Штыров Валерий Яковлевич : другие произведения.

Перестановки

Самиздат: [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь|Техвопросы]
Ссылки:


 Ваша оценка:

     Замечание
    У меня получалось так, что я сперва писал текст, а затем писал подзаголовки к нему. Тогда как считаю, что следует сперва создать план, то есть создать  сперва подзаголовки, определяющие последовательность текста, а затем сам текст, при этом сами подзаголовки не записываются.
    Впрочем, это - из области пожеланий, поскольку развитие одних качеств необходимо ведет к вытеснению других. Так что текст, увы, написан так, как и все остальные тексты - методом фрейдовских свободных ассоциаций, который  характеризуется тем, что вначале пути ты не знаешь, к чему придешь в конце его. Но поскольку путь, каким бы извилистым или странным он ни был, приводит, тем не менее,  к цели, то оставляю всё, как есть. Впрочем, не без поверхностной редакции, которая выделяется в тексте в том числе и другим шрифтом. С редактированием вообще возникают проблемы, поскольку мне кажется, что когда пытаюсь что-то объяснять, то запутываю читателя еще больше.

     Постановка задачи.1 определение перестановки. 2  Задачи, решаемые в настоящей статье, сводятся к двум вопросам, которые решаются, впрочем, общим способом: как получается формула числа перестановок множества объектов N=n!=n(n-1)...1  и каким образом записывается множество перестановок.

Перестановки

   Число различных перестановок.
    Пусть имеется последовательность множество n  объектов 1,2,...,n.
   Вот здесь, на этом зачеркивании следует остановиться. Об этом говорится ниже. Так что здесь я просто повторюсь, поскольку это следует иметь ввиду с самого начала.
    То, что нам дано первоначально, это множество неупорядоченных объектов.  Единственное, что нам нужно в нашем отношении к этому множеству объектов, это возможность отличать их друг от друга, и не более того. Для этой цели мы можем дать им собственные имена, навесив их на объекты в виде бирок, отождествив имена с объектами посредством установления 1-1-значного соответствия между ними.(Здесь вместо точки стояла запятая, и получился настолько длинный период, что мозги сломаешь. Дальше период не стал разбивать, хотя, наверное, и следовало бы) Так что всегда,  когда мы употребляем имя,  имеем ввиду объект, как, естественно, и обратно, имея дело с объектом, в качестве его "сущности", его "существенного" признака, посредством которого объект отличается ото всех остальных объектов и который на деле, если с ним не связывается никакое понятие, является всего лишь признаком отличительным, выступает его имя.
    Мы можем дать объектам любые, какие угодно имена, однако удобнее дать им числовые  имена 1,2,3,...,n. Правда, при этом возникает двойственность, которая связана с тем, что, задав объектам их имена, мы тем самым посредством этих имен задали также и их "естественный" порядок, определяемый содержанием каждого из имен. И поэтому только из контекста можно  установить, что имеется ввиду, имя объекта или его место (адрес)  в линейном пространстве, так как совпадение имени объекта и его места в пространстве есть всего лишь неестественный естественный  случай отношения между именем объекта и его местом в пространстве, и эту вещь следует иметь ввиду. 
 
    Перестановка, вообще говоря, представляет собой один из возможных порядков расположения объектов в линейном пространстве.
    (Примечание. Термины "элемент" и "объект" употребляются как взаимозаменяемые, хотя и различаются по смыслу. Термин "объект"  нагружен онтологически, хотя и возникает как способ  выделения мышлением не столько даже в самой внешней реальности, сколько в её мысленном отображении, отдельностей, тогда как употребление термина "элемент" ограничено контекстом множеств. В зависимости от того, какая из сторон выделяется - отдельность или принадлежность множеству, употребляется тот или другой термин.)
    Термин "перестановка" может употребляться в двух смыслах: перестановка как пример возможного порядка n элементов в n-линейном пространстве и как всё множество таких перестановок. То есть он может обозначать как множество, так и элемент множества, и определение смысла должно следовать из контекста его употребления.

