Шапиро Анатолий Давидович. Соль математики

А.Д.Шапиро

Соль математики

Оглавление

-- Почему математика трудная?

-- Постижение математики

-- Математик сделает лучше!

-- Проблемы и решения

-- Путеводная звезда корректности

-- Трехтысячелетний детектив

-- История математики (по В.И.Арнольду)

-- Математическое творчество (по А.Пуанкаре)

-- Математическая свалка

-- Разное

1.Почему математика трудная?

Практически все люди сталкиваются с математикой, начиная еще со школы. Ведь математика, наряду с родным языком, историей и географией, относится к числу обязательных предметов. К сожалению, для многих это столкновение в прямом смысле слова. Тому есть причины, которые коренятся, по-видимому, в самой математике, в личности учащегося, в учебниках и преподавателях математики.

Конечно же, математика достаточно сложна, ибо требует точных действий по правилам, не допуская каких-либо отклонений. Имеющийся пробел в знаниях правил рано или поздно даст о себе знать. Кроме того, по мере продвижения усложняется последовательность и содержание выполняемых шагов. Словом, трудности нарастают. И здесь выявляется разделение учащихся. Часть из них воспринимает логику и особенности предмета и более или менее успешно продвигается в его усвоении. Другая же часть к этому не особенно расположена и гораздо более охотно изучает гуманитарные предметы,. Здесь коренится весьма условное разделение учащихся на гуманитариев и техников. Лишь единицы усваивают математику легко и свободно - это вероятные будущие преподаватели математики.

Учебники

Объективная база изучения математики определяется учебниками. И если в учебниках математики для младших классов имеется определенный прогресс (цветовая гамма, игровые формы и пр.), то в учебниках для старших классов это менее заметно, а в геометрии, например, изложение мало изменилось со времен Евклида. Существуют различные концепции учебников, вытекающие из предпочтений в усвоении материала. Часть авторов предпочитает индуктивную форму изложения, когда разъясняются необходимость и смысл вводимых понятий, что стимулирует мышление и облегчает понимание. Формулируется цель изложения, обсуждаются пути реализации. Чтобы облегчить понимание, изложение сопровождается примерами нарастающей сложности. Такой стиль изложения был присущ Л.Эйлеру, который в своих работах подробно излагал, как он пришел к тому или иному результату. Текст приходится читать по несколько раз. При первом чтении обращают внимание на структуру текста, используемую терминологию. Повторное чтение, после преодоления терминологического барьера, позволяет сосредоточиться на отдельных частях текста, чтобы вникнуть в их смысл. Третье и последующие прочтения позволяют уже понять содержание раздела в целом. Непонимание или невосприятие какого-либо материала, в общем, рядовое явление. Оно может означать наличие определенных пробелов в знаниях. Пробелы, понятное дело, надо восполнить. Однако вполне возможна и другая причина - это качество изложения самого материала. Нередко материал излагается чрезмерно конспективно как раз в тех местах, где было бы уместно обстоятельное изложение. И наоборот, достаточно понятные вопросы излагаются чрезмерно подробно. Бывает, трудный для восприятия текст перемежается такими словами, как "очевидно", "ясно", "само собой разумеется" и т.п., что способно довести читателя до отчаяния и посеять сомнения в уровне собственного интеллекта. Интересно, что когда знаменитого ученого П.Лапласа попросили раскрыть смысл одной такой "очевидности" из его книги, то это стоило для него самого немалого напряжения и времени. Наилучший способ преодоления подобных затруднений - изучение вопроса по нескольким источникам, ибо различные авторы, к счастью, излагают различные части работы неодинаково, с различной степенью детализации.

Другие считают это излишним и тогда мы получаем отличающуюся краткостью дедуктивную форму изложения практически без разъясняющих комментариев (пример - учебники А.В.Погорелова по геометрии для средней и высшей школы). Формулируется утверждение, дается его доказательство. Комментарии отсутствуют, максимальная сжатость текста. Уместно для тех, кто уже достаточно знаком с предметом и хочет познакомиться с более лаконичным изложением.

Еще один тип учебников - изложение в примерах и задачах. "В математике примеры полезнее правил", говаривал И.Ньютон. Такая книга дает возможность "набить руку", повысить уверенность в своих силах. Изложение в данном формате имеется по многим математическим предметам (математический анализ, теория чисел, теория вероятностей, теория групп и др.). Такие книги известны и по другим предметам, например, "Теоретическая механика в примерах и задачах" и т.п.

И, наконец, справочная форма изложения, позволяющая обозреть материал систематизированно, в целом, что важно для использования в решении задач, подготовки к экзаменам. Дает возможность получить ответ на конкретный вопрос.

Также получил распространение конспект, подготавливаемый преподавателем для студентов определенной специальности (так называемый skript).

Таков минимальный набор учебников по математическому предмету, создающих базу для эффективного усвоения. Возможность его реализации с использованием компьютера не вызывает сомнений. В реальности эти подходы реализуются достаточно стихийно.

Минимальной единицей изложения в учебниках является доказательство теоремы (решение задачи), излагаемое свободным текстом. Оно состоит из последовательных шагов, которые и целесообразно принять за единицу изложения. Каждому шагу присваивается номер, излагается его содержание, даются комментарии и ссылки. Подобная структуризация изложения дает также возможность количественной оценки избранного способа доказательства теоремы или алгоритма решения задачи (примеры см. в книге автора: Шапиро А.Д. Зачем нужно решать задачи? - М.: Просвещение, 1996).

Учебники математики являются товаром, предназначенным для учащегося, оценку которому дают, однако, преподаватели. Роль преподавателя, как посредника между учащимися и учебником, достаточно значительна. Однако в ряде случаев субъективная позиция преподавателя может породить дополнительную сложность в усвоении и так нелегкого предмета и даже вызвать отрицательные комплексы.

2.Постижение математики

Без права на ошибку

Лука Пачоли, итальянский математик, создатель двойной итальянской бухгалтерии, называемой ныне просто бухгалтерией, говорил: "Не ошибается тот, кто ничего не делает, и он ничему не научится". Метод проб и ошибок в процессе поиска решения проблемы общепризнан в мире. Ибо путь, ведущий к истине, отнюдь не прямой. Обычно же предлагается единственный способ решения без объяснения, почему он является лучшим. Ошибка же является плодом ложных представлений, которые и должны быть выявлены и аргументированно скорректированы. Она должна рассматриваться как естественный момент поиска решения и не служить предлогом для осуждения или наказания. В иных случаях следует дать возможность учащемуся, избравшему ложный путь, самому убедиться в этом.

В школу с решенными задачами

В реальности лишь меньшинство или даже единицы отвечают этому условию. Нельзя, однако, оставлять "не взятые крепости", ибо в будущем это обязательно даст о себе знать. Индивидуальные консультации, совместное решение с целью диагностики и коррекции ошибочных представлений и уж затем - переход к конечной цели, т.е. самостоятельному решению задач.

Момент истины

Конечно, это экзамен. Нелегкое испытание, в котором, как в зеркале, отразится фактический уровень знаний. Чтобы продемонстрировать его в полной мере и избежать случайностей, нужна целенаправленная подготовка. Как же эффективно подготовиться к экзамену по математике? Этот старый, как мир, вопрос по-прежнему актуален. Не последнюю роль играет также нужный настрой, психологическая готовность к испытаниям. Разнообразие задач неисчерпаемо, на этом может споткнуться и хорошо подготовленный учащийся. Не отсюда ли берет корни утверждение, что экзамен - это лотерея? Уверенность в положительном исходе экзамена подкрепляется достаточным количеством самостоятельно решенных задач.

