Аннотация: Испугавшись "ужаса сложности" философии Анаксимандра, трактовавшего "апейрон" как бесконечное множество миров, философы дружно поддержали Платона, постулировавшего финитную философию в форме материализма и идеализма.
В.Г.Спирин
МЕТАСИСТЕМНАЯ ДИАЛЕКТИКА
Испугавшись "ужаса сложности" философии Анаксимандра, трактовавшего "апейрон" как бесконечное множество миров, философы дружно поддержали Платона, постулировавшего финитную философию в форме материализма и идеализма, в пределах учреждавших "начало" и "Happy end" в виде коммунизма или царствия божия. А, действительно, чего развязывать этот "гордиев узел" Анаксимандра, вынул меч и разрубил его, ноль полетел в одну сторону, бесконечность в другую, просто и хорошо!
С тех пор, стоя на нуле (вывернутой бесконечности), никакой другой вопрос так глубоко не волновал человечество, как вопрос о бесконечности; бесконечное действовало на разум столь побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея, однако и поныне ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность (и, естественно, нуль). Начиная с времен Зенона, известного своими апориями, вскрывшими противоречивость бесконечного, и до настоящего времени идея бесконечности сопутствует науке в качестве наиболее беспокоящего понятия, то изгоняемого из науки, то становясь основополагающим. Демокрит пытался избежать бесконечно малых величин, строя геометрию на основе своего учения об атомах, и в науке утвердилась геометрия Евклида, основанная на точке как неделимом (атоме), и в течение более двух тысячелетий ее аксиомы считались единственно истинными, пока не появился Лобачевский. Аристотель считал понятие бесконечности очень зыбким и не доверял ему. Средневековая схоластика отвергает бесконечность, но телескоп Галилея и успехи астрономии, страстность Джордано Бруно, снова утверждают ее. Возникновение математического анализа раскрывает удивительные возможности понятия бесконечно малых величин в математике, но уже в работах Абеля, Коши и Гаусса они изгоняются из математики и заменяются понятием предела (родственного разрешающей способности системы-наблюдателя МСФ). Гаусс протестовал против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, считал, что в математике это недопустимо.
На рубеже ХIХ и ХХ веков утверждается теоретико- множественный подход к основаниям математики. Создателем теории множеств является немецкий математик Георг Кантор. Математики высоко оценили работы Кантора. Например, Анри Пуанкаре заявил, что в теории множеств математика обрела совершенно прочный и надежный фундамент. Но уже через несколько лет в этой теории были выявлены такие парадоксы, которые потрясли математическую теорию в самом ее основании. Парадоксы эти были связаны с противоречивостью понятия бесконечности. Результатом выявления парадоксов теории множеств явилось разветвление единой теории множеств на несколько направлений, противоречащих друг другу. Представители каждого направления считали себя единственно правыми и ожесточенно спорили с представителями других направлений, ожидая их скорого поражения, пока в 1931 году Курт Гедель не доказал удивительную (с т.з. финитной философии и естественную с т.з. МСФ) теорему, согласно которой в любой формальной системе, содержащей арифметику натуральных чисел, можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Открытие Геделя стало в финитной науке одним из крупнейших достижений логики со времен Аристотеля. После этого открытия выяснилось, что ни одна из теорий множеств не имеет бесспорного преимущества перед другими, подобно тому как геометрия Евклида не исключала ни одной из неевклидовых геометрий. Оказалось, что математика может исходить из любого набора аксиом, единственным условием для которых является их непротиворечивость друг другу. Но различие заключается в том, что геометрию Евклида можно считать частным случаем более общего понятия геометрии, в то время как разные теории множеств в шорах финитной философии коренным образом противоречат друг другу. Таким образом, теория множеств лишилась права быть основанием математики, а бесконечность предстала столь же загадочной, как и во времена Зенона. Представители ряда направлений вновь изгоняют бесконечность из математики. Например, один из основателей интуиционизма голландский математик Лейтзен Брауер считает, что натуральный ряд чисел должен быть ограничен путем указания верхнего конечного предела (естественного в МСФ), за которым лежит область, не относящаяся к математике (к нулевой математики, но не к метанулевой). Учитывая опыт более чем двухтысячелетней истории развития понятия о бесконечности, ряд ученых высказывают сомнения в том, что проблема бесконечности когда-нибудь будет решена, либо что она неразрешима при современном способе мышления. Так известный советский философ Г.И. Наан говорит: ''Суть проблемы бесконечного состоит в том, что следующая ступень в ее решении требует нового способа мышления. Способ мышления, соответствующий нашей эпохе еще не выработан'' [11,18].
