Аннотация: Перевод работы Дона Н. Пейджа (Don N. Page), физический факультет университета Альберты. О возможной методике проверки теорий мультиверса. Переводчик - владелец раздела.
Предсказания и проверки теорий мультиверса
Дон Н. Пейдж
Институт теоретической физики
Физический факультет университета Альберты
каб. 238 CEB, 11322 - 89 Avenue
Эдмонтон, Альберта, Канада T6G 2G7
(дата окончания 25 июня 2004 г.; под редакцией Бернарда Карра, 2004-2006)
Резюме
Факт пригодности значений физических параметров для существования жизни можно объяснить, пожалуй, практически любым сочетанием провидения, случая или многомирия. Последняя концепция, именуемая обычно мультиверсом, предполагает, как правило, наличие элементов, которые мы не в состоянии наблюдать. Несмотря на это, хорошая теория мультиверса может объяснить наблюдаемое, если она включает в себя подходящую меру для наблюдений. Таким образом, приемлемость теории мультиверса может быть проверена наблюдениями. В целях таких проверок и байесовского анализа различных теорий, предсказывающих более чем один результат одного и того же наблюдения, полезно ввести понятие "типичности" как меры правдоподобия того, что произвольный взятый результат окажется не менее экстремальным, чем результат действительного наблюдения. Одни теории мультиверса имеют дело с единственной вселенной (например, концепция единого квантового состояния, подчиняющегося определенным уравнениям), что вызывает вопрос: а почему применяются именно эти уравнения. Другие вообще нельзя рассматривать как относящиеся к единственной вселенной. Такие теории занимает вопрос не о том, каковы уравнения, описывающие единую вселенную, а скорее о том, почему мера для наблюдений в наборе различных вселенных такова, что делает эти наблюдения в достаточной степени типичными.
Концепция мультиверса и приемлемость значений физических параметров для существования жизни
Многие физические параметры в наблюдаемой части нашей вселенной, будь то физические постоянные или космологические граничные условия, кажутся нам точно подобранными для возможности жизни и нашего существования [1, 2, 3, 4]. Есть три распространенных объяснения этого факта. Одно из них предполагает существование некоего "настройщика", умышленно выбравшего физические параметры такими, чтобы мы могли существовать. Согласно другому, приемлемость параметров является чистой случайностью. Третье объяснение заключается в том, что наша наблюдаемая вселенная является лишь малой частью значительно более обширной вселенной, или мультиверса (либо мегаверса или голокосма - неологизмы, введенные автором для именования всего сущего), и что физические параметры не являются везде одинаковыми, принимая в нашей части мультиверса значения, позволяющие нам существовать.
Эти три объяснения не исключают друг друга. Например, сочетание теории "настройщика" и действия случая ведет к предположению о том, что вселенную создал Бог, оказавший предпочтение особо элегантной единой вселенной, в которой физические параметры совершенно случайно получили значения, позволяющие нам существовать. Сочетая теорию "настройщика" и многомирие, получим, что Бог создал мультиверс и явным образом определил для нас место в нем. Отказ от гипотезы "настройщика" и сочетание лишь случая и многомирия означает, что мультиверс случайно содержал области, пригодные для жизни. Наконец, можно было бы совместить все три объяснения, скажем, следующим образом: Бог создал мультиверс, но он не преследовал цель предоставить нам место в нем; мы существуем в нем лишь случайно.
С другой стороны, представляется вполне возможным (по крайней мере, я не вижу очевидных логичных возражений против этого), что имеется определенного сорта слепая необходимость существования и нас, и единственного мира с единственным набором физических параметров. В этом случае вселенная не является предопределенной (то есть не создана по воле Бога), но мы существуем в ней не случайно.
Я не вижу возможности логически доказать ни правильность, ни ложность любого сочетания указанных выше трех гипотез. Тем не менее, кажется несколько неправдоподобным, чтобы ни одна из них не была хотя бы отчасти справедливой; достаточно неправдоподобно также такое большое число чисто случайных соответствий параметров условиям, пригодным для жизни.
Пожалуй, в этом месте я выложу на стол свои метафизические карты и как истинный христианин заявлю: я верую в то, что вселенная была создана Богом; как специалист по квантовой космологии, симпатизирующий эвереттовскому многомировому толкованию квантовой теории, я также сильно подозреваю, что вселенная является мультиверсом, в разных частях которого физические параметры имеют разные значения. Мне кажется вполне правдоподобным, что - если принять квантовую теорию без произвола редукции волновой функции - Бог мог предпочесть элегантную физическую теорию (возможно, струнную М-теорию без переменных безразмерных параметров), дающую мультиверс, который, тем не менее, был все же именно создан Богом с целью сотворения жизни в некоторой его части.
Хотя лично я верю больше в провидение и многомирие, чем в М-теорию, последняя все же кажется весьма притягательной. Она представляется наилучшим из существующих кандидатов на роль динамической теории вселенной (т.е. ее эволюции, если не ее состояния) и сильно тяготеет к гипотезе мультиверса. Так как М-теория не содержит подстраиваемых безразмерных констант, то если бы она предсказывала лишь единственный набор параметров, было бы весьма удивительно, что они как раз соответствуют условиям нашего существования. Таким образом, если М-теория - или другая ее альтернатива без подстраиваемых безразмерных констант - была бы справедлива, то было бы гораздо правдоподобнее, если бы она давала мультиверс, в разных частях которого действуют разные физические параметры.
Действительно, струнные теоретики [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] приводят доводы в пользу того, что М-теория дает необъятный мультиверс, или ландшафт значений физических параметров и мировых констант. Пока еще неизвестно, может ли он содержать значения, допускающие существование жизни, подобно действующим в нашей части вселенной, но при такой обширности струнного ландшафта это представляется по меньшей мере правдоподобным.
