Шапиро Анатолий Давидович. соль математики

А.Д.Шапиро

Слезы и соль математики

Математика с птичьего полета

( вместо введения )

-- Почему математика трудная?

-- Постижение математики

-- Математик сделает лучше!

-- Проблемы и решения

-- Путеводная звезда корректности

-- Трехтысячелетний детектив

-- История математики (по В.И.Арнольду)

-- Математическое творчество (по А.Пуанкаре)

-- Математическая свалка

1.Почему математика трудная?

Практически все люди сталкиваются с математикой, начиная еще со школы. К сожалению, для многих это столкновение в прямом смысле слова. Тому есть причины, которые коренятся, по-видимому, в самой математике, в личности учащегося, в учебниках и преподавателях математики.

Конечно же, математика достаточно сложна, ибо требует точных действий по правилам, не допуская каких-либо отклонений. Имеющийся пробел в знаниях правил рано или поздно даст о себе знать. Кроме того, по мере продвижения усложняется последовательность и содержание выполняемых шагов. Словом, трудности нарастают. И здесь выявляется разделение учащихся. Часть из них воспринимает логику и особенности предмета и более или менее успешно продвигается в его усвоении. Другая же часть к этому не особенно расположена и гораздо более охотно изучает гуманитарные предметы, где возможности учащихся примерно равны. Здесь коренится весьма условное разделение учащихся на гуманитариев и техников. Лишь единицы усваивают математику легко и свободно - это вероятные будущие преподаватели математики.

Объективная база изучения математики определяется учебниками. И если в учебниках математики для младших классов имеется определенный прогресс (цветовая гамма, игровые формы и пр.), то в учебниках для старших классов это менее заметно, а в геометрии, например, изложение мало изменилось со времен Эвклида. Существуют различные концепции учебников, вытекающие из предпочтений в усвоении материала. Часть авторов предпочитает индуктивную форму изложения, когда разъясняются необходимость и смысл вводимых понятий, что стимулирует мышление и облегчает понимание. Другие считают это излишним и тогда мы получаем отличающуюся краткостью дедуктивную форму изложения практически без разъясняющих комментариев (пример - учебники А.В.Погорелова по геометрии для средней и высшей школы). Еще один тип учебников - изложение в примерах и задачах. "В математике примеры полезнее правил", говаривал И.Ньютон. Такая книга дает возможность "набить руку", повысить уверенность в своих силах. И, наконец, справочная форма изложения, позволяющая обозреть материал систематизированно, в целом, что важно для использования в решении задач, подготовки к экзаменам. Таков комплекс учебников, создающих базу для эффективного усвоения предмета. В реальности эти подходы реализуются достаточно стихийно.

Минимальной единицей изложения в учебниках является доказательство теоремы (решение задачи), излагаемое свободным текстом. Оно состоит из последовательных шагов, которые и целесообразно принять за единицу изложения. Каждому шагу присваивается номер, излагается его содержание, даются комментарии и ссылки. Подобная структуризация изложения дает также возможность количественной оценки избранного способа доказательства теоремы или алгоритма решения задачи (примеры см. в книге автора).

Учебники математики являются товаром, предназначенным для учащегося, оценку которому дают, однако, преподаватели. Роль преподавателя, как посредника между учащимися и учебником, достаточно значительна. Однако в ряде случаев субъективная позиция преподавателя может породить дополнительную сложность в усвоении и так нелегкого предмета и даже вызвать отрицательные комплексы.

2.Постижение математики

Без права на ошибку

Лука Пачоли, итальянский математик, создатель двойной итальянской бухгалтерии, называемой ныне просто бухгалтерией, говорил: "Не ошибается тот, кто ничего не делает, и он ничему не научится". Метод проб и ошибок в процессе поиска решения проблемы общепризнан в мире. Ибо путь, ведущий к истине, отнюдь не прямой. Обычно же предлагается единственный способ решения без объяснения, почему он является лучшим. Ошибка же является плодом ложных представлений, которые и должны быть выявлены и аргументированно скорректированы. Она должна рассматриваться как естественный момент поиска решения и не служить предлогом для осуждения или наказания. В иных случаях следует дать возможность учащемуся, избравшему ложный путь, самому убедиться в этом.

В школу с решенными задачами

В реальности лишь меньшинство или даже единицы отвечают этому условию. Нельзя, однако, оставлять "не взятые крепости", ибо в будущем это обязательно даст о себе знать. Индивидуальные консультации, совместное решение с целью диагностики и коррекции ошибочных представлений и уж затем - переход к конечной цели, т.е. самостоятельному решению задач.

Момент истины

Конечно, это экзамен. Нелегкое испытание, в котором, как в зеркале, отразится фактический уровень знаний. Чтобы продемонстрировать его в полной мере и избежать случайностей, нужна целенаправленная подготовка. Как же эффективно подготовиться к экзамену по математике? Этот старый, как мир, вопрос по-прежнему актуален. Не последнюю роль играет также нужный настрой, психологическая готовность к испытаниям. Разнообразие задач неисчерпаемо, на этом может споткнуться и хорошо подготовленный учащийся. Не отсюда ли берет корни утверждение, что экзамен - это лотерея? Уверенность в положительном исходе экзамена подкрепляется достаточным количеством самостоятельно решенных задач.

