L58_8 Как разделить 7 хлебов на 8 человек

   Как разделить 7 хлебов на 8 человек. 7 хлебов нужно рассматривать как одну целую единицу.
     Любое математическое выражение, например, дробь, там, где речь идет о приложениях, это не только количество, но и качество. Поэтому 7/8 - это семь хлебов, которые разделены на 8 человек.
     Если непонятно, то попробуй найти что-то подобное. Например, 48 рублей разделить на 8 человек. Каждому достанется по 6 рублей. Что мы сделали: мы 48 рублей  разделили на 8 человек, получили 6 рублей на одного человека, установив тем самым количественные соотношения между различными качествами.. То есть 48 руб/8 человек=6 руб/чел. 48/8 - это дробь, которая в результате сокращения на число 8 даёт число 6. Но это в то же самое время и деление, в котором множество каких-то объектов разделяется на множество частей. Итак, в числителе - некоторое множество - количество качественно определенных элементов, которые нужно разделить =(распределить) по контейнерам, или, что математически то же, по отношениям принадлежности элементов одного множества элементам другого множества. Иначе говоря, если мы имеем два множества А и В, то мы можем ввести отношение принадлежности каких-то количеств элементов одного множества каждому из элементов другого множества, и эта операция осуществляется т.о., что все элементы одного множества делятся на все элементы второго множества, и в результате мы получаем отношение принадлежности подмножества элементов первого множества каждому элементу второго.
    Подойдём к вопросу с точки зрения понятия функции. Так как нас интересует функциональное отношение вообще, то возьмём простейшую его форму - линейную функцию у=ах, откуда а=у/х. Коэффициент а представляет собой принадлежность каждого элемента множества у каждому элементу множества х. (А)  Примечание 1. "Коэффициент а представляет собой принадлежность каждого элемента множества у каждому элементу множества х" (А). Но это - утверждение. И вопрос первый: что именно оно утверждает и вопрос 2, а как на самом дело обстоит в действительности, то есть как это можно показать на пальцах, на чувственном уровне. Во-первых, само по себе выражение "каждого-каждому" соответствует определению декартова произведения, но никак не определению понятия функции,  согласно которому элементам некоторого множества А ставится в соответствие единственный элемент другого множества В. Тогда возникает вопрос: откуда же могло появиться высказывание А, какого рода цепочкой ассоциаций оно порождено. Исходная идея понятна: если мы имеем дело с какой-то дробью, то  ею выражается отношение принадлежности элементу множества, представленного знаменателем, множества элементов, представленного числителем. И если поэтому мы имеем дело с коэффициентом а функции у=ах, который представляет это отношение, то мы и должны получить отношение принадлежности каждого из элементов одного множества каких-то равных количеств элементов другого множества. Но допустим, что есть множества и множества. Допустим, мы имеем дело с точечными множествами, Тогда  выражение у=ах=2х будет означать, что каждому элементу х будут соответствовать ровно два элемента у, и именно эту вещь и представляет коэффициент а=2.  Примечание 1/1 (Эта запись обозначает примечание 1 к примечанию 1. Вообще запись вида а/б обозначает примечание б к примечанию а, а в общем случае а/б/с/.../ф каждая выделенная пара обозначает  последующее примечание к предыдущему.) И принцип этого рода заложен при образовании всякой функции. При этом, разумеется, функтор не обязательно является некоторой постоянной. Например, в выражении у=хⁿ функтором степени определяется изменение отношения соответствия множества элементов у каждому из отдельно взятых значений х. Например, если функция у=х², то её производная  у`=2x показывает закон изменения значения функтора в зависимости от значений х. <sup>1</sup> Рассмотрим понятие дерева логических возможностей. Пусть мы делим множество объектов некоторого рода О по трем разным основаниям а, б, в. и пусть основание а  порождает  к видов, основание б - л видов, основание в -м видов. Например, к=2, л=4, м=3. В этом случае мы можем построить дерево логических возможностей. Пусть, О - человек, а-пол, б-цвет волос, в- рост, и, соответственно, к=муж., жен., л=блондин, шатен, брюнет, рыжий, м = высокий, низкий, средний. Если мы представим множество людей в виде шаров, помещенных в урну (более корректно - пусть мы примем шары в качестве представителей человека. Раскрасим шары так, как это представлено  рис.1, и, классифицируя шары, мы можем говорить, что моделируем тем самым классификацию людей. Что это означает? - то, что мы осуществляем действия того же рода, как если бы осуществляли классификацию людей, то есть тем самым мы определяем программу наших действий.   Классифицируя  шары, распределяя их по урнам,  мы должны будем осуществить последовательность действий. При этом, разумеется, в результате классификации мы осуществляем не только распределение по урнам качественно различные объекты, но также определяем и количества объектов соответствующих качеств. Если в урне Љ1 находятся все шары, и мы вытаскиваем их из неё, то представим себе, что мы делаем первый наш выбор. Мы должны из трех оснований выбрать одно и только одно, но при этом безразлично, какое основание мы возьмём в качестве первого, а также в какой последовательности будем выбирать основания. Сделав выбор основания, осуществляем классификацию объектов-шаров по этому основания.  Пусть это будет основание а = полу человека. Тогда мы получим две урны  Љ2, Љ3. Затем мы выбрали основание б - цвет волос Теперь из урны Љ2 мы классифицируем шары по урнам ЉЉ4,5,6,  и затем из урны Љ3 классифицируем шары по урнам ЉЉ7,8,9. Наконец, переходим к основанию в, и относительно каждой из урн ЉЉ4-9 осуществляем классификации по урнам ЉЉ10-14, 15-18, 19-22 соответственно.  Процесс классификации мы можем представить в форме дерева. Независимо от от того, в каком порядке мы будем выбирать основания, результаты классификации будут одинаковыми, то есть каждый путь от вершины дерева в конечной  точке  пути  выделять объекты  с наборами качеств, отличающимися от наборов таковых всех других объектов.
    Пусть теперь мы имеем дело с множеством действий, и нас интересует такой их порядок, который приводит к некоторому определенному результату. Если мы имеем n действий, то возможны n! порядков действий. При рассмотрении алгорифмов важны две вещи: первое: содержание действий, 2 = их порядок (последовательность). При анализе (разложении) алгорифмов важно выделение действий как самостоятельных единиц и затем уже возникает вопрос связи действий. Кажется понятным, что всякое последующее действие оперирует с результатами предыдущих.  (Примечание 1/1.2 продолжение примечания 1/1 Последовательность частей примечания обозначается, как видим,  точкой) Теперь обратим внимание на следующий момент. Если у=х<sup>2</sup>, то производная у`=2x. Как я рассуждаю: пусть формулой  у` характеризуется скорость изменения расстояния, проходимого точкой. Примечание 1/1/2 Речь идёт о точке, которая проходит какое-то расстояние с какой-то скоростью, ускорением и т.д. Т.о., мы имеем дело с двойственностью: во-первых, с системой координат, представляющей множество мест, которые могут занимать точки в пространстве. В математике эти две стороны - точки пространства и места, которые занимают точки в пространстве,  обычно не различаются и говорится о системе координат как поле, которое наложено на пространство неподвижных точек, занимающих своё место в пространстве. Точка пространства и место, которая она занимает в пространстве, эти две стороны не различаются и их противоположность не анализируется, что приводит к трудностям при анализе всевозможных движений, так как невозможно построить образ точки, движущейся в пространстве. Противопоставляя понятие пространства как множества мест и множества точек как объектов, которые существуют в пространстве, занимая в нём некоторое место и в процессе движения осуществляя последовательную смену мест, мы избегаем выражений в роде "точка находится в точке пространства". Понятие места в пространстве определяется задаваемой на нём системой координат, которой осуществляется  оцифровка пространства и тем самым определяются количественные характеристики места как некоторой пространственной единицы. Употребление понятия точки как единственного элементарного объекта  пространства является недифференцированным  понятием противоположности объекта и его положения в пространстве путем выделения одной его,  доминирующей в рассуждении,  стороны, так как с точкой жестко связывается число,  и такое положение вещей является общепринятым для любой системы координат как способа  способа оцифровки пространства. Отождествление точки как места и объекта пространства имеет то значение, что в n-мерном пространстве точка как объект, занимая место в пространстве, начинает обладать свойствами, характерными для этого места. Т.о., отождествление  точки как объекта и как места в пространстве ведет к тому, что  тем самым задаётся  множество объектов с различающимися свойствами, поскольку  эти объекты принадлежат принадлежат различным точкам пространства. В этом случае с каждым из объектов связывается постоянный набор свойств, и множества объектов могут рассматриваться с точки зрения тождества и различия свойств, которыми они обладают. Например, если точка А обладает множеством свойств (1а, 2а, 3а) (А(1,2,3), а точка В обладает свойствами В(1,2,4), то объекты, представленные этими точками, тождественны относительно свойств 1,2 и различаются свойствами 3,4, и т.к. с множеством свойств связывается множество осей координат, то в n-мерном пространстве  с каждым свойством связывается также и количественная его характеристика. Но качество и количество связаны друг с другом категорией меры, так что разные количественные характеристики одного качества вводят подкачество качества, каким бы малым и незаметным оно ни было, координатные подсистемы. Если система координат имеет вид К(а,б, ... н), то любая точка в этой системе характеризуется количественными значениями осей координат. Так, в нашем примере система координат К(а,б,в). Точка А(а=1, б=2, в=3), точка В(а=1, б=2, в=4) Следовательно, по осям а,б точки А, В обладают одинаковыми свойствами и в силу этого тождественны относительно этих свойств, и в то же самое время различаются относительно свойства в. И в этом смысле понятия качества и количества - относительные понятия, всё зависит от того, какие точки пространства нами берутся в качестве опорных, в качестве тех, со свойствами которых сравниваются другие точки системы координат. Если бы речь могла идти только о количествах самих по себе, то это не могло бы иметь особенного значения. но для нас важно влияние количества на качество, определение количеством качеств. (Характер человека, получающего 10 тыс. руб. в месяц, его взгляды и отношение к окружающему его миру существенно отличается от характера человека, получающего 150 тыс. руб. в месяц, так как этой разницей определяются разные материальные миры, в которых существуют эти люди.) Поэтому с каждым из количеств мы связываем качество, как и обратно, каждое качество "питается" соответствующим ему количеством.
    Как это выглядит  на практике? На практике мы имеем дело с качествами объекта как целого, и в этом смысле точка в системе координат представляет объект, его поведение как целое, изменение  свойств отражается на его поведении, то есть на движении точки в системе координат, которое и рассматривается с качественной стороны тогда, когда нам нужно дать характеристику объекта как точки в системе координат пространства. Но если точка и место не различаются, то мы получаем  так называемый метафизический подход, рассматривающий объекты как постоянные, неизменные, качественно определенные. И в этом случае понятие системы координат позволяет сравнивать свойства  множества постоянных, существующих или возможных точек (объектов)  друг с другом, устанавливая отношения различия и тождества между ними. Однако, как только мы переходим к рассмотрению движения объектов, то тут точка зрения изменяется, поскольку требует противопоставления в понятии точки объекта и его места в пространстве.   Примечание 1/1.3  Я говорю, что при значении аргумента х  у` означает скорость, которой обладает точка в момент времени х, и эта скорость является переменной, зависящей от значения х. Тогда я получаю, что первообразной относительно производной  будет функция у=2х*х=2х²  Примечание 1/1.3/1 Здесь вообще возникает большой философский вопрос относительно выражения пути, скорости, ускорения, ускорения ускорения и т.д., поскольку, с одной стороны, все эти процессы протекают во времени, и, с другой стороны, они протекают параллельно-непрерывно. И то, что всегда делали и что единственно и можно делать, это выражать непрерывность через дискретность. Такой подход позволяет получать удовлетворительные с точки зрения практики результаты, но они не позволяют дать ответ на принципиальный вопрос относительно приращений. Как мы поступаем? Мы говорим, что на данном отрезке точка двигалась с некоторой постоянной скоростью, на следующем отрезке  точка двигалась уже с другой скоростью, на следующем  с третьей. Все эти дискреты мы можем потенциально бесконечно уменьшать, что повышает, конечно, точность измерений, но ничего не меняет по сути.  Затем мы определяем величину изменения скорости, определяя, на сколько или во сколько раз изменилась скорость. Это мы взяли две дискреты. Теперь возьмём три дискреты А, В, С и, определив меру изменения для А,В  и затем для В,С, мы теперь сравниваем эти меры, и получаем ускорение скорости. Что представляет собой этот приём, какую логическую форму? - форму опосредованного умозаключения. Затем, взяв последующие дискреты D, E, F  и проделав с ними те же операции, мы осуществляем сравнение полученных результатов с результатами для А,В,С и получаем ускорение ускорения и т.