# Анализ формулы сложения скоростей. Обзор, гл.6

Петр Васильевич Путенихин

Рассмотрены известные решения релятивистского "парадокса близнецов" и предложены новые. Вопреки распространенному мнению, парадокс имеет корректное решение в СТО. Напротив, в ОТО решения парадокса вызывают ряд вопросов. Рассмотрен принципиально новый парадокс близнецов - в тахионной теории относительности. В главе рассмотрен традиционный вывод формулы сложения скоростей ИСО, отмечены противоречия и предложен новый вывод формулы на основе формализма СТО

Парадокс близнецов - обзор решений,

гл.6 Анализ формулы сложения скоростей


Путенихин П.В.


Оглавление, URL:

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/twin00.shtml

6. Анализ формулы сложения скоростей

6.1 Эффекты преобразований Лоренца

6.2 Классический вывод формулы сложения скоростей

6.3 Обратные преобразования Лоренца

6.4 Сложение скоростей из прямых и обратных преобразований Лоренца

6.5 Сложение скоростей из первичных уравнений Лоренца

6.6 Формула сложения скоростей при встречном движении

6.7 Формула сложения скоростей при попутном движении

Выводы


6. Анализ формулы сложения скоростей


6.1 Эффекты преобразований Лоренца

С появлением специальной теории относительности на смену преобразованиям Галилея пришли преобразования Лоренца. Вместе с этими преобразованиями появились и парадоксальные эффекты этих преобразований: движущиеся часы отстают, длина движущегося отрезка укорачивается, а одновременные события в одной системе отсчёта оказываются не одновременными в другой. Четвёртым эффектом преобразований стало особое правило сложения скоростей движущихся систем отсчёта. Оказалось, что результирующая скорость не равна простой сумме исходных скоростей.

Формула сложения скоростей напрямую не связана с парадоксом близнецов. Однако в дальнейшем мы рассмотрим особый, новый вариант парадокса близнецов - в рамках сверхсветовых систем отсчёта, тахионной теории относительности. Поэтому для неё нам потребуется вывести эквиваленты преобразований Лоренца, сформулированных для досветовых инерциальных систем отсчёта. Для ИСО все эти эффекты являются прямым следствием преобразований Лоренца, имеющих следующий вид [1, с.272]:

"Теперь формулы (63.4) можно переписать в виде

(63.7)


Эти формулы перехода от одной инерциальной системы S к другой S' носят название формул Лоренца. Если, обратно, выразить отсюда t, x, y, z через t', x', y', z', то это обратное преобразование, как показывает элементарный подсчёт, будет иметь вид [1, с.272]:

(63.8)


Отметим, что формула для сложения скоростей в специальной теории относительности выводится именно из этих обратных преобразований, поэтому для исследования этой формулы далее мы проделаем этот элементарный подсчёт.


6.2 Классический вывод формулы сложения скоростей

В литературе по теории относительности уравнение для сложения скоростей называют одним из прямых следствий преобразований Лоренца. Это уравнение в одном из вариантов выводится следующим образом.

"... пусть некоторая материальная точка движется относительно системы S', причём её скорости по осям X', Y', Z' равны vx', vy', vz' [1, с.278]:

(64.6)


Пусть система S' движется относительно S по-прежнему со скоростью v в направлении общей оси X. Тогда, дифференцируя формулы (63.8), получаем [1, с.278]:


Мы сразу же отбросили уравнения для двух других координат - y и z, поскольку рассматриваем одномерное движение только по координате x. На общую логику вывода уравнения это никак не повлияет.

"... откуда скорость движения точки уже относительно системы S имеет следующие составляющие по осям X, Y, Z:

(6.1п)


Пользуясь обозначениями (64.6) и аналогичными обозначениями для системы S, запишем окончательно [1, с.278]:

(64.7)"


Это классический вывод уравнения, который, тем не менее, содержит, мягко говоря, спорный момент. Как указано в цитате, величины со штрихами и производная в уравнении (64.6) относятся к движущейся точке. Но при дифференцировании уравнений (63.8) мы получаем дифференциалы для двух относительно движущихся ИСО, которые к движущейся точке не имеют никакого отношения. Это хорошо видно, если задать простой вопрос: как мы обозначим скорость ещё одной, второй точки, движущейся относительно ИСО S'? И ещё одной, третьей? А как будет выглядеть скорость относительно этой ИСО другой, основной ИСО S? Очевидно, это разные скорости и обозначений у них должны быть разными, а рассмотренная в цитате точка должна в этом случае иметь порядковый номер, в данном случае, первый:

(6.2)


Очевидно, что последняя из записей означает относительную скорость двух ИСО. Иначе говоря, производная в уравнении (64.6) равна не производной в уравнении, которому мы присвоили наш номер - (6.1п), это две разные величины, это две разные по смыслу скорости. Равна она правой производной в (6.2). Мы обязаны прямо указать, что их отождествление является довольно скрытой и даже, можно сказать, изящной подменой понятий.