Но вот экзамен позади... Однако известно доброе старое, к сожалению, почти забытое правило: если экзаменующийся (школьник, абитуриент, студент) неверно ответил на вопрос или дал неполный ответ, то экзаменатор указывает правильный ответ, объясняет экзаменующемуся, в чем его ошибка. У человека, не получившего соответствующих разъяснений, возникает почти суеверный страх перед математикой, в которой "невозможно разобраться" (а заодно и перед математиками). Тяжелый осадок остается надолго, иногда на всю жизнь. А ведь учащийся и экзаменатор отнюдь не находятся по разные стороны баррикады, на самом деле они решают общую задачу - как наиболее точно определить фактический уровень знаний учащегося. Это важно, в конечном счете, для адекватной профориентации учащегося.

3.Математик сделает лучше!

Непростое это дело, обсуждать что-либо с математиком. Он сразу же спросит, что вы под этим понимаете, и затем приложит все силы, чтобы доказать, что вы сами не понимаете, что говорите. Если же удается пробиться через эту фазу, то вам, скорее всего, предложат привести пример, иллюстрирующий вашу мысль. Естественно, пример тоже попытаются опровергнуть. Это, так сказать, отпечаток профессии: ничего не принимать на веру без достаточного обоснования.

В одном школьном учебнике геометрии можно встретить такую теорему: "Каждый отрезок имеет середину и притом только одну". Не подвергая сомнению необходимость строгости в математике вообще, все же можно сказать, что здесь нарушено чувство меры. Более рациональным представляется введение курса "Наглядная геометрия" (о строгости в математике см. ниже).

Математики убеждены также, что они могут выполнить любую работу лучше других, ибо им более чем прочим ведомы приемы строго логического анализа. В одной книге так и написано: математик сделает лучше! Трудно сказать, насколько это справедливо. Но вот пример: Наполеон Бонапарт, бывший, кстати, академиком французской академии наук по отделению математики, назначил известного математика и физика Лапласа министром внутренних дел, но уже через короткое время вынужден был его отозвать. А вот Гражданский кодекс самого Наполеона и введенное им административное деление Франции функционируют до сих пор.

Случались также и казусы. Инженер-электрик Хевисайд использовал для обозначения операции дифференцирования букву D, взамен традиционных штриха или точки. Для решения дифференциального уравнения он вынес неизвестную функцию за скобки, затем к полученному в скобках оператору записал обратный, после чего воздействовал им на известную функцию в правой части уравнения. Это было настоящее шаманство, но... результаты получались верные! Пятьдесят лет понадобилось математикам, чтобы обосновать с помощью интегрального преобразования Лапласа операторное исчисление Хевисайда.

На математические отделения университетов попадают, понятное дело, те, кто был успешен в школьной математике. Значительная часть станет затем преподавателями математики, немногие пойдут в науку. Математические семинары предельно жесткие. Никакие авторитеты и звания не освобождают от необходимости обоснования своих утверждений. Дух математики проникает и в другие науки. Математика традиционно царит в технических науках, а в последнее время курсы высшей экономики сплошь пронизаны математикой. Похоже, реализуется претенциозный лозунг, что наука лишь тогда достигает высокого уровня, когда использует математику.

В то же время в преподавании математики имеются устаревшие разделы, особенно в связи с развитием вычислительной техники, например, приведение к виду, удобному для логарифмирования в тригонометрии. Не столь актуально и применение дифференциалов для приближенных вычислений, когда с помощью калькулятора можно получить довольно точные результаты. Представляется излишним схема коэффициентов Паскаля (треугольник Паскаля) - это лишь дань традиции. Метод четырех полей в математической статистике следует, пожалуй, отнести в упражнения, что и сделано в некоторых учебниках, и т.п. Тем самым в программах курсов освободится место для более современного материала, или же просто уменьшится нагрузка на учащихся.

О строгости в математике В древней Греции математики нередко рисовали чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: "Смотри!" Во времена становления и развития математического анализа долгое время полагали, что непрерывная кривая, нарисованная свободным неотрывным движением руки, имеет в каждой точке касательную (кроме угловых точек, где движение останавливается, а затем снова возобновляется). Все изменилось после того, как был построен пример функции, удовлетворяющей определению непрерывности, но ни в одной точке не имеющей касательной (К.Вейерштрасс). График такой функции как бы весь состоит из угловых точек. Интуиция оказалась обманчивой. С тех пор строгость в математике существенно возросла. Стали доказываться утверждения вроде: "Всякая замкнутая кривая (без самопересечений) разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю" (К.Жордан) и т.п. В аксиоматических системах доказательству подлежит любое утверждение, не содержащееся среди аксиом. Для каждого вновь вводимого понятия доказывается существование соответствующего объекта и, в необходимых случаях, единственность. Поэтому "Основания геометрии" Д.Гильберта и книги Н.Бурбаки, посвященные аксиоматическому описанию математических структур, такие объемные. Был даже издан учебник по геометрии, не содержащий ни единого чертежа - дабы показать возможность изложения геометрии независимо от наглядных представлений (Дьедонне). Однако чтобы читать такую книгу, чертежи надо делать самостоятельно! О книгах Бурбаки можно сказать, что там на тысячи страниц не приходится ни одного чертежа (?!). Математики получили, таким образом, новый оперативный простор и ... неограниченное количество тем для докторских диссертаций. Это был также внутренний импульс, совершенно не связанный с приложениями. В учебниках же и прикладных курсах в основном сохраняется разумная опора на интуицию.

