Путенихин Петр Васильевич. Обзор О Т О - решений парадокса. Парадокс близнецов, гл.8

Парадокс близнецов - обзор решений,
гл.8 Обзор ОТО-решений парадокса

Путенихин П.В.

Оглавление, URL:

http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/twin00.shtml

8. Обзор ОТО-решений парадокса близнецов (часов)

8.1 Решение Мардера: парадокса больше нет

8.2 Решение Мёллера: парадокс линейного движения часов

8.3 Решение Мёллера: парадокс кругового движения часов

8.4 Решения Скобельцына: ускоренное движение

8.5 Решение Скобельцына: использование ОТО

8.6 Территория заблуждений

Медленное сближение часов

Синхронное ускорение ракет

8.7 Решение Бойера: вариационное исчисление

Выводы

Литература

8. Обзор ОТО-решений парадокса близнецов (часов)

Следует отметить, что попытки найти собственно решение парадокса часов, парадокса близнецов в рамках общей теории относительности принесли достаточно скромный результат. Из многих десятков просмотренных учебников, статей и рефератов максимально подробное решение этого парадокса было найдено лишь в двух книгах: в книге [6, с.208] и в других изданиях этой книги [2, с.258; 5, с.230], и в книге [7].

8.1 Решение Мардера: парадокса больше нет

Как принято считать, в специальной теории относительности парадокс близнецов решения не имеет. Полное решение можно получить только с использованием общей теории относительности. Вместе с тем, основная масса таких решений в литературе фактически подменяются качественными, образными описаниями, без строгих аналитических выкладок. Например, Мардер приводит следующее описательное решение парадокса близнецов:

"Всякий раз, когда действовало ускорение, вызванное работой двигателей, М мог считать, что двигатели удерживают его в состоянии покоя в однородном гравитационном поле -- это соответствует принципу эквивалентности. Так как у наблюдателя R двигателей нет, он свободно падает в этом гравитационном поле. ... Но часы, помещённые в область с повышенным значением гравитационного потенциала, должны спешить..." [4, c.199].

Напомним, что гравитационный потенциал является отрицательной величиной. Поэтому максимальное его значение равно нулю (очевидно, его положительное значение означает антигравитацию). Чем потенциал меньше, тем больше его отрицательное значение. Строго говоря, правильнее говорить не о спешащих часах, а о замедленных: часы, помещённые в область с меньшим значением гравитационного потенциала, должны отставать.

Здесь, в цитате наблюдатели М и R являются двумя близнецами рассматриваемого парадокса. Описанная картина означает, что второй из близнецов - М, улетавший на корабле в космос, в момент разворота оказывается в эквивалентном гравитационном поле. То есть, хотя на самом деле он и не находится вблизи какого-либо массивного гравитирующего тела, но согласно принципу эквивалентности общей теории относительности мы можем с полным правом рассматривать его находящемся именно вблизи такого тела. Условно говоря, космический корабль является как бы массивной планетой, создающей гравитационное поле такой напряжённости, что ускорение свободного падения на ней в точности равно ускорению, создаваемому двигателями корабля при его развороте. Поскольку ко второму близнецу - R, находящемуся на Земле, не приложены никакие силы, он тоже может рассматриваться как находящийся в гравитационном поле корабля. Однако здесь следует сделать оговорку. Второй близнец, землянин на самом деле находится в гравитационном поле Земли. Для простоты мы считаем, что в рассматриваемом случае масса Земли равна нулю, то есть влиянием её гравитационного поля мы пренебрегаем. Это вполне допустимо, поскольку второй близнец мог находиться вовсе и не на Земле, а на небольшой космической станции с пренебрежимо малой массой.

В цитируемой работе строгих и исчерпывающих выкладок решения парадокса близнецов на самом деле нет. Есть только ссылка на такие выкладки в работе [2] и, по сути, декларативное заявление: "Итак, парадокса больше нет" ("The paradox no longer exists") [4, с.199; 1, с.180].

8.2 Решение Мёллера: парадокс линейного движения часов

Ещё раз отметим, что достаточно полное, развёрнутое решение парадокса близнецов в формализме общей теории относительности в литературе найти сложно. Одно из таких решений привёл Мёллер [6, с.208-212; 5, с.230-236]. Он рассматривает систему отсчёта S₂, движущуюся на трёх пространственных интервалах: O₁A, AB и AC. Система движется следующим образом. На участке O₁A она ускоряется до скорости v; на AB движется инерциально; на BC замедляется до нуля; на CB ускоряется до обратной скорости -v; на BA движется инерциально; на AO₁ замедляется до нулевой скорости в момент встречи с неподвижными часами.

twin paradox

Рис.8.1 Иллюстрация к решению Мёллера [5, с.230]

Однако, приведя несколько промежуточных уравнений, автор, тем не менее, делает традиционное допущение: ускорение и торможение происходят мгновенно. Из этого сразу же следует, что интервалы O₁A и AC и время движения на них укорачиваются до нуля. Остаётся только единственный интервал AB инерциального движения со скоростью v. В этом случае расстояние между крайними точками траектории на рис.8.1 [6, рис.18] описывается очевидным уравнением (8.187), согласно которому l = O₁C = AB:

После мгновенного придания часам C₂ скорости v для описания времени движения с точки зрения неподвижной системы отсчёта S₁ предложено выражение (8.185)

Или, что то же самое, (8.186):

где Δτ₁ и Δτ₂ - время движения системы S₂ на этом участке с точки зрения, соответственно, системы S₁ и S₂. Это классическое соотношение специальной теории относительности: движущиеся часы идут медленнее, и формализм ОТО в этом случае не используется.

Для решения парадокса необходимо показать, что такое же время на часах C₁ и C₂ наблюдается и с точки зрения движущейся системы отсчёта S₂. После проведения ряда преобразований с соответствующими рассуждениями получено выражение (8.194):

twin paradox

Однако заметим, что нижнее уравнение (8.194) для Δτ₂, строго говоря, не имеет "предыстории", не имеет явного обоснования. На самом деле, исходя из предыдущих рассуждений, приведённая величина времени Δτ₂ соответствует наблюдениям из системы S₁, но не из S₂. С точки зрения наблюдателя в S₂ эта величина должна определяться иначе. Поскольку вследствие мгновенного ускорения и торможения О₁A = BC = 0, для этого наблюдателя вся трасса сокращается до отрезка AB. При движении между этими точками со скоростью v для системы отсчёта S₂ длина отрезка сокращается до величины

Соответственно, время на прохождение этого участка в обе стороны составляет:

twin paradox

В рассматриваемом решении парадокса близнецов такое обоснование отсутствует. Неверным является также и обоснование величины Δτ₁. Очевидно, опущенные промежуточные выкладки при получении верхнего уравнения (8.194) с учётом (8.188), (8.190) - (8.193) имеют вид:

twin paradox

Первое слагаемое обоснованно полагается равным нулю:

twin paradox

Третье слагаемое, напротив, ошибочно считается отличным от нуля (8.193):

twin paradox

На самом деле подстановка в (8.192) x₀= -l неправомерна. В частности, это видно из следующего:

twin paradox

Время τ'''₁ - это время движения часов С₂ на участке BC. Очевидно, что это время не имеет никакого отношения к времени Δ''T - времени движения часов C₂ на отрезке AB. Связь между этими двумя величинами, временами - надуманная. На самом деле время τ'''₁ определяется длиной участка BC, скоростью и ускорением часов C₂ именно на этом участке. Однако длина отрезка BC стремится к нулю при g→∞. Следовательно, уравнение (8.192) должно иметь вид

twin paradox

С учетом этих поправок уравнение (8.193) должно принять вид

twin paradox

После тривиальных преобразований:

