть параллельным. Из этого прямо следует: параллельный перенос вектора в рамках пространства не может служить индикатором кривизны пространства, в частности, на поверхности сферы. Подобное несоответствие возникает и на поверхности Лобачевского. Это справедливо в отношении любой искривленной поверхности.
   Любой перенос вектора, лежащего в плоскости, касательной к искривлённой поверхности, может свидетельствовать только об искривлении пространства погружения, то есть, пространства, в котором находятся как искривлённая поверхность, так и касательная плоскость с вектором. Параллельный перенос касательного вектора в пространстве погружения Евклида всегда сохраняет его направление. Такой касательный вектор не принадлежит искривлённому пространству и имеет с ним только одну общую точку - начало вектора.
   Исследование кривизны пространства возможно с использованием эквиуглового перемещения вектора, то есть, его перемещения с сохранением угла относительно линии переноса. Линией переноса обязательно должна быть геодезическая. Если эта линия замкнута и не имеет излома, то вектор вернётся в исходную точку без поворота и точно совпадёт со своим исходным направлением. Если геодезическая переноса имеет излом, то вектор изменит своё направление на величину угла в точке излома геодезической.
   На поверхности конуса геодезическая - евклидова прямая линия - может пересекать саму себя, то есть, быть замкнутой прямой линией с изломом. Перенос вектора по замкнутому контуру на такой плоской поверхности приведёт к его повороту.
   Перенос вектора по произвольной замкнутой траектории или по разным путям с сохранением угла к линии переноса может привести к изменению его направления в любом пространстве, в том числе на плоскости Евклида.
  