Понятие бесконечности есть идеальное отражение апейрона как бесконечного множества миров в одном из важнейших свойств нашего актуального мира, являющегося объектом исследования целого комплекса наук, изучающих различные сферы бытия и различные виды объективных отношений, существующих в нем. И одним из видов отношений в объективной реальности нашего актуального мира являются количественные отношения, которые изучает математика в качестве методологии принятой философии. Следовательно, она не может устраниться от изучения бесконечного постольку, поскольку в реальном мире осуществляется бесконечные количественные отношения. Сама нулевая математика как наука возникла как идеальное отражение количественных отношений окружающего нас мира, но она всегда старалась ограничить себя сферой конечных отношений, отношений, которые можно выразить в виде конечного числа. Если же это не удавалось (как, например, выразить отношение диагонали к стороне квадрата), то результат представлялся загадочным. Бесконечность на протяжении всей истории науки, как мы видели выше, ставила в тупик, не поддавалась логике привычных нам вещей. Таковою она остается и на сегодняшний день. Означает ли это, что для понимания бесконечного мы должны вырабатывать какую-то особую логику, или ждать, когда такую логику кто-то изобретет? Ведь логика, как и математика, есть идеальное отражение объективной логики вещей, логики их отношений, изменения и движения. Логика, как и законы природы, не есть нечто привнесенное в материальный мир, внешнее по отношению к нему и устанавливающее, регламентирующее его поведение. Объективная логика вещей есть само их движение, внутренне им присущее, находящееся в единстве с их сутью. И с этой точки зрения познать логику бесконечного и познать бесконечное есть одно и то же.
Логика бесконечности не изобретается, но вырабатывается, в смысле открывается, устанавливается, в бесконечном процессе познания, а различные аспекты бесконечного, отмечаемые с древних времен и до настоящего времени. Чтобы приблизиться к пониманию бесконечного, необходимо охватить все его стороны, все его грани в их диалектической взаимосвязи. Но не таковы нулевые математики. Они склоны идеализировать какую-либо одну сторону, одну грань, превратив ее в исходную точку, в фундамент для построения всего математического здания. При этом принятая грань омертвляется в своей односторонности, лишается всякого движения, всякого развития. Взгляд на мир не утверждается декларированием, но рождается в процессе долгого и трудного развития естествознания. Кант в свое время утверждал, что кроме логики и опыта человек обладает некоторым априорным знанием действительности (сказался синдром идеи "вещи в себе", но Кант не смог дойти до апейрона, сказалось земное притяжение). Ко времени Гильберта многие факты, которые считались вполне очевидными a priori, оказались просто неверными. В работах Гельмгольца и Гаусса было показано, что геометрические теоремы возникли из опыта, что геометрия в своем становлении была '' не чем иным, как ответвлением в общей умозрительной системе физики''. Гильберт видит, что многое из сказанного Кантом было ''сплошной чепухой", но он тем не менее не может полностью отказаться от априорности. (Ведь он математик!). Он пишет: ''Мы видим теперь, что теория априорности Канта содержит антропоморфные остатки, от которых она должна быть избавлена (а почему, собственно избавлена, ведь "человек является законом и мерой всех вещей", и не математике - методологии измерения диктовать волю предмету измерения). Когда мы это сделаем, останется только та априорность, которая в то же время является и основой чисто математического познания'' [31,253]. Теорию множеств Кантора он считает высочайшим проявлением математического гения. Обнаруженные катастрофические для этой теории противоречия не обескураживают его. Он лихорадочно ищет выход. Но в чем же он его видит? Не в обращении к объективной реальности, а опять -таки в идеальном: '' Вспомним же, что мы математики и, как таковым, нам часто случалось оказываться в опасных ситуациях, из которых мы выбирались с помощью изобретательного введения идеальных элементов... Аналогично этому, чтобы сохранить простые формальные правила аристотелевской логики, мы должны добавить к финитным утверждениям (добавить к..., но не изменить финитные утверждения - автор) идеальные утверждения... Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором!'' [31,230]. '' Но, - как сказал Ф.Энгельс, - идеальная потребность математика весьма далека от того, чтобы быть принудительным законом для реального мира'' [1,51].
Что послужило поводом и началом Третьего кризиса оснований математики? Дерзкая попытка в то время мало кому известного немецкого математика Георга Кантора актуализировать (по-русски - оконечить) Бесконечное.
Со времен Аристотеля различают два контрадикторных (т.е., взаимоисключающих) понятия Бесконечного. А именно, если вы начинаете считать:
1, 2, 3,... (1),
и утверждаете, что закончить этот процесс невозможно в принципе, то такой тип "отсутствия конца" у ряда (1) называется его потенциальной бесконечностью. Если же вы согласны с тем, что ряд (1) не имеет последнего, наибольшего элемента, но тем не менее, следуя Кантору, полагаете, что, как бы это ни показалось противоречивым, - нет ничего нелепого в том, чтобы обозначить ("вообразить себе" - в канторовском оригинале) этот ряд (1) неким символом, например, греческим символом w (омега), назвать этот символ целым числом и, перепрыгнув через потенциальную бесконечность ряда (1), продолжить счет далее:
w, w + 1, w + 2, w + 3, и т.д (2),
то такое весьма вольное обращение с рядом (1) называется его актуализацией, а его бесконечность "становится" завершенной (?!), законченной (?!) или актуальной бесконечностью.
Заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа. Однако, не зная МСФ, Кантор предложил за пределами актуального мира считать как ни в чем не бывало также как и в пределах последнего, т.е. "шагом марш по числовой прямой!" На это беда не одного Кантора, а генетический порок всей финитной философии, и следовавших ей ученых. А действительно, чем это менее обосновано, чем моделирование небесной вечной жизни по образу и подобию земной!?
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня.
Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек!
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, предполагается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Если революция разрушает то, что было создано до нее, то, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и предлагается восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего
Метасистемная философия отвергает претензии априорного знания на то, чтобы быть критерием объективной истины поскольку абсолютных истин нет - есть только точки зрения взаимодействующих систем. Априорное знание присуще только системе в системе систем (СвСС). Оно существует как и всякое знание как факт человеческого сознания, которое вторично по отношению к актуальному миру, порождено им и определяется им. Эффект априорности есть свойство самого процесса познания, идеальное отражение наиболее общих отношений объективной реальности, мера которых еще не познана.
Бесконечность по сути своей выходит за границы человеческого опыта, накопленного в виде конечного множества фактов за конечное время. Она не может быть постигнута с метафизической точки зрения, или на пути излишнего доверия к приему идеализации.
Бесконечность - это апейрон. Она охватывает собой все существующее, и то, что уже познано человеком, и то, что предстоит познать в будущем. Следовательно, логика бесконечности должна включать наиболее общие законы диалектики. Лишь с диалектической точки зрения можно приблизиться к пониманию бесконечности.
В своей работе '' Анти-Дюринг'' Ф. Энгельс отметил, что ''бесконечность есть противоречие, и она полна противоречий.'' [1,51]. Действительно, к бесконечности нельзя применить никакие действия, применимые для конечных величин. Она неизменно остается тождественной только самой себе. К ней нельзя ни прибавить, ни от нее отнять, ее нельзя удвоить или умножить, разделить, или возвести в степень. Т. е. она никаким образом не реагирует на конечную величину - она включает последнюю, и в то же время через конечные величины выражается. И если выражение конечного идет через бесконечные приближения, то бесконечность опять-таки не может остановиться на этом конечном, но неизменно уходит дальше. Таким образом, суждения обычной логики (логики конечного) не применимы к бесконечности. Ни одно финитное конкретное суждение о бесконечности не может быть истинным...
Данный парадокс никаким способом не устраним в финитной философии, он внутренне присущ понятию бесконечности. Любое финитное конкретное суждение о бесконечном является и истинным, и ложным и в то же время - ни истинным, ни ложным.
Какие же суждения применимы к бесконечности? Если принять, что существует некоторое множество суждений о бесконечности, являющихся истинными, то мы придем к противоречию, так как существует другое множество суждений, для которых можно установить взаимно однозначные соответствия с суждениями первого множества, которые противоположны суждениям первого и с тем же правом должны быть истинными.
Но может быть к бесконечности могут быть применимы пары взаимоисключающих суждений, и ни одно суждение о бесконечности не является ни истинным ни ложным, но любая пара взаимоисключающих суждений о бесконечности является истинной? В рамках финитной философии такое предположение является максимумом героизма. Но не есть ли это тот же парадокс "Лжеца"? Значит, это мы уже проходили и это не является выходом из тупика финитной философии.
В метасистемной философии этот "тупик" преодолевается легко. Среди суждений наиболее значимых для понимания бесконечности, следует выделить суждения о существовании, как существовании суждений о бесконечности, так и существовании самой бесконечности. Если мы скажем что бесконечность существует в исследуемой системе, то согласно логике бесконечности мы должны дополнить это утверждение противоположным ему: наблюдаемой бесконечности не существует за пределами исследуемой системы. Таким образом, в исследуемой системе бесконечность и существует, и не существует. В исследуемой системе она существует потенциально, но не существует как нечто окончательно завершенное, как целое.
Отражает ли такая логика нечто в объективной действительности или является особенностью нашего мышления, что вообще говоря не должно противоречить друг другу? Действительно, если рассматривать вышеприведенные рассуждения с точки зрения формальной финитной логики, отвлекаясь от смысла понятия, то, подставив вместо понятия бесконечности какое-либо другое понятие, не связанное с бесконечностью, мы можем получить те же антиномии также и для конечного. В финитной логике известны такие антиномии: ''Лжец'', ''Брадобрей'' и т. п. Значит, дело здесь не в логическом формализме самом по себе, но в его объективной значимости и в объективной значимости охватываемых этим формализмом понятий.
Установление антиномичности мышления обычно связывается с И. Кантом, при этом нередко говорится об антиномичности мышления вообще - относительно любого понятия. Но это верно лишь отчасти (см. замечание о Канте и апейроне).
Чтобы разобраться в этом, обратимся к философской категории меры. Под мерой обычно понимаются определенные количественные пределы, в которых какое-либо качество сохраняет свои существенные характеристики. В данном же случае мы будем понимать категорию меры несколько шире, т.е. как разрешающую способность системы-наблюдателя. Тогда мера выступает не только как предел, в котором качество сохраняется как таковое в самом себе, но и предел, в которых оно в каком-либо неизменном качестве может выступать как таковое для другого, т.е. для исследуемой системы. В этих последних пределах оно выступает для другого как нечто, а за пределами меры - как иное. Таким образом, речь здесь идет не о мере объекта самого по себе, но о мерах его множества отношений к различному другому.