4. Проблемы и решения

Едва учитель закончил диктовать задание - подсчитать сумму чисел от 1 до 100 - как один из учеников принес ему решение. Это был К.Гаусс, будущий великий математик. Вот его способ:

1 + 2 + 3 + ........................ + 99 + 100 +

100 + 99 + 98 + ........................ + 2 + 1 = 2S

101 + 101 + 101 + ..........................+ 101 + 101 = 101х100

2S = 101х100,

S = 5050.

Понятное дело, таким же способом легко подсчитать сумму чисел от 1 до 1000 и вообще сумму n членов арифметической прогрессии (последовательности чисел, у которой каждый последующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа).

По словам самого Гаусса, он научился cчитать раньше, чем говорить. Однажды, наблюдая, как его отец записывал ежедневные расчеты с поденщиками, 5-летний Гаусс воскликнул: "Отец, там ошибка!" Ошибка действительно обнаружилась.

Неутомимым вычислителем был также и другой великий математик Л.Эйлер. Одно из самых известных в математике чисел - число е (оно является основанием натуральных логарифмов), называют числом Эйлера. Когда Эйлер умер, о нем говорили, что он перестал вычислять и жить.

Индийский математик Рамануджан получил известность как гениальный вычислитель. В частности, его необычайные способности помогли английскому математику Г.Харди установить окончательный вид формулы асимптотического (т.е. при стремлении к бесконечности) распределения простых чисел.

И все же в реальности далеко не все математики хорошие вычислители. Более того, они рассматривают математику как средство, позволяющее избежать рутинных вычислений. Полагают также, что значительная часть работы математика (впрочем, и любой творческой личности) выполняется на подсознательном уровне. После напряженных и длительных многократных и нерезультативных попыток, тупиков и заблуждений вдруг возникает мгновенное озарение, причем нередко в самый неподходящий момент (см. далее А.Пуанкаре о математическом творчестве).

Бывает, что открытия делаются при форсмажорных обстоятельствах. Такова история получения формулы для нахождения решений уравнения 3-ей степени (кубического уравнения). Во времена Ренессанса были в ходу публичные диспуты, на которых можно было предложить своему сопернику ряд задач для решения. Так что математические знания могли играть роль "секретного оружия".

Итальянский математик Н.Тарталья получил вызов на публичный диспут. Соперники должны были передать друг другу через нотариуса 30 задач, на решение которых отводилось 50 дней. Победителем признавался тот, кто решит большее число задач. Проигравший должен был оплатить обед победителя и его 29 друзей. Уже после заключения условий состязания Тарталья узнал, что его соперник располагает общей формулой для решения кубического уравнения, которую он получил от одного известного математика. Резонно полагая, что предложенные ему задачи будут относиться именно к этой области, Тарталья приложил все силы к получению формулы. Окончательное решение он нашел лишь за несколько дней перед состязанием. На диспуте Тарталья значительно опередил своего соперника.

Дальнейшее развитие этой проблематики, т.е. решения уравнений высших степеней, привело к появлению теории групп. Понятие группы оказалось исключительно плодотворным для алгебры, геометрии, математики в целом, а также ее приложений. Создатель этой теории Э.Галуа погиб в возрасте 21 года на дуэли. Комета на математическом небосклоне!

Сама возможность получения формул для корней кубического, а ранее и квадратного уравнений опиралась на использование буквенной символики (Ф.Виет), что имело для алгебры, да и всей математики значение, сравнимое с изобретением книгопечатания. Исторически алгебра развивалась в составе геометрии и использовала ее язык. До сих пор мы говорим: квадрат или куб числа, что геометрически соответствует площади квадрата или объему куба. На этом языке общеизвестное квадратное уравнение, например, имело следующее описание: площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна некоему известному количеству, а другая численно равна площади квадрата со стороной, равной неизвестному количеству, прибавленная к площади другого прямоугольника, одна из сторон которого равна другому известному количеству, другая же равна тому же неизвестному количеству, прибавленная к третьему известному количеству, обращается в ничто. Естественно, решение задач с использованием подобных описаний было доступно лишь немногим. Для нахождения квадратного корня из числа использовался итеративный метод Герона, основанный на постепенном переходе от прямоугольника к квадрату равной площади, сторона которого и являлась искомым значением корня. Сегодня это доступно школьникам.

Далее, одной буквой стали обозначать таблицу (матрицу) чисел, что привело к развитию векторно-матричного исчисления. На этом языке система n уравнений с n неизвестными записывается в виде:

Ах = в, где А - матрица, х и в - векторы.

Решение имеет вид:

х = Св, где С - матрица, обратная к А.

Результат (вектор х) получается умножением обратной матрицы С на известный вектор в.

При n = 1 имеем:

ах = в, где а, в - известные числа.

Решение, как известно, имеет вид:

х = св, где с = 1/а, т.е. число, обратное к а.

Аналогия, как видим, полная, а введение надлежащих обозначений делает задачу обозримой.

5.Путеводная звезда корректности

Понятие корректности является одним из ведущих в математике. Математическая задача называется корректной, если она имеет решение, которое, к тому же, должно быть единственным и устойчивым (Ж..Адамар). Единственным потому, что при наличии нескольких решений все равно для реализации придется выбирать одно. Небольшие изменения параметров задачи не должны вести к существенным изменениям решения. Корректные задачи весьма удобны для исследования и практического использования. Оказалось, однако, что за всю историю математики было сформулировано не так уж много корректных задач. Почти все они именные: задача Коши, задача Неймана и т.д.