Одно из часто выдвигаемых против мультиверса возражений заключается в том, что он ненаблюдаем. Несомненно, это зависит от того, как определять мультиверс. Одним из определений могло бы быть утверждение о существовании таких различных частей, в которых некоторые физические параметры имели бы различающиеся значения, однако это лишь сместило бы произвол в сторону выбора состава этого набора параметров. Очевидно, если бы набор содержал некоторую величину, изменяющуюся в зависимости от положения (например, плотность энергии), то можно было бы считать мультиверсом даже то, что мы наблюдаем. А если включить в него лишь так называемые мировые константы, такие как постоянная тонкой структуры и другие константы взаимодействий и отношения масс различных элементарных частиц, тогда то, что мы способны наблюдать непосредственно, представлялось бы нам образующим единственную вселенную. Конечно, было бы естественно определить мультиверс исходя из критерия отсутствия видимых изменений физических параметров в непосредственно наблюдаемой части вселенной. В этом случае мультиверс становится ненаблюдаемым и остается открытым вопрос, имеют ли эти константы другие значения в тех частях вселенной, которые мы не можем наблюдать. Многие тогда заявили бы, что это чисто метафизическая концепция, которой нет места в науке.
Однако в науке нет нужды ограничивать сущности лишь наблюдаемыми - мы лишь хотим получить наиболее простую теорию для объяснения и предсказания того, что можно наблюдать. Нельзя научным способом проверить теорию, которая предсказывает ненаблюдаемое, но можно проверить теорию, привлекающую ненаблюдаемые сущности для объяснения и предсказания наблюдаемого. Поэтому, если мы построим теорию мультиверса, которая проще наилучшей теории единственной вселенной и лучше ее объясняет и предсказывает наблюдаемое, то такая теория будет предпочтительнее теории единственной вселенной. Успех такой теории сам по себе укрепил бы веру в существование ненаблюдаемого мультиверса.
Согласно другому возражению, теории мультиверса могут "объяснить" все, но не способны ничего предсказывать, так что их невозможно проверить и поэтому считать научными. Идея здесь заключается в том, что если теория дает все значения физических параметров или иные условия, возможные где-либо в мультиверсе, то наблюдаемые нами параметры и условия будут где-либо существовать. Следовательно, то, что мы наблюдаем, "объясняется" теорией по меньшей мере в этом "где-либо". С другой стороны, если реализуется каждая возможность, то мы не можем предсказать никаких нетривиальных ограничений на то, что может являться наблюдаемым. Если теория не делает никаких нетривиальных предсказаний, то она не может быть подтверждена наблюдениями и ее трудно рассматривать как научную.
Проверяемые теории мультиверса
Достаточно сложные теории мультиверса равно способны как предсказывать, так и объяснять, и поэтому могут быть научным образом проверены наблюдениями. В отличие от теорий единственной вселенной, каждая из которых в принципе допускает однозначное предсказание значений физических параметров, в теориях мультиверса можно лишь делать статистические предсказания о диапазонах значений параметров, но даже это значительно лучше, чем не предсказывать вообще ничего. Но чтобы делать такие статистические предсказания, теория мультиверса должна включать в себя меру для различных наблюдений, которые могут быть сделаны. Если теория допускает все возможные наблюдения, не накладывая на них никакой меры, то нельзя сделать вообще никаких предсказаний.
Так как имеются веские доводы в пользу того, что мы живем в квантовом мире, было бы естественно искать квантовую теорию мультиверса. Если она включает в себя только некоторые квантовые состояния, унитарную эволюцию, интегралы по траекториям, операторы, определенную алгебру операторов и тому подобное, то мы получаем хорошо описанную Сидни Коулменом (Sidney Coleman) [12] чистую квантовую теорию, которая сама по себе не дает никаких мер или вероятностей. Их дает копенгагенская трактовка квантовой теории, но ценой редукции волновой функции в моменты, не определяемые теорией, до состояний, которые являются произвольными.
Здесь я становлюсь по существу на эвереттовскую "многомировую" точку зрения, по которой редукция волновой функции не имеет места. Но чтобы прийти к проверяемой квантовой теории, я предположу, что есть один аспект копенгагенской теории, которым следует дополнить чистую квантовую теорию: это меры наблюдений, представляющие собой математические ожидания некоторых "операторов осознавания".
В копенгагенской теории это проекционные операторы, а соответствующие меры представляют собой вероятности результатов редукции волновой функции. Здесь я не требую, чтобы операторы обязательно были проекционными, хотя, чтобы придать положительность мерам, я должен предположить, что операторы являются по меньшей мере положительно определенными. Далее, я должен предположить, что ничего действительно случайного, подобно редукции волновой функции, не происходит, а всего лишь каждому из возможных наблюдений соответствует своя мера. Проверяя теорию наблюдением, можно считать, что это наблюдение случайно (с мерой, предсказываемой теорией) выбирается из набора всех возможных наблюдений, но онтологически можно предположить, что реально происходят все наблюдения с ненулевой мерой, так что в действительности нет никакого случайного физического выбора между ними.
Чтобы квантовая теория была фундаментальной, потребуется указать, какие наблюдения имеют меры и каковы соответствующие операторы, математические ожидания которых представляют эти меры. По моему мнению, наиболее фундаментальным аспектом истинного наблюдения является осознанное восприятие, или осознавание наблюдения. Поэтому, чтобы придать наборам осознанных восприятий меры как математические ожидания соответствующих положительных операторов, которые я называю "операторами осознавания", я разработал каркас 'осознавательной квантовой механики" ("Sensible Quantum Mechanics' (SQM) [13] или 'бездумного сенсуализма' [14]. Это всего лишь каркас (аналогичный чистой квантовой теории без детализированной унитарной эволюции или алгебры операторов), а не развитая теория, поскольку у меня нет детальных предложений по возможным наборам осознанных восприятий или соответствующих положительных операторов. Для осознанного человеческого восприятия эти операторы предположительно имеют отношение к состояниям человеческого мозга, так что для лучшего их понимания потребовалось бы привлечь физику мозга. Однако я не вижу способа вывода их исключительно из внешнего исследования мозга, так как мы не знаем, что именно осознанно переживает мозг.
Для избежания сложностей физики мозга можно было бы использовать наблюдаемую корреляцию между внешними раздражителями и чувственным опытом, чтобы заменить неизвестные операторы осознавания, действующие на состояниях мозга, операторами, действующими на коррелирующих внешних раздражителях. Это, разумеется, не сработает в случае иллюзорных или галлюцинативных осознанных восприятий, для которых фундаментальные операторы осознавания, будь они известны, предположительно продолжали бы действовать. Но все же можно было бы сосредоточиться на осознанных восприятиях, которые коррелируют с внешними раздражителями и, следовательно, лучше соответствуют тому, что означают наблюдения.