Совокупность мер качества в самом себе и по отношению к множеству различного другого составляет полную меру качества. То же самое относится не только к качеству, но и к объекту в целом, обладающему определенными качествами и свойствами. То же самое относится и к любому суждению, предметом которого является какой-либо объект, качество или отношение. Всякое суждение относится к некоторой области действительности, в которой оно является истинным. Эта область определяется мерами объектов, качеств и отношений, охватываемых суждением. Здесь необходимо остановиться и подчеркнуть важность момента в наших рассуждениях. Фактически здесь предлагается тот новый способ мышления, о котором говорил Г.И. Наан.
Метасистемная философия (МСФ) постулирует, что любая формализация имеет несколько аспектов соответствующих различным точкам зрения систем в системе систем (СвСС).
При коммуникации систем A и B система A обращает свои слова не к системе B, а к своему образу Ba о системе B, при этом исходя из своего образа Aa о себе самом. То же самое делает и система B, исходя из образов Ab и Bb. Поскольку образы Aa и Ab, Ba и Bb существенно отличаются от оригиналов A и B, формализуемых наиболее общей системой (НОС), то канал коммуникации между системами A и B с точки зрения НОС сужается до величины пропускных способностей систем А и В.
Сама идея превращения "незнаемого" в очевидное (очами видимое) знание очень проста - нужно вообразить суть интересующей вас предметной области (написать картину, книгу, оперу, теорию и т.д.), то есть как бы причину, глобальную цель ее основных свойств. Тогда некоторые фрагменты такой, как правило, абстрактной модели - орнаменты начнут вам подсказывать такие следствия этой причины, о которых догадаться в финитном плане было просто невозможно.
Меры вещей не в достаточной степени определены для нас, но человек склонен экстраполировать установленные им законы, свойства и отношения на область неизвестного до тех пор, пока в процессе дальнейшего познания применяемое суждение не приводит к противоречию. Оно становится антиномичным для нас, т. е. истинным в некоторой области действительности и ложным за ее пределами. Для разрешения такой антиномии необходимы дополнительные суждения, которыми устанавливается область истинности исходного суждения. (Сказанное выше можно отнести, например, и к физической теории, если рассматривать последнюю как некоторое суждение или утверждение. В процессе познания устанавливается область истинности теории, за пределами которой она не применима.) Таким образом, всякая антиномия относительно некоторого конечного в принципе разрешима. Для ее разрешения необходимы дополнительные суждения, которые выполняют для антиномичного суждения границы конкретных решений, в которых эти решения являются истинными. Для финитной философии (ФФ) совершенно по-другому обстоит дело, когда речь идет о бесконечности, поскольку не существует суждения, которое могло бы выйти за ее границы - этих границ для ФФ не существует. Антиномии бесконечности для ФФ являются неразрешимыми в принципе, потому что бесконечность с т.з. ФФ не имеет меры. С другой стороны, бесконечность не существует иначе, как в виде ряда конечных мер, а потому она может иметь любую меру. С одной стороны, бесконечность есть выход за пределы всякой меры, с другой стороны, она не может выйти за пределы самой себя, она неизменно остается в самой себе и тождественной лишь самой себе.
Для ФФ антиномичность внутренне присуща бесконечности, является ее неотъемлемым и главным свойством. Понятие бесконечности в ФФ является противоречивым само по себе и в самом себе уже до всякого суждения о ней. Всякое утверждение о бесконечности уже содержит в то же время и ее отрицание. Всякое конкретное свойство в бесконечности неизбежно превращается в иное и в конечном счете в свою противоположность. И потому бесконечность есть понятие и количественное, и качественное, но в то же время не количественное и не качественное, она и прерывна, и непрерывна и т. д. Здесь мы снова приходим к представлению Ф. Энгельса, что бесконечность есть единство противоположностей. Рассматриваемая через категорию меры, она предстает в ФФ как средоточие всех основных законов диалектики. Но в МСФ закон "борьбы и единства противоположностей" объясняется как "симбиоз разнокачественностей", т.е. симбиоз родственных противоположностей.
Вопрос о диалектичности Жизни на протяжении всей памятной истории был в поле зрения философии. Те или иные его грани становились предметом рассмотрения философов, и некоторые философы давали более или менее чёткие формулировки законов диалектики и издревле использовали по существу диалектические процедуры для поиска научной истины.
Когда первоначально термином "диалектика" (dialektike techne - искусство диалектики) обозначались: 1) способќность вести спор посредством вопросов и ответов; 2) исќкусќство классификации понятий, разделения вещей на роды и виды, то древние были ближе к полноте диалектичности мышления, нежели марксисты (как будет показано ниже).
Кроме того, здесь же необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что на протяжении всей письменной истории европейские народы, в культурной среде которых родился диалектический материализм, пользуются фонетической письменносќтью.