Проиллюстрируем понятие корректности на примере системы линейных алгебраических уравнений. Если число уравнений равно числу неизвестных, то, в общем случае, существует единственное решение. Оно может быть определено (например, через детерминанты по известным правилам Крамера) и является устойчивым. Это, так сказать, нормальный случай.

К.Ф.Гаусс при производстве геодезических измерений столкнулся с ситуацией, когда число уравнений значительно превышало число неизвестных. Как быть? Можно взять произвольно часть уравнений в количестве, равном числу неизвестных величин и решить полученную систему. Однако при подстановке решения в оставшиеся уравнения последние, естественно, могут не удовлетворяться. Таким образом, решение попросту не существует. Но этой проблеме повезло в том смысле, что она попала в руки Гаусса, который не оставлял проблемы без решения.

В качестве решения Гаусс предложил такое, которое при его подстановке во все уравнения минимизирует сумму квадратов отклонений. Необходимым условием минимума функции, как известно, является равенство нулю частных производных этой функции. При этом получается система линейных уравнений, у которой число неизвестных в точности равно числу уравнений. Доказано, что эта система уравнений всегда разрешима. Так появился метод наименьших квадратов, носящий имя Гаусса.

И, наконец, третий возможный случай, когда число неизвестных больше, чем число уравнений. Можно, конечно, "лишним" неизвестным придать какие-то значения, а затем определить оставшиеся. При этом получается бесчисленное множество возможных решений, т.е. задача опять-таки некорректна. Одно время математики выдавали это обстоятельство за достоинство, но это была не более, чем хорошая мина при плохой игре. Дело затянулось на столетия, хотя этой проблемой занимался и такой известный математик, как Фурье.

Лишь в последнее время был найден корректный подход к этой задаче и снова влияние практики оказалось существенным. В процессе планирования производства изделий, с учетом норм расхода материалов и наличных ресурсов, получается система линейных уравнений. При этом уравнений столько, сколько наличных (обычно дефицитных) ресурсов. Число же изделий может быть на порядок больше. Система имеет бесконечное множество решений. Естественно выбрать то, которое максимизирует некую целевую функцию, скажем прибыль. Такой подход был предложен Л.В.Канторовичем в 1939 году. Решение является в общем случае также единственным и устойчивым. Аналогичной оказалась задача о минимизации транспортных расходов при транспортировке различных грузов имеющимся парком транспортных средств. За решение последней задачи была присуждена нобелевская премия (Л.В.Канторович, Т.Купманс). Также был найден эффективный вычислительный алгоритм решения линейных задач оптимизации, получивший название "симплекс-метод" (Дж.Данциг, 1947).

Мы видим, что в обоих случаях для решения проблемы находилось экстремальное значение некоей функции, причем Гауссу пришлось ее сконструировать, а Канторович вообще брал известную функцию прибыли (соответственно издержек).

Также в наше время получила корректное решение так называемая антагонистическая игра двух лиц, в которой один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Игра определяется прямоугольной матрицей чисел. Строки задают выборы (стратегии) первого игрока, столбцы, соответственно выборы второго игрока. Элементы матрицы показывают размеры выигрышей первого игрока (и, соответственно, проигрышей второго). Целью первого игрока является максимизация гарантированного выигрыша, соответственно цель второго - минимизация возможного проигрыша. При наличии элемента, являющегося минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце (седловая точка), соответствующие строка и столбец дают оптимальное решение для каждого из игроков. При этом ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии (Э.Борель).

В общем случае такой элемент (седловая точка) отсутствует и игра становится неустойчивой. Предложенное корректное решение состоит в следующем: игроки выбирают свои стратегии с определенными вероятностями и тогда математические ожидания выигрыша обоих игроков совпадают (Дж.фон Нейман). Им же издана фундаментальная монография "Теория игр и экономическое поведение" (в соавторстве с О.Моргенштерном). Применение теории игр для решения конкретных научно-прикладных проблем неоднократно отмечалось нобелевскими премиями.

Мы видим плодотворность использования понятия корректности собственно в математике. Но это также определенный вклад в культуру социума, ибо задуматься о корректности принимаемых решений, уже в широком смысле слова, отнюдь нелишне.

6.Трехтысячелетний детектив

В системе аксиом геометрии Эвклида последней является аксиома параллельности: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Многие математики хотели превратить эту аксиому в теорему, т.е. доказать. И все без исключения потерпели неудачу. В каждом таком доказательстве при внимательном анализе обнаруживалось предположение, не входящее в систему аксиом и, следовательно, непозволительное. Вот некоторые из них:

сумма углов треугольника равна 180 градусов;

через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;

множество точек, одинаково удаленных от данной прямой, образуют прямую, параллельную данной (Прокл),

и т.д.

По существу они были эквивалентны аксиоме параллельности.

Логически имеются 3 возможности, именно, через точку вне данной прямой:

можно провести единственную прямую, параллельную данной (Эвклид);

можно провести более одной прямой, параллельной данной;

нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.

Теперь нам необходимо выйти за пределы плоскости и поговорить о других поверхностях. На плоскости прямая линия является кратчайшим расстоянием между двумя точками. А как обстоит дело с этим на других поверхностях, где и прямых-то нет, на сфере, например? Чтобы определить кратчайшее расстояние между двумя точками на сферической поверхности, необходимо через эти две точки и центр сферы провести плоскость, которая пересечет сферу по окружности большого круга. Часть дуги этой окружности, заключенная между двумя точками, и будет кратчайшим расстоянием между ними. Итак, роль прямых линий на сфере играют окружности большого круга, которые все пересекаются друг с другом. Таким образом, на сфере реализуется третья возможность.