Если оператор осознавания для осознанного восприятия одновременно коррелирует только с одним набором внешних раздражителей, его можно было бы аппроксимировать единственным оператором проекции на некоторую внешнюю систему. Альтернативно, если он коррелирует с последовательностью процессов измерения, то его можно аппроксимировать произведением проекционных операторов или суммой таких произведений, то есть оператором класса в подходе к квантовой теории с позиций концепции декогерентных историй [15, 16, 17].
Таким образом, хотя я не должен рассматривать ни проекционные операторы в копенгагенской теории, ни операторы класса в концепции декогерентных историй как истинно фундаментальные в том же смысле, в каком я предполагаю фундаментальными операторы осознавания, в определенных обстоятельствах они могли бы оказаться приемлемыми приближениями фундаментальных операторов осознавания. Тогда можно было бы рассматривать их математические ожидания в квантовом состоянии вселенной как меру соответствующего осознанного восприятия.
Одним из примеров такой замены мог бы быть расчет меры осознанного восприятия определенного значения постоянной Хаббла. В принципе, в SQM она была бы равна математическому ожиданию некоторого оператора осознавания, который предположительно действует на состояниях мозга, в которых наблюдатель осознает данную величину постоянной Хаббла. Но математическое ожидание этого оператора можно с таким же успехом заменить матожиданием подходящего оператора, действующего на логарифм скорости расширения наблюдаемой части вселенной. Поскольку последний оператор обходится без физики мозга, его было бы удобнее исследовать научными методами, используя его таким образом как приемлемую замену для оператора осознавания.
Однако если математическое ожидание этого последнего оператора существенно зависит от частей вселенной, в которых нет сознательных наблюдателей, его, по-видимому, нельзя использовать как достаточно хорошее приближение: если мы захотим применить его для имитации математического ожидания восприятия в осознанных наблюдениях, придется учитывать эффект выбора, ограничивающий нас теми частями вселенной, в которых существуют сознательные наблюдатели.
Учесть этот эффект выбора во внешних для мозга (или для чего-либо другого, непосредственно получающего осознанные восприятия) операторах так, чтобы их математические ожидания давали достаточно хорошее приближение к матожиданиям фундаментальных операторов осознавания - трудная задача, так как мы не знаем физических критериев сознательности наблюдателей. Например, ничто при нашем нынешнем понимании физики не может подсказать нам, является ли такой-то компьютер сознательным, если не делать никаких предположений о достаточных признаках сознательности. Я также не знаю ничего такого, что при нынешнем понимании физики позволило бы сказать, что в данный момент времени я осознаю некоторые зрительные ощущения, но не осознаю сердцебиение: информация об обоих типах ощущений обрабатывается предположительно мозгом и поэтому должна быть анализируемой чисто физическими методами.
Тем не менее, чтобы хоть очень грубо оценить влияние эффекта выбора, можно было бы выдвинуть непроверенную гипотезу о том, что типичные наблюдатели схожи с нами в том отношении, что нуждаются в определенных сложных химических реакциях и, возможно, в жидкости, аналогичной воде. Затем можно было бы использовать наличие жидкой воды как очень грубое приближение эффекта выбора и связать его с проекционными операторами или операторами класса, аппроксимирующими данное осознанное восприятие, учитывая при этом внешние раздражители, описываемые этими операторами.
Затем можно было бы задаться следующими двумя вопросами: Существует ли жидкая вода в данной части вселенной? Расширяется ли эта часть вселенной с подходящей логарифмической скоростью? Если при некоторой принятой мере ответы на оба вопроса утвердительны, то можно ожидать, что существует математическое ожидание оператора осознавания, приближенно соответствующее данному значению постоянной Хаббла. Это весьма грубое приближение к тому, что я постулирую объективно существующим как математическое ожидание соответствующего истинного оператора осознавания, но при нашем нынешнем неведении, поскольку эти операторы пока еще практически неизвестны, может оказаться полезным и грубое приближение.
Одна из проблем при расчете меры для набора осознанных восприятий как математического ожидания соответствующих "операторов осознавания" состоит в том, что можно получить бесконечные значения. Само по себе это не было бы проблемой, так как можно проверить лишь отношения мер как условные вероятности. Однако, поскольку бесконечны меры сами по себе, появятся неоднозначности при нахождении этих отношений.
Проблема возникает, когда операторы осознавания представляют собой суммы положительных операторов, каждый из которых локализован в конечной пространственно-временной области (что следует ожидать, если операторы соответствуют компактным сознательным существам). Предположим, что один из таких операторов из суммы действует в одной из N пространственно-временных областей равного объема в глобальном пространстве-времени. Тогда, исходя из инвариантности переноса или диффеоморфизма, можно ожидать, что для некоторого оператора осознавания эта сумма будет содержать сумму по соответствующим операторам в каждой из N областей. (Она может содержать также и суммы по операторам, перекрывающим различные области, однако нет необходимости учитывать их для данной цели.) Является по существу лишь предположением то, что если состояние мозга, соответствующее некоторому осознанному восприятию, может иметь место в одной из N пространственно-временных областей, то оно может иметь место (в зависимости от квантового состояния) и в любой другой из остальных N −1 областей. Местоположение такого состояния мозга относительно некоторой координатной системы не должно влиять на содержание вырабатываемого им осознанного восприятия.
Если условия для наблюдателей, получающих соответствующее осознанное восприятие, есть во всех N пространственно-временных областях, так что математическое ожидание оператора в каждой из областей ограничено снизу положительным числом ε, то математическое ожидание полного оператора осознавания (суммы по меньшей мере отдельных положительных операторов в каждой из N областей) будет не меньше Nε. Оно бесконечно, если бесконечно число N таких пространственно-временных областей. Доводом по существу является то, что если математическое ожидание меры осознанного восприятия строго положительно в каждом пространственно-временном объеме в некоторой области, то в пространстве-времени бесконечного объема, в котором это допущение справедливо, мера будет бесконечной. Это можно рассматривать как результат появления бесконечного числа сознательных наблюдателей в пространстве-времени бесконечного объема с условиями, подходящими для жизни и сознательных наблюдателей.