Но вот экзамен позади... Однако известно доброе старое, к сожалению, почти забытое правило: если экзаменующийся (школьник, абитуриент, студент) неверно ответил на вопрос или дал неполный ответ, то экзаменатор указывает правильный ответ, объясняет экзаменующемуся, в чем его ошибка. У человека, не получившего соответствующих разъяснений, возникает почти суеверный страх перед математикой, в которой "невозможно разобраться" (а заодно и перед математиками). Тяжелый осадок остается надолго, иногда на всю жизнь. А ведь учащийся и экзаменатор отнюдь не находятся по разные стороны баррикады, на самом деле они решают общую задачу - как наиболее точно определить фактический уровень знаний учащегося. Это важно, в конечном счете, для адекватной профориентации учащегося.

3.Математик сделает лучше!

Непростое это дело, обсуждать что-либо с математиком. Он сразу же спросит, что вы под этим понимаете, и затем приложит все силы, чтобы доказать, что вы сами не понимаете, что говорите. Если же удается пробиться через эту фазу, то вам, скорее всего, предложат привести пример, иллюстрирующий вашу мысль. Естественно, пример тоже попытаются опровергнуть. Это, так сказать, отпечаток профессии: ничего не принимать на веру без достаточного обоснования.

В одном школьном учебнике геометрии можно встретить такую теорему: "Каждый отрезок имеет середину и притом только одну". Не подвергая сомнению необходимость строгости в математике вообще, все же можно сказать, что здесь нарушено чувство меры. Более рациональным представляется введение курса "Наглядная геометрия" (о строгости в математике см. ниже).

Математики убеждены также, что они могут выполнить любую работу лучше других, ибо им более чем прочим ведомы приемы строго логического анализа. В одной книге так и написано: математик сделает лучше! Трудно сказать, насколько это справедливо. Но вот пример: Наполеон Бонапарт, бывший, кстати, академиком французской академии наук по отделению математики, назначил известного математика и физика Лапласа министром внутренних дел, но уже через короткое время вынужден был его отозвать. А вот Гражданский кодекс самого Наполеона и введенное им административное деление Франции функционируют до сих пор.

Случались также и казусы. Инженер-электрик Хевисайд использовал для обозначения операции дифференцирования букву D, взамен традиционных штриха или точки. Для решения дифференциального уравнения он вынес неизвестную функцию за скобки, затем к полученному в скобках оператору записал обратный, после чего воздействовал им на известную функцию в правой части уравнения. Это было настоящее шаманство, но... результаты получались верные! Пятьдесят лет понадобилось математикам, чтобы обосновать с помощью интегрального преобразования Лапласа операторное исчисление Хевисайда.

На математические отделения университетов попадают, понятное дело, те, кто был успешен в школьной математике. Значительная часть станет затем преподавателями математики, немногие пойдут в науку. Математические семинары предельно жесткие. Никакие авторитеты и звания не освобождают от необходимости обоснования своих утверждений. Дух математики проникает и в другие науки. Математика традиционно царит в технических науках, а в последнее время курсы высшей экономики сплошь пронизаны математикой. Похоже, реализуется претенциозный лозунг, что наука лишь тогда достигает высокого уровня, когда использует математику.

В то же время в преподавании математики имеются устаревшие разделы, особенно в связи с развитием вычислительной техники, например, приведение к виду, удобному для логарифмирования в тригонометрии. Не столь актуально и применение дифференциалов для приближенных вычислений, когда с помощью калькулятора можно получить довольно точные результаты. Представляется излишним схема коэффициентов Паскаля (треугольник Паскаля), освобождение от иррациональности в знаменателе дроби - это лишь дань традиции. Метод четырех полей в математической статистике следует, пожалуй, отнести в упражнения, что и сделано в некоторых учебниках, и т.п. Тем самым в программах курсов освободится место для более современного материала, или же просто уменьшится нагрузка на учащихся.

О строгости в математике В древней Греции математики нередко рисовали чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: "Смотри!" Во времена становления и развития математического анализа долгое время полагали, что непрерывная кривая, нарисованная свободным неотрывным движением руки, имеет в каждой точке касательную (кроме угловых точек, где движение останавливается, а затем снова возобновляется). Все изменилось после того, как был построен пример функции, удовлетворяющей определению непрерывности, но ни в одной точке не имеющей касательной (К.Вейерштрасс). График такой функции как бы весь состоит из угловых точек. Интуиция оказалась обманчивой. С тех пор строгость в математике существенно возросла. Стали доказываться утверждения вроде: "Всякая замкнутая кривая (без самопересечений) разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю" (К.Жордан) и т.п. В аксиоматических системах доказательству подлежит любое утверждение, не содержащееся среди аксиом. Для каждого вновь вводимого понятия доказывается существование соответствующего объекта и, в необходимых случаях, единственность. Поэтому "Основания геометрии" Д.Гильберта и книги Н.Бурбаки, посвященные аксиоматическому описанию математических структур, такие объемные. Был даже издан учебник по геометрии, не содержащий ни единого чертежа - дабы показать возможность изложения геометрии независимо от наглядных представлений (Дьедонне). Однако чтобы читать такую книгу, чертежи надо делать самостоятельно! О книгах Бурбаки можно сказать, что там на тысячи страниц не приходится ни одного чертежа (?!). Математики получили, таким образом, новый оперативный простор и ... неограниченное количество тем для докторских диссертаций. Это был также внутренний импульс, совершенно не связанный с приложениями. В учебниках же и прикладных курсах в основном сохраняется разумная опора на интуицию.

4. Проблемы и решения

Едва учитель закончил диктовать задание - подсчитать сумму чисел от 1 до 100 - как один из учеников принес ему решение. Это был К.Гаусс, будущий великий математик. Вот его способ:

1 + 2 + 3 + ........................ + 99 + 100 +

100 + 99 + 98 + ........................ + 2 + 1 = 2S

101 + 101 + 101 + ..........................+ 101 + 101 = 101х100

2S = 101х100,

S = 5050.

Понятное дело, таким же способом легко подсчитать сумму чисел от 1 до 1000 и вообще сумму n членов арифметической прогрессии (последовательности чисел, у которой каждый последующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа).

По словам самого Гаусса, он научился cчитать раньше, чем говорить. Однажды, наблюдая, как его отец записывал ежедневные расчеты с поденщиками, 5-летний Гаусс воскликнул: "Отец, там ошибка!" Ошибка действительно обнаружилась.

Неутомимым вычислителем был также и другой великий математик Л.Эйлер. Одно из самых известных в математике чисел - число е (оно является основанием натуральных логарифмов), называют числом Эйлера. Когда Эйлер умер, о нем говорили, что он перестал вычислять и жить.

Индийский математик Рамануджан получил известность как гениальный вычислитель. В частности, его необычайные способности помогли английскому математику Г.Харди установить окончательный вид формулы асимптотического (т.е. при стремлении к бесконечности) распределения простых чисел.

И все же в реальности далеко не все математики хорошие вычислители. Более того, они рассматривают математику как средство, позволяющее избежать рутинных вычислений. Полагают также, что значительная часть работы математика (впрочем, и любой творческой личности) выполняется на подсознательном уровне. После напряженных и длительных многократных и нерезультативных попыток, тупиков и заблуждений вдруг возникает мгновенное озарение, причем нередко в самый неподходящий момент (см. далее А.Пуанкаре о математическом творчестве).

