======================= приложение к главе 5 =======================
     Там я написал что вся электродинамика изначально была сформулирована
Максвеллом на языке кватерионов (это которые гиперкомплексные числа с тремя
мнимыми единицами), но потом была переписана (в частности О.Хейвисайдом) на язык
векторов и тензоров, а кватерионы выведены из употребления и почти совсем
позабыты. И что я вижу во всём этом какую-то лажу, но без инструмента, чтобы
эти самые кватерионы "руками пощупать" никак не могу понять в чем же тут дело.
(Ибо ни разу не математик.)
     И вот теперь наконец трудами никому пока не известного Петрова Анатолия
Михайловича (правда к.т.н. и ст.н.с.) стало понятно что...

...что для электродинамики и механики, где сейчас используются вектора с
тензорами, использовать вместо них кватерионы не просто можно, или удобно, а
прямо таки НЕОБХОДИМО. Потому что векторно-тензорный анализ для этого круга
задач элементарно НЕ ГОДИТСЯ!

     а так-же

...что Эйлер, да-да, тот самый Леонард Эйлер - великий российский математик
(швейцарского происхождения), заложивший основы... ну много чего. Даже очень
много. В частности первым поставивший аж два с половиною века назад задачу о
быстровращающемся несимметричном волчке... Из трудов коего и проистекает мода
на повсеместно используемый ныне для подобного рода задач математический
аппарат...

   Ну так вот: этот самый Эйлер - ОСЁЛ!
   Хэвисайд (который Оливер) с Гиббсом (который Джозайя) - столь преуспевшие на
поприще истребления кватерионов - КАЗЛЫ!
   А мы все остальные - ну просто БАРАНЫ!

   Впрочем, как сказал один следователь (персонаж неплохого кинодетектива):
"не будем нервничать и не спеша во всём разберёмся".

   Итак, великий математик Эйлер взявшись строить математическую модель волчка,
обозначил сам факт его вращения вектором, торчащим вдоль его оси. Чем он
быстрее крутится, тем соответственно этот вектор длиннее. Пока всё
замечательно. Ну а дальше он взял и разложил это вектор по осям декартовых
координат. И в результате получил систему из трёх скалярных уравнений...
   Как думаете, что здесь не так?

   Вообще-то он поступил с вектором, изображающим поворот, в точности так-же как
все поступают с вектором, изображающим линейное перемещение. А давайте-ка
рассмотрим обе эти вещи на наглядном примере.
   Вот, предположим, у нас есть объект (например божья коровка) и мы хотим
исследовать процесс пока что линейного её перемещения. (А то при угловом - у
неё-же голова закружится!) Предположим, в настоящий момент она ползёт по
указательному пальцу некоего обитателя средней группы детского сада, коий
устремив этот палец в небо под углом альфа к горизонту, произносит таинственное
заклинание типа: "Божья коровка / улети на нёбко / там твои детки / кушают
конфетки / всем по одной, а тебе ни одной..." (мол не улетишь - конфет не
достанется). При этом сам он смотрит (и пальцем указывает) в сторону, отстоящую
от направления на север на угол бета. Для определенности - по часовой стрелке,
т.е. в восточном направлении: стоит так, чтобы солнце глаза не слепило.
   Положение божьей коровки можно описать медленно увеличивающимся вектором L,
выходящим из точки, куда мы её посадили (где-то в районе запястья) и
указывающим на центр тяжести самой божьей коровки. Его длина |L| (в метрах, но
лучше всё-же в миллиметрах) вполне может быть измерена обычной школьной линейкой.
Скорость описывается другим вектором V, выходящим из центра тяжести божьей
коровки и направленным в сторону её головы (в предположении что ползать боком
она не умеет). Его величина |V| (при размерности метры (или миллиметры) в
секунду) может быть измерена либо специальным прибором (каким гаишники ловят
автомобилистов на превышении скорости) либо вычислена, если например каждую
секунду измерять величину вектора L и каждый раз вычитать предыдущее его
значение из вновь измеренного.
   Заметим, что если детсадовец возьмётся указывать пальцем на разные предметы,
то вектор скорости божьей коровки будет направлен вовсе не туда, куда смотрит её
голова. Поэтому предположим (для простоты), что во время произнесения
заклинания он держит руку строго неподвижно, а перемещение тестового объекта
происходит строго по прямой и с постоянной скоростью. Тогда всё просто: V=const,
а L(t)=V*t, где t - время, прошедшее с момента старта.