Полученное в результате окончательное уравнение относится исключительно к двум относительно движущимся ИСО и является, строго говоря, отвлечённым соотношением. Действительно, мы имеем только две ИСО и ни одной больше. Между этими двумя ИСО есть относительная скорость - v. Это единственная скорость, никаких других скоростей в системе из этих двух ИСО нет. ИСО S движется относительно ИСО S' со скоростью v, точно также и ИСО S' движется относительно ИСО S с той же скоростью v. Никаких иных скоростей со штрихами или с индексами уравнения (63.8) не подразумевают и не содержат. Никакими преобразованиями этих уравнений (63.8) невозможно обнаружить, сформировать в этой системе какие-либо иные скорости. Поэтому говорить о сложении скоростей, когда она единственная, нет никаких оснований, а уравнение в цитате прямо превращается в правое уравнение (6.5).

Вместе с тем возникает резонный вопрос: если уравнение для сложения скоростей выведено из некорректных предположений, то почему же использование его даёт осмысленный результат? Действительно, если взять v = 0 или vx' = 0, мы получим результирующую скорость точки, равную оставшейся, ненулевой скорости. Это очевидный правильный результат. Верный результат - скорость света - получается также, если взять любую из скоростей, равной скорости света. Если же взять скорости просто близкими к скорости света, то также получается осмысленный результат, например:


Мы осторожно пишем осмысленный результат, а не правильный результат, поскольку сомнительная логика вывода формулы оставляет основания для таких же сомнений в правильности вычислений по этому уравнению.

Рассмотрим эту сомнительную логику детальнее и обратим внимание на важное обстоятельство. Согласно алгоритму получения этого уравнения, скорость vx' - это скорость материальной точки в ИСО S', то есть, её скорость относительно этой ИСО. Однако точно также, этим же уравнением описывается скорость ИСО S относительно той же неподвижной ИСО S', ведь по умолчанию dx' - это путь, пройденный системой S, а dt' - время на прохождение этого пути системой S. Получается, что обе разные скорости описываются одним и тем же уравнением, что автор выкладок неявно отождествил скорость точки относительно ИСО S' со скоростью ИСО S. Но эта скорость нам известна по определению, это относительная скорость двух ИСО.

Если же мы их, эти, по сути, разные скорости отождествляем, то и подставляя в уравнение (64.7) скорость vx', следует понимать под этой скоростью то, чем она и является - скорость ИСО S относительно ИСО S' по координате X:

(6.3)


Если же посмотреть на исходное уравнение (64.7), то сразу же следует потребовать внести в него коррективы. Если v'x - это скорость по координате x, что в её обозначении отмечено индексом, тогда что представляет собой скорость v без индекса? Видимо, эта скорость также должна иметь координатный индекс. Как видим, при таком раскладе это уравнение уже не является явным, а нуждается в дополнительных преобразованиях. Однако и после этих преобразований мы не получим уравнение для нахождения суммарной скорости, поскольку теперь в уравнении только две скорости. Более того, для рассматриваемого случая одномерного, по одной координате движения, в уравнении вообще останется только одна скорость. То есть, на самом деле мы получили уравнение, решение которого даёт бессмысленный результат: v = любая, vx=c или v=c.


6.3 Обратные преобразования Лоренца

Далее для уменьшения высоты формул воспользуемся традиционной системой отсчёта, в которой скорость света оказывается равной единице. Рассматриваем линейное одномерное движение, поэтому уравнения для координат y и z отбрасываем. В этом случае прямые преобразования Лоренца приобретают вид:


Для обратного подсчёта, получения обратных преобразований Лоренца изменим форму записи этих уравнений:

(6.4)


Определим обратное уравнение преобразований Лоренца для времени. Для этого умножаем второе, правое уравнение на скорость:


Подставляем полученное значение в левое уравнение для времени:


Собираем все члены со временем t слева от знака равенства, остальные - справа:


Выносим время t за скобки:


И делим правую часть равенства на множитель в скобках:


После сокращения получаем обратное уравнение преобразований Лоренца для времени:


Проделаем теперь такие же преобразования для координаты x. Меняем местами уравнения в (6.4) и вновь умножаем правое уравнение на скорость:


Подставляем значение правого уравнения в левое и собираем слева члены, содержащие x:


Выносим слева за скобки величину x и делим всё на величину в скобках:


После сокращения получаем второе уравнение обратных преобразований Лоренца:


6.4 Сложение скоростей из прямых и обратных преобразований Лоренца

Вместе с тем наши критические рассуждения будут неполны, если мы не рассмотрим, каковы основания для трактовки этих преобразований иначе, чем предложили мы. Можно догадаться, что использование обратных преобразований Лоренца для вычисления суммарной скорости связано со знаками слагаемых в числителях уравнений Лоренца. Однако такая, по сути, хитрость вызывает определённое недоверие и желание проделать ту же процедуру вывода также и с уравнениями прямых преобразований Лоренца. Для наглядности сделаем это просто в две колонки: слева с прямыми преобразованиями, справа - традиционно с обратными:


Теперь просто разделим расстояние на время, левые уравнения в колонках на правые:


Преобразуем дроби в нормальный вид:


Здесь мы видим довольно странную картину. Как нам следует трактовать отношения двух величин слева от знаков равенства, которые, строго говоря, изначально имеют свой вполне определённый смысл: расстояние в данной ИСО и время в этой ИСО, за которое пройдено это расстояние. Иначе говоря, слева от знаков равенства - это, вообще-то, никакая не суммарная скорость. Однако оставим пока этот вопрос без решения и для начала просто эти дроби так и обозначим - скорость в штриховой ИСО и скорость в ИСО без штриха:


Традиционно разделим числители и знаменатели в колонках на время:


И вновь отношения расстояния ко времени мы заменяем на их смысловые физические эквиваленты. Вспомнив логику преобразований, мы обязаны признать, что x и t - это расстояние и время в ИСО S, обозначающие путь, пройденный в ней системой S' за соответствующее время по часам системы S. Следовательно, это скорость ИСО S', которая по определению равна v. То же самое справедливо и для правого уравнения - отношение x' ко времени t' - это, по смыслу переменных, является скоростью ИСО S относительно ИСО S' - v'. Таким образом:


Теперь мы уже обязаны окончательно определиться с обозначениями, с индексами скоростей. Хотя по логике преобразований в этих уравнениях по определению все скорости равны: v = v', мы, тем не менее, проставим им традиционные числовые индексы вместо штрихов:


В сущности, левое уравнение столь же непротиворечиво, как и традиционное, поскольку его можно трактовать как встречное движение двух ИСО с точки зрения третьей, внешней. Понятно, что в этом случае знаки скоростей оказываются противоположными. В частности, при равенстве скоростей v1=v2, их относительная скорость v3 становится равной нулю.

Однако ранее мы выразили недоверие к трактовке индексации скоростей, считая, что все эти скорости - это одна и та же относительная скорость между двумя ИСО. Если признать такое равенство v = v' или v1 = v2 = v3, то уравнения примут такой вид:

(6.5)


Как видим, в этом случае решение в левой колонке, полученное из прямых преобразований Лоренца, является единственным v = 0. С этой же точки зрения рассмотрим и решение в правой колонке:


Очевидно, что одно из его решений v - любое. После сокращения находим и второе решение:


Все эти решения прямо указывают, что при равенстве внесённых в них скоростей единственной относительной скорости двух ИСО все они лишены пользовательского смысла. Никакого полезного ответа они получить не позволяют. Но, можно возразить, зачем эти скорости приравнивать? Ответ, вообще-то, очевидный и несомненный: все эти дополнительные обозначения скоростей внесены безосновательно, это явная подмена понятий. Стала она возможной вследствие хитрой модификации исходных уравнений Лоренца, их преобразования, в результате чего оказалась размыта физическая сущность содержащихся в них переменных. Наглядно мы это покажем, используя исходные, базовые уравнения Лоренца.


