|
|
||
Je
réunis ici diverses études qui se rapportent plus ou moins
directement à des questions de méthodologie scientifique. La
méthode scientifique consiste à observer et à
expérimenter ; si le savant disposait d'un temps infini, il n'y
aurait qu'à lui dire : " Regardez et regardez
bien " ; mais, comme il n'a pas le temps de tout regarder et
surtout de tout bien regarder, et qu'il vaut mieux ne pas regarder que de mal
regarder, il est nécessaire qu'il fasse un choix. La première
question est donc de savoir comment il doit faire ce choix. Cette question se
pose au physicien comme à l'historien ; elle se pose
également au mathématicien, et les principes qui doivent les
guider les uns et les autres ne sont pas sans analogie. Le savant s'y
conforme instinctivement, et on peut, en réfléchissant sur ces
principes, présager ce que peut être l'avenir des
mathématiques. |
В настоящей работе я собрал различные этюды, более или менее непосредственно относящиеся к вопросам научной методологии. Научный метод заключается в наблюдении и в экспериментировании. Если бы ученый располагал бесконечным запасом времени, то оставалось бы только сказать ему: "Смотри и смотри хорошо!" Но так как время не позволяет обозреть все, а в особенности все обозреть хорошо,- с другой же стороны, лучше вовсе не смотреть, чем смотреть плохо,- то ученый вынужден делать выбор. Первый вопрос заключается, следовательно, в том, как он должен производить свой выбор. Этот вопрос равно возникает перед физиком, как и перед историком; с ним приходится считаться и математику, и принципы, которыми должны руководствоваться вы и другие ученые, не лишены аналогии. Ученый обыкновенно следует здесь инстинкту; но, вдумываясь в эти принципы, можно предвидеть, каково должно быть будущее математики. |
On s'en
rendra mieux compte encore si l'on observe le savant à l'œuvre et
tout d'abord il faut connaître le mécanisme psychologique de
l'invention et, en particulier, celle de l'invention mathématique.
L'observation des procédés de travail du mathématicien
est particulièrement instructive pour le psychologue. |
Мы еще лучше отдадим себе в этом отчет, если будем наблюдать ученого в его творческой деятельности; прежде всего необходимо знать психологический механизм творчества и, в частности, математического творчества. Наблюдения над процессом работы математика особенно поучительны для психолога. |
Dans toutes
les sciences d'observation, il faut compter avec les erreurs dues aux
imperfections de nos sens et de nos instruments. Heureusement, on peut
admettre que, dans certaines conditions, ces erreurs se compensent en partie,
de façon à disparaître dans les moyennes ; cette
compensation est due au hasard. Mais qu'est-ce que le hasard? Cette notion
est difficile à justifier et même à définir ;
et pourtant ce que je viens de dire, au sujet des erreurs d'observation,
montre que le savant ne peut s'en passer. Il est donc nécessaire de
donner une définition aussi précise que possible de cette
notion si indispensable et si insaisissable. |
Во всех опытных науках необходимо считаться с ошибками, обусловливаемыми несовершенством наших чувств и наших инструментов. К счастью, можно допустить, что при некоторых условиях эти ошибки часто компенсируются, так что в средних результатах они вовсе исчезают; эта компенсация обусловливается случайностью. Но что такое случайность? Это понятие не только трудно установить точно, его вообще трудно определить; и при всем том то, что я сейчас сказал относительно ошибок наблюдения, показывает, что ученый не может обойтись без этого понятия. Нужно, следовательно, дать по возможности точное определение этого понятия, столь же необходимого, как и неуловимого. |
Ce sont
là des généralités qui s'appliquent en somme
à toutes les sciences ; et par exemple le mécanisme de
l'invention mathématique ne diffère pas sensiblement du
mécanisme de l'invention en général. J'aborde ensuite
des questions qui se rapportent plus particulièrement à
certaines sciences spéciales et d'abord aux mathématiques
pures. |
Все это суть общие соображения, которые в целом применяются во всех науках; механизм математического творчества, например, не отличается существенно от механизма какого бы то ни было иного творчества. Я обращаюсь затем к вопросам, которые носят более частный характер и находят себе применение в некоторых специальных науках и прежде всего в чистой математике. |
Je suis
obligé, dans les chapitres qui leur sont consacrés, de traiter
des sujets un peu plus abstraits. Je dois d'abord parler de la notion
d'espace ; tout le monde sait que l'espace est relatif, ou plutôt
tout le monde le dit, mais que de personnes pensent encore comme si elles le
croyaient absolu ; il suffit cependant de réfléchir un peu
pour apercevoir à quelles contradictions elles sont exposées. |
В главах, посвященных чистой математике, мне приходится говорить о предмете очень абстрактном. Мне приходится прежде всего говорить о пространстве. Все знают, что пространство относительно, вернее, все это говорят; а между тем множество людей фактически в своем мышлении принимают его за нечто абсолютное. Достаточно немного поразмыслить, чтобы сообразить, к каким противоречиям эти люди должны приходить. |
Les
questions d'enseignement ont leur importance, d'abord par elles-mêmes,
ensuite parce que, réfléchir sur la meilleure manière de
faire pénétrer les notions nouvelles dans les cerveaux vierges,
c'est en même temps réfléchir sur la façon dont
ces notions ont été acquises par nos ancêtres, et par
conséquent sur leur véritable origine, c'est-à-dire au
fond sur leur véritable nature. Pourquoi les enfants ne comprennent-ils
rien le plus souvent aux définitions qui satisfont les savants ?
Pourquoi faut-il leur en donner d'autres ? C'est la question que je me
pose dans le chapitre suivant et dont la solution pourrait, je crois,
suggérer d'utiles réflexions aux philosophes qui s'occupent de
la logique des sciences. |
Вопросы преподавания важны прежде всего сами по себе, а затем и по другим причинам: размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить новые понятия в девственный ум ребенка,- значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе. Почему дети обыкновенно ничего не понимают в тех определениях, которые удовлетворяют ученого? Почему им необходимо давать другие определения? Именно этот вопрос я ставлю себе в следующей главе; решение его мог до бы, на мой взгляд, навести на весьма плодотворные размышления философов, которые занимаются логикой науки. |
D'autre
part, bien des géomètres croient qu'on peut réduire les
mathématiques aux règles de la logique formelle. Des efforts
inouïs ont été tentés dans ce sens ; pour y
parvenir, on n'a pas craint, par exemple, de renverser l'ordre historique de
la genèse de nos conceptions et on a cherché à expliquer
le fini par l'infini. Je crois être parvenu, pour tous ceux qui
aborderont le problème sans parti pris, à montrer qu'il y a
[là] une illusion décevante. J'espère que le lecteur
comprendra l'importance de la question et me pardonnera l'aridité des
pages que j'ai dû y consacrer. |
С другой стороны, многие геометры полагают, что математику можно свести к правилам формальной логики. В этом направлении были сделаны неимоверные усилия; чтобы достигнуть этой цели, не останавливались, например, даже перед тем, чтобы опрокинуть весь порядок исторического развития наших представлений, чтобы определить конечное через бесконечное. Я полагаю, что мне удалось показать всякому непредубежденному читателю, что это лишь обманчивая иллюзия. Я надеюсь, что читатель поймет всю важность вопроса и не поставит мне в вину той страстности, с которой написаны относящиеся к этому страницы. |
Les derniers
chapitres relatifs à la mécanique et à l'astronomie
seront d'une lecture plus facile. |
Последние главы, относящиеся к астрономии и механике, легче по содержанию. |
La
mécanique semble sur le point de subir une révolution
complète. Les notions qui paraissaient le mieux établies sont
battues en brèche par de hardis novateurs. Certainement il serait
prématuré de leur donner raison dès aujourd'hui,
uniquement parce que ce sont des novateurs. Mais il y a intérêt
à faire connaître leurs doctrines, et c'est ce que j'ai
cherché à faire. J'ai suivi le plus possible l'ordre
historique ; car les nouvelles idées sembleraient trop
étonnantes si on ne voyait comment elles ont pu prendre naissance. |
Механика переживает, по-видимому, момент полного переворота. Понятия, которые казались установленными наиболее прочно, были разбиты дерзкими новаторами. Конечно, было бы поспешно признать их уже правыми только потому, что они являются новаторами. Но интересно познакомить читателей с их учением, что я и пытался сделать. По возможности, я держался исторической последовательности: новые идеи показались бы слишком странными, если не видеть, откуда они зародились. |
L'astronomie
nous offre des spectacles grandioses et soulève de gigantesques
problèmes. On ne peut songer à leur appliquer directement la
méthode expérimentale ; nos laboratoires sont trop petits.
Mais l'analogie avec les phénomènes que ces laboratoires nous
permettent d'atteindre peut néanmoins guider l'astronome. La Voie
Lactée, par exemple, est un ensemble de Soleils dont les mouvements
semblent d'abord capricieux. Mais cet ensemble ne peut-il être
comparé à celui des molécules d'un gaz dont la
théorie cinétique des gaz nous a fait connaître les
propriétés ? C'est ainsi que, par une voie
détournée, la méthode du physicien peut venir en aide à
l'astronome. |
Астрономия развертывает перед нами гигантские картины и подымает грандиозные вопросы. Нечего и думать о том, чтобы подвергнуть их непосредственно экспериментальному изучению; наши лаборатории слишком малы для этого. Но аналогии с явлениями, доступными экспериментальному исследованию, могут тем не менее служить для астронома путеводной нитью. Так, например, Млечный путь представляет собой скопление солнц, движение которых представляется на первый взгляд совершенно капризным. Но нельзя ли сравнить это огромное скопление с молекулами газа, свойства которых развивает кинетическая теория газов? Таким образом, методы физиков могут косвенным путем прийти на помощь астроному. |
Enfin, j'ai
voulu faire en quelques lignes l'histoire du développement de la
géodésie française ; |
Наконец, я хотел в немногих чертах набросать историю развития французской геодезии. |
j'ai
montré au prix de quels efforts persévérants, et souvent
de quels dangers, les géodésiens nous ont procuré les
quelques notions que nous possédons sur la figure de la Terre. Est-ce
bien là une question de méthode ? Oui, sans doute, cette
histoire nous enseigne en effet de quelles précautions il faut
entourer une opération scientifique sérieuse et ce qu'il faut
de temps et de peines pour conquérir une décimale nouvelle. |
Я показал, ценою каких настойчивых усилий, ценою каких опасностей геодезисты снабдили нас теми немногими сведениями, которыми мы владеем относительно формы Земли. Есть ли это вопрос метода? Да, без сомнения, ибо эта история учит нас, какими предосторожностями должно быть обставлено серьезное научное предприятие, сколько необходимо времени и труда, чтобы установить лишний десятичный знак |
Tolstoï
explique quelque part pourquoi " la Science pour la
Science " est à ses yeux une conception absurde. Nous ne
pouvons connaître tous les faits, puisque leur nombre est
pratiquement infini. Il faut choisir ; dès lors, pouvons-nous
régler ce choix sur le simple caprice de notre curiosité ;
ne vaut-il pas mieux nous laisser guider par l'utilité, par nos
besoins pratiques et surtout moraux ; n'avons-nous pas mieux à
faire que de compter le nombre des coccinelles qui existent sur notre
planète ? |
Граф Толстой где-то объясняет, почему "наука для науки" в его глазах представляется идеей, лишенной смысла. Мы не можем знать всех фактов, ибо число их в действительности безгранично. Необходимо, следовательно, делать между ними выбор. Можем ли мы руководствоваться при производстве этого выбора исключительно капризами нашего любопытства? Не лучше ли руководствоваться полезностью, нашими нуждами, практическими и в особенности моральными? Разве нет у нас лучшего дела, чем считать божьих коровок, живущих на нашей планете? |
Il est clair
que le mot utilité n'a pas pour lui le sens que lui attribuent les
hommes d'affaires, et derrière eux la plupart de nos contemporains. Il
se soucie peu des applications de l'industrie, des merveilles de
l'électricité ou de l'automobilisme qu'il regarde plutôt
comme des obstacles au progrès moral ; l'utile, c'est uniquement
ce qui peut rendre l'homme meilleur. |
Ясно, что для него слово "польза" не имеет того значения, какое ему обычно приписывают деловые люди, а за ними и большая часть наших современников. Он мало озабочен применением науки к промышленности, чудесами электричества или автомобильного спорта, на которые он смотрит скорее как на препятствие к моральному прогрессу; полезным является исключительно то, что делаег человека лучшим. |
Pour moi,
ai-je besoin de le dire, je ne saurais me contenter ni de l'un, ni de l'autre
idéal ; je ne voudrais ni de cette ploutocratie avide et
bornée, ni de cette démocratie vertueuse et médiocre,
uniquement occupée à tendre la joue gauche, et où
vivraient des sages sans curiosité qui, évitant les
excès, ne mourraient pas de maladie, mais à coup sûr
mourraient d'ennui. Mais cela, c'est une affaire de goût et ce n'est
pas ce point que je veux discuter. |
Что касается меня, то нужно ли мне говорить, что я не мог бы удовлетвориться ни тем, ни другим идеалом? Я не желал бы ни этой плутократии, жадной и ограниченной, ни этой демократии, добродетельной и посредственной, всегда готовой подставить левую щеку; демократии, среди которой жили бы мудрецы, лишенные любознательности, люди, которые, избегая всякого излишества, не умирали бы от болезни, но наверняка погибали бы от скуки. Впрочем, все это дело вкуса, и не об этом, собственно, я хотел говорить. |
La question
n'en subsiste pas moins, et elle doit retenir notre attention ; si notre
choix ne peut être déterminé que par le caprice ou par
l'utilité immédiate, il ne peut y avoir de science pour la
science, ni par conséquent de science. Cela est-il vrai ? Qu'il
faille faire un choix, cela n'est pas contestable ; quelle que soit
notre activité, les faits vont plus vite que nous, et nous ne saurions
les rattraper ; pendant que le savant découvre un fait, il s'en
produit des milliards de milliards dans un millimètre cube de son
corps. Vouloir faire tenir la nature dans la science, ce serait vouloir faire
entrer le tout dans la partie. |
Вопрос, поставленный выше, тем не менее остается в силе, и на нем мы и должны сосредоточить свое внимание. Если наш выбор может определяться только капризом или непосредственной пользой, то не может существовать наука для науки, но не может, вследствие этого, существовать и наука вообще. Так ли это? Что выбор сделать необходимо, этого нельзя оспаривать; какова бы ни была наша деятельность, факты идут быстрее нас, и мы не можем за ними угнаться; в то время как ученый открывает один факт, в каждом кубическом миллиметре его тела их происходит миллиарды миллиардов, Желать, чтобы наука охватывала природу, значило бы заставить целое войти в состав своей части. |
Mais les
savants croient qu'il y a une hiérarchie des faits et qu'on peut faire
entre eux un choix judicieux ; ils ont raison, puisque sans cela il n'y
aurait pas de science et que la science existe. Il suffit d'ouvrir les yeux
pour voir que les conquêtes de l'industrie qui ont enrichi tant
d'hommes pratiques n'auraient jamais vu le jour si ces hommes pratiques
avaient seuls existé, et s'ils n'avaient été
devancés par des fous désintéressés qui sont
morts pauvres, qui ne pensaient jamais à l'utile, et qui pourtant
avaient un autre guide que leur caprice. |
Но ученые все-таки полагают, что есть известная иерархия фактов и что между ними может быть сделан разумный выбор; и они правы, ибо иначе не было бы науки, а наука все-таки существует. Достаточно только открыть глаза, чтобы убедиться, что завоевания промышленности, обогатившие стольких практических людей, никогда не увидели бы света, если бы существовали только люди практики, если бы последних не опережали безумные бессеребреники, умирающие нищими, никогда не думающие о своей пользе и руководимые все же не своим капризом, а чем-то другим. |
C'est que,
comme l'a dit Mach, ces fous ont économisé à leurs
successeurs la peine de penser. Ceux qui auraient travaillé uniquement
en vue d'une application immédiate n'auraient rien laissé derrière
eux et, en face d'un besoin nouveau, tout aurait été à
recommencer. Or, la plupart des hommes n'aiment pas à penser et c'est
peut-être un bien, puisque l'instinct les guide, et le plus souvent
mieux que la raison ne guiderait une pure intelligence, toutes les fois du
moins qu'ils poursuivent un but immédiat et toujours le
même ; mais l'instinct c'est la routine, et si la pensée ne
le fécondait pas, il ne progresserait pas plus chez l'homme que chez
l'abeille ou la fourmi. Il faut donc penser pour ceux qui n'aiment pas
à penser et, comme ils sont nombreux, il faut que chacune de nos
pensées soit aussi souvent utile que possible, et c'est pourquoi une
loi sera d'autant plus précieuse qu'elle sera plus
générale. |
Эти именно безумцы, как выразился Мах, сэкономили своим последователям труд мысли. Те, которые работали бы исключительно в целях непосредственного приложения, не оставили бы ничего за собой; стоя перед новой нуждой, нужно было бы заново все начинать сначала. Но большая часть людей не любит думать, и, может быть, это и к лучшему, ибо ими руководит инстинкт, и руководит он ими обыкновенно лучше, чем интеллектуальные соображения, по крайней мере во всех тех случаях, когда люди имеют в виду одну и ту же непосредственную цель. Но инстинкт - это рутина, и если бы его не оплодотворяла мысль, то он и в человеке не прогрессировал бы больше, чем в пчеле или в муравье. Необходимо, следовательно, чтобы кто-нибудь думал за тех, кто не любит думать; а так как последних чрезвычайно много, то необходимо, чтобы каждая из наших мыслей приносила пользу столь часто, сколь это возможно, и именно поэтому всякий закон будет тем более ценным, чем более он будет общим. |
Cela nous
montre comment doit se faire notre choix ; les faits les plus
intéressants sont ceux qui peuvent servir plusieurs fois ; ce
sont ceux qui ont chance de se renouveler. Nous avons eu le bonheur de
naître dans un monde où il y en a. Supposons qu'au lieu de 60
éléments chimiques, nous en ayons 60 milliards, qu'ils ne soient
pas les uns communs et les autres rares, mais qu'ils soient répartis
uniformément. Alors, toutes les fois que nous ramasserions un nouveau
caillou, il y aurait une grande probabilité pour qu'il soit
formé de quelque substance inconnue ; tout ce que nous saurions
des autres cailloux ne vaudrait rien pour lui ; devant chaque objet
nouveau nous serions comme l'enfant qui vient de naître ; comme
lui nous ne pourrions qu'obéir à nos caprices ou à nos
besoins ; dans un pareil monde, il n'y aurait pas de science ;
peut-être la pensée et même la vie y seraient-elles
impossibles, puisque l'évolution n'aurait pu y développer les
instincts conservateurs. Grâce à Dieu, il n'en est pas
ainsi ; comme tous les bonheurs auxquels on est accoutumé,
celui-là n'est pas apprécié à sa valeur. Le
biologiste serait tout aussi embarrassé s'il n'y avait que des
individus et pas d'espèce et si l'hérédité ne
faisait pas les fils semblables aux pères. |
Это нам показывает, как мы должны производить выбор. Наиболее интересными являются те факты, которые могут служить свою службу многократно, которые могут повторяться. Мы имели счастье родиться в таком мире, где такие факты существуют. Представьте себе, что существовало бы не 60 химических элементов, а 60 миллиардов и что между ними не было бы обыкновенных и редких, а что все были бы распространены равномерно. В таком случае всякий раз, как нам случилось бы подобрать на земле булыжник, была бы большая вероятность, что он состоит из новых, нам неизвестных, элементов. Все то, что мы знали бы о других камнях, могло бы быть совершенно неприменимо к нему. Перед каждым новым предметом мы стояли бы, как новорожденный младенец; как и последний, мы могли бы подчиняться только нашим капризам и нашим нуждам. В таком мире не было бы науки; быть может, мысль и сама жизнь в нем были бы невозможны, ибо эволюция не могла бы развивать инстинктов сохранения рода. Слава богу, дело обстоит не так! Как всякое счастье, к которому мы приспособились, мы не оцениваем и этого во всем его значении. Биолог был бы совершенно подавлен, если бы существовали только индивидуумы и не было бы видов, если бы наследственность не воспроизводила детей, похожих на их отцов. |
Quels sont
donc les faits qui ont chance de se renouveler ? Ce sont d'abord les
faits simples. Il est clair que dans un fait complexe, mille circonstances
sont réunies par hasard, et qu'un hasard bien moins vraisemblable
encore pourrait seul les réunir de nouveau. Mais y a-t-il des faits
simples et, s'il y en a, comment les reconnaître ? Qui nous dit
que ce que nous croyons simple ne recouvre pas une effroyable
complexité ? Tout ce que nous pouvons dire, c'est que nous devons
préférer les faits qui paraissent simples à ceux
où notre œil grossier discerne des éléments
dissemblables. Et alors, de deux choses l'une, ou bien cette
simplicité est réelle, ou bien les éléments sont
assez intimement mélangés pour ne pouvoir être
distingués. Dans le premier cas, nous avons chance de rencontrer de
nouveau ce même fait simple, soit dans toute sa pureté, soit
entrant lui-même comme élément dans un ensemble complexe.
Dans le second cas, ce mélange intime a également plus de
chance de se reproduire qu'un assemblage
hétérogène : le hasard sait mélanger, il ne
sait pas démêler, et pour faire avec des éléments
multiples un édifice bien ordonné dans lequel on distingue
quelque chose, il faut le faire exprès. Il y a donc peu de chance pour
qu'un assemblage où on distingue quelque chose se reproduise jamais.
Il y en a beaucoup au contraire pour qu'un mélange qui semble
homogène au premier coup d'œil se renouvelle plusieurs fois. Les
faits qui paraissent simples, même s'ils ne le sont pas, seront donc
plus facilement ramenés par le hasard. |
Каковы же те факты, которые имеют шансы на возобновление? Таковыми являются, прежде всего, факты простые. Совершено ясно, что в сложном факте тысячи обстоятельств соединена случаем, и лишь случай, еще гораздо менее вероятный, мог бы их объединитъ снова в той же комбинация. Но существуют ли простые факты? А если таковые существуют, то как их распознать? Кто удостоверит нам, что факт, который мы считаем простым, не окажется ужасно сложным? На это мы можем только ответить, что мы должны предпочитать те факты, которые нам представляются простыми, всем тем, в которых наш грубый глаз различает несходные составные частя; и тогда одно из двух: либо эта простота действительная, либо же элементы так тесно между собою соединены, что мы не в состоянии их отличать один от другого. В первом случае мы имеем шансы встретить снова тот же самый простой факт либо непосредственио во всей его чистоте, либо как составную часть некоторого сложного комплекса. Во втором случае эта однородная смесь имеет больше шансов на новое воспроизведение, чем совершенно разнородный агрегат. Случай может образовать смесь, но он не может ее разделить, и чтобы из разнообразных элементов соорудить упорядоченное сооружение, в котором можно было бы нечто различать, нужно его строить сознательно. Поэтому есть очень мало шансов, чтобы атрегат, в котором мы нечто различаем, когда-либо повторился. Напротив, есть много шансов, чтобы смесь, представленная на первый взгляд однородной, возобновлялась многократно. Факты, которые представляются простыми, даже в том случае, когда они не являются таковыми в действительности, все же легче возобновляются случаем. |
C'est ce qui
justifie la méthode instinctivement adoptée par le savant, et
ce qui la justifie peut-être mieux encore, c'est que les faits
fréquents nous paraissent simples, précisément parce que
nous y sommes habitués. |
Вот что оправдывает метод, инстинктивно усвоенный ученым, н, быть может, еще больше его оправдывает то обстоятельство, что факты, которые мы чаще всего встречаем, представляются нам простыми именно потому, что мы к ним привыкли. |
Mais
où est le fait simple ? Les savants ont été le
chercher aux deux extrémités, dans l'infiniment grand et dans
l'infiniment petit L'Astronome l'a trouvé parce que les distances des
astres sont immenses, si grandes, que chacun d'eux n'apparaît plus que
comme un point ; si grandes que les différences qualitatives
s'effacent et parce qu'un point est plus simple qu'un corps qui a une forme
et des qualités. Et, le Physicien, au contraire, a cherché le
phénomène élémentaire en découpant
fictivement les corps en cubes infiniment petits, parce que les conditions du
problème, qui subissent des variations lentes et continues quand on
passe d'un point du corps à l'autre, pourront être
regardées comme constantes à l'intérieur de chacun de
ces petits cubes. De même le Biologiste a été
instinctivement porté à regarder la cellule comme plus
intéressante que l'animal entier, et l'événement lui a
donné raison, puisque les cellules, appartenant aux organismes les
plus divers, sont plus semblables entre elles, pour qui sait
reconnaître leurs ressemblances, que ne le sont ces organismes eux-mêmes.
Le Sociologiste est plus embarrassé ; les éléments,
qui pour lui sont les hommes, sont trop dissemblables, trop variables, trop
capricieux, trop complexes eux-mêmes en un mot ; aussi, l'histoire
ne recommence pas ; comment alors choisir le fait intéressant qui
est celui qui recommence ; la méthode, c'est
précisément le choix des faits, il faut donc se
préoccuper d'abord d'imaginer une méthode, et on en a
imaginé beaucoup, parce qu'aucune ne s'imposait ; chaque
thèse de sociologie propose une méthode nouvelle que d'ailleurs
le nouveau docteur se garde bien d'appliquer, de sorte que la sociologie est
la science qui possède le plus de méthodes et le moins de
résultats. |
Но где же они - эти простые факты? Ученые искали их в двух крайних областях: в области бесконечно большого и в области бесконечно малого. Их нашел астроном, ибо расстояния между светилами громадны, настолько громадны, что каждое из светил представляется только точкой; настолько громадны, что качественные различия сглаживаются, ибо точка проще, чем тело, которое имеет форму и качество. Напротив, физик искал элементарное явление, мысленно разделяя тело на бесконечно малые кубики, ибо условия задачи, которые испытывают медленные непрерывные изменения, когда мы переходим от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные в пределах каждого из этих кубиков. Точно так же и биолог инстинктивно пришел к тому, что он смотрит на клетку как на нечто более интересное, чем целое животное, и этот взгляд в дальнейшем действительно подтвердился, ибо клетки, принадлежащие к самым различным организмам, оказываются гораздо более схожими для того, кто умеет это сходство усматривать, чем самые эти организмы. Социолог находится в более затруднительном положении: люди, которые для него служат элементами, слишком различны между собой; слишком изменчивы, слишком капризны, словом, слишком сложны; и история не повторяется. Как же здесь выбрать интересный факт, т.е. тот, который возобновляется? Метод-это собственно, и есть выбор фактов; и прежде всего, следовательно, нужно озаботиться изобретением метода; и этих методов придумали много, ибо ни один из них не напрашивается сам собой. Каждая диссертация в социологии предлагает новый, метод, который, впрочем, каждый новый доктор опасается применять, так что социология есть наука, наиболее богатая методами и наиболее бедная результатами. |
C'est donc par les faits réguliers
qu'il convient de commencer ; mais dès que la règle est
bien établie, dès qu'elle est hors de doute, les faits qui y
sont pleinement conformes sont bientôt sans intérêt,
puisqu'ils ne nous apprennent plus rien de nouveau. C'est alors l'exception
qui devient importante. On cessera de rechercher les ressemblances pour
s'attacher avant tout aux différences, et parmi les différences
on choisira d'abord les plus accentuées, non seulement parce qu'elles
seront les plus frappantes, mais parce qu'elles seront les plus instructives.
Un exemple simple fera mieux comprendre ma pensée ; je suppose
qu'on veuille déterminer une courbe en observant quelques-uns de ses
points. Le praticien qui ne se préoccuperait que de l'utilité
immédiate observerait seulement les points dont il aurait besoin pour
quelque objet spécial ; ces points se répartiraient mal
sur la courbe ; ils seraient accumulés dans certaines
régions, rares dans d'autres, de sorte qu'il serait impossible de les
relier par un trait continu, et qu'ils seraient inutilisables pour d'autres
applications. Le savant procédera différemment ; comme il
veut étudier la courbe pour elle-même, il répartira
régulièrement les points à observer et dès qu'il
en connaîtra quelques-uns, il les joindra par un tracé
régulier et il possédera la courbe tout entière. Mais
pour cela comment va-t-il faire ? S'il a déterminé un
point extrême de la courbe, il ne va pas rester tout près de
cette
extrémité, mais il va courir d'abord à l'autre
bout ; après les deux extrémités le point le plus
instructif sera celui du milieu, et ainsi de suite. |
Итак, начинать нужно с фактов, систематически повторяющихся; но коль скоро правило установлено и установлено настолько прочно, что никакого сомнения не вызывает, то те факты, которые вполне с ним согласуются, не представляют уже для нас никакого интереса, так как они уже не учат ничему новому. Таким образом, интерес представляет лишь исключение. Мы вынуждены прекратить изучение сходства, чтобы сосредоточить свое внимание прежде всего на возможных здесь различиях,, а из числа, последних нужно выбрать прежде всего наиболее резкие, и притом не только потому, что они более всего бросаются в глаза, но и потому, что они более поучительны. Простои пример лучше пояснит мою мысль. Положим, что мы желаем определить кривую по нескольким наблюдаемым ее точкам. Практик, который был бы заинтересован только непосредственными приложениями, наблюдал бы исключительно такие точки, которые были бы ему нужны, для той или иной специальной цели; но такого рода точки, были бы плохо распределены на кривой; они были бы скоплены в одних областях, были бы разрежены в других, так что соединить их непрерывной линией было бы невозможно, нельзя было бы воспользоваться ими для каких-либо иных приложений. Совершенно иначе поступил бы ученый. Так как он желает изучить кривую саму по себе; то он правильно распределит точки, подлежащие наблюдению, и, как только он их будет знать, он соединит их непрерывной линией и тогда будет иметь в своем, распоряжении кривую целиком. Но что же он для этого сделает? Если он первоначально определил крайнюю точку кривой, то он не будет оставаться все время вблизи этой точки, а, напротив, он перейдет прежде всего к другой крайней точке. После двух конечных точек наиболее интересной будет середина между ними и т. д. |
Ainsi, quand une règle est établie, ce
que nous devons rechercher d'abord ce sont les cas où cette
règle a le plus de chances d'être en défaut. De
là, entre autres raisons, l'intérêt des faits
astronomiques, celui du passé géologique ; en allant
très loin dans l'espace, ou bien très loin dans le temps, nous
pouvons trouver nos règles habituelles entièrement bouleversées ;
et ces grands bouleversements nous aideront à mieux voir ou à
mieux comprendre les petits changements qui peuvent se produire plus
près de nous, dans le petit coin du monde où nous sommes
appelés à vivre et à agir. Nous connaîtrons mieux
ce coin pour avoir voyagé dans les pays lointains où nous
n'avions rien à faire. |
Итак, если установлено какое-нибудь- правило, то прежде всего мы должны исследовать те случаи, в которых это правило имеет больше всего шансов оказаться неверным. Этим, между прочим, объясняется интерес, который вызывают; факты астрономические, а также факты, которые относятся к прошлому геологических эпох. Уходя далеко в пространстве и во времени, мы можем ожидать, что наши обычные правила там совершенно рушатся. И именно это великое разрушение часто может помочь нам лучше усмотреть и лучше понять те небольшие изменения, которые могут происходить вблизи нас, в том небольшом уголке Вселенной, в котором мы призваны жить и действовать. Мы познаем лучше этот уголок, если побываем в отдаленных странах, в которых нам, собственно, нечего делать. |
Mais ce que nous devons viser, c'est moins de constater
les ressemblances et les différences, que de retrouver les similitudes
cachées sous les divergences apparentes. Les règles
particulières semblent d'abord discordantes, mais en y regardant de
plus près, nous voyons en général qu'elles se
ressemblent ; différentes par la matière, elles se
rapprochent par la forme, par l'ordre de leurs parties. Quand nous les
envisagerons de ce biais, nous les verrous s'élargir et tendre
à tout embrasser. Et voilà ce qui fait le prix de certains
faits qui viennent compléter un ensemble et montrer qu'il est l'image
fidèle d'autres ensembles connus. |
Однако мы должны сосредоточить свое внимание главным образом не столько на сходствах и различиях, сколько на тех аналогиях, которые часто скрываются в кажущихся различиях. Отдельные правила кажутся вначале совершенно расходящимися, но, присматриваясь к ним поближе, мы обыкновенно убеждаемся, что они имеют сходство. Различные по материалу, они имеют сходство в форме и в порядке частей. Таким образом, когда мы взглянем на них как бы со стороны, мы увидим, как они разрастаются на наших глазах, стремясь охватить все. Это именно и составляет ценность многих фактов, которые, заполняя собой одни комплексы, оказываются в то же время верными изображениями других известных нам комплексов. |
Je ne puis insister davantage, mais ces quelques mots
suffisent pour montrer que le savant ne choisit pas au hasard les faits qu'il
doit observer. Il ne compte pas des coccinelles, comme le dit Tolstoï,
parce que le nombre de ces animaux, si intéressants qu'ils soient, est
sujet à de capricieuses variations. Il cherche à condenser
beaucoup d'expérience et beaucoup de pensée sous un faible
volume, et c'est pourquoi un petit livre de physique contient tant d'expériences
passées et mille fois plus d'expériences possibles dont on sait
d'avance le résultat. |
Я не могу останавливаться на этом более, но, я полагаю, из сказанного достаточно ясно, что ученый не случайно выбирает факты, которые он должен наблюдать. Он не считает божьих коровок, как говорил граф Толстой, ибо число этих насекомых, как бы они ни были интересны, подвержено чрезвычайно капризным колебаниям. Он старается сконцентрировать много опытов, много мыслей в небольшом объеме, и поэтому-то небольшая книга по физике содержит так много опытов, уже произведенных, и в тысячу раз больше других возможных опытов, результаты которых мы знаем наперед. |
Mais nous n'avons encore envisagé qu'un des
côtés de la question. Le savant n'étudie pas la nature
parce que cela est utile ; il l'étudie parce qu'il y prend
plaisir et il y prend plaisir parce qu'elle est belle. Si la nature
n'était pas belle, elle ne vaudrait pas la peine d'être connue,
la vie ne vaudrait pas la peine d'être vécue. Je ne parle pas
ici, bien entendu, de cette beauté qui frappe les sens, de la
beauté des qualités et des apparences ; non que j'en fasse
fi, loin de là, mais elle n'a rien à faire avec la
science ; je veux parler de cette beauté plus intime qui vient de
l'ordre harmonieux des parties, et qu'une intelligence pure peut saisir.
C'est elle qui donne un corps, un squelette pour ainsi dire aux chatoyantes
apparences qui flattent nos sens, et sans ce support, la beauté de ces
rêves fugitifs ne serait qu'imparfaite parce qu'elle serait
indécise et toujours fuyante. Au contraire, la beauté
intellectuelle se suffit à elle-même et c'est pour elle, plus
peut-être que pour le bien futur de l'humanité, que le savant se
condamne à de longs et pénibles travaux. |
Но мы рассмотрели пока только одну сторону дела. Ученый изучает природу не потому, что это полезно; он исследует ее потому, что это доставляет ему наслаждение, а это дает ему наслаждение потому, что природа прекрасна. Если бы природа не была прекрасной, она не стоила бы того, чтобы быть познанной; жизнь не стоила бы того, чтобы быть прожитой. Я здесь говорю, конечно, не о той красоте, которая бросается в глаза, не о красоте качества и видимых свойств; и притом не потому, что я такой красоты не признаю, отнюдь нет, а потому, что она не имеет ничего общего с наукой. Я имею в виду ту более глубокую красоту, которая кроется в гармонии частей и которая постигается только чистым разумом. Это она создает почву, создает, так сказать, остов для игры видимых красот, ласкающих наши чувства, и без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы весьма несовершенной, как все неотчетливое и преходящее. Напротив, красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе, и, быть может, больше ради нее, чем ради будущего блага рода, человеческого, ученый обрекает себя на долгие и тяжкие труды. |
C'est donc la recherche de cette beauté
spéciale, le sens de l'harmonie du monde, qui nous fait choisir les
faits les plus propres à contribuer à cette harmonie, de
même que l'artiste choisit, parmi les traits de son modèle, ceux
qui complètent le portrait et lui donnent le caractère et la
vie. Et il n'y a pas à craindre que cette préoccupation
instinctive et inavouée détourne le savant de la recherche de
la vérité. On peut rêver un monde harmonieux, combien le
monde réel le laissera loin derrière lui ; les plus grands
artistes qui furent jamais, les Grecs, s'étaient construit un
ciel ; qu'il est mesquin auprès du vrai ciel, du nôtre. |
Так вот именно эта особая красота, чувство гармонии мира, руководит нами в выборе тех фактов, которые наиболее способны усиливать эту гармонию, подобно тому, как артист разыскивает в чертах своего героя наиболее важные, которые сообщают ему о его характере и жизни; и нечего опасаться, что это бессознательное, инстинктивно предвзятое отношение отвлечет ученого от поисков истины. Можно мечтать о мире, полном гармонии, но как далеко его все же оставит за собой действительный мир! Наиболее великие художники, которые когда-либо существовали, - греки - создавали свое небо; но как оно убого по сравнению с нашим действительным небом. |
Et c'est parce que la simplicité, parce que la
grandeur est belle, que nous rechercherons de préférence les
faits simples et les faits grandioses, que nous nous complairons tantôt
à suivre la course gigantesque des astres, tantôt à
scruter avec le microscope cette prodigieuse petitesse qui est aussi une
grandeur, tantôt à rechercher dans les temps géologiques
les traces d'un passé qui nous attire parce qu'il est lointain. |
И это потому, что прекрасна простота, прекрасна грандиозность; потому, что мы предпочтительнее ищем простые и грандиозные факты, потому, что нам доставляет наслаждение то уноситься в гигантскую область движения светил, то проникать при помощи микроскопов в таинственную область неизмеримо малого, которое все же представляет собой нечто величественное, то углубляться в геологические эпохи, изыскивая следы прошлого, которое именно потому нас и привлекает, что оно очень отдалено. |
Et l'on voit que le souci du beau nous conduit aux mêmes
choix que celui de l'utile. Et c'est ainsi également que cette
économie de pensée, cette économie d'effort, qui est
d'après Mach la tendance constante de la science, est une source de
beauté en même temps qu'un avantage pratique. Les
édifices que nous admirons sont ceux où l'architecte a su
proportionner les moyens au but, et où les colonnes semblent porter
sans effort et allègrement le poids qu'on leur a imposé, comme
les gracieuses cariatides de l'Erechtheion. |
Мы видим, таким образом, что поиски прекрасного приводят нас к тому же выбору, что и поиски полезного; и совершенно таким же образом экономия мысли и экономия труда, к которым, по мнению Маха, сводятся все стремления науки (1), являются источниками как красоты, так и практической пользы. Мы больше всего удивляемся тем зданиям, в которых архитектор сумел соразмерить средства с целью, в которых колонны как бы без усилия свободно несут возложенную на них тяжесть, как грациозные кариатиды Эрехтейона (2). |
D'où vient cette concordance ? Est-ce
simplement que les choses qui nous semblent belles sont celles qui s'adaptent
le mieux à notre intelligence, et que par suite elles sont en
même temps l'outil que cette intelligence sait le mieux manier ?
Ou bien y a-t-il là un jeu de l'évolution et de la
sélection naturelle ? Les peuples dont l'idéal
était le plus conforme à leur intérêt bien entendu
ont-ils exterminé les autres et pris leur place ? Les uns et les
autres poursuivaient leur idéal, sans se rendre compte des
conséquences, mais tandis que cette recherche menait les uns à
leur perte, aux autres elle donnait l'empire. On serait tenté de le
croire ; Si les Grecs ont triomphé des barbares et si l'Europe,
héritière de la pensée des Grecs, domine le monde, c'est
parce que les sauvages aimaient les couleurs criardes et les sons bruants du
tambour qui n'occupaient que leurs sens, taudis que les Grecs aimaient la
beauté intellectuelle qui se cache sous la beauté sensible et
que c'est celle-là qui fait l'intelligence sûre et forte. |
В чем же заключается причина этого совпадения? Обусловливается ли это просто тем, что именно те вещи, которые кажутся нам прекрасными, наиболее соответствуют нашему разуму и потому являются в то же самое время орудием, которым разум лучше всего, владеет? Или может быть, это игра эволюции или естественного отбора? Разве народы, идеалы, которых наиболее соответствовали их правильно понятым интересам, вытеснили другие народы и заняли их место? Как одни, так и другие преследовали свои идеалы, не отдавая себе отчета о последствиях; но в то время как эти поиски приводили одних к гибели, они давали другим владычество. Можно думать и так: если греки восторжествовали над варварами и если Европа, наследница греческой мысли, властвует над миром, то это потому, что дикие любили яркие цвета и шумные звуки барабана, которые занимали только их чувства, между тем как греки любили красоту интеллектуальную, которая скрывается за красотой чувственной, которая именно и делает разум уверенным и твердым. |
Sans doute un pareil triomphe ferait horreur à
Tolstoï et il ne voudrait pas reconnaître qu'il puisse être
vraiment utile. Mais cette recherche désintéressée du
vrai pour sa beauté propre est saine aussi et peut rendre l'homme
meilleur. Je sais bien qu'il y a des mécomptes, que le penseur n'y
puise pas toujours la sérénité qu'il devrait y trouver,
et même qu'il y a des savants qui ont un très mauvais
caractère. |
Несомненно, такого рода триумф вызвал бы ужас у Толстого, который ни за что не признал бы, что он может быть действительно полезным. Но это бескорыстное искание истины ради ее собственной красоты несет в себе здоровое семя и может сделать человека лучше. Я знаю, что здесь есть исключения, что мыслитель не всегда почерпнет в этих поисках чистоту души, которую он должен был бы найти, что есть ученые, имеющие весьма дурной характер. |
Doit-on dire pour cela qu'il faut abandonner la science
et n'étudier que la morale ? |
Но следует ли из этого, что нужно отказаться от науки и изучать только мораль? |
Eh quoi, pense-t-on que les moralistes eux-mêmes
sont irréprochables quand ils sont descendus de leur chaire ? |
И разве моралисты, когда они сходят со своей кафедры, остаются на недосягаемой высоте? |
Pour prévoir l'avenir des mathématiques,
la vraie méthode est d'étudier leur histoire et leur
état présent. |
Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук. |
N'est-ce pas là, pour nous autres
mathématiciens, un procédé en quelque sorte
professionnel ? Nous sommes accoutumés à extrapoler,
ce qui est un moyen de déduire l'avenir du passé et du
présent, et comme nous savons bien ce qu'il vaut, nous ne risquons pas
de nous faire illusion sur la portée des résultats qu'il nous
donne. |
Но разве такой прием исследования не является для нас, математиков, некоторым образом профессиональным? Ведь мы привыкли экстраполировать, т. е. выводить будущее из прошедшего и настоящего; а так как ценность этого приема нам хорошо известна, то мы и не рискуем впасть в заблуждение относительно надежности тех результатов, которые мы получим с его помошью. |
II y a eu autrefois des prophètes de malheur.
Ils répétaient volontiers que tous les problèmes
susceptibles d'être résolus l'avaient été
déjà, et qu'après eux il n'y aurait plus qu'à
glaner. Heureusement, l'exemple du passé nous rassure. Bien des fois
déjà on a cru avoir résolu tous les problèmes,
ou, tout au moins, avoir fait l'inventaire de ceux qui comportent une
solution. Et puis le sens du mot solution s'est élargi, les
problèmes insolubles sont devenus les plus intéressants de tous
et d'autres problèmes se sont posés auxquels en n'avait pas
songé. Pour les Grecs, une bonne solution était celle qui
n'emploie que la règle et le compas ; ensuite, cela a
été celle qu'on obtient par l'extraction de radicaux, puis
celle où ne figurent que des fonctions algébriques ou
logarithmiques. Les pessimistes se trouvaient ainsi toujours
débordés, toujours forcés de reculer, de sorte
qu'à présent je crois bien qu'il n'y en a plus. |
В свое время не было недостатка в прорицателях несчастья. Они охотно повторяли, что все проблемы, допускающие решение, уже были разрешены и что следующим поколениям придется довольствоваться кое-какими не замеченными ранее мелочами. К счастью, пример прошлого нас успокаивает. Уже не раз математики полагали, что все проблемы ими разрешены или, по крайней мере, что ими установлен перечень задач, которые допускают решение. Но вслед за тем смысл самого слова "решение" расширялся, проблемы, считавшиеся неразрешимыми, становились наиболее интересными; уму представлялись новые задачи, о которых раньше никто и не думал. Для греков хорошим решением было такое, которое выполняется только линейкой и циркулем; потом хорошим стали считать решение в том случае, если оно получается с помощью извлечения корней; наконец, ограничились требованием употреблять для решения исключительно алгебраические или логарифмические функции. Таким образом, предсказания пессимистов ни разу не сбылись, они вынуждены были делать уступку за уступкой, так что в настоящее время, я полагаю, их больше нет. |
Mon intention n'est donc pas de les combattre
puisqu'ils sont morts ; nous savons bien que les mathématiques
continueront à se développer, mais il s'agit de savoir dans
quel sens. On me répondra " dans tous les sens " et
cela est vrai en partie ; mais si cela était tout à fait
vrai, cela deviendrait un peu effrayant. Nos richesses ne tarderaient pas
à devenir encombrantes et leur accumulation produirait un fatras aussi
impénétrable que l'était pour l'ignorant la
vérité inconnue. |
Но если их уже нет, то я не собираюсь с ними сражаться. Мы все уверены, что развитие математики будет продолжаться; весь вопрос в том, в каком именно направлении. Мне могут ответить: "во всех направлениях", - и это будет отчасти справедливо; но если бы это было верно вполне, то это нас несколько устрашило бы. Быстро возрастая, наши богатства вскоре образовали бы нечто столь громоздкое, что мы оказались бы перед этой непостижим ой грудой не в лучшем положении, чем были раньше перед неизвестной нам истиной. |
L'historien, le physicien lui-même, doivent faire
un choix entre les faits ; le cerveau du savant, qui n'est qu'un coin de
l'univers, ne pourra jamais contenir l'univers tout entier ; de sorte
que, parmi les faits innombrables que la nature nous offre, il en est qu'on
laissera de côté et d'autres qu'en retiendra. Il en est de
même, a fortiori, en mathématiques ; le
mathématicien, lui non plus, ne peut conserver pèle-mêle
tous les faits qui se présentent à lui ; d'autant plus que
ces faits c'est lui, j'allais dire c'est son caprice, qui les crée.
C'est lui qui construit de toutes pièces une combinaison nouvelle en
en rapprochant les éléments ; ce n'est pas en
général la nature qui la lui apporte toute faite. |
Историку и даже физику приходится делать выбор между фактами; мозг ученого - этот маленький уголок вселенной - никогда не сумеет вместить в себя весь мир целиком; поэтому среди бесчисленных фактов, которыми нас засыпает природа, необходимо будут такие, которые мы оставим в стороне, и будут другие, которые мы сохраним. То же самое, a fortiori, имеет место и в математике: математик тоже не в состоянии воспринять все факты, которые в беспорядке представляются его уму, тем более, что здесь ведь он сам - я хочу сказать, его прихоть - создает эти факты. Ведь это он строит новую комбинацию из отдельных ее частей, сближая между собой их элементы; лишь в редких случаях природа приносит ему вполне готовые комбинации. |
Sans doute il arrive quelquefois que le
mathématicien aborde un problème pour satisfaire à un
besoin de la physique ; que le physicien ou l'ingénieur lui
demandent de calculer un nombre en vue d'une application. Dira-t-on que, nous
autres géomètres, nous devons nous borner à attendre les
commandes, et, au lieu de cultiver notre science pour notre plaisir, n'avoir
d'autre souci que de nous accommoder au goût de la
clientèle ? Si les mathématiques n'ont d'autre objet que
de venir en aide à ceux qui étudient la nature, c'est de ces
derniers que nous devons attendre le mot d'ordre. Cette façon de voir
est-elle légitime ? Certainement non ; si nous n'avions pas
cultivé les sciences exactes pour elles-mêmes, nous n'aurions
pas créé l'instrument mathématique, et le jour où
serait venu le mot d'ordre du physicien, nous aurions été
désarmés. |
Бывают, конечно, и такие случаи, когда математик берется за ту или иную проблему, желая удовлетворить тем или иным требованиям физики; случается, что физик или инженер предлагают математику вычислить какое-нибудь число, которое им нужно знать для того или иного применения. Следует ли отсюда, что все мы, математики, должны ограничиться выжиданием таких требований и, вместо того чтобы свободно культивировать удовольствия, не иметь другой заботы, как применяться ко вкусам нашей клиентуры? Не должны ли математики, имея единственной целью приходить на помощь испытателям природы, только от последних ждать распоряжений? Можно ли оправдать такой взгляд? Конечно, нет! Если бы мы не культивировали точных наук ради них самих, то мы не создали бы математического орудия исследования, и в тот день, когда от физика пришел бы требовательный приказ, мы оказались бы безоружными. |
Les physiciens non plus n'attendent pas, pour
étudier un phénomène, que quelque besoin urgent de la
vie matérielle leur en ait fait une nécessité, et ils
ont bien raison ; si les savants du XVIIIe siècle
avaient délaissé l'électricité, parce qu'elle
n'aurait été à leurs yeux qu'une curiosité sans
intérêt pratique, nous n'aurions au XXe siècle
ni télégraphie, ni électrochimie, ni
électrotechnique. Les physiciens, forcés de choisir, ne sont
donc pas guidés dans leur choix uniquement par l'utilité.
Comment donc font-ils pour choisir entre les faits naturels ? Nous
l'avons expliqué dans le chapitre précédent ; les
faits qui les intéressent ce sont ceux qui peuvent conduire à
la découverte d'une loi ; ce sont donc ceux qui sont analogues
à beaucoup d'autres faits, qui ne nous apparaissent pas comme
isolés, mais comme étroitement groupés avec d'autres. Le
fait isolé frappe tous les yeux, ceux du vulgaire comme ceux du
savant. Mais ce que le vrai physicien seul sait voir, c'est le lien qui unit
plusieurs faits dont l'analogie est profonde, mais cachée. L'anecdote
de la pomme de Newton n'est probablement pas vraie, mais elle est
symbolique ; parlons-en donc comme si elle était vraie. Eh bien,
nous devons croire qu'avant Newton bien des hommes avaient vu tomber des
pommes : aucun n'avait rien su en conclure. Les faits seraient
stériles s'il n'y avait des esprits capables de choisir entre eux en
discernant ceux derrière lesquels il se cache quelque chose et de reconnaître
ce qui se cache derrière, des esprits qui, sous le fait brut,
sentiront l'âme du fait. |
Ведь физики приступают к изучению того или другого явления не потому, что какая- нибудь неотложная потребность материальной жизни сделала это изучение необходимым, и они правы. Если бы ученые XVIII столетия забросили электричество по той причине, что оно в их глазах было только курьезом, лишенным всякого практического интереса, то мы не имели бы в XX столетии ни телеграфа, ни электрохимии, ни электротехники. Будучи вынуждены сделать выбор, физики, таким образом, не руководствуются при этом единственно вопросом полезности. Как же именно поступают они, выбирая среди фактов природы? Нам нетрудно ответить на этот вопрос; их интересуют именно те факты, которые могут привести к открытию нового закона; другими словами, те факты, которые сходны с множеством других фактов, те, которые представляются нам не изолированными, а как бы тесно связанными в одно целое с другими фактами. Отдельный факт бросается в глаза всем - и невежде и ученому. Но только истинный физик способен подметить ту связь, которая объединяет вместе многие факты глубокой, но скрытой аналогией. Анекдот о яблоке Ньютона знаменателен, хотя он, вероятно, и не соответствует истине; будем поэтому говорить о нем как о действительном факте. Но ведь и до Ньютона, надо полагать, немало людей видели, как падают яблоки; а между тем никто не сумел сделать отсюда никакого вывода. Факты остались бы бесплодными, не будь умов, способных делать между ними выбор, отличать те из них, за которыми скрывается нечто, и распознавать это нечто, умов, которые под грубой оболочкой факта чувствуют, так сказать, его душу. |
En mathématiques nous faisons tout à fait
le même chose ; des éléments variés dont nous
disposons, nous pouvons faire sortir des millions de combinaisons
différentes ; mais une de ces combinaisons, tant qu'elle est
isolée, est absolument dépourvue de valeur ; nous nous
sommes souvent donné beaucoup de peine pour la construire, mais cela
ne sert absolument à rien, si ce n'est peut-être à donner
un sujet de devoir pour l'enseignement secondaire. Il en sera tout autrement
le jour où cette combinaison prendra place dans une classe de
combinaisons analogues et où nous aurons remarqué cette
analogie ; nous ne serons plus en présence d'un fait, mais d'une
loi. Et, ce jour-là, le véritable inventeur, ce ne sera pas
l'ouvrier qui aura patiemment édifié quelques unes de ces
combinaisons, ce sera celui qui aura mis en évidence leur
parenté. Le premier n'aura vu que le fait brut, l'autre seul aura senti
l'âme du fait. Souvent, pour affirmer cette parenté, il lui aura
suffi d'inventer un mot nouveau, et ce mot aura été
créateur ; l'histoire de la science nous fournirait une foule
d'exemples qui sont familiers à tous. |
Буквально то же самое проделываем мы и в математике. Из различных элементов, которыми мы располагаем, мы можем создать миллионы разнообразных комбинаций; но какая-нибудь одна такая комбинация, сама по себе, абсолютно лишена значения; нам могло стоить большого труда создать ее, но это ничему не служит, разве что может быть предложено в качестве школьного упражнения. Другое будет дело, когда эта комбинация займет место в ряду аналогичных ей комбинаций, и когда мы подметим эту аналогию, перед нами будет уже не факт, а закон. И в этот день истинным творцом-изобретателем окажется не тот рядовой работник, который старательно построил некоторые из этих комбинаций, а тот, кто обнаружил между ними родственную связь. Первый видел один лишь голый факт, и только второй познал душу факта. Часто для обнаружения этого родства бывает достаточно изобрести одно новое слово, и это слово становится творцом; история науки может доставить нам множество знакомых вам примеров. |
Le célèbre philosophe viennois Mach a dit
que le rôle de la Science est de produire l'économie de
pensée, de même que la machine produit l'économie
d'effort. Et cela est très juste. Le sauvage calcule avec ses doigts
ou en assemblant de petits cailloux. En apprenant aux enfants la table de
multiplication, nous leur épargnons pour plus tard d'innombrables
manœuvres de cailloux. Quelqu'un autrefois a reconnu, avec des cailloux
ou autrement, que 6 fois 7 font 42 et il a eu l'idée de noter le
résultat, et c'est pour cela que nous n'avons pas besoin de
recommencer. Celui-là n'a pas perdu son temps si même il ne
calculait que pour son plaisir ; son opération ne lui a pris que
deux minutes ; elle en aurait exigé en tout deux milliards, si un
milliard d'hommes avait dû la recommencer après lui. |
Знаменитый венский философ Мах сказал, что роль науки состоит в создании экономии мысли (1), подобно тому как машина создает экономию силы. И это весьма справедливо. Дикарь считает с помощью своих пальцев или собирая камешки. Обучая детей таблице умножения, мы избавляем их на будущее от бесчисленных манипуляций с камешками. Кто-то как-то узнал, с помощью ли камней или как-либо иначе, что 6 раз 7 составляет 42; ему пришла идея отметить этот результат, и вот благодаря этому мы не имеем больше надобности повторять вычисление сначала. Этот человек не потерял понапрасну своего времени даже в том случае, если он вычислял единственно ради собственного удовольствия; его манипуляция отняла у него не более двух минут, а между тем потребовалось бы целых два миллиарда минут, если бы миллиард людей должен был после него повторять ту же манипуляцию. |
L'importance d'un fait se mesure donc à son
rendement, c'est-à-dire à la quantité de pensée
qu'elle nous permet d'économiser. |
Итак, важность какого-нибудь факта измеряется его продуктивностью, т. е. тем количеством мысли, какое он позволяет нам сберечь. |
En physique, les faits à grand rendement sont
ceux qui rentrent dans une loi très générale, parce
qu'ils permettent d'en prévoir un très grand nombre d'autres,
et il n'en est pas autrement en mathématiques. Je me suis livré
à un calcul compliqué et suis arrivé péniblement
à un résultat ; je ne serai pas payé de ma peine si
je ne suis devenu par là capable de prévoir les
résultats d'autres calculs analogues et de les diriger à coup
sûr en évitant les tâtonnements auxquels j'ai dû me
résigner la première fois. Je n'aurai pas perdu mon temps, au
contraire, si ces tâtonnements mêmes ont fini par me
révéler l'analogie profonde du problème que je viens de
traiter avec une classe beaucoup plus étendue d'autres
problèmes ; s'ils m'en ont montré à la fois les
ressemblances et les différences, si en un mot ils m'ont fait
entrevoir la possibilité d'une généralisation. Ce n'est
pas alors un résultat nouveau que j'aurais acquis, c'est une force
nouvelle. |
В физике фактами большой продуктивности являются те, которые входят в очень общий закон, ибо благодаря этому они позволяют предвидеть весьма большое количество других фактов; то же мы видим и в математике. Я занялся сложным вычислением и, наконец, после большого труда пришел к некоторому результату; я не был бы вознагражден за свой труд, если бы благодаря .полученному результату я не оказался в состоянии предвидеть результаты других подобных вычислений и уверенно направлять их, избегая тех блужданий ощупью, на которые я должен был обречь себя в первый раз. И наоборот, мое время не было бы потеряно, если бы эти самые блуждания привели меня к открытию глубокой аналогии изучаемой мною проблемы с гораздо более обширным классом других проблем; если бы благодаря этим блужданиям я узрел одновременно сходства и различия, словом, если бы они обнаружили передо мной возможность некоторого обобщения. Я приобрел бы тогда не новый факт, а новую силу. |
Une formule algébrique qui nous donne la
solution d'un type de problèmes numériques, pourvu que l'on
remplace à la fin les lettres par des nombres, est l'exemple simple
qui se présente tout d'abord à l'esprit. Grâce à
elle un seul calcul algébrique nous épargne la peine de
recommencer sans cesse de nouveaux calculs numériques. Mais ce n'est
là qu'un exemple grossier ; tout le monde sent qu'il y a des
analogies qui ne peuvent s'exprimer par une formule et qui sont les plus
précieuses. |
Простым примером, который раньше других приходит на ум, является алгебраическая формула, которая дает нам решение всех численных задач определенного типа, так что достаточно лишь заменить буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполненное, избавляет нас от необходимости повторять без конца все новые и новые численные выкладки. Но это уже очень грубый пример; всем известно, что существуют такие аналогии, которые невозможно выразить какой-либо формулой, а между тем они-то и являются наиболее ценными. |
Si un résultat nouveau a du prix, c'est quand en
reliant des éléments connus depuis longtemps, mais jusque-là
épars et paraissant étrangers les uns aux autres, il introduit
subitement l'ordre là où régnait l'apparence du
désordre. Il nous permet alors de voir d'un coup d'œil chacun de
ces éléments et la place qu'il occupe dans l'ensemble. Ce fait
nouveau non seulement est précieux par lui-même, mais lui seul
donne leur valeur à tous les faits anciens qu'il relie. Notre esprit
est infirme comme le sont nos sens ; il se perdrait dans la
complexité du monde si cette complexité n'était
harmonieuse, il n'en verrait que les détails à la façon
d'un myope et il serait forcé d'oublier chacun de ces détails
avant d'examiner le suivant, parce qu'il serait incapable de tout embrasser.
Les seuls faits dignes de notre attention sont ceux qui introduisent de
l'ordre dans cette complexité et la rendent ainsi accessible. |
Новый результат мы ценим в том случае, если, связывая воедино элементы давно известные, но до тех пор рассеянные и казавшиеся чуждыми друг другу, он внезапно вводит порядок там, где до тех пор царил, по-видимому, хаос. Такой результат позволяет нам видеть одновременно каждый из этих элементов и место, занимаемое им в общем комплексе. Этот новый факт имеет цену не только сам по себе, но он - и только он один - придает сверх того значение всем старым фактам, связанным им в одно целое. Наш ум так же немощен, как и наши чувства; он растерялся бы среди сложности мира, если бы эта сложность не имела своей гармонии: подобно близорукому человеку, он видел бы одни лишь детали и должен был бы забывать каждую из них, прежде чем перейти к изучению следующей, ибо он не был бы в состоянии охватить разом всю совокупность частностей. Только те факты достойны нашего внимания, которые вводят порядок в этот хаос и делают его, таким образом, доступным нашему восприятию. |
Les mathématiciens attachent une grande
importance à l'élégance de leurs méthodes et de
leurs résultats ; ce n'est pas là du pur dilettantisme.
Qu'est-ce qui nous donne en effet dans une solution, dans une démonstration,
le sentiment de l'élégance ? C'est l'harmonie des diverses
parties, leur symétrie, leur heureux balancement ; c'est en un
mot tout ce qui y met de l'ordre, tout ce qui leur donne de l'unité,
ce qui nous permet par conséquent d'y voir clair et d'en comprendre
l'ensemble en même temps que les détails. Mais,
précisément, c'est là aussi ce qui lui donne un grand
rendement ; en effet, plus nous verrons cet ensemble clairement et d'un
seul coup d'œil, mieux nous apercevrons ses analogies avec d'autres
objets voisins, plus par conséquent nous aurons de chances de deviner
les généralisations possibles. L'élégance peut
provenir du sentiment de l'imprévu par la rencontre inattendue
d'objets qu'on n'est pas accoutume à rapprocher ; là
encore elle est féconde, puisqu'elle nous dévoile ainsi des
parentés jusque-là méconnues ; elle est
féconde même quand elle ne résulte que du contraste entre
la simplicité des moyens et la complexité du problème
posé ; elle nous fait alors réfléchir à la raison
de ce contraste et le plus souvent elle nous fait voir que cette raison n'est
pas le hagard et qu'elle se trouve dans quelque loi
insoupçonnée. En un mot, le sentiment de
l'élégance mathématique n'est autre chose que la
satisfaction due à je ne sais quelle adaptation entre la solution que
l'on vient de découvrir et les besoins de notre esprit, et c'est
à cause de cette adaptation même que cette solution peut
être pour nous un instrument. Cette satisfaction esthétique est
par suite liée à l'économie de pensée. C'est
encore la comparaison de l'Erechthéion qui me vient à l'esprit,
mais je ne veux pas la resservir trop souvent. |
Математики приписывают большое значение изяществу своих методов и результатов, и это не просто дилетантизм. Что, в самом деле, вызывает в нас чувство изящного в каком-нибудь решении или доказательстве? Гармония отдельных частей, их симметрия, их счастливое равновесие,- одним словом, все то, что вносит туда порядок, все то, что сообщает этим частям единство, то, что позволяет нам ясно их различать и понимать целое в одно время с деталями. Но ведь именно эти же свойства сообщают решению большую продуктивность; действительно, чем яснее мы будем видеть этот комплекс в его целом, чем лучше будем уметь обозревать его одним взглядом, тем лучше мы будем различать его аналогии с другими, смежными объектами, тем скорее мы сможем рассчитывать на открытие возможных обобщений. Впечатление изящного может быть вызвано неожиданностью сближения таких вещей, которые мы не привыкли сближать; и в этом случае изящность плодотворна, ибо благодаря ей обнажаются родственные отношения, которых мы не замечали до тех пор; она плодотворна и в том случае, если она обусловливается единственно контрастом между простотой средств и сложностью проблемы; она заставляет нас в этом случае задуматься о причине такого контраста и чаще всего позволяет нам увидеть, что причина не случайна, а таится в том или ином законе, которого мы не подозревали раньше. Одним словам, чувство изящного в матема- тике есть чувство удовлетворения, не скажу, какое именно, но обязанное какому-то взаимному приспособлению между только что найденным решением и потребностями нашего ума; в силу такого именно приспособления найденное решение может служить орудием в наших руках (2). Следовательно, такое эстетическое удовлетворение находится в связи с экономией мышления. Подобно этому, например, кариатиды Эрехтейона (3) кажутся нам изящными по той причине, что они ловко и, гак сказать, весело поддерживают громадную тяжесть и вызывают в нас чувство экономии силы. |
C'est pour la même raison que, quand un calcul un
peu long nous a conduits à quelque résultat simple et frappant,
nous ne sommes pas satisfaits tant que nous n'avons pas montré que
nous aurions pu prévoir, sinon ce résultat tout entier, du
moins ses traits les plus caractéristiques. Pourquoi ? Qu'est-ce
qui nous empêche de nous contenter d'un calcul qui nous a appris,
semble-t-il, tout ce que nous désirions savoir ? C'est parce que,
dans des cas analogues, le long calcul ne pourrait pas resservir, et qu'il n
"en est pas de même du raisonnement souvent à demi intuitif qui
aurait pu nous permettre de prévoir. Ce raisonnement étant
court, on en voit d'un seul coup toutes les parties, de sorte qu'on
aperçoit immédiatement ce qu'il y faut changer pour l'adapter
à tous les problèmes de même nature qui peuvent se
présenter. Et puisqu'il nous permet de prévoir si la solution
de ces problèmes sera simple, il nous montre tout au moins si le
calcul mérite d'être entrepris. |
По той же причине, когда мы с помощью довольно длинных выкладок приходим к какому-нибудь поразительному по своей простоте результату, мы до тех пор не чувствуем себя удовлетворенными, пока не покажем, что мы могли бы предвидеть, если не весь результат в целом, то по крайней мере его наиболее характерные черты. Чем же это объясняется? Что мешает нам удовольствоваться вычислением, раз оно, по-видимому, дало нам все, что мы хотели знать? Объясняется это тем, что в новом аналогичном случае прежнее длинное вычисление не могло бы помочь нам; иначе обстоит дело с рассуждением, наполовину интуитивным, которое позволило бы нам предвидеть результат наперед. Несложность такого рассуждения позволяет одним взглядом охватить все его части, благодаря чему непосредственно бросается в глаза то, что следует в нем изменить для приспособления его ко всем могущим представиться проблемам того же рода. Позволяя, кроме того, предвидеть, насколько просто будет решение этих проблем, такое рассуждение показывает по крайней мере, стоит ли браться за подробное вычисление. |
Ce que nous venons de dire suffit pour montrer combien
il serait vain de chercher à remplacer par un procédé
mécanique quelconque la libre initiative du mathématicien. |
Только что сказанного достаточно, чтобы показать, насколько было бы тщетно пытаться заменить свободную инициативу математика каким-нибудь механическим приемом. |
Pour obtenir un résultat qui ait une valeur
réelle, il ne suffit pas de moudre des calculs ou d'avoir une machine
à mettre les choses en ordre ; ce n'est pas seulement l'ordre,
c'est l'ordre inattendu qui vaut quelque chose. La machine peut mordre sur le
fait brut, l'âme du fait lui échappera toujours. |
Для получения действительно ценного результата недостаточно нагромоздить кучу выкладок или иметь машину для приведения всего в порядок; имеет значение не порядок вообще, а порядок неожиданный. Машина может сколько угодно кромсать сырой фактический материал, но то, что мы назвали душой факта, всегда будет ускользать от нее. |
Depuis le milieu du siècle dernier, les
mathématiciens sont de plus en plus soucieux d'atteindre à
l'absolue rigueur ; ils ont bien raison et cette tendance s'accentuera
de plus eu plus. En mathématiques la rigueur n'est pas tout, mais sans
elle il n'y a rien ; une démonstration qui n'est pas rigoureuse,
c'est le néant. Je crois que personne ne contestera cette vérité.