Вторая возможность была детально исследована Н.И.Лобачевским. Он развил соответствующую систему почти с такой же полнотой, как и Эвклид. Лобачевский назвал эту геометрию неэвклидовой, сейчас ее называют геометрией Лобачевского. Позднее была обнаружена поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского (Э.Бельтрами). Этой поверхностью оказалась псевдосфера, всем известный волчок. Наконец-то геометрия Лобачевского получила наглядную интерпретацию. Но оказалось, что на псевдосфере реализуется лишь часть плоскости Лобачевского. В конце концов, была предложена полная интерпретация геометрии Лобачевского (А.Пуанкаре).

Независимо от Лобачевского к понятию неэвклидовой геометрии пришли также Гаусс и молодой венгерский гений Я.Бояи. Заметки Гаусса не были опубликованы при его жизни, а работа Бояи вышла в приложении к книге его отца.

Не пропали даром и все некорректные доказательства аксиомы параллельности. Они стали вполне корректными утверждениями геометрии Лобачевского, именно:

сумма углов треугольника меньше 180 градусов (в сферическом треугольнике она всегда больше 180 градусов);

не через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;

множество точек, одинаково удаленных от данной прямой (так называемая эквидистанта), вообще не является прямой линией. То же верно и для сферы: если мы на окружности большого круга, перпендикулярной к экватору, отметим отрезок дуги, примыкающей к экватору, и будем вращать эту окружность вокруг полюса, то конец дуги опишет окружность, не являющуюся, однако, окружностью большого круга,

и др.

Итак, сколько поверхностей, столько и геометрий. Поверхность Земли близка к сферической, 2/3 ее составляет водная поверхность, так что корабли плавают по окружностям большого круга, если хотят съэкономить время и ресурсы. Кстати, когда для установления мирового рекорда скорости на автомобиле понадобилось найти достаточно большой плоский участок земной поверхности, это оказалось нелегким делом. Также в живой природе плоские поверхности почти не встречаются.

Развитие подхода Лобачевского привело к появлению новых геометрий. Известная аксиома Архимеда (аксиома измеримости) гласит, что если на числовой прямой задана точка отсчета О, отрезок фиксированной длины а и произвольная точка А, то всегда найдется такое число n, что будет na>ОА. Соответствующее изменение аксиомы Архимеда приводит к неархимедовой геометрии. Последняя получила применение в ядерной физике при исследовании взаимодействия на планковских (т.е. очень малых) расстояниях. Аналогично строились недезаргова и непаскалева геометрии (Дезарг, Паскаль - французские математики). Исследовалось также понятие непротиворечивости геометрии, т.е. возможности существования в ней двух противоречащих друг другу утверждений. При этом были получены результаты, важные также для математики в целом. Но это уже другая история.

7.История математики (по В.И.Арнольду)

Много тысячелетий назад (заведомо до Моисея) в Египте жил замечательный математик Тот, сделавший массу открытий. Он был землемером (отсюда "геометрия") фараона и придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных он ввел четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми аксиомами, и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.

Среди геометрических достижений того времени (если не самого Тота, то его учеников) - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов, т.е. расстояние, не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1% (по сравнению с современными измерениями).

Греки провели измерение радиуса Земли заново (через пару сотен лет). Они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив "скорость корабля при ветре средней силы" на время путешествия. Размер радиуса Земли при этом получили вдвое больше правильного (считать верблюжьи шаги легче, чем оценивать, средней ли силы ветер).

Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем (вместо восточного, пройденного Васко де Гамой). Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, "невозможно построить корабль, который бы вместил столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко". Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды (говорят, вся дискуссия основывалась на том, что эксперты верили греческой оценке размеров Земли, а капитан - египетской). Вот как была (случайно) открыта Америка.

Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов (притяжения планет Солнцем), законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел (вместе с семью миллионами других книг) в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему (Ньютону) "принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства". В греческой и средневековой версии Тот именовался "Гермесом Трисмегистом" ("трижды величайшим") и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием "Изумрудная скрижаль" - у Ньютона дома было несколько ее изданий...

В средние века научные книги истребляли, кроме "практически полезных" - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре (1-й век до н.э.) я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала...

Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около 20 лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении (вследствие чего он никогда ничего не публиковал). Теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек, описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон (например, 3, 4 и 5). Кроме геометрии (о которой он рассказал своим ученикам, донесшим ее до Евклида, уже не связанного подпиской о неразглашении и опубликовавшем эту тотовскую геметрию), Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов (формулу натяжения струн разных длин для получения одинаковой частоты - натяжение пропорционально квадрату длины; условия получения октавы, терции, квинты... - в сущности, теорию рядов Фурье).

Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и Европу были Платон (логика, философия) и Евдокс (теория чисел, алгоритм Евклида и теория иррациональных чисел типа теории сечений Дедекинда). Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, т.е. иррациональности, которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики): дроби оказывались недостаточными для потребностей физики (для измерения всевозможных длин), и, следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить.

Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию вещественных чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным (как в этом вопросе, так и в теории делимости и диофантовых уравнений). Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого (впрочем, неочевидного) доказательства.