     Перестановки представляют собой множество упорядоченных в последовательность объектов, каждый из которых привязан к определенному месту  линейного пространства, обозначенному числом как его числовому адресу. Т.о. формируется единство между множеством n объектов и множеством 1, 2, ...., n-мест линейного пространства, образуя единый объект, одной стороной которого является множество n объектов, другой - n-местное линейное пространство.   Таким образом, множество объектов мы можем тасовать на множестве мест, которые они занимают. Т.о., выделяется для этой цели специальная операция тасовки объектов. Термин "тасовать" (тасуют карты с целью изменения существующей в них перестановки на какую-то другую), несмотря на его точность, не представляется хорошим или достаточно точным. В логике вместо него употребляется термин типа "возможных миров", а в данном случае - это будут "возможные перестановки". Термины "тасовать" и "возможные перестановки" односторонни, отражая противоположные стороны целостной реальности. Возможные миры, частным случаем которых являются возможные перестановки, суть вещь абстрактная и внечувственная. Правда, мы можем обозначить эту абстракцию как вещь в себе, которая из всего множества возможных чувственных реализаций способна реализоваться только в одну, подобно тому, как зерно реализуется в растение, где зерно может рассматриваться в качестве вещи в себе, а растение - в качестве вещи для себя. Однако то обстоятельство, что в абстрактной возможности мы имеем "что угодно", а в чувственной достоверности - что-то чувственное одно определенное, это обстоятельство для сферы мышления представляется вещью неудовлетворительной, поскольку ему требуется, чтобы возможные миры оно могло наблюдать как актуальную чувственную, то есть вневременную данность. Тасование реальности, как это имеет место в случае с картами, правда, преобразует одни перестановки в другие в каждый отдельный акт тасования карт, однако это происходит во времени, тогда как между отдельными актами тасования налицо единственная из возможных перестановок. Правда, если бы мы могли раздвинуть момент времени в интервал (длительность), множество реализуемых перестановок открылось бы нам в качестве чувственной достоверности. Однако сделать это мы можем только в нашем воображении благодаря нашей памяти. Правда, это будет относиться уже к области нашего прошлого. Однако в силу того, что это прошлое может быть чувственно представлено в виде знаковых систем, оно может быть тем самым представлено, хотя и опосредованно, но, тем не менее, актуально, в качестве чувственной данности. Правда, возникшая таким образом перед нами чувственная достоверность не должна вводить нас в заблуждение относительно положения дел в самой реальности, которая хотя и содержит в себе свои возможности, но реализует всегда единственную.( Замечательные это слова - "всегда", "никогда", хотя ничего в этом мире не бывает ни всегда, ни никогда. Но, как говорится, если хочется, то можно - вводить идеализм в реализм. Как же жить без идеализма. Без него только и остается, что повеситься, поскольку идеализм - единственное отличие живого от мертвого)  И теперь определим процесс тасования этих объектов.
    На первом шаге мы имеем множество единичных элементов n. Любой из этих элементов мы можем поставить на первое место в линейном пространстве.  Для каждого из  множества элементов n существует 1/n возможностей занять это место. Итак, всего на первый адрес приходится n вариантов. После того, как на первое место мы поставим один из n элементов,  во множестве объектов останется n-1 элементов и, соответственно, n-1 вариантов. Продолжая этот процесс, в конечном счете мы придем к одному элементу.