Mais si on la prenait trop à la lettre, on serait amené
à conclure qu'avant 1820, par exemple, il n'y avait pas de
mathématiques ; ce serait manifestement excessif ; les
géomètres de ce temps sous-entendaient volontiers ce que nous
expliquons par de prolixes discours ; cela ne veut pas dire qu'ils ne le
voyaient pas du tout ; mais ils passaient là-dessus trop
rapidement, et, pour le bien voir, il aurait fallu qu'ils prissent la peine
de le dire. |
Начиная с середины истекшего столетия, математики все больше и больше стремятся к достижению абсолютной строгости, и в этом они вполне правы. Это стремление выступает все ярче и ярче. В математике строгость еще не составляет всего, но где ее нет, там нет ничего; нестрогое доказательство - это ничто! Думаю, что с этим никто спорить не станет. Но если толковать эту истину слишком буквально, то окажется, что, например, до 1820 г. не было вовсе математики - утверждение, несомненно, преувеличенное; математики того времени охотно подразумевали то, что мы излагаем в пространных рассуждениях. Это не значит, что они вовсе не замечали этого, но они проходили мимо слишком поспешно; а чтобы хорошо разглядеть проблему, надо было бы взять на себя труд хотя бы высказать ее. |
Seulement est-il toujours nécessaire de le direz
tant de fois ; ceux qui, les premiers, se sont préoccupés
avant tout de la rigueur, nous ont donné des raisonnements que nous
pouvons essayer d'imiter ; mais, si les démonstrations de
l'avenir doivent être bâties sur ce modèle, les traités
de Mathématiques vont devenir bien longs ; et, si je crains les
longueurs, ce n'est pas seulement parce que je redoute l'encombrement des
bibliothèques, mais parce que je crains qu'en s'allongeant, nos
démonstrations perdent cette apparence d'harmonie dont j'ai
expliqué tout à l'heure le rôle utile. |
Но есть ли необходимость каждый раз подробно останавливаться на этой точности? Те, которые первые выдвинули требование строгой точности на первый план, дали нам образцы рассуждений, которым мы можем стараться подражать; но если будущие доказательства нужно будет всегда строить по этим образцам, то математические трактаты станут чересчур уж длинными; если я боюсь слишком длинных рассуждений, то не из одного только страха перед переполнением библиотек, а главным образом потому, что наши доказательства, все более удлиняясь, потеряют ту внешнюю видимую гармонию, о полезной роли которой я только что говорил. |
C'est à l'économie de pensée que
l'on doit viser ; ce n'est donc pas assez de donner des modèles
à imiter. Il faut qu'on puisse après nous se passer de ces modèles
et, au lieu de répéter un raisonnement déjà fait,
le résumer en quelques lignes. Et c'est à quoi l'on a
déjà réussi quelquefois ; par exemple, il y avait
tout un type de raisonnements qui se ressemblaient tous et qu'on retrouvait
partout ; ils étaient parfaitement rigoureux, mais ils
étaient longs. Un jour, on a imaginé le mot d'uniformité
de la convergence et ce mot seul les a rendus inutiles ; on n'a plus eu
besoin de les répéter puisqu'on pouvait les sous-entendre. Les
coupeurs de difficultés en quatre peuvent donc nous rendre un double
service ; c'est d'abord de nous apprendre à faire comme eux au
besoin, mais c'est surtout de nous permettre le plus souvent possible de ne
pas faire comme eux, sans pourtant rien sacrifier de la rigueur. |
Надо иметь в виду экономию мысли; недостаточно только дать образцы для подражания. Надобно, чтобы после нас смогли обойтись без этих образцов, и вместо повторения однажды построенного рассуждения могли бы резюмировать его в нескольких строках. В этом отношении уже сделаны кое-какие успехи. Был, например, некоторый тип сходных между собой рассуждений; они встречались повсюду; они были абсолютно строги, но страдали растянутостью. И вот в один прекрасный день придуман был новый термин "равномерная сходимость", и уже одно это выражение сделало все прежние рассуждения бесполезными; не было больше необходимости повторять их, так как они подразумевались под этим термином. Творцы таких решительных и быстрых приемов преодоления трудностей могут оказать нам двоякую услугу: во-первых, мы учимся поступать в случае надобности подобно им, а во-вторых,- и это наиболее важно - их пример и результаты позволяют нам, и очень часто, не проделывать того, что пришлось делать им, ничем, однако, не жертвуя по отношению к строгости. |
Nous venons de voir, par un exemple, quelle est
l'importance des mots en Mathématiques, mais j'en pourrais citer
beaucoup d'autres. On ne saurait croire combien un mot bien choisi peut
économiser de pensée, comme disait Mach. Je ne sais si je n'ai
déjà dit quelque part que la Mathématique est l'art de
donner le même nom à des choses différentes. Il convient
que ces choses, différentes par la matière, soient semblables
par la forme, qu'elles puissent, pour ainsi dire, se couler dans le
même moule. Quand le langage a été bien choisi, on est
tout étonné de voir que toutes les démonstrations,
faites pour un objet connu, s'appliquent immédiatement à
beaucoup d'objets nouveaux ; on n'a rien à y changer, pas
même les mots, puisque les noms sont devenus les mêmes. |
Только что мы видели пример того значения, какое в математике имеют слова и выражения; я мог бы привести еще много других примеров. Трудно поверить, какую огромную экономию мысли - как выражается Мах - может осуществить одно хорошо подобранное слово. Я, кажется, уже высказал как-то ту мысль, что математика - это искусство давать одно и то же название различным вещам. Объяснимся подробнее. Надо, чтобы эти вещи, различные по своему содержанию, были сходны по форме, надо, чтобы они, так сказать, могли войти в одну и ту же форму для отливки. Когда названия хорошо подобраны, вдруг с удивлением замечаешь, что все доказательства, проведенные для одного какого-нибудь предмета, непосредственно могут быть приложены к множеству новых предметов, причем не приходится даже ничего в них изменять, даже отдельных слов, ибо названия остались те же. |
Un mot bien choisi suffit, le plus souvent, pour faire
disparaître les exceptions que comportaient les règles
énoncées dans l'ancien langage ; c'est pour cela qu'on a
imaginé les quantités négatives, les quantités
imaginaires, les points à l'infini, que sais-je encore ? Et les
exceptions, ne l'oublions pas, sont pernicieuses, parce qu'elles cachent les
lois. |
Очень часто бывает достаточно одного удачно подобранного слова, чтобы устранить те исключения, которые содержались в правилах, выраженных на старом языке. С этой именно целью придуманы были отрицательные и мнимые количества, точки в бесконечности и т. д. А ведь исключения вредны, ибо они заменяют законы. |
Eh bien, c'est l'un des caractères auxquels on
reconnaît les faits à grand rendement, ce sont ceux qui
permettent ces heureuses innovations de langage. Le fait brut est alors
quelquefois sans grand intérêt ; on a pu le signaler bien
des fois sans avoir rendu grand service à la science ; il ne
prend de valeur que le jour où un penseur mieux avisé
aperçoit le rapprochement qu'il met en évidence et le symbolise
par un mot. |
Итак, одним из характерных признаков, отличающих факты большой продуктивности, является их свойство допускать эти счастливые нововведения в языке. Сам по себе голый факт часто бывает лишен особенного значения; его можно не раз отмечать, не оказывая этим науке сколько-нибудь значительной услуги; свое значение он приобретает лишь с того дня, когда более проницательный мыслитель подметит сходство, которое он извлекает на свет и символически обозначает тем или другим термином. |
Les physiciens, d'ailleurs, agissent absolument de
même ; ils ont inventé le mot d'énergie, et ce mot a
été prodigieusement fécond, parce que lui aussi
créait la loi en éliminant les exceptions, parce qu'il donnait
le même nom à des choses différentes par la
matière et semblables par la forme. |
У физиков мы встречаемся с совершенно таким же приемом. Они, например, придумали слово энергия, и это слово оказалось удивительно плодотворным. Изгнав исключения, оно тоже создало закон; оно дало также одно название вещам, различным по содержанию, но сходным по форме. |
Parmi les mots qui ont exercé la plus heureuse
influence, je signalerai ceux de groupe et d'invariant. Ils nous ont fait
apercevoir l'essence de bien des raisonnements mathématiques ;
ils nous ont montré dans combien de cas les anciens
mathématiciens considéraient des groupes sans le savoir, et
comment, se croyant bien éloignés les uns des autres, ils se trouvaient
tout à coup rapprochés sans comprendre pourquoi. |
Из слов, имевших наиболее счастливое влияние, я отмечу названия "группа" и "инвариант". Эти слова позволили нам проникнуть в сущность многих математических рассуждений. Они нам показали, как часто древние математики рассматривали группы, сами того не замечая, как они, считая себя отдаленными друг от друга целой пропастью, вдруг сходились вместе, не понимая, как это могло случиться. |
Nous dirions aujourd'hui qu'ils avaient envisage des
groupes isomorphes. Nous savons maintenant que, dans un groupe, la
matière nous intéresse peu, que c'est la forme seule qui
importe, et que, quand on connaît bien un groupe, on connaît par
cela même tous les groupes isomorphes ; grâce à ces
mots de groupes et d'isomorphisme, qui résument en quelques syllabes
cette règle subtile et la rendent promptement familière
à tous les esprits, le passage est immédiat et peut se faire en
économisant tout effort de pensée. L'idée de groupe se
rattache d'ailleurs à celle de transformation. Pourquoi attache-t-on
tant de prix à l'invention d'une transformation nouvelle ? Parce
que, d'un seul théorème, elle nous permet d'en tirer dix ou
vingt ; elle a la même valeur qu'un zéro ajouté à
la droite d'un nombre entier. |
Теперь мы сказали бы, что они рассматривали так называемые "изоморфные группы". Мы теперь знаем, что в группе нас мало интересует содержание, материал, что одна только форма имеет значение и что когда одна группа хорошо изучена, тем самым становятся известными все группы, с нею изоморфные. Благодаря этим словам - группа, изоморфизм,- резюмирующим в нескольких слогах этот трудно уловимый закон и делающим его сразу для всех знакомым, переход от одной группы к другой, с нею изоморфной, оказывается непосредственным и совершается с большой экономией в работе мысли. С другой стороны, идея группы тесно примыкает к идее преобразования. Почему же приписывают такое громадное значение открытию нового преобразования? Да потому, что из одной какой-нибудь теоремы это преобразование позволяет вывести десятки других теорем; оно имеет такое же значение, как нуль, приставленный справа к целому числу. |
Voilà ce qui a déterminé jusqu'ici
le sens du mouvement de la science mathématique, et c'est aussi bien
certainement ce qui le déterminera dans l'avenir. Mais la nature des
problèmes qui se posent y contribue également. Nous ne pouvons
oublier quel doit être notre but ; selon moi, ce but est
double : notre science confine à la fois à la Philosophie
et à la Physique, et c'est pour nos deux voisines que nous
travaillons ; aussi nous avons toujours vu et nous verrons encore les
mathématiciens marcher dans deux directions opposées. |
Вот чем до сих пор обусловливалось направление, в котором развивалась математика; этим же оно, несомненно, будет определяться и в будущем. Но равным образом имеет значение и природа тех проблем, которые требуют своего разрешения. Мы не должны забывать, что должно быть нашей целью; мне она представляется двоякой. Ведь наша наука одновременно граничит и с физикой и с философией; для этих двух наших соседок мы и работаем. Соответственно этому мы всегда видели и будем видеть, что математики движутся в двух прямо противоположных направлениях. |
D'une part, la science mathématique doit
réfléchir sur elle-même, et cela est utile, parce que
réfléchir sur elle-même, c'est réfléchir
sur l'esprit humain qui l'a créée, d'autant plus que c'est
celle de ses créations pour laquelle il a fait le moins d'emprunts au
dehors. C'est pourquoi certaines spéculations mathématiques
sont utiles, comme celles qui visent l'étude des postulats, des
géométries inaccoutumées, des fonctions à allures
étranges. Plus ces spéculations s'écarteront des
conceptions les plus communes, et par conséquent de la Nature et des
applications, mieux elles nous montreront ce que l'esprit humain peut faire,
quand il se soustrait de plus en plus à la tyrannie du monde
extérieur, mieux, par conséquent, elles nous le feront
connaître en lui-même. |
С одной стороны, математике приходится размышлять о себе самой, а это полезно, так как, размышляя о себе, она тем самым размышляет о человеческом уме, создавшем ее, тем более что среди всех, своих творений он, создал математику с наименьшими заимствованиями извне. Вот чем. полезны некоторые математические исследования, каковы, например, .исследования о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных вопросов, тем яснее они показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы ум познаем в его внутренней сущности. |
Mais c'est du côté opposé, du
côté de la Nature, qu'il faut diriger le gros de notre
armée. |
Но все же главные силы нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону изучения природы. |
Là nous rencontrons le physicien ou
l'ingénieur qui nous disent : " Pourriez-vous
m'intégrer telle équation différentielle ; j'en
aurais besoin d'ici à huit jours en vue de telle construction qui doit
être terminée pour cette date. " " Cette
équation, répondons-nous, ne rentre pas dans l'un des types
intégrables ; vous savez qu'il n'y en a pas beaucoup. "
Oui, je le sais, mais alors à quoi servez-vous ? " Le
plus souvent, il suffirait de s'entendre ; l'ingénieur, en
réalité, n'a pas besoin de l'intégrale en termes
finis ; il a besoin de connaître l'allure générale
de la fonction intégrale, ou simplement il voudrait un certain chiffre
qui se déduirait facilement de cette intégrale si on la
connaissait. Ordinairement on ne la connaît pas, mais on pourrait
calculer ce chiffre sans elle, si l'on savait au juste de quel chiffre
l'ingénieur a besoin et avec quelle approximation. |
Здесь мы встречаемся с физиком или инженером, которые говорят нам: "будьте любезны, проинтегрировать такое-то дифференциальное уравнение; через неделю мне понадобится решение ввиду такого-то сооружения, которое должно быть закончено к такому-то сроку".- "Но это уравнение,.- отвечаем мы,- не входит ни в один тип интегрируемых уравнений; последних, как вам известно, весьма немyого".- "Да, это мне известно, но какой тогда в вас толк?" В большинстве случаев бывает достаточно понять друг друга; в.самом деле, инженер не имеет нужды в интеграле конечной формы; ему надо лишь знать общий ход интегральной функции или попросту ему нужно определенное, числовое значение, которое без труда, можно было бы найти, если бы. интеграл уравнений был известен. Обыкновенно, хотя последний и неизвестен, но можно вычислить, и не зная его, требуемое числовое значение, если только точно известно, какое именно значение нужно инженеру и с какой степенью точности. |
Autrefois, on ne considérait une équation
comme résolue que quand on en avait exprimé la solution
à l'aide d'un nombre fini de fonctions connues ; mais cela n'est
possible qu'une fois sur cent à peine. Ce que nous pouvons toujours
faire, ou plutôt ce que nous devons toujours chercher à faire,
c'est de résoudre le problème qualitativement pour ainsi
dire, c'est-à-dire de chercher à connaître la forme
générale de la courbe qui représente la fonction
inconnue. |
В былое время уравнение считалось решенным лишь в том случае, если рашение выражалось с помощью конечного числа известных функций; но, это едва ли возможно даже в одном случае нз ста. Однако мы всегда можем или, вернее, должны стремиться разрешить проблему, так сказать, качественно, т. е, должны стараться уанать общий вид кривой, изображающей неизвестную функцию. |
Il reste ensuite à trouver la solution quantitative
du problème ; mais, si l'inconnue ne peut être
déterminée par un calcul fini, on peut la représenter
toujours par une série infinie convergente qui permet de la calculer.
Cela peut-il être regardé comme une vraie solution ? On
raconte que Newton communiqua à Leibnitz un anagramme à peu
près comme ceci : aaaaabbbeeeeii, etc. Leibnitz,
naturellement, n'y comprit rien du tout ; mais nous, qui avons la clef,
nous savons que cet anagramme veut dire, en le traduisant dans le langage
moderne : Je sais intégrer toutes les équations
différentielles, et nous sommes amenés à nous dire que
Newton avait bien de la chance ou qu'il se faisait de singulières
illusions. Il voulait dire, tout simplement, qu'il pouvait former (par la méthode
des coefficients indéterminés) une série de puissances
satisfaisant formellement à l'équation proposée. |
Затем остается найти количественное решение задачи; если неизвестное нельзя определить с помощью конечного вычисления, то его всегда можно представать при помощи бесконечного сходящегося ряда, который и позволит его вычислить. Но можно ли это считать настоящим решением? Рассказывают, что Ньютон сообщил Лейбницу приблизительно такую анаграмму: aaaaabbb eeeeii и т.д. Лейбниц, разумеется, ничего вней не понял. Но нам теперь известен ключ, н мы знаем, что зта анаграмма в переводе на современный язык гласит: "я умею интегрировать все дифференциальные уравнения". Казалось бы, что либо Ньютону сильно повезло, либо он странным образом обманулся. Но в действительности он попросту хотел сказать, что он умеет образовывать .(по способу неопределенных коэффициентов) степенной ряд, формально удовлетворяющий предложенному уравнению. |
Une semblable solution ne nous satisferait plus
aujourd'hui, et cela pour deux raisons : parce que la convergence est
trop lente, et parce que les termes se succèdent sans obéir
à cette loi. Au contraire, la série q nous paraît ne rien laisser
à désirer, d'abord parce qu'elle converge très vite
(cela, c'est pour le praticien qui désire avoir son nombre le plus
promptement possible), et ensuite parce que nous apercevons d'un coup
d'œil la loi des termes (cela, c'est pour satisfaire les besoins
esthétiques du théoricien). |
Но нас подобное решение не удовлетворило бы, и вот почему: во-первых, такой ряд сходится очень медленно.; во-вторых, члены его следуют друг за другом без всякого закона. Напротив, ряд Q, например,.не оставляет желать ничего лучшего как потому, что.он сходится очень быстро (это важно для практика, желающего получить нужное ему иисло как можно скорее), так и потому, что мы можем подметить с первого взгляда закон образования членов этого ряда {это служит для удовлетворения эстетических потребностей теоретика). |
Mais alors il n'y a plus des problèmes
résolus et d'autres qui ne le sont pas ; il y a seulement des
problèmes plus ou moins résolus, selon qu'ils le sont
par une série de convergence plus ou moins rapide, ou régie par
une loi plus ou moins harmonieuse. Il arrive toutefois qu'une solution
imparfaite nous achemine vers une solution meilleure. Quelquefois, la
série est de convergence si lente que le calcul est impraticable et
qu'on a seulement réussi à démontrer la
possibilité du problème. |
Но в таком случае нет более проблем решенных и проблем нерешенных; есть только проблемы более или менее решенные, смотря по быстроте сходимости ряда, являющегося их решением, или по большей или меньшей гармоничности закона, управляющего образованием членов этих рядов. Иногда случается, что одно несовершенное решение приводит нас к другому, более совершенному. Иногда же ряд сходится так медленно, что вычисление практически невыполнимо, и, таким образом, удается лишь доказать возможность проблемы. |
Et alors l'ingénieur trouve cela
dérisoire, et il a raison, puisque cela ne l'aidera pas à
terminer sa construction pour la date fixée. Il se préoccupe
peu de savoir si cela sera utile aux ingénieurs du XXIIe
siècle ; nous, nous pensons autrement et nous sommes quelquefois
plus heureux d'avoir économisé un jour de travail à nos
petits-fils qu'une heure à nos contemporains. |
Но инженер считает такой ответ насмешкой над собой, и он прав, ибо действительно такой ответ ему нисколько не поможет окончить сооружение к назначенному сроку. Инженеру мало дела до того, окажет ли это решение услугу инженерам XXII столетия: но мы, математики, держимся другого мнения; часто мы бываем более счастливы, если нам удалось сберечь один день труда наших внуков, чем когда мы сберегаем один час для наших современников. |
Quelquefois, en tâtonnant, empiriquement pour
ainsi dire, nous arrivons à une formule suffisamment convergente. Que
voulez-vous de plus, nous dit l'ingénieur ; et nous,
malgré tout, nous ne sommes pas satisfaits ; nous aurions voulu prévoir
cette convergence. Pourquoi ? parce que, si nous avions su la
prévoir une fois, nous saurions la prévoir une autre fois. Nous
avons réussi : c'est peu de chose à nos yeux si nous
n'avons sérieusement l'espoir de recommencer. |
Иногда ощупью, так сказать эмпирически, мы приходим к достаточно быстро сходящейся формуле. "Чего же вам больше?"- говорит инженер, но мы, вопреки всему, не чувствуем удовлетворения; мы бы хотели предвидеть эту сходимость. Почему? Да потому, что если бы мы сумели предвидеть ее однажды, мы сумели бы сделать это и в другой раз. На этот раз мы удачно справились с вопросом; но это для нас не имеет большого значеня, если мы не надеемся серьезно на повторение удачи и в другой раз. |
A mesure que la science se développe, il devient
plus difficile de l'embrasser tout entière ; alors on cherche
à la couper en morceaux, à se contenter de l'un de ces
morceaux : en un mot, à se spécialiser. Si l'on continuait
dans ce sens, ce serait un obstacle fâcheux aux progrès de la
Science. Nous l'avons dit, c'est par des rapprochements inattendus entre ses
diverses parties que ses progrès peuvent se faire. Trop se
spécialiser, ce serait s'interdire ces rapprochements. Espérons
que des Congrès comme ceux de Heidelberg ou de Rome, en nous mettant
en rapport les uns avec les autres, nous ouvriront des vues sur le champ du
voisin, nous obligeront à le comparer au nôtre, à sortir
un peu de notre petit village ; ils seront ainsi le meilleur
remède au danger que je viens de signaler. |
По мере развитая науки становится все более трудным охватить ее всю; тогда стараются разбить ее на части и довольствоваться одной такой частью, словом, специализироваться. Но если бы так продолжалось всегда, то это было бы значительным препятствием для прогресса науки, Хак мы говорил-и уже, этот прогресс осуществляется именно благодаря неожиданным сближениям между различными частями науки. А между тем слишком отдаться специализации - значит закрыть себе дорогу к этим сближениям. Будем же надеяться, что конгрессы, подобные Гейдельбергскому и Римскому, создавая между нами общение, откроют перед каждым из нас картину деятельности его соседей, заставят его сравнить их деятельность с его собственной, выйти несколько за пределы своей деревушки и окажутся, таким образом, лучшим средством против отмеченной мною опасности. |
Mais je me suis trop attardé à des
généralités, il est temps d'entrer dans le
détail. |
Но я слишком долго останавливаюсь на общих идеях; пора перейти к деталям. |
Passons en revue les diverses sciences
particulières dont l'ensemble forme les Mathématiques ;
voyons ce que chacune d'elles a fait, où elle tend, et ce qu'on peut
en espérer. Si les vues qui précèdent sont justes, nous
devons voir que les grands progrès du passé se sont produits
lorsque deux de ces sciences se sont rapprochées, lorsqu'on a pris
conscience de la similitude de leur forme, malgré la dissemblance de
leur matière, lorsqu'elles se sont modelées l'une sur l'autre,
de telle façon que chacune d'elles puisse profiter de l'autre. Nous
devons en même temps entrevoir, dans des rapprochements du même
genre, les progrès de l'avenir. |
Сделаем обзор различных дисциплин, совокупность которых образует математику. Посмотрим, что сделала каждая из них, каковы ее стремления и чего можно от нее ожидать. Если взгляды, изложенные выше, соответствуют действительности, то мы должны будем увидеть, что в прошлом главные успехи достигались в тех случаях, когда две такие дисциплины сближались к сознанию сходства их форм, невзирая на различие материала, когда они отливались одна по образу другой, благодаря чему каждая из них могла использовать успехи другой. Вместе с тем в сближениях подобного рода мы должны предвидеть и прогресс будущего. |
Les progrès de l'Arithmétique ont
été plus lents que ceux de l'Algèbre et de l'Analyse, et
il est aisé de comprendre pourquoi. Le sentiment de la
continuité est un guide précieux qui fait défaut
à l'arithméticien ; chaque nombre entier est
séparé des autres, il a pour ainsi dire son individualité
propre ; chacun d'eux est une sorte d'exception, et c'est pourquoi les
théorèmes généraux seront plus rares dans la
Théorie des nombres ; c'est pourquoi aussi ceux qui existent
seront plus cachés et échapperont plus longtemps aux
chercheurs. |
Прогресс в области арифметики совершался медленнее, чем в области алгебры и анализа, и легко понять почему. Арифметисты лишены драгоценного руководителя, каким является чувство непрерывности; каждое целое число стоит отдельно от других целых чисел, оно, так сказать, обладает своей собственной индивидуальностью; каждое из них представляет своего рода исключение; вот почему в области чисел так редки общие теоремы, а те, которые существуют, оказываются сравнительно более глубоко скрытыми и дольше ускользают от внимания исследователей. |
Si l'Arithmétique est en retard sur
l'Algèbre et sur l'Analyse, ce qu'elle a de mieux à faire,
c'est de chercher à se modeler sur ces sciences afin de profiter de
leur avance. L'arithméticien doit donc prendre pour guide les
analogies avec l'Algèbre. Ces analogies sont nombreuses, et si, dans
bien des cas, elles n'ont pas encore été étudiées
d'assez près pour devenir utilisables, elles sont au moins pressenties
depuis longtemps, et le langage même des deux sciences montre qu'on les
a aperçues. C'est ainsi qu'on parle de nombres transcendants, et qu'on
se rend compte que la classification future de ces nombres a
déjà pour image la classification des fonctions transcendantes,
et cependant on ne voit pas encore très bien comment on pourra passer
d'une classification à l'autre ; mais, si on l'avait vu, cela
serait déjà fait, et ce ne serait plus l'œuvre de
l'avenir. |
Но если арифметика отстала от алгебры и анализа, то лучшее, что она может сделать,- это постараться уподобиться этим наукам, чтобы воспользоваться их успехами Итак, арифметист должен взять в руководители аналогии с алгеброй. Эти аналогии многочисленные, и если во многих случаях они еще не изучены настолько, чтобы их можно было использовать, то во всяком случае их существование предчувствовалось с давних пор; самый язык обеих наук показывает, что эти аналогии были подмечены. Так, говорят о трансцендентных числах, и при этом отдают себе отчет в том, что будущая классификация этих чисел имеет своим прообразом классификацию трансцендентных функций, и в то же время пока еще не видно, как можно будет перейти от одной классификации к другой, но ведь, будь это вполне ясным, этот переход был бы уже выполнен, а не был бы делом будущего. |
Le premier exemple qui me vient à l'esprit est
la théorie des congruences, où l'on trouve un
parallélisme parfait avec celle des équations
algébriques. Certainement, on arrivera à compléter ce
parallélisme, qui doit subsister, par exemple, entre la théorie
des courbes algébriques et celle des congruences à deux variables.
Et, quand les problèmes relatifs aux congruences à plusieurs
variables seront résolus, ce sera un premier pas vers la solution de
beaucoup de questions d'Analyse indéterminée. |
Как пример, мне прежде всего приходит на ум теория сравнений, в которой мы видим совершенный параллелизм с теорией алгебраических уравнений. Несомненно, что этот параллелизм будет еще пополнен, например, параллелизмом между теорией алгебраических кривых и теорией сравнений с двумя переменными. А когда проблемы относительно сравнений с многими переменными будут разрешены, это будет первым шагом на пути к решению многих вопросов неопределенного анализа. |
|
Область арифметики, совершенно лишенную всякого единства, представляет собой теория простых (первоначальных) чисел. Здесь найдены только асимптотические законы, да других и нельзя ожидать; но эти законы оказываются изолированными; к ним можно прийти лишь по различным путям, между которыми, по-видимому, невозможно никакое сообщение. Мне кажется, что я предвижу, откуда придет желанное единство, но, конечно, не вполне ясно; несомненно, что все сведется к изучению семейства трансцендентных функций, которые дадут возможность путем изучения их особенных точек и с помощью метода Дарбу (4) вычислить асимптотически известные функции очень больших чисел. |
Il semble que la Géométrie ne puisse rien
contenir qui ne soit déjà dans l'Algèbre ou dans
l'Analyse ; que les faits géométriques ne soient autre
chose que les faits algébriques ou analytiques exprimés dans un
autre langage. On pourrait donc croire qu'après la revue que nous
venons de passer, il ne nous restera plus rien à dire qui se rapporte
spécialement à la Géométrie. Ce serait
méconnaître l'importance même d'un langage bien fait, ne
pas comprendre ce qu'ajoute aux choses elles-mêmes la façon
d'exprimer ces choses et, par conséquent, de les grouper. |
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты - это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, что после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так - значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих .вещей и, следовательно, способ ;их группирования. |
D'abord, les considérations
géométriques nous amènent à nous poser de
nouveaux problèmes ; ce sont bien, si l'on veut, des
problèmes analytiques, mais que nous ne nous serions jamais
posés à propos d'Analyse. L'Analyse en profite cependant, comme
elle profite de ceux qu'elle est obligée de résoudre pour
satisfaire aux besoins de la Physique. |
И прежде всепо геометриические рассуждения приводят наск постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы нас к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден разрешать проблемы для удовлетворения потребностей физики. |
Un grand avantage de la Géométrie, c'est
précisément que les sens y peuvent venir au secours de
l'intelligence et aident à deviner la route à suivre, et bien
des esprits préfèrent ramener les problèmes d'Analyse
à la forme géométrique. Malheureusement, nos sens ne
peuvent nous mener bien loin, et ils nous faussent compagnie dès que
nous voulons nous envoler en dehors des trois dimensions classiques. Est-ce
à dire que, sortis de ce domaine restreint où ils semblent
vouloir nous enfermer, nous ne devons plus compter que sur l'Analyse pure et
que toute Géométrie à plus de trois dimensions est vaine
et sans objet ? Dans la génération qui nous a
précédés, les plus grands maîtres auraient
répondu " oui" ; nous sommes aujourd'hui tellement
familiarisés avec cette notion que nous pouvons en parler, même
dans un cours d'université, sans provoquer d'étonnement. |
Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут црийти ,на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме. К несчастью, наши чувства не могут вести вас особенно далеко, они покидают нас, лишь только мы обнаруживаем желание унестись за три классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той области, в которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более .рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия более чем трех измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы предшествующего нам поколения ответили бы: "да"; мы же теперь так освоились с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая особенного удивления. |
Mais à quoi peut-elle servir ? Il est
aisé de le voir : elle nous donne d'abord un langage très
commode, qui exprime en termes très concis ce que le langage
analytique ordinaire dirait en phrases prolixes. De plus, ce langage nous
fait nommer du même nom ce qui se ressemble et affirme des analogies
qu'il ne nous permet plus d'oublier. Il nous permet donc encore de nous
diriger dans cet espace qui est trop grand pour nous et que nous ne pouvons
voir, en nous rappelant sans cesse l'espace visible qui n'en est qu'une image
imparfaite sans doute, mais qui en est encore une image. Ici encore, comme
dans tous les exemples précédents, c'est l'analogie avec ce qui
est simple qui nous permet de comprendre ce qui est complexe. |
Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как и в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно. |
Cette Géométrie à plus de trois
dimensions n'est pas une simple Géométrie analytique ;
elle n'est pas purement quantitative ; elle est aussi qualitative, et
c'est par là surtout qu'elle devient intéressante. Il y a une
science qu'on appelle l'Analysis Situs et qui a pour objet
l'étude des relations de positions des divers éléments
d'une figure, abstraction faite de leurs grandeurs. Cette
géométrie est purement qualitative ; ses
théorèmes resteraient vrais si les figures, au lieu
d'être exacte, étaient grossièrement imitées par
un enfant. L'importance de l'Analysis Situs est énorme et je ne
saurais trop y insister ; le parti qu'en a tiré Riemann, l'un de
ses principaux créateurs, suffirait à le démontrer. Il
faut qu'on arrive à la construire complètement dans les espaces
supérieurs ; on aura alors un instrument qui permettra
réellement de voir dans l'hyperespace et de suppléer à
nos sens. |
Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является простой аналитической геометрией; она имеет характер не исключительно количественный, но также и качественный, и этим-то она особенно интересна. Есть дисциплина, которую называют "Analysis situs" и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия - чисто качественная: ее теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребенком, Можно построить также Analysis situs более чем трех измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно подтверждается той пользой, которую из него извлек Риман (7), один из главных творцов этой дисциплины. Нужно дойти до ее полного построения в пространствах высшего порядка; тогда у нас будет в руках такое орудие, которое позволит действительно видеть в гиперпространстве и расширить область наших чувственных восприятий. |
Les problèmes de l'Analysis Situs ne se
seraient peut-être pas posés si on n'avait parlé que le
langage analytique ; ou plutôt, je me trompe, ils se seraient
posés certainement, puisque leur solution est nécessaire
à une foule de questions d'Analyse ; mais ils se seraient
posés isolément, les uns après les autres, et sans qu'on
en puisse apercevoir le lien commun. |
Быть может, проблемы Analysis situs не были бы даже поставлены, если бы пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи. |
|
Особенно содействовало недавнему успеху геометрии введение понятия о преобразованиях и группах. Благодаря этому понятию геометрия перестала быть агрегатом теорем, более или менее интересных, но следующих одна за другой без всякого сходства между ними, она приобрела единство. А с другой стороны, история не должна забывать того, что именно по поводу геометрии начали систематически исследовать непрерывные преобразования, так что чистые геометры со своей стороны также содействовали развитию идеи группы, идеи, столь полезной в других отраслях математики. |
J'ai parlé plus haut du besoin que nous avons de
remonter sans cesse aux premiers principes de notre science et du profit
qu'en peut tirer l'étude de l'esprit humain. C'est ce besoin qui a
inspiré deux tentatives qui ont tenu une très grande place dans
l'histoire la plus récente des Mathématiques. La
première est le cantorisme, qui a rendu à la science les
services que l'on sait. Cantor a introduit dans la science une manière
nouvelle de considérer l'infini mathématique et nous aurons
l'occasion d'en reparler au chapitre VII. Un des traits
caractéristiques du cantorisme, c'est qu'au lieu de s'élever au
général en bâtissant des constructions de plus en plus
compliquées et de définir par construction, il part du genus
supremum et ne définit, comme auraient dit les scolastiques, que per
genus proximum et differentiam specificam. |
Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах истории математики. Первое из них - канторизм, заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя все более и более сложные конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum (8) и дает определения только per genus proximum et differentiam specificam (9), как сказали бы схоластики. |
De là l'horreur qu'il a quelque temps inspirée
à certains esprits, à Hermite, par exemple, dont l'idée
favorite était de comparer les sciences mathématiques aux
sciences naturelles. Chez la plupart d'entre nous, ces préventions
s'étaient dissipées ; mais il est arrivé qu'on
s'est heurté à certains paradoxes, à certaines
contradictions apparentes, qui auraient comblé de joie Zénon
d'Elée et l'Ecole de Mégare. Et alors chacun de chercher le
remède. Je pense pour mon compte, et je ne suis pas le seul, que l'important
c'est de ne jamais introduire que des êtres que l'on puisse
définir complètement en un nombre fini de mots. Quel que soit
le remède adopté, nous pouvons nous promettre la joie du
médecin appelé à suivre un beau cas pathologique. |
Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые привели бы в восторг Зенона Элейского(10) и мегарскую школу (11). И тогда все пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения - и не я один,- что важно вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность наблюдать интересный патологический случай. |
On s'est efforcé, d'autre part,
d'énumérer les axiomes et les postulats plus ou moins
dissimulés qui servent de fondement aux diverses théories
mathématiques. M. Hilbert a obtenu les résultats les plus
brillants. Il semble d'abord que ce domaine soit bien limité et qu'il
n'y ait plus rien à y faire quand l'inventaire sera terminé, ce
qui ne saurait tarder. Mais, quand on aura tout énuméré,
il y aura bien des manières de tout classer ; un bon
bibliothécaire trouve toujours à s'occuper, et chaque
classification nouvelle sera instructive pour le philosophe. |
С другой стороны, мы видим попытки перечислить те более или менее скрытые аксиомы и постулаты, которые служат основанием для различных математических теорий. Самые блестящие результаты получил Гильберт. На первый взгляд эта область кажется довольно ограниченной; кажется, что когда перечень будет закончен - а это не замедлит произойти,- нечего будет больше делать. Но когда все будет перечислено, тогда найдется множество приемов для классификации всего материала; хороший библиотекарь всегда находит себе занятие, а каждая новая классификация будет поучительна для философа. |
J'arrête cette revue, que je ne saurais songer
à rendre complète. Je pense que ces exemples auront suffi pour
vous montrer par quel mécanisme les sciences mathématiques ont
progressé dans le passé, et dans quel sens elles doivent
marcher dans l'avenir. |
Этим я кончаю мой обзор, которого я не мог и рассчитывать сделать полным по множеству причин, и прежде всего потому, что я и без того уже слишком злоупотребил вашим вниманием. Думаю, что приведенных примеров будет достаточно, для того чтобы показать вам, в чем состоял механизм прогресса математических наук в прошлом и в каком направлении они должны будут двигаться в будущем. |
[1] Ce chapitre reprend un discours publié dans la Revue générale des sciences pures et appliquées, 19 (1908), pages 930-939, avec d"importantes coupures.
La genèse de l'Invention mathématique est
un problème qui doit inspirer le plus vif intérêt au
psychologue. C'est l'acte dans lequel l'esprit humain semble le moins
emprunter au monde extérieur, où il n'agit ou ne paraît
agir que par lui-même et sur lui-même, de sorte qu'en
étudiant le processus de la pensée géométrique,
c'est ce qu'il y a de plus essentiel dans l'esprit humain que nous pouvons
espérer atteindre. |
Вопрос о процессе математического творчества должен возбуждать в психологе самый живой интерес. В этом акте человеческий ум, по-видимому, заимствует из внешнего мира меньше всего; как орудием, так и объектом воздействия здесь является только он сам, так по крайней мере кажется; поэтому, изучая процесс математической мысли, мы вправе рассчитывать на проникновение в самую сущность человеческого ума. |
On l'a compris depuis longtemps, et, il y a quelques
mois, une revue intitulée l'Enseignement mathématique,
et dirigée par MM. Laisant et Fehr, a entrepris une enquête sur
les habitudes d'esprit et les méthodes de travail des
différents mathématiciens. J'avais arrêté les
principaux traits de ma conférence quand les résultats de cette
enquête ont été publiés ; je n'ai donc
guère pu les utiliser. Je me bornerai à dire que la
majorité des témoignages confirment mes conclusions ; je
ne dis pas l'unanimité, car, quand on consulte le suffrage universel,
on ne peut se flatter de réunir l'unanimité. |
Это было понято давно; и вот несколько месяцев тому назад журнал "Математическое образование", редактируемый профессорами Лезаном и Фером, предпринял анкету по вопросу о привычках ума н приемах работы различных математиков. Но мое сообщение в главных чертах было уже готово, когда были опубликованы результаты этой анкеты, так что я совершенно не мог ими воспользоваться! Скажу только, что большинство свидетельств подтверждали мои заключения, я не говорю - все, так как нельзя рассчитывать на единогласие ответов, когда вопрос ставится на всеобщее голосование. |
Un premier fait doit nous étonner, ou
plutôt devrait nous étonner, si nous n'y étions si
habitués. Comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent
pas les Mathématiques ? Si les Mathématiques n'invoquent
que les règles de la Logique, celles qui sont acceptées par
tous les esprits bien faits, si leur évidence est fondée sur
des principes qui sont communs à tous les hommes et que nul ne saurait
nier sans être fou, comment se fait-il qu'il y ait tant de personnes
qui y soient totalement réfractaires ? |
Начнем с одного факта, который должен нас изумлять или, вернее, должен был бы изумлять, если бы мы к нему не привыкли. Чем объяснить то обстоятельство, что некоторые люди не понимают математических рассуждений? Если эти рассуждения основаны на одних лишь правилах логики, правилах, признаваемых всеми нормальными умами, если их очевидность основывается на принципах, которые общи всем людям и которых никто в здравом уме не станет отрицать, то как возможно существование столь многих людей, совершенно к ним неспособных? |
Que tout le monde ne soit pas capable d'invention, cela
n'a rien de mystérieux. Que tout le monde ne puisse retenir une
démonstration qu'il a apprise autrefois, passe encore. Mais que tout
le monde ne puisse pas comprendre un raisonnement mathématique au
moment où on le lui expose, voilà qui paraît bien
surprenant quand on y réfléchit. Et pourtant ceux qui ne
peuvent suivre ce raisonnement qu'avec peine sont en majorité ;
cela est incontestable, et l'expérience des maîtres de
l'enseignement secondaire ne me contredira certes pas. |
Что не всякий способен на творчество, в этом нет ничего удивительного. Что не всякий может запомнить .доказательство, однажды им узнанное, с этим также можно примириться. Но что не всякий может понимать математическое рассуждение в тот момент, когда ему его излагают, вот что кажется в высшей степени поразительным, когда начинаешь в это вдумываться. А между тем тех, которые лишь с трудом могут следить за таким рассуждением, большинство; это неоспоримый факт, и опыт учителей средней школы наверное ему не противоречит. |
Et il y a plus ; comment l'erreur est-elle
possible en Mathématiques ? Une intelligence saine ne doit pas
commettre de faute de logique, et cependant il y a des esprits très
fins, qui ne broncheront pas dans un raisonnement court tel que ceux que l'on
a à faire dans les actes ordinaires de la vie, et qui sont incapables
de suivre ou de répéter sans erreur les démonstrations
des Mathématiques qui sont plus longues, mais qui ne sont,
après tout, qu'une accumulation de petits raisonnements tout à
fait analogues à ceux qu'ils font si facilement. Est-il
nécessaire d'ajouter que les bons mathématiciens
eux-mêmes ne sont pas infaillibles ? |
Но мало того: как возможна ошибка в математическом рассуждении? Здравый ум не должен допускать логических ошибок, а между тем иные острые умы, безошибочные в тех кратких рассуждениях, которые приходится делать при обычных повседневных обстоятельствах, оказываются неспособными следить или повторить без ошибок математические доказательства, которые, хотя и более длинны, но, в сущности, представляют собой лишь нагромождение маленьких рассуждений, совершенно подобных тем, что даются им так легко. Нужно ли добавлять, что и хорошие математики далеко не непогрешимы? |
La réponse me semble s'imposer. Imaginons une
longue série de syllogismes, et que les conclusions des premiers
servent de prémisses aux suivants ; nous serons capables de
saisir chacun de ces syllogismes, et ce n'est pas dans le passage des
prémisses à la conclusion que nous risquons de nous tromper.
Mais, entre le moment où nous rencontrons pour la première fois
une proposition, comme conclusion d'un syllogisme, et celui où nous la
retrouvons comme prémisse d'un autre syllogisme, il se sera
écoulé parfois beaucoup de temps, on aura déroulé
de nombreux anneaux de la chaîne ; il peut donc arriver qu'on
l'ait oubliée, ou, ce qui est plus grave, qu'on en ait oublié
le sens. Il peut donc se faire qu'on la remplace par une proposition un peu
différente, ou que, tout en conservant le même
énoncé, on lui attribue un sens un peu différent, et
c'est ainsi qu'on est exposé à l'erreur. |
Ответ представляется мне очевидным. Представим себе длинную цепь силлогизмов, в которой заключения предыдущих силлогизмов служат посылками для последующих; мы способны понять каждый силлогизм в отдельности, и при переходе от посылок к заключению мы не рискуем впасть в ошибку. Но между моментом, когда мы в первый раз встретили какое-нибудь предложение в виде заключения некоторого силлогизма, и тем моментом, когда мы вновь с ним встречаемся как посылкой другого силлогизма, иногда проходит много времени, в течение которого были развернуты многочисленные звенья цепи; и вот может случиться, что за это время мы либо вовсе забыли это предложение, либо, что еще хуже, забыли его смысл. Таким образом, возможно, что мы его заменим другим, несколько отличным от него предложением или, сохраняя его словесное выражение, припишем ему несколько иной смысл; в том и в другом случае мы рискуем ошибиться. |
Souvent le mathématicien doit se servir d'une
règle : naturellement il a commencé par démontrer
cette règle ; au moment où cette démonstration
était toute fraîche dans son souvenir, il en comprenait
parfaitement le sens et la portée, et il ne risquait pas de
l'altérer. Mais ensuite il l'a confiée à sa
mémoire et il ne l'applique plus que d'une façon
mécanique ; alors, si la mémoire lui fait défaut,
il peut l'appliquer tout de travers. C'est ainsi, pour prendre un exemple
simple et presque vulgaire, que nous faisons quelquefois des fautes de calcul
parce que nous avons oublié notre table de multiplication. |
Часто математику приходится пользоваться много раз одним и тем же правилом: в первый раз он, конечно, доказывает себе его справедливость; пока это доказательство остается в его памяти вполне ясным и свежим, пока он совершенно точно представляет себе смысл и широту охвата этого правила, до тех пор нет никакого риска в его употреблении. Но когда в дальнейшем наш математик, полагаясь на свою память, продолжает применять правило уже совершенно механически, тогда какой-нибудь изъян в памяти может привести к ложному применению правила. Так, если взять простой, почти избитый пример, мы иногда делаем ошибки в счете по той причине, что забыли нашу таблицу умножения. |
A ce compte, l'aptitude spéciale aux
Mathématiques ne serait due qu'à une mémoire très
sûre, ou bien à une force d'attention prodigieuse. Ce serait une
qualité analogue à celle du joueur de whist, qui retient les
cartes tombées ; ou bien, pour nous élever d'un
degré, à celle du joueur d'échecs, qui peut envisager un
nombre très grand de combinaisons et les garder dans sa
mémoire. Tout bon mathématicien devrait être en
même temps bon joueur d'échecs, et inversement ; il devrait
être également un bon calculateur numérique. Certes, cela
arrive quelquefois : ainsi Gauss était à la fois un
géomètre de génie et un calculateur très
précoce et très sûr. |
С этой точки зрения специальная способность в математике должна обусловливаться очень верной памятью или скорее необычайной напряженностью внимания. Это качество можно было бы сравнить со способностью игрока в вист запоминать вышедшие карты, или, чтобы взять более сильную степень, со способностью шахматиста обозревать и предвидеть очень большое число комбинаций и удерживать их в памяти. С этой точки зрения всякий хороший математик должен был бы быть в то же время хорошим шахматистом, и наоборот; равным образом, он должен быть силен в числовых выкладках. Конечно, иногда так и бывает; так, Гаусс одновременно был гениальным геометром и очень искусным и уверенным вычислителем. |
Mais il y a des exceptions, ou plutôt je me
trompe ; je ne puis pas appeler cela des exceptions, sans quoi les
exceptions seraient plus nombreuses que les cas conformes à la
règle. C'est Gauss, au contraire, qui était une exception.
Quant à moi, je suis obligé de l'avouer, je suis absolument
incapable de faire une addition sans faute. Je serais également un
fort mauvais joueur d'échecs ; je calculerais bien qu'en jouant
de telle façon, je m'expose à tel danger ; je passerais en
revue beaucoup d'autres coups que je rejetterais pour d'autres raisons, et je
finirais par jouer le coup d'abord examiné, ayant oublié dans
l'intervalle le danger que j'avais prévu. |
Но бывают исключения; впрочем, я ошибаюсь, говоря "исключения", ибо тогда исключения окажутся многочисленнее случаев, подходящих под правило. Напротив, именно Гаусс и представляет собой исключение. Что же касается, например, меня лично, то я должен сознаться, что неспособен сделать без ошибки сложение. Равным образом, из меня вышел бы плохой шахматист; я, быть может, хорошо рассчитал бы, что, играя таким-то образом, я подвергаюсь такой-то опасности; я бы разобрал много других ходов, которые отверг бы по тем или другим причинам; но в конце концов я, наверное, сделал бы ход, уже рассмотренный, забыв тем временем о той опасности, которую я раньше предусмотрел. |
En un mot, ma mémoire n'est pas mauvaise, mais
elle serait insuffisante pour faire de moi un bon joueur d'échecs. |
Одним словом, память у меня неплохая, но она была бы недостаточна для того, чтобы я мог стать хорошим игроком в шахматы. |
Pourquoi donc ne me fait-elle pas défaut dans un
raisonnement mathématique difficile, où la plupart des joueurs
d'échecs se perdraient ? C'est évidemment parce qu'elle
est guidée par la marche générale du raisonnement. Une
démonstration mathématique n'est pas une simple juxtaposition
de syllogismes : ce sont des syllogismes placés dans un
certain ordre, et l'ordre dans lequel ces éléments sont placés
est beaucoup plus important que ne le sont ces éléments
eux-mêmes. Si j'ai le sentiment, l'intuition, pour ainsi dire, de cet
ordre, de façon à apercevoir d'un coup d'œil l'ensemble du
raisonnement, je ne dois plus craindre d'oublier l'un des
éléments ; chacun d'eux viendra se placer de
lui-même dans le cadre qui lui est préparé, et sans que
j'aie à faire aucun effort de mémoire. |
Почему же она не изменяет мне в трудном математическом рассуждении, в котором растерялось бы большинство шахматистов? Очевидно, по той причине, что здесь моей памятью руководит общий ход рассуждения. Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с моей стороны. |
Il me semble alors, en répétant un
raisonnement appris, que j'aurais pu l'inventer ; ou plutôt,
même si cela est une illusion, si je ne suis pas assez fort pour
créer par moi-même, je le réinvente moi-même,
à mesure que je le répète. |
Далее, когда я повторяю усвоенное доказательство, мне часто кажется, что я мог бы и сам придумать его; быть может, часто это только иллюзия; но если даже у меня недостаточно сил, чтобы самостоятельно найти такое доказательство, то я по меньшей мере самостоятельно создаю его всякий раз, когда мне приходится его повторять. |
On conçoit que ce sentiment, cette intuition de
l'ordre mathématique, qui nous fait deviner des harmonies et des
relations cachées, ne puisse appartenir à tout le monde. Les
uns ne posséderont ni ce sentiment délicat et difficile
à définir, ni une force de mémoire et d'attention
au-dessus de l'ordinaire, et alors ils seront absolument incapables de
comprendre les Mathématiques un peu élevées ; c'est
le plus grand nombre. D'autres n'auront ce sentiment qu'à un faible
degré, mais ils seront doués d'une mémoire peu commune
et d'une grande capacité d'attention. Ils apprendront par cœur
les détails les uns après les autres ; ils pourront
comprendre les Mathématiques et quelquefois les appliquer, mais ils
seront hors d'état de créer. Les autres, enfin,
posséderont à un plus ou moins haut degré l'intuition
spéciale dont je viens de parler, et alors non seulement ils pourront
comprendre les Mathématiques, quand même leur mémoire
n'aurait rien d'extraordinaire, mais ils pourront devenir créateurs et
chercher à inventer avec plus ou moins de succès, suivant que
cette intuition est chez eux plus ou moins développée. |
Понятно, что это чувство, этот род математической интуиции, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии н соотношения, не может быть принадлежностью всех людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оценимым чувством, ни силой памяти и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными понять сколько-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью внимания. Они запомнят наизусть частности, одну за другой; они смогут понять математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоянии творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной интуицией, о которой я только что говорил, не только смогут понять математику, не обладая особенной памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых открытий будут более или менее успешны, смотря по степени развития у них этой интуиции. |
Qu'est-ce, en effet, que l'invention
mathématique ? Elle ne consiste pas à faire de nouvelles
combinaisons avec des êtres mathématiques déjà
connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire ; mais les combinaisons
que l'on pourrait faire ainsi seraient en nombre fini, et le plus grand
nombre est absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela
consiste précisément à ne pas construire les
combinaisons inutiles et à construire celles qui sont utiles et qui ne
sont qu'une infime minorité. Inventer, c'est discerner, c'est choisir. |
В чем, в самом деле, состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы бесконечно, и даже самое большое их число не пред-ставляло бы ровно никакого интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций, а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство. Творить - это отличать, выбирать. |
Comment doit se faire ce choix, je l'ai expliqué
ailleurs ; les faits mathématiques dignes d'être
étudiés, ce sont ceux qui, par leur analogie avec d'autres
faits, sont susceptibles de nous conduire à la connaissance d'une loi
mathématique, de la même façon que les faits
expérimentaux nous conduisent à la connaissance d'une loi
physique. Ce sont ceux qui nous révèlent des parentés
insoupçonnées entre d'autres faits, connus depuis longtemps,
mais qu'on croyait à tort étrangers les uns aux autres. |
Как следует производить этот выбор, я объяснил в другом месте; в математике фактами, заслуживающими изучения, являются те, которые ввиду их сходства с другими фактами способны привести нас к открытию какого-нибудь математического закона, совершенно подобно тому, как экспериментальные факты приводят к открытию физического закона. Это именно те факты, которые обнаруживают родство между другими фактами, известными с давних пор, но ошибочно считавшимися чуждыми друг другу. |
Parmi les combinaisons que l'on choisira, les plus
fécondes seront souvent celles qui sont formées
d'éléments empruntés à des domaines très
éloignés. Je ne veux pas dire qu'il suffise pour inventer de
rapprocher des objets aussi disparates que possible ; la plupart des
combinaisons qu'on formerait ainsi seraient entièrement stériles ;
mais quelques-unes d'entre elles, bien rares, sont les plus fécondes
de toutes. |
Среди комбинаций, на которые падает выбор, часто наиболее плодотворными оказываются те, элементы которых взяты из наиболее удаленных друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для нового открытия достаточно сблизить возможно глубже различающиеся предметы; большинство комбинаций, построенных таким образом, оказались бы совершенно бесплодными; но некоторые, правда, очень немногие из них, бывают наиболее плодотворными. |
Inventer, je l'ai dit, c'est choisir ; mais le mot
n'est peut-être pas tout à fait juste. Il fait penser à
un acheteur à qui l'on présente un grand nombre
d'échantillons, qui les examine l'un après l'autre de
façon à faire son choix. Ici les échantillons seraient
tellement nombreux qu'une vie entière ne suffirait pas pour les
examiner. Ce n'est pas ainsi que les choses se passent. Les combinaisons
stériles ne se présenteront même pas à l'esprit de
l'inventeur. Dans le champ de sa conscience n'apparaîtront jamais que
les combinaisons réellement utiles, et quelques autres qu'il
rejettera, mais qui participent un peu des caractères des combinaisons
utiles. Tout se passe comme si l'inventeur était un examinateur du
deuxième degré, qui n'aurait plus à interroger que les
candidats déclarés admissibles après une première
épreuve. |
Творить, изобретать, сказал я, значит выбирать; но это слово, пожалуй, не вполне подходит. Оно вызывает представление о покупателе, которому предлагают громадное число образчиков и который их пересматривает один за другим, имея в виду сделать свой выбор. Здесь число образчиков было бы так велико, что всей жизни не хватило бы для пересмотра всех их. Но в действительности это обстоит иначе. Бесплодные комбинации даже и не представляются уму изобретателя. В поле его сознания появляются лишь действительно полезные комбинации, да еще некоторые другие, которые он, правда, отбросит в сторону, но которые не лишены характера полезных комбинаций. Все происходит подобно тому, как если бы изобретатель был экзаменатором второй ступени, имеющим дело лишь с кандидатами, успешно прошедшими через первое испытание. |
Mais ce que j'ai dit jusqu'ici, c'est ce qu'on peut
observer ou inférer en lisant les écrits des
géomètres, à la condition de faire cette lecture avec
quelque réflexion. |
К тому, что мною сказано до сих пор, можно прийти посредством наблюдения или вывода при чтении произведений математиков, если только вдумчиво это делать. |
Il est temps de pénétrer plus avant et de
voir ce qui se passe dans l'âme même du mathématicien.
Pour cela, je crois que ce que j'ai de mieux à faire, c'est de
rappeler des souvenirs personnels. Seulement, je vais me circonscrire et vous
raconter seulement comment j'ai écrit mon premier Mémoire sur
les fonctions fuchsiennes. Je vous demande pardon, je vais employer quelques
expressions techniques ; mais elles ne doivent pas vous effrayer, vous
n'avez aucun besoin de les comprendre. Je dirai, par exemple : J'ai
trouvé la démonstration de tel théorème dans telles
circonstances ; ce théorème aura un nom barbare, que
beaucoup d'entre vous ne connaîtront pas, mais cela n'a aucune
importance ; ce qui est intéressant pour le psychologue, ce n'est
pas le théorème, ce sont les circonstances. |
Теперь пора вникнуть глубже и посмотреть, что происходит в самой душе математика. Лучшее, что я могу сделать с этой целью, - это, я полагаю, обратиться к моим личным воспоминаниям. Впрочем, я ограничусь тем, что расскажу вам, как я написал мой первый мемуар о фуксовых функциях. Прошу у вас извинения, ибо мне придется употребить несколько технических выражений; но они не должны вас пугать: вам, собственно, незачем их понимать. Например, я скажу так: я нашел доказательство такой-то теоремы при таких-то обстоятельствах; эта теорема будет носить варварское название, которое для большинства из вас не будет понятно, но это совершенно неважно; все, что интересно здесь для психолога, - это условия, обстоятельства. |
Depuis quinze jours, je m'efforçais de
démontrer qu'il ne pouvait exister aucune fonction analogue à
ce que j'ai appelé depuis les fonctions fuchsiennes ;
j'étais alors fort ignorant ; tous les jours, je m'asseyais
à ma table de travail, j'y passais une heure ou deux, j'essayais un
grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat.
Un soir, je pris du café noir contrairement à mon
habitude ; je ne pus m'endormir ; les idées surgissaient en
foule ; je les sentais comme se heurter, jusqu'à ce que deux
d'entre elles s'accrochassent pour ainsi dire pour former une combinaison
stable. Le matin, j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions
fuchsiennes, celles qui dérivent de la série
hypergéométrique ; je n'eus plus qu'à
rédiger les résultats, ce qui ne me prit que quelques heures. |
В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функции; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов. |
Je voulus ensuite représenter ces fonctions par
le quotient de deux séries ; cette idée fut parfaitement
consciente et réfléchie ; l'analogie avec les fonctions
elliptiques me guidait. Je me demandai quelles devaient être les
propriétés de ces séries si elles existaient, et
j'arrivai sans difficulté à former les séries que j'ai
appelées thétafuchsiennes. |
Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос; каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют, и я пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета- фуксовыми функциями. |
A ce moment, je quittai Caen, que j'habitais alors,
pour prendre part à une course géologique entreprise par
l'École des Mines. Les péripéties du voyage me firent
oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à
Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle
promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marche-pied,
l'idée me vint, sans que rien de mes pensées antérieures
parut m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais
fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes sont identiques
à celles de la Géométrie non-euclidienne. Je ne fis pas
la vérification ; je n'en aurais pas eu le temps, puisque,
à peine assis dans l'omnibus, je repris la conversation
commencée, mais j'eus tout de suite une entière certitude. De
retour à Caen, je vérifiai le résultat à
tête reposée pour l'acquit de ma conscience. |
В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетии я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея - хотя мои предыдущие мысли не имели с нею ничего общего,- что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии. Я не проверил этой идеи; для этого я не имел времени, так как, едва усевшись в омнибус, я возобновил начатый разговор, тем не менее я сразу почувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратись в Кан, я сделал проверку; идея оказалась правильной. |
Je me mis alors à étudier des questions
d'Arithmétique sans grand résultat apparent et sans
soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes
recherches antérieures. Dégoûté de mon
insuccès, j'allai passer quelques jours au bord de la mer, et je
pensai à tout autre chose. Un jour, en me promenant sur une falaise,
l'idée me vint, toujours avec les mêmes caractères de brièveté,
de soudaineté et de certitude immédiate, que les
transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires
indéfinies sont identiques à celles de la
Géométrie non euclidienne. |
Вслед за тем я занялся некоторыми вопросами арифметики, по-видимому, без особенного успеха; мне и в голову не приходило, что эти вопросы могут иметь хотя бы самое отдаленное отношение к моим предыдущим исследованиям. Раздосадованный неудачей, я решил провести несколько дней на берегу моря и стал думать о совершенно других вещах. Однажды, когда я бродил по прибрежным скалам, мне пришла в голову мысль, опять-таки с теми же характерными признаками: краткостью, внезапностью и непосредственной уверенностью в ее истинности, что арифметические преобразования неопределенных квадратичных трехчленов тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии. |
Étant revenu à Caen, je
réfléchis sur ce résultat, et j'en tirai les
conséquences ; l'exemple des formes quadratiques me montrait
qu'il y a des groupes fuchsiens autres que ceux qui correspondent à la
série hypergéométrique ; je vis que je pouvais leur
appliquer la théorie des séries thétafuchsiennes et que,
par conséquent, il existe des fonctions fuchsiennes autres que celles
qui dérivent de la série hypergéométrique, les
seules que je connusse jusqu'alors. Je me proposai naturellement de former
toutes ces fonctions ; j'en fis un siège systématique et
j'enlevai l'un après l'autre tous les ouvrages avancés ;
il y en avait un, cependant, qui tenait encore et dont la chute devait
entraîner celle du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirent
d'abord qu'à me mieux faire connaître la difficulté, ce
qui était déjà quelque chose. Tout ce travail fut
parfaitement conscient. |
Возвратившись в Кан, я стал размышлять над этой мыслью и сделал из нее некоторые выводы; пример квадратичных форм показал мне, что, помимо фуксовых групп, которые соответствуют гипергеометрическому ряду, существуют еще и другие; я увидел, что к ним можно приложить теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существуют еще иные фуксовы функции, помимо тех, которые происходят из гнпергеометрического ряда и которые только и были известны мне до тех пор. Понятно, я задался целью образовать все такие функции; я повел правильную осаду и овладел одним за другим всеми наружными фортами; но один все еще держался; его падение должно было повлечь за собой сдачу крепости. Однако все мои усилия приводили лишь к большему убеждению в трудности задачи; но и это уже имело некоторое значение. Вся эта работа происходила вполне сознательно. |
Là-dessus, je partis pour le Mont Valérien,
où je devais faire mon service militaire ; j'eus donc des
préoccupations très différentes. Un jour, en traversant
le boulevard, la solution de la difficulté qui m'avait
arrêté m'apparut tout à coup. Je ne cherchai pas à
l'approfondir immédiatement, et ce fut seulement après mon
service que je repris la question. J'avais tous les éléments,
je n'avais qu'à les rassembler et à les ordonner. Je
rédigeai donc mon Mémoire définitif d'un trait et sans
aucune peine. |
Тут мне пришлось уехать в Мон-Валерьен, где я должен был отбывать воинскую повинность; конечно, я был поглощен разнообразнейшими делами. Однажды я шел по бульвару, как вдруг мне представилось решение занимавшей меня задачи. Я не стал тогда же вникать в этот вопрос; это я сделал лишь по окончании военной службы. В руках у меня были все необходимые данные, оставалось только собрать их вместе и расположить в надлежащем порядке. Теперь я уже в один присест без всякого усилия написал свой окончательный мемуар. |
Je me bornerai à cet exemple unique ; il
est inutile de les multiplier ; en ce qui concerne mes autres
recherches, j'aurais à vous faire des récits tout à fait
analogues ; et les observations rapportées par d'autres mathématiciens
dans l'enquête de l'Enseignement mathématique ne
pourraient que les confirmer. |
Я ограничусь одним только этим примером; было бы бесполезно увеличивать их число, о многих других исследованиях мне пришлось бы повторять почти то же самое; наблюдения, сообщаемые другими математиками в ответе на анкету журнала "Математическое образование", тоже лишь подтвердили бы сказанное. |
Ce qui frappera tout d'abord, ce sont ces apparences
d'illumination subite, signes manifestes d'un long travail inconscient
antérieur ; le rôle de ce travail inconscient, dans l'invention
mathématique, me paraît incontestable et l'on en trouverait des
traces dans d'autres cas où il est moins évident. Souvent,
quand on travaille une question difficile, on ne fait rien de bon la
première fois qu'on se met à la besogne ; ensuite, on
prend un repos plus ou moins long, et on s'assoit de nouveau devant sa table.
Pendant la première demi-heure, on continue à ne rien
trouver ; puis, tout à coup, l'idée décisive se
présente à l'esprit. On pourrait dire que le travail conscient
a été plus fructueux parce qu'il a été interrompu
et que le repos a rendu à l'esprit sa force et sa fraîcheur.
Mais il est plus probable que ce repos a été rempli par un
travail inconscient, et que le résultat de ce travail s'est
révélé ensuite au géomètre, tout à
fait comme dans les cas que j'ai cités ; seulement la
révélation, au lieu de se faire jour pendant une promenade ou
un voyage, s'est produite pendant une période de travail conscient,
mais indépendamment de ce travail, qui joue tout au plus un rôle
de déclenchement, comme s'il était l'aiguillon qui aurait
excité les résultats déjà acquis pendant le
repos, mais restés inconscients, à revêtir la forme
consciente. |
Прежде всего, поражает этот характер внезапного прозрения, с несомненностью свидетельствующий о долгой предварительной бессознательной работе; роль этой бессознательной работы в процессе математического творчества кажется мне неоспоримой; следы ее можно было бы. найти и в. других случаях, где она является менее очевидной- Часто, когда думаешь над каким-нибудь трудным вопросом, за первый присест не удается сделать ничего путного; затем, отдохнув более или менее продолжительное время, садишься снова за стол. Проходит полчаса и все так же безрезультатно, как вдруг в голове появляется решающая мысль. Можно думать, что сознательная работа оказалась более плодотворной, благодаря тому, что она была временно прервана, и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что это время отдыха было заполнено бессознательной работой, результат которой потом раскрывается перед математиком, подобно тому как это имело место в приведенных примерах; но только здесь это откровение происходит не во время прогулки или путешествия, а во время сознательной работы, хотя в действительности независимо от этой работы, разве только разматывающей уже готовые изгибы; эта работа играет как бы только роль стимула, который заставляет результаты, приобретенные за время покоя, но оставшиеся за порогом сознания, облечься в форму, доступную сознанию. |
Il y a une autre remarque à faire au sujet des
conditions de ce travail inconscient : c'est qu'il n'est possible et, en
tout cas, qu'il n'est fécond que s'il est, d'une part,
précédé, et, d'autre part, suivi d'une période de
travail conscient. Jamais (et les exemples que je vous ai cités le
prouvent déjà suffisamment) ces inspirations subites ne se
produisent sinon après quelques jours d'efforts volontaires, qui ont
paru absolument infructueux et où l'on a cru ne rien faire de bon,
où il semble qu'on a fait totalement fausse route. Ces efforts n'ont
donc pas été aussi stériles qu'on le pense ; ils
ont mis en branle la machine inconsciente, et sans eux elle n'aurait pas
marché et elle n'aurait rien produit. |
Можно сделать еще одно замечание по поводу условий такой бессознательной работы; а именно: эта работа возможна или по меньшей мере плодотворна лишь в том случае, если ей предшествует и за нею следует период сознательной работы. Никогда (и приведенные мною примеры достаточны для такого утверждения) эти внезапные внушения не происходят иначе, как после нескольких дней волевых усилий, казавшихся совершенно бесплодными, так что весь пройденный путь в конце концов представлялся ложным. Но эти усилия оказываются в действительности не такими уж бесплодными, как это казалось; это они пустили в ход машину бессознательного, которая без них не стала бы двигаться и ничего бы не произвела. |
La nécessité de la seconde période
de travail conscient, après l'inspiration, se comprend mieux encore.