Это верное уравнение и оно показывает истинное отставание часов С₁ от часов С₂ с точки зрения S₂. Однако в этом нет никаких противоречий со специальной теорией относительности, поскольку отставание часов не тождественно показаниям часов. Отметим интересное обстоятельство: движущиеся часы отстали от неподвижных на меньшую величину, чем неподвижные часы отстали от движущихся. Для противников теории это прекрасная тема для очередных опровержений. Но, повторим, отставание часов и показания часов - это разные величины. В момент разворота часов C₂ произошло нарушение первичной синхронизации часов. Теперь для S₂ часы С₁ должны быть установлены в иные исходные показания, в соответствии с преобразованиями Лоренца. Эти новые показания смещены в будущее, поэтому, отставая, эти часы всё-таки в момент встречи покажут большее абсолютное время, время на своём циферблате. Часы С₁ отстали от часов С₂, но это отставание отсчитывалось от большего начального времени:

twin paradox

Здесь мы рассматриваем только обратное движение, то есть, считаем, что движение только что началось, поэтому t₀= 0:

twin paradox

Очевидно, что левая дробь правого слагаемого - это расстояние AB с точки зрения движущихся часов, S₂, поэтому

twin paradox

В свою очередь отрезок AB и время Δ''T движения по нему часов С₂ связаны соотношением

twin paradox

Преобразуем и получаем окончательно

twin paradox

Таким образом, на основе корректных, исправленных выкладок мы получаем другое верхнее уравнение (8.194). Теперь это новое уравнение точно соответствует точке зрения движущихся часов С₂. Поскольку движение симметричное, итоговое выражение точно соответствует первому равенству уравнения (8.185), которое, в свою очередь, получено с точки зрения неподвижных часов C₁ в системе отсчёта S₁:

Это означает инвариант собственного времени часов C₁: с точек зрения обеих систем отсчёта - S₁ и S₂ в момент встречи они показывают одно и то же время. Вместе с тем, мы обязаны отметить, что это решение является решением парадокса близнецов исключительно средствами специальной теории относительности. Общая теория относительности и её принцип эквивалентности к полученному решению не имеют никакого отношения, поскольку участки траектории, на которых они проявляются, из рассмотрения исключены. И длины этих отрезков и время движения на них равны нулю.

8.3 Решение Мёллера: парадокс кругового движения часов

Помимо парадокса близнецов в традиционном виде - удаления одного из них с последующим возвратом, рассматривается и его тождественная версия - движение близнеца по круговой орбите. Этот вариант мы считаем тождественным, поскольку он буквально подходит под исходное описание парадокса в основополагающей работе Эйнштейна "К электродинамике движущихся тел". В этой работе близнец-путешественник движется по ломаной линии, которая замыкается на исходной точке. Более того, этот же вариант просматривается и в варианте с парой часов: на экваторе и на полюсе. В этом случае экваторные часы явно движутся по круговой орбите и отстают, как указано, от неподвижных часов на полюсе.

Аналитически этот вариант парадокса часов предельно подробно рассмотрен в работах [6, с.211-212; 5, с.234-235]:

"Пусть часы С₂ под действием центральной силы F совершают в инерциальной системе S₁ равномерное движение по окружности" [6, с.211].

В этой коротенькой заметке демонстрируется инвариант собственного времени неподвижных часов, находящихся в центре окружности. С точки зрения этих часов один оборот совершается за время (8.198):

Согласно формализму специальной теории относительности, движущиеся часы покажут в течение оборота время (8.197):

"Если радиус окружности R, а постоянная угловая скорость ω, то скорость часов равна Rω, а приращение их собственного времени τ₂ за один оборот..."

Величина отставания часов в этом случае определяется уравнением Лоренца, в которое мы должны подставить тангенциальную скорость движущихся часов. Действительно, в каждой точке траектории движущиеся часы С₂ имеют скорости, равные по модулю, но разные по направлениям. Поместим в каждую точку траектории часов С₂ свои собственные неподвижные часы. Все эти новые часы идут синхронно с часами С₁, поскольку все они находятся в одной и той же неподвижной ИСО. Часы С₂, проходя каждый раз мимо соответствующих часов, испытывает отставание, вызванное относительной скоростью именно с этими часами. За мгновенный интервал времени по этим часам, часы С₂ также отстанут на мгновенно малое время, которое можно вычислить по уравнению Лоренца.

Проинтегрируем это выражение по всем часам и найдём суммарное время отставания:

twin paradox (8.3.1)

При рассмотрении этого же процесса с точки зрения наблюдателя, движущегося во вращающейся системе и часов С₂, используется принцип эквивалентности. Считается, что неподвижные часы С₁свободно падают в эквивалентном гравитационном поле, созданным центробежной силой в часах С₂. Под действием этой силы падающие часы С₁ спешат по отношению к условно неподвижным часам С₂на вращающемся диске (8.200):

Как видим, согласно формализму общей теории относительности, это время на часах в центре диска совпадает со временем на них же с точки зрения вращающихся часов. То есть, здесь мы видим соблюдение инварианта собственного времени. Однако заметим, что последующие выкладки в статье в этом свете выглядят несколько чрезмерными. Действительно, согласно (8.200) и (8.197) мы можем записать:

Но, следует отметить, что это уравнение непротиворечиво следует также и из формализма специальной теории относительности (8.3.1). Иначе говоря, уравнение общей теории относительности (8.197) является излишним. Соответственно:

twin paradox
(8.3.2)

Здесь, как и ранее τ₁ и τ₂ - собственное время в системах отсчёта S₁ и S₂, на часах C₁ и C₂. Поскольку часы C₂ движутся равномерно со скоростью v = Rω, мы обязаны считать, что траектория, окружность, по которой они движутся, в соответствии с принципом относительности также движется им навстречу. Следовательно, этот движущийся отрезок виден наблюдателю рядом с часами C₂ укороченным (парадокс Эренфеста [10]). Согласно уравнениям Лоренца, с точки зрения часов C₂ они пройдут по окружности путь, равный

В данном случае мы не будем вдаваться в детали парадокса Эренфеста, просто положив, что радиус движения загадочным образом остался прежним. Тем более, что на итоговое значение длины пути часов С₂ это никак не повлияет. В самом деле, если считать, что R уменьшился так же, как и длина окружности, то скорость v мы по-прежнему считаем неизменной, инвариантом. Это будет означать лишь то, что пропорционально возросла и частота вращения часов C₂, но произведение R? осталось неизменным. Таким образом, время движения часов C₂ по сократившейся окружности с точки зрения этих часов будет:

twin paradox

Это выражение совпадает с (8.197). Подставляем это время в (8.3.2) и получаем:

twin paradox (8.3.3)

Прямо это трактуется однозначно: с точки зрения движущихся часов C₂ на часах С₁ прошло время (8.3.3), что совпадает с мнением наблюдателя, находящегося рядом с часами С₁ (8.198). В сущности, парадокс корректно, непротиворечиво решён строго в рамках специальной теории относительности без применения формализма общей теории относительности и принципа эквивалентности [9]. Тем не менее, продолжим рассмотрение предложенного решения с использованием формализма общей теории относительности.

Вновь обратим внимание на уравнение (8.200) [6, с.212]. Согласно замечанию Эйнштейна, традиционно используемое выражение вида (8.200) для гравитационного потенциала является приближённым [8, с.8]. Следовательно, точного решения уравнений быть не может, и предложенное точное решение сразу вызывает определённое недоверие. Очевидно, что неточные, приближённые исходные данные могут дать только такой же неточный, приближённый результат. То, что для используемого в дальнейших выкладках значения компоненты g₄₄ нет точных обоснований, можно понять из фразы [6, с.199]:

"Если положить

(8.109)"

По всей видимости, это выражение взято как традиционное приближение точного выражения гравитационного потенциала, указанного Эйнштейном [8, с.8].

Заключительным шагом доказательства, решения парадокса - доказательством инварианта собственного времени неподвижных часов - можно признать уравнение (8.201), производное от (8.114). Для анализа перепишем уравнение (8.114) в тождественном, но немного в более удобочитаемом, компактном виде:

twin paradox (8.114)

Теперь более заметно визуальное сходство этого уравнения с уравнением Лоренца для замедления темпа хода движущихся часов dτ по отношению к неподвижным dt. Это уравнение мы приводим для того чтобы явно отследить, как получено уравнение (8.201), которое также перепишем в "многоэтажном", но всё-таки более наглядном виде:

twin paradox (8.201)

Обозначим явным образом входящие в уравнения величины. Как указано в цитируемой работе, в уравнении (8.114) и, следовательно, в уравнении (8.201):

"... τ - время, измеренное стандартными часами, движущимися вместе с частицей" [6, с.200]

Чуть выше уточняется, что это за частица. В описании уравнения (8.114) сказано:

"... мы имеем следующее выражение для собственного времени частицы, движущейся в гравитационном поле..." [6, с.200].