    Т.о., что мы получаем в актуальном смысле? Мы получаем такую последовательность: Мы определились с тем, что при n элементах мы имеем дело с множеством из n элементов, каждый из которых занимает первое место в ряду сложного элемента множества перестановок. Другими словами, мы формируем множество перестановок, то есть множество, элементами которого являются перестановки. И то, чем мы занимаемся - это последовательное построение элементов этого множества, каждый из которых представляет собой одну из возможных перестановок. При этом все элементы этого множества мы строим параллельно. Иначе говоря, если мы имеем n объектов, то им будет соответствовать n n-линейных пространств, при этом наше время построения элементов множества перестановок распределяется т.о., что сначала устанавливается соответствие между множеством первых мест в множестве n n-линейных пространств, затем второго и т.д. Так что в результате мы получаем упорядоченную последовательность n операций, каждая из которых представляет собой заполнение n-ых мест всех элементов множества перестановок. Т.о., например, в первом цикле действий мы получаем  на первом месте элементов множества перестановок 1,2,..., n элементы. 
    Вопрос: как распределяются элементы. Один выбранный элемент уже не возвращается в число элементов. Иначе говоря. возникает вот какая штука.  В качестве исходного мы имеем множество из n элементов. Пусть это будет множество А, которое содержит какие-то простые объекты в качестве своих элементов. Другой стороной процесса является пространство объектов, в данном случае линейное, которым объекты упорядочиваются в последовательность, чем достигается единство материи и пространства и также возникает дополнительная категория возможности материи как формы единства материи и пространства потому, что материя в пространстве характеризуется однозначностью, и её многозначность проявляет себя во времени, так как материя представляет собой с точки зрения человеческого мозга   единство дискретности и непрерывности т.о., что непрерывность и, соответственно, движение,  проявляют себя через дискретность.
   Отсюда получаем:
    Каждому элементу из множества А ставятся в соответствие элементы из множества В,
   (Каждому месту из множества n-линейных пространств мы можем сопоставить множество элементов т.о., что месту 1 будет соответствовать  множество А с мощностью M=n, месту 2 - множество В с M=n-1,и при этом "-1" - это   элемент, занимающий первое место; месту 3 - множество С с М=n-2 и т.д. до исчерпания количества мест, = n См. рис. [])
    мощность М которого которого равна n-1 и при этом в множество В не входит тот элемент из множества А, в соответствие которому ставится какой-то элемент из множества В. И этим же принципом определяются последующие операции этого рода. Т.о. задается процесс формирования множества множеств, который может рассматриваться  как последовательно протекающий процесс; однако для случаев, когда мы имеем дело с технологически одними и теми же процессами, удобнее рассматривать их как протекающие параллельно во всех своих частях. Этот принцип параллельного протекания процессов является эффективным не только для случая, когда мы имеем дело с параллельными процессами, но и тогда, когда процессы одного и того же рода последовательно повторяются т.о., что окончание предшествующего процесса инициирует возможность реализации последующего.
    Т.о., мы должны говорить об операции, об условии начала её применения, её повторения и окончания её применения.
   Теперь следующий момент. Итак, мы начали формировать множество перестановок  множества объектов n в линейном n-пространстве. Мы возможности представляем в форме актуальной вещи. Мы имеем дело с построением  множества линейно упорядоченных множеств, первый элемент которых, занимающий первое место в линейном пространстве, нами задан. И он не может вторично появиться в этой подстановке в соответствии с определением понятия подстановки, поэтому он вычитается из множества n и далее действия осуществляются с дополняющими его элементами множества n. Т.о., мы получили множество перестановок, каждая из которых еще не существует целиком, но в которых уже присутствует на первом месте элемент, и все перестановки различаются их первым элементом.  Число этих множеств равно n, а их первыми элементами являются одни из объектов 1,2,...,n.