Так как объем раздувающейся вселенной стремится стать сколь угодно большим (бесконечно большое математическое ожидание объема пространства в любой момент времени после начала раздувания и, следовательно, вероятно бесконечно большое число сознательных наблюдателей), то стремится к бесконечности и мера почти для всех непустых множеств сознательных наблюдателей. Есть много исследований [18, 19, 20, 21] на тему того, как получить однозначные отношения этих бесконечных мер (или соотносимых с ними величин, так как не во всех исследованиях используется понятие меры осознанных восприятий), но я полагаю, было бы справедливо думать, что существует пока что не общепризнанное решение.
Это существенная проблема, которую нужно решить, прежде чем мы сможем надеяться на получение тщательно проверяемых предсказаний для раздувающегося мультиверса. Есть смутная надежда, что по какой-либо причине размерность части гильбертова пространства (или пространства квантовых состояний, если оно больше гильбертова пространства), поддерживающей существование сознательных наблюдателей, окажется конечной, так что для всех конечных квантовых состояний математические ожидания всех конечных положительных операторов (включая операторы осознавания) будут конечными, давая, таким образом, конечные меры для всех осознанных восприятий. Но мне не приходит в голову, что могло бы ограничить присутствие сознательных наблюдателей конечномерной частью предположительно бесконечномерного пространства квантовых состояний.
Привлечение понятия типичности для проверки теорий множественности наблюдений
Если мы найдем теорию, дающую меры для наборов наблюдений (возможно, осознанных восприятий), которые являются конечными или аппроксимируемыми матожиданиями других положительных операторов, то как ее проверить? Если теория предсказывает результат уникального наблюдения (уникального по меньшей мере при некоторых условиях, например, наблюдения определенного показания часов), то для проверки достаточно сравнить результат наблюдения с предсказанием. Это был бы типичный случай классической модели вселенной с единственным наблюдателем, считывающим монотонно возрастающие показания часов (так что каждому показанию соответствовало бы лишь одно наблюдение).
Хотя сторонник классического солипсизма считал бы это справедливым для своей вселенной, большинство из нас склоняется к существованию множества наблюдателей и, следовательно, множества предположительно различных наблюдений даже в единственный момент некоторого классического времени. Квантовая теория, более того, допускает существование множества возможных наблюдений даже для единственного наблюдателя в один и тот же момент времени.
Существуют разногласия по поводу того, происходят ли наблюдения, допускаемые квантовой теорией, в действительности или же это только нереализованные возможности. Копенгагенская трактовка предполагает, что в каждый момент времени и для каждого наблюдателя реализуется лишь одно наблюдение (согласно редукции волновой функции), так что все остальные возможности остаются неосуществленными. Это представляется проистекающим из наивного взгляда на вселенную по принципу "что вижу, то и получаю" (WYSIWYG), и мне значительно проще предположить, что реализуются все возможные наблюдения, предсказываемые квантовой теорией, без уродливой редукции волновой функции, которая разрешает единственную реализацию наблюдения для каждого наблюдателя в каждый момент времени. Мы уже свыклись с идеей множества различных времен (представляющих различные ветви пространства квантовых состояний, по меньшей мере, согласно подходу к квантовой гравитации Уилера - де Витта) и, за исключением сторонников солипсизма, с идеей множественности различных наблюдателей, так почему же нам не принять простое следствие из квантовой теории о множестве наблюдений одним и тем же наблюдателем в одно и то же время?
В любом случае, в классической или в квантовой вселенной без редукции волновой функции, в каждый момент, когда происходит наблюдение, имеет место множество наблюдений в тот же момент времени, и необходимо иметь возможность проверить это. Применительно к теории, снабжающей мерами все множества наблюдений, я предложил бы в этих целях использовать понятие "типичности" [13], представляющей собой приемлемую меру правдоподобия, которую можно использовать для проверки или сравнения теорий или расчета апостериорных вероятностей на основе байесовского анализа после присвоения значений априорным вероятностям.
Берем множество всех возможных наблюдений, каждое из которых дает единственный действительный параметр, например, значение постоянной Хаббла или одной из мировых констант. Затем, исходя из предлагаемой теорией меры для множеств наблюдений, выводим меры для всех диапазонов значений этого единственного действительного параметра. В целях упрощения суммарную меру для множества рассматриваемых наблюдений нормируем к единице.
Теперь мы хотим сравнить результат наблюдения с теорией, рассчитав типичность для данного наблюдения из множества. Для простоты я назову проверяемое наблюдение действительным, даже если реализуются как действительные все возможные наблюдения с ненулевой мерой. Далее рассчитываем суммарные "левые" и "правые" меры для всех возможных наблюдений из рассматриваемого множества, т.е. суммарные меры для наблюдений, лежащих слева и соответственно справа от действительного наблюдения, включая само наблюдение, если расположить их по оси значений рассматриваемого действительного параметра. Эти две меры дают в сумме 1 плюс меру действительного наблюдения, поскольку оно входит в обе меры и учитывается дважды.
Далее, примем меньшую из двух мер (суммарную меру по меньшую сторону от действительного наблюдения, если оно не лежит в середине суммарной меры) в качестве "экстремальной" меры действительного наблюдения. Затем, зная, что суммарная мера для множества наблюдений нормирована к единице, рассчитаем вероятность того, что экстремальная мера произвольного наблюдения из множества не превысит экстремальную меру действительного наблюдения. Эта вероятность и есть то, что я называю "типичностью" действительного наблюдения во взятом нами множестве возможных наблюдений. Итак, типичность есть вероятность того, что произвольное наблюдение в множестве по меньшей мере столь же экстремально, как и действительное. Она зависит не только от самого действительного наблюдения, но и от теории, дающей меру для множества наблюдений. Это именно то, что нужно для расчета условной вероятности подмножества из рассматриваемого множества наблюдений.
В случае, когда действительный параметр принимает значения из непрерывного интервала и мера того, что результат наблюдения принимает в точности некоторую определенную величину, равна нулю, сумма левой и правой мер будет равна единице. Следовательно, при равномерном распределении вероятностей экстремальная мера (меньшая из левой и правой мер) принимает непрерывные значения от 0 до 1/2, так что типичность будет равна удвоенной экстремальной мере. В этом простом случае типичность является случайной величиной с равномерным распределением вероятностей от 0 (если действительный параметр находится на левом или правом краю) до 1 (если действительный параметр лежит в середине взвешенного по мере интервала, а левая и правая меры равны 1/2).