То есть, буквально это означает, что время τ₁ и dτ - это собственное время часов С₁, падающих в эквивалентном гравитационном поле часов С₂, вращающихся вместе с диском. Следовательно, мы сразу же определяем и принадлежность множителя dt в (8.114) и множителя перед квадратным корнем в (8.201):

"... (8.114) определяет скорость хода движущихся стандартных часов в сравнении со скоростью хода координатных часов рассматриваемой системы" [6, с.200].

То есть, вполне определённо из этого следует, что dt в (8.114) - это время неподвижных часов С₁, относительно которых вращается диск. Соответственно, и множитель перед корнем в (8.201) - это тоже время неподвижных часов С₁, относительно которых вращается диск. Далее, сравнив (8.201) с исходным уравнением (8.114), из которого оно получено, сразу же обращаем внимание на второе слагаемое со скоростью u, квадрат которой представлен величиной:

twin paradox

Что это за скорость? Скорость чего? Замечаем, что величина этой скорости выше скорости движения часов на диске, заданной условиями задачи. Следовательно, мы обязаны признать это выражение подменой понятий. Действительно, поскольку мы рассматриваем две системы отсчёта: неподвижную и вращающийся в ней диск, то между неподвижными часами С₁ и часами С₂, вращающимися вместе с диском, существует только одна скорость - u = rω [6, с.198]. Никаких других относительных скоростей в этой системе нет. Часы на диске С₂ движутся относительно неподвижных часов С₁ с той же скоростью u, с какой неподвижные часы C₁ условно движутся относительно часов на диске C₂, эта скорость u - инвариант. Движение C₁ относительно С₂, конечное же, условное и определяется через любые другие часы в этой системе отсчёта, идущие синхронно с C₁ и установленные в непосредственной близости от часов С₂.

С учётом того, что в этом уравнении стандартными координатными часами являются часы C₂ на диске, выражение (8.201) на самом деле должно иметь следующий вид:

twin paradox (8.3.4)

Решая это уравнение, сразу же обнаруживаем, что в этом случае значение собственного времени неподвижных часов C₁ с точки зрения часов C₂, вращающихся на диске, время τ₁ не равно 2π/ω, то есть, главное требование для решения парадокса близнецов нарушается: собственное время неподвижных часов C₁ с точки зрения обоих наблюдателей - разное:

twin paradox

Из этого следует неизбежный вывод: корректный результат решения парадокса вращающихся часов получен некорректными преобразованиями, подстановкой с очевидной подменой понятий.

Формально решение парадокса близнецов средствами ОТО в этом случае следует признать неубедительным. Эффект от воздействия эквивалентной гравитации ускоренно движущихся часов нивелируется эффектом специальной теории относительности, выраженным в парадоксе Эренфеста [10].

Формулировка этого известного парадокса в работе приведена [6, с.183] без ссылки на исходную работу [10]. В качестве решения приводится утверждение об отличии от 2π отношения длины окружности к её радиусу. В некорректности решения парадокса близнецов во вращающейся системе отсчёта эта ошибочная трактовка парадокса Эренфеста, несомненно, сыграла свою роль.

Ошибка становится видна, если рассмотреть окружность в "чистом" виде, как тонкий обруч. При вращении длина окружности сокращается согласно уравнению (8.8) [6, с.183]. Зададимся простым вопросом: обруч перестал быть окружностью? Разумеется, не перестал, это по-прежнему окружность. Но окружность - это место точек одинаково удалённых от некоторой точки, являющейся её центром. То есть, все точки вращающегося обруча одинаково удалены от центра. Но величина этого удаления для вращающегося обруча однозначно определена - это его радиус, определяемый из свойств окружности: L = 2πr. У любой окружности существует радиус, связанный с её длиной этим соотношением, независимо от того, вращается она или неподвижна. Совершенно бессмысленно утверждать, что на евклидовой плоскости у окружности радиус имеет какое-то иное значение. В более глубоком смысле парадокс Эренфеста состоит в том, что внешняя окружность диска не может сократиться, поскольку этому препятствуют её нижележащие слои. Однако и это мнение является ошибочным: все слои диска при вращении сокращаются, синхронно уменьшая свои радиусы и не препятствуя сокращению вышележащего слоя (до скорости порядка 0,7 от скорости света) [10]. Результат проявляется таким образом, что уменьшается радиус всего сплошного диска. Игнорировать этот обязательный эффект Лоренца для вращающегося диска мы не имеем права.

Более того, в связи с этим в рассмотренном решении следует указать на ещё одну ошибку: в случае вращающегося диска часы, закреплённые на нём должны идти быстрее, чем неподвижные часы вне диска, что показано в первой главе данной работы [9]. Если вращающиеся часы движутся вместе с диском, а не по жёсткой траектории вокруг центра, то сокращение внешней окружности диска для вращающихся часов отсутствует, но наблюдается для неподвижных. При этом с одной и той же скоростью вращающиеся часы проходят с разных точек зрения разный путь: больший путь за большее время со своей точки зрения проходят вращающиеся часы, но с точки зрения неподвижных часов они прошли меньший путь, соответственно, за меньшее время.

8.4 Решения Скобельцына: ускоренное движение

Ещё одно решение парадокса предложено в работе [7, с.95], в которой парадокс близнецов рассмотрен в эквивалентном ему виде парадокса часов. В рассматриваемом далее разделе этой работы приводится решение без использования формализма ОТО, однако мы его рассматриваем, поскольку его итоги используются в следующем разделе, при решении парадокса в формализме ОТО. Условия задачи сформулированы следующим образом:

"... при t = Т = 0 часы В находятся в начале координат, а часы А -- на расстоянии х₀ + Δх₀ = Х₀ + ΔХ₀ от B в направлении ... положительной оси х (и Х). Таким образом, положительную ось X будем предполагать направленной от B к А. (Часы А неподвижны в инерциальной системе X, Т.)" [7, с.100].

Изобразим на рисунке, на диаграмме Минковского согласно приведённому описанию начальное положение системы и её положение в конце ускоренного движения. Сразу же сталкиваемся с некоторой неопределённостью слагаемых в равенстве х₀ + Δх₀ = Х₀ + ΔХ₀. Поскольку эти интервалы указаны как физическое расстояние между A и B, а в дальнейшем B движется к A сначала ускоренно на интервале ΔХ₀, а затем инерциально, то правильнее это равенство записать инверсно: Δх₀ + х₀= ΔХ₀ + Х₀. Приращения интервалов, очевидно, так и следует понимать - интервал ускоренного движения.

twin paradox

Рис.8.2 Иллюстрация к решению Скобельцына [7, с.100]

На этом рисунке координатные оси двух систем отсчёта в начальный момент времени разнесены условно, чтобы избежать их слияния. Часы изображаем точками вместо окружностей, иначе рисунок получается чрезмерно затенённым.

"Скорость B относительно A (и A относительно B) в начальный момент времени равна нулю. Затем на протяжении пути ΔХ₀ часы B ускоряются по какому-то произвольному закону в направлении к A и в момент времени t₁ приобретают скорость β₀ (относительно A), после чего (при t≥t₁) движутся равномерно с этой скоростью β₀ в направлении к A (так же как A движется с той же скоростью относительно B, но в противоположном направлении)" [7, с.100].

Теперь нанесём на рисунок и новое положение часов B в конце ускоренного движения. Также заметим, что начальные координаты и их смещения в двух системах отсчёта в общем случае не равны друг другу: x₀≠X₀ и Δx₀≠ΔX₀. Оси координат x и X диаграммы рис.8.2 вытянуты непропорционально осям времени, поэтому превышение скорости света - кажущееся.

"Определим изменение показаний ΔТ_А часов A за время ускорения B с "точки зрения системы B (х, t)". В дальнейшем слова "с точки зрения системы B" будем понимать условно так, как если бы координаты какого-то объекта, например A (т.е. х_А и t_A), удаленного от B, могли бы быть измерены наблюдателем B на расстоянии ("дистанционные измерения")" [7, с.100].