Сама возможность получения формул для корней уравнений опиралась на использование буквенной символики (Ф.Виет), что имело для алгебры, да и всей математики значение, сравнимое с изобретением книгопечатания. Для нахождения квадратного корня из числа использовался итеративный метод Герона, основанный на постепенном переходе от прямоугольника к квадрату равной площади, сторона которого и являлась искомым значением корня. Сегодня это доступно школьникам.

Далее, одной буквой стали обозначать таблицу (матрицу) чисел, что привело к развитию векторно-матричного исчисления. На этом языке система n уравнений с n неизвестными записывается в виде:

Аx = b, где А - матрица, х и b - векторы.

Решение имеет вид:

х = Сb, где С - матрица, обратная к А.

Результат (вектор х) получается умножением обратной матрицы С на известный вектор b.

При n = 1 имеем:

ах = b, где а, b - известные числа.

Решение, как известно, имеет вид:

х = сb, где с = 1/а, т.е. число, обратное к а.

Аналогия, как видим, полная, а введение надлежащих обозначений делает задачу обозримой.

5.Путеводная звезда корректности

Понятие корректности является одним из ведущих в математике. Математическая задача называется корректной, если она имеет решение, которое, к тому же, должно быть единственным и устойчивым (Ж..Адамар). Единственным потому, что при наличии нескольких решений все равно для реализации придется выбирать одно. Небольшие изменения параметров задачи не должны вести к существенным изменениям решения. Корректные задачи весьма удобны для исследования и практического использования. Оказалось, однако, что за всю историю математики было сформулировано не так уж много корректных задач. Почти все они именные: задача Коши, задача Неймана и т.д.

Проиллюстрируем понятие корректности на примере системы линейных алгебраических уравнений. Если число уравнений равно числу неизвестных, то, в общем случае, существует единственное решение. Оно может быть определено (например, через детерминанты по известным правилам Крамера) и является устойчивым. Это, так сказать, нормальный случай.

К.Ф.Гаусс при производстве геодезических измерений столкнулся с ситуацией, когда число уравнений значительно превышало число неизвестных. Как быть? Можно взять произвольно часть уравнений в количестве, равном числу неизвестных величин и решить полученную систему. Однако при подстановке решения в оставшиеся уравнения последние, естественно, могут не удовлетворяться. Таким образом, решение попросту не существует. Но этой проблеме повезло в том смысле, что она попала в руки Гаусса, который не оставлял проблемы без решения.

В качестве решения Гаусс предложил такое, которое при его подстановке во все уравнения минимизирует сумму квадратов отклонений. Необходимым условием минимума функции, как известно, является равенство нулю частных производных этой функции. При этом получается система линейных уравнений, у которой число неизвестных в точности равно числу уравнений. Доказано, что эта система уравнений всегда разрешима. Так появился метод наименьших квадратов, носящий имя Гаусса.

И, наконец, третий возможный случай, когда число неизвестных больше, чем число уравнений. Можно, конечно, "лишним" неизвестным придать какие-то значения, а затем определить оставшиеся. При этом получается бесчисленное множество возможных решений, т.е. задача опять-таки некорректна. Одно время математики выдавали это обстоятельство за достоинство, но это была не более, чем хорошая мина при плохой игре. Дело затянулось на столетия, хотя этой проблемой занимался и такой известный математик, как Фурье.

Лишь в последнее время был найден корректный подход к этой задаче, и снова влияние практики оказалось существенным. В процессе планирования производства изделий, с учетом норм расхода материалов и наличных ресурсов, получается система линейных уравнений. При этом уравнений столько, сколько наличных (обычно дефицитных) ресурсов. Число же изделий может быть на порядок больше. Система имеет бесконечное множество решений. Естественно выбрать то, которое максимизирует некую целевую функцию, скажем прибыль. Такой подход был предложен Л.В.Канторовичем в 1939 году. Решение является в общем случае также единственным и устойчивым. Аналогичной оказалась задача о минимизации транспортных расходов при транспортировке различных грузов имеющимся парком транспортных средств. За решение последней задачи была присуждена нобелевская премия (Л.В.Канторович, Т.Купманс). Также был найден эффективный вычислительный алгоритм решения линейных задач оптимизации, получивший название "симплекс-метод" (Дж.Данциг, 1947).

Мы видим, что в обоих случаях для решения проблемы находилось экстремальное значение некоей функции, причем Гауссу пришлось ее сконструировать, а Канторович вообще брал известную функцию прибыли (соответственно издержек).

Также в наше время получила корректное решение так называемая антагонистическая игра двух лиц, в которой один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Игра определяется прямоугольной матрицей чисел. Строки задают выборы (стратегии) первого игрока, столбцы, соответственно выборы второго игрока. Элементы матрицы показывают размеры выигрышей первого игрока (и, соответственно, проигрышей второго). Целью первого игрока является максимизация гарантированного выигрыша, соответственно цель второго - минимизация возможного проигрыша. При наличии элемента, являющегося минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце (седловая точка), соответствующие строка и столбец дают оптимальное решение для каждого из игроков. При этом ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии (Э.Борель).

В общем случае такой элемент (седловая точка) отсутствует и игра становится неустойчивой. Предложенное корректное решение состоит в следующем: игроки выбирают свои стратегии с определенными вероятностями и тогда математические ожидания выигрыша обоих игроков совпадают (Дж.фон Нейман). Им же издана фундаментальная монография "Теория игр и экономическое поведение" (в соавторстве с О.Моргенштерном). Применение теории игр для решения конкретных научно-прикладных проблем неоднократно отмечалось нобелевскими премиями.

Мы видим плодотворность использования понятия корректности собственно в математике. Но это также определенный вклад в культуру социума, ибо задуматься о корректности принимаемых решений, уже в широком смысле слова, отнюдь нелишне.

6.Трехтысячелетний детектив

В системе аксиом геометрии Эвклида последней является аксиома параллельности: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Многие математики хотели превратить эту аксиому в теорему, т.е. доказать. И все без исключения потерпели неудачу. В каждом таком доказательстве при внимательном анализе обнаруживалось предположение, не входящее в систему аксиом и, следовательно, непозволительное. Вот некоторые из них:

сумма углов треугольника равна 180 градусов;

через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;

множество точек, одинаково удаленных от данной прямой, образуют прямую, параллельную данной (Прокл),

и т.д.

По существу они были эквивалентны аксиоме параллельности.

Логически имеются 3 возможности, именно, через точку вне данной прямой:

можно провести единственную прямую, параллельную данной (Эвклид);

можно провести более одной прямой, параллельной данной;

нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной.

Теперь нам необходимо выйти за пределы плоскости и поговорить о других поверхностях. На плоскости прямая линия является кратчайшим расстоянием между двумя точками. А как обстоит дело с этим на других поверхностях, где и прямых-то нет, на сфере, например? Чтобы определить кратчайшее расстояние между двумя точками на сферической поверхности, необходимо через эти две точки и центр сферы провести плоскость, которая пересечет сферу по окружности большого круга. Часть дуги этой окружности, заключенная между двумя точками, и будет кратчайшим расстоянием между ними. Итак, роль прямых линий на сфере играют окружности большого круга, которые все пересекаются друг с другом. Таким образом, на сфере реализуется третья возможность.