Ситуация усложняется, если действительный параметр принимает дискретные значения. Для примера, пусть действительный параметр k имеет возможные значения k = -1 (с мерой 0,2), k = 0 (с мерой 0,35) и k = +1 (с мерой 0,45). Тогда значение k = −1 имеет левую меру 0,2 и правую меру 0,2 + 0,35 + 0,45 = 1 для экстремальной меры 0,2; значение k = 0 имеет левую меру 0,2 + 0,35 = 0,55 и правую меру of 0,35 + 0,45 = 0,8 для экстремальной меры 0,55; значение k = +1 имеет левую меру 0,2 + 0,35 + 0,45 = 1 и правую меру 0,45 для экстремальной меры 0,45. Следовательно, вероятность экстремальной меры 0,2 равна 0,2 (вероятность k = -1); вероятность экстремальной меры 0,45 равна 0,45 (вероятность k = +1); вероятность экстремальной меры 0,55 равна 0,35 (вероятность k = 0). Типичность результата k = -1 есть вероятность того, что экстремальная мера будет не больше 0,2, что равно 0,2; типичность k = 0 равна вероятности того, что экстремальная мера будет не больше 0,55, что равно 0,2 + 0,45 + 0,35 = 1, и типичность k = +1 равна вероятности того, что экстремальная мера будет не больше 0,45, что равно 0,2 + 0,45 = 0,65.
Заметим, что лишь для крайних значений параметров (для которых экстремальная мера является наименьшей возможной в множестве) типичность равна нормированной мере наблюдения, дающего само значение. Для менее экстремальных значений типичность превышает меру наблюдений, дающих значение параметра. С другой стороны, наименее экстремальное значение параметра (среднее, для которого экстремальная мера является наибольшей из возможных в множестве) имеет типичность, равную единице. Поэтому для некоторого наблюдения из множества типичность всегда достигает верхнего предела, равного единице, а наименьшее достигаемое значение равно мере наиболее экстремального наблюдения (которая равна нулю, если значения наблюдаемого параметра образуют непрерывный интервал с нулевой мерой для любого частного значения параметра).
Типичность, таким образом, есть правдоподобие того, что определяемая теорией мера наблюдения значения параметра, выбираемого произвольно с определяемой теорией вероятностью, окажется по меньшей мере столь же экстремальной, что и мера действительного наблюдения значения параметра. Типичность имеет то преимущество над вероятностью как мерой действительно наблюдаемого значения параметра, что для некоторого возможного наблюдения имеет значения вплоть до единицы. Вероятность значения параметра может иметь очень малую верхнюю границу (например, если имеется очень большое число возможных дискретных значений параметра) или даже верхнюю границу в нуле (например, если параметр изменяется в непрерывном интервале и распределен с гладкой плотностью вероятности, не содержащей дельта-функцию ни для какого частного значения параметра).
Если использовать в качестве правдоподобия саму меру вероятности, нельзя будет напрямую осуществить байесовский анализ при наблюдении непрерывного параметра с гладкой плотностью вероятности, так как результирующее правдоподобие будет равно нулю для всех возможных наблюдаемых значений параметра. Можно было бы попытаться использовать плотность вероятности вместо самой вероятности, но тогда появится зависимость от координатизации параметра и получатся неоднозначные результаты. Например, для наблюдаемого значения постоянной Хаббла H получилось бы другое значение правдоподобия, чем для H2.
Другой подход, часто применяемый при большом числе возможных значений параметра - разбить весь диапазон на интервалы и в качестве правдоподобия использовать полную вероятность для интервала, в котором лежит действительное наблюдение. Но при этом опять-таки появятся зависимость от разбиения на интервалы и неоднозначность результатов. Таких неоднозначностей удается избежать, если использовать определенную мною типичность.
Вероятно, неоднозначности появятся даже при использовании типичности, если число наблюдаемых параметров N > 1. Во-первых, при более чем одном параметре получим более одной величины типичности. Во-вторых, если имеется N независимых параметров, то можно составить N независимых сочетаний их сколь угодно различными способами. Обе эти проблемы связаны с не имеющим однозначного ответа вопросом о том, как мы собираемся проверять теорию.
Как применить типичность для проверки теории, если выбраны набор наблюдений и параметр, для которого определяется типичность? Это можно сделать, как и для всякого другого критерия правдоподобия, следующим путем: пусть Hn - гипотеза, определяющая меры для наблюдений из выбранного набора так, что действительное наблюдение O имеет типичность Tn(O). Можно сказать, что если Tn(O) мала, то Hn исключается с соответствующим доверительным уровнем. Например, если Tn(O) < 0,01, то можно говорить, что Hn исключается с доверительным уровнем 99%.
Более лучший подход состоял бы в том, чтобы назначить исходные, или априорные вероятности Pi(Hn) различным гипотезам Hn, индексированным различными значениями n. После этого типичности Tn(O) для этих гипотез можно использовать как весовые коэффициенты для приведения Pi(Hn) к конечным, или постериорным вероятностям Pf(Hn), определяемым по формуле Байеса
При этом, помимо неоднозначности выбора множества возможных наблюдений и наблюдаемого параметра и проблемы расчета типичностей Tn(O), присваиваемых каждой из теорий Hm, появляется новая неоднозначность присвоения априорных вероятностей Pi(Hm) самим теориям. Этот вопрос представляется чисто субъективным, хотя ученые, в духе бритвы Оккама, предпочтут, как правило, назначать более высокие вероятности более простым теориям. Существует, естественно, сколь угодно много способов сделать это. Но если рассматривать только счетное множество теорий, упорядоченных в порядке возрастания сложности от простейшей H1 к следующей наиболее простой H2 и так далее, одно из простых присвоений значений априорным вероятностям могло бы иметь вид
Pi(Hm) = 2-m (2)
Идея ограничения счетным множеством теорий представляется убедительной, так как люди способны реально рассмотреть лишь конечное множество теорий, но она может оказаться неприемлемой, если конечная теория вселенной содержит бесконечный объем информации, даже просто в виде значения единственной действительной константы взаимодействия или иного параметра, десятичные знаки которого нельзя отбросить (т.е. они не порождаются входной информацией конечного объема). Заметим, что заслугой струнной М-теории считается отсутствие даже теоретической возможности содержания бесконечных объемов информации в любой из безразмерных констант, по меньшей мере в динамических уравнениях теории, хотя, возможно, еще не исключено, что бесконечный объем информации может содержаться в квантовом состоянии. Последнее может иметь место применительно к математическому ожиданию дилатона (частицы скалярного поля), хотя большинство теоретиков также предпочли бы избежать этой возможности.