Заметим противоречивость последнего утверждения. Если наблюдатель измеряет чьи-то координаты, пусть и дистанционно, то эти измерения являются объективными, а не "точкой зрения". Правильнее "точкой зрения" называть мысленные представления об этих координатах, например, вычисленные по какой-либо аналитической методике. Также отметим, что β₀ на самом деле является не скоростью, а отношением действительной скорости относительного движения v₀ к скорости света c:

twin paradox

Для решения задачи автор использует вспомогательную "мгновенную инерциальную систему - B₀" с координатами X' и T', известную также как мгновенная сопутствующая инерциальная систем отсчёта - МСИСО [7, с.100]:

"Координаты х, t ускоренной системы B совпадают в каждый данный, фиксированный момент времени t (который выше обозначили t₀) с координатами X', T' "мгновенной инерциальной системы B₀". Эти же последние связаны с координатами X, Т формулами преобразования Лоренца (см. (I.32) и I.33)), которые в соответствии с введенными выше условиями, как легко убедиться, имеют вид

twin paradox

Теперь нанесём на наш рисунок величины, входящие в эти уравнения. В сноске [7, с.101] указано, что X_B(t) - это координата начала системы B₀ - МСИСО, по определению совпадающая с ускоренно движущимися часами B, в неподвижной системе отсчёта X, T в некоторый момент времени t = t_n. По аналогии с "изменение показаний ΔТ_А часов A" делаем вывод, что ΔX_А - это изменение удалённости часов A за это же время в той же системе отсчёта. С учетом нулевых начальных условий знаки интервала Δ можно отбросить.

Поскольку, как указано выше, уравнения описывают точку зрения наблюдателя B₀, то x_A - это расстояние, удалённость его от A в своей системе отсчёта, равное этой же удалённости в системе A с учётом лоренцева сокращения. Далее с краткими обоснованиями уравнение (IV.4), переписывается с заменой символов в (IV.6), затем в (IV.7) и, наконец, с подстановкой T' в следующем окончательном виде:

twin paradox

Здесь T' - время системы B, в течение которого она достигнет часов A, двигаясь после момента t = t₁ с постоянной скоростью β₀. Таким образом:

"Выражение (IV.8) дает показание часов A так, как оно представляется наблюдателю B, если он (B) определит это "показание" согласно отсчетам в координатах x, t в момент его (B) времени t₁, т.е. находясь от A на расстоянии x_A(t₁)" [7, с.102].

Поскольку с момента начала инерциального движения и в течение своего времени T'₀ наблюдатель B на основе наблюдений (измерений) ожидает, что в системе A пройдёт меньший интервал времени, согласно лоренцеву замедлению. Следовательно, с его точки зрения в момент встречи с A их показания (Пок. A)_B будут

twin paradox

Наконец, утверждается, что показания часов A в момент начала инерциального движения T_a имеют одно и то же значение как с точки зрения B, так и с точки зрения A. Из этого строго логически следует, что в момент встречи показания часов A с их точки зрения (Пок. A)_A также будут равны их показаниям и с точки зрения B (Пок. A)_B

twin paradox

На этих основаниях делается вывод, что собственное время часов A в момент встречи совпадает с обеих точек:

В сущности, приведённые аргументы являются решением парадокса близнецов без использования положений общей теории относительности, но и, формально, хотя и средствами специальной теории относительности, однако всё-таки за границами её применимости.

Заметим, что рассмотренное решение фактически является двойным: на этапе ускоренного движения показано, что время на часах A одинаково с обеих точек зрения, а показания часов B - меньше показаний часов A. Этап инерциального движения при t > t₁ лишь добавляет к этим показаниям ещё один участок "парадокса близнецов" в варианте парадокса ровесников, теперь уже решённый строго в рамках СТО.

Вместе с тем следует отметить явную искусственность, слабую обоснованность выражения (IV.8). Действительно, в основу его положено представление о T_a как эквиваленте t_B(t') в выражении:

twin paradox

Однако в этом выражении первое слагаемое является определённо инерциальным:

twin paradox

А в уравнении (IV.8) это же слагаемое T_a описывает ускоренное движение, в котором скорость β не является константой. Тем не менее, это обстоятельство никак не комментируется, а производятся дальнейшие преобразования.

В доказательстве использовано ещё одно ничем не аргументированное утверждение, на основании которого из уравнения (IV.4) простой заменой символов получено уравнение (IV.6) и далее - (IV.8). В изменённом уравнении переменная T_B(t) приравнивается к величине T_a лишь на том основании, что часы B "проносятся" мимо соответствующих часов станции (a), синхронизированных с часами A. Однако ни из чего не следует, что показания часов T_a на станции (a), мимо которых пролетают часы B, равны их собственным показаниям T_B(t). Это обстоятельство определённо требует доказательства: действительно ли ускоренно движущийся наблюдатель имеет верные представления о неподвижных часах? Рассмотрим это на простом примере.

Пусть в неподвижной ИСО A между точками A и C движется наблюдатель B с постоянным ускорением a = const и нулевой начальной скоростью. Через заданное время t₀ наблюдатель B достигает заданной скорости v₀. Время t₀ - это, так сказать, показания часов A с точки зрения часов A. В системе A уравнение движения наблюдателя B имеет вид:

twin paradox

Следовательно, с точки зрения неподвижной системы отсчёта, наблюдатель B прибудет в конечную точку C в момент времени t₀ с ускорением a_B и скоростью v₀:

twin paradox (8.4.01)

Теперь для определения времени встречи C и B по собственным часам B составим уравнение релятивистского интервала. Находим дифференциал линейной величины:

twin paradox

Подставляем в уравнение интервала (принимаем c = 1). Поскольку движение времениподобное, то квадрат интервала является отрицательной величиной, добавляем ей соответствующий знак:

(8.4.02)

Здесь мы делаем традиционную замену обозначений: интервал, делённый на скорость света, является собственным временем движущейся системы отсчёта, в нашем случае системы B. После тривиальных преобразований получаем:

(8.4.03)

Теперь интегрированием находим показания часов B:

twin paradox (8.4.04)

Интеграл является табличным, решение которого имеет вид

twin paradox

Для удобства сделаем замену переменной:

twin paradox

Подставляем наши переменные в уравнение интеграла и получаем решение:

twin paradox

После подстановки пределов интегрирования получаем:

twin paradox (8.4.05)

Согласно алгоритму вычислений, мы получили время в конце пути часов B с точки времени часов A - t_B. Соответственно, время часов A в конце пути с их же точки зрения задано условиями задачи: t_A = t₀.

Теперь нам необходимо получить эти же времена с другой точки зрения, с точки зрения часов B. В этом случае мы замечаем, что ускорение, с которым движутся часы C с точки зрения часов B, отличается от ускорения a_B(8.4.01):

twin paradox (8.4.06)

Сразу же обнаруживаем, что для определения времени и ускорения с точки зрения наблюдателя B нам недостаточно заданных начальных условий, поэтому мы постулятивно принимаем, что время t_B с обеих точек зрения одно и то же и соответствует уравнению (8.4.05). Действительно, для наблюдателя B нам известны только значения скоростей в начале и конце пути. С некоторой долей условности мы также приняли, что и часы C с точки зрения наблюдателя B движутся с постоянным ускорением (8.4.06).

