Следует различать в доказательствах их содержательную и
формальную стороны.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается |x|) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:
|x|=x если х > или =0; |x | = -x, если х<0.
Следует обратить внимание на основной принцип математики: она имеет дело со стереотипами, а не с содержанием. Её язык - это язык стереотипов, то есть формальный язык.
Из определения следует, что для любого х справедливо х <
˅ = |x|
В силу того, что не рассматривается явно содержание, объекты математики начинают представляться в качестве первичных объектов относительно реальности, тем
самым реальность начинает рассматриваться сквозь призму существующих формализмов
и реальные отношения переворачиваются с ног на голову. В этом случае качестве неявной предпосылки рассматривается положение, что ряд чисел, отрицательных и положительных,
равномерно увеличивается слева направо, и поэтому любое отрицательное число, чем большим оно является
по абсолютной своей величине, тем меньшим оно является по отношению ко всем находящимся справа от него числам, и
вследствие чего противоположность положительных и отрицательных чисел
снимается. Однако при таком подходе на деле рассматриваются только положительные числа,
так как какое бы большое отрицательное число мы ни взяли, мы можем начать с него счет слева направо, и т.о. нами будет получен ряд положительных чисел.
Первое и единственное различие между положительными и отрицательными числами
состоит в противоположности направлений счета, который осуществляется от одной,
принятой за нулевую, точки: положительные числа формируются посредством счета
слева направо, отрицательные числа - посредством счета справа налево. Если
применяется только счет слева направо, отрицательные числа как таковые
снимаются (вырождаются).
Посмотрим на практику применения операции вычитания. Пусть, например, 5-2=3. Здесь число 2 рассматривается в качестве положительного. То есть из 5 положительных единиц мы вычитаем две положительные единицы, и у нас остаются 3 положительные единицы. Однако операция вычитания с логической точки зрения рассматривается в качестве отрицания, как и отрицательные числа представляют собой количественную форму отрицания. Другими словами, операция вычитания преобразуется в операцию сложения, если иметь ввиду существование двух зеркальных рядов чисел - положительных и отрицательных, и тогда мы можем сказать, что каждому положительному числу соответствует равное ему по величине, но противоположное по знаку число. И тогда мы получаем возможность поляризации, противопоставления или сопоставления объектов двух
противоположных родов: мы имеем число 5 и число -2. И
тогда мы можем рассматривать одну сторону по отношению к другой: 5 по отношению
к -2 будет давать уменьшение 5 до 3, тогда как -2 по отношению к 5 будет давать
увеличение -2 до +3. Т.о. мы получаем в по-видимому в одном и том же процессе
соотношения +5 и -2 два противоположных процесса, равновесие которых
устанавливается на 3. Но здесь два противоположных отношения: одного к другому и
другого к одному. При этом само понятие положительного и отрицательного
становится относительным: то, что одним по отношению к другому рассматривается
по отношению к самому себе как положительное (либо отрицательное), по отношению
к другому рассматривается как отрицательное (либо положительное). И это имеет
место всюду, где выполняется поляризация противоположностей. В то же время, если
единица включает в себе положительное и отрицательное в форме их единства, то
некоторое число, представляющее это единство, необходимо распадается на две свои
противоположные части, например, 5 = (-5, +5), причем, всякая попытка
непосредственного соединения сторон ведет к упразднению числа в ноль. Практика
бытия такова, что человек отождествляет себя со одной из сторон
противоположности, и это отождествление превращает эту сторону противоположности
в его глазах в положительную. Тогда как в этом случае другая сторона
противоположности превращается для него в только отрицательное, в небытие,
отрицающее его бытие. Его собственное бытие есть положительное, существование
чего обеспечивается его поведение. Противоположная сторона есть небытие, которое
уничтожается им в той мере, в какой реализуется положительность его собственного
бытия. Сам по себе факт введения абсолютных чисел отражает фиксацию на одной стороне противоположности вместо того, чтобы учитывались тенденции относительно друг друга обеих сторон противоположностей. На субъективном уровне это означает, что единственной точкой отсчета
субъекта для него является он сам, каким бы он ни был. Им не учитывается противостоящая ему сторона,
выступающая для него только в качестве отрицательного. И этим определяется
поляризация субъекта относительно всего того, что не является частью его
личности (по Джемсу). Т. о., не рассматривается соотношение действительного целого,
и этим определяется доминирование природного закон борьбы всех против
всех.