Из всего рассказанного мне казалось очевидным, что математика - это часть физики, а вовсе не последовательность импликаций, как думал Гильберт до теоремы Геделя, установившего невыполнимость программы Гильберта полной формализации математики. И математика, и физика - экспериментальные науки, разница лишь в том, что в физике эксперименты стоят миллиарды долларов, а в математике - единицы рублей.

8. Математическое творчество (по А.Пуанкаре)

Анри Пуанкаре (1854 - 1912) - выдающийся французский математик, физик, философ. Член Академии наук Франции и многих зарубежных академий. Автор более 500 статей и книг. Его называют одним из величайших математиков всех времен, а также последним математиком-универсалом, человеком, способным охватить все математические результаты своего времени.

Ниже следует стилизованная беседа с "Интересующимся". Ответы А.Пуанкаре - подлинные тексты из его одноименного произведения.

Интересующийся. Хорошо известно, что люди воспринимают математику и относятся к ней по-разному.

Анри Пуанкаре. Что не всякий способен на творчество, в этом нет ничего удивительного. Что не всякий способен запомнить доказательство, однажды им узнанное, с этим также можно примириться... А между тем тех, которые лишь с трудом могут следить за таким рассуждением, большинство; это неоспоримый факт, и опыт учителей средней школы наверное ему не противоречит.

И. Для занятий математикой нужны специальные способности?

А.П. Специальная способность в математике должна обусловливаться очень верной памятью или скорее необычайной напряженностью внимания. Это качество можно было бы сравнить со способностью игрока в вист запоминать вышедшие карты, или, чтобы взять более сильную степень, со способностью шахматиста обозревать и предвидеть очень большое число комбинаций и удерживать их в памяти. С этой точки зрения всякий хороший математик должен был бы быть в то же время хорошим шахматистом, и наоборот; равным образом он должен быть силен в числовых выкладках. Конечно, иногда так и бывает; так, Гаусс одновременно был гениальным математиком и очень искусным и уверенным вычислителем. Напротив, именно Гаусс и представляет собой исключение. Что же касается, например, меня лично, то я должен сознаться, что неспособен сделать без ошибки сложение. Равным образом, из меня вышел бы плохой шахматист.

И. Но в математических рассуждениях Ваша память не подводит?

А.П. Почему она не изменяет мне в трудном математическом рассуждении, в котором бы растерялось бы большинство шахматистов? Очевидно, по той причине, что здесь моей памятью руководит общий ход рассуждения. Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в определенном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждение в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всяких усилий с моей стороны.

И. Как же все-таки протекает процесс математического творчества?

А.П. Полагаю, лучшее, что я могу сделать - это обратиться к моим личным воспоминаниям о том, как я написал мемуар о фуксовых функциях. Мне придется употребить несколько технических выражений, понимать которые, собственно, незачем. Доказанная теорема будет носить варварское название, но в данном контексте это совершенно не важно, ибо здесь интересны условия, обстоятельства.

В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе и не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов.

Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос, каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют, и пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета-фуксовыми функциями.

В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетий я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в этот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея - хотя мои предыдущие мысли не имели с ней ничего общего, - что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я не проверял этой идеи, так как, едва усевшись в омнибус, возобновил начатый разговор; тем не менее, я сразу почувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратясь в Кан, я сделал проверку; идея оказалась правильной.

Вслед за тем я занялся некоторыми вопросами арифметики, по-видимому, без особенного успеха; мне и в голову не приходило, что эти вопросы могут иметь хотя бы самое отдаленное отношение к моим предыдущим исследованиям. Раздосадованный неудачей, я решил провести несколько дней на берегу моря и стал думать о совершенно других вещах. Однажды, когда я бродил по прибрежным скалам, мне пришла в голову мысль, опять-таки с теми же характерными признаками: краткостью, внезапностью и непосредственной уверенностью в ее истинности, что арифметические преобразования неопределенных квадратичных трехчленов тождественны с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я стал размышлять над этой мыслью и сделал из нее некоторые выводы; пример квадратичных форм показал мне, что, помимо фуксовых групп, которые соответствуют гипергеометрическому ряду, существуют еще и другие; я увидел, что к ним можно приложить теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существуют еще иные фуксовы функции, помимо тех, которые происходят из гипергеометрического ряда и которые только и были мне известны до тех пор. Понятно, я задался целью образовать все такие функции, повел правильную осаду и овладел одним за другим всеми наружными фортами; но один все еще держался; его падение должно было повлечь за собой сдачу крепости. Однако все мои усилия приводили лишь к большему убеждению в трудности задачи; но и это уже имело некоторое значение. Вся эта работа происходила вполне сознательно.

Тут мне пришлось уехать в Мон-Валерьен, где я должен был отбывать воинскую повинность; конечно, я был поглощен разнообразнейшими делами. Однажды я шел по бульвару, как вдруг мне представилось решение занимавшей меня задачи. Я не стал тогда же вникать в этот вопрос; это я сделал лишь по окончании военной службы. В руках у меня были все необходимые данные, оставалось только собрать их вместе и расположить в надлежащем порядке. Теперь я уже в один присест без всякого усилия написал свой окончательный мемуар.

И. Так что же, нужно ждать прозрения, наступающего в результате бессознательной работы мозга?

А.П. Эта работа возможна или, по меньшей мере, плодотворна лишь в том случае, если ей предшествует и за ней следует период сознательной работы. Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе, как после нескольких дней волевых усилий, казавшихся поначалу совершенно бесполезными и ложными. Но именно они пустили в ход машину бессознательного, которая без них не стала бы двигаться и ничего бы не произвела.