Для определения времени t_A с точки зрения наблюдателя B вновь составим уравнение интервала, но теперь уже с его точки зрения. Здесь мы учтём два обстоятельства. Во-первых, часы A и C синхронны, поэтому во всех уравнениях мы можем движущиеся часы C отмечать индексом A. Во-вторых, решения уравнений релятивистского интервала всегда показывают, что движущиеся часы идут медленнее. Но в нашей задаче точно известно, что движутся часы B, поэтому решению интервала также должно соответствовать их замедление. Это верно, если при составлении интервала с точки зрения B учесть, что движется именно B, то есть, мы составляем уравнение движения B в системе A с точки зрения B, то есть, величина x_A означает координату часов B в системе отсчёта A с точки зрения B:

twin paradox

Находим квадрат дифференциала линейной величины и подставляем в уравнение релятивистского интервала:

Здесь мы вновь делаем традиционную замену обозначений: интервал, делённый на скорость света, является собственным временем движущейся системы отсчёта, в нашем случае системы A. После тривиальных преобразований получаем:

(8.4.07)

Рассмотрим это уравнение в инверсной записи:

twin paradox (8.4.08)

Определим явно смысл входящих в него переменных: dt_B - это бесконечно малый отрезок времени, прошедшего по часам B, когда по часам A прошёл бесконечно малый отрезок времени dt. Оба уравнения (8.4.08) и (8.4.07) тождественны и означают, что один отрезок времени больше (меньше) другого в корень раз, причём величина этого корня зависит от текущего значения времени t. Но для нас сейчас более важным является то, что конечные значения этих времён соответствуют разным интервалам времени движения. Иначе говоря, интегрируя уравнение (8.4.08) мы подставим в интеграл верхним пределом t_A, а интегрируя уравнение (8.4.07), мы подставим верхним пределом t_B. Очевидно, что соответствующие значения интегралов также будут различаться, причём в случае интегрирования (8.4.07) мы получим некоторое значение времени t_A. Поскольку переменной интегрирования является время часов B, результат, по всей видимости, означает время часов A с точки зрения часов B, что мы обозначим верхним индексом:

twin paradox (8.4.09)

Однако непосредственно взять этот интеграл мы не можем, поскольку в нём присутствует величина t, являющаяся сложной функцией от времени t_B, неявно заданной уравнением (8.4.05). Иначе говоря, при вычислении интеграла (8.4.09) нам следует задать некоторое текущее значение t_B и вычислить соответствующее ему значение t в подынтегральном выражении (8.4.09) с помощью уравнения (8.4.05). Очевидно, чисто аналитическое интегрирование (8.4.09) представляет собой практически неразрешимую задачу. Но мы можем поступить иначе - заменим подынтегральную переменную. Согласно тому же выражению (8.4.05) мы можем записать:

twin paradox

А поскольку значение t_B получено интегрированием, то и значение дифференциала точно определяется из (8.4.04):

twin paradox (8.4.10)

Подставив его в (8.4.09), находим:

twin paradox (8.4.11)

Очевидно, что верхнему пределу изменения величины t_B соответствует верхний предел изменения величины t_A, поэтому мы и подставляем верхним пределом интеграла t₀. Решением интеграла, как мы полагаем, является время движения часов C до встречи с часами B с точки зрения часов B.

Полученный интеграл также не имеет табличных аналогов, то есть, вычислить его непосредственно вряд ли возможно. Однако беглый взгляд показывает, что его величина определённо не равна t₀, то есть, времени в пути до встречи C и B с точки зрения системы A. Действительно, ускорения не равны: a_B≠ a_A, что явно следует из уравнений (8.4.01) и (8.4.06):

twin paradox (8.4.12)

Если же предположить их равенство, то интеграл (8.4.11) примет тривиальный вид:

twin paradox

То есть, время встречи C и B с точки зрения B (верхний индекс) стало равно времени встречи и с точки зрения A. Но, как видно из выражений (8.4.12), подынтегральная функция определённо больше единицы, следовательно, следует ожидать, что

Приведённые аргументы мы не будем рассматривать как однозначное опровержение предположения о равенстве этих времён в рассматриваемой работе. Будем осторожно считать их основанием для сомнений в обоснованности сделанного в работе предположения. Добавим, что выявленная некорректность рассмотренных преобразований, несомненно, перейдёт и на замкнутый симметричный цикл с возвратом часов B в исходную точку, который по этой причине мы не рассматриваем.

8.5 Решение Скобельцына: использование ОТО

После рассмотрения ускоренного движения часов с кинематической точки зрения автор предлагает выкладки теперь уже с точки зрения общей теории относительности, представляющие в упрощённом виде решения Мёллера [7, с.108]. Представлены новые довольно объёмные выкладки с использованием гиперболических функций, направленные на обобщение основного соотношения, определяющего замедление хода движущихся часов относительно неподвижных [7, с.113]:

twin paradox

Результатом этих преобразований можно назвать уравнение:

twin paradox

Использование этого уравнения для решения рассмотренной выше задачи, парадокса часов после очередного ряда нетривиальных преобразований с гиперболическими функциями приводит к новому итоговому уравнению:

twin paradox

Как указывается, первый член уравнения - это собственное время, показываемое с точки зрения B часами, неподвижными в системе координат X, T в момент времени t = t₁ при заданных начальных условиях, то есть, T_a [7, с.116]:

"... на расстоянии ΔХ₀ от начала координат X, Т находятся часы "станции" а, где заканчивается ускорение В. Следовательно,

twin paradox

Однако это некорректное обоснование. Действительно, показания T_a часов (a) не являются "точкой зрения часов B", это показания "дистанционного наблюдения", а не результат теоретических вычислений. Согласно уравнению (I.31), использованному при выводе уравнения (IV.8), уравнение с точки зрения B для T_a должно иметь примерно такой вид:

twin paradox

Но это уравнение не является уравнением ускоренного движения, рассматриваемого в задаче, это уравнение инерциального движения, без ускорения, оно определённо не описывает ни "точку зрения B", ни показания часов "станций" a. Иначе говоря, ни из чего не следует, что вычисленное значение первого слагаемого в (IV.64) равно "наблюдаемому", то есть, действительному значению T_a.

Доказательство равенства вторых членов уравнений (IV.64) и (IV.8), произведённое рядом преобразований, также выглядит противоречиво. Действительно, на участке движения t > t₁ движение по условиям задачи является инерциальным, то есть, ускорение не просто не зависит от времени, оно равно нулю. Следовательно, второе слагаемое (IV.64) не равно второму слагаемому в (IV.8), поскольку равно нулю:

twin paradox

Приведённые выкладки, как видим, явно не содержат гравитационных положений общей теории относительности. Поэтому далее автор производит преобразования уравнения (IV.48) с введением представлений о силовом поле в системе x, t, в которой находятся часы B. Ускоренное движения часов происходит вследствие того, что на него действует некоторая сила, для описания которой формально вводится функция χ(x, t), определяемая условием:

twin paradox

Проведя вновь ряд чисто формальных преобразований с гиперболическими функциями, автор приходит к выражению

twin paradox

Далее на основе вполне корректных логических и физических рассуждений автор приходит к заключению:

"Решая задачу о поведении движущихся часов в том новом варианте, который теперь имеется в виду, мы убедились, что можно игнорировать ускорение самой системы координат, введя взамен некоторое эффективное силовое поле (согласно Эйнштейну, поле тяготения) [7, с.121].

Однако эти рассуждения не завешаются обязательным заключением, что показания часов A с точки зрения часов B в конечной точке ускоренного движения совпадают. Иначе говоря, считать эти рассуждения доказательным решением парадокса близнецов в формализме ОТО достаточных оснований нет.

8.6 Территория заблуждений

Медленное сближение часов

Существует довольно любопытное заблуждение: если двое часов сближаются с очень медленной скоростью, то их взаимное отставание будет минимальным:

"В этой связи существенно еще отметить, что если достаточно медленно перемещать часы а₂ в направлении к а₁ или, наоборот, а₁ к а₂ и в результате такого перемещения совместить в пространстве а₁ с а₂, то синхронизм данной пары часов в пределах сколь угодно малой погрешности Δt не нарушится" [7, с.49].

Такое же мнение высказано и в работе [4, с.48]:

"Чтобы исключить действие фиктивных сил на C и сохранить темп хода часов C как можно ближе к темпу часов A и B, перенос должен производиться как можно более медленно и плавно".

Однако это довольно завуалированная ошибка. Рассмотрим двое часов A и B, находящихся на расстоянии X друг от друга. Пусть часы B приближаются к часам A с двумя разными скоростями. В одном случае - это большая скорость V, в другом - маленькая скорость v. Вычислим, в каком из этих двух вариантах приближающиеся часы отстанут меньше.

В сущности, задача тривиальная. С точки зрения неподвижных часов A часы B приблизятся к ним через время:

twin paradox

Соответственно, по часам B пройдёт время:

twin paradox (8.5.1)

Следовательно, отставание часов B от часов A будет равно:

twin paradox

Чтобы выяснить, в каком варианте отставание больше, разделим эти две разницы времён друг на друга:

twin paradox (8.5.2)

Из (8.5.1) можно заметить, что при максимально возможной скорости отставание часов B от часов A равно X/c, то есть, фактически часы B стояли и в момент встречи на разницу времён влияния не оказали. Вновь принимая c=1, сравним, каким будет отношение времён отставания для максимальной скорости V=c и какой-либо меньшей:

twin paradox (8.5.3)

Для оценки значения этой величины, найдем предел этого отношения при меньшей скорости, стремящейся к нулю. Очевидно, что это будет и в целом характеризовать это отношения. Итак:

twin paradox

Непосредственно выражение вычислить сложно. Однако существует формула приближения для корня, используем его:

twin paradox (8.5.4)

Это означает, что чем меньше скорость сближения, тем больше отношение времени этого сближения по сравнению со временем сближения со скоростью света. Буквально это означает, что уменьшение скорости сближения часов приводит к увеличению времени отставания движущихся часов, вопреки распространённому мнению.