6.5 Сложение скоростей из первичных уравнений Лоренца

Следует напомнить, что оба уравнения для x, t получены простыми математическими преобразованиями. Исходные, первичные уравнения, которые могут быть получены разными способами, имеют простой вид:


Вот их мы и попробуем использовать для получения уравнения для суммирования скоростей двух ИСО. Сразу же обнаруживаем, что в них нет никакого упоминания этой третьей, суммарной скорости. Есть две ИСО, для которых физически возможна только одна-единственная, относительная скорость. Данные уравнения записаны в прямой форме - зависимость параметров движущейся ИСО от параметров неподвижной:


Делим левое уравнение для расстояний в движущейся ИСО на правое - время, прошедшее в этой ИСО, за которое она прошла это расстояние:


Разделяем переменные попарно знаком равенства:


Упрощаем выражение:


После деления на время, получаем довольно странное выражение:


Как видим, мы вновь пришли к единственному решению v' = 0, v - любая, которое не несёт никакой информации о некой третьей, суммарной скорости. Здесь нам вновь пришлось ответить на вопрос об отношении расстояния в каждой ИСО ко времени, прошедшей в этой ИСО: это скорость, причём ввиду её инварианта - это одна и та же скорость.


6.6 Формула сложения скоростей при встречном движении

Завуалированная ошибка в выводе уравнения возникла из-за некорректных алгебраических преобразований, подстановок переменных, не опирающихся на иллюстрации. Для наглядности произведём по правилам СТО прямое вычисление относительной скорости для двух встречно движущихся ИСО, имеющих в лабораторной ИСО разные скорости.


Рис.6.1. Сложение разных скоростей встречно движущихся ИСО


Будем считать, что с точки зрения лабораторной неподвижной ИСО 0 движущиеся ИСО встретились через время t0. В этом случае мы имеем:


С точки зрения ИСО 2 другая ИСО 1 находится на удалении:


Это прямо следует из того, что для ИСО 2 действительная длина трассы S считается движущейся вместе с ИСО 1 и вследствие этого испытывает лоренцево сокращение. Следовательно, действительная длина S без штриха для ИСО 2 равна:


До встречи по часам ИСО 2 в этом случае пройдёт время:


Следовательно, эффективная скорость, с которой ИСО 2 движется относительно ИСО 1, равна:

(6.6)


Преобразуем. Удвоенный знак равенства используем просто для лучшей визуализации:


Перенесём слагаемые с v3 влево, остальные - вправо от знака равенства. Слева раскроем скобки:


Сокращаем повторяющиеся с разным знаком слагаемые:


В результате получаем выражение:


Извлекаем корень и окончательно находим:


(6.7)


Как видим, получено уравнение, совпадающее с известным традиционным уравнением для суммы скоростей, получено которое, однако, из явно, чётко определённых и осмысленных графических и аналитических соотношений.


6.7 Формула сложения скоростей при попутном движении

Тем не менее, неясным остался вопрос: будет ли иметь такой же вид формула сложения скоростей в более точной схеме движения. Рассмотрим неподвижную лабораторную ИСО 0, в которой со скоростью v1 движется первая ИСО 1, и, в свою очередь, в которой со скоростью v2 движется вторая ИСО 2. Как будут суммироваться скорости этих двух ИСО, какой будет скорость v3 ИСО 2 с точки зрения этой неподвижной ИСО 0? Можно заметить, что эта схема полностью соответствует рассмотренному выше традиционному выводу формулы сложения скоростей, в которой в роли ИСО 2 выступает материальная точка.


Рис.6.2. Сложение скоростей попутно движущихся ИСО


Рассмотрим картину через время t0 от начала движения по часам ИСО 0, поначалу считая её неподвижной. Принимаем, что все три ИСО начали движение из одной точки, то есть, точки 0, A и B были в этот момент совмещены. Заметим, что конечный результат нам известен, поэтому все рассуждения по ходу их формирования мы, буквально, корректируем, подгоняем под него, стремясь не допускать логических противоречий. Иначе говоря, далее мы не выводим формулу, а подводим обоснование, корректное объяснение приводимым, очевидным на наш взгляд уравнениям.

Итак, с точки зрения лабораторной ИСО 0 за это время ИСО 2 удалится на расстояние x0 от начальной точки. Сама ИСО 1 сместится с точки зрения ИСО 0 на расстояние:


С точки зрения ИСО 0 этот путь мы можем рассматривать как движущийся стержень 0A, связанный с ИСО 1. Следовательно, с точки зрения самой движущейся ИСО 1, в её системе покоя длина этого "протянутого" стержня-пути, занявшего новое положение 0A, будет больше:


За собственное время t1 в ИСО 1 вторая ИСО 2, движущаяся со скоростью v2, сместится относительно "несущей" её ИСО 1 на расстояние x'2 = AB:


И в этом случае участок траектории AB мы можем рассматривать как движущийся относительно ИСО 0 стержень, жестко связанный именно с ИСО 1.