Вторая возможность была детально исследована Н.И.Лобачевским. Он развил соответствующую систему почти с такой же полнотой, как и Эвклид. Лобачевский назвал эту геометрию неэвклидовой, сейчас ее называют геометрией Лобачевского. Позднее была обнаружена поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского (Э.Бельтрами). Этой поверхностью оказалась псевдосфера, всем известный волчок. Наконец-то геометрия Лобачевского получила наглядную интерпретацию. Но оказалось, что на псевдосфере реализуется лишь часть плоскости Лобачевского. В конце концов, была предложена полная интерпретация геометрии Лобачевского (А.Пуанкаре).

Независимо от Лобачевского к понятию неэвклидовой геометрии пришли также Гаусс и молодой венгерский гений Я.Бояи. Заметки Гаусса не были опубликованы при его жизни, а работа Бояи вышла в приложении к книге его отца.

Не пропали даром и все некорректные доказательства аксиомы параллельности. Они стали вполне корректными утверждениями геометрии Лобачевского, именно:

сумма углов треугольника меньше 180 градусов (в сферическом треугольнике она всегда больше 180 градусов);

не через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;

множество точек, одинаково удаленных от данной прямой (так называемая эквидистанта), вообще не является прямой линией. То же верно и для сферы: если мы на окружности большого круга, перпендикулярной к экватору, отметим отрезок дуги, примыкающей к экватору, и будем вращать эту окружность вокруг полюса, то конец дуги опишет окружность, не являющуюся, однако, окружностью большого круга,

и др.

Итак, сколько поверхностей, столько и геометрий. Поверхность Земли близка к сферической, 2/3 ее составляет водная поверхность, так что корабли плавают по окружностям большого круга, если хотят съэкономить время и ресурсы. Кстати, когда для установления мирового рекорда скорости на автомобиле понадобилось найти достаточно большой плоский участок земной поверхности, это оказалось нелегким делом. Также в живой природе плоские поверхности почти не встречаются.

Развитие подхода Лобачевского привело к появлению новых геометрий. Известная аксиома Архимеда (аксиома измеримости) гласит, что если на числовой прямой задана точка отсчета О, отрезок фиксированной длины а и произвольная точка А, то всегда найдется такое число n, что будет na>ОА. Соответствующее изменение аксиомы Архимеда приводит к неархимедовой геометрии. Последняя получила применение в ядерной физике при исследовании взаимодействия на планковских (т.е. очень малых) расстояниях. Аналогично строились недезаргова и непаскалева геометрии (Дезарг, Паскаль - французские математики). Исследовалось также понятие непротиворечивости геометрии, т.е. возможности существования в ней двух противоречащих друг другу утверждений. При этом были получены результаты, важные также для математики в целом. Но это уже другая история.

7. История математики (по В.И.Арнольду)

Влади?мир И?горевич Арно?льд -- советский и российский математик, автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений и теоретической механики. Один из крупнейших математиков XX века.

Много тысячелетий назад (заведомо до Моисея) в Египте жил замечательный математик Тот, сделавший массу открытий. Он был землемером (отсюда "геометрия") фараона и придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных он ввел четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми аксиомами, и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.

Среди геометрических достижений того времени (если не самого Тота, то его учеников) - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов, т.е. расстояние, не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1% (по сравнению с современными измерениями).

Греки провели измерение радиуса Земли заново (через пару сотен лет). Они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив "скорость корабля при ветре средней силы" на время путешествия. Размер радиуса Земли при этом получили вдвое больше правильного (считать верблюжьи шаги легче, чем оценивать, средней ли силы ветер).

Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем (вместо восточного, пройденного Васко де Гамой). Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, "невозможно построить корабль, который бы вместил столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко". Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды (говорят, вся дискуссия основывалась на том, что эксперты верили греческой оценке размеров Земли, а капитан - египетской). Вот как была (случайно) открыта Америка.

Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов (притяжения планет Солнцем), законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел (вместе с семью миллионами других книг) в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему (Ньютону) "принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства". В греческой и средневековой версии Тот именовался "Гермесом Трисмегистом" ("трижды величайшим") и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием "Изумрудная скрижаль" - у Ньютона дома было несколько ее изданий...

В средние века научные книги истребляли, кроме "практически полезных" - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре (1-й век до н.э.) я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала...

Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около 20 лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении (вследствие чего он никогда ничего не публиковал). Теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек, описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон (например, 3, 4 и 5). Кроме геометрии (о которой он рассказал своим ученикам, донесшим ее до Евклида, уже не связанного подпиской о неразглашении и опубликовавшем эту тотовскую геметрию), Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов (формулу натяжения струн разных длин для получения одинаковой частоты - натяжение пропорционально квадрату длины; условия получения октавы, терции, квинты... - в сущности, теорию рядов Фурье).

Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и Европу были Платон (логика, философия) и Евдокс (теория чисел, алгоритм Евклида и теория иррациональных чисел типа теории сечений Дедекинда). Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, т.е. иррациональности, которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики): дроби оказывались недостаточными для потребностей физики (для измерения всевозможных длин), и, следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить.

Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию вещественных чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным (как в этом вопросе, так и в теории делимости и диофантовых уравнений). Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого (впрочем, неочевидного) доказательства.

Из всего рассказанного мне казалось очевидным, что математика - это часть физики, а вовсе не последовательность импликаций, как думал Гильберт до теоремы Геделя, установившего невыполнимость программы Гильберта полной формализации математики. И математика, и физика - экспериментальные науки, разница лишь в том, что в физике эксперименты стоят миллиарды долларов, а в математике - единицы рублей.

8. Математическое творчество (по А.Пуанкаре)

Анри Пуанкаре (1854 - 1912) - выдающийся французский математик, физик, философ. Член Академии наук Франции и многих зарубежных академий. Автор более 500 статей и книг. Его называют одним из величайших математиков всех времен, а также последним математиком-универсалом, человеком, способным охватить все математические результаты своего времени.

Ниже следует стилизованная беседа с "Интересующимся". Ответы А.Пуанкаре - подлинные тексты из его одноименного произведения.

Интересующийся. Хорошо известно, что люди воспринимают математику и относятся к ней по-разному.

Анри Пуанкаре. Что не всякий способен на творчество, в этом нет ничего удивительного. Что не всякий способен запомнить доказательство, однажды им узнанное, с этим также можно примириться... А между тем тех, которые лишь с трудом могут следить за таким рассуждением, большинство; это неоспоримый факт, и опыт учителей средней школы наверное ему не противоречит.

И. Для занятий математикой нужны специальные способности?

А.П. Специальная способность в математике должна обусловливаться очень верной памятью или скорее необычайной напряженностью внимания. Это качество можно было бы сравнить со способностью игрока в вист запоминать вышедшие карты, или, чтобы взять более сильную степень, со способностью шахматиста обозревать и предвидеть очень большое число комбинаций и удерживать их в памяти. С этой точки зрения всякий хороший математик должен был бы быть в то же время хорошим шахматистом, и наоборот; равным образом он должен быть силен в числовых выкладках. Конечно, иногда так и бывает; так, Гаусс одновременно был гениальным математиком и очень искусным и уверенным вычислителем. Напротив, именно Гаусс и представляет собой исключение. Что же касается, например, меня лично, то я должен сознаться, что неспособен сделать без ошибки сложение. Равным образом, из меня вышел бы плохой шахматист.

И. Но в математических рассуждениях Ваша память не подводит?