   Литература
  
   1. Blau M. Lecture notes on General Relativity \\ Albert Einstein Center for Fundamental Physics Institut fur Theoretische Physik Universitat Bern, CH-3012 Bern, Switzerland, 2017, URL: http://www.blau.itp.unibe.ch/Lecturenotes.html
   2. Carroll S. Spacetime and geometry. An Introduction to General Relativity. University of Chicago, Copyright No 2004 Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, ISBN 0-8053-8732-3 (hardcover)
   3. Carroll S.M. Lecture Notes on General Relativity, arXiv:gr-qc/9712019v1 3 Dec 1997
   4. Ekhammar S., Erkensten D., Lassila M., Nilsson T. From Black Holes to Wormholes in Higher Spin Gravity. 2+1-dimensional gravity in a Chern-Simons formulation. Department of Physics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden 2017
   5. Gerard 't Hooft Introduction to General Relativity. Institute for Theoretical Physics, Utrecht University and Spinoza Institute, the Netherlands, 2012, URL: https://webspace.science.uu.nl/~hooft101/lectures/genrel_2010.pdf
   6. Hendry M. An Introduction to General Relativity, Gravitational Waves and Detection Principles. University of Glasgow, UK, 2007
   7. Marolf D. Notes on Relativity and Cosmology. Physics Department, Syracuse University, 2003, URL: https://ru.scribd.com/document/38274054/Relativity-and-Cosmology-Notes
   8. Ryder L. Introduction to General Relativity. University of Kent, UK. Cambridge University Press, New York, 2009
   9. Schutz B.F. A First Course in General Relativity. Second Edition. Max Planck Institute for Gravitational Physics. Cambridge University Press, New York, 2009
   10. Straumann N. General relativity : with applications to astrophysics / Norbert Straumann. - Berlin [etc.]: Springer, cop. 2004. - xii, 674 с. : ил., портр.; 25 см
   11. Wald R.M. General relativity. The University of Chicago Press, Chicago and London, 1984. URL: https://www.pdfdrive.com/general-relativity-r-waldpdf-e19758319.html
   12. Александров П.С. Что такое неэвклидова геометрия. - М.: Изд. академии пед. наук РСФСР, 1950.
   13. Беллони Л., Рейна Ч. Прецессия Томаса. Подход Зоммерфельда. В сборнике: Эйнштейновский сборник, 1984 - 1985: Сб. статей. - М.: Наука, 1988.
   14. Бергман П. Загадка гравитации \\Перевод с английского В.А.Угарова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969
   15. Бергман П.Г. Введение в теорию относительности, с предисловием А. Эйнштейна \\Пер. с анг. П. Кунина и И. Таксара, под редакцией Б. Л. Гинзбурга. - М.: Гос. изд. иностранной литературы, 1947
   16. Бескин В.С. Гравитация и астрофизика. - М.: Физический институт им. П.Н.Лебедева РАН. Учебно-Научный Комплекс, 2007
   17. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия, - М.: Мир, 1985. - 400 с.
   18. Богородский А.Ф. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. Изд-во Киевского университета, 1962 г.
   19. Введение в общую теорию относительности, ее современное развитие и приложения : [учеб. пособие] / С. О. Алексеев, Е. А. Памятных, А. В. Урсулов, Д. А. Третьякова, К. А. Ранну; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. - Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2015. - 380 с. ISBN 978-5-7996-1584-0
   20. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. \\ Пер. с анг. Н. Мицкевича. Под редакцией проф. Д. Иваненко. - М.: Изд. иностранной литературы, 1962.
   21. Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности: Пер. с нем. Изд. 2-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 456 с.
   22. Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации. Учебное пособие. - М., МФТИ, 2001.- 428с.
   23. Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации: Учебное пособие. -- М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009, 264 с.
   24. Гильберт Д. "Основания геометрии", пер. с 7-го немецкого издания И.С.Градштейна, Москва - Ленинград, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, 1948 г.
   25. Горбунов Д.С., Рубаков В.А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва. - М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 552 с., цв. вкл.
   26. Гравитация и относительность. Под редакцией X. Цзю и В. Гоффмана. Пер. с анг. Д.В.Белова и И.В.Мицкевича под редакцией А.3.Петрова. - М.: Изд. "Мир", 1965 г.
   27. Гуревич Л.Э., Чернин А.Д. Общая теория относительности в физической картине мира. Гравитация, космология, космогония, М.- "Знание", 1970, 62 стр.
   28. Евклид "Начала", книги I-VI, пер. с греч. и комментарии Д.Д.Мордухай-Болтовского, ОГИЗ, Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, Москва - Ленинград, 1950 г.
   29. Зельдович Я.Б., Блинников С.И., Шакура Н.И. Физические основы строения и эволюции звезд, МГУ, 1981
   30. Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
   31. Иваненко Д.Д, Сарданашвили Г.А. Гравитация / Отв. ред. П.И.Фомин. Изд. 5-е. - М.: Издательство ЛКИ, 2012, 200с.
   32. Катанаев М.О. Лекции по общей теории относительности. Математический институт имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук, 2018 г. URL: http://www.mathnet.ru/supplement/conf/1354/lecture10.pdf
   33. Кауфман Уильям Дж. Космические рубежи теории относительности. М.: "Мир", 1981, 352 с.
   34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. П. Теория поля. - 8-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 536 с. - (Т. II).
   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. П. Теория поля.-- 7-е изд., испр.-- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с. -- ISBN 5-02-014420-7 (Т. II).
   35. Мёллер К. Теория относительности. Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. М., Атомиздат, 1975, 400 с.
   36. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т.1-3. - М.: "Мир", 1977
   37. Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. - М.: Наука, 1983, - 240 с.
   38. Парадоксы параллельности, Самиздат, URL: http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/paraldox.shtml
   39. Парадоксы параллельности. Часть 1, Самиздат, URL: http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/paraldox1.shtml
   40. Параллельные прямые, Википедия, URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Параллельные_прямые
   41. Параллельные прямые, Математический справочник, URL: http://dict.scask.ru/index.php?id=1177
   42. Паули В. Теория относительности: Пер. с нем. и англ. - 3-е изд., испр./Под род. В. Л. Гинзбурга и В. П. Фролова,-- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. (Б-ка тсор. физики). - 328 с - ISBN 5-02-014346-4.
   43. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики: Пер. с англ. / Общ. ред. В.О.Малышенко. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.
   44. Пенроуз Р. Путь к реальности или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. \\ Пер. с анг. А.Р.Логунова и Э.М.Эпштейна, R&C, Москва, Ижевск, 2007
   45. Петров А.Н. Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор. Фрязино: "Век 2", 2013. - 320 с.
   46. Путенихин П.В. Логические основания многомерных пространств. -- Саратов: "АМИРИТ", 2018. - 396 с., цв. илл., ISBN 978-5-907035-29-4, URL: https://www.twirpx.org/file/3089642/
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42690781
   47. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.-Л., ГИТТЛ, 1950
   48. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд.3. - М., "Наука", 1967. - 664 с., ил.
   49. Сажин М.В. Теория относительности для астрономов. ГАИШ, Москва
   50. Синг Дж.Л. Общая теория относительности. \\ Пер. с анг. Б.Т.Вавилова. Под редакцией А.3.Петрова. - М.: Изд. иностранной литературы, 1963.
   51. Тайсон Н.Д., Стросс М.А., Готт Д.Р. Большое космическое путешествие. Пер. на рус. ООО Издательство "Питер", 2018
   52. Тейлор Э.Ф., Уилер Дж.А. Физика пространств времени, пер. с анг. Н. В. Мицкевича. Изд. второе, доп. - М.: Мир, 1971, - 320 с.
   53. Торн К.С. Черные дыры и складки времени: Дерзкое наследие Эйнштейна. Перевод с англ. под ред. чл.-корр. РАН В.Б. Брагинского. - М.: Изд. физ.-мат. лит-ры, 2007, 616 с.
   54. Трёхмерное эллиптическое пространство положительной кривизны. Диск и шар Римана, Самиздат, URL: http://samlib.ru/editors/p/putenihin_p_w/spheriman.shtml
   55. Фейнман Р.Ф., Мориниго Ф.Б., Вагнер У.Г. Фейнмановские лекции по гравитации. \\ Под редакцией Б.Хатфилда. Введение Дж.Прескилла и К.С.Торна. Пер. с анг. д.ф.-м.н. А.Ф.Захарова, Москва, "Янус-К", 2000
   56. Фридман А.А. Мир как пространство и время. Изд. второе. - М.: Изд. "Наука", 1965 г.
  

28.06.2021 - 16.01.2022

  
  
 Ваша оценка:
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"