Il faut mettre en œuvre les résultats de cette inspiration, en déduire
les conséquences immédiates, les ordonner, rédiger les
démonstrations. Mais surtout il faut les vérifier. Je vous ai
parlé du sentiment de certitude absolue qui accompagne
l'inspiration ; dans les cas cités, ce sentiment n'était
pas trompeur, et le plus souvent, il en est ainsi ; mais il faut se
garder de croire que ce soit une règle sans exception ; souvent
ce sentiment nous trompe, sans pour cela être moins vif, et l'on ne
s'en aperçoit que quand on cherche à mettre la
démonstration sur pied. J'ai observé surtout le fait pour les
idées qui me sont venues le matin ou le soir dans mon lit, dans un
état semi-hypnagogique. |
Необходимость второго периода сознательной работы представляется еще более понятной. Надо пустить в действие результаты этого вдохновения, сделать из них непосредственные выводы, привести их в порядок, провести доказательства; а прежде всего их надо проверить. Я говорил вам о чувстве абсолютной достоверности, сопровождающем вдохновение; в приведенных примерах это чувство меня не обмануло, и так оно бывает в большинстве случаев; но следует остерегаться мнения, что так бывает всегда; подчас это чувство нас обманывает, хотя оно и в этих случаях ощущается не менее живо; ошибка обнаруживается лишь тогда, когда хочешь провести строгое доказательство. Это, по моим наблюдениям, особенно часто имеет место с мыслями, которые приходят в голову утром или вечером, когда я лежу в постели в полусонном состоянии. |
Tels sont les faits, et voici maintenant les
réflexions qu'ils nous imposent. Le moi inconscient ou, comme on dit,
le moi subliminal joue un rôle capital dans l'invention
mathématique ; cela résulte de tout ce qui
précède. Mais on considère d'ordinaire le moi subliminal
comme purement automatique. Or nous avons vu que le travail
mathématique n'est pas un simple travail mécanique, qu'on ne
saurait le confier à une machine, quelque perfectionnée qu'on
la suppose. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer des règles, de
fabriquer le plus de combinaisons possibles d'après certaines lois
fixes. Les combinaisons ainsi obtenues seraient extrêmement nombreuses,
inutiles et encombrantes. Le véritable travail de l'inventeur consiste
à choisir entre ces combinaisons, de façon à
éliminer celles qui sont inutiles ou plutôt à ne pas se
donner la peine de les faire. |
Таковы факты; они наводят нас на следующие размышления. Бессознательное или, как еще говорят, подсознательное "я" играет в математическом творчестве роль первостепенной важности; это явствует из всего предшествующего. Но это подсознательное "я" обычно считают совершенно автоматическим; Между тем мы видели, что математическая работа не есть простая механическая работа; ее нельзя доверить никакой машине, как бы совершенна она ни была. Дело не только в том, чтобы применять известные правила и сфабриковать как можно больше комбинаций по некоторым установленным законам. Полученные таким путем комбинации были бы невероятно многочисленны, но бесполезны и служили бы лишь помехой. Истинная творческая работа состоит в том, чтобы делать выбор среди этих комбинаций, исключая из рассмотрения те, которые являются бесполезными, или даже в том, чтобы освобождать себя от труда создавать эти бесполезные комбинации. |
Et les règles qui doivent guider ce choix sont
extrêmement fines et délicates ; il est à peu
près impossible de les énoncer dans un langage
précis ; elles se sentent plutôt qu'elles ne se
formulent ; comment, dans ces conditions, imaginer un crible capable de
les appliquer mécaniquement ? |
Но правила, руководящие этим выбором, - крайне тонкого, деликатного характера; почти невозможно точно выразить их словами; они явственно чувствуются, но плохо поддаются формулировке; возможно ли при таких обстоятельствах представить себе решето, способное просеивать их механически? |
Et alors une première hypothèse se
présente à nous ; le moi subliminal n'est nullement
inférieur au moi conscient ; il n'est pas purement automatique,
il est capable de discernement, il a du tact, de la délicatesse ;
il sait choisir, il sait deviner. Que dis-je ? Il sait mieux deviner que
le moi conscient, puisqu'il réussit là où celui-ci avait
échoué. En un mot, le moi subliminal n'est-il pas
supérieur au moi conscient ? Vous comprenez toute l'importance de
cette question. M. Boutroux, dans une conférence récente, vous
a montré comment elle s'était posée à des
occasions toutes différentes et quelles conséquences
entraînerait une réponse affirmative. (Voir aussi du même
auteur, Science et religion, page 313, sqq.)[1] |
А в таком случае представляется правдоподобной такая гипотеза: "я" подсознательное нисколько не "ниже", чем "я" сознательное; оно отнюдь не имеет исключительно механического характера, но способно к распознаванию, обладает тактом, чувством изящного; оно умеет выбирать и отгадывать. Да что там! Оно лучше умеет отгадывать, чем "я" сознательное, ибо ему удается то, перед чем другое "я" оказывается бессильным. Одним словом, не является ли подсознательное "я" чем-то высшим, чем "я" сознательное? Вам понятна вся важность этого вопроса. Бутру в лекции, прочитанной месяца два тому назад, показал, каким образом к тому же вопросу приводят совершенно другие обстоятельства и к каким следствиям привел бы положительный ответ на него. |
Cette réponse affirmative nous est-elle
imposée par les faits que je viens de vous exposer ? J'avoue que,
pour ma part, je ne l'accepterais pas sans répugnance. Revoyons donc
les faits et cherchons s'ils ne comporteraient pas une autre explication. |
Приводят ли нас к этому положительному ответу те факты, которые я только что изложил? Что касается меня, то я, признаюсь, отнесся бы к такому ответу далеко не сочувственно. Пересмотрим же вновь факты и поищем, не допускают ли они другого объяснения. |
Il est certain que les combinaisons qui se
présentent à l'esprit, dans une sorte d'illumination subite,
après un travail inconscient un peu prolongé, sont
généralement des combinaisons utiles et fécondes, qui
semblent le résultat d'un premier triage. S'ensuit-il que le moi
subliminal, ayant deviné par une intuition délicate que ces
combinaisons pouvaient être utiles, n'a formé que
celles-là, ou bien en a-t-il formé beaucoup d'autres qui
étaient dépourvues d'intérêt et qui sont
demeurées inconscientes. |
Несомненно, что те комбинации, которые представляются уму в момент какого-то внезапного просветления, наступающего после более или менее продолжительного периода бессознательной работы, в общем случае оказываются полезными и плодотворными, являясь, по-видимому, результатом первого отбора. Но следует ли отсюда, что подсознательное "я", отгадавшее с помощью тонкой интуиции, что эти комбинации могут быть полезны, только эти именно комбинации и построило, или, может быть, оно построило еще множество других, оказавшихся лишенными всякого интереса и потому не переступивших порога сознания? |
Dans cette seconde manière de voir, toutes les
combinaisons se formeraient par suite de l'automatisme du moi subliminal,
mais, seules, celles qui seraient intéressantes
pénétreraient dans le champ de la conscience. Et cela est
encore très mystérieux. Quelle est la cause qui fait que, parmi
les mille produits de notre activité inconsciente, il y en a qui sont
appelés à franchir le seuil, tandis que d'autres restent en
deçà ? Est-ce un simple hasard qui leur confère ce
privilège ? Évidemment non ; parmi toutes les
excitations de nos sens, par exemple, les plus intenses seules retiendront
notre attention, à moins que cette attention n'ait été
attirée sur elles par d'autres causes. Plus
généralement, les phénomènes inconscients
privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients,
ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus
profondément notre sensibilité. |
С этой второй точки зрения все комбинации создаются благодаря автоматизму подсознательного "я", но только те из них, которые могут оказаться интересными, проникают в поле сознания. И это представляется еще более таинственным. В чем причина того, что среди тысяч продуктов нашей бессознательной деятельности одним удается переступить порог сознания, тогда как другие остаются за его порогом? Случайно ли даруется такая привилегия? Очевидно, нет; например, среди всех раздражений наших чувств только самые интенсивные остановят на себе наше внимание, если только оно не привлекается еще и другими причинами. Вообще, среди несознаваемых явлений привилегированными, т. е. способными стать сознаваемыми, оказываются те, которые прямо или косвенно оказывают наибольшее воздействие на нашу способность к восприятию. |
On peut s'étonner de voir invoquer la
sensibilité à propos de démonstrations
mathématiques, qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que
l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique,
de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance
géométrique. C'est un véritable sentiment
esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et
c'est bien là de la sensibilité. |
Может показаться странным, что по поводу математических доказательств, имеющих, по-видимому, дело лишь с мышлением, я заговорил о восприятии. Но считать это странным значило бы забыть о чувстве прекрасного в математике, о гармонии чисел и форм, о геометрическом изяществе. Всем истинным математикам знакомо настоящее эстетическое чувство. Но ведь здесь мы уже в области чувственного восприятия. |
Or, quels sont les êtres mathématiques
auxquels nous attribuons ce caractère de beauté et
d'élégance et qui sont susceptibles de développer en
nous une sorte d'émotion esthétique ? Ce sont ceux dont
les éléments sont harmonieusement disposés, de
façon que l'esprit puisse sans effort en embrasser l'ensemble tout en
pénétrant les détails. Cette harmonie est à la
fois une satisfaction pour nos besoins esthétiques et une aide pour
l'esprit, qu'elle soutient et qu'elle guide. Et, en même temps, en
mettant sous nos yeux un tout bien ordonné, elle nous fait pressentir
une loi mathématique. Or, nous l'avons dit plus haut, les seuls faits
mathématiques dignes de retenir notre attention et susceptibles
d'être utiles sont ceux qui peuvent nous faire connaître une loi
mathématique. De sorte que nous arrivons à la conclusion
suivante : Les combinaisons utiles, ce sont précisément
les plus belles, je veux dire celles qui peuvent le mieux charmer cette
sensibilité spéciale que tous les mathématiciens
connaissent, mais que les profanes ignorent au point qu'ils sont souvent
tentés d'en sourire. |
Но какие же именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными, какие именно предметы способны вызвать в нас своего рода эстетические эмоции? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым руководит. И в то же время, давая нам зрелище правильно расположенного целого, она вызывает в нас предчувствие математического закона. А ведь мы видели, что единственными математическими фактами, достойными нашего внимания и могущими оказаться полезными, являются как раз те, которые могут привести нас к открытию нового математического закона. Таким образом, мы приходим к следующему заключению: полезными комбинациями являются как раз наиболее изящные комбинации, т. е. те, которые в наибольшей степени способны удовлетворять тому специальному эстетическому чувству, которое знакомо всем математикам, но которое до того непонятно профанам, что упоминание о нем вызывает улыбку на их лицах. |
Qu'arrive-t-il alors ? Parmi les combinaisons en
très grand nombre que le moi subliminal a aveuglément
formées, presque toutes sont sans intérêt et sans
utilité, mais par cela même elles sont sans action sur la sensibilité
esthétique ; la conscience ne les connaîtra jamais ;
quelques-unes seulement sont harmonieuses, et par suite à la fois
utiles et belles ; elles seront capables d'émouvoir cette
sensibilité spéciale du géomètre dont je viens de
vous parler, et qui, une fois excitée, appellera sur elles notre
attention, et leur donnera ainsi l'occasion de devenir conscientes. |
Но что же тогда оказывается? Среди тех крайне многочисленных комбинаций, которые слепо создает мое подсознательное "я", почти все оказываются лишенными интереса и пользы, но именно поэтому они не оказывают никакого воздействия на эстетическое чувство, и сознание никогда о них не узнает; лишь некоторые среди них оказываются гармоничными, а следовательно, полезными и прекрасными в то же время; они сумеют разбудить ту специальную восприимчивость математика, о которой я только что говорил; последняя же, однажды возбужденная, со своей стороны, привлечет наше внимание к этим комбинациям и этим даст им возможность переступить через порог сознания. |
Ce n'est là qu'une hypothèse, et
cependant voici une observation qui pourrait la confirmer : Quand une
illumination subite envahit l'esprit du mathématicien, il, arrive le
plus souvent qu'elle ne le trompe pas ; mais il arrive aussi
quelquefois, je l'ai dit, qu'elle ne supporte pas l'épreuve d'une
vérification ; eh bien, on remarque presque toujours que cette
idée fausse, si elle avait été juste, aurait
flatté, notre instinct naturel de l'élégance
mathématique. |
Это не более как гипотеза; но вот наблюдение, решительно говорящее в ее пользу: когда ум математика испытывает внезапное просветление, то большей частью оно его не обманывает; но иногда все же случается, как я уже говорил, что пришедшие таким образом в голову идеи не выдерживают проверочных операций; и вот замечено, что почти всегда такая ложная идея, будь она верна, была бы приятна нашему естественному инстинкту математического изящества. |
Ainsi c'est cette sensibilité esthétique
spéciale qui joue le rôle du crible délicat dont je
parlais plus haut, et cela fait comprendre assez pourquoi celui qui en est
dépourvu ne sera jamais un véritable inventeur. |
Таким образом, именно это специальное эстетическое чувство играет роль того тонкого критерия, о котором я говорил выше; благодаря этому становится понятным и то, почему человек, лишенный этого чувства, никогда не окажется истинным творцом. |
Toutes les difficultés n'ont pas disparu
cependant ; le moi conscient est étroitement borné ;
quant au moi subliminal, nous n'en connaissons pas les limites, et c'est
pourquoi nous ne répugnons pas trop à supposer qu'il a pu
former en peu de temps plus de combinaisons diverses que la vie
entière d'un être conscient ne pourrait en embrasser. Ces
limites existent cependant ; est-il vraisemblable qu'il puisse former
toutes les combinaisons possibles, dont le nombre effrayerait
l'imagination ; cela semblerait nécessaire néanmoins, car,
s'il ne produit qu'une petite partie de ces combinaisons, et s'il le fait au
hasard, il y aura bien peu de chances pour que la bonne, celle qu'on
doit choisir, se trouve parmi elles. |
Однако такое объяснение не устраняет всех затруднений; сознательное "я" в крайней степени ограничено; что же касается подсознательного "я", то нам неизвестны его границы, и потому нет ничего неестественного в предположении, что оно может за небольшой промежуток времени создать больше различных комбинаций, чем может охватить сознательное существо за целую жизнь. Но тем не менее эти пределы существуют; в таком случае правдоподобно ли, чтобы это подсознательное "я" могло образовать, все возможные комбинации, число которых ужаснуло бы всякое воображение? И, однако, это представляется необходимым, ибо если оно создает лишь небольшую часть этих комбинаций, да и то делает на авось, то будет очень уж мало шансов на то, что среди них окажется удачная комбинация, т. е.та, которую надо найти. |
Peut-être faut-il chercher l'explication dans
cette période de travail conscient préliminaire qui
précède toujours tout travail inconscient fructueux. Qu'on me
permette une comparaison grossière. Représentons-nous les
éléments futurs de nos combinaisons comme quelque chose de
semblable aux atomes crochus d'Épicure. Pendant le repos complet de
l'esprit, ces atomes sont immobiles, ils sont pour ainsi dire
accrochés au mur : ce repos complet peut donc se prolonger
indéfiniment sans que ces atomes se rencontrent, et, par
conséquent, sans qu'aucune combinaison puisse se produire entre eux. |
Но, быть может, объяснения следует искать в том периоде сознательной работы, который всегда предшествует плодотворной бессознательной работе? Позвольте мне прибегнуть к грубому сравнению. Представим себе будущие элементы наших комбинаций чем-то вроде крючкообразных атомов Эпикура. Во время полного бездействия ума эти атомы неподвижны, как если бы они были повешены на стену; таким образом, этот полный покой ума может продолжаться неопределенно долго, и за все это время атомы не сблизятся ни разу и, следовательно, не осуществится ни одна комбинация. |
Au contraire, pendant une période de repos
apparent et de travail inconscient, quelques-uns d'entre eux sont
détachés du mur et mis en mouvement. Ils sillonnent dans tous
les sens l'espace, j'allais dire la pièce où ils sont
enfermés, comme pourrait le faire, par exemple, une nuée de
moucherons, ou, si vous préférez une comparaison plus savante,
comme le font les molécules gazeuses dans la théorie
cinétique des gaz. Leurs chocs mutuels peuvent alors produire des
combinaisons nouvelles. |
В противоположность этому, в течение периода кажущегося покоя и бессознательной работы некоторые из атомов отделяются от стены и приходят в движение. Они бороздят по всем направлениям то пространство, в котором они заключены, подобно рою мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, подобно молекулам газа в кинетической теории газов. Тогда их взаимные столкновения могут привести к образованию новых комбинаций. |
Quel va être le rôle du travail conscient
préliminaire ? C'est évidemment de mobiliser quelques-uns
de ces atomes, de les décrocher du mur et de les mettre en branle. On
croit qu'on n'a rien fait de bon parce qu'on a remué ces
éléments de mille façons diverses pour chercher à
les assembler et qu'on n'a pu trouver d'assemblage satisfaisant. Mais,
après cette agitation qui leur a été imposée par
notre volonté, ces atomes ne rentrent pas dans leur repos primitif.
Ils continuent librement leur danse. |
Какова же тогда роль предварительной сознательной работы? Очевидно, она заключается в том, чтобы привести некоторые атомы в движение, сорвав их со стены. Когда мы, пытаясь собрать воедино эти элементы, на тысячу ладов ворочаем их во все стороны, но не находим в конце концов удовлетворительного сопоставления, тогда мы бываем склонны отрицать всякое значение такой работы. А между тем атомы после того возбуждения, в которое их привела наша воля, отнюдь не возвращаются в свое первоначальное состояние покоя. Они продолжают, теперь уже свободно, свою пляску. |
Or, notre volonté ne les a pas choisis au
hasard, elle poursuivait un but parfaitement déterminé ;
les atomes mobilisés ne sont donc pas des atomes quelconques ; ce
sont ceux dont on peut raisonnablement attendre la solution cherchée.
Les atomes mobilisés vont alors subir des chocs, qui les feront entrer
en combinaison, soit entre eux, soit avec d'autres atomes restés
immobiles et qu'ils seront venus heurter dans leur course. Je vous demande
pardon encore une fois ; ma comparaison est bien grossière, mais
je ne sais trop comment je pourrais faire comprendre autrement ma pensée. |
Но ведь наша воля взяла их не наугад, она при этом преследовала вполне определенную цель, так что пришли в движение не какие-нибудь атомы вообще, но такие, от которых можно с некоторым основанием ожидать искомого решения. Раз придя в движение, атомы начинают испытывать столкновения, которые приводят к образованию комбинаций этих атомов либо между собой, либо с другими, неподвижными атомами, с которыми они сталкиваются на своем пути. Я еще раз прошу у вас извинения; мое сравнение довольно грубо, но я не знаю иного способа сделать понятной мою мысль. |
Quoi qu'il en soit, les seules combinaisons qui ont
chance de se former, ce sont celles où l'un des
éléments, au moins, est l'un de ces atomes librement choisis
par notre volonté. Or, c'est évidemment parmi elles que se
trouve ce que j'appelais tout à l'heure la bonne combinaison.
Peut-être y a-t-il là un moyen d'atténuer ce qu'il y
avait de paradoxal dans l'hypothèse primitive. |
Как бы там ни было, но единственными комбинациями, образование которых представляется вероятным, являются те, хоть один элемент которых оказывается в числе атомов, свободно выбранных нашей волей. Но ведь очевидно, что именно среди них находится та комбинация, которую я только что назвал удачной. Быть может, здесь мы имеем средство смягчить то, что представлялось парадоксальным в первоначальной гипотезе. |
Autre observation. Il n'arrive jamais que le travail
inconscient nous fournisse tout fait le résultat d'un calcul un peu
long, où l'on n'a qu'à appliquer des règles fixes. On
pourrait croire que le moi subliminal, tout automatique, est
particulièrement apte à ce genre de travail, qui est en quelque
sorte exclusivement mécanique. Il semble qu'en pensant le soir aux
facteurs d'une multiplication, on pourrait espérer trouver le produit
tout fait à son réveil, ou bien encore qu'un calcul
algébrique, une vérification, par exemple, pourrait se faire
inconsciemment. Il n'en est rien, l'observation le prouve. |
Другое замечание. Никогда не случается, чтобы бессознательная работа доставила вполне готовым результат сколько-нибудь продолжительного вычисления, состоящего в одном только применении определенных правил. Казалось бы, что абсолютное "я" подсознания в особенности должно быть способно к такого рода работе, являющейся в некотором роде исключительно механической. Казалось бы, что, думая вечером о множителях какого-нибудь произведения, можно надеяться найти при пробуждении готовым самое произведение или, еще иначе, что алгебраическое вычисление, например проверка, может быть выполнено помимо сознания. Но в действительности ничего подобного не происходит, как то доказывают наблюдения. |
Tout ce qu'on peut espérer de ces inspirations,
qui sont les faits du travail inconscient, ce sont des points de
départ pour de semblables calculs ; quant aux calculs
eux-mêmes, il faut les faire dans la seconde période de travail
conscient, celle qui suit l'inspiration, celle où l'on vérifie
les résultats de cette inspiration et où l'on en tire les
conséquences. Les règles de ces calculs sont strictes et
compliquées ; elles exigent la discipline, l'attention, la
volonté et, par suite, la conscience. Dans le moi subliminal
règne, au contraire, ce que j'appellerais la liberté, si l'on
pouvait donner ce nom à la simple absence de discipline et au
désordre né du hasard. Seulement ce désordre même
permet des accouplements inattendus. |
От таких внушений, являющихся продуктами бессознательной работы, можно ожидать только исходных точек для подобных вычислений; самые же вычисления приходится выполнять во время второго периода сознательной работы, который следует за внушением и в течение которого проверяются результаты этого внушения и делаются из них выводы. Правила этих вычислений отличаются строгостью и сложностью; они требуют дисциплины, внимания, участия воли и, следовательно, сознания. В подсознательном же "я" господствует, в противоположность этому, то, что я назвал бы свободой, если бы только можно было дать это имя простому отсутствию дисциплины и беспорядку, обязанному своим происхождением случаю. Только этот самый беспорядок делает возможным возникновение неожиданных сближений. |
Je ferai une dernière remarque : Quand je
vous ai exposé plus haut quelques observations personnelles, j'ai
parlé d'une nuit d'excitation, où je travaillais comme
malgré moi ; les cas où il en est ainsi sont fréquents,
et il n'est pas nécessaire que l'activité
cérébrale anormale soit causée par un excitant physique
comme celui que j'ai cité. Eh bien, il semble que, dans ce cas, on
assiste soi-même à son propre travail inconscient, qui est
devenu partiellement perceptible à la conscience surexcitée et
qui n'à pas pour cela changé de nature. On se rend alors
vaguement compte de ce qui distingue les deux mécanismes ou, si vous
voulez, les méthodes de travail des deux " moi ".
Et les observations psychologiques que j'ai pu faire ainsi me semblent
confirmer dans leurs traits généraux les vues que je viens
d'émettre. |
Сделаю последнее замечание. Излагая выше некоторые мои личные наблюдения, я рассказал, между прочим, об одной бессонной ночи, когда я работал как будто помимо своей воли; подобные случаи бывают нередко, и для этого нет необходимости в том, чтобы нормальная мозговая деятельность была вызвана каким-нибудь физическим возбудителем, как то имело место в описанном мною случае. И вот в таких случаях кажется, будто сам присутствуешь при своей собственной бессознательной работе, которая, таким образом, оказалась отчасти доступной перевозбужденному сознанию, но нисколько вследствие этого не изменила своей природе. Тогда отдаешь себе в общих чертах отчет в том, что различает оба механизма или, если вам угодно, методы работы обоих "я". Психологические наблюдения, которые я, таким образом, имел возможность сделать, подтверждают те взгляды, которые я только что изложил. |
Certes, elles en ont bien besoin, car elles sont et
restent, malgré tout, bien hypothétiques :
l'intérêt de la question est si grand pourtant que je ne me
repens pas de les avoir soumises au lecteur. |
А в подтверждении они конечно нуждаются, так как, вопреки всему, они остаются весьма гипотетическими; однако вопрос столь интересен, что я не раскаиваюсь в том, что изложил вам эти взгляды. |
[1] Référence propre à l"édition en volume. L"ouvrage en question à été publié chez Flammarion, Bibliothèque scientifique en 1908.
" Comment oser parler des lois du
hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute
loi ? " Ainsi s'exprime Bertrand au début de son Calcul
des probabilités. La probabilité est opposée
à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et par
conséquent semble-t-il ce qu'on ne saurait calculer. Il y a la une
contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà
beaucoup écrit. |
"Как можно говорить о законах случайности? Разве случайность не представляет собой противоположности всякой законо-мерности?" Этим вопросом Бертран начинает свое "Исчисление вероятностей". Вероятность противоположна достоверности; вероятность - это то, чего мы не знаем и чего поэтому мы, казалось бы, не можем вычислять. В этом содержится противоречие, по крайней мере кажущееся, о котором уже много писали. |
Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens
distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir
à des lois harmonieuses, établies une fois pont toutes, et ceux
qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait
prévoir parce qu'ils étaient rebelles a toute loi. Dans chaque
domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles
traçaient seulement les limites entre lesquelles il était
permis au hasard de se mouvoir. Dans cette conception, le mot hasard avait un
sens précis, objectif : ce qui était hasard pour l'un,
était aussi hasard pour l'autre et même pour les dieux. |
Прежде всего, что такое случайность? Древние различали явления, которые, как им казалось, повинуются гармоничным законам, установленным раз навсегда, и другие явления, которые приписывались случаю. К последним относили все то, чего нельзя было предвидеть, что было противно всякому закону. В каждой области точные законы регулировали отнюдь не все. Они намечали лишь границы, в пределах которых возможна игра случая. С этой точки зрения слово "случайность" приобрело объективный смысл. То, что было случайностью для одного, должно было быть случайностью и для других, даже для богов. |
Mais cette conception n'est plus la nôtre ;
nous sommes devenus des déterministes absolus, et ceux mêmes qui
veulent réserver les droits du libre arbitre humain laissent du moins
le déterminisme régner sans partage dans le monde inorganique.
Tout phénomène, si minime qu'il soit, a une cause, et un esprit
infiniment puissant, infiniment bien informé des lois de la nature,
aurait pu le prévoir dès le commencement des siècles. Si
un pareil esprit existait, on ne pourrait jouer avec lui à aucun jeu
de hasard, on perdrait toujours. |
Однако в настоящее время мы уже не придерживаемся этого взгляда. Мы сделались абсолютными детерминистами, и даже те, которые склонны сохранить за человеком свободу воли, признают неограниченное господство детерминизма в области неорганического мира. Всякое явление, сколь бы оно, ни было незначительно, имеет свою причину, и бесконечно мощный дух, беспредельно осведомленный в законах природы, мог бы его предвидеть с начала веков. С такого рода духом, если бы он существовал, нельзя было бы играть ни в какую азартную игру, не теряя всего состояния. |
Pour lui en effet le mot de hasard n'aurait pas de
sens, ou plutôt il n'y aurait pas de hasard. C'est à cause de
notre faiblesse et de notre ignorance qu'il y en aurait un pour nous. Et,
même sans sortir de notre faible humanité, ce qui est hasard
pour l'ignorant n'est plus hasard pour le savant. Le hasard n'est que la
mesure de notre ignorance. Les phénomènes fortuits sont, par
définition, ceux dont nous ignorons les lois. |
Для него слово "случайность" не имело бы смысла или, вернее, для него вовсе не существовало бы случайности. Лишь вследствие нашей слабости, вследствие нашего невежества случайность для нас существует. Можно даже оставить в стороне слабость человеческой природы; то, что представляется случайным для невежды, отнюдь не будет таковым для ученого. Случайность является, таким образом, как бы мерой нашего невежества. Случайными явлениями, согласно этому определению, будут те, законы которых нам неизвестны. |
Mais cette définition est-elle bien
satisfaisante ? Quand les premiers bergers chaldéens suivaient
des yeux les mouvements des astres, ils ne connaissaient pas encore les lois
de l'Astronomie, auraient-ils songé à dire que les astres se
meuvent au hasard ? |
Но достаточно ли это определение? Когда первые халдейские пастухи следили за движением светил, они не знали еще законов астрономии; но приходило ли им в голову сказать, что движение светил предоставлено случаю? |
Si un physicien moderne étudie un
phénomène nouveau, et s'il en découvre la loi le mardi,
aurait-il dit le lundi que ce phénomène était
fortuit ? Mais il y a plus : n'invoque-t-on pu souvent, pour
prédire un phénomène, ce que Bertrand appelle les lois
du hasard ? Et par exemple dans la théorie cinétique des
gaz, on retrouve les lois connues de Mariotte et de Gay-Lussac, grâce
à cette hypothèse que les vitesses des molécules
gazeuses varient irrégulièrement, c'est-à-dire au
hasard. Les lois observables seraient beaucoup moins simples, diront tous les
physiciens, si les vitesses étaient réglées par quelque
loi élémentaire simple, si les molécules étaient,
comme on dit, organisées, si elles obéissaient à
quelque discipline. C'est grâce au hasard, c'est-à-dire
grâce à notre ignorance que nous pouvons conclure ; et
alors si le mot hasard est tout simplement synonyme d'ignorance qu'est-ce que
cela veut dire ? Faut-il donc traduire comme il suit ? |
Когда современный физик изучает новое явление, закон которого он открыл во вторник, то говорил ли он в понедельник, что это явление случайное? Но мало того. Не прибегают ли часто для предсказания явления к тому, что Бертран называет законом случайностей? Так, например, в кинетической теории газов мы приходим к известным законам Мариотта и Гей-Люссака именно благодаря той гипотезе, что скорости молекул газа меняются совершенно случайно. Наблюдаемые законы, скажут физики, были бы, менее просты, если бы скорости регулировались простым элементарным законом, если бы молекулы были, как говорят, организованы, если бы они подчинялись какому-нибудь распорядку. Именно благодаря господству случая, т. е. именно благодаря нашему невежеству, мы имеем возможность делать заключения. И далее, если слово "случай" является простым синонимом нашего невежества, то что же это значит? Надо ли это толковать, примерно, следующим образом. |
" Vous me demandez de vous prédire les
phénomènes qui vont se produire. Si, par malheur, je
connaissais les lois de ces phénomènes, je ne pourrais y
arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à
vous répondre ; mais, comme j'ai la chance de les ignorer, je
vais vous répondre tout de suite. Et, ce qu'il y a de plus
extraordinaire, c'est que ma réponse sera juste. " |
"Вы желаете, чтобы я предсказал вам явления, которые должны произойти? Если бы я имел несчастье знать законы этих явлений, то я мог бы этого достигнуть разве только путем непроходимого леса вычислений, и я должен был бы отказаться от ответа. Но так как, к счастью, я этих законов не знаю, то я вам сейчас отвечу, и, что наиболее странно, мой ответ будет верен". |
Il faut donc bien que le hasard soit autre chose que le
nom que nous donnons à notre ignorance, que parmi les
phénomènes dont nous ignorons les causes, nous devions
distinguer les phénomènes fortuits, sur lesquels le calcul des
probabilités nous renseignera provisoirement, et ceux qui ne sont pas
fortuits et sur lesquels nous ne pouvons rien dire tant que nous n'aurons pas
déterminé les lois qui les régissent. |
Ясно, что случайность должна быть чем-то иным, не одним лишь названием, которое мы даем собственному невежеству. Ясно, что между явлениями, истинные причины которых нам неизвестны, мы должны были бы различать случайные явления, относительно которых вероятностные расчеты дадут нам некоторые предварительные сведения, и явления, которые не являются случайными и относительно которых мы не можем сказать ничего, пока не узнаем законов, которые ими управляют. |
Et pour les phénomènes fortuits
eux-mêmes, il est clair que les renseignements que nous fournit le
calcul des probabilités ne cesseront pas d'être vrais le jour
où ces phénomènes seront mieux connus. |
Что касается явлений случайных, то ясно, что сведения, которые нам дает о них теория вероятностей, не перестанут быть справедливыми в тот день, когда мы получим об этих явлениях больше сведений. |
Le directeur d'une compagnie d'assurances sur la vie
ignore quand mourra chacun de ses assurés, mais il compte sur le
calcul des probabilités et sur la loi des grands nombres et il ne se
trompe pas puisqu'il distribue des dividendes à ses actionnaires. Ces
dividendes ne s'évanouiraient pas si un médecin très
perspicace et très indiscret venait, une fois les polices
signées, renseigner le directeur sur les chances de vie des
assurés. Ce médecin dissiperait l'ignorance du directeur, mais
il n'aurait aucune influence sur les dividendes qui ne sont évidemment
pas un produit de cette ignorance. |
Директор общества страхования жизни не знает, когда умрет каждое из застрахованных у него лиц, но он вычисляет на основании теории вероятностей и по закону больших чисел и при этом не ошибается, поскольку он делит дивиденды между акционерами. Эти дивиденды не исчезли бы даже и в том случае, если бы какой-либо врач, столь же прозорливый, сколь и нескромный, после подписания полисов осведомлял бы директора о шансах на жизнь застрахованных лиц. Такой врач рассеял бы неосведомленность директора, но он не оказал бы влияния на дивиденды, которые, очевидно, вовсе не являются продуктами этой неосведомленности. |
Pour trouver une meilleure définition du hasard,
il nous faut examiner quelques-uns des faits que l'on s'accorde à
regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités parait
s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs
caractères communs. |
Чтобы найти лучшие определения случайности, нам необходимо исследовать некоторые из тех фактов, которые обыкновенно принято считать случайными и к которым, по-видимому, применяется теория вероятностей. |
Le premier exemple que nous allons choisir est celui de
l'équilibre instable ; si un cône repose sut sa pointe,
nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel
côté ; il nous semble que le hasard seul va en
décider. Si le cône était parfaitement symétrique,
si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis
à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout.
Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher
légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès
qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce
côté. Si même la symétrie est parfaite, une
trépidation très légère, un souffle d'air pourra
le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour
déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui
de l'inclinaison initiale. |
Первым примером, на котором мы остановимся, будет вопрос о неустойчивом равновесии. Если конус стоит на вершине, то мы знаем, что он опрокинется, но мы не знаем, в какую сторону. Нам представляется, что это полностью зависит от случая. Если бы конус был совершенно симметричен, если бы ось его была совершенно вертикальна, если бы он не был подвержен действию никакой силы, кроме тяжести, то он не упал бы вовсе. Но малейший изъян в симметрии заставил бы его слегка наклониться в ту или иную сторону; наклонившись же, хотя бы и весьма незначительно, он упадет в сторону наклона окончательно. Если бы даже симметрия была совершенна, то самого легкого дрожания, легчайшего дуновения ветерка было бы достаточно, чтобы наклонить его на несколько секунд дуги; и этим не только было бы решено его падение, было бы предопределено и направление этого падения, которое совпало бы с направлением первоначального наклона. |
Une cause très petite, qui nous échappe,
détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas
voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. |
Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. |
Si nous connaissions exactement les lois de la nature
et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions
prédire exactement la situation de ce même univers à un
instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles
n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la
situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de
prévoir la situation ultérieure avec la même
approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le
phénomène a été prévu, qu'il est
régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut
arriver que de petites différences dans les conditions initiales en
engendrent de très grandes dans les phénomènes
finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une
erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible
et nous avons le phénomène fortuit. |
Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное. |
Notre second exemple sera fort analogue au premier et
nous l'emprunterons à la météorologie. Pourquoi les
météorologistes ont-ils tant de peine à prédire
le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les
tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de
sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou
le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de demander une
éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes
perturbations se produisent généralement dans les
régions où l'atmosphère est en équilibre
instable. Les météorologistes voient bien que cet
équilibre est instable, qu'un cyclone va naître quelque
part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un
dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le
cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses
ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées. Si on
avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir
d'avance, mais les observations n'étaient ni assez serrées, ni
assez précises, et c'est pour cela que tout semble dû à
l'intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste
entre une cause minime, inappréciable pour l'observateur, et des
effets considérables, qui sont quelquefois d'épouvantables
désastres. |
Второй пример, на котором мы остановимся, будет в большой мере аналогичен первому; мы заимствуем его из метеорологии. Почему метеорологам так трудно предсказать погоду сколько-нибудь достоверно? Почему выпадение дождя, наступление грозы всегда представляется нам делом случая, так что многие люди находят естественным молиться о ниспослании дождя или хорошей погоды, те самые люди, которые считали бы смешным испрашивать молитвой затмение. Мы видим, что большие пертурбации бывают обыкновенно в тех местах, где атмосфера находится в состоянии неустойчивого равновесия. Метеорологи часто хорошо видят, что равновесие неустойчиво, что образуется циклон, но где именно, они не в состоянии сказать. Лишняя десятая градуса в какой-либо точке - и циклон разражается здесь, а не там; он бушует над странами, которые были бы пощажены, если бы не эта десятая. Если бы мы могли знать эту десятую градуса, то мы могли бы это предсказать; но сеть наблюдений недостаточно густа и сами наблюдения недостаточно точны, а именно поэтому нам и кажется, что все обусловлено случаем. Здесь мы вновь находим то же несоответствие между мельчайшей, неощутимой наблюдателем причиной и значительным эффектом, вызывающим иногда страшные последствия. |
Passons à un autre exemple, la distribution des
petites planètes sur le zodiaque. Leurs longitudes initiales ont pu
être quelconques ; mais leurs moyens mouvements étaient
différents et elles circulent depuis si longtemps qu'on peut dire
qu'actuellement, elles sont distribuées au hasard le long du zodiaque.
De très petites différences initiales entre leurs distances au
soleil, ou ce qui revient au même entre leurs mouvements moyens, ont
fini par donner d'énormes différences entre leurs longitudes
actuelles ; un excès d'un millième de seconde dans le
moyen mouvement diurne, donnera en effet une seconde en trois ans, un
degré en dix mille ans, une circonférence entière en
trois ou quatre millions d'années, et qu'est-ce que cela auprès
du temps qui s'est écoulé depuis que les petites
planètes se sont détachées de la nébuleuse de
Laplace ? Voici donc une fois de plus une petite cause et un grand
effet ; ou mieux de petites différences dans la cause et de
grandes différences dans l'effet. |
Перейдем к другому примеру - к распределению малых планет по зодиаку. Их начальные долготы могли быть какие угодно, но их средние движения были различны, и они двигались уже так долго, что в настоящее время можно спокойно сказать, что они распределены вдоль зодиака совершенно случайно. Незначительные разности в их начальных расстояниях от Солнца и, что сводится к тому же, в их среднем движении в конце концов дали огромное различие в долготах, которые они теперь имеют. В самом деле, разница в одну тысячную долю секунды их суточного пути дает уже секунду за три года, градус - приблизительно за 10000 лет и целую окружность - за три-четыре миллиона лет; но что это составляет по сравнению со временем, которое протекло с тех пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа! Перед нами опять ничтожная причина и большой эффект или, иначе, небольшие разности в причине и большие - в действии. |
Le jeu de la roulette nous éloigne moins qu'il
ne semble de l'exemple précédent. Supposons une aiguille qu'on
peut faire tourner autour d'un pivot, sur un cadran divisé en 100
secteurs alternativement rouges et noirs. Si elle s'arrête sur un
secteur rouge, la partie est gagnée, sinon, elle est perdue. Tout
dépend évidemment de l'impulsion initiale que nous donnons
à l'aiguille. L'aiguille fera, je suppose, 10 ou 20 fois le tour, mais
elle s'arrêtera plus ou moins vite, suivant que j'aurai poussé
plus ou moins fort. Seulement il suffit que l'impulsion varie d'un
millième, ou d'un deux millième, pour que mon aiguille
s'arrête à un secteur qui est noir, ou au secteur suivant qui
est rouge. Ce sont là des différences que le sens musculaire ne
peut apprécier et qui échapperaient même à des
instruments plus délicats. Il m'est donc impossible de prévoir
ce que va faire l'aiguille que je viens de lancer, et c'est pourquoi mon
cœur bat et que j'attends tout du hasard. La différence dans la
cause est imperceptible, et la différence dans l'effet est pour moi de
la plus haute importance, puisqu'il y va de toute ma mise. |
Игра в рулетку отличается от этого примера меньше, чем это может казаться на первый взгляд. Представим себе иглу, которая вращается на шпиле в центре циферблата, разделенного на сто секторов, попеременно красных и черных. Если игла останавливается на красном секторе, то игра выиграна, в противном случае - проиграна. Все, очевидно, зависит от толчка, который мы первоначально сообщаем игле. Игла сделает, скажем, 10 или 20 оборотов, но остановится она раньше или позже, смотря по тому, толкнул ли я ее сильнее или слабее. Однако достаточно, чтобы толчок изменился на тысячную или на две тысячных доли, и игла остановится на черном или соответственно на следующем красном секторе. Это- различия, которые не могут быть восприняты мускульным чувством, которые ускользают даже и от более тонких инструментов. Я лишен, следовательно, возможности предвидеть, что произойдет с иглой, которую я только что толкнул, а потому мое сердце бьется, и я с нетерпением ожидаю, что мне даст случай. Разность в причине совершенно неощутима, разность в результате имеет для меня чрезвычайно большую важность, потому что речь идет о всей моей ставке. |
Qu'on me permette à ce propos une
réflexion un peu étrangère à mon sujet. Un
philosophe a dit il y a quelques années que l'avenir était
déterminé par le passé, mais que le passé ne
l'était pas par l'avenir ; ou, en d'autres termes, que de la
connaissance du présent nous pouvions déduire celle de
l'avenir, mais non celle du passé ; parce que, disait-il, une
cause ne peut produire qu'un effet, tandis qu'un même effet peut
être produit par plusieurs causes différentes. Il est clair
qu'aucun savant ne peut souscrire à cette conclusion : les lois
de la nature lient l'antécédent au conséquent de telle
sorte que l'antécédent est déterminé par le
conséquent aussi bien que le conséquent par
l'antécédent. Mais quelle a pu être l'origine de l'erreur
de ce philosophe ? Nous savons qu'en vertu du principe de Carnot, les
phénomènes physiques sont irréversibles et que le monde
tend vers l'uniformité. Quand deux corps de température
différente sont en présence, le plus chaud cède de la
chaleur au plus froid ; nous pouvons donc prévoir que les
températures s'égaliseront. Mais une fois que les
températures seront devenues égales, si on nous interroge sur
l'état antérieur, que pourrons-nous répondre ? Nous
dirons bien que l'un des corps était chaud et l'autre froid, mais nous
ne pourrons pas deviner lequel des deux était autrefois le plus chaud. |
Позвольте мне теперь сделать отступление, несколько странное для моей темы. Один философ несколько лет тому назад сказал, что будущее определено прошлым, но что прошлое не определено будущим. Иными словами: зная настоящее, мы могли бы сделать заключение относительно будущего, но не относительно прошлого, ибо, сказал бы он, определенная причина всегда должна привести к одному результату, но один и тот же результат может быть вызван множеством различных причин. Ясно, что ни один ученый не подпишется под этим выводом. Законы природы связывают предшествующее с последующим таким образом, что предшествующее определено последующим так же, как последующее предшествующим. Но в чем же может заключаться источник ошибки, допущенной этим философом? Как известно, в силу принципа Карно физические явления необратимы, и мир стремится к полному однообразию. Когда два тела различной температуры находятся в соприкосновении, то более теплое уступает тепло холодному; мы можем, таким образом, предвидеть, что температура сравняется. Но когда температура уже сравняется, и нас спросят о том, что было раньше, что сможем мы ответить? Мы скажем, конечно, что одно тело было более нагрето, а другое менее, но мы не сумеем угадать, какое из них было прежде более теплым. |
Et cependant, en réalité, les
températures n'arrivent jamais à l'égalité
parfaite. La différence des températures tend seulement vers
zéro d'une façon asymptotique. Il arrive alors un moment
où nos thermomètres sont impuissants à la
déceler. Mais si nous avions des thermomètres mille fois, cent
mille fois plus sensibles, nous reconnaîtrions qu'il subsiste encore
une petite différence, et que l'un des corps est resté un peu
plus chaud que l'autre ; et alors nous pourrions affirmer que c'est
celui-là qui a été autrefois beaucoup plus chaud que
l'autre. |
Между тем в действительности температуры никогда не сделаются совершенно равными. Разность температур стремится к нулю лишь ассимптотически, и наступает момент, когда наши термометры уже неспособны ее распознать. Но если бы мы имели термометры в тысячу раз, в сто тысяч раз более чувствительные, то мы убедились бы, что есть еще небольшая разница и что одно из двух тел осталось более теплым, чем другое, и тогда мы могли бы утверждать, что именно это тело было некогда более теплым. |
Il y a donc alors, contrairement à ce que nous
avons vu dans les exemples précédents, de grandes
différences dans la cause et de petites différences dans l'effet.
Flammarion avait imaginé autrefois un observateur qui
s'éloignerait de la Terre avec une vitesse plus grande que celle de la
lumière ; pour lui le temps serait changé de signe.
L'histoire serait retournée, et Waterloo précéderait
Austerlitz. Eh bien, pour cet observateur, les effets et les causes seraient
intervertis ; l'équilibre instable ne serait plus
l'exception ; à cause de l'irréversibilité
universelle, tout lui semblerait sortir d'une sorte de chaos en équilibre
instable ; la nature entière lui apparaîtrait comme
livrée au hasard. |
Мы видим здесь, в противоположность предыдущим примерам, большие различия и причинах и ничтожные - в результатах. Фламмарион придумал как-то наблюдателя, который удаляется от Земли со скоростью большей, чем скорость света. Для него время изменило бы знак, история потекла бы вспять, и Ватерлоо предшествовало бы Аустерлицу. Ясно, что для такого рода наблюдателя результаты и причины заменили бы друг друга, неустойчивое равновесие не было бы исключением, вследствие общей необратимости явлений ему казалось бы, что все исходит из какого-то хаоса в неустойчивом равновесии. Вся природа казалась бы ему предоставленной случаю. |
Voici maintenant d'autres exemples où nous
allons voir apparaître des caractères un peu différents.
Prenons d'abord la théorie cinétique des gaz. Comment
devons-nous nous représenter un récipient rempli de gaz ?
D'innombrables molécules, animées de grandes vitesses,
sillonnent ce récipient dans tous les sens ; à chaque
instant elles choquent les parois, ou bien elles se choquent entre
elles ; et ces chocs ont lieu dans les conditions les plus diverses. Ce
qui nous frappe surtout ici, ce n'est pas la petitesse des causes, c'est leur
complexité. Et cependant, le premier élément se retrouve
encore ici et joue un rôle important. Si une molécule
était déviée vers la gauche ou la droite de sa
trajectoire, d'une quantité très petite, comparable au rayon
d'action des molécules gazeuses, elle éviterait un choc, ou
elle le subirait dans des conditions différentes, et cela ferait
varier, peut-être de 90№ ou de 180№, la direction de sa vitesse
après le choc. |
Мы обратимся теперь к другим примерам, в которых мы увидим совершенно другие свойства. Начнем с кинетической теории газов. Как должны мы представлять себе.сосуд, наполненный газом? Бесчисленные молекулы, несущиеся с большими скоростями, бороздят сосуд во всех направлениях. В любой момент они ударяются о стенки и друг о друга, и эти столкновения происходят в самых разнообразных условиях. Здесь нас больше всего поражает не столько малость причин, сколько их сложность. И все-таки первоначальный элемент находится здесь и играет важную роль. Если бы молекула уклонилась налево или направо от своей траектории на очень малую величину, сравнимую с радиусом действия молекул газа, то она избежала бы толчка или таковой произошел бы при совершенно иных условиях, а это могло бы изменить на 90 или 180 направление скорости после толчка. |
Et ce n'est pas tout, il suffit, nous venons de le
voir, de dévier la molécule avant le choc d'une quantité
infiniment petite, pour qu'elle soit déviée, après le
choc, d'une quantité finie. Si alors la molécule subit deux
chocs successifs, il suffira de la dévier, avant le premier choc,
d'une quantité infiniment petite du second ordre, pour qu'elle le
soit, après le premier choc, d'une quantité infiniment petite
du premier ordre et après le second choc, d'une quantité finie.
Et la molécule ne subira pas deux chocs seulement, elle en subira un
très grand nombre par seconde. De sorte que si le premier choc a
multiplié la déviation par un très grand nombre A,
après n chocs, elle sera multipliée par An ;
elle sera donc devenue très grande, non seulement parce que A est
grand, c'est-à-dire parce que les petites causes produisent de grands
effets, mais parce que l'exposant n est grand, c'est-à-dire parce que
les chocs sont très nombreux et que les causes sont très
complexes. |
И это еще не все. Как мы видели, достаточно отклонить молекулу до толчка на бесконечно малое расстояние, чтобы она после толчка отклонилась на конечное расстояние. Поэтому, если бы молекула подверглась двум последовательным столкновениям, то ей достаточно было бы сообщить до первого толчка бесконечно малое уклонение второго порядка , чтобы мы получили после первого столкновения бесконечно малое уклонение первого порядка, а после второго - конечное. Между тем молекула испытывает не только два столкновения, а весьма большое число их в секунду. Поэтому, если первый толчок умножает отклонение на весьма большое число A, то после n столкновений оно будет умножено на . Оно сделается, следовательно, весьма большим не только потому, что A очень велико, т.е. потому, что малые причины производят большие следствия, но и потому, что показатель n велик, т.е. потому, что столкновения весьма многочисленны и причины очень сложны. |
Passons à un deuxième exemple ;
pourquoi, dans une averse, les gouttes de pluie nous semblent-elles
distribuées au hasard ? C'est encore à cause de la complexité
des causes qui déterminent leur formation. Des ions se sont
répandus dans l'atmosphère, pendant longtemps ils ont
été soumis à des courants d'air constamment changeants,
ils ont été entraînés dans des tourbillons de
très petites dimensions, de sorte que leur distribution finale n'a
plus aucun rapport avec leur distribution initiale. Tout à coup, la
température s'abaisse, la vapeur se condense et chacun de ces ions
devient le centre d'une goutte de pluie. Pour savoir quelle sera la distribution
de ces gouttes et combien il en tombera sur chaque pavé, il ne
suffirait pas de connaître la situation initiale des ions, il faudrait
supputer l'effet de mille courants d'air minuscules et capricieux. |
Обратимся теперь к другому примеру. Почему нам кажется во время ливня, что капли дождя распределены совершенно случайно? Это опять-таки происходит оттого, что причины, которыми обусловливается их образование, очень сложны. Ионы были распространены в атмосфере задолго до ливня, задолго до него они были подвержены постоянно меняющимися токами воздуха, они были увлечены в вихри весьма малых размеров, так что окончательное распределение их не находилось уже ни в каком соответствии с начальным. Затем температура внезапно понижается, туман сгущается, и каждый из этих ионов становится центром капли дождя. Чтобы установить, каково будет распределение капель и сколько их упадет на каждый каменнь мостовой, недостаточно было бы узнать начальное положение ионов. Необходимо было бы учесть действие тысячи слабых и прихотливых воздушных течений. |
Et c'est encore la même chose si on met des
grains de poussière en suspension dans l'eau ; le vase est
sillonné par des courants dont nous ignorons la loi, nous savons
seulement qu'elle est très compliquée, au bout d'un certain
temps, les grains seront distribués au hasard, c'est-à-dire
uniformément, dans ce vase ; et cela est dû
précisément à la complication de ces courants. S'ils
obéissaient à quelque loi simple, si, par exemple, le vase
était de révolution et si les courants circulaient autour de
l'axe du vase en décrivant des cercles, il n'en serait plus de
même, puisque chaque grain conserverait sa hauteur initiale et sa
distance initiale à l'axe. |
Совершенно то же имеет место, когда пылинки взвешены в воде. Сосуд изборожден токами, законы которых нпм неизвестны. Мы знаем только, что они очень слоны; по истечении некотороговремени пылинки будут распределены случайно, т.е. равномерно по всему сосуду: и это обусловливается именно сложностью потоков. Если бы они подчинялись простому закону, если бы, например, сосуд сосуд был круглый и токи бы описывали круги вокруг оси сосуда., то дело бы обстояло иначе, ибо каждая пылинка оставалась бы на той же высоте и на том же расстоянии от оси. |
On arriverait au même résultat en
envisageant le mélange de deux liquides ou de deux poudres à
grains fins. Et pour prendre un exemple plus grossier, c'est aussi ce qui
arrive quand on bat les cartes d'un jeu. A chaque coup, les cartes subissent
une permutation (analogue à celle qu'on étudie dans la
théorie des substitutions). Quelle est celle qui se
réalisera ? La probabilité, pour que ce soit telle
permutation (par exemple celle qui amène au rang n la carte qui
occupait le rang φ(n) avant la permutation), cette
probabilité, dis-je, dépend des habitudes du joueur. Mais si ce
joueur bat les cartes assez longtemps, il y aura un grand nombre de
permutations successives ; et l'ordre final qui en résultera ne
sera plus régi que par le hasard ; je veux dire que tous les
ordres possibles seront également probables. C'est au grand nombre des
permutations successives, c'est-à-dire à la complexité
du phénomène que ce résultat est dû. |
Мы пришли бы к тому же результату, если бы мы рассматривали смесь двух жидкостей или смесь двух мелко истолченных порошков. Чтобы привести еще грубый пример, скажем, что приблизительно то же самое происходит, когда мы тасуем игральные карты. При каждой перетасовке карты подвергаются перемещению (аналогично тому, которое мы изучаем в теории перестановок). Какое же расположение карт получится в результате? Вероятность того, что получится некоторое определенное расположение (например, то, прикотором на n -месте оказывается карта, занимавшая до перетасовки f (n)-е место), зависит от привычки игрока. Но если игрок тасует карты довольно долго, то образуется множество последовательных перестановок, т.е. сложностью всего явления. |
Un mot enfin de la théorie des erreurs. C'est
ici que les causes sont complexes et qu'elles sont multiples. A combien de
pièges n'est pas exposé l'observateur, même avec le
meilleur instrument ! Il doit s'attacher à apercevoir les plus
gros et à les éviter. Ce sont ceux qui donnent naissance aux
erreurs systématiques. Mais quand il les a éliminés, en
admettant qu'il y parvienne, il en reste beaucoup de petits, mais qui, en
accumulant leurs effets, peuvent devenir dangereux. C'est de là que
proviennent les erreurs accidentelles ; et nous les attribuons au hasard
parce que leurs causes sont trop compliquées et trop nombreuses. Ici
encore, nous n'avons que de petites causes, mais chacune d'elles ne
produirait qu'un petit effet, c'est par leur union et par leur nombre que
leurs effets deviennent redoutables. |
Еще два слова о теории ошибок. Здесь причины особенно сложны и особенно многообразны. Сколько ловушек должен избежать наблюдатель, располагая даже лучшими инстркментами. Он должен приучить себя замечать наиболее опасные и избегать их. Их называют систематическими ошибками. Но даже когда он их устранил, - допуская, что это ему удалось, - остается много мелких ошибок, которые, накапливаясь, могут оказаться опасными. Таким образом, возникают случайные ошибки; мы приписываем их случаю, потому что причины их слишком сложны и многочисленны; и здесь мы имеем только мелкие причины; каждая из которых производит незначительный эффект, но вследствие их взаимодействия и вследствие значительного их числа результаты становятся серьезными. |
On peut se placer encore à un troisième
point de vue qui a moins d'importance que les deux premiers et sur lequel
j'insisterai moins. Quand on cherche à prévoir un fait et qu'on
en examine les antécédents, on s'efforce de s'enquérir
de la situation antérieure ; mais on ne saurait le faire pour
toutes les parties de l'univers, on se contente de savoir ce qui se passe
dans le voisinage du point où le fait doit se produire, ou ce qui
paraît avoir quelque rapport avec ce fait. Une enquête ne peut
être complète, et il faut savoir choisir. Mais il peut arriver
que nous ayons laissé de côté des circonstances qui, au
premier abord, semblaient complètement étrangères au
fait prévu, auxquelles on n'aurait jamais songé à
attribuer aucune influence et qui, cependant, contre toute prévision,
viennent à jouer un rôle important. |
Можно стать еще на третью точку зрения, которая имеет меньшее значение, чем предыдущие, и на которой я буду менее настаивать. Когда хотят предсказать какой-либо факт и исследуют подготавливающие его обстоятельства, стараются получить сведения о предшествующем состоянии. Но этого ведь нельзя сделать по отношению ко всей Вселенной. Мы ограничиваемся поэтому местами, соседними с пунктом, где наше явление должно произойти, и тем, что, по-видимому, имеет связь с этим явлением. Выяснение обстоятельств не может быть полным, и нужно уметь сделать выбор. Но при таких условиях легко может случиться, что мы оставили в стороне такого рода факты, которые на первый взгляд казались совершенно чуждыми предусматриваемому явлению, которым нам даже в голову не приходило приписать какое-либо влияние на это явление и которые, тем не менее, помимо нашего предвидения, играют здесь важную роль. |
Un homme passe dans la rue en allant à ses
affaires ; quelqu'un qui aurait été au courant de ces
affaires, pourrait dire pour quelle raison il est parti à telle heure,
pourquoi il a passé par telle rue. Sur le toit, travaille un
couvreur ; l'entrepreneur qui l'emploie pourra, dans une certaine
mesure, prévoir ce qu'il va faire. Mais l'homme ne pense guère
au couvreur, ni le couvreur à l'homme : ils semblent appartenir à
deux mondes complètement étrangers l'un à l'autre. Et
pourtant, le couvreur laisse tomber une tuile qui tue l'homme, et on
n'hésitera pas à dire que c'est là un hasard. |
Человек проходит по улице, отправляясь по своим делам. Лицо, которое было бы в курсе этих дел, могло бы сказать, почему он прошел в таком-то часу по такой-то улице. На крыше работает кровельщик; подрядчик, который его нанял, вероятно, в известной мере мог бы предвидеть, что он там делает. Но прохожий, о котором была речь выше, не думает вовсе о кровельщике, как и кровельщик не думает о прохожем. Они принадлежат точно двум совершенно отдельным мирам; и тем не менее кровельщик уронил черепицу, которая убила прохожего. Мы, не колеблясь, скажем, что это дело случая. |
Notre faiblesse ne nous permet pas d'embrasser
l'univers tout entier, et nous oblige à le découper en
tranches. Nous cherchons à le faire aussi peu artificiellement que
possible, et néanmoins, il arrive, de temps en temps, que deux de ces
tranches réagissent l'une sur l'autre. Les effets de cette action
mutuelle nous paraissent alors dus au hasard. |
Наши слабые силы не дают нам возможности охватить всей Вселенной, и это заставляет нас разрезать ее на слои. Мы стараемся выполнить это наименее искусственно, и тем не менее иногда оказывается, что два различных слоя влияют один на другой. Результаты такого взаимодействия мы склонны приписывать случаю. |
Est-ce là une troisième manière de
concevoir le hasard ? Pas toujours ; en effet, la plupart du temps,
on est ramené à la première ou à la seconde.
Toutes les fois que deux mondes, généralement étrangers
l'un à l'autre, viennent ainsi à réagir l'un sur
l'autre, les lois de cette réaction ne peuvent être que
très complexes, et, d'autre part, il aurait suffi d'un très
petit changement dans les conditions initiales de ces deux mondes pour que la
réaction n'eût pas lieu. Qu'il aurait fallu peu de chose pour
que l'homme passât une seconde plus tard, ou que le couvreur
laissât tomber sa tuile une seconde plus tôt ! |
Есть ли это особая третья точка зрения на случайность? Не всегда; в большей части случаев мы здесь возвращаемся к первой или ко второй точке зрения. Если два мира, вообще, совершенно отличные один от другого, оказывают иногда друг на друга влияние, то законы этого взаимодействия неизбежно должны быть весьма сложны; а с другой стороны, достаточно весьма слабого изменения в начальных условиях, и взаимодействие между этими двумя мирами не имело бы места. Как мало было бы нужно, чтобы прохожий прошел на одну секунду раньше или чтобы кровельщик уронил свою черепицу на одну секунду позже. |
Tout ce que nous venons de dire ne nous explique pas
encore pourquoi le hasard obéit à des lois. Suffit-il que les
causes soient petites, ou qu'elles soient complexes, pour que nous puissions
prévoir, sinon quels en sont les effets dans chaque cas, mais
au moins ce que seront ces effets en moyenne ? Pour
répondre à cette question, le mieux est de reprendre
quelques-uns des exemples cités plus haut. |
Все изложенное до сих пор еще не объясняет, почему случай повинуется законам. Достаточно ли, чтобы причины были незначительны или чтобы они были сложны, для того чтобы мы могли уже предвидеть если не результаты каждого случая, то по крайней мере средние результаты. Чтобы ответить на этот вопрос, лучше всего обратиться к одному из приведенных уже выше примеров. |
Je commencerai par celui de la roulette. J'ai dit que
le point où s'arrêtera l'aiguille va dépendre de
l'impulsion initiale qui lui est donnée. Quelle est la
probabilité pour que cette impulsion ait telle ou telle valeur ?
Je n'en sais rien, mais il m'est difficile de ne pas admettre que cette
probabilité est représentée par une fonction analytique
continue. La probabilité pour que l'impulsion soit comprise entre a
et a+ε, sera alors sensiblement égale à la
probabilité pour qu'elle soit comprise entre a+ε et a+2ε,
pourvu que ε soit très petit. C'est là une
propriété commune à toutes les fonctions analytiques.
Les petites variations de la fonction sont proportionnelles aux petites
variations de la variable. |
Я начну с рулетки. Я сказал, что точка, на которой остановится игла, будет зависеть от начального толчка, который ей дан. Какова вероятность того, что этот толчок будет иметь ту или другую величину? Я об этом ничего не знаю, но мне трудно не допустить, что эта вероятность выражается непрерывной аналитической функцией. Тогда вероятность того, что толчок содержится между а и a+ e, будет практически такая же, как и вероятность того, что он заключен между a+ e и а + 2e, лишь бы e было очень мало. Это общее свойство всех аналитических функций: небольшие изменения функций будут пропорциональны небольшим изменениям переменных. |
Mais, nous l'avons supposé, une très
petite variation de l'impulsion suffit pour changer la couleur du secteur
devant lequel l'aiguille finira par s'arrêter. De a à a+ε a + s
c'est le rouge, de a+ε à a+2ε c'est
le noir ; la probabilité de chaque secteur rouge est donc la
même que celle du secteur noir suivant, et, par conséquent, la
probabilité totale du rouge est égale à la probabilité
totale du noir. |
Но, как мы предположили, весьма малого изменения силы толчка будет достаточно для изменения цвета сектора, перед которым в конце концов остановится игла. При интервале от а до a+e это будет красный сектор, при интервале от а+e до а+2e это будет черный сектор. Вероятность каждого красного сектора такая же, как и вероятность следующего за ним черного, и общая вероятность красного та же, что и общая вероятность черного. |
La donnée de la question, c'est la fonction
analytique qui représente la probabilité d'une impulsion
initiale déterminée. Mais le théorème reste vrai,
quelle que soit cette donnée, parce qu'il dépend d'une
propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Il
en résulte que finalement nous n'avons plus aucun besoin de la donnée. |
Данной в этой задаче является аналитическая функция, которая выражает вероятность определенного начального толчка. Но теорема остается справедливой, каково бы ни было это данное, так как она зависит от свойства, общего всем аналитическим функциям. Отсюда следует, что в конечном результате данное нам вовсе не нужно. |
Ce que nous venons de dire pour le cas de la roulette,
s'applique aussi à l'exemple des petites planètes. Le zodiaque
peut être regardé comme une immense roulette sur laquelle le
créateur a lancé un très grand nombre de petites boules
auxquelles il a communiqué des impulsions initiales diverses, variant
suivant une loi d'ailleurs quelconque. Leur distribution actuelle est
uniforme et indépendante de cette loi, pour la même raison que
dans le cas précédent. On voit ainsi pourquoi les
phénomènes obéissent aux lois du hasard quand de petites
différences dans les causes suffisent pour amener de grandes
différences dans les effets. Les probabilités de ces petites
différences peuvent alors être regardées comme
proportionnelles à ces différences elles-mêmes, justement
parce que ces différences sont petites et que les petits
accroissements d'une fonction continue sont proportionnels à ceux de
la variable. |
То, что мы сказали о рулетке, применяется также к примеру малых планет. Мы можем смотреть на зодиак как на громадную рулетку, по которой Творец разбросал большое число шариков, сообщив им различные начальные скорости, меняющиеся согласно закону, вообще говоря, произвольному. В настоящее время они распределены равномерно, независимо от этого закона, по той же причине, что и в предыдущем случае. Мы видим также, почему явления повинуются законам случая, когда незначительные разницы в причинах способны вызвать большие различия в результатах. Вероятности этих малых разностей мы можем в этом случае считать пропорциональными самим разностям именно потому, что эти разности очень малы, и незначительные приращения непрерывной функции пропорциональны приращениям переменной. |
Passons à un exemple entièrement
différent, où intervient surtout la complexité des
causes ; je suppose qu'un joueur batte un jeu de cartes. A chaque
battement, il intervertit l'ordre des cartes, et il peut les intervertir de
plusieurs manières. Supposons trois cartes seulement pour simplifier
l'exposition. Les cartes qui, avant le battement, occupaient respectivement
les rangs 123, pourront, après le battement, occuper les rangs |
Перейдем теперь к совершенно другому примеру, где главную роль играет сложность причин. Я предположу, что игрок тасует колоду карт. При каждой перетасовке он меняет порядок карт и может это сделать несколькими способами. Предположим для простоты, что мы имеем только три карты. Карты, которые вначале были расположены в порядке 1 2 3, могут после перетасовки оказаться в одном из шести расположений: |
123, 231, 312, 321, 132, 213. |
123, 231, 312, 321, 132, 213. |
Chacune de ces six hypothèses est possible et
elles ont respectivement pour probabilités : |
Каждая из этих шести гипотез возможна и соответственно имеет вероятность |
p1, p2, p3,
p4, p5, p6. |
p1, р2, р3, p4, р5, р6. |
La somme de ces six nombres est égale à
1 ; mais c'est tout ce que nous en savons ; ces six
probabilités dépendent naturellement des habitudes du joueur
que nous ne connaissons pas. |
Сумма этих шести чисел равна единице, но это и все, что мы о них знаем. Эти шесть вероятностей зависят от привычек игрока, которых мы не знаем. |
Au second battement et aux suivants, cela recommencera
et dans les mêmes conditions ; je veux dire que p4,
par exemple, représente toujours la probabilité pour que les
trois cartes qui occupaient après le ne battement et
avant le n + 1e les rangs 123, pour que ces trois
cartes, dis-je, occupent les rangs 321 après le n + 1e
battement. Et cela reste vrai, quel que soit le nombre n puisque les
habitudes du joueur, sa façon de battre restent les mêmes. |
При второй тасовке повторится то же и притом в тех же условиях. Я хочу этим сказать, что p4 по-прежнему выражает возможность того, что три карты, которые после n-го взмаха были расположены в порядке 123, расположатся после n+l-ro взмаха в порядке 321; и это остается справедливым, каково бы ни было число n, ибо привычки игрока, его манера тасовать остаются теми же. |
Mais si le nombre des battements est très grand,
les cartes qui, avant le 1er battement, occupaient les rangs 123,
pourront, après le dernier battement, occuper les rangs |
Но если число взмахов очень велико, то карты, которые до первого взмаха были расположены в порядке 123, могут после последнего взмаха иметь любое из расположений |
123, 231, 312, 321, 132, 213 |
123, 231, 312, 321, 132, 213, |
et la probabilité de ces six hypothèses
sera sensiblement la même et égale à 1/6 ; et cela
sera vrai, quels que soient les nombres p1,..., p6
que nous ne connaissons pas. Le grand nombre des battements,
c'est-à-dire la complexité des causes, a produit
l'uniformité. |
и вероятность этих шести гипотез в доступных нам пределах будет одна и та же, т. е. 1/6; и это будет справедливо, каковы бы ни были числа р1, p2, р3, p4, p5, р6, которых мы не знаем. Большое число взмахов, т. е. сложность причин, вызвало это единообразие. |
Cela s'appliquerait sans changement s'il y avait plus
de trois cartes, mais, même avec trois cartes, la démonstration
serait compliquée ; je me contenterai de la donner pour deux
cartes seulement. Nous n'avons plus que deux hypothèses |
Это без изменения относится и к тому случаю, когда число карт больше трех, но даже и при трех картах доказательство было бы сложно. Я ограничусь тем, что проведу его для случая только двух карт. Тогда мы имеем лишь две гипотезы |
12, 21 |
12, 21 |
avec les probabilités p1 et 1-p1.