А.П. Почему она не изменяет мне в трудном математическом рассуждении, в котором бы растерялось бы большинство шахматистов? Очевидно, по той причине, что здесь моей памятью руководит общий ход рассуждения. Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в определенном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждение в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всяких усилий с моей стороны.

И. Как же все-таки протекает процесс математического творчества?

А.П. Полагаю, лучшее, что я могу сделать - это обратиться к моим личным воспоминаниям о том, как я написал мемуар о фуксовых функциях. Мне придется употребить несколько технических выражений, понимать которые, собственно, незачем. Доказанная теорема будет носить варварское название, но в данном контексте это совершенно не важно, ибо здесь интересны условия, обстоятельства.

В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе и не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов.

Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос, каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют, и пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета-фуксовыми функциями.

В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетий я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в этот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея - хотя мои предыдущие мысли не имели с ней ничего общего, - что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я не проверял этой идеи, так как, едва усевшись в омнибус, возобновил начатый разговор; тем не менее, я сразу почувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратясь в Кан, я сделал проверку; идея оказалась правильной.

Вслед за тем я занялся некоторыми вопросами арифметики, по-видимому, без особенного успеха; мне и в голову не приходило, что эти вопросы могут иметь хотя бы самое отдаленное отношение к моим предыдущим исследованиям. Раздосадованный неудачей, я решил провести несколько дней на берегу моря и стал думать о совершенно других вещах. Однажды, когда я бродил по прибрежным скалам, мне пришла в голову мысль, опять-таки с теми же характерными признаками: краткостью, внезапностью и непосредственной уверенностью в ее истинности, что арифметические преобразования неопределенных квадратичных трехчленов тождественны с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я стал размышлять над этой мыслью и сделал из нее некоторые выводы; пример квадратичных форм показал мне, что, помимо фуксовых групп, которые соответствуют гипергеометрическому ряду, существуют еще и другие; я увидел, что к ним можно приложить теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существуют еще иные фуксовы функции, помимо тех, которые происходят из гипергеометрического ряда и которые только и были мне известны до тех пор. Понятно, я задался целью образовать все такие функции, повел правильную осаду и овладел одним за другим всеми наружными фортами; но один все еще держался; его падение должно было повлечь за собой сдачу крепости. Однако все мои усилия приводили лишь к большему убеждению в трудности задачи; но и это уже имело некоторое значение. Вся эта работа происходила вполне сознательно.

Тут мне пришлось уехать в Мон-Валерьен, где я должен был отбывать воинскую повинность; конечно, я был поглощен разнообразнейшими делами. Однажды я шел по бульвару, как вдруг мне представилось решение занимавшей меня задачи. Я не стал тогда же вникать в этот вопрос; это я сделал лишь по окончании военной службы. В руках у меня были все необходимые данные, оставалось только собрать их вместе и расположить в надлежащем порядке. Теперь я уже в один присест без всякого усилия написал свой окончательный мемуар.

И. Так что же, нужно ждать прозрения, наступающего в результате бессознательной работы мозга?

А.П. Эта работа возможна или, по меньшей мере, плодотворна лишь в том случае, если ей предшествует и за ней следует период сознательной работы. Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе, как после нескольких дней волевых усилий, казавшихся поначалу совершенно бесполезными и ложными. Но именно они пустили в ход машину бессознательного, которая без них не стала бы двигаться и ничего бы не произвела.

И. Может быть, просто надо как следует отдохнуть? Не потому ли говорят: утро вечера мудренее?

А.П. Часто, когда думаешь над каким-либо трудным вопросом, за первый присест не удается сделать ничего путного; затем, более или менее отдохнув, садишься снова за стол. Проходит полчаса и все так же безрезультатно, как вдруг в голове появляется решающая мысль. Можно думать, что работа оказалась более плодотворной потому, что она была временно прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что это время было заполнено бессознательной работой, только это произошло не во время прогулки или путешествия.

И. Иногда говорят в применении к математическим объектам: изящное доказательство, гармоничная теория и т.п., в отличие от физической теории, где на первом месте обычно оказывается ее радикальность. Существует ли в математике чувство прекрасного?

А.П. Какие именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали.

И. К примеру, так мы рассматриваем картину или же любуемся живописным пейзажем.

А.П. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым руководит... Полезными комбинациями являются как раз наиболее изящные комбинации, т.е. те, которые в наибольшей степени способны удовлетворять тому специальному эстетическому чувству, которое знакомо всем математикам, но которое до того непонятно непосвященным, что упоминание о нем вызывает улыбку на их лицах... Когда ум математика испытывает внезапное просветление, то большей частью оно его не обманывает.

9. Математическая свалка

Двое пилотов на воздушном шаре попали в бурю и потеряли ориентировку. Наконец их вынесло в относительно спокойное место. Увидев внизу человека, они немного снизились и закричали: "Где мы находимся?" Тот ответил: "На воздушном шаре!" Порывом ветра шар отнесло в сторону. Один из пилотов сказал другому: "Сто процентов, что это был математик. Ответ абсолютно точный и совершенно бесполезный!"

\\\

Математик Штурм, автор известной теоремы о корнях уравнения, говорил на лекции: "Сейчас мы докажем теорему, имя которой я имею честь носить".

\\\

"Как жаль, что эти шедевры со временем рассыплются в пыль", - сказал один математик, рассматривая картины галереи Уффици. - "Зато моя теорема об униформизации аналитических функций будет жить вечно!"

\\\

Экстравагантный профессор математики стоял, скрестив руки на груди, около доски, на которой студент выписывал формулы. "Откуда это?" - спросил он, указав ногой на формулу. Студент принял такую же позу и также ногой показал: "Оттуда!"

\\\

Один математик как-то объяснял родовитому молодому человеку теорему, которую тот никак не мог взять в толк. Наконец он сказал ему: "Даю вам честное слово дворянина, что эта теорема верна!" Тот ответил: "Давно бы так. Я вам верю!"

\\\

Двое студентов-математиков университета в Геттингене покончили с собой после того, как в их доказательствах обнаружилась ошибка. На их похоронах, стоя под проливным дождем, великий математик Д.Гильберт произнес часовую речь о том, что их доказательства могли быть исправлены.

\\\

Один из коллег Д.Гильберта стал романистом. Гильберт прокомментировал это так: ему недоставало воображения, чтобы заниматься математикой.

\\\

Наполеон как-то спросил Лапласа, почему в его многотомном труде об устройстве вселенной нет упоминания о боге. "Эта гипотеза мне не понадобилась", - ответил тот.

\\\

Обе сестры тотчас же открыли сумочки и достали два различных болеутоляющих лекарства. На каждой коробочке было написано: "Самое лучшее" (Л.Кэрролл)

\\\

"Как хорошо, что я не люблю спаржу", - сказала маленькая девочка своему заботливому Другу. "Ведь если бы я любила спаржу, мне пришлось бы ее есть, а я ее терпеть не могу!" (Л.Кэрролл)

\\\

Первое правило - надо иметь способности, а наряду с ними и удачу. Второе правило - стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея (Д.Пойа)

\\\

Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на алгебраический (И.Ньютон)

\\\

Я перестал понимать теорию относительности, когда за нее принялись математики.

(А.Эйнштейн)

\\\

Как-то в высшей математической школе Франции состоялась лекция профессора Н.Бурбаки, который с необычайным темпераментом излагал сложные математические проблемы. Позднее оказалось, что это была мистификация актера-любителя, великолепно имитировавшего математический жаргон. Вскоре в серьезных математических изданиях начали появляться блестящие математические работы за подписью: Н.Бурбаки. Оказалось, что группа французских математиков печатала свои работы под этим псевдонимом.