д. О чем нам говорит относительно этого процесса наша интуиция? Она говорит о том, что этот процесс мы можем продолжать бесконечно, и он никогда не окончится. А что мы имеем на практике? - Конечность. Возникает вопрос: чем обусловлена эта конечность - отражает она недостатки нашего подхода или же она даёт принципиальный, философский ответ на существо теории ускорения? Когда нами выделяется дискрета, относительно которой мы утверждаем постоянную скорость, то ведь это - средняя скорость, и мы можем иметь дело только со средней скорость, хотя величина дискреты при этом может быть сколь угодно малой. Сравнение скоростей двух соседних дискрет даёт нам точное либо потенциально бесконечно стремящееся к точности значение. Однако видимость точности результата больна усредненностью скоростей дискрет. Мы имели бы доказательство конечности мер ускорений, если бы цифры были точными. Однако степень точности наших измерений конечна, и мы не можем переносить полученные с изначально  заложенным огрублением измерений  результаты  её на  отрицание существующего  в нашей интуиции бесконечного характера приращений.  Примечание 1/1.4 Но мы исходили из  функции у=х²  Вопрос: откуда двойка взялась? В линейной функции коэффициент а представляет  постоянную скорость. Примечание 1/1.4/1. Сравним нахождение производных линейной и степенной функций. у=ax; y`=(a(x+∆x)-ax)/∆x=2∆x/∆x=2. Здесь нами погрешность, связанная с приращением, отсутствует. Почему? Потому что мы имеем дело с постоянной скоростью, а скорость во всяком случае является необходимым свойством движения. Нет скорости, значит, нет и движения. А что такое движение механическое? - это перемещение в пространстве. Чем оно представляется? Изменением положения точки в пространстве. Что это означает? Что точка, которая одно время находилась в какой -то точке пространства (вы видите этот привычный способ выражения, который подразумевает употребление термина "точка" в разных смыслах - как объекта и как места пространства)через некоторое время начнает занимать другое место в пространстве. Мы имеем триединство - три объекта мышления, которые необходимым образом связаны между собой: время, расстояние и скорость: v=s/t. Если же мы имеем неподвижную точку, то её скорость будет равна нолю, то есть какую бы длительность времени мы ни взяли, положение точки в системе координат не изменится. Геометрическое выражение этого обстоятельства представляет собой интерес в том отношении, что мы имеем систему координат, в которой связывается линейное пространство, представленное осью s, и время, представленное координатной осью t. Поэтому производная у`=(s - s)/∆t=0.  Основной принцип математического подхода состоит в том, что движение им не выражается непосредственно, не полагается, а предполагается. К понятию движения приходят опосредованно, оно привносится воображением относительно положений неподвижных точек, относительно которых предполагается перемещение одной и той же точки в пространстве. Положение вещей изменяется, когда мы переходим к к степенной функции. Пусть у=х². Тогда ∆y/∆x=((х+∆х)²-х²)/∆x=2x+∆x И далее для получения производной мы устремляем приращение ∆х к нолю и получаем значение функции в точке х. Но ведь любая величина есть вещь относительная, и то, что в одной системе представляется бесконечно малой, в другой системе координат она может выглядеть как бесконечно большая, всё зависит от масштаба рассмотрения объектов. И поэтому приравнивание нолю "бесконечно малой" справедливо лишь в принятом масштабе рассмотрения объектов и критерием этого является практика, которой не страшно приравнивание нолю некоторой величины. Однако интересным является ответ на вопрос, что мы получили в результате приравнивания приращения к нолю. Что значит: ∆х=0 ? Это значит - отрицание времени как величины необходимо изменяющейся, то есть отрицание времени. А так как противоположности сходятся, но через отрицание, то это равносильно тому, что рассматривается реальность, в которой отсутствует движение, какое бы там ни было изменение. Теперь мы можем предполагать существование времени, однако если это и бесконечная длительность, то это длительность неподвижного, "мертвого" пространства-объектов. И поэтому нами и получается значение функции в данной, "единственной", фиксированн ой точке.
    Пусть теперь у=х³. Тогда ∆у/∆х=3х²+3х∆х+∆х²; Соответственно, переход к производной даёт у`=3x²  Мы видим, что что вводим уже значительно большую погрешность, избавляясь от определенности приращения. В результате перехода от отношения приращений, которыми определяются  усредненные характеристики на данном интервале времени, определяя значение функции в точке, мы тем самым определяем касательную в данной точке, которая представляет собой не что иное, как линейную (постоянную) скорость, выражающуюся линейным уравнением.      Примечание 1/1.5 В нелинейной функции скорость от точки к точке изменяется, а это значит, что мы должны иметь дело с точкой как порядковым, а не количественным числом, тогда как выражение вида 2х*х, в котором 2х  есть выражение скорости точки в месте х, то есть х является порядковым числом, которое является адресом места в пространстве, тогда как сомножитель х есть количественное число.  А это означает, что точно также, как нами была получена скорость точки, движущейся с ускорением, в определенном месте пространства, точно также для этой точки должно быть получено и функциональное выражение  первообразной. Примечание 1/1.5/1 Обратим внимание на следующее обстоятельство. Как мы рассуждаем "по жизни". Пусть точка движется с переменной скоростью. Что мы делаем при определении скорости: мы фиксируем время начала измерения скорости и его конца. Измерив расстояние, которое за это время прошла точка, мы делим это расстояние на время и получаем усредненную скорость, то есть расстояние, которое точка проходит за единицу времени. При этом, разумеется, в разные единицы времени точка проходила какие-то  иные расстояния, но мы своим приёмом приводим все эти различные скорости к среднему значению. Если мы станем уменьшать время измерения скорости, то в пределе, то есть в идеале, получим значение скорости точки в момент времени, то есть в некоторой точке пространства, что само по себе является идеализацией, которая, как всякая идеализация, содержит в себе противоречие, от есть является выделением какой-то одной стороны и вынесением за скобки, абстрагированием от всех остальных сторон. Противоречие же, которое получается, состоит в том, что если точка движется, то она не может находиться в точке пространства, так как точка как место пространства есть отрицание движения, и, следовательно, говоря о положении точки в пространстве, мы в действительности имеем ввиду его область, которую мы называем точкой, то есть мы имеем дело с относительностью практических критериев, определяемых решаемыми нами практическими задачами. Все наши действия в реальности связаны со всевозможными идеализациями, то есть с выделением каких-то одних сторон за счет игнорирования других.  В нашей практике  нас интересуют средние скорости, которые для нас вообще являются единственной доступной реальностью. Однако это  - отношение практическое, которое характеризуются нашей привязанностью к текущему моменту времени. И, как видим, уменьшая время измерения, мы можем бесконечно близко подходить к определению скорости в текущий момент времени. Однако в этом случае помимо этих текущих моментов времени мы ничего не знаем: мы знаем деревья, мимо которых движемся, но не знаем леса, в нашем движении одни деревья сменяются другими, мы имеем дело с последовательностью впечатлений, но у нас нет представления о пути в целом. Чтобы определить этот путь, мы должны сложить последовательность впечатлений в единую картину.
    Теперь обратим внимание на следующее обстоятельство. Что мы делаем, когда определяем скорость: у нас есть некоторое исходное число, которое мы делим на какое-то другое число, и в результате этого получаем частное, какое-то третье число. Как это обстоятельство отображается в системе координат. Берется 2-пространство с осями х, у. По одной оси, х, откладываются значения, которые принимает делитель, по другой оси, у откладываются значения функции, делимое.   Значит, делимое есть во всяком случает произведение двух чисел - делителя и частного.  А  что такое произведение двух чисел? - это площадь. Но как эта площадь отображается в плоской системе координат? - в виде линейного пространства - осью координат у. Но значение у может представлять собой произведение не только двух, но и какого угодно числа сомножителей. Т.о., посредством линейности изображается любая степень числа, но и не только, так как это может быть какая угодно функция (см. рис.) Для частного случая площадь двух координатных осей х,у изображается, в частности, для интервала b-a оси х заштрихованной областью. О чем всё это говорит?- о том, что не существует однозначного соответствия между мыслимым и чувственно данным; за графическим выражением стоит мысль, определяющая то, что нами подразумевается под данным графическим изображением. Т.о., мы получаем рассогласование  между тем, что графика непосредственно изображает, между её непосредственно данным смыслом, и тем, что изображение обозначает на самом деле.  В соотношении образа и мышления мы имеем эту двойственность, противоречие между непосредственной данностью и её действительным значением, между явлением и сущностью, между сущностью и способом её выражения. Ведь если бы мы захотели, чтобы графика соответствовала мысли, то должны были бы выделить площадь криволинейной трапеции а,b,y=f(x). В этом случае как мы должны будем  определить производную функции? Пусть мы определяем среднюю скорость. Тогда мы должны будем соединить прямой точки  (a, f(a)), (b,f(b)). В результате получим минимальную высоту h_min и максимальную высоту h_max трапеции, откуда площадь трапеции S=(b-a)(h_min +h_max )/2, которая есть то, что нам дано, и это - та вещь, с которой мы действительно имеем дело и с которой мы начинаем. Теперь, разделив S на b-a, получим среднюю скорость, которая будет представляться в виде площади трапеции, отнесенной к единице измерения х, то есть мы именно и поставим в соответствие единицам х множество принадлежащих им единиц у, то есть мы получим некоторую единичную  площадь, и полученное выражение, а это и будет отношение в силу того, что в знаменателе  отношения  ∆у/∆х будет стоять единица. Теперь для получения производной нам остается устремить приращение ∆х=b-a к нолю. В чем состоит принцип соотношения дифференциального и интегрального исчислений - в том, что устанавливается соответствие между кривой и площадью, которая ей соответствует. Рассмотрим вопрос относительно этого соответствия на примере интегрирования линейной функции, что явится ответом на поставленный вопрос, так как в конечном счете и дифференцирование и интегрирование приводятся к точке функции и касательной к ней. Когда можно говорить о соответствии  кривой и площади, соответствующей ей или её участку- когда можно утверждать, что для данного интервала аргументов значениям кривой одно-однозначно соответствует площадь, благодаря чему обеспечивается наличие прямой и обратной операции (прямого и обратного переходов). Из рис. мы наблюдаем необходимую связь между линейной функцией и соответствующей ей площади на конечном интервале (0,х). В общем случае любой треугольник может быть дополнен сначала до прямоугольника, площадь которого в два раза больше площади треугольника (см. рис)Если дан произвольный  треугольник АВС, то, опустив перпендикуляр на одну из его сторон и проведя СD||AB, BD||AC, получим параллелограмм FBDC, после чего перенесем треугольник АВЕ на место CDF, получим прямоугольник BDFE, площадь которого равна двум площадям треугольника АВС, и мы получаем, что площадь треугольника АВС = половине произведения его высоты h на основание АС. Для линейной функции всё упрощается, так как мы имеем дело с прямоугольным треугольником, площадь которого равна половине произведения катетов в силу непосредственного преобразования его к прямоугольнику.   
    Любая нелинейная функция, значение которой определяется в точке, в конечном счете приводится к линейной, так как рассматривается касательная к этой точке, которая относительно системы координат представляет линейную функцию у=ах +c, где для каждого значения х определен треугольник 0,f(x),x, площадь которого S=xf(x)/2, и, соответственно, если рассматривается площадь для значений  ∆х =b-a, то площадь криволинейной трапеции S(∆x, f((∆x))= S(0, f(b),b) - S(0,f(a),a) = 1/2(bf(b)-af(a)). Что представляет собой  производная в точке? - она представляет собой порядковое число, выражающее количество элементов функции, соответствующих элементу х в точке х. Но совершенно то же самое мы получаем при рассмотрении площади,, минимизируя ∆х, так как в результате этого движения площадь в пределе становится равной нолю, и единственное, что при этом остается, это касательная в этой точке. Т.о. происходит качественный скачок от количественного выражения площади к углу наклона касательной, то есть к порядковой характеристики кривой.  Когда мы выделяем ∆х, то оно может располагаться в любой части интервала (0,х), и поэтому ∆х соответствует средней скорости в данной части интервала, определяемой прямой, проходящей через точки ∆x_min, f(∆x_min ) и  x_max,f(∆x_max), где бесконечно уменьшаемое ∆х мышлением из отрезка превращается в точку с касательной в ней. Однако это - скачок, которые происходит в мышлении, но не в реальности, и критерии осуществления этого скачка опять-таки определяются потребностями практики.
    Процесс развития ассоциаций бесконечен, однако он подчиняется закону перехода количественных изменений в качественные. Качественный скачок порождает идею в русле  идей предшествующих, и её выражение  разворачивается в речи, движущейся по чувственным ассоциациям, определяемых идеей. Это движение, интенсивное на первых порах, постепенно входит в насыщение, в силу чего дальнейшее движение становится мало полезным, и поэтому это движение подобно ремонту, который никогда не заканчивается и который можно только прекратить, дав тем самым мозгу время на формирование новой идеи.  Поэтому на этом этапе затормозимся.