Фонетическая письменность фиксирует звучание человечесќкой речи, а не поток образного мышления человека, выражаемого или скрываемого [1] в этой речи. Но в культуре человечества в целом есть и иные виды письменности, непосредственно фиксирующие поток образных представлений, на основе которых протекает образное мышление человека, только выражаемое им устной или письменной речи.
Соответственно, если диалектичность Жизни - объективная данность, то в культуре народов с развитой образно-симвоќлиќчесќкой письменностью неизбежно появление символа-иероглифа, указующего на диалектичность Жизни и как-то выражающего эту идею. Действительно, такой символ есть: это известный почти всем символ "Инь-Янь":
[
В нём запечатлено всё, что нашло своё выражение в формулировках трёх законов диалектики диалектического материализма, а также и то, что выходит за пределы этих формулировок и не нашло в них никакого выражения, - в силу чего формулировки законов диалектики в марксистско-ленинской философии предстают как ущербные со всеми вытекающими из этого факта последствиями для практической деятельности на её основе.
В [ есть противоположности во взаимопроникающем единстве, образующем замкнутую структуру [. Если вообразить, что "червячок" "Инь" живёт тем, что "отгрызает" хвостик у "червяќчка" "Янь", а тот в свою очередь живёт тем, что отгрызает хвостик у "черќвячка" "Инь", и при этом оба они продвигаются на место, освобождающееся в круговой структуре [ в результате "отќгрыќзания хвоста" соседа каждым из них, то образ [ станет подвижным, и в его пластике проявяќтся все три закона марксистской диалектики. В другом варианте, если свивать двужильный канат из разноцветных прядей, то это будет процессом спиральным, а в поперечном сечении этот канат будет представлять собой "Инь-Янь", особенно, если вовнутрь каждой из жил добавить сердечник цвета парной ей жилы (понятий, аналогичным которым в финитной философии даже не возникает, и которые являются одними из фундаментальных в МСФ).
При этом следует помнить, что [ - символ общекосмических микро- и макро- принципов бытия, которые наличествуют и проявляются во всём, т.е. во всех частностях бытия. И невозможно представить, чтобы хотя бы некоторые представители из числа многих поколений людей, рожденных и выросших в культуре, где этот символ существует на протяжении веков, в своём воображении не "играли" в разные "игры" с [, осмысляя эти "игры" как символические аналоги реальных явлений, с которыми они имеют дело каждодневно и в жизни природы, и в жизни общества.
Так что Платон рубил "гордиев узел" философии Анаксимандра именно но "Инь-Янь".
Диалектический материализм (по крайней мере, в наши дни) действительно признаёт в учении об [ выражение диалектики в древней китайской философии. Но диалектическая образность [ более жизненно глубока, чем какие бы то ни было словесные формулировки наиболее общих законов бытия и комментариев к ним потому, что:
• [ принадлежит к группе символов, предельно обобщающих всё в системе образных представлений человека о мире (по крайней мере в случае, если человек осознаёт факт несения [ некоего смысла, а не воспринимает [ как затейливую, но бессмысленную каракулю);
• будучи связанным с языковыми способами выражения образного мышления, [ в скрытом виде содержит и оглашения, и умолчания;
• а граница между оглашениями и умолчаниями при раскрытии смысла образности символа в приложении к практическому разрешению жизненных незадач (т.е. неопределённостей, проблем) задаётся всякий раз как самой незадачей, так и миропониманием того, кто с этой проблемой-незадачей имеет дело.
Аналогов такому свойству символов-образов как "инь-янь", "инь" и "янь", в культурах, воспроизводимых и развиваемых в преемственности поколений на основе подавляющего господства фонетической письменности, практически искоренившего символику и образность из всех областей жизни общества, - нет, поскольку:
всякие словесные формулировки, в том числе и формулировки законов диалектики в марксизме, представляют собой выражение миропонимания авторов формулировок;
соответственно все словесные формулировки, когда человек с ними сталкивается, нуждаются в переосмыслении с соображением всякий раз потому, что:
• в них неизбежно выражаются субъективные дефекты мировоззрения (субъекќтивно-образных представлений о Жизни) и культуры речи (точности и целесообразности словоупотребления) авторов словесных формулировок. В результате открывается возможность к тому, чтобы стать жертвой ошибок, а также и заведомой лжи авторов формулировок. Именно на эти обстоятельства указывает известный многим афоризм "мысль изречённая есть ложь".
• при попытке использовать чужие готовые формулировки другими людьми для разрешения ими своих жизненных проблем граница "оглашения - умолчания", объективно статистически свойственная формулировкам как конструкциям определённого языка, может не соответствовать требованиям незадачи к минимальному уровню миропонимания, объективно необходимому для её разрешения, вследствие чего объективно возникает потребность в иных словесных формулировках в ряде случаев доходящая до необходимости освоения и введения в культуру общества новых для него языковых средств.