Члены группы не должны быть старше 50 лет. Недостаточно творчески активный мог быть исключен и раньше, для чего применялась процедура "кокотизации", по аналогии с обычаем одного полинезийского племени определять дееспособность своих стареющих вождей - тот должен был залезть на пальму и сорвать кокосовый орех. Испытуемому описывали какое-нибудь сложно определяемое математическое понятие, причем само понятие крайне примитивное, например, число 0. Кто не смог догадаться, выбывал из группы.

Успешным коммерческим проектом стало также издание книг Бурбаки по всему миру. Гонорары для авторов получал известный французский математик, имевший на то доверенность от самого Н.Бурбаки! Работы Н.Бурбаки составили эпоху в математике. Состав группы до сих пор держится в секрете.

\\\

Книга, посвященная особым решениям дифференциальных уравнений под названием "Теория катастроф", была издана во Франции в карманном формате (т.е. в расчете на массового читателя). Тираж разошелся полностью.

\\\

"Но ведь математика тоже язык!", - воскликнул известный математик Д.У.Гиббс во время обсуждения в одном американском университете вопроса об уменьшении в программе обучения количества часов на математику в пользу языков.

\\\

"Отец кибернетики" математик Н.Винер говорил, что когда он решает какую-либо проблему, то ощущает себя больным до тех пор, пока ее не решит. Известно, что Винер постоянно занимался решением проблемных вопросов...

\\\

Умножение на пальцах. Пусть нужно умножить 7 на 9. Положите на стол ладони обеих рук рядом друг с другом, согните седьмой по счету палец. Слева и справа от него прочтите цифры произведения: 6 и 3. Таким же способом можно получить произведение любой цифры на 9.

\\\

Знаменитый ученый Б.Паскаль ночью во время страшного приступа зубной боли вспомнил одну задачу, относящуюся к циклоиде. Он заметил, что напряженные размышления отвлекают от боли. К утру он доказал целый ряд результатов о циклоиде и... излечился от зубной боли.

\\\

Английский математик и теолог Барроу (учитель И.Ньютона) перед смертью сказал друзьям: "Наконец-то я узнаю решение многих геометрических и астрономических вопросов. О Господи, какой Ты геометр!"

\\\

Современным математикам вообще трудно читать своих предшественников, которые писали: "Петя вымыл руки" там, где просто следовало сказать: "Существует t1<0, такое, что образ Петя (t1) точки t1 при естественном отображении t-> Петя (t) принадлежит множеству грязноруких и такое t2 из полуинтервала (t1, 0(включительно)), что образ точки t2 при том же отображении принадлежит дополнению к множеству, о котором шла речь при рассмотрении точки t1." (В.И.Арнольд)

\\\

Друзья, собравшиеся у постели умирающего математика, никак не могли решить, жив ли он еще. Наконец один из них сказал умирающему на ухо: "Квадрат двенадцати?" "Сто сорок четыре" - едва слышно ответил тот.

\\\

Известный математик Н.Винер в повседневной жизни был рассеянным и забывчивым человеком. Когда его семья перебралась на новую квартиру, жена положила ему в бумажник листок с новым адресом. Ему пришла в голову интересная идея, он достал листок и на обороте записал ее. Затем понял, что идея неверна и выбросил листок. Вечером отправился по старому адресу, понял, что здесь уже никто не живет и стоял на улице в полной растерянности. Тогда он решил подойти к маленькой девочке, стоявшей поблизости, и сказал: "Простите, возможно, вы меня помните. Я профессор Винер. Моя семья жила здесь раньше. Теперь они переехали. Вы не знаете, где они теперь живут?". Девочка слушала его очень внимательно, а потом ответила: "Да, папа! Наша мама так и знала, что ты это забудешь".

\\\

Харди (1877-1947) в Кембридже написал свои лучшие работы. Обычно он делал их с Литлвудом, живя в одном (Тринити) колледже. Они встречались за трапезами трижды в день, за "высоким столом", где обедал Ньютон.

Но правила Тринити строго запрещают разговаривать за едой о своей науке и вообще о предметах, более серьёзных, чем погода: ведь даже при разговоре о левостороннем движении возникает риск спора, нарушающего пищеварение. Потому senior fellows ("старшие товарищи") обязаны при первом же разногласии провозгласить примиряющую формулу: "So we all agree that we disagree" (Мы все согласны, что у нас есть разногласия") -- и тогда спор прекратится.

Итак, Харди и Литлвуд никогда не говорили между собой о математике. Зато каждый из них писал весь день, а вечером отправлял написанное другому (через сторожей колледжа, дежуривших у входа и разносивших ежедневно почту, что продолжается и сейчас). После многократного путешествия текста туда и обратно он превращался в очередную замечательную совместную статью.

\\\

Инженер, физик и математик проезжали на поезде через сельскую местность и увидели в окно пасущуюся черную овцу.

Инженер: пожалуй, в этой местности все овцы черные.

Физик: определенно можно сказать, что в этой местности имеется минимум одна овца и она черная.

Математик: наверняка можно утверждать лишь, что в этой местности имеется минимум одна овца, которая минимум с одной стороны черная.

\\\

Из Льюиса Кэрролла

Ровно два фунта весила палка,

И хоть пилить мне ее было жалко,

Семь раз отмерив, я на восьмой

По меткам прошелся острой пилой.

Все восемь восьмушек по весу равны

И внешне похожи, как капли воды.

Но возникает вопрос непростой:

Сколько же весу в восьмушке такой?

Восьмушка весит четверть фунта? - Нет:

Вес опилок мал, но все же

Опилки что-то весят тоже.

Вы ж 2 на 8 разделили,

А про опилки позабыли!

\\\

Как математик кипятит чай?

Рассмотрим два варианта, говорит он: когда чайник пустой и когда он полный. Если чайник пустой, то наливаем в него воду, ставим на плиту, ждем, когда закипит вода, и завариваем чай. Если же чайник полный, то выливаем воду и сводим к предыдущему варианту.

\\\

Известный математик, выслушав доклад о многомерных пространствах, обычно задавал шокирующий вопрос: а как это выглядит в двумерном пространстве (т.е. на плоскости)?

10.Разное

Яблоко

Как-то двоим детям, будем думать, за хорошее поведение, дали одно яблоко на двоих. Как его разделить? Ясное дело, пополам. Но как это сделать? Прибегнуть к услугам посредника, как в известной сказке о лисе, помогавшей двум медвежатам разделить кусок сыра? Лиса разделила сыр на две части, одна из частей оказалась больше. Чтобы ни одному из медвежат не было обидно, она откусила сыр от большего куска. Он стал меньше, тогда лиса откусила сыр от другого куска. В конце концов, медвежатам достались крохи. Нет, уж лучше разделить яблоко самим, без посредников. А если тот, кто будет делить, разрежет яблоко на две неравные части и большую заберет себе? А вот, наконец, и решение: один делит, а другой выбирает! Тогда первый постарается разделить яблоко на две части как можно точнее.

Еще одна история с яблоком. Воспитательница детского сада спросила детей, как разделить одно яблоко на всех. Кто-то предложил бросить яблоко в компот. Решение же было следующее: посадить семечко в землю, а когда яблоня вырастет, и на ней появятся яблоки, разделить их между всеми детьми. Типичный социализм!