    Примечание 1/1.6 Теперь обратим внимание на сл. обстоятельство. Пусть мы имеем ряд точек, которые мы можем пересчитать.  Что в этом случае будет представлять собой, например, точка 4. С одной стороны, она представляет собой (Замечание . Всякая неудачная терминология - это тяжёлый случай. Таким случаем является название степенной функцией у=хⁿ и показательной у=n^x. Термины "показатель степени" и "степень" могут пониматься двояко. Во-первых, и показатель степени и степень числа как одно и то же, если имеется ввиду степень, в которую нужно возвести число. Либо же под степенью числа может пониматься результат возведения  числа в степень, а под показателем числа - значение степени. Математиками на двусмысленность понятия "степень" не обращается внимания, и просто говорится, что функция z=x^y  является степенной функцией, если это - функция от х, а у - параметр, и показательной функцией, если это функция от показателя у, а х - параметр.  Под степенью же понимается выражение  вида а^b , которое читается как "степень с основанием а и показателем b". Функция называется  показательной, если это функция от показателя, и степенной, если это функция от основания степени. Понятно, что функция названа степенной, поскольку содержит степень (показатель степени) в качестве аргумента. Но в силу этого мы пришли к тождеству определений показательной и степенной функции, поскольку  отсутствует видовое различение этих функций. Кстати, вообще довольно забавно, когда считается, что символика в математике создает условия для однозначности понимания, поскольку одна и та же символика может различно интерпретироваться. Другое дело, что ею обеспечивается переход от понятийного к объектному отношению, то есть к превращению понятия как внечувственной вещи во вне нас существующий чувственно воспринимаемый объект). Примечание 1/1.7  единицу, которая занимает определенное место в натуральном ряду чисел. С другой стороны, она представляет сумму предшествующих точек включительно, то есть не 4 как единицу, а сумму четырёх единиц. Что ни говорите, а эти два значения точки - не одно и то же. Если точка представляет только себя, то соответствующая ей функция, например, у=2х, будет означать, что этой отдельно взятой точке будут соответствовать две точки оси у. И это отношение для всякой точки х будет постоянным. Если же мы рассматриваем точку х как сумму всех предшествующих точек, включая х, то х уже будет представлять не себя, а сумму точек. И это означает, что теперь должна браться не одна эта точка, а их ряд, и число точек этого ряда должно умножаться на на коэффициент а=2, и в результате этого будет получена сумма точек у, принадлежащих ограниченному ряду точек х. Линейная функция характеризуется постоянной скоростью, что выражается в постоянном отношении у/х. Если же мы имеем дело со степенной функций у=х² , то в этом случае мы получаем переменное отношение. И тогда возникает вопрос: а как определить, сколько элементов у будет принадлежать данной определенной точке х. Что для этого мы должны сделать? Что нам нужно найти? Нам нужно найти отношение у/х в точке х. Если мы определим значение функции у=х², то мы тем самым определим сумму элементов у, которая принадлежит сумме элементов х. Чтобы найти количество элементов у, которые принадлежат точке х, мы должны из суммы элементов у  для значения х вычесть сумму элементов у-1 для значений суммы х-1. Обратимся к таблице 1
   