Однако, возможно возражение: ведь мы использовали приближённую формулу, причём сравнивали предельные скорости сближения. Ответ достаточно прост. Посчитаем это отношение просто для конкретных величин скоростей сближающихся часов, находящихся на расстоянии 1 световой год. Пусть в одном случае часы сближаются быстро, со скоростью √3/2 - 0,866 от скорости света, а во втором - со скоростью в половину скорости света. Согласно (8.5.2) имеем:

twin paradox

То есть, при большой скорости сближения - 0,9 от скорости света, приближающиеся часы отстанут почти в два раза меньше, чем при медленной скорости сближения ≈ 0,5 от скорости света. Можно рассчитать отношение и для ещё более низкой скорости медленного сближения, например, 0,1 от скорости света. Тогда согласно (8.5.2) имеем:

twin paradox

Как видим, при ещё более медленной скорости сближения разница показаний часов возрастает многократно. Можно показать это отставание и в абсолютных значениях, а не как отношение к большой скорости движения. Согласно (8.5.1) при сближении со скоростью, равной половине скорости света, при встрече часы B отстанут на время:

twin paradox

При сближении с десятой долей от скорости света, медленнее:

twin paradox

Наконец, отставание часов при быстром сближении со скоростью 0,866 от скорости света составит:

twin paradox

Таким образом, если по условиям задачи желательно сблизить часы с минимальным влиянием лоренцева эффекта на движущиеся часы, сближение следует производить со световой скоростью. В рассмотренной задаче в этом случае отставание часов B от часов A составит:

twin paradox

Добавим, что в цитируемой работе автор, судя по всему, предполагает, что лоренцевы эффекты наглядно проявляются главным образом при субсветовых скоростях. Однако представленные выкладки показывают, что даже при минимальных скоростях вклад эффектов лоренцева замедления часов оказывается существенно выше, чем при субсветовых скоростях.

Синхронное ускорение ракет

Ещё одно заблуждение в рассмотренной работе содержится в анализе ускоренного движения ракет в одном направлении и с одинаковыми ускорениями [7, с.72]:

"В этом ... примере, обоим партнерам (А и В) сообщается одинаковое ускорение относительно исходной инерциальной системы, однако они ускоряются в течение достаточно длительного времени, а именно около одного года (по земным часам). В данном случае ... А и B вначале покоятся в определенной инерциальной системе координат. В дальнейшем буквами X и T обозначим координаты этой системы. После завершения стадии ускорения A и B останавливаются в другой инерциальной системе (координаты x, t), скорость которой относительно X, Т равна β₀" [7, с.73].

Заметим, что эта задача во многом повторяет известный парадокс Белла, в котором ракеты связаны тросом и, как верно указано, в процессе движения трос разрывается [7, с.77]. Как отмечено в цитируемой работе,

"Пусть в данном случае расстояние это дано в системе X, T и равно ΔХ₀ = const. Нас интересует расстояние Δх между положениями тех же объектов A и B, но зафиксированными в системе х, t (в тот же момент времени Т).

Поскольку A и B - положения данных объектов, отмеченные одновременно в системе X, T, положения их в системе x, t неодновременны" [7, с.74].

Напомним, что X, T - это координаты инерциальной системы отсчёта, в данном случае неподвижной. Координаты x, t - координаты движущейся инерциальной системы отсчёта, в которой закреплены партнеры A и B. Изначально эта система двигалась ускоренно, но в некоторый момент времени ускорение прекратилось. Обратим внимание на следующее утверждение:

"... сначала "остановится" B, а позднее A (если B стартует впереди A в направлении положительных X -- в направлении движения)" [7, с.74].

Далее в обозначения космонавтов вносятся изменения:

"В дальнейшем буквами а и b будем обозначать положения космонавтов A и B в системе х, t после "остановки" в этой системе их обоих" [7, с.74].

Немного ниже, приводится ещё одно условие задачи:

"... В начальный момент времени - момент старта, A находится на Земле, а B где-то на расстоянии ... 9x10⁹ см, т.е. ... около 100 тыс. км от A, т.е. от Земли. Расстояние ΔХ между A и B в течение всего рассматриваемого времени ... остается постоянным, равным ΔХ₀. Далее предположим, что A и B стартуют одновременно (в системе X, T), набирая скорость в направлении от A к B. Постоянное "собственное" ускорение g ... положим равным 10¹⁰ см/сек² ... Это ускорение сообщается космонавтам в течение времени Т₀, равного примерно одному году, если время измеряется по часам, остающимся неподвижными на Земле (в системе, X, Т). Положим Т₀ = 3х10⁷ сек. По истечении примерно одного года по земным часам (следовательно, одновременно по этим часам) моторы обоих космонавтов (A и B) выключаются. ... ясно, что в системе X, Т траектории A и B тождественны. Прямолинейная траектория B лишь "сдвинута" в направлении от A к B на расстояние, равное ΔХ₀ = 9x10⁹ см, остающееся постоянным во время движения" [7, с.75].

Все эти замечания являются предварительными, описательными. Основные вычисления производятся после того, как по условиям задачи:

"A и B в конце концов останавливаются в системе х, t, но они все время движутся - вначале ускоренно, а затем равномерно, "если их рассматривать с точки зрения системы X, Т (при T > 0)" [7, с.75].

Сразу же делается заключение, что:

"Эффект "постарения" одного из космонавтов относительно другого ... невелик. Окажется, что по завершении времени ускорения B стал старше A всего примерно на один месяц (или, точнее, на 1/10 часть года), если ... до старта оба они были ровесниками" [7, с.75].

Также в задаче ставится вопрос о расстоянии между космонавтами в остановившейся ИСО x, t, которое обозначено символом Δx₀. Для вычисления этих величин приводятся соответствующие выкладки, на основании которых получено Δx₀ = 9х10¹⁶ см [7, с.76].

Последующий анализ Доплер-эффекта, произведённый в статье можно дополнить таким наблюдением. С точки зрения каждого из космонавта, его напарник удаляется. Возникает резонный вопрос: медленнее движется отстающий - A, или быстрее движется опережающий - B? Ответ довольно интересный. Представим, что наряду с космонавтами A и B на тех же условиях стартовали ещё несколько космонавтов. Иначе говоря, все их ракеты на старте выстроились в равномерную цепочку. В процессе ускорения каждый из участников цепочки будет видеть, что впереди летящая ракета удаляется, а летящая позади - отстаёт, причём обе скорости равны. Следовательно, все космонавты, находясь в тождественных условиях, будут наблюдать эффект, схожий с космологическим расширением. Таким образом, можно сказать, что не ракеты удаляются друг от друга, а само пространство между ними расширяется, и это расширение связано с эффектами Лоренца.

"... момент времени, когда B мгновенно выключает свой мотор. ... положим, что мотор B выключается в момент времени t = 0. Перенесем теперь в момент времени t = 0 и Т_B = Т₀ начало координат системы X, T, совместив его с положением B в этот момент времени Т_B = T₀, т.е. в момент выключения мотора B" [7, с.79].

Согласно описанным условиям:

"... можно теперь ... определить расстояние АВ ... в момент времени t_A остановки мотора A" [7, с.80].

Здесь мы видим, что время остановки двух моторов A и B считается разным, то есть, новая инерциальная систем космонавтов возникает именно в этот момент, и теперь расстояние AB, обозначенное x_A, полностью принадлежит этой инерциальной системе отсчёта. Величина его определена как x_A = Δx₀ = 9х10¹⁶ см.

Отмечено, что в системе x, t мотор B работал дольше мотора A, поэтому после остановки мотора A расстояние между A и B в этой системе возросло почти в десять раз. Порядок выключения моторов задан условиями задачи:

"Таким образом, В вынужден будет заключить, что по его часам в течение свыше месяца после того, как он сам выключил свой мотор, мотор A продолжал еще работать" [7, с.82].