Supposons n battements et supposons que je gagne 1 franc si les cartes
sont finalement dans l'ordre initial, et que j'en perde un si elles sont
finalement interverties. Alors, mon espérance mathématique
sera : |
с соответственными вероятностями р1 и р2=1-р1. Предположим теперь, что сделано n взмахов и что я выигрываю один франк, если карты оказываются в конце концов в первоначальном порядке, и столько же теряю, если они окажутся расположенными в обратном порядке. В таком случае мое математическое ожидание составит |
(p1-p2)n |
|
La différence p1-p2
est certainement plus petite que 1 ; de sorte que si n est
très grand, mon espérance sera nulle ; nous n'avons pas
besoin de connaître p1 et p2 pour
savoir que le jeu est équitable. |
Разность p1-р2, конечно, меньше единицы. Вследствие этого, если n слишком велико, то мое ожидание сведется к нулю. Мы не имеем нужды знать р1 и р2, мы и без того знаем, что игра должна кончиться вничью. |
Il y aurait une exception toutefois, si l'un des
nombres p1 et p2 était égal
à 1 et l'autre nul. Cela ne marcherait plus alors parce que nos
hypothèses initiales seraient trop simples. |
Есть, однако, одно исключение - именно, когда одно из чисел р1 и р2 равно единице, а другое нулю. В этом случае дело будет обстоять иначе, потому что начальные гипотезы слишком просты. |
Ce que nous venons de voir ne s'applique pas seulement
au mélange des cartes, mais à tous les mélanges,
à ceux des poudres et des liquides ; et même à ceux
des molécules gazeuses dans la théorie cinétique des
gaz. Pour en revenir à cette théorie, supposons pour un instant
un gaz dont les molécules ne puissent se choquer mutuellement, mais
puissent être déviées par des chocs sur les parois du
vase où le gaz est renfermé. Si la forme du vase est
suffisamment compliquée, la distribution des molécules et celle
des vitesses ne tarderont pas à devenir uniformes. Il n'en sera plus
de même si le vase est sphérique ou s'il a la forme d'un
parallélépipède rectangle ; pourquoi ? Parce
que, dans le premier cas, la distance du centre à une trajectoire
quelconque demeurera constante ; dans le second cas ce sera la valeur
absolue de l'angle de chaque trajectoire avec les faces du
parallélépipède. |
Изложенное относится не только к смеси карт, но и ко всяким смесям, в том числе и к смесям порошков и жидкостей; оно относится и к смесям газовых молекул в кннетичеекой теории газов. Чтобы перейти от изложенных примеров к этой теории, представим себе газ, молекулы которого не могут взаимно сталкиваться, но могут отклоняться только при ударах о стенки сосуда, в который они заключены. Если сосуд имеет достаточно сложную форму, то распределение молекул и скоростей не замедлит стать однородным; этого, однако, не будет, если сосуд имеет форму шара или прямоугольного параллелепипеда. Почему же? Потому что в первом случае расстояние центра от каждой траектории остается постоянным. Во втором случае постоянной остается абсолютная величина угла, составляемого каждой траекторией с гранями параллелепипеда. |
On voit ainsi ce que l'on doit entendre par conditions trop
simples ; ce sont celles qui conservent quelque chose, qui laissent
subsister un invariant. Les équations différentielles du
problème sont-elles trop simples pour que nous puissions appliquer les
lois du hasard ? Cette question parait, au premier abord,
dénuée de sens précis ; nous savons maintenant ce
qu'elle veut dire. Elles sont trop simples, si elles conservent quelque
chose, si elles admettent une intégrale uniforme ; si quelque
chose des conditions initiales demeure inaltéré, il est clair
que la situation finale ne pourra plus être indépendante de la
situation initiale. |
Мы видим также, что нужно понимать под очень простыми условиями. Это те условия, которые сохраняют нечто неизменное, которые допускают инварианты. Не слишком ли просты дифференциальные уравнения задачи, чтобы мы могли применить к ней законы случая? На первый взгляд вопрос кажется лишенным точного смысла, но теперь мы понимаем его содержание. Эти дифференциальные уравнения слишком просты, если они сохраняют что-то постоянным, если они допускают общий интеграл. Если что-то из начальных условий остается неизменным, то ясно, что конечное состояние не сможет быть независимым от начального. |
Venons enfin à la théorie des erreurs. A
quoi sont dues les erreurs accidentelles, nous l'ignorons, et c'est justement
parce que nous l'ignorons que nous savons qu'elles vont obéir à
la loi de Gauss. Tel est le paradoxe. Il s'explique à peu près
de la même manière que dans les cas précédents.
Nous n'avons besoin de savoir qu'une chose : que les erreurs sont
très nombreuses, qu'elles sont très petites, que chacune
d'elles peut être aussi bien négative que positive. Quelle est
la courbe de probabilité de chacune d'elles ? nous n'en savons
rien, nous supposons seulement que celte courbe est symétrique. On
démontre alors que l'erreur résultante suivra la loi de Gauss,
et cette loi résultante est indépendante des lois particulières
que nous ne connaissons pas. Ici encore la simplicité du
résultat est née de la complication même des
données. |
Обратимся теперь к теории ошибок. Чем обусловливаются случайные ошибки, мы не знаем, и именно потому, что мы этого не знаем, мы уверены, что они будут подчиняться закону Гаусса, Таков парадокс. Он объясняется приблизительно так же, как и предыдущий случай. Нам нужно знать только одно: что ошибки очень многочисленны, что они очень малы, что каждая из них может столь же легко оказаться отрицательной, как и положительной. Какова кривая вероятностей каждой из них, мы этого не знаем; мы только предполагаем, что это симметричная кривая. Тогда мы можем доказать, что окончательная ошибка будет следовать закону Гаусса, и этот окончательный закон не зависит от частных законов, которые остались для нас неизвестными. Здесь опять-таки простота результата обусловливается сложностью данных. |
Mais nous ne sommes pas au bout des paradoxes. J'ai
repris tout à l'heure la fiction de Flammarion, celle de l'homme qui
va plus vite que la lumière et pour qui le temps est changé de
signe. J'ai dit que pour lui tous les phénomènes sembleraient
dus au hasard. Cela est vrai à un certain point de vue, et cependant
tous ces phénomènes à un instant donné ne
seraient pas distribués conformément aux lois du hasard,
puisqu'ils le seraient comme pour nous, qui les voyant se dérouler
harmonieusement et sans sortir d'un chaos primitif, ne les regardons pas
comme réglés par le hasard. |
Однако мы еще не покончили с парадоксами. Выше я воcпользовался выдумкой Фламмариона о человеке, который движется быстрее света и для которого время вследствие этого меняет знак. Я сказал, что ему все явления представлялись бы случайными. С известной точки зрения это справедливо; и все эти явления в некоторый определенный момент не были бы распределены согласно законам случая потому, что они в действительности были бы распределены так же, как и для нас, на глазах которых они разматываются гармонично, не возникая из какого-то первичного хаоса, а мы отнюдь не считаем их результатом случая. |
Qu'est-ce que cela veut dire ? Pour Lumen, l'homme
de Flammarion, de petites causes semblent produire de grands effets ;
pourquoi les choses ne se passent-elles pas comme pour nous quand nous
croyons voir de grands effets dus à de petites causes ? Le
même raisonnement ne serait-il pas applicable à son cas ? |
Что же это значит? Люмену, человеку Фламмариона, кажется, что незначительные причины приводят к большим эффектам. Почему же явления не протекают для него так же, как для нас, когда мы полагаем, что видим большие результаты, обусловливаемые малыми причинами. Нельзя ли и к его случаю применить то же самое рассуждение? |
Revenons sur ce raisonnement : quand de petites
différences dans les causes en engendrent de grandes dans les effets,
pourquoi ces effets sont-ils distribués d'après les lois du
hasard ? Je suppose qu'une différence d'un millimètre sur
la cause, produise une différence d'un kilomètre dans l'effet.
Si je dois gagner dans le cas où l'effet correspondra à un
kilomètre portant un numéro pair, ma probabilité de
gagner sera ½ ; pourquoi ? Parce qu'il faut pour cela que la
cause corresponde à un millimètre de numéro pair. Or
selon toute apparence, la probabilité pour que la cause varie entre
certaines limites sera proportionnelle à la distance de ces limites,
pourvu que cette distance soit très petite. Si l'on n'admettait pas
cette hypothèse, il n'y aurait plus moyen de représenter la probabilité
par une fonction continue. |
Возвратимся же к этому рассуждению. Почему в тех случаях, когда незначительные изменения причин вызывают большую разницу в результатах, последние распределяются по законам случайностей? Допустим, что разница в один миллиметр в причине вызывает разницу в один километр в результате. Если я выигрываю всякий раз, когда результат будет соответствовать километру, занумерованному четным числом, то вероятность выигрыша составит половину. Почему же так? Потому, что для этого необходимо, чтобы причина соответствовала миллиметру с четным номером. Между тем, по всей видимости, вероятность, что причина будет меняться в известных пределах, пропорциональна расстоянию между этими пределами, если только последнее очень мало. Не делая этого допущения, мне было бы совершенно невозможно выражать вероятность непрерывной функцией. |
Qu'arrivera-t-il maintenant quand de grandes causes
produiront de petits effets ? C'est le cas où nous
n'attribuerions pas le phénomène au hasard, et où Lumen
au contraire l'attribuerait an hasard. A une différence d'un
kilomètre dans la cause correspondrait une différence d'un
millimètre dans l'effet. La probabilité pour que la cause soit
comprise entre deux limites distantes de n kilomètres,
sera-t-elle encore proportionnelle à n ? Nous n'avons
aucune raison de le supposer puisque cette distance de n
kilomètres est grande. Mais la probabilité pour que l'effet
reste compris entre deux limites distantes de n millimètres
sera précisément la même, elle ne sera donc pas
proportionnelle à n, et cela bien que cette distance de n
millimètres soit petite. Il n'y a donc pas moyen de représenter
la loi de probabilité des effets par une courbe continue ;
entendons-nous bien, cette courbe pourra rester continue au sens analytique
du mot, à des variations infiniment petites de l'abscisse
correspondront des variations infiniment petites de l'ordonnée. Mais pratiquement
elle ne serait pas continue puisque, à des variations très
petites de l'abscisse, ne correspondraient pas des variations très
petites de l'ordonnée. Il deviendrait impossible de tracer la courbe
avec un crayon ordinaire : voila ce que je veux dire. |
Что же произойдет теперь, когда большие причины будут вызывать мелкие результаты. В этом случае мы не приписывали бы явления случаю, между тем как Люмен считал бы их случайными. При разнице в километр в причине мы имели бы разницу в один миллиметр в результате. Будет ли и теперь пропорциональна n вероятность того, что причина заключается в интервале длиною n километров? Мы не имеем никаких оснований это предполагать, ибо расстояние в n километров весьма велико. Но вероятность того, что следствие останется в пределах n миллиметров, будет совершенно та же; она не будет потому пропорциональна числу n, несмотря на то, что расстояние в n миллиметров очень мало. В этом случае закон вероятности результатов невозможно, следовательно, представить непрерывной кривой. Заметим, однако, что в аналитическом смысле слова эта кривая может оставаться непрерывной, т. е. бесконечно малым изменениям абсциссы соответствовали бы бесконечно малые изменения ординаты. Но практически она не будет непрерывной, ибо очень малым изменениям абсциссы не будут соответствовать очень малые изменения ординаты. Я хочу сказать, что нарисовать такую кривую карандашом было бы невозможно. |
Que devons-nous donc conclure ? Lumen n'a pas le
droit de dire que la probabilité de la cause (celle de sa
cause, qui est notre effet à nous) doit nécessairement
être représentée par une fonction continue. Nais alors,
nous, pourquoi avons-nous ce droit ? C'est parce que cet état
d'équilibre instable, que nous appelions tout à l'heure
initial, n'est lui-même que le point d'aboutissement d'une longue
histoire antérieure. Dans le cours de cette histoire, des causes
complexes ont agi et elles ont agi longtemps : elles ont
contribué à opérer le mélange des
éléments et elles ont tendu à tout uniformiser au moins
dans un petit espace ; elles ont arrondi les angles, nivelé les
montagnes et comblé les vallées : quelque capricieuse et
irrégulière qu'ait pu être la courbe primitive qu'on leur
a livrée, elles ont tant travaillé à la
régulariser, qu'elles nous rendront finalement une courbe continue. Et
c'est pourquoi nous en pouvons en toute confiance admettre la
continuité. |
Что же мы должны отсюда заключить? Люмен не имеет права утверждать, что вероятность причины (его причины, которая для нас является результатом) непременно должна выражаться непрерывной функцией. Но в таком случае почему же имеем на это право мы? Потому, что то состояние неустойчивого равновесия, которое мы выше назвали начальным, само представляет собой конечный момент долгой предшествующей истории. В продолжение этой истории сложные причины действовали и действовали долго: именно они содействовали тому, что образовалось смешение элементов, они стремились придать всему однородный характер, по крайней мере на небольшой части пространства; они закругляли углы, нивелировали горы, заполняли долины: как бы капризна и неправильна ни была первоначальная кривая, которая была им дана, они затратили столько труда на то, чтобы сделать ее правильной, что мы в конце концов получим непрерывную кривую. Вот почему мы можем совершенно спокойно допустить се непрерывность. |
Lumen n'aurait pas les mêmes raisons de conclure
ainsi ; pour lui, les causes complexes ne lui paraîtraient pas des
agents de régularité et de nivellement, elles ne
créeraient au contraire que la différentiation et
l'inégalité. Il verrait sortir un monde de plus en plus varié
d'une sorte de chaos primitif ; les changements qu'il observerait
seraient pour lui imprévus et impossibles à
prévoir ; ils lui paraîtraient dus à je ne sais quel
caprice ; mais ce caprice serait tout autre chose que notre hasard,
puisqu'il serait rebelle à toute loi, tandis que notre hasard a encore
les siennes. Tous ces points demanderaient de longs développements,
qui aideraient peut-être à mieux comprendre
l'irréversibilité de l'univers. |
Однако Люмен не имел бы права сделать такое заключение; ему сложные причины не представлялись бы факторами правильности и нивелирования; напротив, с его точки зрения они вели бы только к дифференциации и к неравенству; в его глазах из первоначального хаоса разрастался бы мир, все более и более разнородный; изменения, которые он наблюдал бы, были бы для него неожиданными; предусмотреть их он бы не мог; ему казалось бы, что они обусловлены бог весть каким капризом, но это был бы каприз, совершенно не похожий на нашу случайность; он был бы противоположен всякой закономерности,между тем как наши случайности имеют свои законы. Полное выяснение всего этого требовало бы еще более продолжительного изложения, которое, быть может, содействовало бы лучшему пониманию необратимости мироздания. |
Nous avons cherché à définir le
hasard, et il convient maintenant de se poser une question. Le hasard,
étant ainsi défini dans la mesure où il peut
l'être, a-t-il un caractère objectif ? |
Мы старались определить, что такое случайность. Теперь будет уместно спросить: определив таким образом случайность, можем ли мы утверждать, что она имеет объективный характер? |
On peut se le demander. J'ai parlé de causes
très petites ou très complexes. Mais ce qui est très
petit pour l'un ne peut-il être grand pour l'autre, et ce qui semble
très complexe à l'un ne peut-il paraître simple à
l'autre ? J'ai déjà répondu en partie puisque j'ai
dit plus haut d'une façon précise dans quel cas des
équations différentielles deviennent trop simples pour que les
lois du hasard restent applicables. Mais il convient d'examiner la chose d'un
peu plus près, car on peut se placer encore à d'autres points
de vue. |
Можно задать себе этот вопрос. Я говорил о причинах, весьма малых и весьма сложных, но не будет ли то, что кажется малым одному, весьма большим для другого, и не будет ли то, что представляется весьма сложным одному, казаться простым другому. Я уже отчасти ответил на этот вопрос, потому что я выше точно указал, в каком случае дифференциальные уравнения становятся слишком простыми, чтобы законы случая оставались применимыми. Но будет полезно вдуматься несколько глубже в этот вопрос, так как возможны и другие точки зрения. |
Que signifie le mot très petit ? Il suffit
pour le comprendre de se reporter à ce que nous avons dit plus haut.
Une différence est très petite, un intervalle est très
petit lorsque, dans les limites de cet intervalle, la probabilité
reste sensiblement constante. Et pourquoi cette probabilité peut-elle
être regardée comme constante dans un petit intervalle ?
C'est parce que nous admettons que la loi de probabilité est représentée
par une courbe continu ; et non seulement continue au sens analytique du
mot, mais pratiquement continue, comme je l'expliquais plus haut. Cela
veut dire que non seulement elle, ne présentera pas d'hiatus absolu
mais qu'elle n'aura pas non plus de saillants et de rentrants trop aigus ou
trop accentués. |
Что означает слово "весьма малый"? Чтобы уяснить его себе, нужно обратиться к тому, что мы сказали выше. Разница весьма мала, интервал весьма мал, если в пределах этого интервала вероятность остается приблизительно постоянной. Но почему же эта вероятность может считаться постоянной в таком небольшом интервале? Именно потому, что мы допускаем, что закон вероятности выражается непрерывной кривой и притом непрерывной не только в аналитическом смысле этого слова, но и практически, как я это старался выяснить выше. |
Et qu'est-ce qui nous donne le droit de faire cette
hypothèse ? Nous l'avons dit plus haut, c'est parce que, depuis
le commencement des siècles, il y a des causes complexes qui ne
cessent d'agir dans le même sens et qui font tendre constamment le
monde vers l'uniformité sans qu'il puisse jamais revenir en
arrière. Ce sont ces causes qui ont peu à peu abattu les
saillants et rempli les rentrants, et c'est pour cela que nos courbes de
probabilité n'offrent plus que des ondulations lentes. Dans des
milliards de milliards de siècles, on aura fait un pas de plus vers
l'uniformité et ces ondulations seront dix fois plus lentes
encore : le rayon de courbure moyen de notre courbe sera devenu dix fois
plus grand. Et alors telle longueur qui aujourd'hui ne nous semble pas
très petite, parce que sur notre courbe un arc de cette longueur ne
peut être regardé comme rectiligne, devra au contraire à
cette époque être qualifiée de très petite,
puisque la courbure sera devenue dix fois moindre, et qu'un arc de cette
longueur pourra être sensiblement assimilé à une droite. |
Что же дает нам право делать такое предположение? Как было сказано выше, это происходит оттого, что с начала веков имеются сложные причины, неизменно действующие в одном и том же смысле и постоянно направляющие мир к однородному состоянию, возврат от которого для него невозможен. Эти именно причины мало-помалу отбили выступы и заполнили впадины, и по этой-то причине наши кривые вероятности имеют лишь слабые колебания. Через миллиарды миллиардов веков мы сделаем еще шаг вперед по направлению к единообразию, и эти колебания сделаются еще в десять раз медленнее. Радиус средней кривизны нашей кривой сделается в десять раз больше. И тогда длина, которая сейчас не представляется для нас очень малой, так как на нашей кривой дуга такой длины не может считаться прямолинейной, будет в ту эпоху признана весьма малой, ибо кривизна уменьшится в десять раз и дуга такой длины может быть в доступных нам пределах уподоблена прямой. |
Ainsi ce mot de très petit reste relatif ;
mais il n'est pas relatif à tel homme ou à tel autre, il est
relatif à l'état actuel du monde. Il changera de sens quand le
monde sera devenu plus uniforme, que toutes les choses se seront mélangées
plus encore. Mais alors sans doute les hommes ne pourront plus vivre et
devront faire place à d'autres être ; dois-je dire beaucoup
plus petits ou beaucoup plus grands ? De sorte que notre
critérium, restant vrai pour tous les hommes, conserve un sens
objectif. |
Таким образом, понятие о весьма малом все-таки остается относительным; но относительным оно оказывается не по отношению к тому или иному лицу, а по отношению к настоящему состоянию мира. Оно изменит смысл, когда мир станет более единообразным, когда все еще больше смешается, но тогда, несомненно, люди уже не смогут больше жить и должны будут уступить место другим существам, более крупным или более мелким - могу ли я это предсказать? Таким образом, наш критерий остается справедливым для всех людей, и в этом смысле он должен быть признан объективным. |
Et que veut dire d'autre part le mot très
complexe ? J'ai déjà donné une solution, et c'est
celle que j'ai rappelée au début de ce paragraphe, mais il y en
a d'autres. Les causes complexes, nous l'avons dit, produisent un
mélange de plus en plus intime, mais au bout de combien de temps ce
mélange nous satisfera-t-il ? Quand aura-t-on accumulé
assez de complications ? Quand aura-t-on suffisamment battu les
cartes ? Si nous mélangeons deux poudres, l'une bleue et l'autre
blanche, il arrive un moment où la teinte du mélange nous
parait uniforme ; c'est à cause de l'infirmité de nos
sens ; elle sera uniforme pour le presbyte qui est obligé de
regarder de loin quand elle ne le sera pas encore pour le myope. Et quand
elle le sera devenue pour toutes les vues, on pourra encore reculer la limite
par l'emploi des instruments. Il n'y a pas de chance pour qu'aucun homme
discerne jamais la variété infinie qui, si la théorie
cinétique est vraie, se dissimule sous l'apparence uniforme d'un gaz.
Et cependant, si on adopte les idées de Gouy sur le mouvement
brownien, le microscope ne semble-t-il pas sur le point de nous montrer
quelque chose d'analogue ? |
С другой стороны, что должно означать слово "очень сложный"? Я уже дал ответ на этот вопрос и повторил его в начале этой главы. Но возможны и другие толкования. Как мы сказали, сложные причины вызывают все более и более тесное смешение; но сколько же нужно времени, чтобы эта смесь нас удовлетворила? В какой момент мы признаем достаточным накопление сложных элементов? Когда мы признаем достаточной тасовку карт? Если мы смешиваем два порошка - белый и голубой, то наступает момент, когда окраска смеси представляется нам однородной. Это обусловливается, однако, несовершенством наших чувств. Смесь может оказаться уже однородной для дальнозоркого, который должен рассматривать ее издалека, но она не будет таковой для близорукого. Если она станет уже однородной для всякого глаза, то можно будет эту границу отодвинуть еще далее, если мы будем пользоваться оптическими инструментами. Нет, конечно, никаких шансов на то, чтобы какой-нибудь человек мог когда-либо различать все бесконечное многообразие, которое скрывается под видимой однородностью газа, если только верна кинетическая теория. И все же, если принять идеи Гуи о броуновском движении, то микроскоп, по-видимому, находится уже на той ступени, что может обнаружить нам такого рода вещи. |
Ce nouveau critérium est donc relatif comme le
premier et s'il conserve un caractère objectif, c'est parce que tous
les hommes ont à peu près les mêmes sens, que la
puissance de leurs instruments est limitée et qu'ils ne s'en servent
d'ailleurs qu'exceptionnellement. |
Этот критерий таким же образом является относительным, как и первый; и если он сохраняет характер объективности, то это происходит оттого, что люди одарены приблизительно одними и теми же чувствами, что силы наших инструментов ограничены и что мы пользуемся ими лишь в виде исключения. |
C'est la même chose dans les sciences morales et
en particulier dans l'histoire. L'historien est obligé de faire un
choix dans les événements de l'époque qu'il
étudie ; il ne raconte que ceux qui lui semblent les plus importants.
Il s'est donc contenté de relater les événements les
plus considérables du XVIe siècle par exemple, de
même que les faits les plus remarquables du XVIIe
siècle. Si les premiers suffisent pour expliquer les seconds, on dit
que ceux-ci sont conformes aux lois de l'histoire. Mais si un grand
événement du XVIIe siècle reconnaît
pour cause un petit fait du XVIe siècle, qu'aucune histoire
ne rapporte, que tout le monde a négligé, alors on dit que cet
événement est dû au hasard, ce mot a donc le même
sens que dans les sciences physiques ; il signifie que de petites causes
ont produit de grands effets. |
С тем же обстоятельством мы встречаемся в гуманитарных науках и, в частности, в истории. Историк должен делать выбор между событиями эпохи, которую он изучает. Он рассказывает только о тех, которые ему кажутся более важными. Он довольствуется поэтому тем, что изложит, скажем, наиболее значительные события XVI века и также наиболее важные факты, относящиеся к XVII веку. Если первых оказывается достаточно, чтобы объяснить вторые, то говорят, что последние согласуются с законами истории. Но если великое событие XVII столетия имеет своей причиной незначительный факт XVI столетия, о котором не сообщает ни один историк и который все оставили в пренебрежении, то говорят, что это событие обусловливается случаем, и слово это имеет, таким образом, то же значение, что в физических науках. Оно означает, что незначительные причины произвели большие действия. |
Le plus grand hasard est la naissance d'un grand homme.
Ce n'est que par hasard que se sont rencontrées deux cellules
génitales, de sexe différent, qui contenaient
précisément, chacune de son côté, les
éléments mystérieux dont la réaction mutuelle
devait produire le génie. On tombera d'accord que ces
éléments doivent être rares et que leur rencontre est
encore plus rare. Qu'il aurait fallu peu de chose pour dévier de sa
route le spermatozoïde qui les portait ; il aurait suffi de le
dévier d'un dixième de millimètre et Napoléon ne
naissait pas et les destinées d'un continent étaient
changées. Nul exemple ne peut mieux faire comprendre les
véritables caractères du hasard. |
Что может быть в большей мере явлением случайности, как не рождение великого человека! Только случай свел две клетки различных полов, которые содержали каждая со своей стороны те элементы, взаимодействие которых было необходимо для создания гения. Все согласятся, что эти элементы вообще должны быть редки, а такое совпадение должно было быть еще реже. Как мало было бы нужно, чтобы уклонить с пути сперматозоид, который его нес, достаточно было бы отклонить его на десятую долю миллиметра, и Наполеон не родился бы, и судьбы целого материка изменились бы. Никакой другой пример не может лучше выяснить истинных признаков случайности. |
Un mot encore sur les paradoxes auxquels a donné
lieu l'application du calcul des probabilités aux sciences morales. On
a démontré qu'aucune Chambre ne contiendrait jamais aucun
député de l'opposition, ou du moins un tel
événement serait tellement improbable qu'on pourrait sans crainte
parier le contraire, et parier un million contre un sou. Condorcet s'est
efforcé de calculer combien il fallait de jurés pour qu'une
erreur judiciaire devint pratiquement impossible. Si on avait utilisé
les résultats de ce calcul, on se serait certainement exposé aux
mêmes déceptions qu'en pariant sur la foi du calcul que
l'opposition n'aurait jamais aucun représentant. |
Еще несколько слов относительно парадоксов, к которым привело применение теории вероятностей в гуманитарных науках. Доказывали, что ни одна Палата не должна была бы включать ни одного оппозиционного депутата, или по крайней мере это должно было бы быть явлением настолько редким, что за это можно было бы спокойно биться об заклад, ставя при этом миллион против одного су. Кондорсе пытался выяснить, сколько должно быть присяжных, для того чтобы судебная ошибка была практически невозможна. Если мы, однако, вздумали бы пользоваться результатами этого вычисления, то нас, несомненно, ожидало бы такое же разочарование, как и в случае, если бы мы держали пари, основываясь на вычислениях, по которым оппозиция не должна была бы иметь ни одного представителя в Палате. |
Les lois du hasard ne s'appliquent pas à ces
questions. Si la justice ne se décide pas toujours par de bonnes
raisons, elle use moins qu'on ne croit de la méthode de Bridoye ;
c'est peut-être fâcheux, puisque alors le système de
Condorcet nous mettrait à l'abri des erreurs judiciaires. |
Законы случая не применяются к этим вопросам. Если суд не всегда руководствуется справедливыми доводами, то он, во всяком случае, пользуется методами Бридуа (1) меньше, чем это можно думать; может быть, это дурно, ибо тогда система Кондорсе избавила бы нас от судебных ошибок. |
Qu'est-ce à dire ? Nous sommes
tentés d'attribuer au hasard les faits de cette nature parte que les
causes en sont obscure ; mais ce n'est pas là le vrai hasard. Les
causes nous sont inconnues, il est vrai, et même elles sont
complexes ; mais elles ne le sont pas assez puisqu'elles conservent
quelque chose ; nous avons vu que c'est là ce qui distingue les
causes " trop simples ". Quand des hommes sont
rapprochés, ils ne se décident plus au hasard et
indépendamment les uns des autres ; ils réagissent les uns
sur les autres. Des causes multiples entrent en action, elles troublent les
hommes, les entraînent à droite et à gauche, mais il y a
une chose qu'elles ne peuvent détruire, ce sont leurs habitudes de
moutons de Panurge. Et c'est cela qui se conserve. |
Что же это значит? Мы пытались приписать случаю факты этого рода, потому что причины их весьма темны. Но здесь нет настоящей случайности. Причины остаются нам, правда, неизвестными; верно и то, что они сложны; но они не в достаточной мере сложны, ибо они нечто сохраняют неизменным. Мы видели, что этим именно и отличаются причины "слишком простые". Когда люди сталкиваются, они не предоставлены уже случаю независимо один от другого, они воздействуют друг на друга. Многочисленные причины оказывают свое влияние, они толкают людей, увлекают их вправо и влево; но есть нечто, чего они не в состоянии разрушить: это их привычки панургова стада (2). Именно это и сохраняется. |
L'application du calcul des probabilités aux
sciences exactes entraîne aussi bien des difficultés. Pourquoi
les décimales d'une table de logarithme, pourquoi celles du nombre
π sont-elles distribuées conformément aux lois du
hasard ? J'ai déjà ailleurs étudié la
question en ce qui concerne les logarithmes, et là, cela est
facile ; il est clair qu'une petite différence sur l'argument
donnera une petite différence sur le logarithme, mais une grande
différence sur la sixième décimale du logarithme. Nous
retrouvons toujours le même critérium. |
Применение теории вероятностей к точным наукам также сопряжено с большими трудностями. Почему десятичные знаки таблицы логарифмов или числа p распределены по законам случайности? Я занимался исследованием этого вопроса в другом месте - в применении к логарифмам. Ясно, что небольшая разница в аргументе должна дать незначительную разницу в логарифме, но это может выразиться большой разницей в шестом или седьмом десятичном знаке. Мы приходим, таким образом, к тому же критерию. |
Mais pour le nombre π, cela présente plus
de difficultés et je n'ai pour le moment rien de bon à dire. |
Но что касается числа p , то здесь представляется затруднение, о котором я не могу сказать ничего путного. |
Il y aurait beaucoup d'autres questions à
soulever, si je voulais les aborder avant d'avoir résolu celle que je
m'étais plus spécialement proposée. |
Пришлось бы разобрать много других вопросов, если бы я хотел к ним приступить, не разрешив того, который я себе специально поставил. |
Quand nous constatons un résultat simple, quand
nous trouvons un nombre rond par exemple, nous disons qu'un pareil
résultat ne peut pas être dû au hasard, et nous cherchons
pour l'expliquer une cause non fortuite. Et en effet il n'y a qu'une
très faible probabilité pour qu'entre 10.000 nombres, le hasard
amène un nombre rond, le nombre 10.000 par exemple ; il y a
seulement une chance sur 10.000. Mais il n'y a non plus qu'une chance sur
10.000 pour qu'il amène n'importe quel autre nombre ; et
cependant ce résultat ne nous étonnera pas et il ne nous
répugnera pas de l'attribuer au hasard ; et cela simplement parce
qu'il sera moins frappant. |
Когда мы обнаруживаем простой результат, например, когда мы получаем круглое число, мы говорим, что такого рода результат не может быть делом случая, и мы ищем для его объяснения причину не случайную. И действительно, вероятность того, чтобы из десяти тысяч чисел случай привел нас к круглому числу, скажем, именно к числу 10 000, очень незначительна; она составляет один шанс из десяти тысяч. Но есть также один шанс из десяти тысяч, что мы пришли бы к любому из остальных чисел. И все-таки такой результат нас не удивит, и мы спокойно припишем его случаю. И это только потому, что он менее бросается з глаза. |
Y a-t-il là de notre part une simple illusion,
ou bien y a-t-il des cas où cette façon de voir est
légitime ? Il faut l'espérer, car sans cela toute science
serait impossible. Quand nous voulons contrôler une hypothèse,
que faisons-nous ? Nous ne pouvons en vérifier toutes les
conséquences, puisqu'elles seraient en nombre infini ; nous nous
contentons d'en vérifier quelques-unes et si réussissons, nous
déclarons l'hypothèse confirmée, car tant de
succès ne sauraient, être dus au hasard. Et c'est toujours au
fond le même raisonnement. |
В чем же тут дело? Есть ли это простая иллюзия с нашей стороны или бывают случаи, в которых эта точка зрения законна? Нужно думать, что это так, ибо иначе никакая наука не была бы возможна. Что делаем мы, когда хотим проконтролировать какую-либо гипотезу? Мы не можем проверить все ее выводы, потому что таковых имеется бесчисленное множество. Мы ограничиваемся тем, что выверяем некоторые и в благоприятном случае объявляем гипотезу установленной, ибо такое число совпадений не могло быть делом случая. По существу это то же самое рассуждение. |
Je ne puis ici le justifier complètement, cela
me prendrait trop de temps ; mais je puis dire au moins ceci : nous
nous trouvons en présence de deux hypothèses, ou bien une cause
simple, ou bien cet ensemble de causes complexes que nous appelons le hasard.
Nous trouvons naturel d'admettre que la première doit produire un
résultat simple, et alors, si nous constatons ce résultat
simple, le nombre rond par exemple, il nous parait plus vraisemblable de
l'attribuer à la cause simple qui devait nous le donner presque
certainement, qu'au hasard qui ne pouvait nous le donner qu'une fois sur
10.000. Il n'en sera plus de même si nous constatons un résultat
qui n'est pas simple ; le hasard, il est vrai, ne l'amènera pas
non plus plus d'une fois sur 10.00 ; mais la cause simple n'a pas plus
de chance de le produire. |
Я не имею возможности здесь вполне его оправдать, так как это потребовало бы слишком много времени, но я могу сказать по крайней мере следующее. Мы стоим перед двумя гипотезами: либо здесь действует простая причина, либо же совокупность сложных причин, которую мы называем случаем. Мы считаем естественным допустить, что первая вызывает простой результат; поэтому, когда мы констатируем простой результат, например круглое число, нам представляется гораздо более правдоподобным приписать его простой причине, которая почти наверное должна была к нему привести, чем случайности, которая могла его дать только с вероятностью один на десять тысяч. Иначе будет обстоять дело, когда мы обнаружим не простой результат. Случай, конечно, тоже приведет к нему с вероятностью один на десять тысяч, но зато простая причина не имеет шансов его воспроизвести. |
Il est impossible de se représenter l'espace
vide ; tous nos efforts pour imaginer un espace pur, d'où
seraient exclues les images changeantes des objets matériels, ne
peuvent aboutir qu'à une représentation où les surfaces
fortement colorées, par exemple, sont remplacées par des lignes
à faible coloration et l'on ne pourrait aller jusqu'au bout dans cette
voie, sans que tout s'évanouisse et aboutisse au néant. C'est
de là que provient la relativité irréductible de
l'espace. |
Совершенно невозможно представить себе пространство пустым. Все наши усилия представить себе чистое пространство, из которого были бы исключены изменчивые образы материальных предметов, могут заканчиваться только тем, что мы составляем себе, например, представление, в котором сильно окрашенные поверхности заменены линиями со слабой окраской; и идти в этом направлении до конца нет возможности без того, чтобы все не уничтожалось, не свелось на нет. Отсюда и возникает неустранимая относительность пространства. |
Quiconque parle de l'espace absolu, emploie un mot vide
de sens. C'est là une vérité qui a été
proclamée depuis longtemps par tous ceux qui ont
réfléchi à la question, mais qu'on est trop souvent porté
à oublier. |
Если кто говорит об абсолютном пространстве, то он употребляет слово, лишенное смысла. Эту истину высказывали уже давно все, кто размышлял по этому вопросу, но ее слишком часто забывают и по сей день. |
Je suis en un point déterminé de Paris,
place du Panthéon, par exemple, et je dis : je reviendrai ici
demain. Si l'on me demande : Entendez-vous que vous reviendrez au
même point de l'espace ; je serai tenté de
répondre : Oui ; et cependant j'aurai tort, puisque d'ici
à demain la Terre aura marché, entraînant avec elle la
place du Panthéon, qui aura parcouru plus de 2 millions de
kilomètres. Et, si je voulais préciser mon langage, je n'y
gagnerais rien, puisque ces 2 millions de kilomètres, notre globe les
a parcourus dans son mouvement par rapport au soleil, que le soleil se
déplace à son tour par rapport à la Voie Lactée,
que la Voie Lactée elle-même est sans doute en mouvement sans
que nous puissions connaître sa vitesse. De sorte que nous ignorons
complètement et que nous ignorerons toujours de combien la place du
Panthéon se déplace en un jour. En somme, j'ai voulu
dire : Demain je verrai de nouveau le dôme et le fronton du
Panthéon, et s'il n'y avait pas de Panthéon, ma phrase n'aurait
aucun sens et l'espace s'évanouirait. |
Я нахожусь в определенной точке Парижа, скажем на площади Пантеона, и говорю: "я возвращусь сюда завтра". Если меня спросить: "разумеете ли вы, что возвратитесь в ту же точку пространства", то я буду склонен ответить: "да!"; и все же я буду неправ, ибо в течение этого времени Земля будет двигаться, унося с собой и площадь Пантеона, которая пробежит, таким образом, свыше двух миллионов километров. Если же я пожелал бы учесть это обстоятельство и выразиться точнее, то это все-таки ни к чему бы не привело; в самом деле, эти два миллиона километров Земля пробежала относительно Солнца; но Солнце перемещается относительно Млечного Пути, а Млечный Путь в свою очередь, несомненно, имеет движение, скорости которого мы не можем знать. Таким образом, мы совершенно не знаем и не будем знать никогда, на какое собственно расстояние перемещается площадь Пантеона в течение суток. Все, что я хотел сказать, сводится, таким образом к следующему: "завтра я снова увижу купол и фасад Пантеона", и если бы не было Пантеона, то моя фраза потеряла бы всякий смысл - пространство свелось бы на нет. |
C'est là une des formes les plus banales du
principe de la relativité de l'espace ; mais il en est une autre,
sur laquelle Delbeuf a particulièrement insisté. Supposons que,
dans une nuit, toutes les dimensions de l'univers deviennent mille fois plus
grandes ; le monde sera resté semblable à
lui-même, en donnant au mot de similitude le même sens
qu'au troisième livre de géométrie. Seulement, ce qui
avait un mètre de long mesurera désormais un kilomètre,
ce qui était long d'un millimètre deviendra long d'un
mètre. Le lit où je suis couché et mon corps
lui-même se seront agrandis dans la même proportion. Quand je me
réveillerai, le lendemain matin, quel sentiment éprouverai-je
en présence d'une aussi étonnante transformation ? Eh bien,
je ne m'apercevrai de rien du tout. Les mesures les plus précises
seront incapables de me rien révéler de cet immense
bouleversement, puisque les mètres dont je me servirai auront
varié précisément dans les mêmes proportions que
les objets que je chercherai à mesurer. En réalité, ce
bouleversement n'existe que pour ceux qui raisonnent comme si l'espace
était absolu. Si j'ai raisonné un instant comme eux, c'est pour
mieux faire voir que leur façon de voir implique contradiction. En
réalité, il vaudrait mieux dire que l'espace étant
relatif, il ne s'est rien passé du tout et que c'est pour cela que
nous ne nous sommes aperçus de rien. |
Это одна из наиболее тривиальных форм идеи относительности пространства; но есть и другая точка зрения, которую особенно отстаивал Дельбёф. Вообразим себе, что за одну ночь все размеры Вселенной возросли в тысячу раз. Мир остался бы подобен самому себе, если разуметь под подобием то, что указано в третьей книге "Геометрии". Все сведется к тому, что предмет, имевший метр в длину, будет измеряться километром; предмет, имевший миллиметр, возрастет до метра. Постель, на которой я лежал, и само мое тело возрастут в одной и той же пропорции. Что же почувствую я на следующее утро, проснувшись после такого поразительного превращения? Я попросту ничего не замечу. Самые точные измерения не будут в состоянии ни в малейшей мере обнаружить этот поразительный переворот, ибо метры, которыми я буду пользоваться, изменятся в совершенно том же отношении, что и предметы, которые я буду измерять. В действительности переворот существует только для тех, которые рассуждают так, как будто бы пространство было абсолютным. Если бы я стал на минуту рассуждать, как они, то лишь для того, чтобы обнаружить, что их точка зрения необходимо содержит противоречие. В действительности было бы лучше сказать, что ввиду относительности пространства не произошло, собственно говоря, ничего, и именно потому мы ничего не заметили. |
A-t-on le droit, en conséquence, de dire que
l'on connaît la distance entre deux points ? Non, puisque cette
distance pourrait subir d'énormes variations sans que nous puissions
nous en apercevoir, pourvu que les autres distances aient varié dans
les mêmes proportions. Tout à l'heure, nous avions vu que quand
je dis : Je serai ici demain, cela ne voulait par dire : Je serai
demain au point de l'espace où je suis aujourd'hui, mais : Je
serai demain à 1a même distance du Panthéon
qu'aujourd'hui. Et voici que cet énoncé n'est plus suffisant et
que je dois dire : Demain et aujourd'hui, ma distance du Panthéon
sera égale à un même nombre de fois la longueur de mon
corps. |
Можем ли мы, таким образом, сказать, что мы знаем расстояние между точками. Нет, ибо это расстояние может подвергнуться огромным изменениям, и мы могли бы их не заметить, если бы другие расстояния изменились в той же пропорции. Если я говорю: "я буду здесь завтра", то, как мы видели только что, я не хочу этим сказать, что я буду завтра в той же точке пространства, где сегодня; я имею в виду только, что я буду завтра на том же расстоянии от Пантеона, что и сегодня. Но, строго говоря, и эта формулировка недостаточно ясна. Я, собственно, должен был бы сказать: "завтра, как и сегодня, расстояние от меня до Пантеона составит столько-то раз взятую длину моего тела". |
Mais ce n'est pas tout, j'ai supposé que les
dimensions du monde variaient, mais que du moins ce monde restait toujours
semblable à lui-même. On peut aller beaucoup plus loin et une
des théories les plus étonnantes des physiciens modernes va
nous en fournir l'occasion. D'après Lorentz et Fitzgerald[1],
tous les corps entraînés dans le mouvement de la Terre subissent
une déformation. Cette déformation est, à la
vérité, très faible, puisque toutes les dimensions
parallèles au mouvement de la Terre diminueraient d'un cent
millionième, tandis que les dimensions perpendiculaires à ce
mouvement ne seraient pas altérées. Mais peu importe qu'elle
soit faible, il suffit qu'elle existe pour la conclusion que j'en vais
bientôt tirer. Et d'ailleurs, j'ai dit qu'elle était faible,
mais, en réalité, je n'en sais rien du tout ; j'ai
été victime moi-même de l'illusion tenace qui nous fait
croire que nous pensons un espace absolu ; j'ai pensé au
mouvement de la terre sur son orbite elliptique autour du Soleil, et j'ai
admis 30 kilomètres pour sa vitesse. Mais, sa véritable vitesse
(j'entends, cette fois, non sa vitesse absolue qui n'a aucun sens, mais sa
vitesse par rapport à l'éther), je ne la connais pas, je n'ai
aucun moyen de la connaître : elle est peut-être 10, 100
fois plus grande et alors la déformation sera 100, 10.000 fois plus
forte. |
Но это не все; я предположил, что размеры мира изменятся, но что этот мир останется по крайней мере подобен самому себе. Но в этом направлении можно идти гораздо дальше, и одна из наиболее поразительных теорий современных физиков дает нам. к этому повод. По теории Лоренца и Фицджеральда все тела, увлекаемые движением Земли, подвергаются деформации. Эта деформация в действительности весьма мала, потому что все размеры, параллельные движению Земли, должны уменьшиться на одну стомиллионную часть, между тем как размеры, перпедикулярные этому движению, совсем не должны измениться. Но для нас даже неважно, что эти изменения ничтожны; достаточно того, что они существуют, чтобы сделать вывод, который я имею в виду. Да к тому же, когда я говорю, что изменения ничтожны, я в действительности об этом ничего не знаю; я обнаруживаю только, что становлюсь сам жертвой упорной иллюзии, рисуя себе абсолютное пространство. Я размышлял о движении Земли вокруг Солнца по ее эллиптической орбите, и я принял скорость, равную 30 километрам. Но ее истинная скорость (я разумею на этот раз не абсолютную скорость, которая не имеет никакого смысла, а скорость по отношению к эфиру) мне совершенно неизвестна, и я не имею никаких средств ее узнать; она может быть в 10, 100 раз больше; а тогда и деформация будет в 100 или в 10000 раз больше. |
Pouvons-nous mettre en évidence cette
déformation ? Evidemment non ; voici un cube qui a 1
mètre de côté ; par suite du déplacement de
la terre, il se déforme, l'une de ses arêtes, celle qui est parallèle
au mouvement, devient plus petite, les autres ne varient pas. Si je veux m'en
assurer à l'aide d'un mètre, je mesurerai d'abord l'une des
arêtes perpendiculaires au mouvement et je constaterai que mon
mètre s'applique exactement sur cette arête ; et, en effet,
ni l'une ni l'antre de ces deux longueurs n'est altérée,
puisqu'elles sont, toutes deux, perpendiculaires au mouvement. Je veux
mesurer, ensuite, l'autre arête, celle qui est parallèle au
mouvement ; pour cela je déplace mon mètre et le fais
tourner de façon à l'appliquer sur mon arête. Mais le
mètre ayant changé d'orientation, et étant devenu
parallèle au mouvement, a subi, à son tour, la
déformation, de sorte que bien que l'arête n'ait plus un
mètre de longueur, il s'y appliquera exactement, je ne me serai
aperçu de rien. |
Можем ли мы обнаружить эту деформацию? Конечно, нет. Вот перед нами куб, ребро которого равно одному метру; вследствие перемещения Земли куб испытывает деформацию; одно из ребер, то, которое параллельно движению, становится меньше, дру- гие же не изменяются. Если я хочу в этом убедиться при помощи метра, то я измерю сначала одно из ребер, перпендикулярных движению, и найду, что мой метр точно совпадет с этим ребром; и, в самом деле, ни одна из этих величин ведь не изменилась, так как обе они перпендикулярны движению. Я хочу затем измерить другое ребро, параллельное движению: для этого я перемещаю свой метр и поворачиваю его, чтобы наложить на это ребро. Но метр, изменив свое направление и сделавшись параллельным движению, в свою очередь претерпел деформацию; таким образом, хотя длина ребра не равна более одному метру, последний точно совпадает с ребром, и я ровно ничего не замечу. |
On me demandera alors quelle est l'utilité de
l'hypothèse de Lorentz et de Fitzgerald si aucune expérience ne
peut permettre de la vérifier ? c'est que mon exposition a
été incomplète ; je n'ai parlé que des
mesures que l'on peut faire avec un mètre ; mais on peut mesurer
aussi une longueur par le temps que la lumière met à la
parcourir, à la condition que l'on admette que la vitesse de la
lumière est constante et indépendante de la direction. Lorentz
aurait pu rendre compte des faits en supposant que la vitesse de la
lumière est plus grande dans la direction du mouvement de la terre que
dans la direction perpendiculaire. Il a préféré admettre
que la vitesse est la même dans ces diverses directions, mais que les
corps sont plus petits dans les unes que dans les autres. Si les surfaces
d'onde de la lumière avaient subi les mènes déformations
que les corps matériels, nous ne nous serions pas aperçus de la
déformation de Lorentz-Fitzgerald. |
Меня спросят в таком случае, в чем же польза гипотезы Лоренца и Фицджеральда, если она не может быть проверена опытом? Но мое изложение не было полное, я говорил только об измерениях, которые могут быть произведены при помощи метра; но длину можно измерять и при помощи времени, которое нужно свету, чтобы ее пробежать, в предположении, что скорость света постоянна и не зависит от направления. Лоренц мог бы дать объяснение того же факта, допустив, что скорость света по направлению движения Земли больше, чем скорость света в перпендикулярном направлении. Он предпочел допустить, что скорость эта одинакова во всех направлениях, но что тела в одних направлениях обладают меньшими размерами, чем в других. Если бы поверхности световой волны испытали те же деформации, что и материальные тела, то мы не заметили бы деформации Лоренца-Фицджеральда. |
Dans un cas comme dans l'autre, il ne peut être
question de grandeur absolue, mais de la mesure de cette grandeur par le
moyen d'un instrument quelconque ; cet instrument peut être un
mètre, ou le chemin parcouru par la lumière ; c'est
seulement le rapport de la grandeur à l'instrument que nous mesurons ;
et si ce rapport est altéré, nous n'avons aucun moyen de savoir
si c'est la grandeur ou bien l'instrument qui a varié. |
Как в одном случае, так и в другом нет речи об абсолютной неличине, а лишь об измерении этой величины посредством какого-нибудь инструмента; этим инструментом может быть метр или же путь, пройденный светом; мы измеряем только отношение величины к инструменту, и, если это отношение изменилось, мы никоим образом не можем узнать, что именно изменилось - измеряемая величина или инструмент. |
Mais ce que je veux faire voir, c'est que, dans cette
déformation, le monde n'est pas demeuré semblable à
lui-mène ; les carrés sont devenus des rectangles ou des
parallélogrammes, les cercles des ellipses, les sphères des
ellipsoïdes. Et cependant nous n'avons aucun moyen de savoir si cette
déformation est réelle. |
Но я хочу лишь показать, что при деформации, о которой идет речь, мир не остался себе подобным: квадраты обратились в прямоугольники или в параллелограммы, круги - в эллипсы, сферы - в эллипсоиды. И, однако, мы ни в каком случае не можем знать, реальна ли эта деформация. |
Il est évident qu'on pourrait aller beaucoup
plus loin : au lieu de la déformation de Lorentz-Fitzgerald dont
les lois sont particulièrement simples, on pourrait imaginer une
déformation tout à fait quelconque. Les corps pourraient se
déformer d'après des lois quelconques, aussi compliquées
que nous voudrions, nous ne nous en apercevrions pas pourvu que tous les
corps sans exception se déforment suivant les mènes lois. En
disant : tous les corps sans exception, j'y comprends, bien entendu,
notre corps lui-même, et les rayons lumineux émanés des
divers objets. |
Очевидно, что в этом направлении можно было бы пойти гораздо дальше: вместо деформации Лоренца-Фицджеральда, законы которой чрезвычайно просты, мы могли бы вообразить какую-нибудь совершенно произвольную деформацию. Тела могли бы изменяться по законам, сколь угодно сложным, и мы бы этого не заметили, если бы все тела без исключения подчинялись тем же законам. Говоря "все тела", я разумею, конечно, в том числе и наше тело и световые лучи, исходящие от разных предметов. |
Si nous regardions le monde dans un de ces miroirs de
forme compliquée qui déforment les objets d'une façon
bizarre, les rapports mutuels des diverses parties de ce monde n'en seraient
pas altérés ; si, en effet, deux objets réels se
touchent, leurs images semblent également se toucher. A vrai dire,
quand nous regardons dans un pareil miroir, nous nous apercevons bien de la
déformation, mais c'est parce que le monde réel subsiste
à côté de son image déformée ; et
alors même que ce monde réel nous serait caché, il y a
quelque chose que l'on ne saurait nous cacher, c'est nous-même ;
nous ne pouvons cesser de voir, ou tout au moins de sentir, notre corps et
nos membres qui n'ont pas été déformés et qui
continuent à nous servir d'instruments de mesure. Mais si nous
imaginons que notre corps soit déformé lui-même, et de la
même façon que s'il était vu dans le miroir, ces
instruments de mesure à leur tour nous feront défaut et la
déformation ne pourra plus être constatée. |
Если бы мы рассматривали мир в одном из тех зеркал сложной формы, которые самым причудливым образом изменяют предметы, то взаимные отношения различных частей мира от этого не изменялись бы; если, в самом деле, два реальных предмета касаются друг друга, то их изображения также будут касаться друг друга. Собственно говоря, когда мы смотрим в такое зеркало, мы замечаем происшедшую деформацию, но это потому, что реальный мир существует рядом с его измененным образом, и если бы даже этот реальный мир был от нас скрыт, то все же осталось бы нечто, что от нас не было бы скрыто: это мы сами; мы не можем не видеть или по крайней мере не чувствовать нашего тела и наших членов, которые не испытали деформации и продолжают служить нам орудием измерения. Но если бы мы вообразили, что наше тело изменилось и притом стало таким, каким оно показалось бы в зеркале, то у нас исчезло бы орудие измерения, и деформация не могла бы быть обнаружена. |
Voici de même deux univers qui sont l'image l'un
de l'autre ; à chaque objet P de l'univers A correspond dans
l'univers B un objet P' qui est son image ; les coordonnées de
cette image P' sont des fonctions déterminées de celles de
l'objet P ; ces fonctions peuvent d'ailleurs être tout à
fait quelconques ; je suppose seulement qu'on les ait choisies une fois
pour toutes. Entre la position de P et celle de P', il y a une relation
constante ; quelle est cette relation, peu importe ; il suffit
qu'elle soit constante. |
Вот два мира, из которых каждый является изображением другого; всякому предмету Р мира А соответствует в мире В предмет Р", который и есть его изображение; координаты изображения являются определенными функциями координат предмета Р; эти функции могут, конечно, быть какими угодно; я предполагаю только, что они выбраны раз и навсегда. Между положением Р и положением Р" существует постоянное соотношение; неважно, каково это соотношение; достаточно, что оно постоянное. |
Eh bien, ces deux univers seront indiscernables l'un de
l'autre. Je veux dire que le premier sera pour ses habitants ce que le second
est pour les siens. |
При таких условиях эти два мира не будут отличимы друг от друга. Я хочу сказать, что первый будет для своих обитателей тем же, чем является второй мир для своих. |
Et il en serait ainsi tant que les deux univers
resteraient étrangers l'un à l'autre. Supposons que nous
habitions l'univers A, nous aurons construit notre science et en particulier
notre géométrie : pendant ce temps les habitants de
l'univers B auront construit une science, et comme leur monde est l'image du
nôtre, leur géométrie sera aussi l'image de la
nôtre ou, pour mieux dire, ce sera la même. Mais si un jour une
fenêtre nous est ouverte sur l'univers B, nous les prendrons en
pitié : " Les malheureux, dirons-nous, ils croient
avoir fait une géométrie, mais ce qu'ils appellent ainsi n'est
qu'une image grotesque de la nôtre ; leurs droites sont toutes
tortues[2],
leurs cercles sont bossus, leurs sphères ont de capricieuses
inégalités ". Et nous ne nous douterons pas qu'ils en
disent autant de nous, et qu'on ne saura jamais qui a raison. |
И так будет до тех пор, пока два мира останутся обособленными друг от друга. Допустим, что мы обитаем в мире А, что мы построили нашу науку и, в частности, нашу геометрию. В это же время обитатели мира В также построят науку и, так как их мир есть образ нашего мира, то их геометрия будет также образом нашей геометрии, или, лучше сказать, она будет такой же, как и наша. Но если в один прекрасный день перед нами откроется окно в мир В, нас охватит чувство жалости: "несчастные, - скажем мы, - они думают, что построили геометрию, но то, что они называют этим именем, есть не что иное, как смешной и странный образ нашей геометрии, их прямые искривлены, их круги искажены буграми, их сферы усажены капризными неровностями". И мы не сомневаемся в том, что они скажут то же самое о нас, и никогда нельзя будет сказать, кто прав. |
On voit dans quel sens large doit être entendue
la relativité de l'espace ; l'espace est en réalité
amorphe et les choses qui sont dedans lui donnent seules une forme. Que
doit-on penser alors de cette intuition directe que nous aurions de la droite
ou de la distance ? Nous avons si peu l'intuition de la distance en soi
que, dans une nuit, nous l'avons dit, une distance pourrait devenir mille
fois plus grande sans que nous puissions nous en apercevoir, si toutes les
autres distances avaient subi la même altération. Et même
en une nuit l'univers B pourrait s'être substitué à
l'univers A sans que nous eussions aucun moyen de le savoir, et alors les
lignes droites d'hier auraient cessé d'être droites et nous ne
nous apercevrions de rien. |
Ясно, таким образом, в каком широком смысле нужно понимать относительность пространства. В действительности пространство аморфно, и форму ему сообщают те вещи, которые в нем находятся. Что же можно сказать о той непосредственной интуиции, которую мы как будто имеем о прямой линии и о расстоянии? Мы столь мало обладаем интуицией расстояния самого по себе, что, как мы уже сказали, в течение ночи расстояние может увеличиваться в тысячу раз незаметно для нас, если только все другие расстояния испытывают то же самое изменение. И в течение ночи же мир В может стать на место мира А, причем мы этого решительно не будем знать; вместе с тем прямые линии перестанут быть прямыми и мы этого совершенно не заметим. |
Une partie de l'espace n'est pas par elle-même et
au sens absolu du mot égale à une autre partie de
l'espace ; car si elle l'est pour nous, elle ne le sera pas pour les
habitants de l'univers B ; et ceux-ci ont précisément
autant de droits de rejeter notre opinion que nous en avons de condamner la
leur. |
Одна часть пространства сама по себе и в абсолютном смысле слова не равна другой части пространства; ибо если она равна для нас, она не равна для обитателей мира В; а эти последние могут иметь такое же точно право отвергнуть наше воззрение, какое имеем мы для того, чтобы отвергнуть их воззрение. |
J'ai montré ailleurs quelles sont les
conséquences de ces faits au point de vue de l'idée que nous
devons nous faire de la géométrie non-euclidienne et d'autres
géométries analogues ; je ne veux pas y revenir ; et
aujourd'hui je me placerai à un point de vue un peu différent. |
Я указал в другом сочинении, какие последствия вытекают из этих фактов для того представления, которое мы должны себе составить о неевклидовой геометрии и о других аналогичных геометриях; я не буду к ним возвращаться. Теперь же я стану на несколько иную точку зрения. |
Si cette intuition de la distance, de la direction, de
la ligne droite, si cette intuition directe de l'espace en un mot n'existe
pas, d'où vient que nous croyons l'avoir ? Si ce n'est là
qu'une illusion, d'où vient que cette illusion est si tenace ?