В частности, одно из таких умолчаний, выводящее понимание символа [ за пределы формулировок законов диалектики в марксизме, проистекает из интерпретации черно-белого изображения [ как наложения друг на друга разноцветных изображений, в результате чего белый цвет в [ окажется синтезом семи основных цветов спектра - семи цветов радуги. Но формулировка закона диалектического материализма о "единстве и борьбе противоположностей" соответствует исключительно чёрно-белому случаю рассмотрения [, и в неё не укладываются семь цветов радуги, образующих белый цвет, взаимно дополняя друг друга, поскольку по отношению друг к другу все основные цвета спектра являются не взаимно противоположными, и каждый из них является только условно, а не абсолютно противоположным абсолютно чёрному.
Проистекает это обстоятельство из дефективности формулировки закона "единства и борьбы противоположностей" в диалектическом материализме с его "относительностью" единства противоположностей и "абсолютностью" их борьбы, поскольку противоположности - всегда парные. Если свойство парности так называемых "противоположностей" в системе не выявляется, т.е. их больше чем две, а система не сводится к иерархии отношений двойственности в каждой паре из них (а это и имеет место в интерпретации [ на основе семи основных цветов радуги и абсолютно чёрного цвета), то речь может идти только о единстве и взаимодействии "разнокачестќвенќностей", объективно отличающихся друг от друга и, возможно, субъективно отличимых друг от друга человеком непосредственно, либо при помощи каких-то средств. Но единство выявленных в системе разнокачественностей при этом не обязано быть относительным, а их взаимодействие не обязано быть борьбой, тем более - абсолютной борьбой, если под абсолютизмом борьбы понимать борьбу до победы одной из противоположностей, в итоге борьбы начисто искореняющей другую противоположность. Более того такое единство предполагает именно симбиоз или сожительство разнокачественностей.
Множество возможных отношений между объективными разнокачественностями шире, чем двоичный базовый набор марксизма (единство и борьба), вследствие чего притязания диалектического материализма разрешить все проблемы общественного развития на его основе не только безосновательны, но влекут за собой лавину новых и усугубление прежних проблем.
Кроме того, борьба может завершиться и необратимым разрушением исходной системы без выхода её на новый виток спирали развития, на котором проявятся новые её качества. И при этом в марксизме ничего не говорится внятно об взаимодействии систем как о процессе, о взаимопроникновении друг в друга процессов управления, поддерживаемых разными субъектами. А целенаправленно управќляемое разжигание противоречий в системе, определённо избранной в качестве противника (назначенной быть противником), и её якобы "самоќразрушение" в результате управляемого доведения их борьбы, возведённой в абсолют, до "победного конца", в марксизме списывается по оглашению на "объекќтивный ход вещей", на "неќобходимость" и на "роль личности в истории", осуществляющую эту пресловутую якобы единственную необходимость, хотя её осуществлению предшествовала потенциально управляемая многовариантность возможностей, из которых можно было выбрать наиболее предпочтительный вариант и управлять течением событий в соответствии с ним.
Формулировка закона о переходе количественных изменений в качественные и качественных в количественные тоже поверхностна и расплывчата. В действительности, имеет место взаимная обусловленность качества количеством и порядком, и соответственно - количественные и порядковые изменения влекут за собой качественные изменения, а качественные изменения выражаются в количественных и порядковых;
Итак, в дальнейшем исследовании мы принимаем в качестве логического и математического принципа утверждение:
Ни одно суждение о бесконечности в исследуемой системе (ИС) не является ни истинным, ни ложным, но любая пара взаимоисключающих суждений в ИС является истинной для системы-наблюдателя (СН).
Для принятой метааксиоматической логики бесконечности теряет силу один из общепризнанных законов финитной формальной логики - закон исключенного третьего. Для корректного применения последнего необходимо учитывать всякий выход на бесконечность и исключение его, поскольку закон исключенного третьего действителен только в рамках конечных значений финитной философии. Интуиционисты, отрицающие закон исключенного третьего, дали повод упрекать себя в идеализме, поскольку они стали исходить из произвольного набора аксиом при построении теории множеств. Но и традиционная теория множеств в силу своей метафизичности и поиска идеальных элементов не отражает объективной действительности и не способна дать значимых результатов.
Когда мы говорили, что представление о бесконечности не может быть выражено каким-либо конкретным суждением о нем, или суждением, противоположным первому, то это не означает, что истина находится где-то посередине между противоположными суждениями, поскольку истина находится аксиоматически выше (МСФ). Бесконечность охватывается только единством противоположных суждений.
Если взять даже такой элементарный пример, как значение тангенса угла 90о, то мы будем неправы, если станем утверждать, что оно равно бесконечности. Мы также будем неправы, если скажем, что тангенс 90о равен минус бесконечности. Но интересующее нас значение не находится где-то межу + и -Тангенс угла 90о равен и плюс бесконечности, и минус бесконечности. Если рассматривать тангенс угла как отношение катетов треугольника, то мы видим, что при значении угла 90о происходит исчезновение одного из катетов, исчерпание меры треугольника, превращение его в качественно иное, в отрезок, что математически выражается в разрыве функции в рассматриваемой точке, (аналогичный результат получается при равенстве прилежащего катета некоторому постоянному значению и неограниченном возрастании противолежащего катета. Тогда треугольник превращается в параллельные прямые).