Уточним: лоренцев множитель мы поставили в знаменатель обоснованно. Мы указали, что стержень AB, привязан к ИСО 2, но эта привязка условна и заключается в удлинении стержня. Сам стержень на самом деле "лежит" в ИСО 1, движется с нею и испытывает лоренцеву деформацию вместе с нею. Поскольку его концы AB мы пометили координатами ИСО 0, то его фактическая длина в системе покоя ИСО 1 больше, чем она видна из движущейся относительно него ИСО 0. Таким образом, в ИСО 1 длина этого "стержня" равна:


Соответственно, его же длина в системе покоя ИСО 2


Этот отрезок 0B прошёл мимо ИСО 2 со скоростью v0 за время t"0. Уточним: отрезок 0B в начальный момент времени, когда часы всех ИСО были обнулены, находился точкой 0 рядом с началом координат ИСО 2. Следовательно, в конечный момент для ИСО 2 ситуация такова, будто этот отрезок переместился в обратном направлении движения ИСО 2, совместившись точкой B с началом её координат. То есть, мы рассматриваем весь этот отрезок, который возник, вытянулся в процессе движения, как жёсткий стержень, движущийся со скоростью v0 мимо ИСО 2. Именно поэтому мы пересчитали его длину из 0B, видимой в системе покоя ИСО 0 в новую длину x0", какая видна из ИСО 2. Соответственно, в ИСО 0, в системе покоя этого отрезка время также замедленно по отношению к условно неподвижной, лабораторной ИСО, в качестве которой мы рассматриваем теперь уже ИСО 2. Поскольку время движения в ИСО 0 мы задали изначально, что в новой лабораторной системе покоя часы покажут большее время:


Таким образом, скорость движения отрезка 0B относительно ИСО 2 будет:


Как видим, это уравнение ожидаемо совпало с рассмотренным выше уравнением (6.6), поэтому мы сразу же записываем и его решение (6.7), полученное там же:


Такой же результат можно получить, если просто трактовать рис.6.2 в форме рис.6.1. Для этого на рис.6.3 изображены три рисунка - исходные (сверху) и изменённый. В новой трактовке мы рассматриваем в качестве лабораторной, неподвижной систему ИСО 1. Как легко заметить, рис.6.2 стал похож на рис.6.1. Соответственно, относительно неё теперь уже движется ИСО 0, влево. Искомую суммарную скорость v0 переименуем в v3.


Рис.6.3. a) копия рис.6.2 сложения скоростей попутно движущихся ИСО; b) копия рис.6.1 сложения скоростей сближающихся ИСО; c) преобразование рисунка a) к виду рисунка b) - сложение скоростей удаляющихся друг от друга ИСО


Итак, найдём скорость v3 разбегания двух ИСО - 0 и 2. Замечаем, что обе скорости v1 и v2 имеют противоположные знаки по отношению к рассмотренной ранее задачи рис.6.3b. Опускаем все выкладки для этой задачи ввиду их очевидной тождественности и сразу записываем:


В исходной задаче сближались две ИСО: ИСО 1 и ИСО 2. В данном случае их эквиваленты ИСО 0 и ИСО 2 удаляются друг от друга. Иначе говоря, в исходной задаче ИСО 2 приближалась к ИСО 1, а в рассматриваемом варианте ИСО 2 удаляется от ИСО 0, что означает просто противоположный знак скорости. Как видим, в этом случае мы вновь получили формулу сложения скоростей, совпавшую с классической.


Выводы

Традиционный, классический вывод формулы сложения скоростей движущихся ИСО имеет явные логические противоречия, заключающиеся в подмене понятий. В процессе вычислений вместо очевидной скорости движущейся ИСО необоснованно подставляется скорость третьей ИСО - материальной точки.

При выводе формулы, вместо исходной относительной скорости двух рассматриваемых ИСО в результирующую формулу необоснованно подставляется и новая скорость, которой так же необоснованно даётся название - суммарная скорость точки и неподвижной ИСО.

Тем не менее, корректный вывод формулы сложения скоростей в формализме специальной теории относительности приводит к такой же формуле, что и при традиционном, некорректном её выводе. Известно, что ошибочные выкладки могут привести к правильному результату. Просто отметим, что верный традиционный результат получен подгонкой.

В дальнейшем мы планируем рассмотреть парадокс близнецов в формализме вновь выведенной тахионной, сверхсветовой теории относительности. Формулы сложения скоростей движущихся относительно систем отсчёта прямо не связаны с парадоксом близнецов, но помогут определить корректность формулировок эквивалентов преобразований Лоренца для тахионной теории относительности.


Литература

1. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд.3. - М., "Наука", 1967. - 664 с., ил.