C'est ce qu'il convient d'examiner. Il n'y a pas d'intuition directe de la
grandeur, avons-nous dit, et nous ne pouvons atteindre que le rapport de
cette grandeur à nos instruments de mesure. Nous n'aurions donc pas pu
construire l'espace si nous n'avions eu un instrument pour le mesurer ;
eh bien, cet instrument auquel nous rapportons tout, celui dont nous nous
servons instinctivement, c'est notre propre corps. C'est par rapport à
notre corps que nous situons les objets extérieurs, et les seules
relations spatiales de ces objets que nous puissions nous représenter,
ce sont leurs relations avec notre corps. C'est notre corps qui nous sert,
pour ainsi dire, de système d'axes de coordonnées. |
Если эта интуиция расстояния, направления, прямой линии, словом, если эта непосредственная интуиция пространства не существует, то почему нам кажется,.что мы ее имеем? Если здесь только иллюзия, то почему эта иллюзия держится так прочно? Этот вопрос требует исследования. Непосредственной интуиции величины, сказали мы, не существует, и мы в состоянии только определить отношение этой величины к нашим измерительным инструментам. Мы не были бы способны построить пространство, если бы мы не имели инструмента для его измерения. А инструмент, к которому мы все относим, которым мы инстинктивно пользуемся, - это наше собственное тело. По отношению к нашему телу мы располагаем внешние предметы, и единственные пространственные отношения этих предметов, какие мы можем себе представить, суть их отношения с нашим телом. Наше тело служит, так сказать, системой осей координат. |
Par exemple à un instant α, la
présence de l'objet A m'est révélée par le sens
de la vue ; à un autre instant β, la présence d'un
autre objet B m'est révélée par un autre sens, celui de
l'ouie ou du toucher, par exemple. Je juge que cet objet B occupe la
même place que l'objet A. Qu'est-ce que cela veut dire ? D'abord
cela ne signifie pas que ces deux objets occupent, à deux instants
différents, un même point d'un espace absolu, qui même,
s'il existait, échapperait à notre connaissance, puisque, entre
les instants α et β, le système solaire s'est
déplacé et que nous ne pouvons connaître son
déplacement. Cela veut dire que ces deux objets occupent la même
position relative par rapport à notre corps. |
Например, в один момент a присутствие предмета А обнаруживается мною органом зрения. В другой момент b присутствие другого предмета В обнаруживается мною при помощи другого органа чувств, например слуха или осязания. Я заключаю, что предмет В занимает то же место, что и предмет А. Что же это значит? Прежде всего, это не значит, что оба предмета занимают в два различных момента одну и ту же точку в абсолютном пространстве; такое пространство, если бы и существовало, ускользало бы от нашего сознания, ибо между моментами a и b Солнечная система переместилась, а мы этого перемещения не знаем. Это значит только, что оба предмета занимают одно и то же положение по отношению к нашему телу. |
Mais cela même, qu'est-ce que cela veut
dire ? Les impressions qui nous sont venues de ces objets ont suivi des
chemins absolument différents, le nerf optique pour l'objet A, le nerf
acoustique pour l'objet B. Elles n'ont rien de commun au point de vue
qualitatif. Les représentations que nous pouvons nous faire de ces
deux objets sont absolument hétérogènes,
irréductibles l'une à l'autre. Seulement je sais que, pour
atteindre l'objet A, je n'ai qu'à étendre le bras droit d'une
certaine manière ; lors même que je m'abstiens de le faire,
je me représente les sensations musculaires et autres sensations
analogues qui accompagneraient cette extension, et cette représentation
est associée à celle de l'objet A. |
Но какое же содержание имеет это утверждение? Впечатления, которые мы получили от этих предметов, шли по совершенно различным путям: по зрительному нерву для предмета А, по слуховому нерву для предмета В. С точки зрения качественной эти впечатления не имеют ничего общего. Представления, которые мы можем себе составить об этих двух предметах, являются абсолютно разнородными, друг к другу не сводимыми. Но я знаю только, что мне стоит известным образом протянуть правую руку, и я ухвачу тело А; если даже я воздерживаюсь от соответствующего движения, то я представляю себе мускульные ощущения и другие аналогичные ощущения, которыми сопровождается это движение. Такое представление и ассоциируется с представлением предмета А. |
Or, je sais également que je puis atteindre
l'objet B en étendant le bras droit de la même manière,
extension accompagnée du même cortège de sensations
musculaires. Et quand je dis que ces deux objets occupent la même
position, je ne veux pas dire autre chose. |
Я знаю, однако, что могу достать тело В, протягивая тем же самым образом правую руку, причем это движение сопровождается таким же рядом мускульных ощущений. И только это я и разумею, когда утверждаю, что оба предмета занимают одно и то же положение. |
Je sais aussi que j'aurais pu atteindre l'objet A par
un autre mouvement approprié du bras gauche et je me représente
les sensations musculaires qui auraient accompagné ce mouvement ;
et, par ce même mouvement du bras gauche accompagné des
mêmes sensations, j'aurais pu également atteindre l'objet B. |
Я знаю также, что мог бы достать предмет А при помощи другого подходящего движения левой руки, и я представляю себе те мускульные ощущения, которыми сопровождалось бы это движение; и при помощи того же движения левой руки, влекущего за собою те же ощущения, я мог бы достать предмет В. |
Et cela est très important, puisque c'est de
cette façon que je pourrai me défendre contre les dangers dont
pourraient me menacer soit l'objet A, soit l'objet B. A chacun des coups dont
nous pouvons être frappés, la nature a associé une ou
plusieurs parades qui nous permettent de nous en préserver. Une
même parade peut répondre à plusieurs coups ; c'est
ainsi, par exemple, qu'un même mouvement du bras droit nous aurait
permis de nous défendre à l'instant α contre l'objet A et
à l'instant β contre l'objet B. De même, un même coup
peut être paré de plusieurs manières, et nous avons dit,
par exemple, qu'on pouvait atteindre indifféremment l'objet A, soit
par un certain mouvement du bras droit, soit par un certain mouvement du bras
gauche. |
Это очень важно, потому что именно этим путем я могу защитить себя против опасностей, которыми мне могут угрожать предметы А и В. Каждому удару, который может быть нам нанесен извне, природа противопоставила один или несколько ответных ударов, которые имеют для нас предохранительное значение. Одним и тем же парированием можно отвечать на несколько ударов; например, одним и тем же движением правой руки можно будет защитить себя в момент a против предмета A и в момент b против предмета В. Точно так же один и тот же удар может быть отражен несколькими приемами, и, например, как мы уже указали, предмет А можно достать при помощи известного движения либо правой, либо левой руки. |
Toutes ces parades n'ont rien de commun entre elles,
sinon qu'elles permettent de se garer d'un même coup, et c'est cela, et
rien que cela, que nous entendons quand nous disons que ce sont des
mouvements aboutissant à un même point de l'espace. De
même, ces objets, dont nous disons qu'ils occupent un même point
de l'espace, n'ont rien de commun, sinon qu'une même parade peut
permettre de se défendre contre eux. |
Все эти ответные удары не имеют между собою ничего общего, кроме того, разве, что они дают возможность избежать одного и того же удара, и только об этом-то идет речь, когда мы говорим о них как о движениях, заканчивающихся в одной и той же точке пространства. Равным образом, то общее, которое заключается в предметах, когда мы говорим, что они занимают одно и то же место пространства, выражается лишь в том, что для защиты от них может быть употреблен один и тот же ответный удар. |
Ou, si l'on aime mieux, que l'on se représente
d'innombrables fils télégraphiques, les uns centripètes,
les autres centrifuges. Les fils centripètes nous préviennent
des accidents qui se produisent au dehors, les fils centrifuges doivent y
apporter le remède. Des connexions sont établies de telle
façon que quand l'un des fils centripètes est parcouru par un
courant, ce courant agit sur un relais et provoque ainsi un courant dans l'un
des fils centrifuges, et les choses sont arrangées pour que plusieurs
fils centripètes puissent agir sur un même fil centrifuge, si un
même remède convient à plusieurs maux, et qu'un fil
centripète puisse ébranler divers fils centrifuges, soit
simultanément, soit à défaut l'un de l'autre, toutes les
fois qu'un même mal peut être guéri par plusieurs
remèdes. |
Другими словами, представим себе сеть бесчисленных телеграфных проволок, из которых одни имеют центробежное, другие центростремительное направление. Центростремительные проволоки предупреждают нас о бедах, совершившихся во внешнем мире, центробежные должны принести помощь. Соединения установлены таким образом, что когда по одной из центростремительных проволок пробегает ток, он действует на электрический прибор, реле, и вызывает ток в одной из центробежных проволок. При этом несколько центростремительных проволок могут действовать на одну и ту же центробежную, если один и тот же вид помощи применим в разных несчастных случаях, и одна центростремительная проволока может поколебать разные центробежные проволоки либо одновременно, либо в каком-нибудь последовательном порядке, если одно и то же бедствие может быть исправлено несколькими средствами. |
C'est ce système complexe d'associations, c'est
ce tableau de distribution, pour ainsi dire, qui est toute notre
géométrie, ou, si l'on veut, tout ce que notre
géométrie a d'instinctif. Ce que nous appelons notre intuition
de la ligne droite ou de la distance, c'est la conscience que nous avons de
ces associations et de leur caractère impérieux. |
Вот эта-то сложная система связей, этот, если можно так сказать, распределительный щит и есть вся наша геометрия или, иначе говоря, все то инстинктивное, что заключается в нашей геометрии. То, что мы называем интуицией прямой линии или расстояния, и есть реализация в нашем сознании этих связей и их управляющего характера. |
Et d'où vient ce caractère
impérieux lui-même, il est aisé de le comprendre. Une
association nous paraîtra d'autant plus indestructible qu'elle sera
plus ancienne. Mais ces associations ne sont pas, pour la plupart, des
conquêtes de l'individu, puisqu'on en voit la trace chez l'enfant qui
vient de naître : ce sont des conquêtes de la race. La sélection
naturelle a dû amener ces conquêtes d'autant plus vite qu'elles
étaient plus nécessaires. |
Легко понять, откуда вытекает этот управляющий характер. Связь нам кажется тем более неразрушимой, чем древнее ее происхождение. Но эти связи в большинстве случаев не являются приобретениями индивидуума, ибо в зачаточном состоянии они заметны уже у новорожденного. Эти связи - приобретения расовые (1). Естественный отбор должен был упрочить их тем скорее, чем они более необходимы. |
A ce compte, celles dont nous parlons ont dû
être des premières en date, puisque sans elles la défense
de l'organisme été impossible. Des que les cellules n'ont plus
été purement juxtaposées, et qu'elles ont
été appelées à se porter un mutuel secours, il a
bien fallu que s'organise un mécanisme analogue à celui que
nous venons de décrire pour que ce secours ne se trompe pas de chemin
et aille au-devant du péril. |
В числе последних на первом месте должны были быть, конечно, те приобретения, о которых мы говорили, потому что без них защита организма была бы невозможна. Как только клетки вышли из стадии простого наложения и стали вступать в стадию взаимного служения друг другу, должен был создаться механизм, аналогичный тому, который мы выше описали, для того, чтобы это служение не уклонялось от должного пути и направлялось против опасности. |
Quand une grenouille est décapitée, et
qu'une goutte d'acide est déposée en un point de la peau, elle
cherche à essuyer l'acide avec la patte la plus rapprochée, et,
si cette patte est amputée, elle l'enlève avec la patte du
coté opposé. Voilà bien cette double parade dont je
parlais tout à l'heure, permettant de combattre un mal par un second
remède, si le premier fait défaut. Et c'est cette
multiplicité des parades, et la coordination qui en résulte,
qui est l'espace. |
Если пустим каплю кислоты на кожу обезглавленной лягушки, то последняя старается снять эту каплю лапой, ближайшей к тому месту, где упала капля; а если эта лапа ампутирована, то лягушка пользуется другой лапой. Вот пример того дублирования ответного удара, о котором я только что говорил и которое позволяет бороться с бедствием вторым средством, если первое вышло из строя. Именно эта множественность ответных ударов и координация, которая из нее вытекает, образуют в своей совокупности пространство. |
On voit à quelle profondeur de l'inconscient il
faut descendre pour trouver les premières traces de ces associations
spatiales, puisque les parties les plus inférieures du système
nerveux entrent seules en jeu. Comment s'étonner, dès lors, de
la résistance que nous opposons à toute tentative faite pour
dissocier ce qui depuis si longtemps est associé ? Or, c'est
cette résistance même que nous appelons l'évidence des
vérités géométriques ; cette évidence
n'est autre chose que la répugnance que l'on éprouve à
rompre avec de très vieilles habitudes, dont on s'est toujours bien
trouvé. |
Мы видим, в какие глубины бессознательного надобно спуститься, чтобы найти первые следы пространственных связей, ибо в них играют роль простейшие и низшие части нервной системы. Можно ли после этого удивляться сопротивлению, которое мы оказываем каждой попытке разъединить то, что уже так давно соединено? Но это сопротивление и есть то, что мы называем очевидностью геометрических истин, эта очевидность есть не что иное, как то тягостное чувство противления, которое мы обыкновенно испытываем, когда отказываемся от очень старых привычек, с коими нам всегда легко жилось. |
L'espace ainsi créé n'est qu'un petit
espace qui ne s'étend pas plus loin que ce que mon bras peut
atteindre ; l'intervention de la mémoire est nécessaire
pour en reculer les limites. Il y a des points qui resteront hors de ma
portée, quelque effort que je fasse pour étendre la main ;
si j'étais cloué au sol comme un polype hydraire, par exemple,
qui ne peut qu'étendre ses tentacules, tous ces points seraient en
dehors de l'espace, puisque les sensations que nous pourrions éprouver
par l'action des corps qui y seraient placés, ne seraient
associées à l'idée d'aucun mouvement nous permettant de
les atteindre, d'aucune parade appropriée. Ces sensations ne nous
sembleraient avoir aucun caractère spatial et nous ne chercherions pas
à les localiser. |
Созданное таким образом пространство имеет малые размеры: оно не простирается дальше того места, которое достигается моей рукой. Границы пространства расширяются благодаря вмешательству памяти. Имеются такие точки, которые навсегда останутся для меня недостижимыми, какие бы усилия я ни употреблял, протягивая руку. Если бы я был прикреплен к почве наподобие, например, гидроидного полипа, который может протягивать свои щупальца, то все эти точки оставались бы вне пространства, по-тому что те ощущения, которые мы можем испытывать благодаря действию тел, помещенных в этих точках, не были бы ассоциированы ни с какой-либо идеей движения, необходимого для достижения этих тел, ни с каким-либо соответствующим ответным ударом. Нам казалось бы, что эти ощущения не имеют пространственного характера, и мы не старались бы их локализовать. |
Mais nous ne sommes pas fixés au sol comme les
animaux inférieurs ; nous pouvons, si l'ennemi est trop loin,
marcher à lui d'abord et étendre la main quand nous sommes
assez près. C'est encore une parade, mais une parade à longue
portée. D'autre part, c'est une parade complexe, et dans la représentation
que nous nous en faisons entrent la représentation des sensations
musculaires causées par les mouvements des jambes, celle des
sensations musculaires causées par le mouvement final du bras, celle
des sensations des canaux semi-circulaires, etc. Nous devons, d'ailleurs,
nous représenter, non pas un complexus de sensations
simultanées, mais un complexus de sensations successives, et se
suivant dans un ordre déterminé, et c'est pour cela que j'ai
dit tout à l'heure que l'intervention de la mémoire était
nécessaire. |
Но, в отличие от низших животных, мы не прикреплены к почве. Если враг находится далеко от нас, то мы можем до него дойти и, приблизившись, протянуть руку. Это тоже ответный удар, но дальнего действия. Кроме того, это сложный ответный удар и в представление, которое мы о нем себе составляем, входит представление о мускульных ощущениях, вызванных движением ног, представление о мускульных ощущениях, вызванных конечным движением руки, представление об ощущениях полукружных каналов и т. д. Мы должны, кроме того, представить себе не комплекс одновременных ощущений, а комплекс ощущений последовательных, сменяющих друг друга в определенном порядке, и вот почему я указал выше на необходимость вмешательства памяти. |
Observons encore que, pour aller à un même
point, je puis m'approcher plus prés du but à atteindre, pour
avoir moins à étendre la main ; que sais-je encore ?
Ce n'est pas une, c'est mille parades que je puis opposer à un
même danger. Toutes ces parades sont formées de sensations qui
peuvent n'avoir rien de commun et cependant nous les regarderons comme
définissant un même point de l'espace, parce qu'elles peuvent
répondre à ce même danger et qu'elles sont les unes et
les autres associées à la notion de ce danger. C'est la
possibilité de parer un même coup, qui fait l'unité de
ces parades diverses, comme c'est la possibilité d'être
parés de la même façon qui fait l'unité des coups
de nature si diverse, qui peuvent nous menacer d'un même point de
l'espace. C'est cette double unité qui fait l'individualité de
chaque point de l'espace, et, dans la notion de point, il n'y a pas autre
chose. |
Заметим еще, что для того, чтобы прийти к одной и той же точке, я могу очень близко подойти к цели, которую мне нужно достигнуть, и лишь немного вытянуть руку. Что же еще мне известно? Не один, а тысячу ответных ударов могу я противопоставить одной и той же опасности. Все эти удары образованы из ощущений, которые могут не иметь между собой ничего общего, но мы их рассматриваем как определяющие одну и ту же точку пространства, потому что они могут отвечать одной и той же опасности и все ассоциированы с понятием об этой опасности. Возможность парировать один и тот же удар и сообщет этим различным ответным ударам единство, подобно тому как возможность быть парированным одним и тем же способом сообщает единство различного рода ударам, которые могут угрожать нам из одной и той же точки пространства. Именно это двоякое единство и создает индивидуальность каждой точки пространства, а понятие о точке ничего, кроме этого, в себе не заключает. |
L'espace que j'envisageais dans le paragraphe
précédent, et que je pourrais appeler l'espace restreint,
était rapporté à des axes de coordonnées
liés à mon corps ; ces axes étaient fixes, puisque
mon corps ne bougeait pas et que mes membres seuls se
déplaçaient. Quels sont les axes auxquels se rapporte
naturellement l'espace étendu ? c'est-à-dire le
nouvel espace que je viens de définir. Nous définissons un
point par la suite de mouvements qu'il convient de faire pour l'atteindre
à partir d'une certaine position initiale du corps. Les axes sont donc
liés à cette position initiale du corps. |
Пространство, которое я рассматривал в предыдущем разделе, и которое я мог бы назвать ограниченным пространством, было отнесено к осям координат, связанным с моим телом; эти оси были постоянны, так как мое тело не двигалось, а перемещались лишь мои члены. Каковы же оси, к которым может быть отнесено расширенное пространство, т. е. то пространство, которое я только что определил? Мы определяем точку при помощи ряда движении, которые необходимо совершить для ее достижения, исходя при этом из определенного начального положения тела. Оси, следовательно, связаны с этим начальным положением. |
Mais la position que j'appelle initiale peut être
arbitrairement choisie parmi toutes les positions que mon corps a
successivement occupées ; si la mémoire plus ou moins
inconsciente de ces positions successives est nécessaire à la
genèse de la notion d'espace, cette mémoire petit remonter plus
ou moins loin dans le passé. De là résulte dans la
définition même de l'espace une certaine indétermination
et c'est précisément cette indétermination qui constitue
sa relativité. |
Но положение, которое я называю начальным, может быть произвольно избрано среди всех тех положений, которые мое тело последовательно занимало; если более или менее бессознательное воспоминание об этих последовательных положениях необходимо для генезиса понятия пространства, то это воспоминание может простираться более или менее далеко в прошлое. Отсюда получается известная неопределенность в самом определении пространства и этой именно неопределенностью обусловливается его относительность. |
Il n'y a plus d'espace absolu, il y a seulement
l'espace relatif à une certaine position initiale du corps. Pour un
être conscient, qui serait fixé au sol comme les animaux
inférieurs, et qui, par conséquent, ne connaîtrait que
l'espace restreint, l'espace serait encore relatif (puisqu'il se rapporterait
à son corps), mais cet être n'aurait pas conscience de cette
relativité, parce que les axes auxquels il rapporterait cet espace
restreint ne changeraient pas ! Sans doute, le rocher auquel cet
être serait enchaîné ne serait pas immobile, puisqu'il
serait entraîné dans le mouvement de notre planète ;
pour nous, par conséquent, ces axes changeraient à chaque
instant ; mais, pour lui, ils ne changeraient pas. Nous avons la
faculté de rapporter notre espace étendu tantôt à
la position A de notre corps, considérée comme initiale,
tantôt à la position B, qu'il avait quelques instants,
après, et que nous sommes libres de regarder à son tour comme
initiale ; nous faisons donc à chaque instant des changements
inconscients de coordonnées. Cette faculté ferait défaut
à notre être imaginaire, et, faute d'avoir voyagé, il
croirait l'espace absolu. A chaque instant, son système d'axes lui
serait imposé ; ce système aurait beau changer en
réalité, pour lui, il serait toujours le même, puisqu'il
serait toujours le système unique. Il n'en est pas de
même pour nous qui, à chaque instant, possédons plusieurs
systèmes entre lesquels nous pouvons choisir à volonté
et à la condition de remonter par la mémoire plus ou moins loin
dans le passé. |
Итак, нет абсолютного пространства, а есть только пространство, отнесенное к известному начальному положению тела. Для сознательного существа, которое, как низшие животные, было бы прикреплено к почве и которому, следовательно, было бы знакомо лишь ограниченное пространство, это пространство также было бы относительным, так как оно было бы отнесено к его телу; но такое существо не сознавало бы этой относительности, потому что оси, к которым оно относило ограниченное пространство, не изменялись бы! Конечно, скала к которой это существо было бы приковано, не оставалась бы неподвижной, так как она увлекалась бы движением нашей планеты; для нас, следовательно, эти оси изменялись бы в каждое мгновение; но для него они оставались бы неизменными. Мы обладаем способностью относить наше расширенное пространство то к положению А нашего тела, рассматриваемому как начальное, то к положению В, которое наше тело приобрело несколькими мгновениями позже и которое совершенно свободно можем также рассматривать как начальное; мы, следовательно, каждое мгновение производим бессознательное изменение координат. Этой способности не было бы у нашего воображаемого существа; лишенное возможности путешествовать, оно почитало бы пространство абсолютным. В каждое мгновение его система в действительности изменялась бы, но для него она оставалась бы одной и той же, так как она была бы единственной его системой. Не то для нас, обладающих в каждое мгновение несколькими системами, между которыми мы можем произвольно выбирать, и сохраняющих воспоминания, которые могут нас переносить в более или менее далекое прошлое. |
Ce n'est pas tout, l'espace restreint ne serait pas
homogène ; les divers points de cet espace ne pourraient
être regardés comme équivalents, puisque les uns ne
pourraient être atteints qu'au prix des plus grands efforts, tandis que
d'autres le seraient facilement. Au contraire, notre espace étendu
nous apparaît comme homogène, et nous disons que tous les points
en sont équivalents. Qu'est-ce que cela veut dire ? |
Но это не все. Ограниченное пространство не было бы однородным; различные точки этого пространства не могли бы рассматриваться как эквивалентные, потому что для достижения одних потребовались бы величайшие усилия, для достижения других - незначительные. Напротив, наше беспредельное пространство кажется нам однородным, и мы говорим, что все его точки эквивалентны. Что же это, собственно, значит? |
Si nous partons d'une certaine position A, nous
pouvons, à partir de cette position, effectuer certains mouvements M,
caractérisés par un certain complexus de sensations
musculaires. Mais, à partir d'une autre position B, nous pourrons
exécuter des mouvements M' qui seront caractérisés par
les mêmes sensations musculaires. Soit alors a la situation d'un
certain point du corps, du bout de l'index de la main droite, par exemple,
dans la position initiale A, soit b la situation de ce même
index quand, partant de cette position A, on a exécuté les
mouvements M. Soit ensuite a' la situation de cet index dans la
position B, et b' sa situation quand, partant de la position B, on a
exécuté les mouvements M'. |
Если мы исходим из известного положения А, то мы можем совершить известные движения М, характеризуемые известным комплексом мускульных ощущений. Но, исходя из другого положения В, мы сможем совершить движения М", характеризуемые теми же мускульными ощущениями. Обозначим через a положение определенной точки тела, например конца указательного пальца правой руки при начальном положении А, и обозначим через b положение того же пальца после того, как, исходя из этого положения А, мы совершили движения М. Пусть а" будет положение того же пальца в В, а b" - положение того же пальца после совершения движений М". |
Eh bien ! j'ai coutume de dire que les points de
l'espace a et b sont entre eux comme les points a' et b'
et cela veut dire simplement que les deux séries de mouvements M et M'
sont accompagnées des mêmes sensations musculaires. Et comme
j'ai conscience que, en passant de la position A à la position B, mon
corps est resté capable des mêmes mouvements, je sais qu'il y a
un point de l'espace qui est au point a', ce qu'un point b quelconque
est au point a, de sorte que les deux points a et a'
sont équivalents. C'est cela qu'on appelle
l'homogénéité de l'espace. Et, en même temps,
c'est pour cela que l'espace est relatif, puisque ses
propriétés restent les mêmes, qu'on le rapporte aux axes
A ou aux axes B. De sorte que la relativité de l'espace et son
homogénéité sont une seule et même chose. |
Так вот, при таких условиях я обыкновенно говорю, что точки пространства а и b относятся друг к другу как точки а" и b", a это обозначает только, что два ряда движений М и М" сопровождаются одними и теми же мускульными ощущениями. И так как я сознаю, что при переходе из положения А в В мое тело сохранило способность к одним и тем же движениям, то я знаю, что есть точка пространства, которая по отношению к точке а" составляет то же, что произвольно выбранная точка В относительно точки а, и что, таким образом, обе точки а и а" эквивалентны. И вот поэтому пространство в то же время относительно, ибо его свойства остаются одними и теми же, когда оно отнесено к осям А или к осям В. Таким образом, относительность пространства и его однородность - это одно и то же. |
Maintenant, si je veux passer au grand espace, qui ne
sert plus seulement pour moi, mais où je peux loger l'univers, j'y
arriverai par un acte d'imagination. Je m'imaginerai ce qu'éprouverait
un géant qui pourrait atteindre les planètes en quelques
pas ; ou, si l'on aime mieux, ce que je sentirais moi-même en
présence d'un monde en miniature où ces planètes
seraient remplacées par de petites boules, tandis que sur l'une de ces
petites boules s'agiterait un lilliputien que j'appellerais moi. Mais cet
acte d'imagination me serait impossible, si je n'avais préalablement
construit mon espace restreint et mon espace étendu pour mon usage
personnel. |
Теперь, если я захочу перейти к огромному пространству, которое служит уже не только для меня, но в котором я могу себе представить всю Вселенную, я прибегну к акту воображения. Я представлю себе, что испытал бы великан, который несколькими шагами достиг бы планет или, если это угодно, что испытал бы я сам перед лицом миниатюрного мира, в котором планеты были бы заменены маленькими шариками, и на одном из них суетился бы лилипут, и этим лилипутом был бы я. Но вот акт воображения был бы для меня невозможен, если бы я не построил предварительно и притом для собственного обихода своего ограниченного и своего обширного пространства. |
Pourquoi maintenant tous ces espaces ont-ils trois
dimensions ? Reportons-nous au " tableau de distribution "
dont nous parlions plus haut. Nous avons d'un côté la liste des
différents dangers possibles ; désignons-les par A 1, A 2,
etc. ; et, de l'autre côté, la liste des différents
remèdes que j'appellerai de même B 1, B 2, etc. Nous avons
ensuite des connexions entre les plots de la première liste et ceux de
la deuxième, de telle façon que quand, par exemple,
l'avertisseur du danger A 3 fonctionnera, il mettra ou pourra mettre en
branle le relais correspondant à la parade B 4. |
Теперь возникает вопрос; почему все эти пространства имеют три измерения? Обратимся к "распределительному щиту", о котором мы говорили выше. Мы имеем, с одной стороны, список возможных опасностей: обозначим их через А1, A2 и т. д.; с другой стороны - список разных средств защиты, которые мы обозначим через В1, В2 и т. д. Мы имеем, таким образом, связи между элементами первого и второго списков, так что, когда, например, сработает сигнализатор опасности A3, он приведет или может привести в действие реле, соответствующее ответному удару B3. |
Comme j'ai parlé plus haut de fils
centripètes ou centrifuges, je crains qu'on ne voie dans tout ceci,
non une simple comparaison, mais une description du système nerveux.
Telle n'est pas ma pensée, et cela pour plusieurs raisons :
d'abord, je ne me permettrais pas d'énoncer une opinion sur la
structure du système nerveux que je ne connais pas, tandis que ceux
qui l'ont étudié ne le font qu'avec circonspection ;
ensuite parce que, malgré mon incompétence, je sens bien que ce
schéma serait par trop simpliste ; et enfin, parce que, sur ma
liste de parades, il en figure de très complexes, qui peuvent
même, dans le cas de l'espace étendu, comme nous l'avons vu plus
haut, être formées de plusieurs pas suivis d'un mouvement du
bras. Il ne s'agit donc pas de connexion physique entre deux conducteurs
réels, mais d'association psychologique entre deux séries de
sensations. |
Так как я говорил выше о центростремительных и центробежных проволоках, то я опасаюсь, как бы во всем этом не усмотрели не простое сравнение, а описание нервной системы. Но моя мысль не такова. Прежде всего я не позволил бы себе высказать мнение относительно структуры нервной системы, которой я не знаю, между тем как лица, изучавшие ее, высказываются о ней с большой осторожностью. Затем, несмотря на мою некомпетентность, я чувствую, что эта схема была бы слишком упрощенной, и, наконец, в моем списке ответных ударов имеются некоторые очень сложные; как мы выше видели, когда речь шла об обширном пространстве, некоторые ответные удары могут включать в себя ряд движений ног, сопровождающихся движением руки. Дело, следовательно, идет не о физической связи между двумя реальными проводниками, но о психологической связи между двумя рядами ощущений. |
Si A 1 et A 2 par exemple sont l'un et l'autre
associés à la parade B 1, et si A 1 est également
associé à la parade B 2, il arrivera généralement
que A 2 et B 2 seront eux aussi associés. Si cette loi fondamentale,
n'était pas généralement vraie, il n'y aurait qu'une
immense confusion et il n'y aurait rien qui pût ressembler à une
conception de l'espace ou à une géométrie. Comment, en
effet, avons-nous défini un point de l'espace. Nous l'avons fait de
deux façons : c'est d'une part l'ensemble des avertisseurs A qui
sont en connexion avec une même parade B ; c'est d'autre part
l'ensemble des parades B qui sont en connexion avec un même avertisseur
A. Si notre loi n'était pas vraie, on devrait dire que A 1 et A 2
correspondent à un même point puisqu'ils sont tous deux en
connexion avec B 1 ; mais on devrait dire également qu'ils ne
correspondent pas à un même point, puisque A 1 serait en
connexion avec B 2 et qu'il n'en serait pas de même de A 2. Ce serait
une contradiction. |
Если сигнализаторы А2 и A2, например, связаны один и другой с ответным ударом B1, и если А1 связан также с ответным ударом B2, то обыкновенно случается, что A2 и B2 также связаны. Если бы этот основной закон не был вообще справедлив, то произошло бы неимоверное смешение, и ничего схожего с понятием о пространстве или с геометрией не могло бы составиться. В самом деле, вспомним, как мы определяли точку пространства. Мы это сделали двояко: с одной стороны, мы имели совокупность сигнализаторов A, которые связаны с одним и тем же ответным ударом В, с другой - совокупность ответных ударов В, связанных с одним и тем же сигнализатором А. Если бы наш закон не был справедлив, следовало бы сказать, что А1 и A2 отвечают одной и той же точке, потому что оба они связаны с ответным ударом B1, но, равным образом, следовало бы также сказать, что они не отвечают одной и той же точке, потому что А1 связан с В2, а A2 не связан с В2. Это было бы противоречием. |
Mais, d'un autre côté, si la loi
était rigoureusement et toujours vraie, l'espace serait tout
différent de ce qu'il est. Nous aurions des catégories bien
tranchées entre lesquelles se répartiraient d'une part les
avertisseurs A, d'autre part les parades B ; ces catégories
seraient excessivement nombreuses, mais elles seraient entièrement
séparées les unes des autres. L'espace serait formé de
points très nombreux, mais discrets, il serait discontinu. Il n'y
aurait pas de raison pour ranger ces points dans un ordre plutôt que
dans un autre, ni par conséquent pour attribuer à l'espace
trois dimensions. |
Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда правилен, пространство было бы отлично от того, каким оно является. Мы имели бы резко очерченные категории, между которыми распределились бы, с одной стороны, сигнализаторы A и с другой - ответные удары В эти категории были бы чрезвычайно многочисленны, но они были бы друг от друга совершенно отделены. Пространство было бы составлено из очень многочисленных, но раздельных точек, оно было бы прерывным. Не было бы оснований предпочесть один порядок расположения точек другому, не было бы, следовательно, оснований приписывать пространству три измерения. |
Mais il n'en est pas ainsi ; qu'on me permette de
reprendre un instant le langage des gens qui savent déjà la
géométrie ; il le faut bien puisque c'est la langue
qu'entendent le mieux ceux de qui je cherche à me faire comprendre.
Quand je veux parer le coup, je cherche à atteindre le point
d'où vient ce coup, mais il suffit que j'en approche assez
près. Alors la parade B 1 pourra répondre à A 1 et
à A 2 si le point qui correspond à B 1 est suffisamment
près à la fois de celui qui correspond à A 1 et de
celui qui correspond à A 2. Mais il pourra se faire que le point
qui correspond à une autre parade B 2 soit assez voisin du point
correspondant à A 1, et ne le soit pas assez du point
correspondant à A 2. De sorte que la parade B 2 pourra
répondre à A 1 sans pouvoir répondre à
A 2. |
Но дело обстоит не так. Да будет мне позволено воспользоваться на мгновение языком людей, уже знающих геометрию. Это даже необходимо, потому что именно такой язык наиболее понятен читателям, которых я имею в виду, поясняя свою мысль. Когда я хочу отразить удар, я стараюсь достигнуть той точки, откуда удар исходит, но для этого достаточно, чтобы я приблизился к точке на надлежащее расстояние. В таком случае ответный удар В1 может отвечать ударам A1 и A2, если только точка, отвечающая В1, одновременно достаточно близка к точкам, отвечающим А1 и A2. Но может случиться, что точка, отвечающая другому ответному удару B2, окажется достаточно близкой к точке, отвечающей А1, но недостаточно близкой к точке, отвечающей A2. Таким обра-зом, ответный удар B2 будет соответствовать А1 и не соответствовать А2. |
Pour celui qui ne sait pas encore la
géométrie, cela se traduira simplement par une
dérogation à la loi énoncée plus haut. Et alors,
les choses se passeront de la façon suivante. Deux parades B 1 et B 2
seront associées à un même avertissement A 1 et
à un très grand nombre d'avertissements que nous rangerons dans
la même catégorie que A 1 et que nous ferons correspondre
à un même point de l'espace. Mais nous pourrons trouver des
avertissements A 2 qui seront associés à B 2 sans
l'être à B 1, et qui en revanche le seront à B 3,
lequel B 3 n'était pas associé à A 1, et ainsi
de suite, de sorte que noua pouvons écrire la suite |
Для того, кто не знает еще геометрии, все это покажется просто нарушением формулированного выше закона. Для него дело будет просходить таким образом: два ответных удара В1 и В2 будут связаны с одним и тем же сигнализатором А1 и с еще большим числом сигнализаторов, которые мы включили в ту же кате- горию, в какой находится A1, и которые мы отнесем к одной и той же точке пространства. Но мы сможем найти сигнализаторы А2, которые будут связаны с В2, не,будучи связанными с B1 и которые зато связаны с B3, причем В3 не связан с А1, и.т. д. Итак, мы можем писать ряд |
B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4, |
В1, A1, B2, А2, В3, A3, B4, A4 |
où chaque terme est associé au suivant et
au précédent, mais ne l'est pas aux termes qui sont distants de
plusieurs rangs. |
в котором каждый член связан со следующим и с предыдущим, но не связан с членами, отстоящими от него дальше. |
Inutile d'ajouter que chacun des termes de ces suites
n'est pas isolé, mais fait partie d'une très nombreuse
catégorie d'autres avertisseurs ou d'autres parades qui a les mêmes
connexions que lui, et que l'on peut regarder comme appartenant à un
même point de l'espace. La loi fondamentale, tout en comportant des
exceptions, reste donc presque toujours vraie. Seulement, par suite de ces
exceptions, ces catégories, au lieu d'être entièrement
séparées, empiètent partiellement les unes sur les
autres et se pénètrent mutuellement dans une certaine mesure,
de sorte que l'espace devient continu. |
Излишне прибавлять, что каждый из членов этих рядов не является изолированным, а составляет часть очень многочисленной категории других сигнализаторов или других ответных ударов. Эта категория имеет такие же связи, как и первый член, и ее можно рассматривать как относящуюся к одной и той же точке пространства. Основной закон, несмотря на исключения, остается, следовательно, почти всегда верным. Но благодаря этим исключениям упомянутые категории вместо того, чтобы оставаться совершенно обособленными, захватывают друг друга некоторыми частями, проникают одни в другие, и пространство, таким образом, становится непрерывным. |
D'autre part, l'ordre dans lequel ces catégories
doivent être rangées n'est plus arbitraire et si l'on se reporte
à la suite précédente, on voit bien qu'il faut ranger
B 2 entre A 1 et A 2 et par conséquent entre B 1 et B 3 et qu'on
ne saurait par exemple le placer entre B 3 et B 4. |
С другой стороны, порядок, в котором категории должны быть размещены, не оказывается уже произвольным. Обращаясь к предыдущему ряду, легко заметить, что В2 должен быть помещен между А1 и А2 и, следовательно, между В1 и В3, но не может быть помещен, например, между В3 и B4. |
Il y a donc un ordre dans lequel se rangent
naturellement nos catégories qui correspondent aux points de l'espace,
et l'expérience nous apprend que cet ordre se présente sous la
forme d'un tableau à triple entrée, et c'est pour cela que
l'espace a trois dimensions. |
Итак, существует порядок, в котором естественно располагаются категории, отвечающие точкам пространства. И опыт нас учит, что этот порядок представляется в виде таблицы с тремя входами, вот почему пространство имеет три измерения. |
Ainsi la propriété caractéristique
de l'espace, celle d'avoir trois dimensions, n'est qu'une
propriété de notre tableau de distribution, une
propriété interne de l'intelligence humaine pour ainsi dire. Il
suffirait de détruire quelques-unes de ces connexions,
c'est-à-dire de ces associations d'idées pour avoir un tableau
de distribution différent, et cela pourrait être assez pour que
l'espace acquit une quatrième dimension. |
Характерная особенность пространства, выражающаяся в том, что оно обладает тремя измерениями, есть, таким образом, особенность нашего распределительного щита, есть, так сказать, внутреннее свойство человеческого ума. Достаточно было бы разрушить некоторые из соединений, т. е. некоторые ассоциации идей, чтобы получить другой распределительный щит, а этого было бы достаточно, чтобы пространство приобрело четвертое измерение. |
Quelques personnes s'étonneront d'un pareil
résultat. Le monde extérieur, penseront-elles, doit bien y
être pour quelque chose. Si le nombre des dimensions vient de la
manière dont nous sommes faits, il pourrait y avoir des êtres
pensants qui vivraient dans notre monde, mais qui seraient faits autrement
que nous et qui croiraient que l'espace a plus ou moins de trois dimensions.
M. de Cyon n'a-t-il pas dit que les souris japonaises, n'ayant que deux
paires de canaux semi-circulaires, croyaient que l'espace a deux
dimensions ? Et alors cet être pensant, s'il est capable de
construire une physique, ne va-t-il pas faire une physique à deux ou
à quatre dimensions, et qui en un sens sera cependant la même
que la nôtre, puisque ce sera la description du même monde dans
un autre langage ? |
Такой результат может удивить некоторых. Ведь внешний мир, скажут они, должен же играть здесь какую-то роль. Если число измерений зависит от того, как мы созданы, то можно предположить, что мыслящие существа, живущие в нашем мире, но созданные иначе, чем мы, полагали бы, что пространство имеет больше или меньше трех измерений. И не утверждал ли Цион, что японские мыши, имеющие только две пары полукружных каналов, думают, что пространство имеет два измерения? А подобное мыслящее существо, если бы оно было способно создать физику, разве не построило бы физики двух или четырех измерений, физики, которая, в известном смысле, была бы такою же, как и наша, ибо она описывала бы другим языком тот же самый мир? |
Il semble bien en effet qu'il serait possible de
traduire notre physique dans le langage de la géométrie
à quatre dimensions ; tenter cette traduction ce serait se donner
beaucoup de mal pour peu de profit, et je me bornerai à citer la
mécanique de Hertz où l'on voit quelque chose d'analogue. Cependant,
il semble que la traduction serait toujours moins simple que le texte, et
qu'elle aurait toujours l'air d'une traduction, que la langue des trois
dimensions semble la mieux appropriée à la description de notre
monde, encore que cette description puisse se faire à la rigueur dans
un autre idiome. |
В самом деле, не представляет, по-видимому, никаких затруднений перевести нашу физику на язык геометрии четырех измерений. Осуществить действительно такую задачу значило бы потратить много усилий с ничтожной пользой, и я ограничусь лишь указанием на механику Герца, в которой мы имеем нечто, напоминающее такой перевод. Но такой перевод, по-видимому, всегда был бы сложнее текста и всегда обнаруживал бы свою заимствованную природу, тогда как язык трех измерений кажется наиболее приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть точно выполнено и на другом языке. |
D'ailleurs, ce n'est pas par hasard que notre tableau
de distribution s'est constitué. Il y a connexion entre
l'avertissement A 1 et la parade B 1, cela est une propriété
interne de notre intelligence ; mais pourquoi cette connexion ?
c'est parce que la parade B 1 permet effectivement de se défendre
contre le danger A 1 ; et cela c'est un fait extérieur à
nous, c'est une propriété du monde extérieur. Notre
tableau de distribution n'est donc que la traduction d'un ensemble de faits
extérieurs ; s'il a trois dimensions, c'est parce qu'il s'est
adapté à un monde qui avait certaines
propriétés ; et la principale de ces
propriétés c'est qu'il y existe des solides naturels dont les
déplacements se font sensiblement suivant les lois que nous appelons
lois du mouvement des solides invariables. Si donc la langue des trois
dimensions est celle qui nous permet le plus facilement de décrire
notre monde, nous ne devons pas nous en étonner ; cette langue
est calquée sur notre tableau de distribution ; et c'est afin de
pouvoir vivre dans ce monde que ce tableau a été établi. |
Однако наш распределительный щит возник не случайно. Имеется связь между сигналом А1 и ответным ударом В1, это - внутреннее свойство нашего ума. Но чем объясняется эта связь? Тем, что ответный удар В1 позволяет действительно защититься против опасности А1, а это - факт, внешний для нас, это - свойство, внешнего мира. Таким образом, наш распределительный щит есть лишь выражение совокупности внешних фактов; если он имеет три измерения, то это потому, что он приспособлен к миру, имеющему определенные свойства, и главное из этих свойств заключается в том, что в этом мире существуют твердые тела, перемещающиеся по таким законам, которые мы называем законами движения неизменяющихся твердых тел. Если, следовательно, язык трех измерений лучше всего позволяет нам описать наш мир, то мы не должны этому удивляться. Этот язык скопирован с нашего распределительного щита, а этот щит установлен для того, чтобы можно было жить в этом мире. |
J'ai dit que nous pourrions concevoir, vivant dans
notre monde, des êtres pensants dont le tableau de distribution serait
à quatre dimensions et qui par conséquent penseraient dans
l'hyperespace. Il n'est pas certain toutefois que de pareils êtres, en
admettant qu'ils y naissent, pourraient y vivre et s'y défendre contre
les mille dangers dont ils y seraient assaillis. |
Я сказал, что мы могли бы представить себе мыслящие существа, живущие в нашем мире и обладающие распределительным щитом четырех измерений; такие существа мыслили бы сверхпространство. Но не может быть уверенности в том, что такие существа, если бы и рождались, могли бы выжить и защититься против тысяч опасностей, которыми они были бы окружены в этом мире. |
Quelques remarques pour finir. Il y a un contraste
frappait entre la grossièreté de cette géométrie
primitive qui se réduit à ce que j'appelle un tableau de
distribution, et la précision infinie de la géométrie
des géomètres. Et cependant celle-ci est née de
celle-là ; mais pas de celle-là seule ; il a fallu
qu'elle fût fécondée par la faculté que nous avons
de construire des concepts mathématiques, tels que celui de groupe par
exemple ; il a fallu chercher parmi les concepts purs celui qui
s'adaptait le mieux à cet espace grossier, dont j'ai essayé
d'expliquer la genèse dans les pages précédentes et qui
nous est commun avec les animaux supérieurs. |
В заключение несколько замечаний. Существует разительный контраст между грубостью той примитивной геометрии, которая сводится к распределительному щиту, и безграничной точностью геометрии геометров. И, однако, последняя - плод первой. Но не ее одной; она должна была быть оплодотворена присущей нам способностью к построению математических понятий, как, например, понятия о группах; нужно было среди этих чистых понятий найти наиболее приспособленное к этому грубому пространству, генезис которого я пытался объяснить на предшествующих страницах и которое является общим у нас и у высших животных. |
L'évidence de certains postulats
géométriques n'est, avons-nous dit, que notre répugnance
à renoncer à de très vieilles habitudes. Mais ces
postulats sont infiniment précis, tandis que ces habitudes ont quelque
chose d'essentiellement flou. Dès que nous voulons penser, il nous
faut bien des postulats infiniment précis, puisque c'est le seul moyen
d'éviter la contradiction ; mais parmi tous les systèmes
de postulats possibles, il en est que nous répugnerions à
choisir, parce qu'ils ne s'accorderaient pas suffisamment avec nos
habitudes ; si floues, si élastiques qu'elles soient, celles-ci
ont une limite d'élasticité. |
Очевидность некоторых геометрических постулатов, сказали мы, есть не что иное, как наша косная неспособность отказаться от очень старых привычек. Но эти постулаты чрезвычайно точны, тогда как привычки заключают в себе нечто по существу зыбкое. И, как только мы хотим мыслить, мы испытываем нужду в этих чрезвычайно точных постулатах, так как лишь с их помощью мы можем избежать противоречия. Но среди всех возможных систем постулатов имеются такие, которые мы отказываемся принять, потому что они не согласуются с нашими привычками; как ни зыбки, как ни эластичны эти привычки, все же они имеют предел этой эластичности. |
On voit que si la géométrie n'est pas une
science expérimentale, c'est une science née à propos de
l'expérience, que nous avons créé l'espace qu'elle
étudie, mais en l'adaptant au monde où nous vivons. Nous avons
choisi l'espace le plus commode, mais c'est l'expérience qui a
guidé notre choix ; comme ce choix a été
inconscient, il nous semble qu'il nous est imposé ; les uns
disent que c'est l'expérience qui nous l'impose, les autres que nous
naissons avec notre espace tout fait ; on voit, d'après les
considérations précédentes, quelle est dans ces deux
opinions la part de la vérité et la part de l'erreur. |
Мы видим, что если геометрия не есть экспериментальная наука, то это все же наука, рожденная в связи с опытом; мы создали пространство, которое она изучает, но мы приспособили его к миру, в котором мы живем. Мы сделали выбор наиболее удобного пространства, но этим выбором руководил опыт. И так как выбор был бессознателен, то нам кажется, что он для нас необходим; одни говорят, что он сделался для нас необходимым путем опыта, другие говорят, что мы рождаемся с вполне сложившимся представлением о пространстве. Из предыдущих рассуждений явствует, какая доля истины и ошибки заключается в этих двух суждениях. |
Dans cette éducation progressive qui a abouti
à la construction de l'espace, quelle est la part de l'individu, et
quelle est celle de la race, c'est ce qu'il est bien difficile de
déterminer. Dans quelle mesure un de nous, transporté
dès sa naissance dans un monde entièrement différent,
où par exemple domineraient des corps se déplaçant
conformément aux lois de mouvement des solides non-euclidiens, dans
quelle mesure, dis-je, pourrait-il renoncer à l'espace ancestral pour
bâtir un espace complètement nouveau ? |
Очень трудно определить участие индивида и участие расы (1) в том эволюционном процессе воспитания, который закончился построением пространства. В какой мере кто-нибудь из нас, будучи перенесен с момента рождения в другой совершенно мир, где, например, преобладали бы тела, перемещающиеся по законам движения, свойственным неевклидовским твердым телам, в какой мере, повторяю, мог бы он отказаться от пространства предков, чтобы построить совершенно новое пространство? |
La part de la race semble bien
prépondérante ; cependant, si c'est à elle que nous
devons l'espace grossier, l'espace flou dont je parlais tout à
l'heure, l'espace des animaux supérieurs, n'est-ce pas à
l'expérience inconsciente de l'individu que nous devons l'espace
infiniment précis du géomètre ? C'est une question
malaisée à résoudre. Citons cependant un fait qui montre
que l'espace que nous ont légué nos ancêtres conserve
encore une certaine plasticité. Certains chasseurs apprennent à
tirer des poissons sous l'eau, bien que l'image de ces poissons soit
relevée par la réfraction. Ils le font d'ailleurs
instinctivement : ils ont donc appris à modifier leur ancien
instinct de la direction ; ou si l'on veut à substituer à
l'association A 1, B 1 une autre association A 1, B 2,
parce que l'expérience leur a montré que la première ne
réussissait pas. |
Участие расы кажется преобладающим. Однако если мы и обязаны ему грубым пространством, зыбким пространством высших животных, о котором я говорил выше, то не обязаны ли мы бессознательному опыту индивида тем безгранично точным пространством, которое имеет геометр? Этот вопрос нелегко разрешается. Укажем, однако, на факт, который показывает, что пространство, завещанное нам предками, сохраняет известную пластичность. Некоторые охотники научиваются ловить рыбу под водой, хотя изображение этих рыб вследствие преломления несколько приподнято. Они учатся этому инстинктивно: они сумели, следовательно, изменить свой прежний инстинкт направления. Или, если хотите, они сумели на место связи А1, В1 поставить другую связь А1, В2 , потому что опыт показал им, что с первой связью нельзя достигнуть цели. |
[2] Sic legitur.
Je dois parler ici des définitions
générales en mathématiques ; c'est du moins ce que
dit le titre du chapitre, mais il me sera impossible de me renfermer dans ce
sujet autant que l'exigerait la règle de l'unité
d'action ; je ne pourrai le traiter sans parler un peu d'autres
questions voisines, et si je suis ainsi obligé de marcher de temps en
temps dans les plates-bandes à droite ou à gauche, je vous prie
de vouloir bien me le pardonner. |
Я должен говорить здесь об общих определениях в математических науках; по крайней мере к этому меня обязывает название настоящей главы. Но мне невозможно будет оставаться в рамках предмета в такой мере, в какой это требовалось бы правилом единства действия; я не смогу трактовать вопроса, не затрагивая отчасти других ближайших вопросов, и потому прошу простить мне уклонения вправо и влево, которые встретятся в дальнейшем. |
Qu'est-ce qu'une bonne définition ? Pour le
philosophe, ou pour le savant, c'est une définition qui s'applique
à tous les objets définis et ne s'applique qu'à
eux ; c'est celle qui satisfait aux règles de la logique. Mais
dans l'enseignement, ce n'est pas cela ; une bonne définition,
c'est celle qui est comprise par les élèves. |
Что разумеют под хорошим определением? Для философа или для ученого это есть определение, которое приложимо ко всем определяемым предметам и только к ним; такое определение удовлетворяет правилам логики. Но при преподавании дело обстоит иначе. Здесь хорошим определением будет то, которое понято учениками. |
Comment se fait-il qu'il y a tant d'esprits qui se
refusent à comprendre les mathématiques ? N'y a-t-il pas
là quelque chose de paradoxal ? Comment, voir une science qui ne
fait appel qu'aux principes fondamentaux de la logique, au principe de
contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelette
de notre entendement, à ce qu'on ne saurait dépouiller sans
cesser de penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure ! et
même ils sont en majorité ! Qu'ils soient incapables
d'inventer, passe encore, mais qu'ils ne comprennent pas les démonstrations
qu'on leur expose, qu'ils restent aveugles quand nous leur présentons
une lumière qui nous semble briller d'un pur éclat, c'est ce
qui est tout à fait prodigieux. |
Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать - это еще допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким пламенем, - вот что чрезвычайно странно. |
Et pourtant il ne faut pas avoir une grande
expérience des examens pour savoir que ces aveugles ne sont nullement
des êtres d'exception. Il y a là un problème qu'il n'est
pas aisé de résoudre, mais qui doit préoccuper tous ceux
qui veulent se vouer à l'enseignement. |
А между тем достаточно и небольшого опыта, доставляемого экзаменами, чтобы убедиться в том, что эти слепые отнюдь не являются исключениями. Здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания. |
Qu'est-ce que comprendre ? Ce mot a-t-il le
même sens pour tout le monde ? Comprendre la démonstration
d'un théorème, est-ce examiner successivement chacun des
syllogismes dont elle se compose et constater qu'il est correct, conforme aux
règles du jeu ? De même comprendre une définition,
est-ce seulement reconnaître qu'on sait déjà le sens de
tous les termes employés et constater qu'elle n'implique aucune
contradiction ? |
Что значит понимать? Имеет ли это слово для всех одно и то же значение? Понять доказательство теоремы - значит ли это рассмотреть последовательно каждый из силлогизмов, из коих составляется доказательство, и констатировать, что он правилен и согласуется с ходом задачи? Точно так же понять определение - значит ли это только признать, что смысл всех употребленных в нем терминов уже известен, и констатировать, что определение не заключает в себе никакого противоречия? |
Oui, pour quelques-uns ; quand ils auront fait cette
constatation, ils diront : j'ai compris. Non, pour le plus grand nombre.
Presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement
si tous les syllogismes d'une démonstration sont corrects, mais
pourquoi ils s'enchaînent dans tel ordre, plutôt que dans tel
autre. Tant qu'ils leur semblent engendrés par le caprice, et non par
une intelligence constamment consciente du but à atteindre, ils ne
croient pas avoir compris. |
"Да",- скажут одни, которые, констатировав отсутствие противоречия в определении, говорят: "мы его поняли". "Нет",- скажет большинство. Почти все люди оказываются более требовательными; они хотят не только знать, правильны ли все силлогизмы доказательства, но еще и знать, почему силлогизмы связываются в данном, а не в другом порядке. Пока им кажется, что эта связь рождена капризом, а не разумом в постоянном сознании преследуемой цели, они думают, что не поняли доказательства. |
Sans doute ils ne se rendent pas bien compte
eux-mêmes de ce qu'ils réclament et ils ne sauraient formuler
leur désir, mais s'ils n'ont pas satisfaction, ils sentent vaguement
que quelque chose leur manque. Alors qu'arrive-t-il ? Au début,
ils aperçoivent encore les évidences qu'on met sous leurs
yeux ; mais comme elles ne sont liées que par un fil trop
ténu à celles qui précédent et à celles
qui suivent, elles passent sans laisser de trace dans leur cerveau ;
elles sont tout de suite oubliées ; un instant
éclairées, elles retombent aussitôt dans une nuit
éternelle. Quand ils seront plus avancés, ils ne verront plus
même cette lumière éphémère, parce que les
théorèmes s'appuient les uns sur les autres et que ceux dont
ils auraient besoin sont oubliés ; c'est ainsi qu'ils deviennent
incapables de comprendre les mathématiques. |
Без сомнения, они сами не отдают себе отчета в том, чего они собственно требуют, и не могут формулировать своего желания; но если они не находят удовлетворения, то они смутно чувствуют, что чего-то им недостает. Что же тогда происходит? Вначале они еще схватывают те очевидные вещи, которые представляются их взору; но, так как последние связаны чрезвычайно тонкой нитью с предшествующими и последующими, то они не оставляют никакого следа в их мозгу; они тотчас забываются. Освещенные на одно мгновение, они сейчас же исчезают в сумраке вечной ночи. А когда эти люди следят за дальнейшим развитием доказательства, для них исчезает и прежняя эфемерная ясность, так как теоремы опираются одна на другую, а теоремы, которые им нужны, уже забыты. Таким образом, эти люди становятся неспособными понимать математику. |
Ce n'est pas toujours la faute de leur
professeur ; souvent leur intelligence, qui a besoin d'apercevoir le fil
conducteur, est trop paresseuse pour le chercher et pour le trouver. Mais
pour leur venir en aide, il faut d'abord que nous comprenions bien ce qui les
arrête. |
Не всегда здесь виной преподаватель; зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков ее. Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает. |
D'autres se demanderont toujours à quoi cela
sert ; ils n'auront pas compris s'ils ne trouvent autour d'eux, dans la
pratique on dans la nature, la raison d'être de telle ou telle notion
mathématique. Sous chaque mot, ils veulent mettre une image
sensible ; il faut que la définition évoque cette image,
qu'à chaque stade de la démonstration ils la voient transformer
et évoluer. A cette condition seulement, ils comprendront et ils
retiendront. Ceux-là souvent se font illusion à
eux-mêmes ; ils n'écoutent pas les raisonnements, ils
regardent les figures ; ils s'imaginent avoir compris et ils n'ont fait
que voir. |
Другие же спросят, для чего все это служит; они не поймут силлогизмов, если они не нашли вокруг себя на практике или в природе основания для того или иного математического понятия. Под всяким словом они хотят разглядеть чувственный образ; необходимо, чтобы определение вызывало этот образ, чтобы на каждой стадии доказательства они видели его превращения и эволюцию. Лишь при таком условии они поймут и удержат в памяти доказательство. Такие люди часто заблуждаются относительно самих себя; они не слушают рассуждений, а рассматривают фигуры, они воображают, что поняли, тогда как они только видели. |
Que de tendances diverses ! Faut-il les combattre ?
Faut-il nous en servir ? Et si nous voulions les combattre, laquelle
faudrait-il favoriser ? Est-ce à ceux qui se contentent de la
logique pure qu'il faut montrer qu'ils n'ont vu qu'une face des choses ?
Ou bien faut-il dire à ceux qui ne se satisfont pas à si bon
marché que ce qu'ils réclament n'est pas
nécessaire ? |
Сколько различных тенденций! Нужно ли с ними бороться? Или нужно ими воспользоваться? А если мы хотим с ними бороться, то какой из них должны мы благоприятствовать? Нужно ли доказывать тем, которые довольствуются чистой логикой, что они видят только одну сторону вещей? Или, напротив, нужно доказывать тем, которые не удовлетворяются так легко, что то, чего они требуют, не является необходимостью? |
En d'autres termes, devons-nous contraindre les jeunes
gens à changer la nature de leur esprit ? Une pareille tentative
serait vaine ; nous ne possédons pas la pierre philosophale qui
nous permettrait de transmuter les uns dans les autres les métaux qui
nous sont confiés ; tout ce que nous pouvons faire c'est de les
travailler en nous accommodant à leurs propriétés. |
Другими словами, должны ли мы принуждать молодых людей к тому, чтобы они изменяли природу своего ума? Такая попытка была бы бесплодна. Мы не обладаем философским камнем, который дал бы нам возможность превращать один в другой вверенные нам металлы; все, что мы можем сделать, - это работать, приспосабливаясь к их свойствам. |
Bien des enfants sont incapables de devenir
mathématiciens, auxquels pourtant il faut enseigner les
mathématiques ; et les mathématiciens eux-mêmes ne
sont pas tous coulés dans le même moule. Il suffit de lire leurs
ouvrages pour distinguer parmi eux deux sortes d'esprits, les logiciens comme
Weierstrass, par exemple, les intuitifs comme Riemann. Même
différence parmi nos étudiants. Les uns aiment mieux traiter
leurs problèmes " par l'analyse " comme ils
disent, les autres " par la géométrie ". |
Многие дети неспособны стать математиками, тем не менее им необходимо преподавать математику. Да и сами математики не все отлиты по одной и той же модели. Достаточно прочитать их труды, чтобы заметить существование умов двух типов: логиков, как Вейерштрасс, и интуитивистов, как Риман. Такая же разница наблюдается и среди студентов. Одни любят разрабатывать задачи, как они выражаются, "путем анализа", другие - "путем геометрии". |
Il est bien inutile de chercher à y changer
quelque chose, et cela d'ailleurs serait-il désirable ? |
Было бы бесполезно пытаться изменить что-либо в этом отношении, да и, помимо того, было ли бы это желательно? |
Il est bon qu'il y ait des logiciens et qu'il y ait des
intuitifs ; qui oserait dire s'il aimerait mieux que Weierstrass
n'eût jamais écrit, ou qu'il n'y eût pas eu de Riemann. Il
faut donc nous résigner à la diversité des esprits, ou
mieux, il faut nous en réjouir. |
Хорошо, что существуют логики и интуитивисты; кто рискнет утверждать, что он предпочел бы, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы Римана не было? Таким образом, мы должны примириться с разнообразием умов или, еще лучше, мы должны ему радоваться. |
Puisque le mot comprendre a plusieurs sens, les
définitions qui seront le mieux comprises des uns ne seront pas celles
qui conviendront aux autres. Nous avons celles qui cherchent à faire
naître une image, et celles où l'on se borne à combiner
des formes vides, parfaitement intelligibles, mais purement intelligibles,
que l'abstraction a privées de toute matière. |
Так как слово "понимать" имеет несколько значений, то определения, наиболее понятные для одних людей, не будут совпадать с определениями, которые подходят для других. Мы имеем такие определения, которые стараются вызвать в нас образ, и такие, которые лишь комбинируют пустые формы, доступные интеллекту, но только ему одному, определения, которые по своей абстрактности лишены всякого материального содержания. |
Je ne sais s'il est bien nécessaire de citer des
exemples ? Citons-en pourtant, et d'abord la définition des
fractions va nous fournir un exemple extrême. Dans les écoles
primaires, pour définir une fraction, on découpe une pomme ou
une tarte ; on la découpe par la pensée bien entendu et
non en réalité, car je ne suppose pas que le budget de
l'enseignement primaire permette une pareille prodigalité. A l'École
normale supérieure, au contraire, ou dans les Facultés, on
dira : une fraction, c'est l'ensemble de deux nombres entiers
séparés par un trait horizontal ; on définira par
des conventions les opérations que peuvent subir ces symboles ;
on démontrera que les règles de ces opérations sont les
mêmes que dans le calcul des nombres entiers, et on constatera enfin
qu'en faisant, d'après ces règles, la multiplication de la
fraction par le dénominateur, on retrouve le numérateur. C'est
très bien parce qu'on s'adresse à des jeunes gens, depuis
longtemps familiarisés avec la notion des fractions à force
d'avoir partagé des pommes ou d'autres objets, et dont l'esprit,
affiné par une forte éducation mathématique, en est
arrivé peu à peu à désirer une définition
purement logique. Mais quel serait l'ahurissement d'un débutant
à qui on voudrait la servir ? |
Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Однако мы приведем некоторые, и прежде всего мы остановимся на определении дробей, которое даст нам крайний пример. В начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; конечно, разрезание происходит в уме, а не в действительности, ибо я не думаю, чтобы бюджет начальной школы позволял такую расточительность. В высшей нормальной школе или на факультетах, напротив, скажут: дробь - это совокупность двух целых чисел, разделенных горизонтальной чертой; определят при помощи соглашений те операции, которым можно подвергать эти символы; докажут, что правила для этих операций те же, какие употребляются в исчислении целых чисел и, наконец, обнаружат, что, умножая, согласно этим правилам, дробь на знаменатель, мы находим числитель. Такое определение будет здесь уместным, потому что его преподносят молодым людям, которые уже давно освоились с понятием о дробях - они уже делили яблоки и другие предметы; ум которых уже изощрен математической эрудицией; которые хотят, наконец, получить чисто логическое определение. Но как был бы ошеломлен начинающий, к которому подошли бы с подобным определением. |
Telles sont aussi les définitions que vous
trouvez dans un livre justement admiré et bien des fois
couronné, les " Grundlagen der Geometrie " de
Hilbert. Voyons on effet comment il débute : Pensons trois
systèmes de CHOSES que nous appellerons points, droites et
plans. Que sont ces " choses " ? nous ne le
savons pas, et nous n'avons pas à le savoir ; il serait
même fâcheux que nous cherchions à le savoir ; tout
ce que nous avons le droit d'on savoir, c'est ce que nous en apprennent les
axiomes, celui-ci par exemple : Deux points différents
déterminent toujours une droite, qui est suivi de ce commentaire :
au lieu de déterminent, nous pouvons dire que la droite passe par
ces deux points, ou qu'elle joint ces deux points, ou que ces deux points
sont situés sur la droite. Ainsi, " être
situé sur une droite " est simplement défini comme
synonyme de " déterminer une droite ".
Voilà un livre dont je pense beaucoup de bien, mais que je ne
recommanderais pas à un lycéen. Au reste, je pourrais le faire
sans crainte, il ne pousserait pas la lecture bien loin. |
Таковы же определения, которые вы найдете в удивительной и несколько раз премированной книге Гильберта "Основания геометрии". Посмотрим, как он начинает: вообразим три системы вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями. Что это за "вещи" - мы не знаем, да и незачем нам это знать. Было бы даже греховно стараться это узнать. Все, на что мы можем претендовать, сводится к тому, чтобы мы усвоили относящиеся к ним аксиомы, например следующую: две различные точки всегда определяют прямую, и комментарий к ней: вместо "определяют" мы можем сказать, что прямая проходит через две точки, или соединяет эти две точки, или что две точки расположены на прямой. Значит, фраза "точки расположены на прямой" является просто синонимом фразы "точки определяют прямую". Вот книга, которую я очень высоко ценю, но которую я не рекомендую лицеисту. Впрочем, я мог бы это сделать без опаски, так как в чтении ее он ушел бы не очень далеко. |
J'ai pris des exemples extrêmes et aucun
maître ne pourrait songer à aller aussi loin. Mais, même
en restant bien en deçà de pareils modèles, ne
s'expose-t-il pas déjà au même danger ? |
Я взял крайние примеры; никакой преподаватель, конечно, не предложил бы таких определений. Но разве не остается такая же опасность и тогда, когда мы стоим ближе к действительности? |
Nous sommes dans une classe de h le professeur
dicte : le cercle est le lieu des points du plan qui sont à la
même distance d'un point intérieur appelé centre. Le bon
élève écrit cette phrase sur son cahier ; le mauvais
élève y dessine des bonshommes ; mais ni l'un ni l'autre
n'ont compris ; alors le professeur prend la craie et trace un cercle
sur le tableau. " Ah ! pensent les élèves, que
ne disait-il tout de suite : un cercle c'est un rond, nous aurions
compris. " Sans doute, c'est le professeur qui a raison. La
définition des élèves n'aurait rien valu, puisqu'elle
n'aurait pu servir à aucune démonstration, et surtout
puisqu'elle n'aurait pu leur donner la salutaire habitude d'analyser leurs
conceptions. Mais il faudrait leur montrer qu'ils ne comprennent pas ce
qu'ils croient comprendre, les amener à se rendre compte de la
grossièreté de leur concept primitif. à désirer
d'eux-mêmes qu'on l'épure et le dégrossisse. |
Вот в четвертом классе. Преподаватель диктует: "окружность - это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром". Хороший ученик вписывает эту фразу в свою тетрадь; плохой ученик рисует в ней "человечков", но ни тот, ни другой ничего не поняли. Тогда преподаватель берет мел и рисует круг на доске. "Ага, - думают ученики, - почему он не сказал сразу: окружность - это кружок, и мы бы сразу поняли". Без сомнения, преподаватель прав. Определение учеников не имело бы никакой ценности, потому что не могло бы служить ни для какого доказательства, и в особенности не привило бы им спасительной привычки анализировать свои понятия. Но им надобно было бы доказать, что они не понимают того, что им кажется понятным, надобно было бы заставить их отдать себе отчет в грубости их первоначального представления, сделать так, чтобы они сами пожелали очистить и улучшить это представление. |
Je reviendrai sur tous ces exemples ; j'ai voulu
seulement vous montrer les deux conceptions opposées ; il y a
entre elles un violent contraste. Ce contraste, l'histoire de la science nous
l'explique. Si nous lisons un livre écrit il y a cinquante ans, la
plupart des raisonnements que nous y trouverons nous sembleront
dépourvus de rigueur. |
Я еще вернусь ко всем этим примерам. Я хотел лишь показать вам две противоположные идеи: между ними имеется самый резкий контраст, причина которого нам раскрывается историей науки. Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической строгости. |
On admettait à cette époque qu'une
fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler ; on le
démontre aujourd'hui. On admettait que les règles ordinaires du
calcul sont applicables que nombres incommensurables, on le démontre
aujourd'hui. On admettait bien d'autres choses qui quelquefois étaient
fausses. |
В ту эпоху допускали, что непрерывная функция не может изменить знак, не проходя через нуль; теперь это доказывают. Допускали, что обыкновенные правила счисления приложимы к несоизмеримым числам, теперь это доказывают. Допускали еще и другие вещи, которые порою оказывались ложными. |
On se fiait à l'intuition ; mais
l'intuition ne peut nous donner la rigueur, ni même la certitude, on
s'en est aperçu de plus en plus. Elle nous apprend par exemple que
toute courbe a une tangente, c'est-à-dire que toute fonction continue
a une dérivée, et cela est faux. Et comme on tenait à la
certitude, il a fallu faire de plus en plus petite la part de l'intuition. |
Доверялись интуиции. Но интуиция не может дать ни строгости суждений, ни уверенности в их правильности, в этом убеждались все более и более. Интуиция, например, учит нас, что всякая кривая имеет касательную, т. е что каждая непрерывная функция имеет производную, и, однако, это положение ложно. А так как знание стремилось к уверенности, то приходилось все более и более ограничивать роль интуиции. |
Comment s'est faite cette évolution
nécessaire ? On n'a pas tardé à s'apercevoir que la
rigueur ne pourrait pas s'établir dans les raisonnements, si on ne la
faisait entrer d'abord dans les définitions. |
Каким образом свершилась эта необходимая эволюция? Вскоре было замечено, что рассуждения лишь тогда приобретут строго доказательную силу, когда эта строгость будет предварительно внесена в определения. |
Longtemps les objets dont occupent les
mathématiciens étaient mal définis ; on croyait les
connaître parce qu'on se les représentait avec les sens ou
l'imagination, mais on n'en avait qu'une image grossière et non une
idée précise sur laquelle le raisonnement pût avoir
prise. |
Объекты, которыми занимаются математики, долгое время не имели хороших определений; эти предметы казались известными потому, что их себе представляли при помощи чувств или воображения; но в действительности их образы отличались грубостью; не было точных идей, на которые могли бы опереться доказательства. |
C'est là, que les logiciens ont dû porter
leurs efforts. Ainsi pour le nombre incommensurable. |
Вот в эту сторону логики вынуждены были направить свои усилия. Примером могут служить несоизмеримые числа. |
L'idée vague de continuité, que nous
devions à l'intuition, s'est résolue en un système
compliqué d'inégalités portant sur des nombres entiers.
C'est ainsi que se sont définitivement évanouies toutes ces
difficultés qui effrayaient nos pères, quand ils
réfléchissaient aux fondements du calcul infinitésimal. |
Неопределенная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, имеющих дело с целыми числами. Благодаря этому исчезли, наконец, все те трудности, которые пугали наших отцов, когда они размышляли об основаниях исчисления бесконечно малых величин. |
Il ne reste plus aujourd'hui en analyse que des nombres
entiers, ou des systèmes finis ou infinis de nombres entiers,
reliés par un réseau d'égalités et
d'inégalités. |
Теперь анализ имеет дело только с целыми числами или же с конечными или бесконечными системами целых чисел, связанных совокупностью равенств и неравенств. |
Les mathématiques, comme on l'a dit, se sont
arithmétisées. |
Математические науки, как говорят, арифметизировались. |
Mais croit-on que les mathématiques aient
atteint la rigueur absolue sans faire de sacrifice ? Pas du tout, ce
qu'elles ont gagné en rigueur, elles l'ont perdu en objectivité.