    (Замечание. Настоящий абзац - это минное поле. Читатель, полагаю, без ущерба для себя может его пропустить. Абзац представляет собой пример того, насколько бывает сложно из-за нагромождения слов проявить стоящую за ними реальность, то есть построить соответствующий ей образ) Еще раз и по тому же самому поводу обратимся к рисунку. Если у нас существует некоторое исходное множество  элементов А=(1,2,...,n), занимающих первые места в множестве n-перестановок и если мы образуем перестановки как множество возможных множеств (миров),  то мы получаем процесс образования этих перестановок, такой, что  число элементов в перестановке  равно n, и на первом месте каждой из из перестановок стоит один из элементов множества А, и принадлежность первого элемента перестановки исключает возможность его нахождения на первом месте в любой другой перестановке. Здесь сделаем замечание относительно двойственности имени объекта и его местав, что не было сделано раньше, поскольку всё не находилось подходящего образа. А образ оказался связан с моментом противопоставления имени объекта и местами  линейного пространстве. Поскольку мы говорим об объекте, мы называем его по имени. Тогда как места в линейном пространстве сами по себе никаким образом не связаны ни  с именами объектов, ни с самими объектами. С любым местом линейного пространства может быть связан   (поставлен ему в соответствие) любой объект. Место в линейном пространстве в данном случае выступает как вещь переменная, которая характеризуется тем, что на место может быть подставлен любой, но один и только один-единственный объект, как бы он ни назывался. Поэтому выражения вида "Объект пять занимает первое место" самое что ни на есть обыденное. С другой стороны, в свете настоящего  замечания, выражение "а принадлежность первого элемента перестановки..." контекстуально, естественно, имеет ввиду не элемент по имени 1, а первое место линейного n-пространства. Поэтому мы можем спокойно записать эти первые элементы перестановок (и здесь также "первый элемент перестановок" имеет ввиду первое место в линейном пространстве посредством указания на объект, который определяется как занимающий в пространстве первое место, но уж никак не имя самого объекта, как бы он ни назывался -первым или пятым.) каждого из множеств объектов как 1,2,...,n. Затем, беря поочередно каждое из первых мест таких строимых множеств перестановок, мы ставим в соответствие элементу, находящемуся на первом месте линейного n-пространства подмножество множества В элементов, которое представляет исходное множество А за вычетом из него элемента, стоящего на первом месте данной перестановки. И теперь по отношению к этому элементу образуем новое множество множеств. Например, множеству (перестановке) с элементом 1 на первом месте мы сопоставляем множество  2,3,...,n. Если на первом месте стоит  элемент 5, то ему в соответствие будет поставлено подмножество множества В=А - "5" (Множество А за вычетом элемента (объекта) 5. Может быть, удобнее было бы записать так: В=А-1, 1="5", где единичный объект 1 тождественен объекту по имени 5). Несмотря на то, что в разных множествах элементы различны, но количество их всюду одинаково. Поэтому можно условно считать, что каждый один первый элемент превращается в n-1 элементов, а так как всего первых элементов n, то всего получается n(n-1) элементов. Далее можем поступить т.о. Мы можем обратиться к множеству В=А-1 как первичному множеству, и по отношению к нему осуществить те же самые операции. И далее, повторяя те же самые операции, дойдем до множества, которое окажется равно единице. После того, как весь этот цикл операций пройден, мы можем "срастить", "сшить" все произведенные операции, и в результате получим формулу эн-факториала.