   (n+1)² -n² =n²  +2n+1-n²=2n+1 Что представляет собой выражение 2n+1? Если n=1, то 2*1+1=3, где 3- приращение, то есть число элементов, которые принадлежат единице на месте, обозначаемом числом 2. Число же у=4 соответствует сумме двух единиц х, такой, что для первой  из них у принимает значение 1, а для второй - значение 3. Если х равно сумме двух единиц, первой и второй, то третьей единице х будет соответствовать число единиц у=2*2+1=5 плюс сумма значений у для первых двух единиц, =4, итого, получаем, что единице х=3 соответствует пять единиц у=5, а сумма всех единиц будет равна 9. Т.о., мы получаем значение выражения 2n+1. Если будем различать числа порядка и количества т.о., что число, указывающее на место единицы в ряду единиц, будем обозначать буквой п  русского алфавита, а количественные числа, обозначающие сумму единиц, буквой к, то получим у_к=n², а у_п=  2n+1 - количество единиц у, которые соответствуют точке х, находящейся на месте n.  Технологически это означает, что для того, чтобы определить количество единиц у, которые соответствуют элементу х на месте n+1, мы должны взять 2n+1. Т.о., имеем формулу: у_{п, n+1}=2n+1  Примечание 1/1.4/1  Теперь возникает вопрос относительно того, характеризуется ли повышение степеней вещью горизонтальной или вертикальной.  Представляется, что это - вещь вертикальная. Пусть дано основание 2 и его степени 0, 1, 2, 3, ... Соответственно, мы получаем значения 1,2,4,8,16,... Из рисунка мы видим, что каждая единица основания =2 при увеличении показателя степени основания на единицу порождает два новых элемента.  Если мы будем брать иные основания степени, то закономерность, согласно которой каждая единица основания при увеличении степени порождает количество единиц  основания, сохранится. Т.е. если дано основание а степени аⁿ ,  то  аⁿ⁺¹=aⁿ+aⁿ*a (плюс произведение количества единиц в числе аⁿ на количество единиц в основании а. Т.о., здесь всюду мы имеем приращение относительно предыдущей единицы числа элементов, содержащихся в основании, и здесь снова, но уже в общем плане, нужно суметь ввести различение между количественным и порядковым аспектами чисел, то есть  нужно различать сумму чисел и приращение. Черновик.... Во всяком случае, если мы имеем степень аⁿ , то от неё мы всегда можем перейти к степени a^n-1 , как, разумеется, и к степени aⁿ⁺¹ . Мы можем перейти от степени aⁿ к степени aⁿ⁺¹ потому, что знаем, что каждая единица числа aⁿ при переходе породит количество единиц, входящих в основание, как и, напротив, при переходе от степени aⁿ к степени a^n-1 мы знаем, что множество единиц  основания а,   входящих во множество единиц aⁿ ,  должно быть заменено единицей, т.е. а^n-1=aⁿ/a Отсюда получаем алгоритм, который связывает приращения единиц и сумму чисел.
    Если нам дано выражение вида х^у, то нужно различать две вещи и два разных подхода  Если у является параметром, то есть некоторой постоянной, то мы имеем дело со степенной функцией, если параметром является х, то - с показательной. Принцип формирования значений показательной функции с пошаговым увеличением на единицу показателя степени мы рассмотрели.
    Каким закономерностям подчиняется формирование степенной функции при пошаговом увеличении  на единицу значений её аргумента? Рассмотрим функцию n^a , где n-переменная, пробегающая по множеству натуральных чисел. Принцип рассмотрения остается прежним - различение порядкового и количественного аспектов чисел.  Очевидно, что значением параметра а существенным образом определяется сумма числа потому, что его величиной определяется закон порождения единиц, связанный с тем, что для порядкового значения степенной функции при показателе а её единицами являются значения функции, соответствующие  значениям показателя а-1 (см. ниже рис. а,б,с и комментарий к нему) . И так как а - постоянная, то эта сторона дела оказывается фиксированной. Что происходит при этом при приращениях основания n по шагам, где каждому шагу соответствует приращение n на 1? Рассмотрим варианты для а=0,1,2,3,4 и n = 1,2,3,4,5. (см. табл.2) . Почему приходится, если дан показатель степени n, проходить через все предшествующие ему степени последовательно в направлении их увеличения - потому, что с каждым шагом увеличения показателя степени изменяются единицы, которыми оперирует функция, т.о., что единицами, которыми оперирует показатель а, является количественное значение степенной функции при показателе а-1.