Свойства абсолютных величин.
1. Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых:
|x+y| < ˅ = |x| + |y| Пусть x+y>0
Здесь предполагается,
что либо обе переменные х, у положительные, либо одна из них отрицательная и
меньше другой. Еслипервое, то
есть х, у - положительные величины, то х+у = |x|+|y| = | x+y|. Если имееn
место второе, то если х - положительная величина, то ей будут
соответствовать все значения у, такие, при которых у =
˅ < x.
Если оба числа являются положительными, то их сравнение даёт их сумму, которая
представлена максимальным числом. Если одно из чисел отрицательно, то
максимальная сумма равна положительному числу, а минимальная сумма равна отрицательному
числу,
равному положительному. Т.о., что представляет собой операция сравнения? -
операцию сложения положительных (либо отрицательных) и сокращения положительных и отрицательных
чисел. В связи с этим мы видим, что сравнение чисел с одинаковым модусом даёт их
суммарное увеличение, тогда как сравнение чисел разных модусов ведет к их
сокращению (уничтожению их общих частей). -5 + -2 = -7. 5+2 =7. Но -5 + 2 =-3,
-2+5 =3. Сложение положительных и отрицательных чисел ведет к уничтожение
(обнулению) их общих частей в соответствии с правилом: "равные противоположные
числа взаимно уничтожают друг друга".
С точки зрения субъекта, рассматривающего себя в качестве положительной
величины, -7 меньше +7. Для него -7 при движении слева направо плавно
переходит в +7. Действительно, если субъект имел долг -7 рублей, и стал получать
на каждом шаге по единице, то есть начал осуществлять счет слева направо, то в
этом процессе -7 и +7 качественно не отличаются друг от друга. Но вы, конечно,
заметили, что при этом образуется положительный ряд чисел. Как и обратно, если
начать счет справа налево, мы будем, начиная с +7, производить отрицательный ряд
чисел. И при этом в обоих случаях мы имеем дело с процессом увеличения - в одном
случае положительных, в другом - отрицательных чисел. И если так, то, согласно
принципу счета, для которого всякий предшествующий шаг счета есть число, меньшее
последующему шагу, для счета слева направо число -7 меньше числа +7, тогда как
для счета справа налево, напротив, +7 меньше -7, и при этом счет начинается с
полярной величины: слева направо счет начинается с -7, справа налево - с +7.
Однако с точки зрения теории противоположностей очевидно же, что -7 и +7 равны
по величине, однако, помимо модуля, числа обладают еще одним свойством,
связанным с направлением счета. Так, две противоположные равные по
величине (модулю) силы равны друг другу, но
направлены в противоположные стороны. Мир есть мир противоположностей. И в этом мире
|-7| = |+7|, то есть они равны по количеству (модулю) и
противоположны по качеству (модусу). А это означает, что мы имеем дело не с
непрерывным рядом увеличивающихся чисел от отрицательных к положительным, а мы
имеем дело с тем, что с каждым числом связаны две его характеристики: модус -
положительный либо отрицательный, и количественная характеристика. Число - это
не только его модуль, но и модус, и обе эти его характеристики неотъемлемы от
него. В связи с этим, что в этом случае должна представлять собой операция вычитания, например, 5-2. Если у нас есть пять костей и мы вычитаем из них две кости, мы совершаем определенное действие. Если у нас есть 5 костей и мы прибавляем к ним две кости, это снова действие, то теперь уже противоположно направленное. Имея дело с пятью костями, мы применяем к ним отрицательное действие, то есть две кости определяем как отрицательные, то есть определяем их как отрицательные величины. И тем самым мы приходим к одной операции сравнения.