    Теперь  можем перейти к практике записи всех перестановок на  примере. Пусть дано множество упорядоченных объектов 1234. Помним, что подобного рода множество представляет собой единство двух идеальных вещей - объектов и пространства, представленное в чувственной сфере в виде чувственно воспринимаемых объектов. В данном случае мы имеем дело с одной из возможных перестановок. Действительно, если мы имеем множество объектов, то в данном случае это такого рода объекты, которые нами различаются по единственному их признаку - по тому, что это - разные  объекты. Иначе мы могли бы также  отнестись к ним как к копиям одного и того же объекта. Хотя, с другой стороны, это могут быть какие угодно объекты, все признаки которых выносятся за скобки, кроме одного - того, что это - объекты, то есть вещи, отдельности, отдельные, отграниченные от остального существования. В связи с этим для того, чтобы оперировать с объектами, мы должны предположить, что они существуют в пространстве и что мы можем перемещать их из одних областей пространства в другие.
    На этом и порешим.
    Допустим, что мы собрали это множество объектов в какой-то ограниченной области пространства, и в качестве цели, которую ставим перед собой, мы ставим цель различения объектов друг от друга, для чего  придаем объектам числовые имена. Числовые имена отличаются от обычных имен тем, что, помимо собственного имени как признака объекта, которое как бы навешивается на объект в виде бирки, тем самым превращаясь в его неотъемлемый признак, помимо этого числовыми именами определяются так же места объектов, формируя их линейную последовательность т.о., что каждый элемент этой последовательности, с одной стороны, является точно таким же элементом, как и всякий другой, а, с другой стороны и в то же самое время, эти элементы по отношению друг к другу обладают различным весом, поскольку, являясь обычной единицей в ряду других точно таких же единиц, тем не менее, в зависимости от места, которое объект занимает в этом ряду, он имеет различный вес, поскольку, в зависимости от занимаемого им места он, оказывается, обладает совершенно иным весом сравнительно с другими элементами ряда, поскольку неожиданным образом оказывается, что он - не простая единица, но содержит в себе, помимо этого, силу суммы всех предшествующих ему единиц, так что табель о чиновничьих рангах в этом отношении являет собой пример подобного рода, а ваше превосходительство и ваше высокопревосходительство при том, что обозначают по своей природе одинаковые элементы - людей, тем не менее, людей, обладающих разным весом, так что получается, что быть превосходительством и быть высокопревосходительством - это значит быть в качественном отношении различными вещами. Впрочем, эта вторая сторона вопроса нами в настоящем изложении во внимание не принимается, а имеется ввиду   только упорядоченность элементов относительно друг друга, и даже настолько, что нам совершенно безразлично, какое место в ряду достаётся  тому или иному элементу. Словом, по отношению к элементам мы совершаем, в некотором смысле,  подлость: мы случайным образом дали числовые имена нашим объектам, навесили на них бирки, придав тем самым им отличительные, но, как оказалось, также и в существенные признаки, посредством которых оказались способны различать элементы друг от друга не только в количественном, но также и в качественном отношении.
    А далее можем иметь дело с бирками, то есть с именами объектов, не обращая внимания на элементы, а так как элементы оказались жестко привязаны к своим именам, то судьба их имен оказалась, т.о., также и их собственной судьбой.
    Так и получилось, что радость или уныние элементов по поводу присвоенного им имени оказалась преждевременной, поскольку числовое имя оказалось всего лишь именем, а не местом. И, тем не менее, мы начали с первичной, случайной перестановки в виде объектов с именами 1,2,3,4, и далее, припоминая всю ту философию, которая была высказана выше на уровне метода свободных ассоциаций в первой  "поисковой" части нашего рассказа, потому что что такое философия как не поиск, мы поступаем с.о. Нам известна формула числа перестановок N=n! и начинаем с первого места из четырёх мест. Т.о., на первом месте может быть любой из элементов. И так как любая возможность  может превратиться в действительность, мы со всей присущей нам наглостью превращаем все эти возможности в действительность и записываем в столбик 1,2,3,4:
    1    (2,3,4
    2    (1,3,4)
    3    (1,2,4)
    4    (1,2,3)
   Так как мы имеем дело с компьютером, то для дальнейших действий подобного рода форма записи не может вызвать у нас проблем. Однако если мы имеем дело с листом бумаги, то  должны оставить место между строками для последующего его заполнения. .
    В строке каждого из элементов мы должны зафиксировать множество элементов, которое осталось после того, как мы заново и теперь навечно определили место элементам, и вслед за этим  запишем соответствующие столбцы из этих элементов.
    1    2
          3
          4
    2    1
          3
          4
 