 В: - Строки таблицы наглядно показывают, что n^a=n^a-1*n
   А:- Строка 3 для всех значений n применяет единицу измерения, = 1 для  любого значения n. Строка 4 в качестве единиц измерения  имеет  значения строки 2 для соответствующего  значения аргумента  n. Так, для n=2 единицей измерения является 2, для n=3  - число 3. Для строки пять при значении аргумента n=2 единицей измерения является 4, для n=3 - 27 и т.д.   Эти  же утверждения справедливы для любого соотношения показателей степенной функции n, n-1. Поэтому для любого показателя степени  порядковые единицы измерения  определяются рекурсивно.
   

 
 

Таблица 3
	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	1	1
3	1	1	1	1	1
4	1	1	1	1	1
5	1	1	1	1	1

  Пусть мы имеем точечное множество, функцию n² и n=5. Тогда функция n²=25   25 это количественное число.   Его анатомия может быть представлена таблицей 3, которая является матрицей, в которой строки представляют линейное пространство с порядковыми числами 1, 2, 3,4, 5, значением каждого из которых является 1. Они соответствуют, скажем, абсциссе прямоугольных координат. По отношению к значениям ординаты наборы порядковых чисел строк  представляют собой множество, выступающее в качестве единицы Поэтому каждому отдельному значению ординаты соответствует линейный набор из пяти единиц. Всего же у нас получается, т.о., 25 единиц, что представляет выражение отношения между количественным и порядковым числом: 5²=5¹*5

     Что представляет собой любая точка n-мерного пространства? Во-первых, она представляет собой точку как порядковый элемент, то есть адрес в системе координат. Однако в количественном отношении точка пространства представляет собой "площадь", под которой понимается произведение значений проекций точки на координатные оси.
    Формирование n-мерного пространства характеризуется последовательностью, постепенным переходом от безразмерного пространства к линейному, затем плоскостному и т.д. И если возможен переход от простого пространства к сложному, то возможен и обратный переход от сложного пространства к простому. Переход к более сложному пространству заключается в том, что последовательно к полученному пространству добавляется в качестве сомножителя очередное линейное пространство. И тогда при движении от сложного пространства к простому должно иметь место  деление. Cистема пространств в количественном отношении образуется посредством умножения, которым даётся количество специфических единиц, принадлежащих точке пространства. Переход к пространству меньшего уровня  осуществляется посредством операции деления. которым обеспечивается переход от  n-мерного пространства до n-1, так как один из сомножителей произведения устраняется. Мы можем построить дерево в соответствии со схемой а⁰, а¹, а², а³, а⁴, ..., где а^{0 -} вершина дерева, нулевой  уровень , а¹ -  а подвершин, первый  уровень,  а² =а*а вершин второго уровня, а³ - а*а*а вершин третьего уровня и т.д. Любой из уровней может быть принят в качестве линейного, для чего достаточно определить сумму элементов, входящих в данный уровень, при этом число элементов а, порожденных вышестоящим уровнем, будет представлять собой значение приращения количества элементов у относительно аргумента х; другими словами, отношение между уровнями n, n+1 рассматривается при этом как функциональное отношение - принадлежности элементов основания а уровня n каждому из элементов уровня n-1,  а также сложную функцию y= fⁿ(f^n-1(f^n-2(...(f⁰(x))...), где х, переменная, принимающая значения оснований степени, а верхние индексы при f указывают на показатель степени при основании, понятый не в количественном, а в порядковом значении. 
   Вопрос в том, что представляет собой степень числа - представляет она сумму, то есть количественное число,  или же само число, то есть порядковое число. Очевидно, что в общепринятом  понимании степень означает количественное число потому, что возведение в степень дает сумму, количество элементов (единиц). Но если степень обозначает порядковое число, то ею определяется её  место  в ряду степеней, тогда как сама по себе она представляет единицу, то есть основание. Тогда связь между сложной порядковой функцией и количественной функцией, выражающая переход от количественной функции к порядковой будет иметь вид: xⁿ =  fⁿ_k = fⁿ(f^n-1(f^n-2(...(f⁰(x))...). Определим порядковый функтор f  для хⁿ. Начальная функция f⁰=x⁰. Все остальные функторы fⁿ имеют вид fⁿ=xf^n-1. Например, пусть х=2, n=3. Тогда получаем: 2⁰=1; 2¹ =2*1 =2; 2²=2*2 =4; 2³=4*2=8, где степень при 2 является порядковым, а не количественным числом.  Очевидно, что это - рекурсивное определение   