И. Может быть, просто надо как следует отдохнуть? Не потому ли говорят: утро вечера мудренее?

А.П. Часто, когда думаешь над каким-либо трудным вопросом, за первый присест не удается сделать ничего путного; затем, более или менее отдохнув, садишься снова за стол. Проходит полчаса и все так же безрезультатно, как вдруг в голове появляется решающая мысль. Можно думать, что работа оказалась более плодотворной потому, что она была временно прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что это время было заполнено бессознательной работой, только это произошло не во время прогулки или путешествия.

И. Иногда говорят в применении к математическим объектам: изящное доказательство, гармоничная теория и т.п., в отличие от физической теории, где на первом месте обычно оказывается ее радикальность. Существует ли в математике чувство прекрасного?

А.П. Какие именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали.

И. К примеру, так мы рассматриваем картину или же любуемся живописным пейзажем.

А.П. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым руководит... Полезными комбинациями являются как раз наиболее изящные комбинации, т.е. те, которые в наибольшей степени способны удовлетворять тому специальному эстетическому чувству, которое знакомо всем математикам, но которое до того непонятно непосвященным, что упоминание о нем вызывает улыбку на их лицах... Когда ум математика испытывает внезапное просветление, то большей частью оно его не обманывает.

9. Математическая свалка

***

Двое пилотов на воздушном шаре попали в бурю и потеряли ориентировку. Наконец их вынесло в относительно спокойное место. Увидев внизу человека, они немного снизились и закричали: "Где мы находимся?" Тот ответил: "На воздушном шаре!" Порывом ветра шар отнесло в сторону. Один из пилотов сказал другому: "Сто процентов, что это был математик. Ответ абсолютно точный и совершенно бесполезный!"

***

Математик Штурм, автор известной теоремы о корнях уравнения, говорил на лекции: "Сейчас мы докажем теорему, имя которой я имею честь носить".

***

"Как жаль, что эти шедевры со временем рассыплются в пыль", - сказал один математик, рассматривая картины галереи Уффици. - "Зато моя теорема об униформизации аналитических функций будет жить вечно!"

***

Экстравагантный профессор математики стоял, скрестив руки на груди, около доски, на которой студент выписывал формулы. "Откуда это?" - спросил он, указав ногой на формулу. Студент принял такую же позу и также ногой показал: "Оттуда!"

***

Один математик как-то объяснял родовитому молодому человеку теорему, которую тот никак не мог взять в толк. Наконец он сказал ему: "Даю вам честное слово дворянина, что эта теорема верна!" Тот ответил: "Давно бы так. Я вам верю!"

***

Двое студентов-математиков университета в Геттингене покончили с собой после того, как в их доказательствах обнаружилась ошибка. На их похоронах, стоя под проливным дождем, великий математик Д.Гильберт произнес часовую речь о том, что их доказательства могли быть исправлены.

***

Наполеон как-то спросил Лапласа, почему в его многотомном труде об устройстве вселенной нет упоминания о боге. "Эта гипотеза мне не понадобилась", - ответил тот.

***

Обе сестры тотчас же открыли сумочки и достали два различных болеутоляющих лекарства. На каждой коробочке было написано: "Самое лучшее" (Л.Кэрролл)

***

"Как хорошо, что я не люблю спаржу", - сказала маленькая девочка своему заботливому Другу. "Ведь если бы я любила спаржу, мне пришлось бы ее есть, а я ее терпеть не могу!" (Л.Кэрролл)

***

Первое правило - надо иметь способности, а наряду с ними и удачу. Второе правило - стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея (Д.Пойа)

***

Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на алгебраический (И.Ньютон)

***

Я перестал понимать теорию относительности, когда за нее принялись математики.

(А.Эйнштейн)

***

Как-то в высшей математической школе Франции состоялась лекция профессора Н.Бурбаки, который с необычайным темпераментом излагал сложные математические проблемы. Позднее оказалось, что это была мистификация актера-любителя, великолепно имитировавшего математический жаргон. Вскоре в серьезных математических изданиях начали появляться блестящие математические работы за подписью: Н.Бурбаки. Оказалось, что группа французских математиков печатала свои работы под этим псевдонимом.

Члены группы не должны быть старше 50 лет. Недостаточно творчески активный мог быть исключен и раньше, для чего применялась процедура "кокотизации", по аналогии с обычаем одного полинезийского племени определять дееспособность своих стареющих вождей - тот должен был залезть на пальму и сорвать кокосовый орех. Испытуемому описывали какое-нибудь сложно определяемое математическое понятие, причем само понятие крайне примитивное, например, число 0. Кто не смог догадаться, выбывал из группы.

Успешным коммерческим проектом стало также издание книг Бурбаки по всему миру. Гонорары для авторов получал известный французский математик, имевший на то доверенность от самого Н.Бурбаки! Работы Н.Бурбаки составили эпоху в математике. Состав группы до сих пор держится в секрете.

***

Книга, посвященная особым решениям дифференциальных уравнений под названием "Теория катастроф", была издана во Франции в карманном формате (т.е. в расчете на массового читателя). Тираж разошелся полностью.

***

"Но ведь математика тоже язык!", - воскликнул известный математик Д.У.Гиббс во время обсуждения в одном американском университете вопроса об уменьшении в программе обучения количества часов на математику в пользу языков.