Известно определение Бурбаки для бесконечного множества:
Существует бесконечное множество.
Но согласно метааксиоматической логике бесконечности данное определение будет неверным, если его не дополнить противоположным суждением:
Не существует бесконечного множества.
Бесконечное множество и существует, и не существует. Оно не может существовать как некоторое завершенное целое, но оно существует потенциально, поскольку нет такого конечного множества, которое не могло бы быть дополнено любым конечным числом элементов.
Исходя из диалектического определения бесконечного множества, суждения математиков относительно последнего представляются нестрогими (односторонними). Примером такой нестрогости может служить известная в теории множеств аксиома Цермело, или аксиома выбора:
Если дано бесконечное множество бесконечных множеств, то
из каждого множества можно выбрать по одному элементу,
не указывая заранее закона выбора.
Для любого конечного множества эта аксиома является очевидной, но можно ли ее распространить на бесконечное, логика которого противостоит логике конечного?
В соответствии с аксиомой выбора Н. Я. Виленкин в книге ''В поисках бесконечности'' высказывает такое суждение: '' Выберем один элемент Х1 - это можно сделать, так как множество А бесконечно и, во всяком случае, не пусто''.
Согласно диалектическому определению бесконечного данному суждению соответствует ему противоположное:
Не выберем элемент Х1- этого нельзя сделать, так как
множество А бесконечно.
Из этой пары противоположных суждений каждое имеет равное право на истину, но ни одно из них в отдельности не является истинным. Бесконечное множество существует, следовательно, элемент множества можно выбирать, но оно в то же время не существует, следовательно, элемента невозможно выбрать.
Примером бесконечного множества может служить множество точек отрезка, которое имеет мощность континуума. Можно ли выбрать один элемент данного множества, т.е. выбрать одну точку этого отрезка? Но в ФФ точка не имеет размера, она есть ничто, следовательно, ее нельзя выбрать. Не правда ли, интересно, что две тысячи лет никто не задал этот вопрос Евклиду? Но, лес рубят - щепки летят: если Платон "рубанул" по "Инь-Янь", почему Евклид должен объяснять как он выбирает "ничто" (а ведь для этого он должен иметь тезаурус, равный по мощности тезаурусу Абсолюта-Бога нашего актуального мира). Будь враги Евклида поумнее, не миновать бы ему цикуты Сократа за богохульство.
Все наши рассуждения о бесконечности имеют равную силу и по отношению к ничто, ибо последнее есть та же самая бесконечность, но только обращенная внутрь объекта. Ничто и существует, и не существует, оно есть симбиоз разнокачественностей. Ничто не существует, не может существовать как актуальное ничто, но оно существует как потенциальное ничто.
Опираясь на вышесказанное, отметим еще одну неточность: ''0,50000...и 0,49999... - это одно и тоже число''. Поскольку разность между данными числами бесконечно мала, т. е. представляет собой ничто, то высказанное суждение должно быть дополнено утверждением, что это разные числа, а на отрезке они будут обозначать разные точки континуума.
Каким образом выбрать одну из этих точек, отделить одну точку от другой? Поскольку бесконечность существует, постольку Абсолют имеет право выбирать. Но чтобы выбрать, допустим, точку 0,499999..., Ему необходимо исчерпать бесконечный ряд девяток. Если Он будем переходить ко все более далекому разряду, перебирая конечное число разрядов за единицу времени, то Ему понадобится на это бесконечное время, т.е. Он никогда не доберемся до конца. Если же предложить бесконечную скорость перебора девяток, то Он опять- таки не решит проблему, потому что вместо одной бесконечности вводится еще одна бесконечность.
Допустим, Абсолют выбрал точку континуума и даже не одну, а некоторое их упорядоченное множество. Представим их в виде таблицы.
Сколько же точек континуума необходимо взять, чтобы восьмерка на конце числа вышла из бесконечного разряда в доступный Абсолюту конечный разряд? Между конечным и бесконечным существует бесконечный разрыв и требует для своего заполнения бесконечное число точек. Следовательно, не только 0,500000... и 0,499999... одно и то же число, обозначающее тождественные точки, но существует еще бесконечное число точек, тождественных друг другу.
Кроме того, Абсолют нарушил логику бесконечности, остановив ее, допустив существование последнего разряда. Разряды числа можно ведь рассматривать и еще более далекие, взяв следующий разряд, - - 1, потом --2 и т .д. снова до бесконечности. Таким образом, между обозначенным Абсолютом нулевой и первой точкой континуума также расположено бесконечное число точек. И как бы далеко Абсолют ни ушел, всегда можно добавить еще один более далекий разряд числа, так что точку континуума Абсолют выбирал, но не выбрал и в принципе выбрать ее невозможно. Стрела Зенона, расположенная в точке 0,50 и летящая в направлении точки 0,49 никогда не сдвинется с места.