    Как число как произведение определяет мерность пространства.
   А:- Особенность операции умножения состоит в том, что если мы рассматриваем некоторое число как результат произведения, то если это число не является простым, то операция, обратная умножению - операция деления- не будет однозначной. Например, если в числе 42 мы выделили его возможные множители, представляющие простые и составные числа: 2, 3,7, 14, 6, 21, и говорим, что числом 42 обозначено произведение. И тогда мы можем говорить о о парах симметричных точек, принадлежащих плоскости х=2, у=21 - одна точка, и х=21, у=2 -, симметричная ей вторая точка. И, соответственно, точки 6, 7 и 7,6; 14,3 и 3,14. На 2-м-плоскости мы имеем две половины, разграниченные прямой у=х, с симметричными плоскостями и также с симметричными относительно друг друга линейными функциями, прямыми и обратными друг другу. Это одна сторона дела. Вторая сторона дела состоит в том, что если мы берем произведение двух  чисел, то они будут обозначать точки 2-м-пространства, если произведение 3-х чисел, то --м-пространства, и вообще если берем произведение n чисел, то они будут характеризовать точки n-m-пространства. Т.о., точки с характеристикой 42 будут принадлежать 3-м-пространству, если все сомножители произведения будут состоять из простых чисел, и число Р таких точек будет равно Р=n!=3!=6, что как раз и соответствует тому обстоятельству, что мы имеем три перпендикулярно пересекающиеся плоскости, каждой из которых принадлежит две точки.     Т.о., правило  состоит в том, что числом сомножителей произведения определяется число осей координат, т.е.  мерность пространства, которым принадлежат точки с соответствующим набором простых чисел И, конечно, следует иметь ввиду, что максимальная величина возможной мерности пространства определяется количеством простых чисел, которые содержатся в характеристике точки пространства как произведения значений проекций точки на оси координат.  Поэтому если произведение состоит из двух сомножителей, то от него можно перейти  к плоской системе координат, однако если эти сомножители простые, то перейти можно только к 2-м-пространству. Наконец, сколько бы сомножителей ни содержало произведение, от него, во-первых, всегда можно перейти к 2-м-пространству, и во-вторых, к 1-м-, к линейному пространству. В этом последнем случае число  представляет собой произведение 1 на себя. 
    Итак, число, рассматриваемое само по себе, представляет собой линейное пространство, рассматриваемое как произведение, представляет не себя, а n-мерное пространства, максимальное количество осей системы координат которого равно числу простых сомножителей числа, рассматриваемого как произведение, и при этом одинаковые простые сомножители считаются столько раз, сколько раз они встречаются в произведении. Например, 8=2*2*2. Максимальное - 3-м-пространство.
    В: -  При умножении нет однозначности, и поэтому нужны начальные условия. Это то же, что при интегрировании.
    А:- Нам нужно общее понятие для обозначения количества единиц. Например, когда мы рассматриваем число 42 в линейном множестве, то это число представляет либо адрес единицы в линейном пространстве, и тогда это - порядковое число, либо количество (сумму сорока двух 1+1+1+...+1 единиц, и тогда это - количественное число, причем, формы выражения той и другой форм числа одинаковы. Но если мы переходим к мерности пространства, большей единицы, то обозначения чисел становятся иными, именно, порядковое число обозначается через значения проекций точки, представляющей число, на оси координат, тогда как количественный аспект числа выражается через произведение значений проекций точки на оси координат. И так как мы имеем дело с площадями, объёмами и т.д. то будем для обозначения произведения от n-сомножителей употреблять термин "площадь" т.о., чтобы из контекста было понятно, в каком смысле этот термин употреблен. Итак, если мы имеем дело с площадью n-мерного пространства, то понижение мерности, конечно, всегда связано с делением площади на значение одной из координат точки. Например, если мерность пространства равна 3, и его площадь равна 8, то три координаты обладают значениями 2,2,2. Разделив 8 на 2, мы получаем значение 4, что соответствует двумерному пространству. Разделив еще раз на 2, получаем одномерное пространство, и весь этот процесс является однозначным. При этом,  если мы говорим о n-мерном пространстве, то, разумеется,  координатные оси его должны иметь свои имена, благодаря чему осуществляется привязка сомножителей произведения с определенными значениями координат, чем обеспечивается выбор в системе координат точки из множества возможных.
    В:- Пусть, например, мы имеем точку, которая характеризуется площадью 16. Мы можем рассматривать эту точку как принадлежащую двумерному пространству, и тогда оси х, у примут значения 4. Мы можем рассматривать 16 как линейное пространство, состоящее из 16 интервальных единиц, и тогда будем иметь 1-мерное, линейное пространство, единицами которого являются единицы 4-мерного пространства. Мы можем рассматривать 16 как 4-мерное пространство, и тогда каждая из осей будет принимать значение 2. Мы можем рассматривать 16 как трёхмерное пространство, и тогда в нём две координаты будут принимать значение 2, и одна координата - значение 4.
    Очередная степень
    В:- Что такое очередная степень? Очередная степень - это добавление новой  единицы пространства, переход от n-1 к n-мерности пространства. Что же касается квадрата, то им определяются пространственные единицы измерения. Поэтому мы получаем: нулевая степень - точечное пространство,  единица - точка. Первая степень - линейное пространство. Точка, или единица - есть объект вырожденный в отношении своих признаков количества и качества. Для точки самой по себе признаки качества и количества не имеют смысла.  Для линейного пространства точка  из точки вообще, неопределенной точки  превращается в определенную, единственную, выбранную точку, поскольку она приобретает  свой порядковый индекс, адрес. И вместе с этим переходом от неопределенности к определенности  точка приобретает также и своё количественное значение, становясь числом, превращаясь в число. Вторая степень - плоское пространство, третья степень - объём.  И т.д.
    А: - n-мерность пространства - это мерность единиц. Порождение мерности пространства есть порождение всё новых и новых единиц измерения: переходя от линейного пространства к плоскости мы переходим от рассмотрения объектов или единичных интервалов, которые в этом случае выступают в качестве объектов, поскольку объект - это то, к чему применима операция счета, а к единичным отрезкам (здесь различие терминов "интервал" и "отрезок" не учитывается, и каждый из терминов употребляется в его родовом, а не видовом значении. Конкретика - это и достоинство и недостаток русского языка сравнительно с английским, в котором объекты выделяются в соответствии с их родовым значением) эта операция применяется - то есть от линейных объектов мы переходим к объектам, единицей которых является площадь, единица, которая, очевидно, отличается от линейного объекта как объект плоских.  Переход к трехмерному пространству есть переход к объектам нового рода - объёмам. И т.д. Весь этот путь представляет собой не что иное, как постепенное усложнение объектов и, соответственно, логики мышления, связанной с ними. По сути своей это - синтез признаков, то есть речь идет о том, что объект обладает одним признаком, и другим, и третьим и т.д. Однако он не просто обладает признаками, но эти признаки также и связаны между собой. Будучи рассмотрены абстрактно как обладающие всеми возможными связями и, соответственно, отношениями, они образуют поле множества логически возможных объектов.  Если же мы имеем дело с актуально существующими объектами, то для них связи являются определенными, и этим накладываются ограничения на актуально существующие объекты сравнительно с логически возможными. Это означает, что объект, представленный его системой координат, характеризуется функциональными зависимостями между его координатными осями.
   В: - В n-мерных пространствах от нулевой степени до n-ой единицы должны быть соизмеримы, и этим обусловлен принцип квадратуры как принцип формирования всё более высокой  мерности пространства. Но если для пространства всё новые n-мерные единицы измерения формируются автоматически, то в физике, вообще в областях, которые имеют дело с качественно различными сторонами объектов, это невозможно. Поэтому для обеспечения соизмеримости единиц количественные характеристики качественно различных объектов приравниваются друг к другу через коэффициенты, что позволяет выражать разные качество через какое-то одно.
    А: - Вообще же принцип рассмотрения объекта как существующего в пространстве позволяет рассматривать пространство не только как определяющее внутренние условия существования объекта, но и  внешние условия его существования, и это внешнее пространство существования объекта выступает в качестве родового относительно многообразия качеств, которыми обладают объекты, основанием чего является мерность, которой связываются качества и количества, так как за разнообразием качеств стоит количественная сторона объекта, с которой это качество соотносится. Переходя от многообразия качеств к многообразию их количественных характеристик, мы приходим к однообразному количественному выражению качеств и тем самым - к возможности собственно количественного их выражения и тем самым - их соразмерности.



    В: - На переходе от одной меры пространства  к другой всюду выполняется одна и та же операция - в отношениях между точкой и линейным пространством, между линейным и плоским пространством и т.д.
    А: -И если речь идёт об одной и той же операции, то она должна быть явно определена. В математике, поскольку мы имеем дело с её практическими приложениями, мы начинаем с создания её объектов - единиц - и определением связей  между единицами, что опять-таки осуществляется математическими способами, то есть путем перехода от качественного разнообразия объектов и их сторон к их количественному единообразию, выражающему аспект разнообразия в количественных отношениях, связывающих различные единицы измерения. Поскольку единицы созданы, возникает возможность перехода к понятию числа, которое имеет в своём основании операцию счета, которой и определяются две стороны числа - порядковая и количественная. Хотя, с другой стороны, отношение между единицами измерения и операцией счета - это, пожалуй, отношение между курицей и яйцом, если возникает вопрос относительно первичности одной и другой стороны.
    В :- Что такое единица? - это любые объекты любого пространства, с которыми может осуществляться счет. Когда мы говорим о натуральном ряде, то можем говорить о точечном упорядоченном множестве, но точно также в качестве единицы мы можем рассматривать интервал, и тогда упорядоченная последовательность интервалов порождает  линейное пространство. И точно также в качестве единиц как отдельных объектов выступают единицы любого n - мерного пространства.
 
