простой корректирующий метод. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕРНОСТИ
В "П.К.М." я писал, что если интеграл J1 вычислен при n1, а тот же интеграл вычислен при n2 и получено значение J2, то более точное значение можно получить по формуле:
J3 = J2*n2 - J1*n1 _______________ (1)
где n2 = n1 +1
Доказательство верности формулы
Допустим, что интеграл вычисляется от монотонно убывающей функции. То есть:
J1-J2 > 0
эта разница положительна и равна малой величине:
J1 - J2 = s
( s>0 )
И если мы докажем, что верно неравенство:
J3 - Jw < s
где Jw это точное значение интеграла, то этим докажем истинность формулы (1)
Доказательство выглядит просто:
J2*n2 - J1*n1 - Jw < s
J2*n2 - J1*n1 - Jw < J1 - J2
Так как n1 = n2 -1 , то:
J2*n2 -J1*n2 + J1 - Jw < J1 - J2
J2*(n2+1) < J1*n2 + Jw
Последнее выражение доказывать не надо, поскольку при достаточно большом n2 оно очевидно. Ведь оно равносильно неравенству:
J2 < J1 + g
где g - очень малая положительная величина
А можно доказать ещё проще:
J3 - Jw < J2 - Jw
J3 < J2
J2*n2 - J1*n1 < J2
J2*(n2-1) < J1*n1
J2*n1 < J1*n1
J2 < J1
доказано...
А доказательство для монотонно возрастающей подынтегральной функции аналогично.