Суханов Владимир Николаевич: другие произведения.

8. Производные дробного и отрицательного порядка

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Конкурс фантастических романов "Утро. ХХII век"
Конкурсы романов на Author.Today

Летние Истории на ПродаМане
Peклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Представлен новый подход определения производных. Предложена новая запись формулы всех физических величин и явлений

Ранее для описания всех физических величин и явлений предлагались дробные производные (см. часть 1 этой книги, статью 10).

Основы производных были заложены Леонардом Эйлером в его работе "Дифференциальные исчисления", изданной в 1755 году. До него над этой проблемой успешно работали Ньютон и Лейбниц.

Эйлер для степенной функции xn нашел уравнение исчисления дифференциалов любого порядка.

dlxn = Kxn-ldx ,
где
    l - показатель производной,
    n - показатель степени,
    K - коэффициент.
Эйлер обнаружил тождественность коэффициентов K с биномиальными. Также им было отмечено, что n - всегда больше чем l, в противном случае dlxn = 0. Если n=l, то xn-l=1 и в результате остается один K.

На основании работ Эйлера, сведем биномиальные коэффициенты Ньютона в таблицу 1.

Таблица 1

l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
. 0 0 1 1 1 1 1 1
. 1 0 1 2 3 4 5 6
. 2 0 0 2 6 12 20 30
. 3 0 0 0 6 24 60 120
. 4 0 0 0 0 24 120 360
. 5 0 0 0 0 0 120 720

Таблица 1 приведена для всех физических величин природы как естественной так и искусственной. Для естественной природы характерны симметричные процессы и явления. Это значит, что порядок степени пространства не может превосходить порядок производной по времени, а их равенство даст постоянный коэффициент (с x0).

Таким образом, таблицы миров симметричной природы будут заполнены только в правом верхнем углу до диагонали, проходящей от верхнего левого до нижнего правого угла таблицы. Эта диагональ - ряд предельных физических величин (постоянных). Все остальные величины в таблицах, расположенные ниже диагонали, равны нулю, но если мы имеем дело не с симметричными величинами и явлениями, а с векторными, или эти величины синтезированы из других физических величин, то нулевые клеточки будут иметь свои значения, отличные от нуля.

Эти значения будут определяться соответствующими производными по формуле Эйлера с неопределенными коэффициентами K . Поэтому алгебраических (арифметических) действий с ними следует пока избегать. Со всеми же другими производными (те у которых nBol [Владимир Суханов]l) необходимые действия могут быть осуществлены, так как их коэффициенты K - определены.

Следует отметить, что коэффициенты K и их определение в части первой данной книги - не определены.

Для операций с дробными производными коэффициенты K определяются интерполяцией по таблице 1.

Приведенный здесь новый подход к вычислению дробных производных - не единственный. На протяжении всего времени исследования производных, математики успешно решали эту проблему. Другое дело, что в традиционных подходах наблюдается стереотип, сложившийся исторически. И все же, сейчас не излишне вспомнить эту историю. Тем более, что новый подход представлен в этой статье только на примере степенных функций. И еще пройдет время, пока он станет достаточно универсальным и разработанным.

Истоки нового подхода, изложенного в этой статье, относятся к работам Ньютона, Лейбница и Эйлера. Поэтому история дробных производных (по материалам, приведенным Самко С.Г. и др. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения", Минск, издательство "Наука и техника", 1987) приведена не в начале статьи, а только сейчас, после раскрытия сущности нового подхода. Это сделано для того чтобы сохранить историческую преемственность в подходах. Рядом с известными подходами, новый - может показаться архаичным.

Определение дробным производным дал Ж. Лиувилль в 1832 году. Дифференцирование показательной функции f(x) он представил в виде ряда f(x)=Sigma_cap [Владимир Суханов]ckeax. Дифференцирование, по определению Ж. Лиувилля:

Dpf(x) = Sigma_cap [Владимир Суханов]ckakpeax ,

где p - любое комплексное число, а суммирование производится по k от нуля до бесконечности. Отсюда Ж. Лиувилль вводит формулу дробного дифференцирования:

D-pf(x) = [1/(-1)pГ(p)] Int [Владимир Суханов]Fi [Владимир Суханов](x+t)tp-tdt

где суммирование производится от нуля до бесконечности.