    3    1
          2
          4
  
    4    1
          2
          3
  Итак, нами определено множество становящихся множеств, которые по мере становления производят всё новые множества. Нами получены множества, в которых определены два места, и теперь следует относительно каждого из множеств определить элементы, которые должны будут занять следующие места. 
    12     (3,4)
    13    (2,4)
    14    (2,3)

   21    (3,4)
   23    (1,4)
   24    (1,3)
 
     31    (2,4)
     32    (1,4)
     34    (1,2)
  
    41    (2,3)
    42    (1,3)
    43    (1,2

    Далее, чтобы "не морочить голову ни себе, ни людям",  сведем весь процесс порождения перестановок из четырёх элементов в таблицую

 
    1    (2,3,4
    2    (1,3,4)
    3    (1,2,4)
    4    (1,2,3)
   
  12     (3,4)
  13    (2,4)
  14    (2,3)

  21    (3,4)
  23    (1,4)
  24    (1,3)
 
  31    (2,4)
  32    (1,4)
  34    (1,2)
  
  41    (2,3)
  42    (1,3)
  43    (1,2
  123    (3,4)
  124
  132    (2,4)
  134
  142    (2,3)
  143

  213    (3,4)
  214
  231    (1,4)
  234
  241    (1,3)
  243
 
  312    (2,4)
  314
  321   (1,4)
  324
  341    (1,2)
  342
  
  412    (2,3)
  413
  421    (1,3);
  423
  431    (1,2)
  432
  123    (4)
  124    (3)
  132    (4)
  134    (2)
  142    (3)
  143    (2)

  213    (4)
  214    (3)
  231    (4)
  234    (1)
  241    (3)
  243    (1)
 
  312    (4)
  314    (2)
  321    (4)
  324    (1)
  341    (2)
  342    (1)
  
  412    (3)
  413    (2)
  421    (3);
  423    (1)
  431    (2)
  432    (1)
  1234    (4)
  1243    (3)
  1324    (4)
  1342    (2)
  1423    (3)
  1432    (2)

  2134    (4)
  2143    (3)
  2314    (4)
  2341    (1)
  2413    (3)
  2431    (1)
 
  3124    (4)
  3142    (2)
  3214    (4)
  3241    (1)
  3412    (2)
  3421    (1)
  
  4123    (3)
  4132    (2)
  4213    (3);
  4231    (1)
  4312    (2)
  4321    (1)

   Теперь, после осуществления нами построения множества n-перестановок перейдем к следующему образу. Отождествим наши объекты с точками и применим к ним операцию соответствия. Тогда получаем: на первом шаге мы имеем n поименованных точек. На втором шаге каждой точке ставим в соответствие n-1 точек, таких, что в них входят все n точки, за исключением той, в соответствие с которой они ставятся. Получившееся число точек можем пересчитать или, что то же самое, сложить, поскольку счет представляет собой сложение предшествующей суммы, полученной в результате счета, с единицей. Или же можем поступить иначе: так как структура каждого из устанавливаемых нами соответствий одна и так же, то, несмотря на качественные отличия (в именах), в количественном отношении все структуры одинаковы, и мы можем просто осуществить умножение n на n-1, получив, т.о., выражение n(n-1). Так как на следующем шаге мы можем вполне отрешиться от начальных  точек и принять для каждого из полученных соответствий в качестве первоначальных n-1 точек, то, осуществив операции соответствия, аналогичные  тем, которые были применены относительно  n, получим (n-1)(n-2). Теперь, так как из n(n-1) и (n-1)(n-2) следует n(n-1)(n-2), мы можем "склеить" результаты двух сделанных нами шагов и исходить далее из объекта n(n-1)(n-2). Затем повторяем операции к n-2 и т.д. вплоть до получения двух различных точек, каждой из которых ставится в соответствие последняя различающаяся от них точка. И в результате получаем формулу n(n-1)(n-2)...2*1=n!, получив тем самым реализацию процесса в актуальный результат, который существует параллельно во всех своих частях и который вполне оставил за собой процесс, который породил его.  

   Теперь  зададимся большим вопросом относительно связи между перестановками из n элементов и перестановками из n+1 элементов. Какова технология перехода от перестановок множества элементов n к множеству элементов n+1. Выдвинем принцип перехода, который определим как "каждый с каждым". Пусть имеем упорядоченное множество  элементов 12. Перестановка даёт 21. Итак, для двух объектов имеем две перестановки. Вводим дополнительно объект 3. Очевидно, что это означает, что в качестве исходной перестановки мы имеем три возможности, то есть 3 может находиться перед, в середине и после перестановок объектов  12 и 21. 12: 312, 132, 123, а так как перестановка 12 двух объектов дополняется перестановкой 21, то получаем также 321, 231, 213, чем исчерпывается множество возможных перестановок из трёх объектов. Однако очевидно, что это несколько иной способ, чем "каждый с каждым".
    Правило "каждый  с каждым" означает существование бинарных пар 12, 23, 13 и, соответственно, порождаемую каждой парой перестановку 12,21; 23,32; 13,31, и каждой из пар этих установок соответствует недостающий им  третий элемент. Мы не знаем, где этот третий недостающий в них элемент должен находиться. Поэтому, отрешаясь от плюшкинской скаредности, говорим: А пусть он будет везде. И в результате получаем такую таблицу:

312  321

132  231

123  213

123  132

213  312

231  321 

213  231

123  321

132  312

и не без удивления обнаруживаем, что перестановки двух элементов порождают перестановки из трёх элементов, если этот третий элемент поставить перед, между и в конце перестановок от двух элементов, поскольку в трёх ячейках таблицы мы получили одинаковые наборы перестановок.
    Обобщив эту особенность на переход  от n  перестановок к n+1 перестановкам, получаем следующее правило перехода: если дано множество n-перестановок,  то для перехода к n+1 перестановкам достаточно   каждую n-перестановку (из множества n-перестановок) преобразовать в подмножество множества n+1 перестановок путем последовательного присоединения к (путем последовательного размножения)   каждой n-перестановке дополнительного объекта, который ставится в начало, затем между каждыми двумя  соседними элементами n-перестановки и, наконец, в конец её. Т.о. оказывается, что каждая перестановка из множества n перестановок  порождает n+1 членов n+1 перестановки. Так, перестановка 12 порождает три перестановки  312, 132, 123, а так как перестановке  12 соответствует противоположная ей перестановка 21, то получаем недостающие  три члена n+1-перестановки.
   Кстати, чтобы быть уж совсем корректными,  мы должны начать с одного объекта, к которому добавляется еще один объект. Т.о., если имеем объект с именем 1, и к нему добавляется объект 2, то сначала имеем 21, затем 12, и далее, применяя один и тот же приём, мы можем автоматически придти к какому угодно множеству n-перестановок.
 
   Предоставим иллюстрацию правила формирования подстановок:

1 1 21, 12 321, 231, 213, 312, 132, 123
2     4321, 4231, 4213, 4312, 4132, 4123
3     3421  2431  2413  3412  1432  1423
4     3241  2341  2143  3142  1342  1243
5     3214  2314  2134  3124  1324  1234
6     54321,  54231, 54213, 54312, 54132, 54123
7     45321, 45231, 45213, 45312, 45132, 45123
8     43521, 42531, 42513, 43512, 41532, 41523
9     43251, 42351, 42153, 43152, 41352, 41253
10     43215, 42315, 42135, 43125, 41325, 41235

    В строке 1 в качестве исходного  берется объект 1  К нему добавляется объект два и получаем перестановки 12, 21, затем добавляется объект три и получаем перестановки из трех элементов.  В строках 2-5 содержатся перестановки  n=4. Строками 6-10 представлено  преобразование строки 2 в перестановки пяти объектов Понятно, что переход от строк 3-5 к n=5 осуществляются аналогично.
    Возвратимся к формуле числа перестановок n! При нахождении числа перестановок n объектов мы начинали процесс с множества точек n, постепенно переходя к исходной точке. Тогда как при попытке определения того, каким образом можно осуществить переход от множества n-перестановок к множеству n+1 перестановок, мы задавали противоположное направление процесса  n!=1*2*...*(n-2)(n-1)n. Как же мы при этом поступали? Мы исходили из собственно определения множества перестановок как такого множества, которым исчерпывается линейный порядок расположения элементов. И поэтому, когда нам был задан элемент 1, и был добавлен элемент 2, то в результате мы получили множество из двух объектов 12 и 21, исчерпывающее "множество линейных миров", которое может быть образовано двумя объектами. А далее нам оставалось всего лишь фиксировать технологию образования элементов этого множества, а именно, по отношению к существующему n-объекту ставить новый присоединяемый к нему объект во все возможные к нему  отношения, которые и исчерпываются правилом его подстановки в существующий n-объект,  тем самым запуская процесс размножения исходного существующего объекта n в множество объектов n+1 в соответствии с правилом "перед, между любыми смежными, в конце" элементов n-объекта.

    22.10.13 г.


 Ваша оценка:

Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души" М.Николаев "Вторжение на Землю"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"