C'est en s'éloignant de la réalité qu'elles ont acquis
cette pureté parfaite. On peut parcourir librement tout leur domaine,
autrefois hérissé d'obstacles, mais ces obstacles n'ont pas
disparu. Ils ont seulement été transports à la
frontière et il faudra les vaincre de nouveau si l'on veut franchir
cette frontière pour pénétrer dans le royaume de la
pratique. |
Но можно ли думать, что эти науки достигли абсолютной строгости, ничем со своей стороны не жертвуя? Ничуть; то, что они выиграли в строгости, они потеряли в объективности. Они приобретали совершенную чистоту, удаляясь от реальности. Теперь можно свободно обозреть всю область математического знания, которая раньше была усеяна преградами, но эти преграды не исчезли. Они были лишь перенесены на границу; и если мы хотим перейти эту границу, чтобы вступить в область практики, то мы должны снова преодолеть эти препятствия. |
On possédait une notion vague, formée
d'éléments disparates, les uns a priori, les autres
provenant d'expériences plus ou moins digérées ; on
croyait en connaître, par l'intuition, les principales
propriétés. Aujourd'hui on rejette les éléments
empiriques en ne conservant que les éléments a priori ;
c'est l'une des propriétés qui sert de définition et
toutes les autres s'en déduisent parmi raisonnement rigoureux. C'est
très bien, mais il reste à prouver que cette
propriété, qui est devenue une définition, appartient
bien aux objets réels que l'expérience nous avait fait
connaître et d'où nous avions tiré notre vague notion
intuitive. Pour le prouver, il faudra bien en appeler à
l'expérience, ou faire un effort d'intuition, et si nous ne pouvions
le prouver, nos théorèmes seraient parfaitement rigoureux, mais
parfaitement inutiles. |
Прежде мы обладали лишь неясными понятиями, составленными из несвязанных элементов, из которых одни были априорны, другие вытекали из более или менее уясненного опыта; мы думали, что главные их свойства узнаны интуитивным путем. Теперь эмпирические элементы отвергаются и сохраняются лишь элементы априорные, для определения берется одно из свойств, все другие выводятся из него путем строгого рассуждения. Это хорошо, но остается еще доказать, что свойство, ставшее определением, принадлежит действительно тем реальным объектам, с которыми нас познакомил опыт и из которых мы вывели наше ясное интуитивное понятие. Чтобы это доказать, необходимо обратиться к опыту или прибегнуть к усилию интуиции; если же мы этого не докажем, то наши теоремы будут совершенно строгими, но и совершенно бесполезными. |
La logique parfois engendre des monstres. Depuis un
demi-siècle on a vu surgir une foule de fonctions bizarres qui
semblent s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes
fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou
bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc. Bien
plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont
les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir
cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur
reste qu'un tout petit coin. |
Логика приводит часто к уродствам. На протяжении полувека мы видели, как возникло множество причудливых функций; эти новые функции как будто старались возможно менее походить на те благородные функции, которые чему-нибудь да служат. Таковы, например, функции непрерывные, но без производных, и т. д. Более того, с точки зрения логической эти именно причудливые функции и являются наиболее общими; те же функции, которые мы находим без долгих поисков, образуют как бы частный случай. Для них остается лишь маленький уголок. |
Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle,
c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les
invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de
nos pères, et on n'en tirera jamais que cela. |
Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждения наших отцов, никакого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь. |
Si la logique était le seul guide du
pédagogue, ce serait par les fonctions les plus
générales, c'est-à-dire par les plus bizarres, qu il
faudrait commencer. C'est le débutant qu'il faudrait mettre aux prises
avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas,
pourraient dire les logiciens, vous n'atteindrez la rigueur que par
étapes. |
Если бы логика была единственным руководителем педагога, то нужно было бы начинать с наиболее общих, т. е. наиболее причудливых функций. Именно начинающего следовало бы в таком случае отдать во власть этого музея уродств. "Если вы этого не делаете, - могли бы сказать логики, - то вы достигнете надлежащей строгости лишь после целого ряда этапов". |
Oui, peut-être, mais nous ne pouvons faire aussi
bon marché de la réalité, et je n'entends pas seulement
la réalité du monde sensible, qui a pourtant son prix, puisque
c'est pour lutter contre elle que les neuf dixièmes de vos
élèves vous demandent des armes. Il y a une
réalité plus subtile, qui fait la vie des êtres
mathématiques, et qui est autre chose que la logique. |
Быть может, это и так; но мы не можем не дорожить реальностью. Я разумею здесь не только реальность чувственного мира, который, впрочем, имеет свою ценность уже потому, что девять десятых ваших учеников ищут у вас орудий именно для борьбы с этой реальностью. Но есть реальность более утонченная, которая составляет жизнь математических субстанций и которая все-таки не логика. |
Notre corps est formé de cellules et les
cellules d'atomes ; ces cellules et ces atomes sont-ils donc toute la
réalité du corps humain ? La façon dont ces
cellules sont agencées, et dont résulte l'unité de
l'individu, n'est-elle pas aussi une réalité et beaucoup plus
intéressante ? |
Наше тело составлено из клеток, клетки - из атомов. Составляют ли эти клетки и эти атомы всё, что есть реального в человеческом теле? Не представляет ли собою способ, каким эти клетки собраны и который обусловливает единство индивида, также реальности и реальности гораздо более интересной. |
Un naturaliste qui n'aurait jamais étudié
l'éléphant qu'au microscope croirait-il connaître
suffisamment cet animal ? |
Мог бы натуралист, изучавший слона только под микроскопом, думать, что он достаточно познакомился с этим животным? |
Il en est de même en mathématiques. Quand
le logicien aura décomposé chaque démonstration en une
foule d'opérations élémentaires, toutes correctes, il ne
possédera pas encore la réalité tout entière ;
ce je ne sais quoi qui fait l'unité de la démonstration lui
échappera complètement. |
То же самое в области математики. Когда логик разложил всякое доказательство на множество элементарных операций, вполне правильных, он еще не уловил реальности в ее целом; то неизвестное мне, что составляет единство доказательства, совершенно от него ускользнуло. |
Dans les édifices élevés par nos
maîtres, à quoi bon admirer l'œuvre du maçon si nous
ne pouvons comprendre le plan de l'architecte ? Or, cette vue
d'ensemble, la logique pure ne peut nous la donner, c'est à
l'intuition qu'il faut la demander. |
Стоит ли в здании, возведенном нашими учителями, удивляться работе каменщика, если мы не понимаем плана архитектора? Но общий взгляд не дается нам чистой логикой; чтобы получить его, мы должны обратиться к интуиции. |
Prenons par exemple l'idée de fonction continue.
Ce n'est d'abord qu'une image sensible, un trait tracé à la
craie sur le tableau noir. Peu à peu elle s'épure ; on
s'en sert pour construire un système compliqué
d'inégalités, qui reproduit toutes les lignes de l'image
primitive ; quand tout a été terminé, on a décintré,
comme après la construction d'une voûte ; cette
représentation grossière, appui désormais inutile, a
disparu et il n'est resté que l'édifice lui-même,
irréprochable aux yeux du logicien. Et pourtant, si le professeur ne
rappelait l'image primitive, s'il ne rétablissait momentanément
le cintre, comment l'élève devinerait-il par quel caprice
toutes ces inégalités se sont échafaudées de
cette façon les unes sur les autres ? La définition serait
logiquement correcte, mais elle ne lui montrerait pas la
réalité véritable. |
Возьмем для примера идею непрерывной функции. Сначала это не что иное, как чувственный образ, след, начертанный мелом на черной доске. Мало-помалу эта идея очищается. Ею пользуются для построения сложной системы неравенств, воспроизво- дящей все линии примитивного образа. Когда построение закончено; кружала (1) снимаются, как это делается после сооружения свода, то грубое представление, которое стало отныне бесполезным, исчезает, остается лишь само здание, безупречное в глазах логика. И, однако, если бы преподаватель не влил содержания в первоначальные образы, если бы он не установил на время кружал, разве мог бы ученик догадаться, по какому капризу все эти неравенства определенным образом нанизывались одно на другое? Определение было бы правильным с логической стороны, но оно не раскрыло бы ученику настоящей реальности. |
Nous voilà donc obligés de revenir en
arrière ; sans doute il est dur pour un maître d'enseigner
ce qui ne le satisfait pas entièrement ; mais la satisfaction du
maître n'est pas l'unique objet de l'enseignement ; on doit
d'abord se préoccuper de ce qu'est l'esprit de l'élève
et de ce qu'on veut qu'il devienne. |
Мы должны вернуться назад. Без сомнения, учителю неприятно вести преподавание в рамках, которые его не вполне удовлетворяют. Но удовлетворение учителя - не единственная цель обучения; нужно прежде всего считаться с умом ученика и с тем, что из него желают сделать. |
Les zoologistes prétendent que le développement
embryonnaire d'un animal résume en un temps très court toute
l'histoire de ses ancêtres des temps géologiques. Il semble
qu'il en est de même du développement des esprits.
L'éducateur doit faire repasser l'enfant par où ont
passé ses pères ; plus rapidement mais sans brûler
d'étape. À ce compte, l'histoire de la science doit être
notre premier guide. |
Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного резюмирует вкратце историю его предков в разные геологические периоды. Воспитатель должен заставить ребенка пройти через те ступени, которые были пройдены его предками, пройти быстрее, но без пропуска промежуточных этапов. В этом смысле история науки должна быть нашим первым руководителем. |
Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une
fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface
courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçus qu'ils ne le savaient
pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils
commencent à étudier sérieusement les
mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur
dire : " Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez
comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous
démontre ce qui vous semble évident ", et si dans la
démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent
moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ?
Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement
arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en
dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et
ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des
sophistes grecs. |
Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: "нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным", -и если я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно собранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отношении уподобятся греческим софистам. |
Plus tard, au contraire, quand l'esprit de
l'élève, familiarisé avec le raisonnement
mathématique, se sera mûri par cette longue
fréquentation, les doutes naîtront d'eux-mêmes et alors
votre démonstration sera la bienvenue. Elle en éveillera de
nouveaux, et les questions se poseront successivement à l'enfant,
comme elles se sont posées successivement à nos pères,
jusqu'à ce que la rigueur parfaite puisse seule le satisfaire. Il ne
suffit pas de douter de tout, il faut savoir pourquoi l'on doute. |
Напротив, позже, когда ученик освоится с математическим суждением и ум его созреет в этой продолжительной работе, сомнения станут возникать сами собой, и тогда ваше доказательство будет своевременным. Оно разбудит новые сомнения, и вопросы предстанут перед юношей в той последовательности, в какой они представлялись нашим отцам; и это будет продолжаться до тех пор, пока он не разовьется в такой мере, что его будут удовлетворять только совершенно строгие определения. Недостаточно еще во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение. |
Le but principal de l'enseignement mathématique
est de développer certaines facultés de l'esprit et parmi elles
l'intuition n'est pas la moins précieuse. C'est par elle que le monde
mathématique reste en contact avec le monde réel et quand les
mathématiques pures pourraient s'en passer, il faudrait toujours y
avoir recours pour combler l'abîme qui sépare le symbole de la
réalité. Le praticien en aura toujours besoin et pour un
géomètre pur il doit y avoir cent praticiens. |
Главная цель обучения математике - это развить известные способности ума, а между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной. Благодаря ей мир математических образов остается в соприкосновении с реальным миром; и если чистая математика может обойтись без нее, то она всегда необходима, чтобы заполнить пропасть, которая отделяет символы от реального мира; к нему будет постоянно обращаться практик, а ведь на одного чистого геометра приходится сто практиков. |
L'ingénieur doit recevoir une éducation
mathématique complète, mais à quoi doit-elle lui
servir ? à voir les divers aspects des choses et à les
voit vite ; il n'a pas le temps de chercher la petite bête. Il
faut que, dans les objets physiques complexes qui s'offrent à lui, il
reconnaisse promptement le point où pourront avoir prise les outils
mathématiques que nous lui avons mi en main. Comment le ferait-il si
nous laissions entre les uns et les autres cet abîme profond
creusé par les logiciens ? |
Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно ему? Для того чтобы видеть различные стороны вещей, видеть их быстро. У него нет времени гоняться за мелочами. В сложных физических предметах, которые представляются его взору, он должен быстро найти точку, к которой могут быть приложены данные ему в руки математические орудия. .Как бы он это сделал, если бы между предметами и орудиями оставалась та пропасть, которую вырыли логики? |
À côté des futurs
ingénieurs, d'autres élèves, moins nombreux, doivent
à leur tour devenir des maîtres ; il faut donc qu'ils
aillent jusqu'au fond ; une connaissance approfondie et rigoureuse des
premiers principes leur est avant tout indispensable. Mais ce n'est pas une
raison pour ne pas cultiver chez eux l'intuition ; car ils se feraient
une idée fausse de la science s'ils ne la regardaient jamais que d'un
seul côté et d'ailleurs ils ne pourraient développer chez
leurs élèves une qualité qu'ils ne posséderaient
pas eux-mêmes. |
Наряду с будущими инженерами имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца; для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не надо культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны,и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают. |
Pour le géomètre pur lui-même,
cette faculté est nécessaire, c'est par la logique qu'on
démontre, c'est par l'intuition qu'on invente. Savoir critiquer est
bon, savoir créer est mieux. Vous savez reconnaître si une
combinaison est correcte ; la belle affaire si vous ne possédez
pas l'art de choisir entre toutes les combinaisons possibles. La logique nous
apprend que sur tel ou tel chemin nous sommes sûrs de ne pas rencontrer
d'obstacle ; elle ne nous dit pas quel est celui qui mène au but.
Pour cela il faut voir le but de loin, et la faculté qui nous apprend
à voir, c'est l'intuition. Sans elle, le géomètre serait
comme un écrivain qui serait ferré sur la grammaire, mais qui
n'aurait pas d'idées. Or, comment cette faculté se
développerait-elle, si dès qu'elle se montre on la pourchasse
et on la proscrit, si on apprend à s'en défier avant de savoir
ce qu'on en peut tirer de bon. |
Для чистого геометра эта способность необходима. Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции. Хорошо уметь критиковать, еще лучше - уметь творить. Вы способны распознать, правильна ли данная комбинация, и это недурно, раз вы не обладаете искусством сделать выбор между всеми возможными комбинациями. Логика нам говорит, что на таком-то пути мы можем быть уверены, что не встретим препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходимо видеть цель издалека, и интуиция есть та способность, которая этому нас учит. Без нее геометр походил бы на писателя, который был бы прикован к грамматике, но не имел бы идей. Но как может развиться такая способность, раз ее преследуют и изгоняют, лишь только она обнаруживается, раз приучают относиться к ней с недоверием еще раньше, чем убедились в пользе, которую она может принести. |
Et là, permettez-moi d'ouvrir une
parenthèse pour insister sur l'importance des devoirs écrits.
Les compositions écrites n'ont peut-être pas assez de place dans
certains examens, à l'École polytechnique, par exemple. On me
dit qu'elles fermeraient la porte à de très bons
élèves qui savent très bien leur cours, qui le
comprennent très bien, et qui pourtant sont incapables d'en faire la
moindre application. J'ai dit tout à l'heure que le mot comprendre a
plusieurs sens : ceux-là ne comprennent que de la première
manière, et nous venons de voir que cela ne suffit ni pour faire un
ingénieur, ni pour faire un géomètre. Eh bien, puisqu'il
faut faire un choix, j'aime mieux choisir ceux qui comprennent tout à
fait. |
Позвольте мне здесь мимоходом остановиться на важности письменных работ. Эти работы занимают, быть может, слишком мало места на экзаменах, например, в Политехнической школе. Мне говорят, что такие работы закрыли бы доступ хорошим ученикам, которые понимают пройденные курсы, хорошо их знают, но не способны сделать из них ни малейшего применения. Я сказал выше, что слово "понимать" имеет несколько значений: эти ученики "понимают" определения в первом из указанных мною значений этого слова; но мы видели, что такого понимания недостаточно ни для инженера, ни для геометра. А так как здесь необходимо сделать выбор, то я предпочитаю выбрать тех, которые понимают вполне. |
Mais l'art de raisonner juste n'est-il pas aussi une
qualité précieuse, que le professeur de mathématiques
doit avant tout cultiver ? Je n'ai garde de l'oublier ; on doit
s'en préoccuper et dès le début. Je serais
désolé de voir la géométrie
dégénérer en je ne sais quelle tachymétrie de bas
étage et je ne souscris nullement aux doctrines extrêmes de
certains Oberlehrer allemands. Mais on a assez d'occasions d'exercer les
élèves au raisonnement correct, dans les parties des
mathématiques où les inconvénients que j'ai signalés
ne se présentent pas. On a de longs enchaînements de
théorèmes où la logique absolue a régné du
premier coup et pour ainsi dire tout naturellement, où les premiers
géomètres nous ont donné des modèles qu'il faudra
constamment imiter et admirer. |
Но искусство правильно рассуждать разве не есть драгоценное качество, которое преподаватель математики должен прежде всего культивировать. Я этого не забываю. Об этом нужно позаботиться с самого начала. Я был бы в отчаянии, если бы увидел, что геометрия выродилась в какую-то тахеометрию (2) нижайшего уровня, и нисколько не подписываюсь под крайними доктринами некоторых немецких оберучителей. Но при изучении математики и именно тех отделов ее, где указанные выше неудобства не встречаются, бывает немало случаев, которые дают место для упражнения учеников в правильном рассуждении. У нас имеются длинные сцепления теорем, в которых абсолютная логика сразу и как будто естественно заняла господствующее положение и которые, как образцы, вышедшие из рук первых геометров, достойны всякого удивления и подражания. |
C'est dans l'exposition des premiers principes qu'il
faut éviter trop de subtilité ; là elle serait plus
rebutante et d'ailleurs inutile. On ne peut tout démontrer et on ne
peut tout définir ; et il faudra toujours emprunter à
l'intuition ; qu'importe de le faire un peu plus tôt ou un peu
plus tard, ou même de lui demander un peu plus ou un peu moins, pourvu
qu'en se servant correctement des prémisses qu'elle nous a fournies,
nous apprenions à raisonner juste. |
Именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей. Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны. Нельзя все доказать и нельзя все определить. Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать. |
Est-il possible de remplir tant de conditions
opposées ? Est-ce possible eu particulier quand il s'agit de
donner une définition ? Comment trouver un énoncé
concis qui satisfasse à la fois aux règles intransigeantes de
la logique, à notre désir de comprendre la place de la notion
nouvelle dans l'ensemble de la science, à notre besoin de penser avec
des images ? Le plus souvent on ne le trouvera pas, et c'est pourquoi il
ne suffit pas d'énoncer une définition ; il faut la
préparer et il faut la justifier. |
Можно ли, однако, удовлетворить столь противоположным условиям? Возможно ли это в особенности тогда, когда приходится дать определение? Как найти такую краткую формулировку, которая одновременно удовлетворяла бы непреклонным правилам логики, нашему желанию понять то место, которое занимает новое понятие в совокупности знаний, нашей необходимости мыслить образами? Чаще всего такой формулировки найти нельзя, и вот почему недостаточно высказать определение: необходимо его под готовить и необходимо его оправдать. |
Que veux-je dire par là ? Vous savez ce
qu'on a dit souvent : toute définition implique un axiome,
puisqu'elle affirme l'existence de l'objet défini. La
définition ne sera donc justifiée, au point de vue purement
logique, que quand on aura démontré qu'elle
n'entraîne pas de contradiction, ni dans les termes, ni avec les
vérités antérieurement admises. |
Что я хочу этим сказать? Вы знаете, как часто говорят: всякое определение включает в себя аксиому, так как оно утверждает существование определенного объекта. Определение будет, следовательно, оправдано с точки зрения логической лишь тогда, когда будет доказано, что оно не находится в противоречии ни с терминами, ни с ранее допущенными истинами. |
Mais ce n'est pas assez; la définition nous est
énoncée comme une convention ; mais la plupart des esprits
se révolteront si vous voulez la leur imposer comme convention arbitraire.
Ils n'auront de repos que quand vous aurez répondu à de
nombreuses questions. |
Но это не все. Определение теперь называют соглашением; но большинство умов возмутится, если вы захотите навязать это определение как соглашение произвольное. Они успокоятся только тогда, когда вы им дадите ответ на многочисленные вопросы, которые у них возникнут. |
Le plus souvent les définitions
mathématiques, comme l'a montré M. Liard, sont de
véritables constructions édifiées de toutes pièces
avec de notions plus simples. Mais pourquoi avoir assemblé ces
éléments de cette façon quand mille autres assemblages
étaient possibles ? Est-ce par caprice ? Sinon, pourquoi
cette combinaison avait-elle plus de droits à l'existence que toutes
les autres ? A quel besoin répondait-elle ? Comment a-t-on
prévu qu'elle jouerait dans le développement de la science un
rôle important, qu'elle abrégerait nos raisonnements et nos
calculs ? Y a-t-il dans la nature quelque objet familier, qui en est
pour ainsi dire l'image indécise et grossière ? |
Чаще всего математические определения, как это показал Лиар, суть целые построения, составленные при помощи простейших понятий. Но почему эти элементы соединены именно данным образом, когда возможна еще тысяча других способов соединения? Каприз ли это? А если нет, то почему данная комбинация имеет больше прав на существование, чем все прочие? Какой необходимости она отвечает? Как можно было предвидеть, что она сыграет важную роль в развитии науки, что она сократит наши суждения и наши вычисления? Существует ли в природе некоторый особый предмет, который является, так сказать, неясным и грубым прообразом такой комбинации? |
Ce n'est pas tout ; si vous répondez
à toutes ces questions d'une manière satisfaisante, nous
verrons bien que le nouveau-né avait le droit d'être
baptisé ; mais le choix du nom n'est pas non plus
arbitraire : il faut expliquer par quelles analogies on a
été guidé et que si l'on a donné des noms analogues
à des choses différentes, ces choses du moins ne diffèrent
que par la matière et se rapprochent par la forme ; que leurs
propriétés sont analogues et pour ainsi dire parallèles. |
Это не все. Если вы ответите на эти вопросы удовлетворительно, то мы увидим, что принятую комбинацию нужно окрестить каким-либо именем. Но выбор имени не является произвольным. Нужно объяснить, какими аналогиями руководились, избирая имя. Если же аналогичное имя присваивалось различным вещам, то нужно показать, что эти вещи отличаются между собой только материально, по форме же близки друг к другу, что их свойства подобны и, так сказать, параллельны. |
C'est à ce prix qu'on pourra satisfaire toutes
les tendances. Si l'énoncé est assez correct pour plaire an
logicien, la justification contentera l'intuitif. Mais il y a mieux à
faire encore ; toutes les fois que cela sera possible, la justification
précédera l'énoncé et le préparera ;
on sera conduit à l'énoncé général par
l'étude de quelques exemples particuliers. |
Вот какой ценой можно удовлетворить всем притязаниям. Если формулировка достаточно правильна, чтобы удовлетворить логика, то ее оправдание удовлетворит интуитивиста. Но лучше поступить иначе: необходимо, чтобы оправдание во всех случаях, когда это возможно, предшествовало формулировке и подготовляло ее; изучение нескольких частных примеров лучше всего приводит к общей формулировке. |
Autre chose encore : chacune des parties de
l'énoncé d'une définition a pour but de distinguer
l'objet à définir d'une classe d'autres objets voisins. La
définition ne sera comprise que quand vous aurez montré, non
seulement l'objet défini, mais les objets voisins dont il convient de
le distinguer, que vous aurez fait saisir la différence et que vous
aurez ajouté explicitement : c'est pour cela qu'en énonçant
la définition j'ai dit ceci ou cela. |
Еще другое обстоятельство: каждая часть формулированного определения имеет целью установить отличие определяемого объекта от класса других близких предметов. Определение будет понято лишь тогда, когда вы покажете не только определяемый предмет, но и те соседние предметы, от которых его надобно отличать; когда вы сделаете явственным это отличие и при этом прибавите: "вот для чего я внес в определение то-то и то-то". |
Mais il est temps de sortir des
généralités et d'examiner comment les principes un peu
abstraits que je viens d'exposer peuvent être appliqués en
arithmétique, en géométrie, en analyse et en
mécanique. |
Теперь нам нужно перейти от общих суждений к исследованию вопроса, каким образом все изложенные мною несколько абстрактные принципы могут быть приложены в арифметике, геометрии, анализе и механике. |
On n'a pas à définir le nombre
entier ; en revanche, on définit d'ordinaire les
opérations sur les nombres entiers ; je crois que les
élèves apprennent ces définitions par cœur et
qu'ils n'y attachent aucun sens. Il y a à cela deux raisons :
d'abord on les leur fait apprendre trop tôt, quand leur esprit n'en
éprouve encore aucun besoin ; puis ces définitions ne sont
pas satisfaisantes au point de vue logique. Pour l'addition on ne saurait en
trouver une bonne, tout simplement parce qu'il faut s'arrêter et qu'on
ne saurait tout définir. Ce n'est pas définir l'addition que de
dire qu'elle consiste à ajouter. Tout ce qu'on peut faire c'est de
partir d'un certain nombre d'exemples concrets et de dire :
l'opération que nous venons de faire s'appelle addition. |
Нет нужды определять целое число; но зато обыкновенно определяют действия над целыми числами. Я предполагаю, что ученики выучивают определения наизусть и не связывают с ними никакого смысла. Для этого у меня есть два основания: во-первых, учеников заставляют заучивать определения слишком рано, когда их ум не чувствует в этом никакой потребности; во-вторых, даваемые им определения неудовлетворительны с логической точки зрения. Для сложения нельзя найти хорошее определение просто потому, что нельзя же все определить и необходимо где-нибудь остановиться. Сказать: "сложение заключается в прибавлении" - не значит дать определение. Все, что можно сделать, это взять за исходный пункт некоторое число конкретных примеров и сказать: "действие, которое мы сделали, называется сложением". |
Pour la soustraction, c'est autre chose; on peut la
définir logiquement comme l'opération inverse de
l'addition ; mais est-ce par là qu'il faut commencer ?
Là aussi il faut débuter par des exemples, montrer sur ces
exemples la réciprocité des deux opérations ; la
définition sera ainsi préparée et justifiée. |
Иное дело при вычитании; его можно логически определить как действие, обратное сложению. Но следует ли с этого и начинать? И здесь надобно начать с примеров, выяснить на них взаимность этих двух действий; тогда определение будет и подготовлено и оправдано. |
De même encore pour la multiplication ; on
prendra un problème particulier ; on montrera qu'on peut le
résoudre en additionnant plusieurs nombres égaux entre
eux ; on fera voir ensuite qu'on arrive plus vite au résultat par
une multiplication, l'opération que les élèves savent
déjà faire par routine et la définition logique sortira
de là tout naturellement. |
То же самое нужно сказать об умножении. Надо взять частную задачу и показать на ней, что она может быть разрешена, если складывать между собой равные числа. Затем уже можно показать, что к такому же результату можно прийти посредством умножения, т. е. посредством действия, которое учениками уже усвоено, и тогда логическое определение выяснится само собой. |
On définira la division comme l'opération
inverse de la multiplication ; mais on commencera par un exemple
emprunté à la notion familière de partage et on montrera
sur cet exemple que la multiplication reproduit le dividende. |
Деление необходимо определить как действие, обратное умножению; но начать нужно с примера, заимствованного из повседневного обихода, например с деления какого-нибудь предмета на равные доли, и на этом примере показать, что делимое получается посредством умножения. |
Restent les opérations sur les fractions. Il n'y
a de difficulté que pour la multiplication. Le mieux est d'exposer
d'abord la théorie des proportions, c'est d'elle seulement que pourra
sortir une définition logique ; mais pour faire accepter les
définitions que l'on rencontre au début de cette
théorie, il faut les préparer par de nombreux exemples, empruntés
à des problèmes classiques de règles de trois, où
l'on aura soin d'introduire des données fractionnaires. On ne craindra
pas non plus de familiariser les élèves avec la notion de
proportion par des images géométriques, soit en faisant appel
à leurs souvenirs s'ils ont déjà fait de la
géométrie, soit en ayant recours à l'intuition directe,
s'ils n'en ont pas fait, ce qui les préparera d'ailleurs à en
faire. J'ajouterai, enfin, qu'après avoir défini la
multiplication des fractions, il faut justifier cette définition, en
démontrant qu'elle est commutative, associative et distributive, et en
faisant bien remarquer aux auditeurs qu'on fait cette constatation pour
justifier la définition. |
Остаются действия над дробями. Некоторые затруднения здесь представляет только умножение. Лучше изложить сначала теорию пропорций, так как только из нее можно извлечь логическое определение. Но для того, чтобы стали приемлемы те определения, которые встречаются в начале этой теории, необходимо предварительно воспользоваться многими примерами, заимствованными из классических задач на тройное правило, вводя в них дробные величины. Можно без боязни прибегать к геометрическим образам для ознакомления учеников с понятием о пропорции; для этого либо нужно вызвать в их памяти воспоминания, если они уже занимались геометрией, либо обращаться к их непосредственной интуиции, что, между прочим, подготовит их к занятию геометрией. Прибавлю, наконец, что, дав определение умножения дробей, необходимо оправдать это определение, показав, что умножение является действием переместительным, сочетательным и распределительным, а также указать при этом, что такое доказательство приводится для оправдания определения. |
On voit quel rôle jouent dans tout ceci les
images géométriques ; et ce rôle est justifié
par la philosophie et l'histoire de la science. Si l'arithmétique
était restée pure de tout mélange avec la
géométrie, elle n'aurait connu que le nombre entier ;
c'est pour s'adapter aux besoins de la géométrie qu'elle a
inventé autre chose. |
Отсюда видно, какую роль играют во всем этом геометрические образы, и эта роль оправдывается философией и историей науки. Если бы арифметика не имела никакой геометрической примеси, она знала бы только целые числа; для приспособления к нуждам геометрии она кроме них изобрела еще и нечто другое. |
En géométrie nous rencontrons d'abord la
notion de ligne droite. Peut-on définir la ligne droite ? La
définition connue, le plus court chemin d'un point à un autre,
ne me satisfait guère. Je partirais tout simplement de la règle
et je montrerais d'abord à l'élève comment on peut
vérifier une règle par retournement ; cette
vérification est la vraie définition de la ligne droite ;
la ligne droite est un axe de rotation. On lui montrerait ensuite à
vérifier la règle par glissement et on aurait une des
propriétés les plus importantes de la ligue droite. Quant
à cette autre propriété d'être le plus court
chemin d'un point à un autre, c'est un théorème qui peut
être démontré apodictiquement, mais la
démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver place dans
l'enseignement secondaire. Il vaudra mieux montrer qu'une règle
préalablement vérifiée s'applique sur un fil tendu. Il
ne faut pas redouter, en présence de difficultés analogues, de
multiplier les axiomes, en les justifiant par des expériences
grossières. |
В геометрии мы встречаемся на первых же шагах с понятием о прямой линии. Можно ли определить прямую линию? Обычное определение ее как кратчайшего расстояния от одной точки до другой меня не удовлетворяет. Я исходил бы просто из линейки и показал бы ученику, как можно проверить линейку, повернув ее другой стороной, такая проверка есть истинное определение прямой линии: прямая линия - это ось вращения. Затем надобно ученику показать, что линейку можно проверить посредством скольжения, и при этом обнаружится одно из наиболее важных свойств прямой линии. Что же касается того свойства, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то это уже теорема, которая может быть доказана аподиктически (3), но это доказательство слишком тонко, чтобы найти себе место в курсе средней школы. Лучше было бы показать, что линейка, предварительно проверенная, налагается на натянутую проволоку. При всех затруднениях такого рода можно без опасений умножать число аксиом, оправдывая их даже на грубых примерах. |
Ces axiomes, il faut bien en admettre, et si l'on en
admet un peu plus qu'il n'est strictement nécessaire, le mal n'est pas
bien grand ; l'essentiel est d'apprendre à raisonner juste sur
les axiomes une fois admis. L'oncle Sarcey qui aimait à se
répéter disait souvent qu'au théâtre le spectateur
accepte volontiers tous les postulats qu'on lui impose au début, mais
qu'une fois le rideau levé, il devient intransigeant sur la logique.
Eh bien, c'est la même chose en mathématiques. |
Некоторое число аксиом необходимо должно быть допущено, и если число их немного превосходит то, которое строго необходимо, то беда еще невелика. Главное - это научить правильно рассуждать при помощи раз допущенных аксиом. Дедушка Сарсей (4) часто говорил, что в театре зритель охотно принимает те постулаты, которые ему навязаны сначала, но раз занавес поднят, он становится неумолимым в своей логической требовательности. То же самое происходит в математике. |
Pour le cercle, on peut partir du compas ; les
élèves reconnaîtront du premier coup la courbe
tracée ; on leur fera observer ensuite que la distance des deux
pointes de l'instrument reste constante, que l'une de ces pointes est fixe et
l'autre mobile, et on sera ainsi amené naturellement à la
définition logique. |
Для определения круга можно исходить из циркуля. Ученики с первого взгляда узнают начерченную кривую. Затем им покажут, что расстояние между двумя точками инструмента остается постоянным, что одна из этих точек неподвижна, а другая движется, и таким образом ученики естественно придут к логическому определению. |
La définition du plan implique un axiome et il
ne faut pas le dissimuler. Qu'on prenne une planche à dessin et que
l'on fasse remarquer qu'une règle mobile s'applique constamment sur
cette planche et cela en conservant trois degrés de liberté. On
comparerait avec le cylindre et le cône, surfaces sur lesquelles on ne
saurait appliquer une droite à moins de ne lui laisser que deux
degrés de liberté ; puis, on prendrait trois planches
à dessin ; on montrerait d'abord qu'elles peuvent glisser en
restant appliquées l'une sur l'autre et cela avec 3 degrés de
liberté ; et enfin pour distinguer le plan de la sphère,
que deux de ces planches, applicables sur une troisième, sont
applicables l'une sur l'autre. |
Определение плоскости содержит в себе аксиому, этого не нужно скрывать. Возьмем рисовальную доску и покажем, что движущаяся линейка постоянно накладывается на эту плоскость, сохраняя при этом три степени свободы. Сравним затем плоскость с цилиндром и конусом, с поверхностями, на которые прямая может быть наложена только при сохранении двух степеней свободы. Возьмем далее три рисовальные доски и покажем сначала, что они, будучи наложены одна на другую, могут скользить при трех степенях свободы. И, наконец, чтобы установить различие между плоскостью и сферой, покажем, что две доски, накладывающиеся порознь на третью, накладываются также друг на друга. |
Peut-être vous étonnerez-vous de cet
incessant emploi d'instruments mobiles ; ce n'est pas là un
grossier artifice, et c'est beaucoup plus philosophique qu'on ne le croit
d'abord. Qu'est-ce que la géométrie pour le philosophe ?
C'est l'étude d'un groupe, et quel groupe ? de celui des
mouvements des corps solides. Comment alors définir ce groupe sans
faire mouvoir quelques corps solides ? |
Быть может, вас удивит это постоянное применение подвижных инструментов. Это не грубый прием, он более философский, чем это кажется с первого взгляда. Что такое геометрия для философа? Это изучение некоторой группы. Какой именно? Группы движений твердых тел. Каким же образом определить эту группу, не заставляя двигаться некоторые твердые тела? |
Devons-nous conserver la définition classique
des parallèles et dire qu'on appelle ainsi deux droites qui,
situées dans le même plan, ne se rencontrent pas quelque loin
qu'on les prolonge ? Non parce que cette définition est négative,
parce qu'elle est invérifiable par l'expérience et ne saurait
en conséquence être regardée comme une donnée
immédiate de l'intuition. Non, surtout, parce qu'elle est totalement
étrangère à la notion de groupe, à la considération
du mouvement des corps solides qui est, comme je l'ai dit, la véritable
source de la géométrie. Ne vaudrait-il pas mieux définir
d'abord la translation rectiligne d'une figure invariable, comme un mouvement
où tous les points de cette figure ont des trajectoires
rectilignes ; montrer qu'une semblable translation est possible, en
faisant glisser une équerre sur une règle ? De cette
constatation expérimentale, érigée en axiome, il serait
aisé de faire sortir la notion de parallèle et le postulatum
d'Euclide lui-même. |
Должны ли мы сохранить классическое определение параллельных линий и сказать, что параллельными называются такие прямые, которые расположены в одной плоскости и никогда не встречаются, сколько бы их ни продолжали? Нет, ибо это определение отрицательное, оно не может быть проверено опытом и не может быть, следовательно, рассматриваемо как непосредственное данное интуицией. Определение это не может быть сохранено особенно еще потому, что оно совершенно чуждо понятию о группе, чуждо идее о движении твердых тел, которая, как я уже сказал, является истинным источником геометрии. Не лучше ли определить сначала прямолинейное переносное движение какой-либо неизменяемой фигуры как такое движение, в котором все точки этой фигуры описывают прямолинейные траектории, показать, что подобное перемещение возможно, когда треугольник скользит по линейке? Из экспериментального констатирования этого факта, возведенного в аксиому, легко было бы вывести как понятие о параллельной прямой,так и сам евклидов постулат. |
Je n'ai pas à revenir sur la définition
de la vitesse, ou de l'accélération, ou des autres notions
cinématiques ; on les rattachera avec avantage à celle de
la dérivée. |
Мне нет надобности останавливаться на определении скорости или ускорения, а также и других кинематических понятий; они с большим удобством могут быть отнесены к определению производной. |
J'insisterai, au contraire, sur les notions dynamiques
de force et de masse. |
Я остановлюсь, напротив, на динамических понятиях о силе и массе. |
Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les
jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont
éloignés d'appliquer au monde réel les lois
mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement
qu'ils en soient incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux
le monde de la science et celui de la réalité sont
séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de
voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture et
s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au
mépris du principe de l'action et de la réaction. |
Одна вещь меня поражает, а именно: сколь многие молодые люди, получившие среднее образование, далеки от того, чтобы применять к реальному миру те механические законы, которые им были преподаны. И это не только потому, что они к этому неспособны, но и потому, что об этом даже и не думают. Для них мир науки и мир реальности отделены друг от друга непроницаемой перегородкой. Нередко можно видеть господина, прилично одетого, вероятно, бакалавра, сидящего в карете и воображающего, что он помогает ей двигаться, толкая ее вперед, вопреки принципу действия и противодействия. |
Si nous essayons d'analyser l'état d'âme
de nos élèves, cela nous étonnera moins ; quelle
est pour eux la véritable définition de la force ? non pas
celle qu'ils récitent, mais celle qui, tapie dans un recoin de leur
entendement, le dirige de là tout entier. Cette définition, la
voici : les forces sont des flèches avec lesquelles on fait des
parallélogrammes. Ces flèches sont des êtres imaginaires
qui n'ont rien à faire avec rien de ce qui existe dans la nature. Cela
n'arriverait pas, si on leur avait montré des forces dans la
réalité avant de les représenter par des flèches. |
Если мы попытаемся проанализировать душевное состояние наших учеников, то это нас менее удивит. Каково в их глазах настоящее определение силы? Не то определение, которое они произносят наизусть, но то скрытое в далеком углу их разума, которое из него всем управляет? Вот это определение: силы суть стрелы, при помощи которых составляются параллелограммы. Эти стрелы суть воображаемые существа, которые ничего общего не имеют с тем, что существует в природе. Но этого не случилось бы, если бы раньше, чем изображать силы при помощи стрелок, ученикам показали бы их в действительности. |
Comment définir la force ? Une
définition logique, il n'y en a pas de bonne, je crois l'avoir
suffisamment montré ailleurs. Il y a la définition
anthropomorphique, la sensation de l'effort musculaire ; celle-là
est vraiment trop grossière et on n'en peut rien tirer d'utile. |
Как же определить силу? Логическое определение, как я это показал в другом месте, вряд ли уместно. Есть определение антропоморфное: ощущение мускульного усилия, но оно поистине слишком грубо и ничего полезного из него извлечь нельзя. |
Voici la marche qu'il faudra suivre : il faut
d'abord, pour faire connaître le genre force, montrer l'une
après l'autre toutes les espèces de ce genre ; elles sont
bien nombreuses et elles sont bien diverses ; il y a la pression des
fluides sur les parois des vases où ils sont enfermés ; la
tension des fils ; l'élasticité d'un ressort ; la
pesanteur qui agit sur toutes les molécules d'un corps ; les
frottements ; l'action et la réaction mutuelle normale de deux
solides au contact. |
Вот тот путь, по которому нужно следовать. Для того чтобы познакомить с понятием силы, нужно показать в последовательном порядке все виды этого понятия. Эти виды очень многочисленны и разнообразны, както: давление жидкостей на стенки сосудов, в которых они заключаются; напряжение проволок; упругость пружины; тяжесть, которая действует на все молекулы тела; трение; взаимное нормальное действие и противодействие двух твердых тел, касающихся друг друга. |
Ce n'est là qu'une définition
qualitative ; il faut apprendre à mesurer la force. Pour cela on
montrera d'abord que l'on peut remplacer une force par une autre sans
troubler l'équilibre ; nous trouverons le premier exemple de
cette substitution dans la balance et la double pesée de Borda. Nous
montrerons ensuite qu'on peut remplacer un poids, non seulement par un autre
poids, mais par des forces de nature différente : par exemple le
frein de Prony nous permet de remplacer un poids par un frottement. |
Это определение, конечно, только качественное. Нужно научиться измерять силу. Здесь надобно сначала показать, что можно одну силу заменить другой, не нарушая равновесия. Первый пример такой замены мы найдем в рычажных весах и в двойном взвешивании Борда (5). Мы покажем затем, что данный вес может быть заменен не только другим весом, но и силами, отличающимися по своей природе; например, нажим Прони (6) позволяет нам заменить вес трением. |
De tout cela sort la notion de l'équivalence de
deux forces. |
Из всего этого вытекает понятие об эквивалентности двух сил. |
Il faut définir la direction d'une force. Si une
force F est équivalente à une autre force F' qui est
appliquée au corps considéré par l'intermédiaire
d'un fil tendu, de telle sorte que F puisse être remplacée par
F' sans que l'équilibre soit troublé, alors le point d'attache
du fil sera par définition le point d'application de la force F', et
celui de la force équivalente F ; la direction du fil sera la
direction de la force F' et celle de la force équivalente F. |
Необходимо теперь определить направление силы. Если сила F эквивалентна другой силе F", приложенной к данному телу через посредство натянутой проволоки, так что сила F может быть заменена силой F" без всякого нарушения равновесия, то точка приложения проволоки будет, согласно определению, точкою приложения силы F" и, следовательно, эквивалентной силы F. Направление проволоки будет направлением силы F" и направлением эквивалентной силы F. |
De là, on passera à la comparaison de la
grandeur des forces. Si une force peut en remplacer deux autres de même
direction, c'est qu'elle est égale à leur somme, on montrera
par exemple qu'un poids de 20 grammes peut remplacer deux poids de 10
grammes. |
Отсюда мы переходим к сравнению величины сил. Если одна сила может заместить две другие одного и того же направления, значит, она равна их сумме; показать это можно на примере с гирей в 20 граммов, замещавшей две гири по 10 граммов. |
Est-ce suffisant ? Pas encore. Nous savons
maintenant comparer l'intensité de deux forces qui ont même
direction et même point d'application ; il faut apprendre à
le faire quand les directions sont différentes. Pour cela, imaginons
un fil tendu par un poids et passant sur une poulie ; nous dirons que la
tension des deux brins du fil est la même et égale au poids
tenseur. |
Достаточно ли этого? Нет еще. Мы умеем сравнивать интенсивность двух сил, имеющих одно н то же направление и одну и ту же точку приложения. Нужно уметь производить сравнения и в том случае, когда направления различны. Для этого вообразим проволоку, перекинутую через блок и натянутую при помощи гири; мы скажем тогда, что натяжение обеих частей проволоки одинаково и равно весу натягивающего груза. |
Voilà notre définition, elle nous permet
de comparer les tensions de nos deux brins, et, en se servant des
définitions précédentes, de comparer deux forces quelconques
ayant même direction que ces deux brins. Il faut le justifier en
montrant que la tension du dernier brin reste la même pour un
même poids tenseur, quels que soient le nombre et la disposition des
poulies de renvoi. Il faut la compléter ensuite en montrant que cela
n'est vrai que si les poulies sont sans frottement. |
Вот наше определение. Оно позволяет нам сравнить натяжение двух частей проволоки или нити и, пользуясь предыдущими определениями, сравнить любые две силы, имеющие то же направление, что и обе нити. Нужно оправдать его, показав, что натяжение второй части нити остается тем же при том же натягивающем весе, каковы бы ни были число и расположение направляющих блоков. Нужно дополнить еще это определение, указав, что оно верно лишь в тех случаях, когда блоки не производят трения. |
Une fois maître de ces définitions, il
faut faire voir que le point d'application, la direction et
l'intensité suffisent pour déterminer une force ; que deux
forces pour lesquelles ces trois éléments sont les mêmes sont
toujours équivalentes et peuvent toujours être
remplacées l'une par l'autre, soit dans l'équilibre, soit dans
le mouvement, et cela quelles que soient les autres forces mises en jeu. |
Дав эти определения, нужно показать, что точка приложения, направление и интенсивность достаточны для определения силы; что две силы, у коих эти три элемента одинаковы, всегда эквивалентны и всегда могут друг друга заменить как в состоянии равновесия, так и в состоянии движения, и притом независимо от других сил, привходящих в систему. |
Il faut faire voir que deux forces concourantes peuvent
toujours être remplacées par une résultante unique ;
et que cette résultante reste la même, que le corps soit
en repos ou en mouvement et quelles que soient les autres forces qui lui sont
appliquées. |
Нужно показать, что две сходящиеся силы всегда могут быть заменены одной равнодействующей и что эта равнодействующая остается одной и той же как в том случае, когда тело остается в покое, так и в случае его движения, и притом независимо от других приложенных к нему сил. |
Il faut faire voir enfin que les forces définies
comme nous venons de le faire satisfont au principe de
l'égalité de l'action et de la réaction. |
Нужно показать, наконец, что силы, определенные таким образом, как мы показали, удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия. |
Tout cela, c'est l'expérience, et
l'expérience seule qui peut nous l'apprendre. |
Все это есть опыт, но только опыт и может нас этому научить. |
Il suffira de citer quelques expériences
vulgaires, que les élèves font tous les jours sans s'en douter,
et d'exécuter devant eux un petit nombre d'expériences simples
et bien choisies. |
Достаточно привести несколько примеров из тех обычных действий, которые ученики без всяких колебаний производят ежедневно, и сделать на их глазах несколько простых и хорошо подобранных опытов. |
C'est quand on aura passé par tous ces
détours qu'on pourra représenter les forces par des
flèches, et même je voudrais que, dans le développement
des raisonnements, l'on revint de temps en temps du symbole à la
réalité. Il ne serait pas difficile par exemple d'illustrer le
parallélogramme des forces à l'aide d'un appareil formé
de trois fils, passant sur des poulies, tendus par des poids et se faisant
équilibre en tirant sur un même point. |
Когда ученики прошли по всем этим обходным путям, можно перейти к изображению сил при помощи стрелок, но я считал бы желательным, чтобы воспитатели, развивая в учениках способность рассуждать, возвращались время от времени от символа к реальности. Не представит труда, например, иллюстрировать параллелограмм сил при помощи прибора, составленного из трех нитей, проходящих через блоки и натянутых посредством грузов, которые уравновешивают друг друга в одной и той же точке. |
Connaissant la force, il est aisé de
définir la masse ; cette fois la définition doit
être empruntée à la dynamique ; il n'y a pas moyen
de faire autrement, puisque le but à atteindre, c'est de faire
comprendre la distinction entre la masse et le poids. Ici encore, la
définition doit être préparée par des
expériences ; il y a en effet une machine qui semble faite tout
exprès pour montrer ce que c'est que la masse, c'est la machine
d'Atwood ; on rappellera d'ailleurs les lois de la chute des corps, que
l'accélération de la pesanteur est la même pour les corps
lourds et pour les corps légers, et qu'elle varie avec la latitude,
etc. |
Зная силу, легко определить массу. На этот раз определение должно быть заимствовано из динамики. Иначе этого сделать нельзя, так как цель, которой здесь хотят достигнуть, заключается в уяснении различия между массой и весом. Здесь определение также должно быть подготовлено рядом опытов. У нас есть машина, которая, как будто, нарочно создана для того, чтобы показать, что такое масса, это - машина Атвуда. Затем следует напомнить о законах падения тел, о том, что ускорение тяжести остается одним и тем же для тяжелых и легких тел, что оно изменяется вместе с географической широтой и т. д. |
Maintenant, si vous me dites que toutes les
méthodes que je préconise sont depuis longtemps
appliquées dans les lycées, je m'en réjouirai plus que
je ne m'en étonnerai ; je sais que dans son ensemble notre
enseignement mathématique est bon ; je ne désire pas qu'il
soit bouleversé, j'en serais même désolé, je ne
désire que des améliorations lentement progressives. Il ne faut
pas que cet enseignement subisse de brusques oscillations au souffle
capricieux de modes éphémères. Dans de pareilles
tempêtes sombrerait bientôt sa haute valeur éducative. Une
bonne et solide logique doit continuer à en faire le fond. La
définition par l'exemple est toujours nécessaire, mais elle
doit préparer la définition logique, elle ne doit pas la
remplacer ; elle doit tout au moins la faire désirer, dans les
cas où la véritable définition logique ne peut
être donnée utilement que dans l'enseignement supérieur. |
Если вы мне теперь скажете, что методы, которые я пропагандирую, давно уже применяются в лицеях, я буду более обрадован, чем удивлен. Я знаю, что в общем у нас обучение математике поставлено удовлетворительно. Я не хочу, чтобы оно было нарушено, это меня опечалило бы, я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений. Это обучение не должно подвергаться крутым колебаниям и капризу преходящей моды. Его высокая воспитательная ценность померкла бы в такой буре. Здравая и прочная логика должна по-прежнему лежать в его основании. Определение, внушаемое при помощи примеров, всегда необходимо, но оно должно подготовлять определение, а не заменять его; оно должно по крайней мере выяснить желательность такого логического определения в тех случаях, когда это последнее с пользой для дела может быть дано лишь на ступени высшего обучения. |
Vous avez bien compris que ce que j'ai dit aujourd'hui
n'implique nullement l'abandon de ce que j'ai écrit ailleurs. J'ai eu
souvent l'occasion de critiquer certaines définitions que je
préconise aujourd'hui. Ces critiques subsistent tout entières.
Ces définitions ne peuvent être que provisoires. Mais c'est par
elles qu'il faut passer. |
Вы, конечно, понимаете, что изложенными соображениями я отнюдь не отказываюсь от того, что писал раньше. Я часто имел случай критиковать некоторые определения, которые я теперь сам же предлагаю. Эта критика сохраняет всю свою силу. Определения, о которых идет речь, могут быть только предварительными. Но пройти через эти определения необходимо. |
Les mathématiques peuvent-elles être
réduites la logique sans avoir à faire appel à des
principes qui leur soient propres ? Il y a toute une école,
pleine d'ardeur et de foi, qui s'efforce de l'établir. Elle a son
langage spécial où il n'y a plus de mots et où on ne
fait usage que de signes. Ce langage n'est compris que de quelques initiés,
de sorte que les profanes sont disposés à s'incliner devant les
affirmations tranchantes des adeptes. Il n'est peut-être pas inutile
d'examiner ces affirmations d'un peu près, afin de voir si elles
justifient le ton péremptoire avec lequel elles sont présentées. |
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются. |
Mais pour bien faire comprendre la nature de la
question, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails
historiques et de rappeler en particulier le caractère des travaux de
Cantor. |
Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора. |
Depuis longtemps la notion d'infini avait
été introduite en mathématiques ; mais cet infini
était es que les philosophes appellent un devenir. L'infini
mathématique n'était qu'une quantité susceptible de
croître au delà de toute limite ; c'était une
quantité variable dont on ne pouvait pas dire qu'elle avait
dépassé toutes les limites, mais seulement qu'elle les dépasserait. |
Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. |
Cantor a entrepris d'introduire en mathématiques
un infini actuel, c'est-à-dire une quantité qui n'est
pas seulement susceptible de dépasser toutes les limites, mais qui est
regardée comme les ayant déjà dépassées.
Il s'est posé des questions telles que celles-ci : Y a-t-il plus
de points dans l'espace que de nombres entiers ? Y a-t-il plus de points
dans l'espace que de points dans un plan ? etc. |
Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее. |
Et alors le nombre des nombres entiers, celui des
points dans l'espace, etc., constitue ce qu'il appelle un nombre cardinal
transfini, c'est-à-dire un nombre cardinal plus grand que tous les
nombres cardinaux ordinaires. Et il s'est amusé à comparer ces
nombres cardinaux transfinis ; en rangeant dans un ordre convenable les
éléments d'un ensemble qui en contient une infinité, il
a imaginé aussi ce qu'il appelle des nombres ordinaux transfinis sur
lesquels je n'insisterai pas. |
Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться. |
De nombreux mathématiciens se sont lancés
sur ses traces et se sont posé une série de questions de
même genre. Ils se sont tellement familiarisés avec les nombres
transfinis qu'ils en sont arrivés à faire dépendre la
théorie des nombres finis de celle des nombres cardinaux de Cantor. A
leurs yeux, pour enseigner l'arithmétique d'une façon vraiment
logique, on devrait commencer par établir les propriétés
générales des nombres cardinaux transfinis, puis distinguer
parmi eux une toute petite classe, celle des nombres entiers ordinaires.
Grâce à ce détour on pourrait arriver à
démontrer toutes les propositions relatives à cette petite
classe (c'est-à-dire toute notre arithmétique et notre
algèbre) sans se servir d'aucun principe étranger à la
logique. |
Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики. |
Cette méthode est évidemment contraire
à toute saine psychologie ; ce n'est certainement pas comme cela
que l'esprit humain a procédé pour construire les
mathématiques ; aussi ses auteurs ne songent-ils pas, je pense,
à l'introduire dans l'enseignement secondaire. Mais est-elle du moins
logique, ou pour mieux dire est-elle correcte ? Il est permis d'en
douter. |
Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться. |
Les géomètres qui l'ont employée
sont cependant fort nombreux. Ils ont accumulé les formules et ils ont
cru s'affranchir de ce qui n'était pas la logique pure en
écrivant des mémoires où les formules n'alternent plus
avec le discours explicatif comme dans les livres de mathématiques
ordinaires, mais où ce discours a complètement disparu. |
Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. |
Malheureusement, ils sont arrivés à des
résultats contradictoires, c'est ce qu'on appelle les antinomies
cantoriennes, sur lesquelles nous aurons l'occasion de revenir. Ces
contradictions ne les ont pas découragés et ils se sont
efforcés de modifier leurs règles de façon à
faire disparaître celles qui s'étaient déjà
manifestées, sans être assurés pour cela qu'il ne s'en
manifesterait plus de nouvelles. |
К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия. |
Il est temps de faire justice de ces
exagérations. Je n'espère pas les convaincre ; car ils ont
trop longtemps vécu dans cette atmosphère. D'ailleurs, quand on
a réfuté une de leurs démonstrations, on est sûr
de la voir renaître avec des changements insignifiants, et
quelques-unes d'entre elles sont déjà ressorties plusieurs fois
de leurs cendres. Telle autrefois l'hydre de Lerne avec ses fameuses
têtes qui repoussaient toujours. Hercule s'en est tiré parce que
son hydre n'avait que neuf têtes, à moins que ce ne soit
onze ; mais ici il y en a trop, il y en a en Angleterre, en Allemagne,
en Italie, en France, et il devrait renoncer à la partie. Je ne fais
donc appel qu'aux hommes de bon sens sans parti pris. |
Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры (1),y которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом. |
Dans ces dernières années de nombreux
travaux ont été publiés sur les mathématiques
pures et la philosophie des mathématiques, en vue de dégager et
d'isoler les éléments logiques du raisonnement
mathématique. Ces travaux ont été analysés et
exposés très clairement ici-même par M. Couturat dans un
ouvrage intitulé : les Principes des Mathématiques. |
В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в работе Кутюра, озаглавленной: "Основания математических наук". |
Pour M. Couturat, les travaux nouveaux, et en
particulier de MM. Russell et Péano, ont définitivement
tranché le débat, depuis si longtemps pendant entre Leibnitz et
Kant. Ils ont montré qu'il n'y a pas de jugement synthétique a
priori (comme disais Kant pour désigner les jugements qui ne
peuvent être démontrés analytiquement), ils ont
montré que les mathématiques sont entièrement
réductibles à la logique et que l'intuition n'y joue aucun
rôle. |
По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом (2). Они показали, что не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам, ни установлены экспериментально); они показали, что математические науки целиком могут быть сведены к логике и что интуиция не играет в них никакой роли. |
|
Все это Кутюра изложил в названном выше сочинении. Еще отчетливее высказал он это в речи, произнесенной на юбилее Канта, высказал так убедительно, что мой сосед сказал в полголоса: "мы видим ясно, что истекло столетие со дня смерти Канта". |
Pouvons-nous souscrire à cette condamnation
définitive ? Je ne le crois pas et je vais essayer de montrer
pourquoi. |
Можем ли мы подписаться под этим решительным приговором? Я этого не думаю и постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю. |
Ce qui nous frappe d'abord dans la nouvelle
mathématique, c'est son caractère purement formel :
" Pensons, dit Hilbert, trois sortes de choses que nous
appellerons points, droites et plans, convenons qu'une droite sera
déterminée par deux points et qu'au lieu de dire que cette
droite est déterminée par ces deux points, nous pourrons dire
qu'elle passe par ces deux points ou que ces deux points sont situés
sur cette droite. " Que sont ces choses, non seulement nous
n'en savons rien, mais nous ne devons pas chercher à le savoir. Nous
n'en avons pas besoin, et quelqu'un, qui n'aurait jamais vu ni point, ni
droite, ni plan pourrait faire de la géométrie tout aussi bien
que nous. Que le mot passer par, ou le mot être situé
sur ne provoquent en nous aucune image, le premier est simplement
synonyme de être déterminé et le second de déterminer. |
Что нам сразу бросается в глаза в новой математике, так это ее чисто формальный характер, "Вообразим, - говорит Гильберт, - три рода вещей, которые мы назовем точками, прямыми и плоскостями; условимся, что прямая будет определяться двумя точками, и вместо того, чтобы сказать, что данная прямая определяется данными двумя точками, мы будем говорить, что она проходит через эти две точки или что эти две точки расположены на этой прямой". Что это за вещи, мы не только не знаем, но и не должны стремиться узнать. Нам этого не нужно, и всякий, кто никогда не видел ни точки, ни прямой, ни плоскости, так же легко мог бы построить геометрию, как и мы. Слова "проходят через" или "расположены на" не должны вызывать у нас никакого образа, ибо первые являются синонимом слова "определяться", вторые - синонимом слова "определять". |
Ainsi c'est bien entendu, pour démontrer un
théorème, il n'est pas nécessaire ni même utile de
savoir ce qu'il veut dire. On pourrait remplacer le géomètre
par le piano à raisonner imaginé par Stanley
Jevons ; ou, si l'on aime mieux, on pourrait imaginer une machine
où l'on introduirait les axiomes par un bout pendant qu'on
recueillerait les théorèmes à l'autre bout, comme cette
machine légendaire de Chicago où les porcs entrent vivants et
d'où ils sortent transformés en jambons et en saucisses. Pas
plus que ces machines, le mathématicien n'a besoin de comprendre ce
qu'il fait. |
Таким образом, для доказательства теоремы не нужно и даже бесполезно знать, что она хочет сказать. Геометра можно было бы заменить "логической машиной", выдуманной Стенли Джевонсом. Или, если угодно, можно было бы выдумать машину, в которую через один конец были бы введены аксиомы, а в другом конце ее были бы собраны теоремы, наподобие той легендарной машины в Чикаго, в которую вкладывают живых поросят и из которой извлекают окорока и сосиски. Математик, как и эта машина, отнюдь не должен понимать, что он делает. |
Ce caractère formel de sa
géométrie, je n'en fais pas un reproche à Hilbert.
C'était là qu'il devait tendre, étant donné le
problème qu'il se posait. Il voulait réduire au minimum le
nombre des axiomes fondamentaux de la géométrie et en faire
l'énumération complète ; or dans les raisonnements
où notre esprit reste actif, dans ceux où l'intuition joue
encore un rôle, dans les raisonnements vivants, pour ainsi dire, il est
difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe
inaperçu. Ce n'est donc qu'après avoir ramené tous les
raisonnements géométriques à une forme purement
mécanique, qu'il a pu être certain d'avoir réussi dans
son dessein et d'avoir achevé son œuvre. |
Я не ставлю в вину Гильберту этот формальный характер его геометрии. Он должен был прийти к ней, разрешая ту проблему, которую он себе ставил. Он хотел довести до минимума число основных аксиом геометрии и перечислить их все без остатка. Но в тех суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое намерение и успешно закончил свою задачу. |
Ce que Hilbert avait fait pour la
géométrie, d'autres ont voulu le faire pour
l'arithmétique et pour l'analyse. Si même ils y avaient
entièrement réussi, les Kantiens seraient-ils
définitivement condamnés au silence ? Peut-être pas,
car en réduisant la pensée mathématique à une
forme vide, il est certain qu'on la mutile. Admettons même que l'on ait
établi que tous les théorèmes peuvent se déduire
par des procédés purement analytiques, par de simples
combinaisons logiques d'un nombre fini d'axiomes, et que ces axiomes ne sont
que des conventions. Le philosophe conserverait le droit de rechercher les
origines de ces conventions, de voir pourquoi elles ont été
jugées préférables aux conventions contraires. |
То, что Гильберт сделал в геометрии, другие захотели сделать в арифметике и в анализе. Однако если бы они в этом даже и успели, то разве кантианцы были бы осуждены на полное молчание? Может быть, и нет, ибо когда мы сообщаем математической мысли пустую форму, эта мысль, конечно, подвергается искажению. Допустим даже, что удалось установить, что все теоремы могут быть выведены из конечного числа аксиом путем чисто аналитических приемов, путем простых логических комбинаций, и что эти аксиомы суть не что иное, как соглашения. Философ, однако, сохранил бы за собой право исследовать происхождение этих условий и определить, почему эти условия оказались предпочтительными перед противоположными им. |
Et puis la correction logique des raisonnements qui
mènent des axiomes aux théorèmes n'est pas la seule
chose dont nous devions nous préoccuper. Les règles de la
parfaite logique sont-elles toute la mathématique ? Autant dire
que tout l'art du joueur d'échecs se réduit aux règles
de la marche des pièces. Parmi toutes les constructions que l'on peut
combiner avec les matériaux fournis par la logique, il faut faire un
choix ; le vrai géomètre fait ce choix judicieusement
parce qu'il est guidé par un sûr instinct, ou par quelque vague
conscience de je ne sais quelle géométrie plus profonde, et
plus cachée, qui seule fait le prix de l'édifice construit. |
Кроме того, не одна только логическая правильность суждений, ведущих от аксиом к теоремам, должна нас занимать. Разве вся математика исчерпывается правилами совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказали, что все искусство шахматного игрока сводится к правилам хода пешек. Из всех построений, которые могут быть скомбинированы из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор. Настоящий геометр и производит этот выбор здраво, руководствуясь верным инстинктом или же некоторым смутным сознанием о - я не знаю какой именно - более глубокой и более скрытой геометрии, которая одна и составляет ценность воздвигнутого здания. |
Chercher l'origine de cet instinct, étudier les
lois de cette géométrie profonde qui se sentent et ne
s'énoncent pas, ce serait encore une belle tâche pour les
philosophes qui ne veulent pas que la logique soit tout. Mais ce n'est pas
à ce point de vue que je veux me placer, ce n'est pas ainsi que je
veux poser la question. Cet instinct dont nous venons de parler est
nécessaire à l'inventeur, mais il semble d'abord qu'on pourrait
s'en passer pour étudier la science une fois créée. Eh
bien, ce que je veux rechercher, c'est s'il est vrai qu'une fois admis les
principes de la logique, on peut je ne dis pas découvrir, mais
démontrer toutes les vérités mathématiques sans
faire de nouveau appel à l'intuition. |
Искать происхождение этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии, которые чувствуются, но словесно не форму лируются - вот прекрасная задача для философов, которые не допускают, что логикой исчерпывается все. Но не на эту точку зрения хочу я стать, не так хочу я ставить вопрос. Инстинкт о котором мы только что говорили, необходим изобретателю, но на первый взгляд кажется, будто при изучении уже созданной науки можно обойтись и без него. И вот я хочу исследовать, можно ли, приняв однажды принципы логики, я уж не говорю открыть, но даже доказать все математические истины, не прибегая снова к интуиции. |
A cette question, j'avais autrefois répondu que
non (Voir Science et Hypothèse, chapitre Ier) ;
notre réponse doit-elle être modifiée par les travaux
récents ? Si j'avais répondu non, c'est parce que
" le principe d'induction complète " me paraissait
à la fois nécessaire au mathématicien et
irréductible à la logique. On sait quel est
l'énoncé de ce principe : |
На этот вопрос я однажды уже дал отрицательный ответ (см. "Наука и гипотеза", глава I). Должен ли я этот ответ изменить ввиду появившихся новых трудов? Если я в то время ответил отрицательно, то это потому, что "принцип совершенной индукции" казался мне, с одной стороны, необходимым для математика, а с другой стороны, не сводимым к логике. Известно, что этот принцип заключается в следующем. |
" Si une propriété est vraie du
nombre 1, et si l'on établit qu'elle est vraie de n + 1
pourvu qu'elle le soit de n, elle sera vraie de tous les nombres
entiers. " |
"Если какое-либо свойство справедливо относительно числа 1 и если установлено, что оно справедливо относительно числа n+1, коль скоро оно справедлво относительно числа n, то оно будет верно для всех целых чисел". |
J'y voyais le raisonnement mathématique par
excellence. Je ne voulais pas dire, comme on l'a cru, que tous les
raisonnements mathématiques peuvent se réduire à une
application de ce principe. En examinant ces raisonnements d'un peu
près, on y verrait appliqués beaucoup d'autres principes
analogues, présentant les mêmes caractères essentiels.