Известна формула Б. Римана:

f(n)(x) = lim(Delta [Владимир Суханов]hnf)(x) / hn

где предел берется при h стремящемся к нулю.

Формула Коши:

f(p)(z) = (P! / 2Pi [Владимир Суханов]i) Int [Владимир Суханов] f(t)dt / (t-z)p+1

где интегрирование производится по контуру, кривая которого охватывает точку z.

Работа Ж. Адамара (1892) - дробное дифференцирование аналитической функции через почленное дифференцирование ее ряда Тейлора:

Da f(z) = Sigma_cap [Владимир Суханов][ Г(K+1) / Г(K+1-a)]cK(z-zo)K-a ,

где cK = f (K)(zo) / K!, а суммирование производится по K от 0 до бесконечности.

Форма дробного дифференцирования А. Маршо (1927):

(Daf)(x) = c Int [Владимир Суханов] [(Delta [Владимир Суханов]tlf)(x) / h1+a]dt ,

где интегрирование от 0 до бесконечности.

В 1941 году Ж. Коссар вводит полезную модификацию дробного дифференцирования Лиувилля:

- [1/Г(1-a)] lim(d/dt) Int [Владимир Суханов] (t-x)-a f(t)dt ,

где предел берется при N стремящемся к бесконечности, а интеграл берется от x до N.

На этом результаты, полученные в области дробных производных, не заканчиваются, но становится очевидным традиционное направление, по которому идет развитие в этой области. Не исключено, что предложенный мною новый подход позволит расширить взгляд на эту проблему и упростить вычисления.

Следует отметить, что наиболее просто операции дробного интегрирования и дифференцирования выполняются в обратном Лапласа (Фурье) пространстве, где они просто сводятся к умножению или делению функций на соответствующую дробную степень параметра преобразования.

По примеру таблицы 1 можно составить таблицу 2 для коэффициентов отрицательных производных.

Таблица 2

l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
. 0 0 1 1 1 1 1 1
-1 ? 1 2 3 4 5 6
-2 ? ? 6 12 20 30 36
-3 ? ? ? 60 120 210 336
-4 ? ? ? ? 540 1680 3024
-5 ? ? ? ? ? 15120 151200

Таблица 2 позволяет без особого труда определять отрицательные производные. Например,

d-3x5 = K5-(-3) x8dx = 210x8dx.

Дробные отрицательные производные берутся все по той же формуле

dlxn) = Kn-l xn-ldx

с интерполяцией коэффициентов.

Особый интерес для физики могут иметь производные порядка числа "e" (основание натурального логарифма) и числа "Pi [Владимир Суханов]". С учетом этого предлагается таблица 3.

Таблица 3

l x0 x1 x2 xe x3 xPi [Владимир Суханов] x4 x5
. 0 0 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ? 1 2 2,72 3 3,14 4 5
. 2 ? ? 2 5,88 6 6,85 12 20
. e ? ? ? ? 6 8,05 20,6 48,8
. 3 ? ? ? ? 6 8,55 24 60
. Pi [Владимир Суханов] ? ? ? ? ? 8,55 24 68,5
. 4 ? ? ? ? ? ? 24 120
. 5 ? ? ? ? ? ? ? 120

Математики, несомненно, уточнят приведенные в таблице коэффициенты, если в этом возникнет необходимость.

Задача этой статьи - показать один из возможных принципов вычисления дробных и отрицательных производных от степенных функций и операций с ними при их использовании.

