Суханов Владимир Николаевич: другие произведения.

8. Производные дробного и отрицательного порядка

Журнал "Самиздат": [Регистрация] [Найти] [Рейтинги] [Обсуждения] [Новинки] [Обзоры] [Помощь]
Peклaмa:
Конкурс "Мир боевых искусств. Wuxia" Переводы на Amazon!
Конкурсы романов на Author.Today
Конкурс Наследница на ПродаМан

Устали от серых будней?
[Создай аудиокнигу за 15 минут]
Диктор озвучит книги за 42 рубля
Peклaмa
 Ваша оценка:
  • Аннотация:
    Представлен новый подход определения производных. Предложена новая запись формулы всех физических величин и явлений

Ранее для описания всех физических величин и явлений предлагались дробные производные (см. часть 1 этой книги, статью 10).

Основы производных были заложены Леонардом Эйлером в его работе "Дифференциальные исчисления", изданной в 1755 году. До него над этой проблемой успешно работали Ньютон и Лейбниц.

Эйлер для степенной функции xn нашел уравнение исчисления дифференциалов любого порядка.

dlxn = Kxn-ldx ,
где
    l - показатель производной,
    n - показатель степени,
    K - коэффициент.
Эйлер обнаружил тождественность коэффициентов K с биномиальными. Также им было отмечено, что n - всегда больше чем l, в противном случае dlxn = 0. Если n=l, то xn-l=1 и в результате остается один K.

На основании работ Эйлера, сведем биномиальные коэффициенты Ньютона в таблицу 1.

Таблица 1

l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
. 0 0 1 1 1 1 1 1
. 1 0 1 2 3 4 5 6
. 2 0 0 2 6 12 20 30
. 3 0 0 0 6 24 60 120
. 4 0 0 0 0 24 120 360
. 5 0 0 0 0 0 120 720

Таблица 1 приведена для всех физических величин природы как естественной так и искусственной. Для естественной природы характерны симметричные процессы и явления. Это значит, что порядок степени пространства не может превосходить порядок производной по времени, а их равенство даст постоянный коэффициент (с x0).

Таким образом, таблицы миров симметричной природы будут заполнены только в правом верхнем углу до диагонали, проходящей от верхнего левого до нижнего правого угла таблицы. Эта диагональ - ряд предельных физических величин (постоянных). Все остальные величины в таблицах, расположенные ниже диагонали, равны нулю, но если мы имеем дело не с симметричными величинами и явлениями, а с векторными, или эти величины синтезированы из других физических величин, то нулевые клеточки будут иметь свои значения, отличные от нуля.

Эти значения будут определяться соответствующими производными по формуле Эйлера с неопределенными коэффициентами K . Поэтому алгебраических (арифметических) действий с ними следует пока избегать. Со всеми же другими производными (те у которых nBol [Владимир Суханов]l) необходимые действия могут быть осуществлены, так как их коэффициенты K - определены.

Следует отметить, что коэффициенты K и их определение в части первой данной книги - не определены.

Для операций с дробными производными коэффициенты K определяются интерполяцией по таблице 1.

Приведенный здесь новый подход к вычислению дробных производных - не единственный. На протяжении всего времени исследования производных, математики успешно решали эту проблему. Другое дело, что в традиционных подходах наблюдается стереотип, сложившийся исторически. И все же, сейчас не излишне вспомнить эту историю. Тем более, что новый подход представлен в этой статье только на примере степенных функций. И еще пройдет время, пока он станет достаточно универсальным и разработанным.

Истоки нового подхода, изложенного в этой статье, относятся к работам Ньютона, Лейбница и Эйлера. Поэтому история дробных производных (по материалам, приведенным Самко С.Г. и др. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения", Минск, издательство "Наука и техника", 1987) приведена не в начале статьи, а только сейчас, после раскрытия сущности нового подхода. Это сделано для того чтобы сохранить историческую преемственность в подходах. Рядом с известными подходами, новый - может показаться архаичным.