Особенность такого рода подхода состоит в том, что мы целиком имеем дело с
чувственным уровнем, то есть всё можем показать "на натуре". Пискунов эту мысль
дает сокращенно: так как х
< ˅ = |x|,у
< ˅ = |y|.
И это означает, что понятие абсолютной величины числа
понадобилось ради зеркального отражения
отрицательных чисел в положительные.
Пусть |х+y|<0
Понятие, которым объединяются операции сложения и вычитания в единство,
есть операция сравнения. Если бы мы трактовали знак
"+" как простой знак сравнения двух чисел, то числа х, у будут положительными
или отрицательными, то есть если есть запись "х", то она читается как +х либо
как -х (х = +х + -х) Знак "+" употребляется в двух значениях: как
характеристика модуса переменной и как операции сравнения. Эта двойственность
употребления связана с тем, что общее, родовое понятие на практике
применяется всегда в конкретной форме - доминирующей стороны противоположности,
вытесняющей другую сторону. В данном случае это - операция сложения, вытесняющая
операцию вычитания. Однако это уже не собственно операция сложения, это именно
операция сравнения, включающая в себя неявно также операцию вычитания.
Абсолютная величина суммы двух чисел, меньшей ноля, имеет место, если из двух
чисел одно является отрицательным и оно больше положительного либо же оба числа
являются отрицательными. Пусть х и у отрицательные.
|-3+ -5| = |-8|; |-3|+|-5|=|-8| То есть абсолютная величина суммы
чисел одинаковых модусов равна сумме абсолютных величин этих чисел.
В данном случае выполняется принцип отражения отрицательных чисел в
положительные. Однако если суммируемые числа обладают разными модулем и
модусом, то положение вещей изменяется. 3+-5 =-2. -2 - это показатель
рассогласования между противоположностями. Если 3 рассматривается по отношению к
-5, то -5 - это показатель направления справа налево и числа шагов счета, равных
5: 1-й шаг: 3-2, 2 шаг: 2-1, 3 шаг: 1-0, 4 шаг: 0- -1, 5 шаг: -1 - -2. Если -5
рассматривается по отношению к 3, то числом 3 определяется направление счета
слева направо и число шагов, равное 3: 1-й шаг -5 - -4, 2 шаг: -4 - -3, 3
шаг: -3- -2. |3+ -5|=|-2|; Здесь -2 - показатель
рассогласования между числами 3, -5. Тогда |-2| ограничивает существующую информацию отношений между
противоположными числами указанием лишь на модуль рассогласования, вводя
неопределенность относительно модуса. |3|+|-5|=|8|=8. В этом
выражении вводится неопределенность более существенная, так как то же
число |8| будет получаться при
любых наборах модусов чисел. Очевидно, правило |x+y|=
˅ < |x|+|y| выполняется Но если есть
прямая операция, то ей должна соответствовать и операция обратная. Только в этом
случае будет выполняться одно - однозначное отношение. Но если из |8| следуют любые модусы
модулей 5,3, то тут уже не спасает даже добавление одного модуса одного из
чисел. И поэтому не случайно мы знаем правила
переходов к абсолютным значениям чисел, но не знаем правил обратных переходов.
Разумеется, не составляет особого труда провести исследования в этом
направлении, да вот только возникает вопрос: а смысл? Однако, если что-то существует, то оно существует для чего-то, и в данном случае речь идет об отношениях "больше - меньше" относительно модулей чисел с разными модусами, а это может пригодиться лишь там, где всё множество чисел упорядочено в один ряд в направлении слева направо от бесконечно малых до бесконечно больших.
16.07.12 г.
Цитируемая литература:
1. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. М. 1963