Dans cette catégorie de principes, celui de l'induction
complète est seulement le plus simple de tous et c'est pour cela que
je l'ai choisi pour type. |
В этом я по преимуществу видел математическое суждение. Я не хотел этим сказать, как некоторые это думали, что все математические суждения могут быть сведены к приложению этого принципа. Исследуя эти суждения ближе, можно заметить, что в них применяются многие другие аналогичные принципы, обладающие теми же существенными признаками. В их ряду принцип полной индукции является лишь простейшим, и вот почему я остановился на нем как на типичном. |
Le nom de principe d'induction complète qui a
prévalu n'est pas justifié. Ce mode de raisonnement n'en est
pas moins une véritable induction mathématique qui ne
diffère de l'induction ordinaire que par sa certitude. |
Название принципа совершенной индукции, упрочившееся за этой формой суждения, не может быть признано правильным. Этот способ суждения представляет настоящую математическую индукцию, которая отличается от обыкновенной индукции только степенью своей достоверности. |
L'existence de pareils principes est une
difficulté pour les logiciens intransigeants ; comment
prétendent-ils s'en tirer ? Le principe d'induction
complète, disent-ils, n'est pas un axiome proprement dit ou un
jugement synthétique a priori ; c'est tout simplement la
définition du nombre entier. C'est donc une simple convention. Pour
discuter cette manière de voir, il nous faut examiner d'un peu
près les relations entre les définitions et les axiomes. |
Существование подобных принципов ставит непримиримых логиков в затруднительное положение. Но как думают они выпутаться из него? Принцип полной индукции, говорят они, не есть аксиома в собственном смысле слова или априорное синтетическое суждение, он есть просто определение целого числа. Следовательно, этот принцип является простым соглашением. Чтобы разобраться в этой точке зрения, нужно подробнее исследовать отношения между определениями и аксиомами. |
Reportons-nous d'abord à un article de M.
Couturat sur les définitions mathématiques, qui a paru dans l'Enseignement
mathématique, revue publiée chez Gauthier-Villars et chez
Georg à Genève. Nous y verrons une distinction entre la définition
directe et la définition par postulats. |
Обратимся сначала к статье Кутюра о математических определениях, появившейся в выходящем в Женеве журнале "Математическое образование". Мы найдем здесь различие между прямым определением и определением при помощи постулатов. |
" La définition par postulats, dit M.
Couturat, s'applique, non à une seule notion, mais à un
système de notions ; elle consiste à
énumérer les relations fondamentales qui les unissent et qui
permettent de démontrer toutes leurs autres
propriétés ; ces relations sont des
postulats... " |
"Определение при помощи постулатов, - говорит Кутюра, - применяется не к одному понятию, а к системе понятий; оно заключается в перечислении основных соотношений, их связывающих и позволяющих доказать все прочие их свойства; эти соотношения и суть постулаты"... |
Si l'on a défini préalablement toutes ces
notions, sauf une, alors cette dernière sera par définition
l'objet qui vérifie ces postulats. |
Если предварительно были определены все эти понятия, за исключением одного, то это последнее и будет по определению тем объектом, который проверяет эти постулаты. |
Ainsi certains axiomes indémontrables des
mathématiques ne seraient que des définitions
déguisées. Ce point de vue est souvent légitime ;
et je l'ai admis moi-même en ce qui concerne par exemple le postulatum
d'Euclide. |
Итак, некоторые недоказуемые аксиомы математики суть лишь скрытые определения. Такая точка зрения часто правомерна, и я сам ее принял, когда шел вопрос, например, о постулате Евклида. |
Les autres axiomes de la géométrie ne
suffisent pas pour définir complètement la distance ; la
distance sera alors, par définition, parmi toutes les grandeurs qui
satisfont à ces autres axiomes, celle qui est telle que le postulatum
d'Euclide soit vrai. |
Другие аксиомы геометрии недостаточны для полного определения расстояния между двумя точками. Ввиду этого из всех величин, удовлетворяющих этим остальным аксиомам, расстояние будет по определению той именно величиной, которая удовлетворяет постулату Евклида. |
Eh bien, les logiciens admettent pour le principe
d'induction complète, ce que j'admets pour le postulatum d'Euclide,
ils ne veulent y voir qu'une définition déguisée. |
Так вот логики в применении к принципу совершенной индукции допускают то же самое, что я допускаю относительно постулата Евклида; они хотят видеть в этом принципе только скрытое определение. |
Mais pour qu'on ait ce droit, il y a deux conditions
à remplir. Stuart Mill disait que toute définition implique un
axiome, celui par lequel on affirme l'existence de l'objet défini. A
ce compte, ce ne serait plus l'axiome qui pourrait être une
définition déguisée, ce serait au contraire la
définition qui serait un axiome déguisé. Stuart Mill
entendait le mot existence dans un sens matériel et empirique ;
il voulait dire qu'en définissant le cercle, on affirme qu'il y a des
choses rondes dans la nature. |
Но они вправе это сделать лишь при двух условиях. Стюарт Милль сказал, что всякое определение заключает в себе одну аксиому, а именно ту, которая утверждает существование определяемого объекта. В таком случае не аксиома будет скрытым определением, а, напротив, определение будет скрытой аксиомой. Милль понимал слово "существование" в эмпирическом и материальном смысле слова. Он хотел сказать, что, определяя крут, утверждают тем самым, что в природе имеются круглые предметы. |
Sous cette forme, son opinion est inadmissible. Les
mathématiques sont indépendantes de l'existence des objets
matériels ; en mathématiques le mot exister ne peut avoir
qu'un sens, il signifie exempt de contradiction. Ainsi rectifiée, la
pensée de Stuart Mill devient exacte ; en définissant un
objet, on affirme que la définition n'implique pas contradiction. |
В таком виде его мнение неприемлемо. Математика не зависит от существования материальных объектов. В математике слово "существующее" имеет только один смысл и обозначает: "свободное от противоречия". При такой поправке мысль Стюарта Милля становится точной; определяя какой-нибудь объект, мы утверждаем, что определение не заключает противоречия. |
Si nous avons donc un système de postulats, et
si nous pouvons démontrer que ces postulats n'impliquent pas
contradiction, nous aurons le droit de les considérer comme
représentant la définition de l'une des notions qui y figurent.
Si nous ne pouvons pas démontrer cela, il faut que nous l'admettions
sans démonstration et cela sera alors un axiome ; de sorte que si
nous voulions chercher la définition sous le postulat, nous
retrouverions encore l'axiome sous la définition. |
Если, следовательно, мы имеем систему постулатов и если мы можем доказать, что эти постулаты не заключают противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений. Если мы этого доказать не можем, то мы допускаем понятие без доказательства. Тогда мы имеем аксиюму; и если мы искали определение в постулатах, то мы обратно находим аксиому в определении. |
Le plus souvent, pour démontrer qu'une
définition n'implique pas contradiction, on procède par
l'exemple, on cherche à former un exemple d'un objet satisfaisant
à la définition. Prenons le cas d'une définition par
postulats ; nous voulons définir une notion A, et nous disons
que, par définition, un A, c'est tout objet pour lequel certains
postulats sont vrais. Si nous pouvons démontrer directement que tous
ces postulats sont vrais d'un certain objet B, la définition sera
justifiée ; l'objet B sera un exemple d'un A. Nous serons
certains que les postulats ne sont pas contradictoires, puisqu'il y a des cas
où ils sont vrais tous à la fois. |
Чаще всего, для того чтобы доказать, что определение не заключает противоречия, прибегают к методу примеров: пытаются создать пример предмета, удовлетворяющий определению. Возьмем определение, выражаемое при помощи постулатов. Мы хотим определить понятие А и говорим, что, согласно определению, А есть всякий предмет, для которого известные постулаты истинны. Если мы можем прямо доказать, что все эти постулаты истинны дли известного предмета В, то определение будет оправдано, и предмет В будет примером понятия А. Мы будем уверены, что постулаты непротиворечивы, так как имеются случаи, в которых все они оказываются истинными. |
Mais une pareille démonstration directe par
l'exemple n'est pas toujours possible. |
Но такое прямое доказательство при помощи примера не всегда возможно. |
Pour établir que les postulats n'impliquent pas
contradiction, il faut alors envisager toutes les propositions que l'on peut
dédire de ces postulats considérés comme
prémisses et montrer que, parmi ces propositions, il n'y en a pas deux
dont l'une soit la contradictoire de l'autre. Si ces propositions sont en
nombre fini, une vérification directe est possible. Ce cas est peu
fréquent et d'ailleurs peu intéressant. |
Чтобы установить, что постулаты не содержат в себе противоречия, нужно рассмотреть все предложения, которые могут быть выведены из данных постулатов как посылок, и показать, что среди этих предложений нет двух, противоречащих друг другу. Если число этих предложений конечное, то прямая проверка возможна. Но такой случай и встречается редко, и интереса не представляет. |
Si ces propositions sont en nombre infini, on ne peut
plus faire cette vérification directe ; il faut recourir à
des procédés de démonstration où en
général on sera forcé d'invoquer ce principe d'induction
complète qu'il s'agit précisément de vérifier. |
Если же число этих предложений оказывается неограниченным, то прямая проверка уже невозможна. Тогда необходимо обратиться к таким способам доказательства, в которых вообще нельзя обойтись без принципа полной индукции, т. е. того принципа, кото-рый именно и надлежит проверить. |
Nous venons d'expliquer l'une des conditions auxquelles
les logiciens devaient satisfaire et nous verrons plus loin qu'ils ne
l'ont pas fait. |
Мы указали на одно условие, которому логики должны были удовлетворить, и мы увидим ниже, что они ему не удовлетворили. |
Il y en a une seconde. Quand nous donnons une
définition, c'est pour nous en servir. |
Есть еще другое условие. Если мы даем определение, то мы делаем это для того, чтобы им пользоваться. |
Nous retrouverons donc dans la suite du discours le mot
défini ; avons-nous le droit d'affirmer, de l'objet
représenté par ce mot, le postulat qui a servi de
définition ? Oui, évidemment, si le mot a conservé
son sens, si nous ne lui attribuons pas implicitement un sens différent.
Or c'est ce qui arrive quelquefois et il est le plus souvent difficile de
s'en apercevoir ; il faut voir comment ce mot s'est introduit dans notre
discours, et si la porte par laquelle il est entré n'implique pas en
réalité une autre définition que celle qu'on a
énoncée. |
В пределах некоторого рассуждения, например, мы неоднократно встречаемся с определяемым словом. Возникает вопрос: вправе ли мы в отношении к предмету, который мы в этом рассуждении называем нашим термином, утверждать тот постулат, который послужил для его определения? Очевидно, вправе, если термин сохранил свой смысл, если мы неявно (implicite) не приписали ему другого значения. Но иногда такое изменение смысла имеет место и при этом чаще всего остается незамеченным. Необходимо убедиться, каким путем это слово проникло в наше рассуждение, не вошло ли оно в другом определении, отличающемся от того, которое было формулировано первоначально. |
Cette difficulté se présente dans toutes
les applications des mathématiques. La notion mathématique a
reçu une définition très épurée et
très rigoureuse ; et pour le mathématicien pur toute
hésitation a disparu ; mais si on veut l'appliquer aux sciences
physiques par exemple, ce n'est plus à cette notion pure que l'on a
affaire, mais à un objet concret qui n'en est souvent qu'une image
grossière. Dire que cet objet satisfait, au moins approximativement,
à la définition, c'est énoncer une vérité
nouvelle, que l'expérience peut seule mettre hors de doute, et qui n'a
plus le caractère d'un postulat conventionnel. |
Это затруднение встречается во всех приложениях математического знания. Математическое понятие получило вполне чистое и строгое определение, которое не возбуждает никаких колебаний в чистой математике. Но, когда мы его применяем, например, к физическим наукам, тут мы уже имеем дело не с этим чистым понятием, но с конкретным предметом, который зачастую является лишь грубым образом этого понятия. Сказать, что этот предмет удовлетворяет, хотя бы приблизительно, определению, это значит высказать новую истину, которая может быть подтверждена только опытом и которая уже не имеет характера условного постулата. |
Mais, sans sortir des mathématiques pures, on
rencontre encore la même difficulté. |
Но то же затруднение встречается и в пределах чистой математики. |
Vous donnez du nombre une définition
subtile ; puis, une fois cette définition donnée, vous n'y
pensez plus ; parce qu'en réalité, ce n'est pas elle qui
vous a appris ce que c'était que le nombre, vous le saviez depuis
longtemps, et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume,
vous y attachez le même sens que le premier venu ; pour savoir
quel est ce sens et s'il est bien le même dans telle phrase ou dans
telle autre, il faut voir comment vous avez été amené
à parler de nombre et à introduire ce mot dans ces deux
phrases. Je ne m'explique pas davantage sur ce point pour le moment, car nous
aurons l'occasion d'y revenir. |
Вы даете тонкое определение числа. Но, однажды дав его, вы о нем больше не думаете, ибо в действительности не из этого определения вы узнали, что такое число, а вам это уже давно было известно; и когда в дальнейшем вы употребляете слово "число", вы приписываете ему такое же значение, какое ему дает первый встречный. Чтобы узнать, каково это значение и остается ли оно одним и тем же в той или другой фразе, необходимо проследить, что заставило вас заговорить о числе и ввести это слово в обе фразы. Я не буду больше здесь по этому поводу распространяться, так как нам еще представится случай вернуться к этому вопросу. |
Ainsi voici un mot dont nous avons donné
explicitement une définition A ; nous en faisons ensuite dans le
discours un usage qui suppose implicitement une autre définition B. Il
est possible que ces deux définitions désignent un même
objet. Mais qu'il en soit ainsi, c'est une vérité nouvelle,
qu'il faut, ou bien démontrer, ou bien admettre comme un axiome
indépendant. |
Итак, вот слово, которому мы явно (explicite) дали некоторое определение A; затем мы пользовались им в рассуждении таким образом, что неявно (implicite) внесли другое его определение В. Возможно, что оба определения обозначают одно и то же. Но самая эта возможность есть уже новая истина, которую нужно либо доказать, либо допустить как независимую аксиому. |
Nous verrons plus loin que les logiciens
n'ont pas mieux rempli la seconde condition que la première. |
Мы увидим ниже, что логики столь же мало удовлетворили второму условию, сколько первому. |
Les définitions du nombre sont très
nombreuses et très diverses ; je renonce à
énumérer même les noms de leurs auteurs. Nous ne devons
pas nous étonner qu'il y en ait tant. Si l'une d'elles était
satisfaisante, on n'en donnerait plus de nouvelle. Si chaque nouveau
philosophe qui s'est occupé de cette question a cru devoir en inventer
une autre, c'est qu'il n'était pas satisfait de celles de ses
devanciers, et s'il n'en était pas satisfait, c'est qu'il croyait y
apercevoir une pétition de principe. |
Определения числа чрезвычайно многочисленны и разнообразны; я отказываюсь даже перечислить имена авторов, давших эти определения. В этом нет ничего удивительного. Если бы одно из них было удовлетворительно, не было бы нужды в прочих. Если всякий новый философ, занимавшийся этим вопросом, считал необходимым изобрести другое определение, то это потому, что определения предшественников его не удовлетворяли, а не удовлетворяли они его потому, что он усматривал в них petitio principii (3). |
J'ai toujours éprouvé, en lisant les
écrits consacrés à ce problème, un profond
sentiment de malaise ; je m'attendais toujours à me heurter
à une pétition de principe et, quand je ne l'apercevais pas
tout de suite, j'avais la crainte d'avoir mal regardé. |
Когда я читал труды, посвященные этой проблеме, я всегда испытывал чувство беспокойства; я ожидал, что натолкнусь на petitio principii, и если не встречал этой логической ошибки с самого начала, то всегда опасался, что просмотрел ее. |
C'est qu'il est impossible de donner une
définition sans énoncer une phrase, et difficile
d'énoncer une phrase sans y mettre un nom de nombre, ou au moins le
mot plusieurs, ou au moins un mot au pluriel. Et alors la pente est glissante
et à chaque instant on risque de tomber dans la pétition de
principe. |
И это потому, что невозможно дать определение, не выражая его при помощи фразы; с другой стороны, трудно сказать фразу, не вводя в нее слова "число", или слова "несколько", или, наконец, какого-либо слова во множественном числе. И вот уже готова наклонная,плоскость; в каждое мгновение мы рискуем впасть в реtitio principii. |
Je ne m'attacherai dans la suite qu'à celles de
ces définitions où la pétition de principe est le plus
habilement dissimulée. |
В дальнейшем я остановлюсь только на тех определениях, в которых petitio principii наиболее искусно скрыто. |
Le langage symbolique créé par M. Peano
joue un très grand rôle dans ces nouvelles recherches. Il est
susceptible de rendre de grands services, mais il me semble que M. Couturat y
attache une importance exagérée et qui a dû
étonner M. Peano lui-même. |
Символический язык, который создал Пеано, играет большую роль в новых исследованиях. Этот язык может оказать некоторые услуги, но мне кажется, что Кутюра приписывает ему такое преувеличенное значение, которое удивило бы и самого Пеано. |
L'élément essentiel de ce langage, ce
sont certains signes algébriques qui représentent les
différentes conjonctions : si, et, ou, donc. Que ces signes
soient commodes, c'est possible ; mais qu'ils soient destinés
à renouveler toute la philosophie, c'est une autre affaire. Il est
difficile d'admettre que le mot si acquiert, quand on l'écrit , une
vertu qu'il n'avait pas quand on l'écrivait si. |
Существенным элементом в этом языке являются определенные алгебраические знаки, представляющие собой различные союзы; "если", "и", "или", "следовательно". Возможно, что эти знаки и удобны, но призваны ли они обновить всю философию - это совершенно другой вопрос. Трудно допустить, чтобы слово "если", изображенное при помощи знака Й , приобрело особенное свойство, которого оно не имело раньше. |
Cette invention de M. Peano s'est appelée
d'abord la pasigraphie, c'est-à-dire l'art d'écrire un
traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue
usuelle. Ce nom en définissait très exactement la
portée. Depuis on l'a élevée à une dignité
plus éminente, en lui conférant le titre de logistique.
Ce mot est, paraît-il, employé à l'École de Guerre
pour désigner l'art du maréchal des logis, l'art de faire
marcher et de cantonner les troupes ; mais ici aucune confusion n'est
à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le
dessein de révolutionner la logique. |
Это изобретение Пеано названо было сначала пасиграфией, т. е. искусством писать математические трактаты, не употребляя ни одного слова из житейского словаря. Это название очень точно определяет и меру важности самого искусства. Но позже изобретению Пеано было предписано более высокое достоинство, и ему дали название логистики. Последнее слово, кажется, употребляется в военных школах для обозначения искусства квартирмейстера, искусства передвижения и распределения войск; но здесь нет никакого основания опасаться смешения понятий, и сразу видно, что новое слово выражает намерение революционизировать логику. |
Nous pouvons voir la nouvelle méthode à
l'œuvre dans un mémoire mathématique de M. Burali-Forti,
intitulé : Una Questione sui numeri transfiniti, et
inséré dans le tome XI des Rendiconti del circolo matematico
di Palermo. |
Применение нового метода можно видеть в математическом мемуаре Бурали-Форти, озаглавленном: "Вопрос о трансфинитных числах" и помещенном в XI томе "Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo". |
Je commence par dire que ce mémoire est
très intéressant, et si je le prends ici pour exemple, c'est
précisément parce qu'il est le plus important de tous ceux qui
sont écrits dans le nouveau langage. D'ailleurs les profanes peuvent
le lire grâce à une traduction interlinéaire italienne. |
Я должен прежде всего сказать, что этот мсмуар чрезвычайно интересен, и потому именно беру его в качестве примера, что он является важнейшим из всех трудов, написанных на новом языке. К тому же и люди непосвященные легко могут его читать благодаря имеющемуся в нем междустрочному итальянскому переводу. |
Ce qui fait l'importance de ce mémoire, c'est
qu'il a donné le premier exemple de ces antinomies que l'on rencontre
dans l'étude des nombres transfinis et qui font depuis quelques
années le désespoir des mathématiciens. Le but de cette
note, dit M. Burali-Forti, c'est de montrer qu'il peut y avoir deux nombres
transfinis (ordinaux), a et b, tel que a ne soit ni
égal à b, ni plus grand, ni plus petit. |
Важность этого мемуара заключается в том, что в нем дан первый пример тех антиномий, которые встречаются в изучении трансфинитных чисел и которые на протяжении нескольких лет приводили в отчаяние математиков. Цель настоящего мемуара, говорит Бурали-Форти, это показать, что могут быть два трансфинитных числа (порядковых) a и b, причем a не будет ни равно, ни больше, ни меньше b. |
Que le lecteur se rassure, pour comprendre les
considérations qui vont suivre, il n'a pas besoin de savoir ce que
c'est qu'un nombre ordinal transfini. |
Пусть читатель будет спокоен; чтобы понять рассуждение, которое последует, ему нет необходимости знать, что такое порядковое трансфинитное число. |
Or Cantor avait précisément
démontré qu'entre deux nombres transfinis, il ne peut y avoir
d'autre relation que l'égalité, ou l'inégalité
dans un sens ou dans l'autre. Mais ce n'est pas du fond de ce mémoire
que je veux parler ici ; cela m'entraînerait beaucoup trop loin de
mon sujet ; je veux seulement m'occuper de la forme, et
précisément je me demande si cette forme lui fait beaucoup
gagner en rigueur et si elle compense par là les efforts qu'elle
impose à l'écrivain et au lecteur. |
Между тем Кантор точно показал, что между двумя трансфинитными числами, как и между двумя конечными числами, не может быть другого отношения, кроме равенства либо неравенства в ту или другую сторону. Но не о сути этого мемуара хочу я здесь говорить, это увлекло бы меня далеко от моего предмета. Я хочу лишь заняться формой и задаюсь вопросом, много ли выиграл автор в строгости положений, применяя эту форму, и вознаграждает ли она за те усилия, которые писатель и читатель должны употребить. |
Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le
nombre 1 de la manière suivante : |
Мы видим, что Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом: |
|
1 = iT '{KoЗ(u, h )e(ueUn)} |
définition éminemment propre à
donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais
entendu parler. |
Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали! |
J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer
une critique, mais je crains bien que cette définition ne contienne
une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre
dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second. |
Я слишком мало понимаю приверженцев Пеано, чтобы рискнуть его критиковать; но я опасаюсь, что это определение заключает petitio principii, так как я вижу цифру 1 в первой части и изображенное буквами слово "один" (Un) во второй части равенства. |
Quoi qu'il en soit, M. Burali-Forti part de cette
définition et, après un court calcul, il arrive à
l'équation : |
Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после коротких вычислений приходит к уравнению (27) |
|
1eNO |
qui nous apprend que Un est un nombre. |
которое дает нам понять, что "один" есть число. |
Et puisque nous en sommes à ces
définitions des premiers nombres, rappelons que M. Couturat a
défini également 0 et 1. |
Так как нам теперь приходится иметь дело с определениями простых чисел, то мы напомним, что Кутюра также определил 0 и 1. |
Qu'est-ce que zéro ? c'est le nombre des
éléments de la classe nulle ; et qu'est-ce que la classe
nulle ? c'est celle qui ne contient aucun élément. |
Что такое нуль? Это число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента. |
Définir zéro par nul, et nul par aucun,
c'est vraiment abuser de la richesse de la langue française ;
aussi M. Couturat a-t-il introduit un perfectionnement dans sa
définition, en écrivant : |
Определять нуль при помощи нулевого класса, а нулевой класс при помощи термина "никакой" - это значит поистине злоупотреблять богатством языка; поэтому Кутюра ввел усовершенствование в свое определение, написав: |
|
1 = iL:jx = L. Й . L = (xe jx), |
ce qui veut dire en français : zéro
est le nombre des objets qui satisfont à une condition qui n'est
jamais remplie. |
что обозначает: нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется. |
Mais comme jamais signifie en aucun cas je ne vois pas
que le progrès soit considérable. |
Но так как "никогда" обозначает "ни в одном случае", то я не вижу значительного успеха в этой замене. |
Je me hâte d'ajouter que la définition que
M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante. |
Спешу прибавить, что определение, которое Кутюра дает числу 1, более удовлетворительно. |
Un, dit-il en substance, est le nombre des
éléments d'une classe dont deux éléments
quelconques sont identiques. |
"Один, - говорит он, - в сущности, есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны". |
Elle est plus satisfaisante, ai-je dit, en ce sens que
pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se
sert du mot deux. Mais j'ai peur que si on demandait à M. Couturat ce
que c'est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un. |
Это определение более удовлетворительно, как я сказал, в том смысле, что для определения понятия 1 автор не пользуется словом "один". Но зато он пользуется словом "два". И я боюсь, что если спросить у Кутюра, что такое "два", то он должен будет в ответе воспользоваться словом "один". |
Mais revenons au mémoire de M.
Burali-Forti ; j'ai dit que ses conclusions sont en opposition directe
avec celles de Cantor. Or un jour, je reçus la visite de M. Hadamard
et la conversation tomba sur cette antinomie. |
Вернемся к мемуару Бурали-Форти. Я сказал, что его заключения прямо противоположны выводам Кантора. Но однажды меня посетил Адамар. Разговор коснулся этой антиномии. |
" Le raisonnement de Burali-Forti, lui
disais-je, ne vous semble-t-il pas irréprochable ? |
- Не кажется ли вам, - сказал я, - что рассуждение Бурали-Форти безупречно? |
- Non, et au contraire je ne trouve rien à
objecter à celui de Cantor. D'ailleurs Burali-Forti n'avait pas le
droit de parler de l'ensemble de tous les nombres ordinaux. |
Нет, напротив, я не вижу в нем никаких возражений Кантору. Кроме того, Бурали-Форти не имел права говорить о совокупности всех порядковых чисел. |
- Pardon, il avait ce droit, puisqu'il pouvait toujours
poser |
Простите, он имел это право, потому что всегда мог написать; |
|
W = T '(No,e>). |
Je voudrais bien savoir qui aurait pu l'en
empêcher, et peut-on dire qu'un objet n'existe pas, quand on l'a
appelé Ω ? " |
- Я хотел бы знать, кто бы мог ему в этом воспрепятствовать, и можно ли сказать, что предмет не существует, если его назвали W? |
Ce fut en vain, je ne pus le convaincre (ce qui
d'ailleurs eût été fâcheux, puisqu'il avait
raison). Était-ce seulement parce que je ne parlais pas le
péanien avec assez d'éloquence ? peut-être ;
mais entre nous je ne le crois pas. |
Мои старания были тщетны, убедить Адамара я не мог (противоположное было бы, впрочем, очень прискорбно, так как он был прав). Потому ли это было, что я не говорил достаточно красноречиво на языке Пеано? Возможно; но, между нами говоря, я этого не думаю. |
Ainsi, malgré tout cet appareil pasigraphique,
la question n'était pas résolue. Qu'est-ce que cela
prouve ? Tant qu'il s'agit seulement de démontrer que un est un
nombre, la pasigraphie suffit, mais si une difficulté se
présente, s'il y a une antinomie à résoudre, la
pasigraphie devient impuissante. |
Таким образом, несмотря на весь этот пасиграфический аппарат, вопрос не был разрешен. Что это доказывает? Когда вопрос идет только о том, чтобы доказать, что один есть число, пасиграфия достаточна; но если представляется затруднение, если возникает антиномия, требующая разрешения, то пасиграфия становится бессильной. |
Pour justifier ses prétentions, la logique a
dû se transformer. On a vu naître des logiques nouvelles dont la
plus intéressante est celle de M. Russell. Il semble qu'il n'y ait
rien à écrire de nouveau sur la logique formelle et qu'Aristote
en ait vu le fond. Mais le champ que M. Russell attribue à la logique
est infiniment plus étendu que celui de la logique classique et il a
trouvé moyen d'émettre sur ce sujet des vues originales et
parfois justes. |
Чтобы оправдать свои притязания, логика должна была преобразоваться. Народились новые логики, среди которых наиболее интересной является логика Рассела. Казалось бы, что в области формальной логики ничего нового нельзя сказать и что Аристотель давно узрел ее основы. Но поле действия, которое Рассел отводит логике, бесконечно шире, чем поле классической логики, и Рассел сумел высказать в этом отношении оригинальные и часто правильные взгляды. |
D'abord, tandis que la logique d'Aristote était
avant tout la logique des classes et prenait pour point de départ la
relation de sujet à prédicat, M. Russell subordonne la logique
des classes à celle des propositions. Le syllogisme classique
" Socrate est un homme ", etc., fait place au syllogisme
hypothétique : Si A est vrai, B est vrai, or si B est vrai C est
vrai, etc. Et c'est là, à mon sens, une idée des plus
heureuses, car le syllogisme classique est facile à ramener au
syllogisme hypothétique, tandis que la transformation inverse ne se
fait pas sans difficulté. |
Между тем как логика Аристотеля была преимущественно логикой классов и за исходную точку брала отношение субъекта к предикату, Рассел прежде всего подчиняет логику классов логике предложений. Классический силлогизм "Сократ - человек и т. д." уступает место гипотетическому силлогизму: если A истинно, то В истинно, но если В истинно, то С истинно и т. д.; и эта идея, на мой взгляд, одна из наиболее счастливых, ибо классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное превращение представляет затруднение. |
Et puis ce n'est pas tout : la logique des
propositions de M. Russell est l'étude des lois suivant lesquelles se
combinent les conjonctions si, et, ou, et la
négation ne pas. C'est une extension considérable de
l'ancienne logique. Les propriétés du syllogisme classique
s'étendent sans peine au syllogisme hypothétique et, dans les
formes de ce dernier, on reconnaît aisément les formes
scolastiques; on retrouve ce qu'il y a d'essentiel dans la logique classique.
Mais la théorie du syllogisme n'est encore que la syntaxe de la
conjonction si et peut-être de la négation. |
Но это не все: логика предложений Рассела есть этюд о законах, по которым комбинируются союзы "если", "и", "или" и отрицание "не". Это значительное расширение старой логики. Свой-тва классического силлогизма без труда распространяются на гипотетический силлогизм, и в формах последнего легко узнаются схоластические формы. Мы находим здесь то, что является существенным в классической логике. Но теория силлогизма есть еще не что иное, как синтаксис союза "если" и, быть может, отрицания. |
En y adjoignant deux autres conjonctions et et ou,
M. Russell ouvre à la logique un domaine nouveau. Les signes et,
ou suivent les mêmes lois que les deux signes x et +,
c'est-à-dire les lois commutative, associative et distributive. Ainsi et
représente la multiplication logique, tandis que ou
représente l'addition logique. Cela aussi est très
intéressant. |
Присоединяя два других союза - "и" и "или", - Рассел открывает логике новую область. Знаки "и", "или" подчиняются тем же законам, что и знаки * и +, т. е. переместительному, сочетательному и распределительному законам. Таким образом, "и" представляет логическое умножение, тогда как "или" представляет логическое сложение. Это также весьма интересно. |
M. B. Russell arrive à cette conclusion qu'une
proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies
ou fausses. M. Couturat dit que cette conclusion semblera paradoxale au
premier abord. Il suffit cependant d'avoir corrigé une mauvaise
thèse de mathématique, pour reconnaître combien M.
Russell a vu juste. Le candidat se donne souvent beaucoup de mal pour trouver
la première équation fausse ; mais dès qu'il l'a
obtenue, ce n'est plus qu'un jeu pour lui d'accumuler les résultats
les plus surprenants, dont quelques-uns même peuvent être exacts. |
Рассел приходит к выводу, что какое-нибудь ложное предложение заключает в себе и все прочие истинные или ложные предложения. Кутюра говорит, что этот вывод покажется на первый взгляд парадоксальным. Но кто исправлял плохую кандидатскую математическую работу, тот мог заметить, насколько правильно смотрит на дело Рассел. Кандидат часто много трудится для того, чтобы найти первое ложное уравнение; но лишь только он его получил, для него уже не представляет никакого труда сделать из него самые неожиданные выводы, из которых иные могут оказаться и точными. |
On voit combien la nouvelle logique est plus riche que
la logique classique ; les symboles se sont multipliés et
permettent des combinaisons variées qui ne sont plus en nombre
limité. A-t-on le droit de donner cette extension au sens du mot logique ?
Il serait oiseux d'examiner cette question, et de chercher à M.
Russell une simple querelle de mots. Accordons-lui ce qu'il demande ;
mais ne nous étonnons pas si certaines vérités, que l'on
avait déclarées irréductibles à la logique, au
sens ancien du mot, se trouvent être devenues réductibles
à la logique, au sens nouveau, qui est tout différent. |
Отсюда ясно, насколько новая логика богаче классической логики. Символы разрослись и сочетаются в разнообразные комбинации, число которых уже неограничено. Вправе ли мы так сильно расширять смысл слова "логика". Разбирать этот вопрос и вступать с Расселом в спор о слове - занятие бесцельное. Признаем то, чего требует Рассел, но не будем удивляться, если окажется, что некоторые истины, которые мы считали несводимыми к логике в старом смысле этого слова, теперь сводятся к новой логике, которая совершенно отличается от прежней. |
Nous avons introduit un grand nombre de notions
nouvelles ; et ce n'étaient pas de simples combinaisons des
anciennes ; M. Russell ne s'y est d'ailleurs pas trompé, et non
seulement au début du premier chapitre, c'est-à-dire de la
logique des propositions, mais au début du second et du
troisième, c'est-à-dire de la logique des classes et des
relations, il introduit des mots nouveaux qu'il déclare
indéfinissables. |
Мы ввели большое число новых понятий, и эти понятия не были простыми комбинациями старых. Рассел на этот счет не обманывался; не только в начале первой главы, т. е. логики предложений, но в начале второй и третьей глав, т, е. логики классов и отношений, он вводит новые слова, которые принимает как определению не подлежащие. |
Et ce n'est pas tout, il introduit également des
principes qu'il déclare indémontrables. Mais ces principes
indémontrables, ce sont des appels à l'intuition, des jugements
synthétiques a priori. Nous les regardions comme intuitifs
quand nous les rencontrions, plus ou moins explicitement
énoncés, dans les traités de mathématiques ;
ont-ils changé de caractère parce que le sens du mot logique
s'est élargi et que nous les trouvons maintenant dans un livre
intitulé Traité de logique ? Ils n'ont pas changé
de nature ; ils ont seulement changé de place. |
Но это не все, он вводит также принципы, которые признает недоказуемыми. Но эти недоказуемые принципы являются обращениями к интуиции, являются априорными синтетическими суждениями. Мы принимали их за интуитивные, когда встречали их в более или менее явной форме в математических трактатах. Но изменился ли их характер от того, что смысл слова "логика" расширился и что мы находим их теперь в книге, носящей заголовок "Трактат по логике"? Они не изменили своей природы, они изменили лишь свое место. |
Ces principes pourraient-ils être
considérés comme des définitions
déguisées ? |
Можно ли рассматривать эти принципы как скрытые определения? |
Pour cela il faudrait que l'on eût le moyen de
démontrer qu'ils n'impliquent pas contradiction. Il faudrait
établir que, quelque loin qu'on poursuive la série des
déductions, on ne sera jamais exposé à se contredire. |
Чтобы дать положительный ответ на этот вопрос, нужно было бы быть в состоянии доказать, что они не заключают в себе противоречия. Нужно установить, что, как бы далеко мы ни проводили ряд дедукций, мы никогда не впадем в противоречие с собой. |
On pourrait essayer de raisonner comme il suit :
Nous pouvons vérifier que les opérations de la nouvelle
logiques appliquées à des prémisses exemptes de
contradiction ne peuvent donner que des conséquences également
exemptes de contradiction. Si donc après n opérations,
nous n'avons pas rencontré de contradictions, nous n'en rencontrerons pas
non plus après la n + 1ème. Il est
donc impossible qu'il y ait un moment où la contradiction commence,
ce qui montre que nous n'en rencontrerons jamais. Avons-nous le droit de
raisonner ainsi ? Non, car ce serait faire de l'induction
complète ; et, le principe d'induction complète,
rappelons-le bien, nous ne le connaissons pas encore. |
Можно было бы попытаться рассуждать таким образом. Мы можем проверить, что операции новой логики, будучи приложены к посылкам, не заключающим противоречия, приводят только к следствиям, также свободным от противоречия. Если, следовательно, после n операций мы не пришли к противоречию, то мы не придем к противоречию после n + 1 операций. Невозможно, следовательно, наступление такого момента, когда противоречие началось бы, а это доказывает, что мы никогда не можем к нему прийти. Вправе ли мы так рассуждать? Нет, ибо это значило бы прибегнуть к полной индукции; принцип же полной индукции, будем это помнить, еще нам неизвестен. |
Nous n'avons donc pas le droit de regarder ces axiomes
comme des définitions déguisées et il ne nous reste
qu'une ressource, il faut pour chacun d'eux admettre un nouvel acte
d'intuition. C'est bien d'ailleurs, à ce que je crois, la
pensée de M. Russell et de M. Couturat. |
Мы не вправе, следовательно, рассматривать эти аксиомы как скрытые определения, и нам остается только один исход: допустить для каждой из них новый акт интуиции. И такова именно, я думаю, мысль Рассела и Кутюра. |
Ainsi, chacune des neuf notions indéfinissables
et des vingt propositions indémontrables (je crois bien que si
c'était moi qui avais compté, j'en aurais trouvé
quelques-unes de plus) qui font le fondement de la logique nouvelle, de la
logique au sens large, suppose un acte nouveau et indépendant de notre
intuition et, pourquoi ne pas le dire, un véritable jugement
synthétique a priori. Sur ce point tout le monde semble
d'accord, mais ce que M. Russell prétend, et ce qui me paraît
douteux, c'est qu'après ces appels à l'intuition, ce
sera fini ; on n'aura plus à en faire d'autres et on
pourra constituer la mathématique tout entière sans faire
intervenir aucun élément nouveau. |
Таким образом, каждое из девяти неопределяемых понятий и каждое из двадцати недоказуемых предложений (я думаю, что если бы я считал, то насчитал бы их несколько больше), которые составляют основу новой логики, логики в широком смысле слова, предполагают акт новый, независимый от нашей интуиции, предполагают - почему этого не сказать? - настоящее синтети ческое априорное суждение. В этом вопросе все, кажется, согласны. Но Рассел утверждает, что этими обращениями к интуиции дело и закончится, что в других обращениях не будет более нужды и можно будет построить всю математику, не вводя никакого нового элемента. Это мне и кажется сомнительным. |
M. Couturat répète souvent que cette
logique nouvelle est tout à fait indépendante de l'idée
de nombre. Je ne m'amuserai pas à compter combien son exposé
contient d'adjectifs numéraux, tant cardinaux qu'ordinaux, ou
d'adjectifs indéfinis, tels que plusieurs. Citons cependant quelques
exemples : |
Кутюра часто повторяет, что эта новая логика совершенно не зависит от идеи о числе. Я не стану подсчитывать, как часто в его изложении встречаются числительные, как количественные, так и порядковые, или неопределенные прилагательные, как, например, "несколько". Процитируем, однако, некоторые примеры: |
" Le produit logique de deux ou plusieurs
propositions est " ; |
"Логическое произведение двух или нескольких предложений есть...". |
" Toutes les propositions sont susceptibles
de deux valeurs seulement, le vrai et le faux " ; |
"Все предложения допускают только двоякую оценку: как истинные или как ложные". |
" Le produit relatif de deux relations
est une relation " ; |
"Относительное произведение двух отношений есть отношение". |
" Une relation a lieu entre deux
termes, " etc., etc. |
"Отношение имеет место между двумя терминами" и т. д. |
Quelquefois cet inconvénient ne serait pas
impossible à éviter, mais quelquefois aussi il est essentiel.
Une relation est incompréhensible sans deux termes ; il est
impossible d'avoir l'intuition de la relation, sans avoir en même temps
celle de ses deux termes, et sans remarquer qu'ils sont deux, car pour que la
relation soit concevable, il faut qu'ils soient deux et deux seulement. |
В некоторых случаях можно было бы избежать неудобства такого выражения, но иногда оно требуется существом дела. Отношение не может быть понято без двух терминов; нельзя иметь интуиции отношения, не имея в то же время интуиции двух его терминов; мало того, мы должны усмотреть, что есть два термина, ибо для того, чтобы можно было постигнуть отношение, необходимо, чтобы этих терминов было два и только два. |
J'arrive à ce que M. Couturat appelle la
théorie ordinale et qui est le fondement de l'arithmétique
proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de
Peano, qui sont indépendants, comme l'ont démontré MM.
Peano et Padoa. |
Я подхожу к тому, что Кутюра называет теорией расположения (или порядка) и что является основанием арифметики в собственном смысле этого слова. Кутюра начинает с формулировки пяти аксиом Пеано, независимость которых доказали Пеано и Падоа. |
1. Zéro est un nombre entier. |
1. Нуль есть целое число. |
2. Zéro n'est le suivant d'aucun nombre entier. |
2. Нуль не следует ни за каким целым числом. |
3. Le suivant d'un entier est un entier auquel il
conviendrait d'ajouter tout entier a un suivant. |
3. Следующее за целым числом есть целое число; к этому следовало бы прибавить: всякое целое число имеет следующее за ним число. |
4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs
suivants le sont. |
4. Два целых числа равны, если равны следующие за ними числа. |
Le 5e axiome est le principe d'induction
complète. |
Пятая аксиома есть принцип полной индукции. |
M. Couturat considère ces axiomes comme des
définitions déguisées ; ils constituent la
définition par postulats de zéro, du
" suivant ", et du nombre entier. |
Кутюра смотрит на эти аксиомы как на скрытые определения; они содержат выраженные при помощи постулатов определения нуля, целого числа и "следующего числа". |
Mais nous avons vu que pour qu'une définition
par postulats puisse être acceptée, il faut que l'on puisse
établir qu'elle n'implique pas contradiction. |
Но, как мы видели, для того чтобы основанное на постулах определение могло быть принято, необходимо установить, что оно не заключает противоречия. |
Est-ce le cas ici ? Pas le moins du monde. |
Имеем ли мы дело здесь с таким именно случаем? Нисколько. |
La démonstration ne peut se faire par
l'exemple. On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple
les trois premiers, et démontrer qu'ils satisfont à la
définition. |
Доказательства этого нельзя дать с помощью примера. Нельзя выбрать часть всех целых чисел, например первые три числа, и доказать, что они удовлетворяют определению. |
Si je prends la série 0, 1, 2, je vois bien
qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4 et 5 ; mais, pour qu'elle
satisfasse à l'axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et par
conséquent que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux
axiomes ; on vérifierait qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4,
5, mais l'axiome 3 exige en outre que soit un entier et que la série
0, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite. |
Если я возьму ряд 0,1,2, то увижу, что он удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5. Но, для того чтобы он удовлетворял третьей аксиоме, необходимо еще, чтобы 3 было целым числом, следовательно, чтобы ряд 0, 1, 2, 3 удовлетворял всем аксиомам. При проверке окажется, что ряд 0,1, 2, 3 удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5, но третья аксиома требует, сверх того, чтобы 4 было целым числом и чтобы ряд 0, 1, 2, 3, 4 удовлетворял всем аксиомам, и т. д. |
Il est donc impossible de démontrer les axiomes
pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut
renoncer à la démonstration par l'exemple. |
Нет, следовательно, возможности доказать аксиомы для нескольких целых чисел, не доказывая их для всех. Приходится отказаться от доказательства путем примера. |
Il faut alors prendre toutes les conséquences de
nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces
conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ;
mais elles sont en nombre infini, c'est toutes les mathématiques, ou
au moins toute l'arithmétique. |
Остается собрать все выводы из наших аксиом и рассмотреть, не заключают ли они в себе противоречия. Если бы число этих выводов было конечное, то это было бы легко сделать; но число выводов бесконечно велико, они охватывают всю математику или по крайней мере всю арифметику. |
Alors que faire ? Peut-être à la
rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n№ 3. |
Что же делать? Быть может, повторить рассуждение, указанное в разделе III. |
Mais, nous l'avons dit, ce raisonnement, c'est de
l'induction complète, et c'est précisément le
principe d'induction complète qu'il s'agirait de justifier. |
Но мы уже сказали, что это рассуждение основано на полной индукции, а между тем дело идет именно о том, чтобы оправдать принцип полной индукции. |
J'arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert
qu'il a communiqué au Congrès des Mathématiciens
à Heidelberg, et dont une traduction française due à M.
Pierre Boutroux a paru dans l'Enseignement Mathématique,
pendant qu'une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans The
Monist. Dans ce travail, où l'on trouvera les pensées les
plus profondes, l'auteur poursuit un but analogue à celui de M.
Russell, mais sur bien des points il s'écarte de son devancier. |
Я перехожу теперь к тому капитальному труду Гильберта, о котором последний сделал сообщение на Математическом конгрессе в Гейдельберге. Французский перевод этого труда, сделанный Пьером Бутру, появился в "Математическом образовании"; английский перевод, сделанный Халстедом, появился в "The Monist". В этом труде, изобилующем самыми глубокими мыслями, автор преследует такую же цель, как и Рассел, но во многих случаях отклоняется от своего предшественника. |
|
"Если мы присмотримся ближе, - говорит он, - то мы заметим, что логические принципы, в той форме, в какой их обыкновенно представляют, уже включают в себя известные арифметические понятия, как, например, понятие совокупности, а, в некоторой мере, и понятие о числе. Таким образом, мы находимся как бы в заколдованном круге, и вот почему, во избежание всякого парадокса, мне кажется необходимым развивать одновременно логику и принципы арифметики". |
Nous avons vu plus haut, que ce que dit M. Hilbert des
principes de la Logique tels qu'on a coutume de les présenter,
s'applique également à la logique de M. Russell. Ainsi, pour M.
Russell, la logique est antérieure à
l'Arithmétique ; pour M. Hilbert, elles sont " simultanées ".
Nous trouverons plus loin d'autres différences plus profondes encore.
Mais nous les signalerons à mesure qu'elles se
présenteront ; je préfère suivre pas à pas
le développement de la pensée de Hilbert, en citant
textuellement les passages les plus importants. |
Как мы видели выше, то, что Гильберт говорит о принципах логики в той форме, в какой их себе обыкновенно представляют, одинаково приложимо и к логике Рассела. Для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они "одновременны". Мы встретимся ниже с другими, более глубокими различиями, но мы будем их отмечать по мере того, как они перед нами предстанут; я предпочитаю следить шаг за шагом за развитием мысли Гильберта и цитировать текстуально наиболее важные места его работы. |
" Prenons tout d'abord en
considération l'objet 1. " Remarquons qu'en agissant ainsi
nous n'impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que
1 n'est ici qu'un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement
d'en connaître la signification. " Les groupes formés
avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois
répété... " Ah, cette fois-ci, il n'en est plus
de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout
plusieurs, nous introduisons la notion de nombre ; et alors la
définition du nombre entier fini que nous trouverons tout à
l'heure, arrivera bien tard. L'auteur était beaucoup trop avisé
pour ne pas s'apercevoir de cette pétition de principe. Aussi,
à la fin de son travail, cherche-t-il à procéder
à un vrai replâtrage. |
"Рассмотрим прежде всего предмет 1". Заметим, что в это рассмотрение мы отнюдь не включаем понятия о числе, ибо само собой разумеется, что 1 в данном случае является только символом и что мы не стремимся узнать его значение. "Группы, образованные этим предметом, повторенным два, три или несколько раз..." Ну, здесь уже дело меняется; если мы вводим слова "два", "три", и, в особенности, "несколько", мы вводим понятие числа, а в таком случае понятие конечного целого числа, к которому нас приведет это рассуждение, окажется запоздалым. Автор был слишком предусмотрителен, чтобы не заметить этого petitio principii. В конце своего труда он пытается загладить погрешность. |
Hilbert introduit ensuite deux objets simples 1 et = et
envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons
de leurs combinaisons, etc. Il va sans dire qu'il faut oublier la
signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune.
Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des
êtres et celle des non-êtres et jusqu'à nouvel ordre cette
répartition est entièrement arbitraire ; toute proposition
affirmative nous apprend qu'une combinaison appartient à la classe des
êtres ; toute proposition négative nous apprend qu'une
certaine combinaison appartient a celle des non-êtres. |
Гильберт вводит затем два простых предмета 1 и =, рассматривает все комбинации из этих двух предметов, затем комбинации этих комбинаций и т. д. Само собой разумеется, что при этом нужно забыть обычное значение этих двух знаков, не нужно приписывать им никакого значения. Затем Гильберт распределяет эти комбинации в два класса, в класс "сущего" и в класс "не сущего", и впредь до следующего соглашения это распределение совершенно произвольно. Всякое утвердительное предложение показывает нам, что комбинация принадлежит классу сущего; всякое отрицательное предложение показывает, что известная комбинация относится к классу не сущего. |
Signalons maintenant une différence de la plus
haute importance. Pour M. Russell un objet quelconque qu'il désigna
par x c'est un objet absolument indéterminé ; pour
Hilbert c'est l'une des combinaisons formées avec 1 et = ; il ne
saurait concevoir qu'on introduise autre chose que des combinaisons des
objets déjà définis. Hilbert formule d'ailleurs sa
pensée de la façon la plus nette ; et je crois devoir
reproduire in extenso son énoncé. " Les
indéterminées qui figurent dans les axiomes (en place du
quelconque ou du tous de la logique ordinaire) représentent
exclusivement l'ensemble des objets et des combinaisons qui nous sont
déjà acquis en l'état actuel de la théorie, ou
que nous sommes en train d'introduire. Lors donc qu'on déduira des
propositions des axiomes considérés, ce sont ces objets et ces
combinaisons seules que l'on sera en droit de substituer aux
indéterminées. Il ne faudra pas non plus oublier que, lorsque
nous augmentons le nombre des objets fondamentaux, les axiomes
acquièrent du même coup une extension nouvelle et doivent, par
suite, être de nouveau mis à l'épreuve et au besoin
modifiés. " |
Отметим теперь некоторое различие, имеющее важное значение. Для Рассела какой- нибудь предмет, который он обозначает через x, есть предмет абсолютно неопределенный, относительно которого он не делает никаких предположений; для Гильберта этот предмет есть одна из комбинаций, составленных из символов 1 и = не нужно представлять, будто здесь вводится что-либо новое помимо комбинации уже определенных предметов. Гильберт, впрочем, формулирует свою мысль самым точным образом, и я считаю необходимым воспроизвести его слова полностью: "Неопределен- ные, которые фигурируют в аксиомах (вместо понятий "нечто" и "все" обыкновенной логики), представляют собой исключительно совокупность предметов и комбинаций, которыми мы уже владеем при данном состоянии теории или которые мы начинаем вводить. Как только мы из рассматриваемых аксиом начнем выводить предложения, мы получим право заменять упомянутые предметы только этими предметами и этими комбинациями. Но если мы увеличиваем число основных предметов, то не нужно забывать, что тем самым аксиомы также испытывают новое расширение, и они, следовательно, должны быть снова проверены и, в случае нужды, изменены". |
Le contraste est complet avec la manière de voir
de M. Russell. Pour ce dernier philosophe, nous pouvons substituer à
la place de x non seulement des objets déjà connus, mais
n'importe quoi. Russell est fidèle à son point de vue, qui est
celui de la compréhension. Il part de l'idée
générale d'être et l'enrichit de plus en plus tout en la
restreignant, en y ajoutant des qualités nouvelles. Hilbert ne
reconnaît au contraire comme êtres possibles que des combinaisons
d'objets déjà connus ; de sorte que (en ne regardant qu'un
des côtés de sa pensée) on pourrait dire qu'il se place
au point de vue de l'extension. |
Здесь мы имеем полный контраст с точкой зрения Рассела. В той постановке, в какой вопрос ставится у этого философа, мы можем на место х ставить не только известные нам, но и какие угодно предметы. Рассел остается верным своей точке зрения, именно точке зрения понятия. Он исходит из общей идеи существующего и обогащает ее, придавая ей новые качества. Напротив, Гильберт считает существенными одни только комбинации известных уже предметов, так что (имея в виду лишь одну сторону его идеи) можно сказать, что Гильберт стоит на точке зрения объема понятий. |
Poursuivons l'exposé des idées de
Hilbert. Il introduit deux axiomes qu'il énonce dans son langage
symbolique mais qui signifient, dans le langage des profanes comme nous, que
toute quantité cet égale à elle-même et que toute
opération faite sur deux quantités identiques donnent des
résultats identiques. Avec cet énoncé ils sont
évidents, mais les présenter ainsi serait trahir la
pensée de M. Hilbert. Pour lui les mathématiques n'ont à
combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner
sur eux sans se préoccuper de leur sens. Aussi ses axiomes ne sont pas
pour lui ce qu'ils sont pour le vulgaire. |
Проследим за изложением идей Гильберта. Он вводит две аксиомы, которые формулирует на своем символическом языке, но которые на языке таких профанов, как мы, обозначают, что всякое количество равно самому себе и что всякая операция, произведенная над двумя тождественными количествами, дает тождественные результаты. В такой формулировке аксиомы очевидны, но выразить их в таком виде значило бы исказить мысль Гильберта. С точки зрения Гильберта, математика комбинирует только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них, не заботясь об их смысле. Его аксиомы не являются для него тем же, чем они являются для обыкновенного человека. |
Il les considère comme représentant la
définition par postulats du symbole = jusqu'ici vierge de toute
signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer
que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction. |
Он рассматривает эти аксиомы как выраженное при помощи постулатов определение символа =, не опороченного еще каким-либо значением. Но чтобы оправдать это определение, необходимо доказать, что эти две аксиомы не ведут ни к какому противоречию. |
Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n№ III,
sans paraître s'apercevoir qu'il fait de l'induction complète. |
Для этого Гильберт пользуется рассуждением, изложенным у него в разделе III, не замечая, по-видимому, что он прибегает к полной индукции. |
La fin du mémoire de M. Hilbert est tout
à fait énigmatique et nous n'y insisterons pas. Les
contradictions s'y accumulent ; on sent que l'auteur a vaguement
conscience de la pétition de principe qu'il a commise, et qu'il
cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement. |
Конец мемуара Гильберта совершенно загадочен, и мы на нем не будем подробно останавливаться. Противоречия здесь умножаются; чувствуется, что автор сознает смутно petitio principii, в которое он впал, и что он напрасно старается замазать трещины своего рассуждения. |
Qu'est-ce à dire ? Au moment de
démontrer que la définition du nombre entier par l'axiome
d'induction complète n'implique pas contradiction, M. Hilbert se
dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat,
parce que la difficulté est trop grande. |
Что же это значит? В тот момент, когда необходимо доказать, что определение целого числа при помощи аксиомы полной индукции не влечет противоречия, Гильберт от этого отделывается, как отделываются Рассел и Кутюра, ибо трудность слишком велика. |
La géométrie, dit M. Couturat, est un
vaste corps de doctrine où le principe d'induction complète
n'intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire
qu'il n'intervient pas, mais il intervient peu. Si l'on se reporte à
la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons,
1904) établie d'après les principes de M. Hilbert, on voit
intervenir le principe d'induction pour la première fois à la
page 114 (à moins que j'aie mal cherché, ce qui est bien
possible). |
Геометрия, говорит Кутюра, есть обширная область доктрин, в которой не фигурирует принцип полной индукции. В известной мере это верно; нельзя сказать, чтобы он совсем не входил, но он входит мало. Если обратиться к "Rational Geometry", написанной Халстедом (N. Y., John Wiley and Sons, 1904) и построенной на принципах Гильберта, то можно заметить, что принцип полной индукции появляется в первый раз на с. 114, если только я не пропустил его раньше, что очень возможно. |
Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques
années à peine, semblait le domaine où le règne
de l'intuition était incontesté, est aujourd'hui celui
où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire
mesurer l'importance des travaux géométriques de M. Hilbert et
la profonde empreinte qu'ils ont laissée sur nos conceptions. |
Таким образом, геометрия, которая, еще несколько лет тому назад казалась областью, в которой господство интуиции бесспорно, является теперь областью, в которой торжествует логистика. Этим лучше всего измеряется важность геометрических трудов Гильберта и тот глубокий отпечаток, который они оставили на наших понятиях. |
Mais il ne faut pas s'y tromper. Quel est en somme
le théorème fondamental de la Géométrie ?
C'est que les axiomes de la Géométrie n'impliquent pas
contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d'induction. |
Но не нужно поддаваться обману. Какова в конце концов основная теорема геометрии? Она заключается в том, что аксиомы геометрии не заключают в себе противоречия, а это не может быть доказано без принципа индукции. |
Comment Hilbert démontre-t-il ce point
essentiel? C'est en s'appuyant sur l'Analyse et par elle sur
l'Arithmétique, et par elle sur le principe d'induction. |
Как же Гильберт доказывает этот существенный пункт? Опираясь на анализ, через анализ на арифметику и через арифметику на принцип индукции. |
Et si jamais on invente une autre démonstration,
il faudra encore s'appuyer sur ce principe, puisque les conséquences
possibles des axiomes, dont il faut montrer qu'elles ne sont pas
contradictoires, sont en nombre infini. |
И если когда-нибудь изобретут другое доказательство, то придется все же опереться на этот принцип, потому что выводов из тех аксиом, логическую совместимость которых нужно доказать, может быть бесконечное множество. |
Notre conclusion, c'est d'abord que le principe
d'induction ne peut pas être regardé comme la définition
déguisée du nombre entier. |
Наш вывод заключается прежде всего в том, что на принцип индукции нельзя смотреть как на скрытое определение целого числа. |
Voici trois vérités : |
Вот три истины; |
Le principe d'induction complète ; |
принцип полной индукции; |
Le postulatum d'Euclide ; |
постулат Евклида; |
La loi physique d'après laquelle le phosphore
fond à 44№ (citée par M. Le Roy). |
физический закон, согласно которому фосфор плавится при 44 (приводится у Леруа). |
On dit : Ce sont trois définitions
déguisées, la première, celle du nombre entier, la
seconde, celle de la ligne droite, la troisième, celle du phosphore. |
Говорят, что эти истины являются скрытыми определениями: первое есть определение целого числа, второе - прямой линии, третье - фосфора. |
Je l'admets pour la seconde, je ne l'admets pas pour
les deux autres, il faut que j'explique la raison de cette apparente
inconséquence. |
Я принимаю это для второй истины, но не принимаю для двух других. Объясню причину такой кажущейся непоследовательности. |
D'abord nous avons vu qu'une définition n'est
acceptable que s'il est établi qu'elle n'implique pas contradiction.
Nous avons montré également que, pour la première
définition, cette démonstration est impossible ; au
contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait
donné une démonstration complète. |
Мы видели прежде всего, что определение приемлемо лишь в случае, если установлено, что оно не заключает в себе противоречия. Мы доказали также, что такое доказательство невозможно для первого определения; для второго, наоборот, Гильберт дал полное доказательство. |
En ce qui concerne la troisième, il est clair
qu'elle n'implique pas contradiction : mais cela veut-il dire que cette
définition garantit, comme il le faudrait, l'existence de l'objet
défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences
mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence
n'a plus le même sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il
signifie existence objective. |
Что же касается третьего определения, то оно, очевидно, не заключает противоречия; но значит ли это, что определение, как это требовалось бы, с несомненностью свидетельствует о существовании определенного предмета? Мы выходим здесь из области математических наук и вступаем в область физических наук. Слово "существование" не имеет уже того смысла, что раньше, оно не обозначает отсутствия противоречия, а обозначает объективное существование. |
Et voilà déjà une première
raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une
seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois
notions, se présentent-elles à nous comme définies par
ces trois postulats ? |
Вот уже первое основание для различия, которое я делаю между вышеприведенными тремя случаями. Есть еще другое основание. Эти три понятия находят последующие применения; имеют ли эти понятия в применениях то значение, которое установлено этими тремя постулатами? |
Les applications possibles du principe d'induction sont
innombrables ; prenons pour exemple l'une de celles que nous avons
exposées plus haut, et où on cherche à établir
qu'un ensemble d'axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour
cela on considère l'une des séries de syllogismes que l'on peut
poursuivre en partant de ces axiomes comme prémisses. |
Возможные применения принципа индукции бесчисленны. Возьмем для примера одно из указанных нами выше применений, где мы стремились установить, что некоторая совокупность аксиом не может вести к противоречию. Для этого следует рассмотреть один из рядов силлогизмов, которые можно построить, исходя из этих аксиом как посылок. |
Quand on a fini le ne syllogisme, on
voit qu'on peut en faire encore un autre et c'est le n + 1e ;
ainsi le nombre n sert à compter une série
d'opérations successives, c'est un nombre qui peut être obtenu
par additions successives. C'est donc un nombre depuis lequel on peut
remonter à l'unité par soustraction successives. On ne
le pourrait évidemment pas si on avait n = n - 1,
parce qu'alors par soustraction on retrouverait toujours le même
nombre. Ainsi donc la façon dont nous avons été
amenés à considérer ce nombre n implique une
définition du nombre entier fini et cette définition est la
suivant : un nombre entier fini est celui qui peut être obtenu
par additions successives, c'est celui qui est tel que n n'est pas
égal à n - 1. |
Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можно еще составить (n + 1)-й силлогизм. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций, это - число, которое может быть получено путем последовательных прибавлений. Другими словами, это есть число, исходя из которого, можно прийти к единице путем последовательных вычитаний. Этого, очевидно, нельзя было бы достигнуть, если бы мы имели равенство n = n - 1, потому что в таком случае мы при вычитании всегда получали бы то же самое число. Таким образом, способ, при помощи которого мы пришли к рассмотрению этого числа n, заключает в себе определение конечного целого числа, и это определение гласит: конечное целое число есть такое число, которое может быть получено путем последовательных сложений, это есть число n которое не равняется n - 1. |
Cela posé, qu'est-ce que nous faisons ?
Nous montrons que s'il n'y a pas eu de contradiction au ne
syllogisme, il n'y en aura pas davantage au n + 1e
et nous concluons qu'il n'y en aura jamais. Vous dites : j'ai le droit
de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition
ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais
cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la
suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner
par récurrence ; dans l'espèce c'est celui dont on
peut dire que, si l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont
le numéro est un nombre entier entraîne l'absence de
contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est l'entier
suivant, on n'aura à craindre aucune contradiction pour aucun des
syllogismes dont le numéro est entier. |
Приняв это, что делаем мы дальше? Мы показываем, что если нет противоречия с n-м силлогизмом, то не будет противоречия с (n + 1) -м и не будет такого противоречия никогда. Вы скажете: я вправе сделать такое заключение, потому что целые числа по определению представляют собой такие именно числа, для которых подобное рассуждение законно. Но это приводит к другому опре делению целого числа, а именно к следующему: целое число есть такое число, о котором можно рассуждать в рекуррентном порядке В данном случае это - число, о котором можно сказать следующее: если отсутствие противоречия в момент силлогизма, имеющего целый номер, влечет за собой отсутствие противоречия для силлогизма, имеющего следующий целый номер, то нет оснований опасаться противоречия для любого из силлогизмов, имеющего целый номер. |
Les deux définitions ne sont pas
identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le
sont en vertu d'un jugement synthétique a priori ; on ne
peut pas passer de l'une à l'autre par des procédés
purement logiques. |
Оба определения не тождественны; они эквивалентны, без сомнения, но они таковы в силу априорного синтетического суждения: нельзя прийти от одного к другому путем чисто логических операций. |
Par conséquent nous n'avons pas le droit d'adopter
la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui
suppose la première. |
Мы не вправе, следовательно, принять второе определение, раз мы ввели целое число, следуя такому пути, который предполагает первое определение. |
Nous n'avons pas, comme dans le cas
précédent, deux définitions équivalentes
irréductibles logiquement l'une à l'autre. |
Посмотрим, напротив, как обстоит дело с прямой линией. Я так часто уже говорил об этом, что не решаюсь снова повторять то же самое. |
Nous n'en avons qu'une, exprimable par des mots.
Dira-ton qu'il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir
l'énoncer parce que nous avons l'intuition de la ligne droite ou parce
que nous nous représentons la ligne droite. Tout d'abord, nous ne
pouvons pas nous la représenter dans l'espace
géométrique, mais seulement dans l'espace représentatif,
et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui
possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf
celle de satisfaire au postulatum d'Euclide. Ces objets sont les
" droites non-euclidiennes " qui à un certain
point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles
(de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère.