Определение дробным производным дал Ж. Лиувилль в 1832 году. Дифференцирование показательной функции f(x) он представил в виде ряда f(x)=Sigma_cap [Владимир Суханов]ckeax. Дифференцирование, по определению Ж. Лиувилля:

Dpf(x) = Sigma_cap [Владимир Суханов]ckakpeax ,

где p - любое комплексное число, а суммирование производится по k от нуля до бесконечности. Отсюда Ж. Лиувилль вводит формулу дробного дифференцирования:

D-pf(x) = [1/(-1)pГ(p)] Int [Владимир Суханов]Fi [Владимир Суханов](x+t)tp-tdt

где суммирование производится от нуля до бесконечности.

Известна формула Б. Римана:

f(n)(x) = lim(Delta [Владимир Суханов]hnf)(x) / hn

где предел берется при h стремящемся к нулю.

Формула Коши:

f(p)(z) = (P! / 2Pi [Владимир Суханов]i) Int [Владимир Суханов] f(t)dt / (t-z)p+1

где интегрирование производится по контуру, кривая которого охватывает точку z.

Работа Ж. Адамара (1892) - дробное дифференцирование аналитической функции через почленное дифференцирование ее ряда Тейлора:

Da f(z) = Sigma_cap [Владимир Суханов][ Г(K+1) / Г(K+1-a)]cK(z-zo)K-a ,

где cK = f (K)(zo) / K!, а суммирование производится по K от 0 до бесконечности.

Форма дробного дифференцирования А. Маршо (1927):

(Daf)(x) = c Int [Владимир Суханов] [(Delta [Владимир Суханов]tlf)(x) / h1+a]dt ,

где интегрирование от 0 до бесконечности.

В 1941 году Ж. Коссар вводит полезную модификацию дробного дифференцирования Лиувилля:

- [1/Г(1-a)] lim(d/dt) Int [Владимир Суханов] (t-x)-a f(t)dt ,

где предел берется при N стремящемся к бесконечности, а интеграл берется от x до N.

На этом результаты, полученные в области дробных производных, не заканчиваются, но становится очевидным традиционное направление, по которому идет развитие в этой области. Не исключено, что предложенный мною новый подход позволит расширить взгляд на эту проблему и упростить вычисления.

Следует отметить, что наиболее просто операции дробного интегрирования и дифференцирования выполняются в обратном Лапласа (Фурье) пространстве, где они просто сводятся к умножению или делению функций на соответствующую дробную степень параметра преобразования.

По примеру таблицы 1 можно составить таблицу 2 для коэффициентов отрицательных производных.

Таблица 2

l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
. 0 0 1 1 1 1 1 1
-1 ? 1 2 3 4 5 6
-2 ? ? 6 12 20 30 36
-3 ? ? ? 60 120 210 336
-4 ? ? ? ? 540 1680 3024
-5 ? ? ? ? ? 15120 151200

Таблица 2 позволяет без особого труда определять отрицательные производные. Например,

d-3x5 = K5-(-3) x8dx = 210x8dx.

Дробные отрицательные производные берутся все по той же формуле

dlxn) = Kn-l xn-ldx

с интерполяцией коэффициентов.

Особый интерес для физики могут иметь производные порядка числа "e" (основание натурального логарифма) и числа "Pi [Владимир Суханов]". С учетом этого предлагается таблица 3.

Таблица 3

l x0 x1 x2 xe x3 xPi [Владимир Суханов] x4 x5
. 0 0 1 1 1 1 1 1 1
. 1 ? 1 2 2,72 3 3,14 4 5
. 2 ? ? 2 5,88 6 6,85 12 20
. e ? ? ? ? 6 8,05 20,6 48,8
. 3 ? ? ? ? 6 8,55 24 60
. Pi [Владимир Суханов] ? ? ? ? ? 8,55 24 68,5
. 4 ? ? ? ? ? ? 24 120
. 5 ? ? ? ? ? ? ? 120

Математики, несомненно, уточнят приведенные в таблице коэффициенты, если в этом возникнет необходимость.

Задача этой статьи - показать один из возможных принципов вычисления дробных и отрицательных производных от степенных функций и операций с ними при их использовании.