Более ста лет назад Г. Кантор был крайне удивлен и не поверил самому себе, когда получил доказательство о взаимно однозначном соответствии между точками отрезка и точками квадрата. Как впоследствии выяснилось, такое соответствие можно установить не только для плоской, но и для пространственной фигуры, для куба, например. Дело в том, что мощность континуума не имеет размерности. Но как к понятию, отражающему нечто бесконечное вглубь, к нему применимо также и противоположное утверждение: континуум может иметь любую размерность. Так что континуум точек отрезка может быть представлен в виде бесконечной и бесконечномерной пластины, толщина которой равна длине отрезка. Сохраняется лишь та мера, которая изначально задана, все остальное исчезает в бесконечности.
Обратимся снова к таблице элементов континуума. Номера точек континуума обретают смысл, если единицу разряда -принять за основание новой меры. Тогда разряд -получает статус трансфинита, и его можно обозначить символом . Последовательное накопление точек континуума, выраженных в единицах новой меры представится в виде натурального ряда чисел, который бесконечен. Он представляет собой так называемое счетное множество. Можно ли в единицах этой новой меры выразить точки отрезка 0,50 и 0,49? Для этого надо взять отношение данных чисел к основанию меры. Но эти отношения как для первого, так и для второго числа будут равны бесконечности. Числа оказываются неразличимыми, нетождественно-тождественными, т. е. равнозначными элементами континуума.
Счетность есть не что иное как мера, которая, как и всякая мера вообще, конечна. На всяком множестве она сохраняется постольку, поскольку его отношение как целого к основанию меры можно выразить конечным числом. В силу удаления от собственного основания мера счетности приходит к самоотрицанию, превращается в другое, сливается в континууме, требующем для своего выражения новых мер. Исходя из этого следует полагать, что не существует различных видов бесконечности, она едина и тождественна самой себе, но существуют различные пути, которыми Абсолют приходит к бесконечности. Так в ряду действительных чисел Абсолют выделяет целые, рациональные, иррациональные, трансцендентные и т.д. числа. Но как точки континуума линии они ничем не отличаются друг от друга и Абсолют не сможет уследить, когда у целого числа с нескончаемым рядом нулей после запятой где-то в бесконечном разряде появляется единица и переводит число в трансцендентное, переходя к соседней точке континуума. Точки континуума следует отличать от некоторого множества целых чисел, являющихся таковыми по определению. Но всякое определение (и определенность) уже есть мера.
Следует полагать, что для дальнейшего прогресса в развитии математики необходимо более широкое использование понятия меры. Когда Жордано и Лебег ввели в математику понятие меры, то это позволило им достичь значимых результатов.
В данной статье понятие меры употребляется в его более широком, философском значении, но оно в равной степени применимо и к математике, так как все в мире имеет свою меру. Меры различных вещей и явлений объективной реальности весьма различны и для многого еще остаются непознанными человеком. Таковою, например, являются мера пространственно- временного континуума, которая еще в недавнем прошлом представлялось бесконечной. Но в мире не существует бесконечных мер и последние успехи физики и космологии начинают подтверждать это.
У всего есть своя мера. Но в зависимости от отношения меры к своему основанию она может быть определена, или не определена. В связи с этим употребление понятий бесконечно малой и бесконечно большой величины представляется нестрогим. Уже само понятие '' бесконечно малая величина'' противоречиво в самом себе, поскольку бесконечно малое не может быть величиной, так как понятие величины предполагает ее определенность. Она может быть постоянной или переменной, но в каждый данный момент имеет некоторое конечное значение. Бесконечно малое (или большое) есть не величина, а направление изменения величины, и движение по этому направлению бесконечно. Фактически бесконечно малые (и бесконечно большие) величины в математике не употребляются. Более точно их можно было бы назвать достаточно малыми величинами. В математическом анализе мерой этой достаточной малости служит некоторая сколь угодно малая (но конечная!) величина , меньше которой может быть достаточно малая величина. Мера не определена. Она может находиться в состоянии постоянного изменения по направлению к бесконечно малому, обеспечивая значение предела функции, но в каждый данный момент она является конечной величиной.
Понятие достаточно малой величины, мера которой не определена, может быть использовано в определении точки, линии и т. д. Эти определения например, могут быть такими:
Точка есть математический объект, мера которого не определена ни по одному из направлений и является достаточно малой. Если речь идет о материальной точке, то это будет физический объект, мера которого не определена и не имеет значения.
Точки образуют различные многообразия. n-мерное многообразие точек есть такое многообразие, каждая точка которого определена в нем координатами или функциями и т.д.
Автор не имеет здесь цели развивать начала математики - это задача других Троп, но здесь нам необходимо показать, что начала математики определенным образцом связаны с понятием меры. Если точка имеет меру, хоть она и не определена, то множество точек отрезка не может быть бесконечным. Это множество также не определено и является достаточно большим, но точки квадрата, куба или бесконечномерной пластины уже не будут ему принадлежать. Становится возможным также сравнивать количество точек различных отрезков. Это количество будет больше на том отрезке, определенная мера которого больше. Что касается бесконечной прямой, то следует учитывать двойственность суждений относительно ее существования, двойственность, связанная с бесконечностью и относящаяся к такой прямой.