Проверка гипотез единственной вселенной и мультиверса
Тегмарк [22] расположил гипотезы мультиверса по уровням 1, 2, 3 и 4. К уровню 1 он отнес области за нашим космическим горизонтом, имеющие те же природные константы, что и наша область. Уровень 2 - другие постинфляционные пузыри, возможно, с иными значениями природных констант. На уровне 3 находятся эвереттовские миры квантовой теории с теми же особенностями, что и уровень 2. К уровню 4 относятся математические структуры с иными фундаментальными уравнениями физики и иными значениями природных констант.
Уровни 1-3 могут порождаться единственной вселенной, если определять вселенную как некоторое квантовое состояние в некотором их пространстве (например, как состояние в некоторой C*-алгебре). В этом случае пространство квантовых состояний можно рассматривать как множество квантовых операторов вместе с их алгеброй, а квантовое состояние как присваивание математического ожидания каждому квантовому оператору. Чтобы получить меры для наблюдений в форме осознанных восприятий, каждому множеству осознанных восприятий нужно назначить индивидуальный положительный оператор. Тогда результирующие "операторы осознавания" образуют множество, подчиняющееся правилам сложения при объединении непересекающихся множеств осознанных восприятий, а их математические ожидания будут иметь свойства мер на множествах осознанных восприятий [13, 14].
Различные гипотезы Hm, каждая из которых задает единственную вселенную SQM, порождают различные пространства квантовых состояний, различные алгебры операторов, различные квантовые состояния, различные множества осознанных восприятий и/или различные множества операторов осознавания, соответствующие множествам осознанных восприятий. (Квантовое состояние определяется здесь, в смысле C*-алгебры, как множество математических ожиданий всех возможных квантовых операторов из множества.) По правилу SQM, согласно которому мера множества осознанных восприятий есть математическое ожидание соответствующего оператора осознавания, выбор определенной теории Hn означает выбор определенной меры для каждого множества возможных осознанных восприятий. Это будет теория SQM единственной вселенной, хотя последняя и может быть мультиверсом уровней 1-3.
Тогда для каждой Hm можно вычислить типичность Tm(O) действительного наблюдения O, следуя описанной выше процедуре. Если имеется множество таких теорий с априорными вероятностями Pi(Hm), то можно вычислить по формуле Байеса апостериорную вероятность Pf(Hn) каждой теории Hn и таким образом проверить теорию на статистическом или вероятностном уровне.
Но что если существует более одной вселенной? Тегмарк [22, 23] поставил вопрос о возможности вселенной, содержащей различные математические структуры. Безусловно, представляется логически вполне допустимым, что реальность может состоять более чем из одной вселенной в смысле уровней от 1 до 3. Тегмарк рассмотрел вселенную 4 уровня, которая, по его словам, включает все математические структуры. Мне это кажется логически противоречивым и немыслимым. Мой довод против 4 уровня заключается в том, что различные математические структуры могут оказаться несовместимыми, а несовместимые структуры не могут сосуществовать. Например, для одной структуры может требоваться существование где-либо пространства-времени, а другая может вообще не допускать его существования. Но такие две структуры не могут одновременно описывать реальность.
Тогда можно было бы возразить, что разные математические структуры описывают существующие разные вселенные, поэтому они действуют в разных частях реальности и не могут быть несовместимыми. Но такой набор вселенных и различных математических структур с их предложениями друг относительно друга сам по себе образует более крупную математическую структуру. На наивысшем уровне может существовать лишь один мир, и если математические структуры достаточно обширны, чтобы включать все возможные миры или, по меньшей мере, наш мир, должна существовать единственная структура, описывающая конечную реальность. Поэтому я считаю, что логически бессмысленно говорить о 4 уровне в смысле сосуществования всех математических структур. Тем не менее, можно было бы задаться вопросом, как проверить уровни мультиверса между уровнями 1-3 и 4.
Одним из путей расширения вселенной SQM до мультиверса может быть допущение существования более одного квантового состояния в одном и том же пространстве с сохранением других частей структуры, таких как операторы осознавания. Затем можно присвоить весовые коэффициенты этим квантовым состояниям и получить меру для каждого множества осознанных восприятий, взяв взвешенную сумму мер по квантовым состояниям. Но это равносильно определению нового единственного квантового состояния в новом описании единой вселенной, которое равно взвешенной сумме квантовых состояний в исходном описании. В новом, единственном квантовом состоянии математические ожидания операторов окажутся равными взвешенной сумме математических ожиданий в исходных квантовых состояниях. (Если квантовое состояние можно описать матрицей плотности, то новая матрица плотности была бы взвешенной суммой прежних.)
Так как мера для множества осознанных восприятий во вселенной SQM равна даваемому квантовым состоянием математическому ожиданию оператора осознавания, который сопоставлен множеству осознанных восприятий, в новом квантовом состоянии ту же меру можно получить путем взятия взвешенной суммы мер из старого описания, в котором существуют различающиеся квантовые состояния.
Другим способом получения более широкого мультиверса могло бы быть наделение разных вселенных SQM различными наборами операторов осознавания с сохранением пространства квантовых состояний, квантовых операторов, алгебры операторов и набора возможных осознанных восприятий. Но опять же, для получения общей меры для этого мультиверса пришлось бы назначить весовые коэффициенты результирующим мерам для каждой вселенной, что было бы равносильно образованию нового единственного набора операторов осознавания, каждый из которых есть взвешенная сумма соответствующих операторов осознавания из отдельных вселенных.