Приведенные таблицы биномиальных коэффициентов не всегда удобны при использовании. Поэтому целесообразно иметь формулу получения таких коэффициентов, а также полную формулу исчисления дифференциалов от степенной функции:

l
dlxn = П(n-m)xn-ldx
m=0

Исторически так сложилось, что физические величины совершенно разные количественно измеряются в одних и тех же единицах измерения. Например, в СИ любые расстояния и размеры измеряются в метрах (m), будь то межатомное расстояние или размеры Метагалактики. При этом не учитывается, что различные по величине расстояния и размеры имеют различную природу. Они не одинаковы и их природа изменяется в зависимости от их величины.

Такое недоразумение не имеет негативных последствий в арифметике, но в математическом анализе это приводит к значительным усложнениям. Эти усложнения, в свою очередь, делают невозможным изучение глубин природы из-за резко возрастающей сложности.

По физической природе каждую конкретную физическую величину следует измерять соответствующей ей единицей измерения, а в результате любого измерения будет получаться один и тот же результат, равный основанию натурального логарифма, то есть числу e, для мира в котором мы живем. В этом случае математический анализ может потерять свой смысл и превратиться если не в арифметику, то по крайней мере в алгебру. Абсолютным (единичным) измерением может считаться только - произведенное от последней сингулярности (от центра О - см. часть 2, статью 1 этой книги).

На основании изложенного составляем таблицу 4, в которой любые результаты измерения равны числу "e", а производные упраздняются.

Таблица 4

. e0x ex e2x e3x e4x e5x
. d0 1 ex e2x e3x e4x e5x
. d1 1 ex 2e2x 3e3x 4e4x 5e5x
. d2 1 ex 4e2x 9e3x 16e4x 25e5x
. d3 1 ex 8e2x 27e3x 64e4x 125e5x
. d4 1 ex 16e2x 81e3x 256e4x 625e5x
. d5 1 ex 32e2x 243e3x 1024e4x 3125e5x

При таком подходе отпадает необходимость в дробных и отрицательных производных. Хотя, ввиду традиций, сложившихся в метрологии, дробные и отрицательные производные могут некоторое время просуществовать.

На основании таблицы 4 можно представить формулу всех физических величин (ФВ):

ФВ = nl enx ,

где
    n - порядок степени,
    l - порядок производной,
    x - масштаб измерения.

Приведенная формула по простоте не идет не в какое сравнение с формулами предложенными в 1 части этой книги. Действия с такими формулами и их применение также значительно упрощаются, но эти формулы так далеки от наших современных суеверных представлений и от нашего восприятия природы, что могут показаться совсем не информативными.

Переход на новый вид описания формул физических величин и явлений может потребовать переводчиков, как в случае с иностранными языками. Только значительные преимущества новой теории и нового вида записей позволят им занять свое место в нашей жизни.

Статья опубликована в книге "Изобретательское Творчество", ISBN: 5-94990-002-2 в 2003 году, в Казане, Из-во "Фолиантъ'.
Зарегистрировано в ВНТИЦ 19 апреля 2002 года под номером 72200200011.
Опубликовано в бюллетене ВНТИЦ "Идеи. Гипотезы. Решения" номер 2, 2002 год.


Содержание I Далее


 Ваша оценка:

Популярное на LitNet.com П.Роман "Ветер бури"(ЛитРПГ) С.Нарватова "4. Рыцарь в сияющих доспехах"(Научная фантастика) В.Старский ""Темный Мир" Трансформация 2"(Боевая фантастика) Ю.Резник "Семь"(Антиутопия) А.Верт "Нет сигнала"(Научная фантастика) В.Василенко "Статус D"(ЛитРПГ) М.Ртуть "Попала, или Муж под кроватью"(Любовное фэнтези) М.Олав "Мгновения до бури 3. Грани верности"(Боевое фэнтези) Eo-one "Зимы"(Постапокалипсис) Б.лев "Призраки Эхо"(Антиутопия)
Связаться с программистом сайта.

Новые книги авторов СИ, вышедшие из печати:
И.Мартин "Время.Ветер.Вода" А.Кейн, И.Саган "Дотянуться до престола" Э.Бланк "Атрионка.Сердце хамелеона" Д.Гельфер "Серые будни богов.Синтетические миры"

Как попасть в этoт список
Сайт - "Художники" .. || .. Доска об'явлений "Книги"