И вновь мы обязаны возразить: утверждение о разном времени работы моторов ошибочно. Такой вывод сделан на основе следующих рассуждениях, так же верных лишь отчасти:

"Известно, что с часами A ничего "не случилось" и они по-прежнему тождественны часам B. Однако же верно и то, что они стали отставать относительно часов B. Они ведь движутся относительно B со скоростью, близкой к скорости света, а мы знаем, что в этих условиях, с точки зрения B, ход их "замедляется". Стрелки часов A и B были поставлены на нуль в момент старта" [7, с.82].

Далее приводятся выкладки, подтверждающие разное время на часах A и B после того, как оба мотора были остановлены. Сначала вычисляется собственное время остановки мотора B, то есть, показания часов B в момент остановки его мотора. Получено значение τ₀ - 50 сек. Далее, на основе предыдущих рассуждений и выкладок получено также и собственное время A, время остановки его мотора. Получено значение τ_A - 6,5 сек. Делается вывод, что с момента остановки мотора в B, часы в A, то есть, до выключения мотора A по часам в системе B должно пройти ещё 6,5 секунд после остановки мотора B. На этом основании делается утверждение, что:

"Далее, отставание часов A от часов B нарастает и в момент выключения мотора A. Часы А, с точки зрения системы х, t, оказываются отставшими от В практически на 3x10⁶ сек., т. е. на 1/10 года ... Следовательно, в течение времени t = 3x10⁶ сек. они практически стояли" [7, с.84].

Пожалуй, теперь уже следует показать ошибочность приведённых выкладок. Изобразим расширенный вариант задачи в виде следующего рисунка:

twin paradox

Рис.8.3 Иллюстрация к задаче с космонавтами [7, с.72]

Главное, на что следует обратить самое пристальное внимание - это строгая симметрия ситуации. Помимо космонавтов и часов A и B мы можем добавить на рисунок ещё несколько участников: C, D, E, F и так далее, задав им всем одни и те же условия движения - переменную скорость v(t), движение с ускорением. В начальный момент времени показания всех часов установлены в ноль. По истечению некоторого времени T₀ рассмотрим, какова скорость каждой ракеты, и каковы показания на них с точки зрения неподвижной ИСО X-T. Очевидно, что каждый из наблюдателей в этой неподвижной ИСО, оказавшийся в этот момент времени рядом с соответствующей ракетой, просто вследствие симметрии обнаружит на движущихся часах одни и те же показания t₀. Более того, по замерам в неподвижной ИСО X-T расстояние между всеми этими неподвижными наблюдателями, так же вследствие симметрии, будет одно и то же - X₀, в точности равное расстоянию между ракетами в момент старта - ab = AB.

Действительно, это следует из очевидных и элементарных рассуждений. Ни одна из ракет не может достичь скорости света. Но если первая из ракет, двигаясь со скоростью 0,5с, удалится за время 10 секунд на расстояние 5 световых секунд, то летящая впереди неё десятая ракета за это же время, если исходить из представленного в работе решения задачи, должна удалиться на расстояние 50 световых секунд. Но это означало бы пятикратное превышение скорости света. Противоречие снимается, если признать, что расстояние между ракетами в ИСО X-T неизменно на всём протяжении полёта. С другой стороны, если каждая из ракет прошла один и тот же путь в неподвижной ИСО, то при равенстве остальных параметров движения, показания часов этих ракет в этой ИСО будут тождественными. С другой стороны, наблюдатель в каждой ракете увидит "за бортом", соответственно, в один и тот же момент времени по своим часам одни и те же показания внешних, неподвижных часов. Следовательно, если каждому из них будет дано указание выключить свой мотор в момент времени t₀ по своим часам, то в каждой движущейся ракете это будет соответствовать одним и тем же показаниям часов снаружи.

Однако выключение всех моторов означает, что с этого момента все ракеты движутся с одной и той же инерциальной скоростью, достигнутой ею за это время. Действительно, с точки зрения неподвижной ИСО в момент времени T₀ все они достигли одной и той же скорости, всё по той же причине симметрии. Точно так же и с точки зрения ракет все они по собственным наблюдениям в момент времени t₀ достигли одной и той же скорости, также вследствие симметрии. В противном случае мы можем задать такие условия движения, что самая дальняя, передняя ракета, например, миллионная по счёту, обязана достичь скорости выше скорости света, поскольку каждая впереди летящая ракета движется быстрее предыдущей.

Эти обстоятельства известны всем участникам, поэтому единственным верным решением задачи является то, что остановка всех моторов, даже не мгновенная, является одновременной как по их собственным часам, так и по часам "за бортом", и в результирующей ИСО ракет x-t показания всех часов тождественны, расхождений в их показаниях нет никакого.

8.7 Решение Бойера: вариационное исчисление

Если судить по названию статьи "Парадокс часов в ОТО" [3, с.240], то следовало бы ожидать как его формулировку, так и решение. Однако в статье приводятся выкладки, касающиеся лишь части парадокса: обоснованию опережения неподвижных часов с точки зрения движущихся. Конечно, это существенная часть решения парадокса часов, поскольку с точки зрения движущихся часов в формализме специальной теории относительности неподвижные часы должны отставать. Выкладки в отношении парадокса в статье имеют довольно фундаментальный, отвлечённый, если не сказать абстрактный вид. Как такового решения парадокса в них нет, каковым следует считать ответ на главный, сакральный вопрос парадокса: каково мнение двух участников о времени на неподвижных часах в момент возвращения путешественника.

Автор статьи указывает на возможность проведения некоторой параллели между подходами к парадоксу с точки зрения специальной и общей теорий относительности:

"Можно быть склонным занять аналогичную точку зрения в общей теории относительности, где ∫dτ также измеряет собственный интервал времени в истории движущегося наблюдателя" [3, с.240].

Отметим, что речь идёт об интервале времени, собственном времени движущегося наблюдателя, величина τ_B которого при всех подходах меньше интервала собственного времени неподвижного близнеца τ_A. Формулировка парадокса в статье приведена точно, в традиционной форме:

"Многие считают, что это парадокс, демонстрирующий противоречивость специальной теории относительности; оборачивая аргумент, спрашивают, чьи же часы измеряют меньшее время" [3, с.240].

Отметим, что это исходный, изначальный вопрос парадокса. Ответ на него, по сути, бесспорен: меньшее время покажут часы движущегося наблюдателя. Менее очевидным является ответ на вопрос о взгляде двух участников на показания неподвижных часов. При ответе на исходный вопрос в статье делается (повторяется) традиционное замечание о неравноправии двух систем отсчёта, рассматриваемых в парадоксе: неподвижной и движущейся. Движущийся участник совершает переход из одной ИСО в другую. Но это замечание, следует заметить, всё-таки имеет слабую сторону. То, что движущийся участник замечает разворот, мы имеем полное право расширить и на эквивалентный парадокс ровесников, и даже обязаны это сделать. Движущийся участник строго в соответствии со специальной теорией относительности обязан понимать, что путь, по которому он удалился, является для него движущимся жёстким стержнем, испытавшим лоренцево сокращение и, следовательно, в состоянии покоя его длина больше. Действительно, по начальным условиям парадокса путь (железнодорожная линия), по которому движутся вторые часы, закреплён за первыми, неподвижными часами. Следовательно, с точки зрения движущегося участника время по часам всех неподвижных участников на этом пути также оказывается больше и в случае "оборачивания аргумента".

Тем не менее "оборачивание аргумента" в статье просто отбрасывается как некорректное. Соотношение τ_A > τ_B отмечено как очевидное в специальной теории относительности только с точки зрения неподвижной системы отсчёта, о чём в статье явно не сказано, но о чём можно судить по приведённому в уравнении интервалу τ_A = t₂ - t₁: интеграл лоренцева сокращения на этом интервале определённо, очевидно меньше самого интервала.

В статье рассмотрен пример (по ссылке), когда при развороте движущегося участника происходит нарушение соотношения τ_A > τ_B. Такое нарушение, по сути, усиливает парадокс близнецов, усложняет его решение теперь уже с использованием формализма общей теории относительности, поскольку эффект эквивалентной гравитации увеличивает расхождение мнений об инварианте собственного времени неподвижных часов.