А если речь идет о разделе разнородного имущества на несколько частей? Скажем, о разделе наворованного между членами банды. Сначала все раскладывается на более или менее равноценные кучки по числу членов коллектива (то бишь, банды), затем один отворачивается, другой указывает на какую-либо кучку и спрашивает: "Кому?"

Иногда дело не в выигрыше, а в минимизации проигрыша. Примером подобной ситуации является так называемая "дилемма заключенных". Два преступника ожидают приговор суда за совершенное преступление. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его учесть (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому в этом случае дадут 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на 1 год по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то с учетом чистосердечного признания им обоим дадут по 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаться или сознаться, выдав при этом сообщника. Теория рекомендует обоим заключенным сознаться, так как ни один из них не может быть уверен в том, что другой не воспользуется этой возможностью.

"Дилемма заключенных" имеет определенную аналогию в экономике. Две (или более) фирмы, конкурируют на рынке некоторого товара, имея свою долю рынка и определенный уровень прибыли. Одна из фирм начинает агрессивно конкурировать - существенно снижает цену на товар и захватывает значительную долю рынка, что обеспечивает ей больший объем прибыли. Другая фирма отвечает тем же и через некоторое время восстанавливает свою долю рынка. Однако, ввиду сложившихся низких цен, уровень прибыли у обеих фирм снижается. "Война цен", как правило, приводит к такому финалу. Договориться же об уровне цен фирмы не могут, так как подобный "ценовой сговор", в США, например, карается крупным денежным штрафом или даже тюремным заключением. Поэтому фирма, как правило, избегает резких колебаний цены в надежде, что ее партнеры поступят так же. Другое дело, если снижение цен имеет под собой реальную, а не конъюнктурную основу (например, уменьшение издержек за счет внедрения новой техники или технологии). Фирме-аутсайдеру в этом случае вряд ли удастся восстановить утраченные позиции.

Вот еще древняя притча, рассказанная римским сенатором плебеям, покинувшим Рим из-за разногласий с патрициями. Как-то органы человеческого тела восстали против желудка. Мы выслеживаем пищу, сказали глаза и уши. А мы догоняем и хватаем ее, подхватили ноги и руки. В таком же духе каждый орган высказался о своей роли. Желудок же забирает все себе. В ответ желудок сказал: я забираю себе все, чтобы переварить пищу и чтобы питательные соки поступили ко всем органам, мне же остается сами знаете что. Так красноречивый сенатор убедил плебеев вернуться в Рим.

Если какая-либо цель достигнута благодаря совместным усилиям нескольких партнеров, то им предстоит нелегкое дело - испытание успехом. Далеко не всегда и не всем удается пройти через него с честью. Нередко бывшие соратники ополчаются друг против друга. Ученик и учитель становятся злейшими врагами; суждения о друзьях и недругах в одночасье могут измениться на прямо противоположные; ранее сплоченная команда единомышленников вдруг разваливается на глазах. Причина большей частью кроется в том, что члены команды по-разному оценивают свой вклад в общий успех, и, соответственно, полагающуюся долю дивидендов. Сложившаяся проблема из разряда "вечных"! В теории стратегических игр ей даже посвящен специальный раздел, который так и называется: "дележ выигрыша".

Начав с яблока, яблоком и закончим. Оно использовалось как реквизит при решении вопроса: "кто на свете всех милее, всех румяней и белее" (А.С.Пушкин).

Богиня раздора Эрида, обиженная тем, что её не пригласили на свадебный пир Пелея и Фетиды, решила отомстить богам и подбросила пирующим яблоко с надписью "Прекраснейшей". Тотчас между тремя богинями: женой Зевса Герой, воительницей Афиной и богиней любви Афродитой -- возник спор: кому по праву принадлежит яблоко? Богини обратились к Зевсу, но тот отказался быть судьёй. Зевс отдал яблоко Гермесу и велел отвести богинь в окрестности Трои к прекрасному сыну царя Трои Парису, который и должен выбрать прекраснейшую из трёх богинь. Каждая из них стала убеждать Париса отдать яблоко ей, суля юноше великие награды. Гера пообещала Парису власть над всей Азией, Афина -- военные победы и славу. Парис отдал яблоко Афродите, которая обещала наградить его любовью любой женщины, которую он выберет. При этом она в восторженных выражениях описала ему Елену Прекрасную, дочь громовержца Зевса и Леды, и жену Менелая, царя Спарты. Это привело к похищению Елены Парисом, что и стало причиной Троянской войны. Парис стал любимцем Афродиты, и она во всём помогала ему. Гера и Афина возненавидели Париса и всех троянцев.

Муха

Сын просит отца помочь в решении задачи:

Два города, А и Б, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают навстречу друг другу два велосипедиста, скорость каждого из них равна 50 км в час. Вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 100 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из Б. Встретив его, она сразу поворачивает назад, к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту Б и так далее, пока велосипедисты не съехались. Сколько километров пролетела муха?

Отец: мне кажется, что расчеты будут достаточно сложными - ведь надо учесть одновременное движение обоих велосипедистов и мухи... Пожалуй, придется тебе обратиться к учителю.

Сын: 300 километров.

Отец: почему?

Сын: велосипедисты ехали до встречи 3 часа, муха все это время находилась в воздухе. Следовательно, при скорости полета 100 км в час она пролетела 300 км.

Отец: а почему сразу не решил?

Сын: наблюдал за тобой, и тут решение пришло мне в голову.

Отец: бывает же!

Антимиры

Электрон, как известно, отрицательно заряженная частица. Физик-теоретик Поль Дирак поставил вопрос о существовании такой же частицы, но с положительным зарядом - позитрона, ибо при извлечении квадратного корня из квадрата заряда электрона возможен как знак "минус", так и "плюс":

e. Вскоре позитрон был экспериментально обнаружен. Все физические характеристики электрона и позитрона совпадают, кроме знака. Электрон и позитрон при столкновении аннигилируют с освобождением энергии, равной полной энергии сталкивающихся частиц.

Позднее был обнаружен антипротон и открылась прямая дорога к антиатому, у которого вокруг ядра из отрицательно заряженных антипротонов вращаются положительно заряженные позитроны, и вообще к антивеществу. При взаимодействии материи с антиматерией происходит аннигиляция. Предполагается, что материя и антиматерия находились в равновесии в ранней Вселенной, но вследствие некоторой "асимметрии" антиматерия распалась или аннигилировала и сегодня во Вселенной ее очень мало.

Нестандартный бизнес

Хорошо известно, что такое обычный, стандартный бизнес - для этого достаточно взять в руки любое руководство по бизнес-деятельности. А вот необычный, нестандартный бизнес, можно сказать, в каждом случае нестандартный по-своему.

Эта таинственная, почти мистическая история произошла в Нью-Йорке. Докладывая о поступившей корреспонденции, секретарь бизнесмена С. Джонсона показала ему письмо от неизвестного доброжелателя. В письме сообщалось, что на будущей неделе акции компании "Дженерал моторс" начнут падать, то есть от них целесообразно как можно быстрее избавиться. И действительно, уже через неделю "Дженерал моторс" упал в цене. Когда же пришло второе письмо от тех же доброжелателей, мистер Джонсон отнесся к нему уже внимательнее. В письме сообщалось, что в течение ближайшей недели вверх пойдут акции "Форда". Мистер Джонсон решил поэкспериментировать, приобретя некоторое количество упомянутых акций, и не ошибся - они действительно повысились в цене. В третий, четвертый, пятый, шестой и даже в седьмой раз предсказание оказывалось стопроцентно правильным. Экспертная группа его фирмы, состоящая из специалистов высшей квалификации, имевших в своем распоряжении мощные компьютеры, оснащенные самым современным математическим обеспечением, получавшими к тому же, не в упрек будет сказано, весьма солидные гонорары, выдавала весьма расплывчатые прогнозы, по изощренности и отточености формулировок напоминавшие прогнозы погоды. Неудивительно, что когда в восьмом письме ему посоветовали скупить акции некой компании, мистер Джонсон вложил в эту покупку максимум средств. И...прогорел! Мошенники же, сбывшие крупный пакет неходовых акций, положили в карман круглую сумму.