Si parmi ces objets également susceptibles de représentation,
ce sont les premiers (les droites euclidiennes) que nous appelons droites, et
non pas les derniers (les droites non-euclidiennes), c'est bien par
définition. |
Мы не имеем здесь, как это было в предыдущем случае, двух эквивалентных определений, логически друг к другу несводимых. Мы имеем только одно определение, выраженное словами. Могут сказать, что мы имеем еще другое определение, которое мы чувствуем, но не можем выразить, потому что мы имеем интуицию прямой линии, или потому, что мы представляем себе прямую линию. Но, прежде всего, мы не можем представить себе этой линии в геометрическом пространстве, а можем представить лишь в пространстве, имеющемся в нашем представлении; и затем мы легко можем представить себе объекты, которые обладают всеми другими свойствами прямой линии, кроме того свойства, которое удовлетворяет постулату Евклида. Эти объекты суть "неевклидовы прямые", которые с известной точки зрения отнюдь не являются чем-то, лишенным смысла, но представляют собой окружности (настоящие окружности в настоящем пространстве), ортогональные к определенной сфере. Если из этих объектов, которые мы также можем себе представить, мы считаем прямыми первые, т. е. евклидовы прямые, а не последние, т. е. неевклидовы прямые, то это обусловливается определением. |
Et si nous arrivons enfin au troisième exemple,
à la définition du phosphore, nous voyons que la vraie
définition serait : Le phosphore, c'est ce morceau de
matière que je vois là dans tel flacon. |
Если мы, наконец, обратимся к третьему примеру, к определению фосфора, то мы увидим, что истинное определение будет таково: фосфор - это кусок вещества, который я вижу вот в этом флаконе. |
Et puisque je suis sur ce sujet, encore un mot. Pour
l'exemple du phosphore j'ai dit : " Cette proposition est une
véritable loi physique vérifiable, car elle signifie :
tous les corps qui possèdent toutes les autres
propriétés du phosphore, sauf son point de fusion, fondent
comme lui à 44№ ". Et on m'a répondu :
" Non, cette loi n'est pas vérifiable, car si l'on venait
à vérifier que deux corps ressemblant au phosphore fondent l'un
à 44№ et l'autre à 50№, on pourrait toujours dire qu'il y a
sans doute, outre le point de fusion, quelque autre propriété
inconnue par laquelle ils diffèrent ". |
Остановившись уже на этом примере, скажу еще несколько слов. Относительно истины, касающейся фосфора, я выше сказал: "это предложение есть настоящий физический закон, доступный проверке, так как оно обозначает: все тела, которые обладают всеми прочими свойствами фосфора, помимо точки его плавления, плавятся, как и фосфор, при 44 ". На это мне ответили: "нет, этот закон не может быть проверен, потому что, если бы после проверки оказалось, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44 , а другое при 50 , то всегда можно было бы сказать, что, кроме точки плавления, наверное, имеется еще и другое неизвестное свойство, благодаря которому эти тела друг от друга отличаются". |
Ce n'était pas tout à fait cela-que
j'avais voulu dire ; j'aurais dû écrire : Tous les
corps qui possèdent telles et telles propriétés en
nombre fini (à savoir les propriétés du phosphore qui
sont énoncées dans les traités de Chimie, le point de
fusion excepté) fondent à 44№. |
Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был бы написать: все тела, которые обладают такими-то и такими-то свойствами в конечном числе (а именно теми свойствами фосфора, которые перечислены в руководствах по химии, за исключением точки плавления), плавятся при 44 . |
Et pour mettre mieux en évidence la
différence entre le cas de la droite et celui du phosphore, faisons
encore une remarque. La droite possède dans la nature plusieurs images
plus ou moins imparfaites, dont les principales sont le rayon lumineux et
l'axe de rotation d'un corps solide. Je suppose que l'on constate que le
rayon lumineux ne satisfait pas au postulatum d'Euclide (par exemple en
montrant qu'une étoile a une parallaxe négative), que
ferons-nous ? Conclurons-nous que la droite étant par définition
la trajectoire de la lumière ne satisfait pas au postulatum, ou bien
au contraire que la droite satisfaisant par définition au postulatum,
le rayon lumineux n'est pas rectiligne ? |
Чтобы сделать более очевидной разницу между примером с прямой линией и примером с фосфором, сделаем еще одно замечание. Прямая линия имеет в природе несколько более или менее несовершенных образов, между которыми главные суть световой луч и ось вращении твердого тела. Я допускаю, что каким-нибудь образом было бы установлено, что световой луч не удовле творяет постулату Евклида (т. е. было бы, например, доказано, что звезда имеет отрицательный параллакс), что сделаем мы дальше? Заключим ли мы отсюда, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет постулату или, наоборот, что раз прямая по определению удовлетворяет постулату, то световой луч не представляет собой прямой линии? |
Assurément nous sommes libres d'adopter l'une ou
l'autre définition et par conséquent l'une ou l'antre
conclusion ; mais adopter la première ce serait stupide, parce
que le rayon lumineux ne satisfait probablement que d'une façon
imparfaite non seulement au postulatum d'Euclide, mais aux autres
propriétés de la ligne droite ; que s'il s'écarte
de la droite euclidienne, il ne s'écarte pas moins de l'axe de rotation
des corps solides qui est une autre image imparfaite de la ligne
droite ; qu'enfin il est sans doute sujet au changement, de sorte que
telle ligne qui était droite hier, cessera de l'être demain si
quelque circonstance physique a changé. |
Конечно, мы свободны в выборе того или другого определения и, следовательно, того или иного заключения. Но принять первое заключение было бы нелепо, потому что световой луч удовлетворяет лишь несовершенным образом, вероятно, не только постулату Евклида, но и другим свойствам прямой линии; если он отклоняется от евклидовой прямой, то он также отклоняется и от оси вращения твердых тел, которая является другим несовершенным образом прямой линии; и, наконец, он, без сомнения, подвержен изменениям: будучи прямым вчера, он перестает быть таковым завтра, если какое-нибудь физическое условие изменилось. |
Supposons, maintenant que l'on vienne à
découvrir que le phosphore ne fond pas à 44№, mais à
43№,9. Conclurons-nous que le phosphore étant par définition ce
qui fond à 44№, ce corps que nous appelions phosphore n'est pas du
vrai phosphore, ou au contraire que le phosphore fond à 43№,9 ? |
Предположим, что было бы найдено, что фосфор плавится не при 44 , а при 43,9 . Заключим ли мы отсюда, что это новое тело, которое мы назвали фосфором, не есть настоящий фосфор, ибо последний, согласно определению, есть тело, которое плавится при 44 или, напротив, мы заключим, что фосфор плавится при 43,9 ? |
Ici encore nous sommes libres d'adopter l'une ou
l'autre définition et par conséquent l'une ou l'autre
conclusion ; mais adopter la première, ce serait stupide parce
qu'on ne peut pas changer le nom d'un corps toutes les fois qu'on
détermine une nouvelle décimale de son point de fusion. |
В этом случае мы также свободны в выборе того или другого определения, а следовательно, того или другого заключения. Но было бы нелепо принять первое заключение, так как нельзя же менять наименование тела каждый раз, когда удается определить лишний десятичный знак в его температуре плавления. |
En résumé, MM. Russell et Hilbert ont
fait l'un et l'autre un vigoureux effort ; ils ont écrit l'un et
l'autre un livre plein de vues originales, profondes et souvent très
justes. Ces deux livres nous donneront beaucoup à
réfléchir et nous avons beaucoup à y apprendre. Parmi
leurs résultats, quelques-uns, beaucoup même, sont solides et
destinés à demeurer. |
В итоге Рассел и Гильберт сделали большие усилия. Тот и другой написали книги, изобилующие оригинальными, глубокими и часто очень правильными взглядами. Эти две книги дают нам большой материал для размышления; из них мы можем многому научиться. Некоторые и даже многие из выводов, к которым приходят авторы, прочны и будут жить. |
Mais dire qu'ils ont définitivement
tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la
théorie kantienne des mathématiques, c'est évidemment
inexact. Je ne sais si réellement ils ont cru l'avoir fait, mais s'ils
l'ont cru, ils se sont trompés. |
Но, очевидно, было бы неправильно сказать, что они окончательно разрешили спор между Кантом и Лейбницем и разрушили кантову теорию математики. Я не знаю, стоят ли они сами на этой точке зрения, но если они это думают, то они ошибаются. |
Les logisticiens ont cherché à
répondre aux considérations qui précèdent. Pour
cela il leur a fallu transformer la logistique, et M. Russell en particulier
a modifié sur certains points ses vues primitives. Sans entrer dans
les détails du débat, je voudrais revenir sur les deux
questions les plus importantes à mon sens ; les règles de
la logistique ont-elles fait leurs preuves de fécondité et
d'infaillibilité ? Est-il vrai qu'elles permettent de
démontrer le principe d'induction complète sans aucun appel
à l'intuition. |
Логистики пытались ответить на все приведенные выше
соображения. Для такого ответа им надобно было преобразовать логистику (1), и
Рассел в особенности видоизменил в некоторых отношениях первоначальные ее
точки зрения. Не входя в детали дела, я хочу остановиться только на двух
вопросах, на мой взгляд, наиболее важных.
Дали ли правила логистики действительно доказательства своей
плодотворности и непогрешимости? Верно ли, что они имеют возможность доказать
принцип полной индукции, совершенно не обращаясь к интуиции? |
En ce qui concerne la fécondité, il
semble que M. Couturat se fasse de naïves illusions. La Logistique,
d'après lui, prête à l'invention " des
échasses et des ailes " et à la page suivante :
" Il y a dix ans que M. Peano a publié la
première édition de son Formulaire. " |
Что касается плодотворности, то Кутюра, по-видимому, строит наивные иллюзии. Логистика, по его мнению, дает изобретательности в ее распоряжение "леса и крылья". А на следующей, странице он говорит: "десять лет тому назад Пеано опубликовал первое издание своего "Formulaire" (2). |
Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes,
et vous n'avez pas encore volé ! |
Как, уже десять лет, как вы имеете крылья, и вы еще не полетели! |
J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de
très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une
aire) ; mais enfin il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni
plus vite que la plupart des mathématiciens aptères, et il
aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes. |
Я питаю величайшее уважение к Пеано, который сделал превосходные работы (например, его кривая, которая заполняет целую площадь), но в конце концов он не ушел ни дальше, ни выше, ни быстрее, чем большая часть бескрылых математиков, и этот путь он мог бы ведь проделать так же хорошо на своих ногах. |
Je ne vois au contraire dans la logistique que des
entraves pour l'inventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision,
loin de là, et s'il faut 27 équations pour établir que 1
est un nombre, combien en faudra-t-il pour démontrer un vrai
théorème. Si nous distinguons, avec M. Whitehead, l'individu x,
la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera ix, puis
la classe dont le seul membre est la classe dont le seul membre est x
et qui s'appellera iix,
croit-on que ces distinctions, si utiles qu'elles soient, vont beaucoup
alléger notre allure ? |
Я, напротив, вижу в логистике только помеху для изобретателя; с ее помощью мы отнюдь не выигрываем в сжатости; если нужны 27 уравнений, для того чтобы установить, что 1 есть число, то сколько нужно будет уравнений, чтобы доказать настоящую теорему? Если мы различаем вместе с Уайтхедом индивид х, класс, единственный член коего есть х и который называется ix, затем - класс, единственный член которого есть класс с единственным членом x и который называется iix, то можно ли думать, что эти различия, как бы ни были они полезны, облегчат нам движение вперед? |
La Logistique nous force à dire tout ce qu'on
sous-entend d'ordinaire ; elle nous force à avancer pas à
pas ; c'est peut-être plus sûr, mais ce n'est pas plus
rapide. |
Логистика заставляет нас сказать все то, что обыкновенно подразумевается; она заставляет нас двигаться шаг за шагом; это, быть может, делает движение более верным, но не более быстрым. |
Ce ne sont pas des ailes que vous nous donnez, ce sont
des lisières. Et alors nous avons le droit d'exiger que ces
lisières nous empêchent de tomber. Ce sera leur seule excuse.
Quand une valeur ne rapporte pas de gros intérêts, il faut au
moins que ce soit un placement de père de famille. |
Вы даете нам не крылья, а детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не давали нам падать В такой помощи - единственное их оправдание. Если ценное имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно было в надежных руках. |
Doit-on suivre vos règles aveuglément ?
Oui, sans quoi ce serait l'intuition seule qui nous permettrait de discerner
entre elles ; mais alors il faut qu'elles soient infaillibles ; ce
n'est que dans une autorité infaillible qu'on peut avoir une confiance
aveugle. C'est donc une nécessité pour vous. Vous serez
infaillibles ou vous ne serez pas. |
Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да, иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы должны быть непогрешимы, или вас не будет. |
Vous n'avez pas le droit de nous dire :
" Nous nous trompons, c'est vrai, mais vous vous trompez
aussi ". Nous tromper, pour nous, c'est un malheur, un très
grand malheur, pour vous c'est la mort. |
Вы не вправе сказать нам: "мы ошибаемся - это правда, но вы также ошибаетесь". Но наша ошибка для нас - несчастье, большое несчастье, для вас - это смерть. |
Ne dites pas non plus : est-ce que l'infaillibilité
de l'arithmétique empêche les erreurs d'addition ; les
règles du calcul sont infaillibles, et pourtant on voit se tromper ceux
qui n'appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur
calcul, on verra tout de suite à quel moment ils s'en sont
écartés. Ici ce n'est pas cela du tout ; les logisticiens ont
appliqué leurs règles, et ils sont tombés dans la
contradiction ; et cela est si vrai qu'ils s'apprêtent à
changer ces règles et à " sacrifier la notion de
classe ". Pourquoi les changer si elles étaient
infaillibles ? |
Еще менее вправе вы сказать: "Разве непогрешимость арифметики препятствует ошибкам сложения? Правила счета непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, которые их применяют". Однако, просматривая их переделки, легко заметить, в какой момент они уклонились от правил. Здесь же совсем не то; логистики применили свои правила и впали в противоречие. Это настолько верно, что они готовы изменить правила и "пожертвовать понятием класса". Зачем же изменять правила, если они были непогрешимы? |
" Nous ne sommes pas obligés,
dites-vous, de résoudre hic et nunc tous les
problèmes possibles. " Oh, nous ne vous en demandons pas
tant ; si en face d'un problème, vous ne donniez aucune
solution, nous n'aurions rien à dire ; mais au contraire vous
nous en donnez deux et qui sont contradictoires et dont par
conséquent une au moins est fausse, et c'est cela qui est une
faillite. |
"Мы не обязаны, - говорите вы, - разрешать hic et nunc (3) все возможные проблемы". О, мы от вас не требуем столь многого; если бы вы, разрешая проблему, не давали никакого решения, мы ничего не сказали бы; но вы, напротив, даете нам два решения, которые друг другу противоречат и из которых, следовательно, по крайней мере одно ложно. А это банкротство. |
M. Russell cherche à concilier ces
contradictions, ce qu'on ne peut faire, d'après lui " qu'en
restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe. " Et
M. Couturat, escomptant le succès de cette tentative, ajoute :
" Si les logisticiens réussissent là où les
autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler
cette phrase, et faire honneur de la solution à la
Logistique. " |
Рассел старается примирить эти противоречия и признает, что для такого примирения необходимо "ограничить понятие класса или даже пожертвовать им". Кутюра же, учитывая успех этой попытки, прибавляет: "если логистики достигнут того, что не удавалось другим, Пуанкаре не откажется вспомнить эту фразу и воздать должное решению логистики". |
Mais non : La Logistique existe, elle a son code
qui a déjà eu quatre éditions ; ou plutôt
c'est ce code qui est la Logistique elle-même. M. Russell
s'apprête-t-il à montrer que l'un au moins des deux
raisonnements contradictoires a transgressé ce code ? Pas le
moins du monde, il s'apprête à changer ces lois, et à en
abroger un certain nombre. S'il réussit, j'en ferai honneur à
l'intuition de M. Russell et non à la Logistique péanienne
qu'il aura détruite. |
Но это не так: логистика существует, она имеет свое уложение, вышедшее уже в четырех изданиях; или, правильнее, это уложение и есть сама логистика. Готов ли Рассел показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых суждений вышло за пределы уложения? Отнюдь нет; он готов изменить эти законы, а некоторые из них и уничтожить. Если он успешно выполнит свою попытку, то я воздам должное интуиции Рассела, но не логистике Пеано, которую он таким образом разрушит. |
J'avais opposé dans l'article cité deux
objections principales à la définition du nombre entier
adoptée par les logisticiens. Que répond M. Couturat à
la première de ces objections ? |
Я привел выше два главных возражения против того определения целого числа, которое принято в логистике. Какой ответ дает Кутюра на первое возражение? |
Que signifie en mathématiques le mot exister ;
il signifie, avais-je dit, être exempt de contradiction. C'est ce que
M. Couturat conteste ; " L'existence logique, dit-il, est tout
autre chose que l'absence de contradiction. Elle consiste dans le fait qu'une
classe n'est pas vide ; dire : Il existe des a, c'est, par
définition, affirmer que la classe a n'est pas
nulle ". Et sans doute, affirmer que la classe a n'est pas
nulle, c'est par définition, affirmer qu'il existe des a. Mais
l'une des deux affirmations est aussi dénuée de sens que
l'autre, si elles ne signifient pas toutes deux, ou bien qu'on peut voir ou
toucher des a, ce qui est le sens que leur donnent les physiciens ou
les naturalistes, ou bien qu'on peut concevoir un a sans être
entraîné à des contradictions, ce qui est le sens que
leur donnent les logiciens et les mathématiciens. |
Что обозначает в математике слово существовать? Оно обозначает, сказал я, отсутствие противоречия. Кутюра возражает против этого. Он говорит: "Логическое существование есть нечто отличное от отсутствия противоречия. Оно заключается в том факте, что некоторый класс не пуст; сказать: "элементы а существуют" - значит, согласно определению, утверждать, что класс не есть нулевой". И, само собой разумеется, утверждать, что класс а не есть нулевой, значит, согласно определению, утверждать, что элементы а существуют. Но одно из этих утверждений так же лишено смысла, как и другое, если только они оба не обозначают либо то, что можно это а видеть или осязать, либо то, что можно постигнуть а, не впадая в противоречие. Но в первом случае мы имеем дело с утверждением, которое принимают физики и натуралисты; во втором случае - с утверждением, которое выставляют логики и математики. |
Pour M. Couturat ce n'est pas la non-contradiction qui
prouve l'existence, c'est l'existence qui prouve la non-contradiction. Pour
établir l'existence d'une classe, il faut donc établir, par un exemple,
qu'il y a un individu appartenant à cette classe :
" Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l'existence de cet
individu ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour
qu'on puisse en déduire l'existence de la classe dont il fait
partie ? - Eh bien, non ; si paradoxale que paraisse cette
assertion, on ne démontre jamais l'existence d'un individu. Les
individus, par cela seul qu'ils sont des individus, sont toujours
considérés comme existants. On n'a jamais à exprimer
qu'un individu existe, absolument parlant, mais seulement qu'il existe dans
une classe. " M. Couturat trouve sa propre assertion paradoxale, il
ne sera certainement pas le seul. Elle doit, pourtant avoir un sens ; il
veut dire sans doute que l'existence d'un individu, seul au monde, et dont on
n'affirme rien, ne peut entraîner de contradiction ; tant qu'il
sera tout seul, il est évident qu'il ne pourra gêner personne.
Eh bien, soit, nous admettrons l'existence de l'individu,
" absolument parlant " ; mais de celle-là
nous n'avons que faire ; il vous restera à démontrer
l'existence de l'individu " dans une classe " et pour
cela il vous faudra toujours prouver que l'affirmation : tel individu
appartient à telle classe, n'est contradictoire ni en elle-même,
ni avec les autres postulats adoptés. |
Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает отсутствие противоречия. Чтобы установить существование класса, нужно установить при помощи примера, что есть какой-нибудь индивид, принадлежащий к этому классу. "Но, - скажут, - как доказать существование такого индивида? Не надобно ли, чтобы это существование было установлено для того, чтобы мы из него могли вывести существование класса, к которому принадлежит индивид? Совсем нет. Как ни покажется парадоксальным такое утверждение, нужно сказать, что никогда не доказывают существования индивида. Индивиды уже по одному тому, что они индивиды, всегда рассматриваются как существующие. Абсолютно говоря, нет нужды высказывать, что индивид существует, а нужно лишь сказать, что он существует в классе". Кутюра находит свое собственное утверждение парадоксальным, и, конечно, не он один найдет его таковым. Это утверждение, однако, должно иметь свой смысл. Кутюра, без сомнения, хочет сказать, что существование индивида, который является единственным в мире и о котором ничего не утверждается, не может повлечь противоречия; пока он остается единственным, он, очевидно, никого не стесняет. Пусть так; допустим, "абсолютно говоря", существование индивида; но с этим существованием нам нечего делать; нам нужно будет доказать существование индивида "в классе", а для этого надобно будет доказать, что утверждение "такой-то индивид принадлежит к такому-то классу" не стоит в противоречии ни с самим собой, ни с другими принятыми постулатами. |
" C'est donc émettre une exigence
arbitraire et abusive que de prétendre qu'une définition n'est
valable que si l'on prouve d'abord qu'elle n'est pas
contradictoire. " On ne saurait revendiquer en termes plus
énergiques et plus fiers la liberté de la contradiction. " En
tout cas, l'onus probandi incombe à ceux qui croient que ces
principes sont contradictoires. " Des postulats sont
présumés compatibles jusqu'à preuve du contraire, de
même qu'un accusé est présumé innocent. |
"Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво, это значит, - продолжает Кутюра, - предъявлять произвольное и неправильное требование". Капитуляция в вопросе об отсутствии противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных. "Во всяком случае onus probandi (4) падает на тех, кто полагает, что эти принципы противоречивы". Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор, пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции предполагается невиновным. |
Inutile d'ajouter que je ne souscris pas à cette
revendication. Mais, dites-vous, la démonstration que vous exigez de
nous est impossible, et vous ne pouvez nous sommer de " prendre la
lune avec les dents ". Pardon, cela est impossible pour vous, mais
pas pour nous, qui admettons le principe d'induction comme un jugement
synthétique a priori. Et cela serait nécessaire pour
vous, comme pour nous. |
Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы, доказательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать, чтобы мы "схватили Луну зубами" (5). Простите, оно невозможно для вас, но не для нас, допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения. И оно так же необходимо вам, как и нам. |
Pour démontrer qu'un système de postulats
n'implique pas contradiction, il faut appliquer le principe d'induction
complète ; non seulement ce mode de raisonnement n'a rien de
" bizarre ", mais c'est le seul correct. Il n'est pas
" invraisemblable " qu'on l'ait jamais
employé ; et il n'est pas difficile d'en trouver des
" exemples et des précédents ". J'en ai
cité deux dans mon article et qui étaient empruntés
à la brochure de M. Hilbert. Il n'est pas le seul à en avoir fait
usage et ceux qui ne l'ont pas fait ont eu tort. Ce que j'ai reproché
à M. Hilbert, ce n'est pas d'y avoir eu recours (un
mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu'il
fallait une démonstration et que celle-là était la seule
possible), mais d'y avoir eu recours sans y reconnaître le raisonnement
par récurrence. |
Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не "странный", но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать "неправдоподобными" случаи его применения; и нетрудно найти соответствующие "примеры и прецеденты". Я цитировал в моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть, что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения по рекуррентному методу. |
J'avais signalé une seconde erreur des
logisticiens dans l'article de M. Hilbert ; aujourd'hui M. Hilbert est
excommunié et M. Couturat ne le regarde plus comme un
logisticien ; il va donc me demander si j'ai trouvé la même
faute chez les logisticiens orthodoxes. Non, je ne l'ai pas vue dans les
pages que j'ai lues ; je ne sais si je la trouverais dans les 300 pages
qu'ils ont écrites et que je n'ai pas envie de lire. |
Я отметил вторую ошибку логистиков в статье Гильберта. Теперь Гильберт отлучен, и Кутюра более не считает его логистиком. Он меня спросит, нашел ли я ту же самую ошибку у логистиков-ортодоксов. Нет, я не встречал ее на тех страницах, которые прочитал; но я не знаю, не встречу ли я ее на трехстах страницах, которые написаны ортодоксами и которые у меня нет желания читать. |
Seulement il faudra bien qu'ils la commettent le jour
où ils voudront tirer de la science mathématique une
application quelconque. Cette science n'a pas uniquement pour objet de
contempler éternellement son propre nombril ; elle touche
à la nature et un jour ou l'autre elle prendra contact avec
elle ; ce jour-là, il faudra secouer les définitions
purement verbales et ne plus se payer de mots. |
Но логистикам придется впасть в эту ошибку, как только они захотят сделать из математической науки какое-нибудь приложение. Эта наука не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент не обходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет более довольствоваться. |
Revenons à l'exemple de M. Hilbert ; il
s'agit toujours du raisonnement par récurrence, et de la question de
savoir si un système de postulats n'est pas contradictoire. M.
Couturat me dira sans aucun doute qu'alors cela ne le touche pas, mais cela
intéressera peut-être ceux qui ne revendiquent pas comme lui la
liberté de la contradiction. |
Вернемся к примеру Гильберта. Дело идет все о том же рекуррентном суждении и о том, заключает ли система постулатов противоречие. Кутюра скажет, без сомнения, что это его не касается; но это заинтересует, быть может, тех, кто не отказывается, как он, от доказательства отсутствия противоречия. |
Nous voulons établir comme plus haut que nous ne
rencontrerons pas de contradiction après un nombre quelconque de
raisonnements, aussi grand que l'on veut, pourvu que ce nombre soit fini.
Pour cela il faut appliquer le principe d'induction. Devons-nous entendre ici
par nombre fini, tout nombre auquel par définition le principe
d'induction s'applique ? Évidemment non, sans quoi nous serions
conduits aux conséquences les plus étranges. |
Мы хотим установить, как мы говорили выше, что не встретим противоречия после сколь угодно большого числа суждений, раз это число будет конечным. Для этого необходимо применить принцип индукции. Должны ли мы под конечным числом понимать здесь всякое число, к которому по определению применим принцип индукции? Очевидно, нет, так как в противном случае мы пришли бы к следствиям, которые нас чрезвычайно затруднили бы. |
Pour que nous ayons le droit de poser un système
de postulats, il faut que nous soyons assurés qu'ils ne sont pas
contradictoires. C'est là une vérité qui est admise par la
plupart des savants, j'aurais écrit par tous avant d'avoir
lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle ?
Veut-elle dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer
de contradiction après un nombre fini de propositions, le
nombre fini étant par définition celui qui jouit de
toutes les propriétés de nature récurrente, de telle
façon que si une de ces propriétés faisait défaut,
si par exemple nous tombions sur une contradiction, nous conviendrions
de dire que le nombre en question n'est pas fini ? |
Для того чтобы мы имели право установить систему постулатов, мы должны быть уверены, что постулаты непротиворечивы. Это - истина, принятая большинством ученых, я бы сказал "всеми учеными" до того, как прочел последнюю статью Кутюра. Но что обозначает эта истина? Имеется ли в виду: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечным по определению будет такое число, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что, если одно из этих свойств отсутствует, если мы, например, натолкнемся на противоречие, то мы условимся говорить, что данное число не есть конечное? |
En d'autres termes, voulons-nous dire : Il faut
que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction à la
condition de convenir de nous arrêter juste au moment où nous
serions sur le point d'en rencontrer une ? Il suffit d'énoncer
une pareille proposition pour la condamner. |
Другими словами, хотим ли мы сказать: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что мы не встретим противоречия при условии, что мы согласимся остановиться в тот момент, когда такое противоречие начнет обрисовываться? Достаточно сформулировать такое предложение, чтобы тут же его осудить. |
Ainsi non seulement le raisonnement de M. Hilbert
suppose le principe d'induction, mais il suppose que ce principe nous est
donné, non comme une simple définition, mais comme un jugement
synthétique a priori. |
Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как априорное синтетическое суждение. |
En résumé : |
Резюмируем: |
Une démonstration est nécessaire. |
доказательство необходимо; |
La seule démonstration possible est la
démonstration par récurrence. |
единственно возможное доказательство есть рекуррентное доказательство; |
Elle n'est légitime que si on admet le principe
d'induction, et si ou le regarde non comme une définition, mais comme
un jugement synthétique. |
оно законно только тогда, когда допускают принцип индукции и когда его рассматривают не как определение, а как синтетическое суждение. |
Je vais maintenant aborder l'examen de l'important
mémoire de M. Russell. Ce mémoire a été
écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par
ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de
fréquentes allusions. Cantor avait cru pouvoir constituer une Science
de l'Infini ; d'autres se sont avancés dans la voie qu'il avait
ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d'étranges
contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les
plus célèbres sont : |
Я обращаюсь теперь к рассмотрению нового мемуара Рассела. Этот мемуар был написан с целью преодолеть трудности, поднятые теми канторовскими антиномиями нa которые я неоднократно намекал выше. Кантор думал, что можно построить науку бесконечного; другие пошли по пути, открытому Кантором, но скоро натолкнулись на странные противоречия. Возникшие антиномии уже многочисленны, но наиболее известны следующие: |
1№ L'antinomie Burali-Forti ; |
1 Антиномия Бурали-Форти. |
2№ L'antinomie Zermelo-König ; |
2 Антиномия Цермело-Кённга. |
3№ L'antinomie Richard. |
3 Антиномия Ришара. |
Cantor avait démontré que les nombres
ordinaux (il s'agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle
introduite par lui) peuvent être rangés en une série
linéaire, c'est-à-dire que de deux nombres ordinaux
inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit que l'autre. Burali-Forti
démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on
pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire,
cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand
que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait
encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est
contradictoire. |
Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о порядковых трансфинитных числах, т. е. о новом понятии введенном Кантором) могут быть размещены в один линейный ряд, т. е. доказал, что из двух неравных порядковых чисел одно число всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает противоположное. В самом деле, говорит он, если бы все порядковые числа можно было разместить в один ряд, то этот ряд определял бы порядковое число, которое было бы больше, чем все другие; но к нему можно было бы прибавить единицу, и тогда получилось бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это приводит к противоречию. Мы вернемся позднее к антиномии Церкело - Кёнига, которая имеет несколько отличную природу. |
Nous reviendrons plus loin sur l'antinomie
Zermelo-König qui est d'une nature un peu différente ; voici
ce que c'est que l'antinomie Richard. (Revue générale des
Sciences, 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux
qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots ; ces
nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir
que cet ensemble est dénombrable, c'est-à-dire qu'on peut numéroter
les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu'à l'infini.
Supposons le numérotage effectué, et définissons un
nombre N de la façon suivante. Si la ne
décimale du ne nombre de l'ensemble E est |
Но вот антиномия Ришара (Revue Generale des Sciences, 30 juin, 1905). Рассмотрим все десятичные числа, которые можно определить при помощи конечного числа слов. Эти десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что это есть исчислимая совокупность, т, е. можно перенумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Допустим, что это уже произведено, и определим число N следующим образом. Если n-я цифра n-го числа совокупности Е есть |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, |
la ne décimale de N sera |
то n-я цифра числа N будет соответственно |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1 |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1. |
Comme on le voit, N n'est pas égal au ne
nombre de E et comme n est quelconque, N n'appartient pas à E
et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l'avons
défini avec un nombre fini de mots. |
Как мы видим, N не равно n-му числу совокупности Е, а так как n есть произвольное число, то N не принадлежит совокупности E; между тем N должно ей принадлежать, так как мы определили N при помощи конечного числа слов. |
Nous verrons plus loin que M. Richard a donné
lui-même, avec beaucoup de sagacité, l'explication de son
paradoxe et que son explication peut s'étendre, mutatis mutandis,
aux autres paradoxes analogues. |
Мы увидим ниже, что Ришар сам дал объяснение своего парадокса, обнаружив при этом большую проницательность, и что его объяснение может быть mutatis mutandis (6) распространено на другие аналогичные парадоксы. Рассел цитирует еще другую довольно любопытную антиномию. |
Quel est le plus petit nombre entier que
l'on ne peut pas définir par une phrase formée de moins de cent
mots français ? |
К а к о в о то н а и м е н ь ш е е ц е л о е ч и с л о, к о т о р о е н е л ь з я о п р е д е л и т ь п р и п о м о щ и ф р а з ы, и м е ю щ е й м е н е е с т а ф р а н ц у з с к и х с л о в? |
Ce nombre existe ; et en effet les nombres
susceptibles d'être définis par une pareille phrase sont
évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue
française ne sont pas en nombre infini. Donc, parmi eux, il y en aura
un qui sera plus petit que tous les autres. |
Такое число существует. И в самом деле, числа, которые могут быть определены такой фразой, имеются, очевидно, в конечном количестве, ибо слова французского языка имеются также в конечном количестве. Следовательно, между этими числами будет одно такое, которое меньше всех прочих. |
Et, d'autre part, ce nombre n'existe pas, car sa
définition implique contradiction. Ce nombre en effet se trouve
défini par la phrase en italiques qui est formée de moins de
cent mots français ; et par définition ce nombre ne doit
pas pouvoir être défini par une semblable phrase. |
Но, с другой стороны, это число не существует, так как определение его заключает противоречие. Действительно, это число определяется самой фразой, напечатанной выше в разрядку и состоящей менее, чем из ста слов, а по определению это число не может быть определено подобной фразой. |
|
|
Quelle est l'attitude de M. Russell en présence
de ces contradictions ? Après avoir analysé celles dont
nous venons de parler et en avoir cité d'autres encore, après
leur avoir donné une forme qui fait penser à
l'Epiménide, il n'hésite pas à conclure : |
Какую позицию занимает Рассел ввиду этих противоречий? Рассмотрев те, о которых мы только что говорили, указав еще на другие и придав им форму, которая заставляет вспомнить об Эпимениде, он без колебаний заключает: |
" A propositional function
of one variable does not always determine a class. " Une " propositional
function " ou " norm " peut être
" non prédicative ". Et cela ne veut pas dire que
ces propositions non prédicatives déterminent une classe vide,
une classe nulle ; cela ne veut pas dire qu'il n'y a aucune valeur de x
qui satisfasse à la définition et qui puisse être l'un
des éléments de la classe. Les éléments existent,
mais ils n'ont pas le droit de se syndiquer pour former une classe. |
"A prepositional function of one variable does not always deter mine a class". Пропозициональная функция (т. е. определение) одной переменной не всегда определяет класс. "Пропозициональная функция", или "норма", может быть "непредикативной". И это не значит, что такие непредикативные предложения определяют пустой класс, нулевой класс; это не значит, что нет такой величины х, которая удовлетворяла бы определению и могла бы быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они не могут соединяться для образования класса. |
Mais cela n'est que le commencement et il faut savoir
reconnaître si une définition est ou non
prédicative ; pour résoudre ce problème, M. Russell
hésite entre trois théories qu'il appelle |
Но это только начало, нужно еще быть в состоянии узнать, является ли определение предикативным или нет. Разрешая эту проблему, Рассел колеблется между тремя теориями, которые он называет: |
A. The zigzag theory ; |
А. теория зигзага (the zigzag theory); |
B. The theory of limitation of
size ; |
В. теория ограничения размера (the theory of limitation of size); |
C. The no classes theory. |
С. теория неклассов (the no classes theory). |
D'après la zigzag theory : " les
définitions (fonctions propositionnelles) déterminent une
classe quand elles sont très simple et ne cessent de le faire que
quand elles sont compliquées et obscures ". Qui
décidera maintenant si une définition peut être
regardée comme suffisamment simple pour être acceptable ? A
cette question pas de réponse, sinon l'aveu loyal d'une
complète impuissance : " les règles qui permettraient
de reconnaître si ces définitions sont prédicatives
seraient extrêmement compliquées et ne peuvent se recommander
par aucune raison plausible. C'est un défaut auquel on pourrait
remédier par plus d'ingéniosité ou en se servant de
distinctions non encore signalées. Mais jusqu'ici, en cherchant ces
règles, je n'ai pu trouver d'autre principe directeur que l'absence de
contradiction ". |
Согласно теории зигзагов "определения (пропозициональные функции) определяют класс, когда они очень просты, и перестают определять таковой, когда они становятся сложными и неясными". Кто же решит вопрос: можно ли рассматривать данное опреде- ление как достаточно простое, для того чтобы оно было приемлемо? На этот вопрос нет ответа, если не считать таковым форменное признание в полном бессилии: "правила, которые позволили бы распознавать, являются ли эти определения предикативными, были бы чрезвычайно сложны и рекомендовать их не было бы целесообразным ни с какой точки зрения. Это недостаток, который можно было бы исправить только при большой изобретательности или при помощи таких отличий, которые еще не намечены. Но до настоящего момента я в поисках этих правил не мог найти другого руководящего принципа, кроме отсутствия противоречия". |
Cette théorie reste donc bien obscure ;
dans cette nuit, une seule lueur ; c'est le mot zigzag. Ce que M. Russell
appelle la " zigzag-giness " c'est sans doute ce
caractère particulier qui distingue l'argument d'Epiménide. |
Эта теория остается, таким образом, довольно темной. В этой ночи - единственный проблеск, и этот проблеск есть слово "зигзаг". То, что Рассел называет "zigzag-giness", является, без сомнения, тем особенным свойством, которым отличается аргумент Эпименида. |
D'après la theory of limitation of size, une
classe cesserait d'avoir droit à l'existence si elle était trop
étendue. Peut-être pourrait-elle être infinie, mais il ne
faudrait pas qu'elle le fût trop. |
Согласно теории of limitation of size класс теряет право на существование, если он слишком обширен. Он может даже быть бесконечным, но не должен быть "чрезмерно" бесконечным. |
Mais nous retrouvons toujours la même
difficulté ; à quel moment précis commencera-t-elle
à l'être trop ? Bien entendu, cette difficulté n'est
pas résolue et M. Russell passe à la troisième
théorie. |
Мы и здесь встречаемся все с тем же затруднением: в какой же именно момент класс начинает становиться слишком бесконечным? Само собой разумеется, это затруднение не разрешено, и Рассел переходит к третьей теории. |
Dans la no classes theory, il est interdit de prononcer
le mot classe et on doit remplacer ce mot par des périphrases
variées. Quel changement pour les logisticiens qui ne parlent que de
classes et de classes de classes ! Il va falloir refaire toute la
Logistique. Se figure-t-on quel sera l'aspect d'une page de Logistique quand
on en aura supprimé toutes les propositions où il est question
de classe ? Il n'y aura plus que quelques survivantes éparses au
milieu d'une page blanche. Apparent rari nantes in gurgite vasto. |
В no classes theory запрещено произносить слово "класс", Оно должно замещаться разнообразными перифразами. Какой это крупный переворот для логистиков, которые только и говорят о классах и о классах классов! Необходимо переделать всю логистику. Представляют ли себе эти авторы, какой вид примет страница логистики, если в ней будут уничтожены все предложения, в которых идет речь о классах? Кроме нескольких строк, переживших такую операцию, на белой странице ничего не останется. |
Quoi qu'il en soit, on voit quelles sont les
hésitations de M. Russell, les modifications qu'il va faire subir aux
principes fondamentaux qu'il a adoptés jusqu'ici. Il va falloir des
critères pour décider si une définition est trop
compliquée ou trop étendue, et ces critères ne pourront
être justifiés que par un appel à l'intuition. |
Как бы то ни было, мы видим, каковы колебания Рассела, видим изменения, которым он подвергает принятые им же основные принципы. Необходимы были критерии, чтобы решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, а эти критерии не могут быть оправданы иначе, как обращением к интуиции. |
C'est vers la no classes theory que M. Russell incline
finalement. |
Рассел в конце концов склоняется к теории неклассов. |
Quoi qu'il en soit, la Logistique est à refaire
et on ne sait trop ce qu'on en pourra sauver. Inutile d'ajouter que le
Cantorisme et la Logistique sont seuls en cause ; les vraies
mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront
continuer à se développer d'après leurs principes
propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors
d'elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes
accoutumées qui sont définitives et qu'elles n'ont jamais
à abandonner. |
Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и логистика. Истинные математические науки, т. е. те, которые чему-нибудь служат могут продолжать свое развитие согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться. |
Quel choix devons-nous faire entre ces différentes
théories ? Il me semble que la solution est contenue dans une
lettre de M. Richard dont j'ai parlé plus haut et qu'on trouvera dans
la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905.
Après avoir exposé l'antinomie que nous avons appelée
l'antinomie Richard, il en donne l'explication. |
Какой же выбор должны мы сделать между этими различными теориями? Мне кажется, что решение заключается в письме Ришара, о котором я уже говорил и которое помещено в "Revue Generale des Sciences" от 30 июня 1905 г. Изложив антиномию, которую я назвал антиномией Ришара, последний дает ей и объяснение. |
Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette
antinomie au ј VII ; E est l'ensemble de tous les nombres que
l'on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion
de l'ensemble E lui-même. Sans quoi la définition de
E contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir E par
l'ensemble E lui-même. |
Вернемся к тому, что мы сказали об этой антиномии в разделе V. Пусть Е будет совокупностью всех чисел, которые можно определить при помощи конечного числа слов, не вводя при этом понятия о самой совокупности Е. В противном случае определение Е заключало бы ложный круг: нельзя определять Е при помощи самой же совокупности Е. |
Or nous avons défini N, avec un nombre fini de
mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l'ensemble E. Et
voilà pourquoi N ne fait pas partie de E. |
Далее мы определили число N, правда, при помощи конечного числа слов, но мы опирались на понятие о совокупности Е. Вот почему N и не составляет части Е. |
Dans l'exemple choisi par M. Richard, la conclusion se
présente avec une entière évidence et l'évidence
paraîtra encore plus grande quand on se reportera au texte même
de sa lettre. Mais la même explication vaut pour les autres antinomies
ainsi qu'il est aisé de le vérifier. |
В примере, избранном Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и очевидность эта станет еще более ясной, если обратиться к самому тексту письма. Но это же объяснение годится, как в том легко убедиться, и для других антиномий. |
Ainsi les définitions qui doivent être
regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un
cercle vicieux. Et les exemples qui précèdent montrent
suffisamment ce que j'entends par là. Est-ce là ce que M.
Russell appelle la " zigzagginess ? " |
Итак, те определения, которые должны быть рассматриваемы как непредикативные, заключают ложный круг. Предшествовавшие примеры достаточно показали, что я под этим разумею. Не это ли Рассел обозначает названием "zigzag-giness"? |
Je pose la question sans la résoudre. |
Я ставлю вопрос, не разрешая его. |
Examinons les prétendues démonstrations
du principe d'induction et en particulier celle de M. Russell et celle de
Burali-Forti. |
Рассмотрим теперь мнимые доказательства принципа индукции и в особенности доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти. |
Et d'abord pour mieux faire comprendre la position de
la question, profitons de quelques dénominations nouvelles
heureusement introduites par M. Russell dans son récent
mémoire. |
Поговорим сначала о доказательстве Уайтхеда и воспользуемся некоторыми новыми и удачными обозначениями, которые Рассел ввел в своем последнем мемуаре. |
Appelons classe récurrente toute classe
de nombres qui contient zéro, et qui contient n+1 si elle
contient n. |
Назовем рекуррентным классом всякий класс чисел, который содержит 0 и который содержит n+l, если он содержит n. |
Appelons nombre inductif tout nombre qui fait
partie de toutes les classes récurrentes. |
Назовем индуктивным числом всякое число, которое составляет часть всех рекуррентных классов. |
Appelons nombre fini le nombre cardinal d'une
classe qui n'est équivalente à aucune de ses parties. |
При каком условии это последнее определение, играющее существенную роль в доказательстве Уайтхеда, будет "предикативным" и, следовательно, приемлемым? |
Il faut entendre, d'après tout ce qui
précède, par toutes les classes récurrentes,
toutes celles dans la définition desquelles n'entre pas la notion de
nombre inductif. |
Согласно предшествующему изложению под всеми рекуррентными классами надо понимать все классы, в определение которых не входит понятие об индуктивном числе. |
Sans cela on retombe dans le cercle vicieux qui a
engendré les antinomies. |
Без этого можно впасть в ложный круг, который и породил антиномии. |
Or Whitehead n'a pas pris cette précaution. |
Но Уайтхед не принял этой предосторожности. |
Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux ;
c'est le même qui a conduit aux antinomies ; il était
illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste
illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai. |
Его рассуждение ложно; именно оно и повело к антиномиям; оно было незаконным, когда давало ложные результаты, и остается незаконным, когда приводит случайно к правильному результату. |
Une définition qui contient un cercle vicieux ne
définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes
sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition,
qu'il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres
inductifs ; il ne s'agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si
on peut rigoureusement la délimiter. Une classe " non
prédicative " ce n'est pas une classe vide, c'est une classe
dont la frontière est indécise. |
Определение, которое содержит заколдованный круг, ничего не определяет. Не к чему говорить: мы уверены, что, какой бы смысл ни был дан нашему определению, все же существует по крайней мере нуль, который принадлежит классу индуктивных чисел. Дело не в том, чтобы узнать, пуст ли этот класс, а в том, чтобы его строго отграничить. "Непредикативный" класс - это не пустой класс, а класс, в котором граница оказывается неопределенной. |
Inutile d'ajouter que cette objection
particulière laisse subsister les objections générales
qui s'appliquent à toutes les démonstrations. |
Излишне прибавлять, что это частное возражение оставляет в силе те общие возражения, которые приложимы ко всем доказательствам. |
M. Burali-Forti a donné une autre
démonstration dans son article Le Classi finite (Atti di
Torino, t. XXXII). Mais il est obligé d'admettre deux
postulats : |
Бурали-Форти представил другое доказательство в своей статье "Конечные классы" {Atti di Torino, t. XXXII), но он вынужден допустить два постулата. |
Le premier, c'est qu'il existe toujours au moins une
classe infinie. |
Первый утверждает, что существует по крайней мере один бесконечный класс. |
Le second s'énonce ainsi : |
Второй гласит |
|
ueK(K - iL). Й.u<v'u. |
Le premier postulat n'est pas plus évident que
le principe à démontrer ; le second non seulement n'est
pas évident, mais il est faux; comme l'a montré M. Whitehead,
comme d'ailleurs le moindre taupin s'en serait aperçu du premier coup,
si l'axiome avait été énoncé dans un langage
intelligible, puisqu'il signifie : le nombre des combinaisons qu'on peut
former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets. |
Первый постулат не более очевиден, чем принцип, подлежащий доказательству. Второй не только не очевиден, но и ложен, как это показал Уайтхед и как это, впрочем, заметил бы любой лицеист математического класса, если бы аксиома была выражена на понятном языке. Ибо эта аксиома означает: число комбинаций, которые можно образовать из нескольких предметов, менее числа этих предметов. |
Dans sa démonstration célèbre, M.
Zermelo s'appuie sur l'axiome suivant : |
В известном доказательстве Цермело опирается на следующую аксиому: |
Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun
des ensembles d'un ensemble d'ensembles) nous pouvons toujours choisir au
hasard un élément (quand même cet ensemble
d'ensembles comprendrait une infinité d'ensembles). On avait
appliqué mille fois cet axiome sans l'énoncer, mais dès
qu'il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques
mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent
résolument ; d'autres l'admirent. Voyons ce qu'en pense M.
Russell, d'après son dernier article. |
В какой-либо совокупности (или даже в каждой из совокупностей некоторой совокупности совокупностей) мы можем всегда выбрать наудачу один элемент (даже тогда, когда эта совокупность совокупностей обнимает бесконечно много совокупностей). Тысячу раз применяли эту аксиому, не высказывая ее. Но лишь только она была высказана, как появились сомнения. Одни математики, как Борель, ее отвергают, другие восхищаются ею. Посмотрим, что об этом думает Рассел в своей последней статье. |
Il ne se prononce pas, mais les considérations
auxquelles il se livre sont très suggestives. |
Он не высказывается, но те размышления, которым он предается, очень знаменательны. |
Et d'abord un exemple pittoresque ; supposons que
nous ayons autant de paires de bottes que de nombres entiers, de telle
façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1
jusqu'à l'infini ; combien aurons-nous de bottes ? le nombre
des bottes sera-t-il égal au nombre des paires. Oui, si dans chaque
paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira de
donner le numéro 2n-1 à la botte droite de la ne
paire et le numéro 2n à la botte gauche de la ne
paire. Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce
qu'une pareille opération deviendra impossible. A moins que l'on
n'admette l'axiome de Zermelo, parce qu'alors on pourra choisir au hasard
dans chaque paire la botte que l'on regardera comme droite. |
Однако сначала один наглядный пример. Допустим, что мы имеем столько пар сапог, сколько есть целых чисел, так что мы можем нумеровать пары от 1 до бесконечности. Сколько мы будем иметь сапог? Будет ли число сапог равно числу пар? Да, если в каждой паре правый сапог отличается от левого, ибо в таком случае достаточно будет обозначить номером 2n - 1 правый сапог n-й пары, а номером 2n - левый сапог n-й пары. Нет, если правый сапог подобен левому, так как в этом случае такая операция будет невозможна. Иначе придется допустить аксиому Цермело, потому что тогда можно в каждой паре выбрать наудачу сапог, который будет рассматриваться как правый. |
Une démonstration vraiment fondée sur les
principes de la Logique Analytique se composera d'une suite de
propositions ; les unes, qui serviront de prémisses, seront des
identités ou des définitions ; les autres se
déduiront des premières de proche en proche ; mais bien
que le lien entre chaque proposition et la suivante s'aperçoive
immédiatement, on ne verra pas du premier coup comment on a pu passer
de la première à la dernière, que l'on pourra être
tenté de regarder comme une vérité nouvelle. Mais si
l'on remplace successivement les diverses expressions qui y figurent par leur
définition et si l'on poursuit cette opération aussi loin qu'on
le peut, il ne restera plus à la fin que des identités, de
sorte que tout se réduira à une immense tautologie. La Logique
reste donc stérile, à moins d'être fécondée
par l'intuition. |
Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет составляться из ряда предложений. Одни из них, которые служат посылками, будут тождествами или определениями; другие будут последовательно выведены из первых. Но, хотя связь между каждым предложением н последующим замечается непосредственно, трудно будет с первого взгляда увидеть, как мог совершиться переход от первого предложения к последнему, и явится соблазн рассматривать это последнее как новую истину. Но если последовательно заменить фигурирующие в нем различные выражения их определениями, если провести эту операцию насколько можно далеко, то в итоге останутся только тождества, так что все сведется к бесконечной тавтологии. Логика, следовательно, окажется бесплодной, если не будет оплодотворена интуицией. |
Voilà ce que j'ai écrit autrefois ;
les logisticiens professent le contraire et croient l'avoir prouvé en
démontrant effectivement des vérités nouvelles. Par quel
mécanisme ? |
Вот что я уже писал давно. Логистики исповедуют противоположную точку зрения и думают, что доказали ее, показав действительно новые истины. Но каким образом? |
Pourquoi, en appliquant à leurs raisonnements le
procédé que je viens de décrire, c'est-à-dire en
remplaçant les termes définis par leurs définitions, ne
les voit-on pas se fondre en identités comme les raisonnements
ordinaires ? C'est que ce procédé ne leur est pas
applicable. Et pourquoi ? parce que leurs définitions sont non
prédicatives et présentent cette sorte de cercle vicieux
caché que j'ai signalé plus haut ; les définitions
non prédicatives ne peuvent pas être substituées au terme
défini. Dans ces conditions, la Logistique n'est plus
stérile, elle engendre l'antinomie. |
Почему, применяя к их рассуждениям описанный только что прием, т. е. заменяя определенные термины их определениями, мы не видим, чтобы они сливались в тождества, как это бывает с обыкновенными рассуждениями? Значит, этот прием к ним неприменим. А почему? Потому что их определения непредикативные и дают тот заколдованный круг, который я отметил выше; непредикативные определения не могут стать на место определяемого термина. В этих условиях логистика является уже не бесплодной, она родит антиномию. |
C'est la croyance à l'existence de l'infini
actuel qui a donné naissance à ces définitions non
prédicatives. Je m'explique : dans ces définitions figure
le mot tous, ainsi qu'on le voit dans les exemples cités plus
haut. Le mot tous a un sens bien net quand il s'agit d'un nombre fini
d'objets ; pour qu'il en eût encore un, quand les objets sont en
nombre infini, il faudrait qu'il y eût un infini actuel. Autrement tous
ces objets ne pourront pas être conçus comme posés
antérieurement à leur définition et alors si la
définition d'une notion N dépend de tous les objets A,
elle peut être entachée de cercle vicieux, si parmi les objets A
il y en a qu'on ne peut définir sans faire intervenir la notion N
elle-même. |
Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным определениям. Я объяснюсь. В этих определениях фигурирует слово "все", как это видно из приведенных выше примеров. Слово "все" имеет достаточно точный смысл, когда речь идет о бесконечном (7) числе предметов; для того чтобы оно имело также смысл, когда предметов имеется бесчисленное множество, необходимо, чтобы существовало актуально бесконечное. В противном случае на все эти предметы нельзя было бы смотреть как на данные до их определения; вместе с тем определение понятия N, если оно зависит от всех предметов А, может страдать пороком заколдованного круга, раз между предметами А имеются такие, которые нельзя определить без помощи самого понятия N. |
Les règles de la logique formelle expriment
simplement les propriétés de toutes les classifications
possibles. Mais pour qu'elles soient applicables, il faut que ces classifications
soient immuables et qu'on n'ait pas à les modifier dans le cours du
raisonnement. Si l'on a à classer qu'un nombre fini d'objets, il est
facile de conserver ses classifications ses classifications sans changement.
Si les objets sont en nombre indéfini, c'est-à-dire si
on est sans cesse exposé à voir surgir des objets nouveaux et
imprévus, il peut arriver que l'apparition d'un objet nouveau oblige
à modifier la classification, et c'est ainsi qu'on est exposé aux
antinomies. |
Правила формальной логики выражают просто свойства всех возможных классификаций. Но для того, чтобы эти правила были приложимы, необходимо, чтобы классификации оставались неизменными, чтобы их не приходилось изменять на протяжении рассуждений. Если приходится распределять конечное число предметов, то легко сохранить эти классификации без изменения. Если же предметы имеются в неопределенном количестве, т. е. если имеется возможность постоянного и внезапного появления новых предметов, то может случиться, что такое появление обяжет к изменению классификации. Отсюда опасность антиномий. |
Il n'y a pas d'infini actuel ;
les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la
contradiction. Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services, mais
c'était quand on l'appliquait à un vrai problème, dont
les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait
marcher sans crainte. |
Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. Верно то, что теория Кантора оказала услуги, но это было тогда, когда она применялась к истинной проблеме, термины которой были отчетливо определены; тогда можно было подвигаться вперед без опасений. |
Les logisticiens l'ont oublié comme les
Cantoriens et ils ont rencontré les mêmes difficultés.
Mais il s'agit de savoir s'ils se sont engagés dans cette voie par
accident, ou si c'était pour eux une nécessité. |
И логистики, подобно канторианцам, забыли об этом и встретились с теми же затруднениями. Но нужно знать, попали ли они на этот путь случайно или по необходимости. |
Pour moi, la question n'est pas douteuse ; la
croyance à l'infini actuel est essentielle dans la logistique
russelienne. C'est justement ce qui la distingue de la logistique
hilbertienne. Hilbert se place au point de vue de l'extension, précisément
afin d'éviter les antinomies cantoriennes ; Russell se place au
point de vue de la compréhension. Par conséquent le genre est
pour lui antérieur à l'espèce, et le summum genus
est antérieur à tout. Cela n'aurait pas d'inconvénient
si le summum genus était fini ; mais s'il est infini, il
faut poser l'infini avant le fini, c'est-à-dire regarder l'infini
comme actuel. |
Для меня вопрос не представляет сомнений. Вера в актуально бесконечное является существенной в логике Рассела. Этим она отличается от логистики Гильберта. Гильберт становится на точку зрения объема именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий; Рассел становится на точку зрения содержания. Для него, следовательно, род предшествует виду и summum genus (8) предшествует всему. Это не представляло бы неудобства, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, то приходится бесконечное ставить перед конечным, т. е. рассматривать бесконечное как актуальное. |
Et nous n'avons pas seulement des classes
infinies ; quand nous passons du genre à l'espèce en
restreignant le concept par des conditions nouvelles, ces conditions sont
encore en nombre infini. Car elles expriment généralement que
l'objet envisagé présente telle ou telle relation avec tous les
objets d'une classe infinie. |
Но мы имеем не только бесконечные классы. Когда мы переходим от рода к виду, суживая понятие введением новых условий, то эти условия тоже появляются в бесконечном числе. Ибо они вообще выражают, что рассматриваемый предмет находится в том или ином отношении ко всем предметам бесконечного класса. |
Mais cela, c'est de l'histoire ancienne. M. Russell a
aperçu le péril et il va aviser. Il va tout changer ; et
qu'on s'entende bien : il ne s'apprête pas seulement à
introduire de nouveaux principes qui permettront des opérations autrefois
interdites ; il s'apprête à interdire des opérations
qu'il jugeait autrefois légitimes. Il ne se contente pas d'adorer ce
qu'il a brûlé ; il va brûler ce qu'il a adoré,
ce qui est plus grave. Il n'ajoute pas une nouvelle aile au bâtiment,
il en sape les fondations. |
Однако все это уже устаревшая история. Рассел заметил опасность. Он ее обдумает. Он все изменит. Он готов, запомним это, не только ввести новые принципы, которые позволяют производить не разрешенные никогда операции, но готов запретить операции, которые считал некогда законными. Он не довольствуется поклонением тому, что сжигал; он готов сжечь то, чему поклонялся, что еще тяжелее. Он не прибавляет нового крыла к зданию, он подрывает его основание. |
L'ancienne Logistique est morte, si bien que la
zigzag-theory et la no classes theory se disputent déjà sa
succession. Pour juger la nouvelle, nous attendrons qu'elle existe. |
Старая логистика умерла, a zigzag-theory и no classes theory оспаривают друг у друга преемственность. Чтобы судить о новой логистике, мы подождем, когда она образуется. |
Ce que j'ai cherché à expliquer dans les
pages qui précédent, c'est comment le savant doit s'y prendre
pour choisir entre les faits innombrables qui s'offrent à sa
curiosité, puisque aussi bien la naturelle infirmité de son
esprit l'oblige à faire un choix, bien qu'un choix soit toujours un
sacrifice. Je l'ai expliqué d'abord par des considérations
générales, en rappelant d'une part la nature du problème
à résoudre et d'autre part en cherchant à mieux
comprendre celle de l'esprit humain, qui est le principal instrument de la
solution. Je l'ai expliqué ensuite par des exemples ; je ne les
ai pas multipliés à l'infini ; moi aussi, j'ai dû
faire un choix, et j'ai choisi naturellement les questions que j'avais le
plus étudiées. D'autres que moi auraient sans doute fait un choix
différent ; mais peu importe, car je crois qu'ils seraient
arrivés aux mêmes conclusions. |
На предыдущих страницах я старался объяснить, каким образом ученый должен производить выбор между бесчисленными фактами, раскрывающимися перед ним; ведь уже одна естественная немощность ума заставляет его делать такой выбор, хотя бы этот выбор и всегда представлял собой жертву. Сначала я искал оснований для этого в общих соображениях, указывая, с одной стороны, природу проблемы, подлежащей разрешению, с другой, - выясняя причину человеческого ума, этого главного орудия для разрешения. Затем я привел ряд пояснительных примеров. Я не умножал их до бесконечности; я сам должен был произвести между ними выбор и, естественно, выбрал вопросы, мною наиболее изученные. Другие на моем месте, без сомнения, сделали бы другой выбор; но это не имеет значения, потому что они пришли бы, я думаю, к тем же выводам. |
Il y a une hiérarchie des faits ; les uns
sont sans portée ; ils ne nous enseignent rien
qu'eux-mêmes. Le savant qui les a constatés n'a rien appris
qu'un fait, et n'est pas devenu plus capable de prévoir des faits
nouveaux. Ces faits-là, semble-t-il se produisent une fois, mais ne
sont pas destinés à se renouveler. |
Существует иерархия фактов. Одни факты не имеют значения; все то, чему они нас учат, касается их одних. Ученый, который констатировал их, не познал ничего более, как один факт, и не сделался способным предвидеть новые. Эти факты как бы происходят однажды, и повториться им не суждено. |
Il y a, d'autre part, des faits à grand
rendement, chacun d'eux nous enseigne une loi nouvelle. Et puisqu'il faut
faire un choix, c'est à ceux-ci que le savant doit s'attacher. |
С другой стороны, существуют факты большого значения. Каждый из них учит нас новому закону. И так как ученому предстоит сделать выбор, то именно к такого рода фактам он должен обратиться. |
Sans doute cette classification est relative et
dépend de la faiblesse de notre esprit. Les faits à petit
rendement, ce sont les faits complexes, sur lesquels des circonstances
multiples peuvent exercer une influence sensible, circonstances trop
nombreuses et trop diverses, pour que nous puissions toutes les discerner.
Mais je devrais dire plutôt que ce sont les faits que nous jugeons
complexes, parce que l'enchevêtrement de ces circonstances
dépasse la portée de notre esprit. Sans doute un esprit plus
vaste et plus fin que le nôtre en jugerait-il différemment. Mais
peu importe ; ce n'est pas de cet esprit supérieur que nous
pouvons nous servir, c'est du nôtre. |
Без сомнения, такая классификация относительна и зависит от слабости нашего ума. Факты малого значения суть факты сложные, на которые могут оказывать очень чувствительное влияние различные обстоятельства, слишком многочисленные и многообразные, для того чтобы мы были способны уловить их. Но я должен прибавить, что эти факты мы считаем сложными потому, что запутанная связь влияющих обстоятельств превосходит пределы нашего ума. Без сомнения, ум более обширный и тонкий, чем наш, судил бы об этом иначе. Но все это несущественно; пользоваться мы можем не этим высшим умом, а нашим собственным. |
Les faits à grand rendement, ce sont ceux que
nous jugeons simples ; soit qu'ils le soient réellement, parce
qu'ils ne sont influencés que par un petit nombre de circonstances
bien définies, soit qu'ils prennent une apparence de simplicité,
parce que les circonstances multiples dont ils dépendent
obéissent aux lois du hasard et arrivent ainsi à se compenser
mutuellement. Et c'est là ce qui arrive le plus souvent. Et c'est ce
qui nous a obligés à examiner d'un peu près ce que c'est
que le hasard. Les faits où les lois du hasard s'appliquent,
deviennent accessibles au savant, qui se découragerait devant
l'extraordinaire complication des problèmes où ces lois ne sont
pas applicables. |
Факты большого значения - это те, которые мы считаем простыми, потому ли, что они таковы в действительности, что на них, следовательно, оказывает влияние небольшое число вполне определенных обстоятельств, или же потому, что они кажутся простыми, и, следовательно, те многочисленные обстоятельства, от которых они зависят, подчиняются законам случая и таким образом друг друга компенсируют. Так, собственно, чаще всего и бывает. Вот почему мы должны были несколько ближе исследовать вопрос о том, что представляет собой случай. Факты, к которым приложимы законы случая, становятся доступны ученому, отступающему в унынии перед чрезвычайной сложностью тех проблем, к которым эти законы неприложимы. |
Nous avons vu que ces considérations
s'appliquent non seulement aux sciences physiques, mais aux sciences
mathématiques. La méthode de démonstration n'est pas la
même pour le physicien et pour le mathématicien. Mais les
méthodes d'invention se ressemblent beaucoup. Dans un cas comme dans
l'autre, elles consistent à remonter du fait à la loi, et
à rechercher les faits susceptibles de conduire à une loi. |
Мы видели, что эти соображения приложимы не только к физическим, но и к математическим наукам. Метод доказательства не один и тот же для физика и для математика. Но методы открытия истины чрезвычайно сходны. В том и в другом случае они заключаются в восхождении от факта к закону и к разысканию фактов, способных вести к закону. |
Pour mettre ce point en évidence, j'ai
montré à l'œuvre l'esprit du mathématicien, et sous
trois formes ; l'esprit du mathématicien inventeur et
créateur ; celui du géomètre inconscient qui chez
nos lointains ancêtres, ou dans les brumeuses années de notre
enfance, nous a construit notre notion instinctive de l'espace ; celui
de l'adolescent à qui les maîtres de l'enseignement secondaire
dévoilent les premiers principes de la science et cherchent à
faire comprendre les définitions fondamentales. Partout nous avons vu
le rôle de l'intuition et de l'esprit de généralisation
sans lequel ces trois étages de mathématiciens, si j'ose
m'exprimer ainsi, seraient réduits à une égale
impuissance. |
Чтобы сделать это пункт очевидным, я проследил за творческой деятельностью математика и притом в трех ее формах: за деятельностью математика-изобретателя и творца; за умственным процессом бессознательного геометра, который у наших далеких предков или в смутные годы нашего детства строил наше инстинктивное понятие пространства; за умом юноши, перед которым наставники средней школы раскрывают первые основы науки и которому они стараются объяснить основные определения. Везде мы видели роль интуиции и обобщающего ума, без которых эти, если мне позволено будет так выразиться, три вида математиков были бы осуждены на одинаковое бессилие. |
Et dans la démonstration elle-même, la
logique n'est pas tout ; le vrai raisonnement mathématique est
une véritable induction, différente à bien des
égards de l'induction physique, mais procédant comme elle du
particulier au général. Tous les efforts qu'on a faits pour
renverser cet ordre et pour ramener l'induction mathématique aux actes
de la logique n'ont abouti qu'à des insuccès, mal
dissimulés par l'emploi d'un langage inaccessible au profane. |
Но и в области доказательств логика еще не составляет всего. Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции физической, но, как и она, идущая от частного к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без успеха, и эту неудачу трудно было скрыть под маской особого языка, недоступного профанам. |
Les exemples que j'ai empruntés aux sciences
physiques nous ont montré des cas très divers de faits à
grand rendement. Une expérience de Kaufmann sur les rayons du radium
révolutionne à la foi la Mécanique, l'optique et
l'Astronomie. Pourquoi ? C'est parce qu'à mesure que ces sciences
se sont développées, nous avons mieux reconnu les liens qui les
unissaient, et alors nous avons aperçu une espèce de dessin
général de la carte de la science universelle. Il y a des faits
communs à plusieurs sciences, qui semblent la source commune de cours
d'eau divergeant dans toutes les directions et qui sont comparables à
ce nœud du Saint-Gothard d'où sortent des eaux qui alimentent
quatre bassins différents. |
Примеры, которые я заимствовал из физических наук, ознакомили нас с разнообразными фактами большого значения. Опыт Кауфмана над лучами радия революционизирует сразу механику, оптику и астрономию. Почему? Потому что по мере того, как эти науки развивались, мы лучше познали соединяющие их связи; и тогда мы подметили нечто вроде общей схемы, представляющей собой карту универсальной науки. Существуют факты, общие и нескольким наукам, которые напоминают общие источники вод, направляющихся во все стороны; их можно сравнить с тем Сен-Готардским узлом, откуда выходят воды, питающие четыре различных бассейна. |
Et alors nous pouvons faire le choix des faits avec
plus de discernement que nos devanciers qui regardaient ces bassins comme
distincts et séparés par des barrières infranchissables. |
Но мы можем произвести выбор между фактами с большим сознанием, чем наши предшественники, которые смотрели на эти бассейны как на обособленные и отделенные друг от друга непроходимыми преградами. |
Ce sont toujours des faits simples qu'il faut choisir,
mais parmi ces faits simples nous devons préférer ceux qui sont
placés à ces espèces de nœuds du Saint-Gothard dont
je viens de parler. |
Мы должны избирать всегда простые факты; но из массы этих простых фактов мы должны отдавать предпочтение тем, которые уподобляются, по месту своего положения, упомянутым выше узлам Сен-Готарда. |
Et quand les sciences n'ont pas de lien direct, elles
s'éclairent encore mutuellement par l'analogie. Quand on a
étudié les lois auxquelles obéissent les gaz, on savait
qu'on s'attaquait à un fait de grand rendement ; et pourtant on
estimait encore ce rendement au-dessous de sa valeur, puisque les gaz sont,
à un certain point de vue, l'image de la Voie Lactée, et que
ces faits qui ne semblaient intéressants que pour le physicien,
ouvriront bientôt des horizons nouveaux à l'Astronomie qui ne
s'y attendait guère. |
Если науки и не имеют непосредственной связи, то они взаимно освещают друг друга путем аналогии. Когда изучили законы, которым подчиняются газы, стало очевидным, что мы подошли к факту крупного значения; однако размер этого значения оценивался ниже действительного; между тем с известной точки зрения в газах мы имели прообраз Млечного пути, а факты, которые могли, как казалось, интересовать только физиков, должны открыть новые горизонты в астрономии, сверх ее ожидания. |
Et enfin quand le géodésien voit qu'il
faut déplacer sa lunette de quelques secondes pour viser un signal
qu'il a planté à grand'peine, c'est là un bien petit
fait ; mais c'est un fait à grand rendement, non seulement parce
que cela lui révèle l'existence d'une petite bosse sur le
géoïde terrestre, cette petite bosse serait par elle-même
sans grand intérêt, mais parce que cette bosse lui donne des
indications sur la distribution de la matière à
l'intérieur du globe et par là sur le passé de notre
planète, sur son avenir, sur les lois de son développement. |
|
К началу страницы
Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
О.Болдырева "Крадуш. Чужие души"
М.Николаев "Вторжение на Землю"