    А: - Существеннейшим является вопрос об отношении единиц пространств различной мерности, а также о связи между количественными и порядковыми характеристиками единицы n-м-пространства при добавлении очередной единицы.   Если мы берем линейное пространство, то каждый следующий элемент этого пространства определяется из предыдущего на основе добавления единицы, и эта единица является постоянной (рис. а). Затем, когда мы переходим к двухмерному пространству, то  имеем дело с новой, квадратной единицей,  с единицей измерения (плоской) площади, которой определяется 2-м-пространство с двумя координатными осями,   и поэтому адрес  точки выражается опосредованно, через значения её проекции на координатные оси. Однако сама по себе точка, представленная как произведение, то есть как общее количество единиц в n-мерном пространства, не представляет точку как единственную, поскольку существует еще множество точек, которые имеют такую же величину площади. И поэтому для определения значения точки мы должны вводить на основе операции деления значения всех координатных значений, то есть всех проекций этой точки на оси координат. Т.о., мы имеем два однозначных перехода, прямую и обратную операции: от порядкового аспекта числа к его количественному аспекту, что представляет собой на деле определение количества элементов, то есть количественный аспект числа, который в непосредственном своём представляет собой линейное пространство, единицами которого являются единицы n-мерного пространства. Осуществляя последовательное деление этого числа на значения координатных осей, мы каждый раз понижаем мерность единиц на единицу, так что для нулевой квадратуры (нулевой степени единицы) мы в конечном счете получаем точку, собственно единицу, неважно, будет эта единица отдельно взятым объектом или интервальной единицей.
    В: - Отсюда получаем также и подобного же рода  операции при рассмотрении функций от многих переменных  в математическом анализе.
    А: - В соответствии с принципом однозначности, так как мы имеем функцию х^у от двух переменных х,у - от показателя и основания степени, мы должны поступать последовательно. Во-первых, фиксируем показатель степени как постоянный. Затем придаем последовательно значения основанию и вычисляем значения степенной функции. Затем мы добавляем единицу в показатель степени и снова ту же самую операцию выполняем с основанием. И т.д. Именно это нами и делается в таблице. Однако в этой таблице никак не отражается вопрос о связи, которая существует между столбцами и строками таблицы. Пусть мы имеем два значения показателей степени степенной функции, следующих один за другим. Обратимся к рис. а, б,с. -Первая степень, например, равна 2, тогда вторая степень равна 4. Что при этом происходит. Пусть мы имели степень 1. Тогда 2 в первой степени =2. Этот результат 2 есть а, к которому приложен показатель степени 2. В результате получаем 4. 4 - это новое основание а, к которому приложен показатель 3. Т.о., величина а постоянно изменяется.
    Квадратура пространства определяется единицей (здесь, как и в случае с понятием площади, под квадратурой понимается любая степень, а не только квадрат числа). Любая точка, которая берется в пространстве, в количественном отношении  является множеством единиц n-мерности. Например, если  2-мерном пространстве, скажем, у=2, а х=4, и мы имеем дело с точечным множеством,  то оно может быть представлено в виде прямоугольной матрицы с двумя строками и четырьмя столбцами, от какового образа мы можем перейти к способу  построения n-мерных объектов в n-мерных пространствах.
    Пусть у нас есть 1-м-пространства х¹. (см. рис. а,б,с) Тогда в это пространство входят все точки х в их количественном и качественном отношениях. Пусть теперь у=х². Тогда,
    если у=1, то мы имеем в качестве точек пространства множество значений х;
    если у=2, то мы будем иметь то же самое значение множества х,
    если у=3, то снова то же самое множество х;
    . . . . . . . .
    и т.д. Тогда плоское пространство ху будет содержать множество точек, равное произведению ху, такое, что для каждого значения у в качестве единицы будет выступать множество значений х.
   
   Пусть теперь показатель степени равен трём (рис.с) z=х³. Тогда в качестве единиц z будут выступать плоские множества, полученные при у=х². Проводим предыдущее рассуждение для у=х² и получаем пространство с множеством единиц zyx.



   
     Мышление имеет дело с двумя вещами: с образами и мыслями, исследующими и выражающими в  понятиях отношения между элементами образов. Понятие пространства одно-, дву-, n- мерного - это своего рода метрическая сетка, которая накладывается на образы с целью описания отношения между их элементами как в покое, так и в движении.  Различная мерность различных n-пространств  означает единицы пространства, качественно отличающиеся, но переводящиеся друг в друга. Произведение, состоящее из множества сомножителей, превращается в n-мерное пространство, если примем, что в качестве сомножителей рассматриваются переменные, каждая из которых  принимает значения оси координат.  Но почему именно произведение? Потому что  только через произведение определяется единица измерения пространства. Мы начинаем понимать систему координат как целостность только тогда, когда определили для неё её единицы измерения. С другой стороны, поскольку нами определена единица измерения, мы можем рассматривать её как точку, а отсюда мы можем снова строить линейные и иные пространства, имея при этом ввиду, что в качестве его единиц выступают пространства.
    Произведение, например,  2*3=6 может пониматься посредством различных образов: как произведение, представляющее площадь, и тогда мы имеет дело с единицами площади. Но это же произведение может представлять собой линейность, если один из сомножителей является безразмерным, когда нами применяется принцип контейнера, в который помещается множество элементов какого-то качества.  Тогда,  если в контейнер входит 5 элементов, и у нас 5 контейнеров, то 5 эл./1 кон *5 кон.=25 элементов. Однако мы видим, что 5эл/1кон - это, тем не менее, отношение. Если мы осуществляем счет по 5 элементов, то мы имеем дело с линейностью, в которой применяются две соизмеримые единицы измерения, что никак не отражается на линейности пространства, в котором мы действуем. Например, объекты мы можем измерять штуками, дюжинами и т.п. и  это ничего не меняет в сути дела. Особенность этого рода умножения состоит в том, что под контейнером понимается "объём", в который "входит" определенное количество элементов.  При этом сам по себе контейнер не обладает самостоятельностью в том смысле, что, будучи рассмотрен с абстрактной точки зрения, он организует множество элементов, и не более того, хотя на практике, разумеется, он представляет собой вполне материальную вещь, однако эта материальная вещь является всего лишь  средством организации множества  в исключающие друг друга подмножетва.  Если мы это понятие обобщим, то получим, что речь идет о всё том же - о сопоставлении одному элементу какого-то множества  элементов другого множества - множества элементов множеству контейнеров. Этого рода образ применяется вообще в теории функций, связывающей порядковые числа, представляющих только себя, и количественные числа,  представляющие сумму точек от 0 до n или, что то же, множество отрезков. Когда мы умножаем качество одного рода на качество другого рода, то в конечном счете мы приходим к одному и тому же - к выражению единицы одного качества через количество единиц другого качества.
   
    Пусть мы занимаемся синхронным измерением количеств двух качеств в течение какого-то времени при неизменных условиях их реализации. В этом случае для фиксированных моментов времени мы можем брать отношение между их количествами, и это будет иметь смысл, поскольку тем самым мы сможем установить отношение между единицами, и если мы можем рассматривать соотношение между этими количествами во времени, то можем представить его как первообразную функции, благодаря чему мы, задавая количественные значения одному качеству, можем определить значения другого качества, хотя бы в реальности этого рода функция и могла осуществиться только один раз. С другой стороны, имея дело с производной, мы можем перейти к первообразной функции посредством умножения количеств, что становится возможным благодаря тому, что одно из качеств определяется как функция по отношению ко второму. Т.о., деление как способ  нахождения первообразной, идет впереди умножения. Мы выявляем посредством деления отношения для того, чтобы затем на основе этих отношений иметь возможность определять количества качества на основе количеств другого качества.
    Теперь представим себе, что мы хотим начать с умножения для того, чтобы затем перейти к делению. Может это иметь какой-нибудь смысл? Когда мы имеем дело с каким-нибудь новым явлением, качеством, мы не можем сказать, что оно собой представляет - является ли оно произведением чего-то на что-то, или же уже выражает собой отношение. Это мы предполагаем относительно него, что оно является тем или другим и, соответственно, действуем с ним как с произведением или с отношением. Мы не знаем, является ли оно простым или сложным, точкой, линейным или иным пространством. Если мы полагаем, что оно является точкой, то мы задаемся вопросом относительно того, какому пространству эта точка принадлежит. Если мы исходим из того, что оно является пространством, то нас интересует, какими осями координат оно образовано. В этом последнем случае точка рассматривается как пространство, и этим определяются вопросы, которые ставятся по отношению к ней. Тогда точка рассматривается изначально как произведение, и целью становится определение значений одних её осей координат на основе предположения или измерения значений других её координат. Давайте теперь представим себе, что мы имеем дело с произведением. Если это - произведение, то оно состоит по крайней мере из двух сомножителей. Для произведения выполняется закон ассоциативности, и поэтому,  сколько бы ни было сомножителей, мы можем представить произведение как результат двух сомножителей, выделив один из сомножителей и взяв в скобки и вычислив остальные...