Мошенники действовали наверняка. У них был список 2000 бизнесменов, игравших на нью-йоркской бирже. Так вот, тысяче бизнесменов они сообщали, что курс акций какой-либо компании, скажем, "Дженерал моторс", возрастет, а другой тысяче - что курс этих акций упадет. Естественно, что курс этих акций либо понижался, либо повышался. Таким образом, тысяча предпринимателей получала правильный прогноз. Затем пятистам из них сообщалось, например, что акции "Форда" пойдут вверх, а остальным пятистам - что они, наоборот, пойдут вниз. Итак, 500 предпринимателей дважды получали точное предсказание поведения курса акций. Аналогичным способом мошенники действовали в последующем, до тех пор, пока у них осталось примерно 15 человек, которым они семь раз правильно предсказывали поведение курса акций. С этими бизнесменами уже можно было делать все, что угодно. Окончательную же точку в этом деле поставил суд, куда, в конце концов, угодили мошенники.

Черный камешек

Это история из жизни купца и его юной дочери. Так случилось, что купец задолжал значительную сумму некоему ростовщику. Ростовщик, конечно же, старый и уродливый, к несчастью, воспылал страстью к прекрасной дочери купца. Последовало предложение с его стороны об аннулировании долга при условии, что купец выдаст за него свою дочь. Чтобы придать делу видимость свободного выбора, ростовщик предложил девушке решить свою судьбу с помощью жребия. Беседа происходила в парке на гравиевой дорожке, что и подсказало способ жребия: в пустую сумку должны быть положены два камешка - черный и белый. Ели девушка вытащит белый камешек, то она остается с отцом. Если же камешек окажется черным, то она выходит замуж за ростовщика. Долг в обоих случаях считается погашенным. При отказе от жребия отца бросят в долговую тюрьму, а сама она окажется без средств к существованию. Находясь в безвыходном положении, отец и дочь вынуждены были согласиться. Хитрый ростовщик положил в сумку два черных камешка, что гарантировало ему нужный исход. Однако дочь купца заметила это и... Спрашивается, что сделала она или что бы вы посоветовали ей сделать? Ищите выход из сложившейся ситуации, хотя, с точки зрения логики, он отсутствует! Даже если девушка разоблачит ростовщика, он скажет, что ошибся, случайно взяв не тот камешек. Как же поступила девушка? Она вытащила камешек, и, как бы случайно, уронила его на дорожку. "Легко узнать, какой камешек я уронила, достав из сумки оставшийся!", - именно это и сказала девушка ростовщику и выиграла.

Если эту историю рассказать кому-либо от начала и до счастливого конца, она покажется ему банальной. Для того же, кто пытался сам найти решение, она не выглядит тривиальной. Наверняка, каждому приходилось сталкиваться с проблемами, которые, казалось бы, невозможно разрешить. И вдруг находится удивительно простое решение. А как только решение найдено, оно сразу же становится до такой степени очевидным, что остается только удивляться, как оно раньше не приходило в голову. Тот факт, что решение найдено вовсе не путем логических рассуждений, быстро забывается. Сразу появляются желающие объяснить, как можно было получить решение логическим путем. По существу, это подгонка решения под известный результат. Действительно, зная ответ, довольно просто установить логическую связь между задачей и ее решением.

Существует ли решение?

Как-то отец спросил у малолетнего сынишки, какое число самое большое.

- Тысяча, - тут же откликнулся сын.

- Тысяча плюс один больше, - сказал отец.

- Тогда сто тысяч!

- Сто тысяч плюс один.

Сын задумался, видно что-то вспоминал и, наконец, выговорил торжествующе:

- Миллион!

- Миллион плюс один.

- Тогда миллион, миллион, ....... , миллионов!

- То же плюс один.

- Так что, самого большого числа нет?

- Да!

Не имеет окончательного решения и так называемая "дуэль брони и снаряда". Как бы ни была крепка броня, обязательно появится снаряд, который ее пробивает. Каков бы ни был снаряд, сделают броню, которую он не сможет пробить...

Аналогично труд и капитал взаимосвязаны и взаимообусловлены. По сути, это две стороны одной медали. В свое время широкое распространение получила мысль, что труд вполне может обойтись без капитала, который является, таким образом, паразитическим звеном. Ее практическая реализация показала, что это не так - провал был сокрушительный. Очевидно, теоретикам устранения капитала следовало хотя бы изучить вопрос, имеет ли вообще решение поставленная задача?

В одной из областей человеческой культуры, а именно в математике, рассматривается корректность преследуемых целей, в смысле существования решения, его устойчивости и др. Понятное дело, в социальной области все намного сложнее. И все же стоит хотя бы уделить этому аспекту внимание. Иногда говорят даже, что в какой-либо науке столько науки, сколько в ней математики. Традиционно технические науки используют математический аппарат, также современная экономика уже не может обойтись без математики. Да и в политике в отдельных случаях использовалась математическая теория игр.

Претензии на окончательное решение проблемы взаимоотношений труда и капитала оказались несостоятельными. А вот такие народные мечтания, как сапоги-скороходы, ковер-самолет нашли свое решение. Задержка вышла пока что со скатертью-самобранкой.

Решение одной проблемы обычно ставит новые, подчеркивая бесконечность прогресса. Так что же - "движение - все, конечная цель - ничто?" Возможно!

Задача - шутка

В свое время она покорила "всю Европу" (Литтлвуд Дж. Математическая смесь. - М.: Наука 1973. С. 7): "Три дамы А, В и С сидят в купе железнодорожного вагона с испачканными лицами, и все трое смеются. Внезапно А соображает: почему В не понимает, что С смеется над ней? - О Боже! Они смеются надо мной. (Формально: если я, А, не выгляжу смешной, то В должна рассуждать так: если я, В, не выгляжу смешной, то С не над чем смеяться. Поскольку В так не рассуждает, следовательно, я, А, выгляжу смешной.)"

С точки зрения автора, возможно и такое рассуждение: я, А, вижу, что у В и С лица перепачканы, потому и смеюсь. В и С смеются, видя перепачканные лица друг друга. Что касается меня, А, то мое лицо может быть как перепачканным, так и нет.

По-видимому, условие задачи имеет некоторую неопределенность.

Дорогой читатель!

С развитием математики в исторической перспективе можно ознакомиться в моем

Аккаунт Google по ссылке:

https://drive.google.com/file/d/0B_fcitBf997Fb0NPNjlhamZJajA/view?ts=58b70817

С уважением, автор

Оставить комментарий © Copyright Шапиро Анатолий Давидович (shapiro.anatoliy@googlemail.com) Размещен: 05/10/2010, изменен: 01/08/2017. 79k. Статистика. Эссе: Естествознание Иллюстрации/приложения: 5 шт.		Ваша оценка:

Шапиро Анатолий Давидович : другие произведения.

Соль математики