Приведенные таблицы биномиальных коэффициентов не всегда удобны при использовании. Поэтому целесообразно иметь формулу получения таких коэффициентов, а также полную формулу исчисления дифференциалов от степенной функции:

l
dlxn = П(n-m)xn-ldx
m=0

Исторически так сложилось, что физические величины совершенно разные количественно измеряются в одних и тех же единицах измерения. Например, в СИ любые расстояния и размеры измеряются в метрах (m), будь то межатомное расстояние или размеры Метагалактики. При этом не учитывается, что различные по величине расстояния и размеры имеют различную природу. Они не одинаковы и их природа изменяется в зависимости от их величины.

Такое недоразумение не имеет негативных последствий в арифметике, но в математическом анализе это приводит к значительным усложнениям. Эти усложнения, в свою очередь, делают невозможным изучение глубин природы из-за резко возрастающей сложности.

По физической природе каждую конкретную физическую величину следует измерять соответствующей ей единицей измерения, а в результате любого измерения будет получаться один и тот же результат, равный основанию натурального логарифма, то есть числу e, для мира в котором мы живем. В этом случае математический анализ может потерять свой смысл и превратиться если не в арифметику, то по крайней мере в алгебру. Абсолютным (единичным) измерением может считаться только - произведенное от последней сингулярности (от центра О - см. часть 2, статью 1 этой книги).

На основании изложенного составляем таблицу 4, в которой любые результаты измерения равны числу "e", а производные упраздняются.

Таблица 4

. e0x ex e2x e3x e4x e5x
. d0 1 ex e2x e3x e4x e5x
. d1 1 ex 2e2x 3e3x 4e4x 5e5x
. d2 1 ex 4e2x 9e3x 16e4x 25e5x
. d3 1 ex 8e2x 27e3x 64e4x 125e5x
. d4 1 ex 16e2x 81e3x 256e4x 625e5x
. d5 1 ex 32e2x 243e3x 1024e4x 3125e5x

При таком подходе отпадает необходимость в дробных и отрицательных производных. Хотя, ввиду традиций, сложившихся в метрологии, дробные и отрицательные производные могут некоторое время просуществовать.

На основании таблицы 4 можно представить формулу всех физических величин (ФВ):

ФВ = nl enx ,

где
    n - порядок степени,
    l - порядок производной,
    x - масштаб измерения.

Приведенная формула по простоте не идет не в какое сравнение с формулами предложенными в 1 части этой книги. Действия с такими формулами и их применение также значительно упрощаются, но эти формулы так далеки от наших современных суеверных представлений и от нашего восприятия природы, что могут показаться совсем не информативными.

Переход на новый вид описания формул физических величин и явлений может потребовать переводчиков, как в случае с иностранными языками. Только значительные преимущества новой теории и нового вида записей позволят им занять свое место в нашей жизни.

Статья опубликована в книге "Изобретательское Творчество", ISBN: 5-94990-002-2 в 2003 году, в Казане, Из-во "Фолиантъ'.
Зарегистрировано в ВНТИЦ 19 апреля 2002 года под номером 72200200011.
Опубликовано в бюллетене ВНТИЦ "Идеи. Гипотезы. Решения" номер 2, 2002 год.


Содержание I Далее


 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com А.Кочеровский "Утопия 808"(Научная фантастика) В.Соколов "Мажор: Путёвка в спецназ"(Боевик) А.Мороз "Эпоха справедливости. Книга вторая. Рассвет."(Постапокалипсис) А.Емельянов "Мир Карика 9. Скрытая сила"(ЛитРПГ) Ю.Резник "Семь"(Антиутопия) М.Атаманов "Искажающие реальность-5"(ЛитРПГ) А.Минаева "Академия Алой короны. Обучение"(Любовное фэнтези) В.Василенко "Стальные псы 5: Янтарный единорог"(ЛитРПГ) А.Черчень "Дом на двоих"(Любовное фэнтези) И.Иванова "Большие ожидания"(Научная фантастика)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
Д.Иванов "Волею богов" С.Бакшеев "В живых не оставлять" В.Алферов "Мгла над миром" В.Неклюдов "Спираль Фибоначчи.Вектор силы"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"