В цитируемой статье отмечено, что парадокс возникает исключительно в рамках специальной теории относительности:

"Прежде всего это следствие специальной теории относительности" [3, с.239],

иначе говоря, к его появлению общая теория относительности не имеет непосредственного отношения, хотя и призвана его решить. Однако в цитируемой статье к его решению она привлекается не напрямую, а косвенно, через применение вариационного исчисления:

"... задача определения, является ли интервал собственного времени вдоль геодезической линии максимальным, есть объект для применения вариационного исчисления" [3, с.242].

Поясним, что в данном случае время по геодезической линии - это собственное время неподвижных часов, падающих в эквивалентном гравитационном поле часов, движущихся ускоренно:

"Таким образом, можно было бы ожидать, что собственное время по геодезической линии между двумя точками будет больше, чем по другому какому-либо пути, соединяющему те же точки" [3, с.242].

Собственно говоря, во всех известных решениях парадокса средствами общей теории относительности это обстоятельство считается очевидным и бесспорным. Приведённые выкладки вариационного исчисления показали, что

"... нарушение "парадокса часов" - признак существования сопряженной точки. Легко видеть, например, что парадокс часов всегда имеет место в пространстве - времени де Ситтера (структура космологического "установившегося равновесия") ... [3, с.245].

Понятно, что такой вывод, констатация наличия парадокса определённо не является его решением, однако им не является и предложенная защита:

"В защиту тех, кто все же желает "решить" парадокс часов, можно указать ..."

... далее приводятся уравнения и рассуждения, связь которых с ожидаемым решением парадокса близнецов выглядит довольно туманной, и делается такой же не совсем ясный вывод:

"Так как все наблюдатели свободно падают, их роли теперь взаимозаменяемы в смысле второго раздела. И так как отмеченные ими времена равны в пределах 0(σ³), здесь теперь также нет парадокса. [3, с.246].

Действительно, заключение довольно странное. Как понимать "нет парадокса"? Замечаем, что в начале фразы слово "решить" взято в кавычки, которые в таком контексте обычно подразумевают сомнение в корректности термина. Если нет парадокса, то и решать, конечно же, нечего. Однако, поскольку существование парадокса близнецов" - общепризнанный факт, то приведённые выкладки вновь следует признать отвлечёнными, не имеющими отношения к этому парадоксу. В заключение автор цитируемой статьи это, можно сказать, подтверждает прямо:

"Цель этой статьи - показать, каким образом хорошо известная техника вариационного исчисления ... может применяться к неопределенной метрике общей теории относительности" [3, с.246].

В этом смысле название статьи можно посчитать неточным, вводящим в заблуждение читателя, стремящегося разобраться с парадоксом близнецов, найти приемлемое, убедительное его решение.

Выводы

Решением парадокса близнецов следует считать строгое аналитическое или точное численное доказательство инвариантов времени каждого из близнецов. Собственное время каждого близнеца должно быть одним и тем же с точки зрения каждого из них. Эквивалентным является парадокс трёх ровесников, два их которых находятся на некотором расстоянии друг от друга, а третий перемещается между ними.

В подавляющем большинстве работ по парадоксу близнецов присутствует описательная аргументация, без строгих аналитических выкладок, что не позволяет рассматривать их как обоснованное решение парадокса.

Детальное решение Мёллера для линейного движения часов содержит ошибки. Верный итог решения получен путём подмены понятий, подгонкой уравнений под известный результат. Решение парадокса, причём исключительно средствами специальной теории относительности, может быть получено после исправления некорректных подстановок и в рамках использованных в решении допущений - мгновенного разворота. Формализм общей теории относительности в случае мгновенного разворота на самом деле не используется, поскольку гравитационный вклад в темпы хода часов сводится к нулю.

Решение парадокса во вращающейся системе отсчёта в работе Мёллера на самом деле является некорректным: использована подмена понятий, подстановка одной и той же, вычисляемой величины в обе части уравнения, справа и слева от знака равенства. Фактически инвариант времени неподвижных часов приравнен самому себе. С точки зрения движущихся часов инвариант этого времени не доказан.

В доказательстве использовано уравнение общей теории относительности для гравитационного замедления темпа хода часов. Хотя уравнение содержит приближённые значения параметров, решение представлено как точное, что, очевидно, свидетельствует о его ошибочности, о чём свидетельствуют численные вычисления и этими параметрами.

Решения парадокса в работе Скобельцына следует признать неполными и недостаточно корректными.

Вопреки распространённому мнению вклад эффектов Лоренца в замедление времени в движущейся ИСО тем выше, чем ниже их относительная скорость.

Выкладки по парадоксу часов, движущихся с субсветовой скоростью [7, с.72], содержат ошибочные предположения относительно одновременности и ведут к неверным выводам.

Представленные в этой работе решения парадокса с ускоренным движением содержат неточности. Определение показаний удалённых часов A при t = t₁, в конце интервала ускоренного движения часов B как с их точки зрения, так и с точки зрения неподвижной системы отсчёта A, опирается на некорректные основания.

В уравнениях (I.31), (IV.4) и (IV.6) эта величина определена быть не может, поскольку они неприменимы к неинерциальному движению, что отмечает и сам автор:

"... применявшееся нами при рассмотрении инерциальных систем выражение для dT_A/dt в случае неинерциальных систем отсчета неприменимо" [7, с.106].

Приведённые доказательства инварианта собственного времени неподвижных часов содержат противоречия, поэтому выкладки не позволяют сделать вывод о равенстве показания часов A с обеих точек зрения [7, с.103]. Таким образом, решение парадокса как инвариантов собственного времени следует признать некорректным.

Литература

1. Marder L., Time and the space-traveller, \\ L.Marder, Senior Lecturer in Applied Mathematics, University of Southampton University of Pennsylvania Press, Philadelphia. George Allen & Unwin Ltd., 1971.

2. Moller С., The Theory of Relativity. Oxford, 1952, p. 258, ї98.

3. Бойер Парадокс часов в ОТО. "Эйнштейновский сборник 1968", с.239-246. Ответственные редакторы И.Е.Тамм, Г.И.Наан, Составитель У.И.Франкфурт. - М.: "Наука", 1968 г.

4. Мардер Л., "Парадокс часов", Пер. с англ. А.А.Бейлинсона, с предисловием Н.В.Мицкевича, Изд. "МИР", Москва, 1974.

5. Мёллер К., Парадокс часов. "Эйнштейновский сборник 1968", с.230-238. Ответственные редакторы И.Е.Тамм, Г.И.Наан, Составитель У.И.Франкфурт. - М.: "Наука", 1968 г.

6. Мёллер К., Теория относительности, Изд. 2-е. Пер. с англ. Под ред. проф. Д. Иваненко. - М.: Атомиздат, 1975, 400 с.

7. Скобельцын Д.В., "Парадокс близнецов в теории относительности", АН СССР, М.- "Наука", 1966

8. Эйнштейн А., О принципе относительности и его следствиях. Сборник научных трудов, т.1. - М.: Наука, 1965, с.65-114

Статьи автора

9. Парадокс близнецов - обзор решений, гл.1 Классические решения в СТО, http://samlib.ru/p/putenihin_p_w/twin01.shtml

10. Решение парадокса Эренфеста, журнал "Точная наука", ИД Плутон, вып.36, 2019 г., URL: https://elibrary.ru/contents.asp?id=36825393 с.8-22

Комментарии: 1, последний от 16/10/2019. © Copyright Путенихин Петр Васильевич (pe_put@rambler.ru) Размещен: 06/08/2019, изменен: 06/08/2019. 90k. Статистика. Статья: Естествознание Парадокс близнецов Иллюстрации/приложения: 91 шт. Скачать FB2		Ваша оценка:
Аннотация: Рассмотрены авторитетные решения парадокса близнецов (часов) в формализме общей теории относительности. Выявлены некорректные выкладки, подмены понятий. Рассмотренные решения парадокса являются как неточными, так и неполными. В большинстве случаев отсутствует доказательство инварианта собственного времени неподвижного близнеца, часов.

Путенихин Петр Васильевич : другие произведения.

Обзор О Т О - решений парадокса. Парадокс близнецов, гл.8