Еще один возможный способ расширения мультиверса - включение в него вселенных со своими пространствами квантовых состояний и операторами осознавания. Если каждой из этих вселенных назначен весовой коэффициент, то общую меру для набора осознанных восприятий опять можно получить путем взятия взвешенной суммы мер для этого набора по каждой из вселенных. Такой способ равносилен заданию общего пространства квантовых состояний, квантовые операторы которого порождены тензорной суммой операторов из исходных их наборов, действующих в исходных пространствах квантовых состояний. Для задания квантовой алгебры в новом пространстве можно было бы взять операторы из различных исходных наборов коммутирующими.
Затем можно было бы определить новое квантовое состояние, приняв математическое ожидание любой суммы операторов из отдельных наборов равным взвешенной сумме математических ожиданий, даваемых прежними квантовыми состояниями. Для произведения операторов новое математическое ожидание можно просто взять равным произведению взвешенных прежних математических ожиданий. Новые операторы осознавания можно определить как суммы исходных операторов. Поскольку определения новых операторов осознавания не содержат произведений прежних операторов, их математические ожидания будут линейными относительно весовых коэффициентов исходных вселенных и поэтому дадут меру, равную взвешенной сумме исходных мер.
Каждая из этих трех простых попыток расширить мультиверс не порождает ничего нового, по крайней мере в отношении мер для наборов осознанных восприятий. Таким образом, концепция единой вселенной SQM достаточно широка и оставляет большую свободу выбора мер для осознанных восприятий. Действительно, можно утверждать, что отправной точкой при назначении мер осознанным восприятиям является единая вселенная SQM: можно просто определить операторы осознавания для всех наборов осознанных восприятий и посредством некоторой алгебры вложить их в большее множество квантовых операторов. Затем можно выбрать квантовое состояние так, чтобы оно давало нужные математические ожидания для всех операторов осознавания.
В принципе, алгебру операторов можно даже выбрать полностью коммутативной, так что результирующая квантовая теория будет вполне классической, хотя, скорее всего, вместо единственного классического мира она давала бы эвереттовское многомирие классических миров. Поэтому даже вселенная в точности с теми же мерами для осознанных восприятий, что и наша, и, следовательно, с теми же самые типичностями для всех наблюдений, могла бы в принципе быть вполне классической в смысле коммутативности. Мы не можем доказать, основываясь только на наших наблюдениях, что вселенная является квантовой.
Однако несомненно, что классическое описание осознанных восприятий предполагало бы более сложную вселенную SQM, чем вселенная с некоммутирующими операторами (возможно, даже с некоммутирующими операторами осознавания). Поэтому, исходя из простоты и полагаясь на принцип Оккама, при объяснении наблюдений мы назначаем более высокие вероятности некоммутативным теориям, даже если в классической теории вероятности наших наблюдений могут быть такими же. Точно так же может оказаться, что даже если теорию множественной вселенной SQM можно редуцировать одним из описанных выше способов до теории единственной вселенной, описание будет проще в терминах множественных вселенных SQM или даже в терминах вселенных, не являющихся вселенными SQM.
Если у нас есть истинный мультиверс разных вселенных, в каждой из которых имеется собственная мера для каждого набора осознанных восприятий, то для получения меры, охватывающей всю реальность в целом, потребуется некоторая весовая мера для самих вселенных. Предположим, что каждая вселенная описывается гипотезой Hn, наделяющей мерой μn(S) каждое множество S осознанных восприятий. Когда мы рассматривали единственные вселенные, мы рассматривали различные Hm лишь как теоретически возможные альтернативы и присваивали им субъективные априорные вероятности Pi(Hm). В случае же истинного мультиверса нужны объективные весовые коэффициенты w(Hn) для каждой вселенной, так как каждая вселенная с ненулевым весовым коэффициентом считается теперь реально существующей. Тогда общая мера для набора осознанных восприятий S из этого расширенного мультиверса будет равна μ(S) = Σn w(Hn) " μn(S).
Расширяя мультиверс до множественных вселенных SQM (или до любого ансамбля с мерами для всех наборов осознанных восприятий в каждой из вселенных), вместо неизвестности правильной Hn получаем неизвестность правильного весового коэффициента w(Hn). Вопрос Тегмарка [22] 'Почему именно эти уравнения?' заменяется вопросом 'Почему именно эта мера?' Мы не можем избежать постановки этого вопроса в той или иной форме, апеллируя к мультиверсу более высокого уровня, даже если он обеспечит более простое описание мира.
В том смысле, в каком вселенная SQM является единой вселенной, она по-прежнему может включать в себя мультиверсы уровней 1-3. На уровне истинного мультиверса нам нужна не только единственная теория Нn единственной вселенной, но также и метатеория I для меры, то есть для весового коэффициента w(Hn) единственной вселенной из набора действительно существующих мультиверсов. Однако, поскольку мы все еще не знаем, какова правильная метатеория, равно как и не знаем, какова правильная теория Hn для нашей единственной вселенной, можно рассмотреть различные теоретически возможные метатеории IM, обозначив их некоторым индексом M аналогично тому, как обозначали индексом n гипотезу Hn, описывающую единую вселенную. Тогда, согласно метатеории IM, единственные вселенные существуют с мерами wM,n ≡ wM(Hn), а набор осознанных восприятий S имеет меру μM(S) = Σn wM,n " μn(S). Исходя из меры для осознанных восприятий можно, следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, получить типичность TM(O) наблюдения O в метатеории IM.
Например, если вселенные, описываемые Hn, пронумерованы положительными целыми n в порядке возрастания сложности, а метатеории IM пронумерованы положительными целыми M, можно представить себе следующий выбор весовых коэффициентов wM,n метатеории IM для получения вселенной Hn:
Для нечетных M получим геометрическое распределение весов вселенных, описываемых теориями Hn, при среднем n, равном m + 1. Однако для четных M ненулевой (единичный) вес получится лишь для одной вселенной, описываемой теорией Hm. Таким образом, нечетные члены этой счетной последовательности дадут, несомненно, теории мультиверса с различными весовыми коэффициентами, а четные члены - теории единственной вселенной.