***

"Отец кибернетики" математик Н.Винер говорил, что когда он решает какую-либо проблему, то ощущает себя больным до тех пор, пока ее не решит. Известно, что Винер постоянно занимался решением проблемных вопросов...

***

Умножение на пальцах. Пусть нужно умножить 7 на 9. Положите на стол ладони обеих рук рядом друг с другом, согните седьмой по счету палец. Слева и справа от него прочтите цифры произведения: 6 и 3. Таким же способом можно получить произведение любой цифры на 9.

***

Знаменитый ученый Б.Паскаль ночью во время страшного приступа зубной боли вспомнил одну задачу, относящуюся к циклоиде. Он заметил, что напряженные размышления отвлекают от боли. К утру он доказал целый ряд результатов о циклоиде и... излечился от зубной боли.

***

Английский математик и теолог Барроу (учитель И.Ньютона) перед смертью сказал друзьям: "Наконец-то я узнаю решение многих геометрических и астрономических вопросов. О Господи, какой Ты геометр!"

***

Современным математикам вообще трудно читать своих предшественников, которые писали: "Петя вымыл руки" там, где просто следовало сказать: "Существует t1<0, такое, что образ Петя (t1) точки t1 при естественном отображении t-> Петя (t) принадлежит множеству грязноруких и такое t2 из полуинтервала (t1, 0(включительно)), что образ точки t2 при том же отображении принадлежит дополнению к множеству, о котором шла речь при рассмотрении точки t1." (В.И.Арнольд)

***

Друзья, собравшиеся у постели умирающего математика, никак не могли решить, жив ли он еще. Наконец один из них сказал умирающему на ухо: "Квадрат двенадцати?" "Сто сорок четыре" - едва слышно ответил тот.

***

Проблема 3-х дверей, или "здравый смысл" может ошибаться

Проблема получила известность после американского телешоу в 1990 году. Участник стоит перед 3-мя дверьми, за одной из которых находится автомобиль, за двумя другими - козлы. Участник выбирает одну из дверей, скажем, 3-ю. Модератор шоу, знающий, конечно же, за какой дверью находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей, скажем, 1-ю и там оказывается козел. Модератор спрашивает участника, остается ли тот при своем решении или выберет 2-ю дверь.

Marilyn vos Savant, женщина предположительно с наиболее высоким IQ в Соединенных Штатах, в 1991 году дала совет: решение надо всегда изменять, т.е. в нашем случае выбрать 2-ю дверь. Совет вызвал бурю откликов, в т.ч. среди специалистов-математиков. Ведь здравый смысл говорит, что выбор между 2-й и 3-й дверьми совершенно безразличен, ибо автомобиль может с равной вероятностью находиться как за той, так и за другой дверью.

Расчеты показывают, однако, что это не так. Были предложены разнообразные решения. Вот одно из них:

Вероятность нахождения автомобиля за одной из дверей составляет 1/3. Таким образом, вероятность нахождения автомобиля за 3-й дверью (выбранной участником) составляет 1/3. Вероятность, что автомобиль находится за 1-й и 2-й дверьми вместе, составляет 2/3 и она сохраняется после того, как модератор открыл 1-ю дверь. Таким образом, изменив свое решение и выбрав 2-ю дверь, участник увеличивает свои шансы вдвое.

Теперь представим себе, что некий зритель, опоздавший к началу шоу, увидел человека, стоящего перед двумя дверьми и не знающего, какую из них выбрать, чтобы заполучить автомобиль.

"Выбирай любую!" - такой совет даст он участнику.

"И ты прав!" - сказал бы библейский царь Соломон по этому поводу.

***

Из Льюиса Кэрролла

Ровно два фунта весила палка,

И хоть пилить мне ее было жалко,

Семь раз отмерив, я на восьмой

По меткам прошелся острой пилой.

Все восемь восьмушек по весу равны

И внешне похожи, как капли воды.

Но возникает вопрос непростой:

Сколько же весу в восьмушке такой?

Восьмушка весит четверть фунта? - Нет:

Вес опилок мал, но все же

Опилки что-то весят тоже.

Вы ж 2 на 8 разделили,

А про опилки позабыли!

***

Как математик кипятит чай?

Рассмотрим два варианта, говорит он: когда чайник пустой и когда он полный. Если чайник пустой, то наливаем в него воду, ставим на плиту, ждем, когда закипит вода, и завариваем чай. Если же чайник полный, то выливаем воду и сводим к предыдущему варианту.

***

Два города, А и Б, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают навстречу друг другу два велосипедиста, скорость каждого из них равна 50 км в час. Вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 100 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из Б. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту Б и так далее, пока велосипедисты не съехались. Сколько километров пролетела муха?

Математик: мне кажется, что расчеты будут достаточно сложными - ведь надо учесть одновременное движение обоих велосипедистов и мухи...

Школьник: велосипедисты ехали до встречи 3 часа, муха все это время находилась в воздухе. Следовательно, при скорости полета 100 км в час она пролетела 300 км.

Литература

Шапиро А.Д. Зачем нужно решать задачи? - М.: Просвещение, 1996.

Оставить комментарий © Copyright Шапиро Анатолий Давидович (shapiro.anatoliy@googlemail.com) Размещен: 05/10/2010, изменен: 22/10/2011. 56k. Статистика. Эссе: Естествознание		Оценка: *9.003** Ваша оценка:

Шапиро Анатолий Давидович: другие произведения.

соль математики