     Примечание  1.2 Функтор функции всегда представляет некоторое отношение, которым характеризуется отношение принадлежности количества элементов одного множества А элементу множества В.  Тогда понятно, что если мы возьмём какое-то количество элементов х множества А, то сумма элементов у множества В  примет значение суммы всех элементов, которыми обладают выбранные элементы у. Высказывание (А), очевидно, не лезет ни в какие ворота, и, однако, эти высказывания появляются вполне автоматически, может быть, потому, что мы в этом время думаем об одном, а высказываем нечто совершенно другое. И так как мы думали об одном, а высказали нечто другое, но противоречие между мыслью и высказыванием должно обнаружиться и быть устранено. Как я могу понять, подобного рода высказывания являются вполне случайными и они являются заменителями мысли потому, что не могут одновременно возникнуть мысль и её выражение, поскольку мысль возникает как непосредственное отражение реальности, то есть проекция объективности в субъективность, и поэтому возникающие случайные высказывания перестают представлять самих себя, но представляют собой непосредственно мысль. Они, следовательно, означают не то, что они непосредственно означают, но они означают то, что за ними стоит, что они имеют ввиду. В одном фильме встречается выражение: неважно, что я говорю, важно, что я при этом думаю. Но, разумеется, это противоречие между мыслью и способом её представления должно быть устранено путем формирования относительно мысли также и соответствующей ей формы выражения. "  Примечание 1.2/1 Когда определяется в качестве исходного геометрического пространственного образа понятие точки, определение которое заключается в отрицании в ней каких-бы то ни было пространственных характеристик, и в этом смысле - отрицание пространства, то тем самым в основу понятия множеств вообще кладется понятие точки как какой-то отдельный единицы. И тогда можем говорить, что в основании любого множества лежит точечное множество. Вы понимаете, что если утверждается, то прямая - это множество точек, и прямая характеризует линейное пространство, то примирить подобного рода противоречие можно только одним способом - способом фантазии, которая допускает любое чудо. И, разумеется, до тех пор, пока мы пребываем в субъективной сфере, мы можем ни о чем не беспокоиться. Но стоит нам обратиться к чувственной реальности, положение меняется, и тогда под точкой начинает пониматься любой объект как некоторая существующая единица, и нас в этом объекте больше ничего не интересует. Однако, если следовать логике, согласно которой точка есть абстракция от объектов как отдельностей реальности, то возникает вопрос о возможности деления этой реальности на части. А это, будучи перенесено в сферу нашей конструирующей фантазии, заставляет нас ставить вопрос о возможности деления точки. И, хотя точка не обладает пространственными характеристиками, кроме одной - что она представляет некоторую отдельность, то наша фантазия вполне допускает деление точки на множество точек, и именно потому, что чувственно данные объекты могут так или иначе делиться на части, которые точно также не характеризуются никакими пространственными характеристиками, разве что той, что все они, будучи объектами, в то же самое время принадлежат, входят, составляют части объекта. Но если мы обобщим это положение, то получим, что любая точка обладает двумя сторонами - с одной стороны, она является точкой, и, с другой стороны, она представляет собой множество точек, или просто множество. И тогда относительно любой точки мы должны будем утверждать, что она, как любая отдельность,  может рассматриваться в качестве элемента множества, в которое она входит, и, с другой стороны, она является множеством относительно входящих в неё точек. Собственно говоря, только конструкция подобного рода делает возможными бесконечные операции деления и умножения, не говоря уже о сложении и вычитании. Примечание 1.3Отсюда получаем: если дана функция f, то она представляет отношение между отдельно взятыми  элементами  одного множества и подмножеством множества элементов другого множества, что отвечает на вопрос,  какое количество элементов одного множества принадлежит каждому из элементов другого.  Отсюда, задавая множество элементов одного множества, мы можем определить количество элементов второго множества, которые будут принадлежать множеству элементов первого.
    Складывать и вычитать мы можем объекты только одного качества.
     Примечание 1.3/1. Поставим вопрос: можно ли считать, что умножение есть всего лишь сокращенный способ представления сложения одинаковых чисел, как и деление есть случай последовательного вычитания одних и тех чисел из данного числа, например, 9-2-2-2-2-1=9/4=2 и 1 в остатке. Число одинаковых вычитаемых равно 4 и 1 в остатке или же операции умножения и деления могут характеризоваться собственными признаками?
    Примечание 1.4  То же самое можно говорить и об умножении и делении, рассматриваемых как сокращения для сложения и вычитания. И умножение, и деление связаны с операциями на одинаковыми в количественном отношении множествами, при этом нужно различать операции над объектами и объекты. Например, если мы имеем k качественно одинаковых множеств по а элементов в каждом, то а элементов - это множество объектов, количество одинаковых множеств, рассматриваемых как множества - это три объекта, в то же самое время, эти объекты являются контейнерами, каждый из которых содержит по а элементов. Соответственно, ka даёт новое множество с ka=b элементами. Если мы переходим к обратной умножению операции деления, то делителем будет представляться множество контейнеров, или, иначе, в качестве делителя будут выступать множества, и в результате деления мы получим, сколько элементов будет принадлежать каждому из контейнеров. Т.о., мы всюду будем иметь отношение между объектами двух видов - множествами и элементами множеств. Откуда следует, что мы всегда имеем дело с синтетическим объектом, который представлен элементами как собственно объектами и множествами, представляющими собой качества, на основании которых количества элементов объединяются в множества. При этом, как и во всякой целостности, может выделяться одна из противоположных сторон - либо элементы, либо множества, и осуществляется определение одной стороны противоположности через другую. Так, мы можем в данном множестве выделять по каким-то признакам подмножества и на основании этого определять количества принадлежащих каждому из них элементов. Например, если множество А(а)={a}, где А(а) выделение множества элементов, на которых определена переменная а - на основе признаков А, {a}- множество, в котором выделяются элементы а. Пусть мы также имеем множества В(b)={b}, С(c)={c}, В(d)={d}. Возникает вопрос, в каких случаях мы можем применять по отношению к этим множествам операции сложения и вычитания. В качестве критерия для возможности применения этих операций примем критерий смысла, определяющего  практические приложения.  Допустим, что множества А и В представляют разные качества, скажем, ботинки и шнурки от ботинок. Мы можем установить соответствие между каждым ботинком и шнурком и образовать множество С=А+В, где С, А, В - это признаки объектов. Тогда множество С будет иметь в качестве своих элементов ботинки со шнурками как одно целое, и в этом будет смысл. Но если А=ботинки и В= бидоны, то никакого единого объекта мы образовать не сможем. В целом, очевидно, мы можем образовать синтетический объект для специального контекста, в котором он будет обладать смыслом. Но ведь для этого, в свою очередь, нужно создать сам  контекст.
    Абстрактное рассмотрение дает нам множества всех возможных ботинок и шнурков. Однако на практике мы имеем дело с чувственно данными объектами. Поэтому, например, если С - подобного рода данное множество объектов, то множества А, В, С имеют один и тот же объём, и при этом отношения с множествами могут быть не только теоретическими, но и практическими: мы можем вытащить шнурки из всех ботинок, и тем самым образуем на практике два множества А и В. Мы можем снова зашнуровать ботинки - и получим множество С.

    Три высказывания, к которым мы еще вернемся:
   1. Итак, складывать и вычитать мы можем только объекты одного рода. Пусть дано выражение: (а+в)/(с+д)...

   2. Относительность элемента и множества: то, что по отношению к одному является элементом, то по отношению к другому является множеством. И это общий принцип.

    3.. Нужно различать операции сложения и объединения. Операции сложения допустимы только по отношению к объектам одинакового качества, то есть к одинаковым в качественном отношении множествам, тогда как операция объединения приложима к разным качествам, но при этом т.о., что получаются новые объекты, какие-то единства, т.ск., синтетические, сложные

  Ну, вот, наконец, мы и подошли к концу нашего путешествия, и нам остаётся ответить на поставленный в заголовке   вопрос, как разделить 7 хлебов на 8 человек. Для этой цели  используются аликвотные дроби, то есть дроби, в числителе которых стоит единица. Простые дроби выражаются через сумму аликвотных дробей.
    Дана дробь 7/8. 7/8 больше половины, поэтому мы можем записать 1/2, которая принадлежит 7/8. Остаток равен 7/8-1/2=3/8=2/8+1/8. Т.о., 7/8=1/2+1/4+1/8 = 4/8+2/8+1/8, и мы берем 4 хлеба, делим каждый хлеб пополам, и вручаем 8 человекам. Затем берем два хлеба, делим каждый хлеб на равные 4 части и вручаем полученные четвертинки 8 человекам. Наконец, берем последний оставшийся хлеб, делим его на восемь равных частей и вручаем  каждому человеку по осьмушке

    31.12.12 г. Всех - с Новым годом!

---

Оставить комментарий © Copyright Штыров Валерий Яковлевич (shtirov@narod.ru) Размещен: 31/12/2012, изменен: 31/12/2012. 86k. Статистика. Статья: Проза

Ваша оценка: не читать очень плохо плохо посредственно терпимо не читал нормально хорошая книга отличная книга великолепно шедевр

---

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список

Кожевенное мастерство | Сайт "Художники" | Доска об'явлений "Книги"