Точно так же, как в анализе теорий единственной вселенной потребовались субъективные априорные вероятности Pi(Hm) для возможных теорий единственной вселенной Hm, для байесовского анализа метатеорий мультиверса IM нужны субъективные априорные вероятности Pi(IM). Хотя в действительности они могут выбираться произвольно, мы опять можем прибегнуть к принципу Оккама и присвоить более простым метатеориям более высокие вероятности. Например, если можно упорядочить IM в порядке возрастания сложности по натуральному индексу N(M), можно применить следующее простое присваивание субъективных априорных вероятностей:
Pi(IM) = 2-N(M). (4)
При этом вероятности правильности простейшей метатеории (N = 1) присваивается значение 50%, следующей по сложности (N = 2) - 25% и т.д.
Более подходящим может оказаться следующий выбор: взять весовые коэффициенты, вытекающие из комбинированного применения уравнения (3) к единственным и множественным вселенным, и положить
Pi(I2m−1) = Pi(I2m) = 2-m-1. (5)
Это даст суммарную априорную вероятность 1/2 для теорий единственной вселенной (четные M) и 1/2 для теорий множественных вселенных (нечетные M). Такое присваивание априорных вероятностей можно принять как компромиссное, если нет априорного решения о том, какая теория должна применяться - единственной вселенной или мультиверса.
Выводы
Хотя теории мультиверса обычно предполагают наличие ненаблюдаемых элементов, они могут давать проверяемые предсказания для наблюдаемых элементов, если в них предусмотрена однозначно определенная мера для наблюдений. Тогда их можно анализировать байесовскими методами, применяя в качестве меры правдоподобия теории концепцию типичности результата наблюдений, хотя по-прежнему остается неустранимая неоднозначность в назначении априорных вероятностей теориям.
Можно попытаться избежать задания уравнений или других свойств для отдельной вселенной, принимая, что существует ансамбль различных вселенных, однако это лишь заменяет вопрос задания уравнений вопросом задания меры для различных вселенных в ансамбле. Явного способа избежать нетривиального содержания проверяемой теории, полностью описывающей всю реальность целиком, не видно.
Благодарности
Я весьма признателен за дискуссию участникам Темплтонской конференции по мультиверсу в Кембридже в 2001 году и в Стэнфорде в 2003. Мои идеи оттачивались также в дискуссии по электронной переписке с Робертом Манном. Частичную поддержку данному исследованию оказал Национальный Совет Канады по естественным наукам и техническим исследованиям.
Список литературы
[1] B. Carter, in M. S. Longair (ed.), Confrontation of Cosmological Theory with Observational Data (Riedel, Dordrecht, 1974), pp. 291-298.
[2] B. J. Carr and M. J. Rees, Nature 278, 605 (1979).
[3] J. D. Barrow and F. J. Tipler, The Anthropic Cosmological Principle (Clarendon Press, Oxford, 1986).
[4] M. Rees, Just Six Numbers: The Deep Forces That Shape the Universe (Basic Books, New York, 2000).
[5] M. J. Duff, B. E. W. Nilsson and C. N. Pope, Phys. Rep. 130, 1 (1986).
[6] R. Bousso and J. Polchinski, JHEP 0006, 006 (2000), hep-th/0004134.
[7] S. Kachru, R. Kallosh, A. Linde, and S. P. Trivedi, Phys. Rev. D68, 046005 (2003), hep-th/0301240.
[8] L. Susskind, 'The anthropic landscape of string theory,' in Universe or Multiverse?, edited by B. J. Carr (Cambridge University Press, Cambridge, 2007), pp. 241-260, hep-th/0302219; 'Supersymmetry breaking in the anthropic landscape,' in M. Shifman, A. Vainshtein, and J. Wheater (eds.), From Fields to Strings: Circumnavigating Theoretical Physics, Ian Kogan Memorial Collection (Oxford University Press, Oxford, 2005), Vol 3, pp. 1745-1749, hep-th/0405189; The Cosmic Landscape: String Theory and the Illusion of Intelligent Design (Little, Brown and Company, New York, 2005).
[9] M. R. Douglas, JHEP 0305, 046, (2003), hep-th/0303194; 'The statistics of string vacua,' hep-th/0401004; 'Understanding the landscape,' hep-th/0602266.
[10] T. Banks, M. Dine and E. Gorbatov, JHEP 0408, 058 (2004), hep-th/0309170.
[11] H. Firouzjahi, S. Sarangi and S. H. H. Tye, JHEP 0409, 060 (2004), hep-th/0406107.
[12] S. Coleman, 'Quantum mechanics with the gloves off,' DiracMemorial Lecture, St. John's College, University of Cambridge, June 1993 (unpublished).
[13] D. N. Page, 'Sensible quantum mechanics: Are only perceptions probabilistic?' quant-ph/9506010; Int. J. Mod. Phys. D5, 583 (1996), gr-qc/9507024.
[14] D. N. Page, in Q. Smith and A. Jokic (eds.), Consciousness: New Philosophical Perspectives (Clarendon Press, Oxford, 2003), pp. 468-506, quant-ph/0108039.
[15] R. B. Griffiths, J. Stat. Phys. 36, 219 (1984).
[16] M. Gell-Mann and J. B. Hartle, in W. Zurek (ed.), Complexity, Entropy, and the Physics of Information, SFI Studies in the Science of Complexity, Vol. VIII (Addison-Wesley, Reading, MA, 1990).
[17] R. Omn`es, Interpretation of Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1994).
[18] A. Linde and A. Mezhlumian, Phys. Rev. D53, 4267 (1996), gr-qc/9511058.
[19] A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 81, 5501 (1998), hep-th/9806185; Phys. Rev. D59, 123506 (1999), gr-qc/9902007.
[20] V. Vanchurin, A. Vilenkin and S. Winitzki, Phys. Rev. D61, 083507 (2000), gr-qc/9905097.
[21] J. Garriga and A. Vilenkin, Phys. Rev. D64, 043511 (2001), gr-qc/0102010; Phys. Rev. D64, 023507 (2001), gr-qc/0102090; Phys. Rev. D67, 043503 (2003), astro-ph/0210358.
[22] M. Tegmark, Sci. Am. 288, No. 5, p. 30 (May 2003), and in Spektrum Wiss. 2003, No. 8, p. 34 (2003); in J. D. Barrow, P. C. W. Davies and C. L. Harper (eds.), Science and Ultimate Reality: From Quantum to Cosmos (Cambridge University Press, Cambridge, 2003), astro-ph/0302131.
[23] M. Tegmark, Ann. Phys. 270, 1 (1998), gr-qc/9704009.