|
|
||
"Допустим,
Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на
расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это
расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит
сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет
продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху".
(Википедия)
Разгадка
лежит за пределами чистой математики и относится к её приложениям к реальности.
А это приложение к реальности непосредственно связано с применяемыми масштабами,
то есть единицами измерения. Нигде, где математика применяется в качестве
приложения, вы не встретите категории бесконечности - ни бесконечно большой, ни
бесконечно малой величины. На практике пользуются определенными величинами.
Понятие бесконечности является категорией чистой математики.
Движение есть единство прерывного и непрерывного, а, точнее, движение
отображается в форме единства прерывного и непрерывного. Мы просто путаем
способы отображения движения сознанием и само движение. Движение никогда не
выражается непосредственно, но - лишь опосредованно. Непрерывное выражается
через постоянное; потенциальное, становящееся - через актуальное, а именно,
через единицы и их сумму за некоторые интервалы времени. В данном случае
рассуждение, будучи применено к реальности, принципиально неправильно в
силу того, что Ахиллес и черепаха применяют
различные дискреты расстояний, соотносимых с единицами времени. То есть
речь идет о величине одного шага Ахиллеса и одного шага черепахи. Шаги того и
другой могут быть в любом случае - точно или примерно - выражены друг через
друга. Второй стороной, которой отображается движение, является частота
шагов, которой выражается собственно скорость движения. Получается так, что,
говоря о скорости, мы говорим о частоте шагов, но при этом забываем об
относительных друг к другу масштабах шагов Ахиллеса и черепахи. Допустим,
один шаг Ахиллеса равен одному метру, черепахи - 10 сантиметрам. Для того,
чтобы отобразить сравнительное движение Ахиллеса и черепахи,
мы должны выразить их движение в одних и тех же единицах измерения - либо шаги
черепахи в шагах Ахиллеса, либо шаги Ахиллеса в шагах черепахи. Пусть
частота шагов Ахиллеса равна частоте шагов черепахи и черепаха находится впереди
Ахиллеса на расстоянии 100 метров. Тогда получаем: когда Ахиллес и черепаха
сделают по 10 шагов, то, если бы Ахиллес оставался на месте, она удалилась бы от
него еще на 1метр, и расстояние между ними стало бы равно 101 метру. Но Ахиллес
прошел за 10 шагов 10 метров, и тем самым расстояние между ним и черепахой
сократилось до 91 метра. Сделав следующие 90 шагов, Ахиллес преодолеет очередные
90 метров, черепаха за 90 шагов преодолеет еще 9 метров, и окажется от Ахиллеса
на расстоянии 10 метров. За очередные 10 шагов Ахиллес пройдет 10 метров, а
черепаха - 1 метр. Теперь Ахиллесу и черепахе остается сделать один шаг для
того, чтобы Ахиллес опередил черепаху на 90 сантиметров.
Если мы теперь станем изменять относительную частоту шагов Ахиллеса и черепахи,
то получим также и любые относительные их скорости друг к другу. Например, задав
относительную частоту шагов Ахиллеса к частоте шагов черепахи в 0,1, мы получим
их одинаковые скорости движения, так что относительное расстояние между ними
будет постоянным, а если частота шагов Ахиллеса будет равна 0,01 по отношению к
частоте шагов черепахи, то Ахиллес будет отставать от неё.
С точки
зрения чистой математики в формулировке парадокса есть особенность: налицо
смещение во времени движений черепахи и Ахиллеса: они движутся не одновременно,
не в один и тот же момент времени, но дискретно, так что время черепахи
оказывается впереди времени Ахиллеса, и речь идет о времени преодоления
Ахиллесом расстояния, которое уже прошла черепаха. Разложим весь процесс на
составляющие его части. Вначале расстояние между Ахиллесом и черепахой тысяча
шагов. То есть черепаха уже прошла это расстояние. Теперь мы можем
черепаху остановить, запустить Ахиллеса и измерить время, за которое он
преодолел эту тысячу шагов. После этого мы пускаем черепаху на время, за
которое Ахиллес преодолел свое отставание от черепахи перед этим. Как
только время, отпущенное черепахе на движение, истекло, мы останавливаем
черепаху и измеряем расстояние, которое она прошла. Теперь мы снова пускаем
Ахиллеса на преодоление очередного пройденного черепахой расстояния и засекаем
время, за которое Ахиллес преодолеет его. Вот он разорвал очередную финишную
ленту и остановился, а мы замерили время, за которое он преодолел
пройденное черепахой расстояние перед этим, и пускаем снова Черепаху на
преодоление полученного в очередной раз Ахиллесом времени. Очевидно, что
этот процесс мы можем осуществлять до бесконечности, но в этой
бесконечности движения Ахиллеса и черепахи оказываются последовательно
сменяющими друг друга, а не одновременными.
Ахиллес и
черепаха преодолевают различные вещи: Ахиллес преодолевает расстояния, которые
отделяют его от черепахи, а черепаха преодолевает время, которое объективно
тождественно с предшествующим временем Ахиллеса, которое берется в качестве
времени той же длительности, что и время Ахиллеса, но которое
укладывается после времени Ахиллеса. Время черепахи =
предшествующему времени Ахиллеса, а расстояние, проходимое
Ахиллесом, равно расстоянию, пройденному черепахой. Ахиллес всякий раз
затрачивает время на преодоление расстояния,
уже пройденного черепахой. При этом осуществляется на каждом шагу
последовательное вместо актуального относительно друг друга
преобразование либо времени в расстояние, либо расстояния во время, расстояние и
время не соответствуют друг другу, а смещены относительно друг друга. Время и
расстояние - противоположные категории, и когда одна категория
выражается через другую, а другая - через первую, что может быть сделано только
последовательно, мы получаем то, что в логике называют порочным кругом, то
есть противоречие. Но за противоречием всегда скрывается та или иная форма
бесконечного, то есть внекачественного, постоянно повторяющего себя,
движения. Поскольку имеет место круг, мы вращаемся в одном и том же процессе,
который последовательно и бесконечно перерабатывает материал в одном и том же
направлении - расстояние во время, время - в расстояние,
всякий раз пропорционально изменяя начальные значения
материала, не приводя ни к чему новому.
30.05.13 г.
|