   И вот теперь зададимся вопросом: можем ли мы сказать, что божья коровка
ползёт сразу в трёх направлениях: на север, на восток и вверх? Очень даже можем!
Более того, можем сделать так, чтобы она ползла в каждом из этих трёх
направлений не одновременно а по-очереди. Для этого вообразим прямоугольный
параллепипед, такой чтобы направление и длина его диагонали совпадали с
направлением и длиной отрезка от точки старта (на запястье) до кончика пальца,
грани сориентируем точно по сторонам света, и посадив (другую, специально
обученную) божью коровку на его нижний левый ближний к нам угол, попросим её
проползти по ребрам (сделанным из проволоки) в верхний правый дальний от нас и
от детсадовца. Не трудно убедиться, что результат будет тот же самый что и для
первой божьей коровки, ползущей по диагонали этого параллепипеда: они обе
прибудут в одну и ту же точку (хотя и неодновременно, что в данном случае
несущественно) вне зависимости от того по какому пути поползёт вторая божья
коровка. Но чтобы она не заблудилась мы ей на гранях стрелочки нарисуем - она
же у нас специально обученная!
    Надеюсь, что из этого примера наглядно видно, что порядок сложения векторов,
на которые можно разложить как линейное перемещение так и линейную скорость, не
играет никакой роли - результат всё время один и тот же. (Говорят, что эта
операция "коммутативная".) Ну мы ведь еще с первого класса знаем, что от
перестановки слагаемых сумма не меняется! А значит вполне законна и сама
операция разложения вектора по базису - представления в виде суммы векторов в
удобных нам направлениях.

   А теперь (когда первая божья коровка наконец доползла до ногтя и улетела)
рассмотрим вращения. Соорудим для второй (пока еще никуда от нас не улетевшей)
божьей коровки карусель: на тот же самый палец (всё еще устремлённый к небу под
углом альфа к горизонту и под углом бета к направлению на север) наденем
подходящий по размеру шариковый подшипник. И пусть его внешнее кольцо
поворачивается (под действием вообразительно-магических сил) так, как нам
вздумается (для начала - очень медленно). А божью коровку посадим на него в
точку, находящуюся на линии, соединяющий палец с кончиком носа детсадовца.
(Руку он, для простоты картины, по прежнему держит неподвижно.) Угол омега, на
который уехала божья коровка от исходного положения, будем измерять с помощью
обыкновенного школьного транспортира - в градусах, а скорость вращения
омега-маленькая (в градусах в секунду) - измеряя каждую секунду угол поворота и
вычитая из него предыдущий. То есть почти всё то же самое что и для линейных
перемещений.
   Ага. Ну так что-же проделал Эйлер? Он заявил, что мол давайте описывать
угол поворота божьей коровки вектором, направленным вдоль пальца, служащего
осью вращения. Как и в первом случае он у нас будет потихоньку удлиняться.
А скорость вращения - тоже вектором в том же самом направлении, разве что с
другой размерностью. Оба вектора, понятное дело, воображаемые. Ну, или, если
хотите, существующие не в нашем пространстве, где расстояния измеряются в
метрах, а в некотором другом, хотя и почти таком-же как наше, вот только
расстояния там измеряются в градусах и в градусах-в-секунду. (Впрочем, говорят,
что идейка эта была вовсе не его, а шотландского физика Макклорена.)

   А теперь зададимся почти тем же самым вопросом: можно ли сказать, что наша
божья коровка вращается сразу вокруг трёх осей (вертикальной и двух
горизонтальных, направленных на восток и на север)? То есть можно ли разложить
вектор, коим Эйлер описал поворот, на три составляющие - точности так же как мы
раскладывали вектор линейного перемещения божьей коровки, проползавшей вдоль
этого самого пальца, который сейчас служит нам осью вращения?
   На первый взгляд вроде-бы можно: вообразим поверх подшипника этакий почти
прозрачный шарик того же диаметра; отметим на этом шарике исходное положение
божьей коровки, а после того как внешнее кольцо подшипника повернется на угол
омега-большое-один - попытаемся опять совместить эту отметку с божьей коровкой,
поворачивая шарик поочередно вокруг вертикальной и двух горизонтальных
(направленных на север и на восток) осей. (Обозвав по традиции получившиеся три
угла поворота шарика какими ни будь средними греческими буквами, например фи,
пси и кси - все три с индексом "один".) Получилось? Вроде-бы да. Осталось
только, как и в первом случае, убедиться в независимости результата от того, в
каком порядке мы выполняем повороты.
   Для этого возьмём этот шарик, преобразуем его в кубик (предположим что он у
нас был пластилиновый) и покрасим ему грани в разные цвета. Или лучше сразу
возьмём что ни будь уже готовое - кубик Рубика вполне подойдёт. Но он должен
быть уже "собранный" - каждая из граней одноцветная - поворачивать-то мы его
будем весь целиком.

   Для начала расположим кубик так, чтобы спереди была синяя грань, а сверху
красная. Тогда справа будет желтая. (Вот такой у меня нестандартный кубик.
Скорее всего у Вас на этом месте белая. А у моего на белой грани еще и котёнок
с футбольным мячём во всю грань нарисован. В результате при сборке еще и
ориентацию центрального квадратика приходится учитывать...) Операцию приведения
кубика в это состояние (или само это состояние, что в данном случае
равносильно) обозначим буквой О (от слова - "ориентация").
   Введём три "базовых" поворота (для простоты и наглядности - на 90 градусов):
 - А - "опрокидываем" кубик от себя. Применив А к состоянию О (операции,
которые предполагается выполнить, будем просто писать подряд в естественном
порядке - слева направо, в данном случае: ОА) получим что синяя грань будет
сверху, красная - сзади, желтая останется на месте. (Через неё в данном случае
проходит ось вращения).
 - Б - поворачиваем кубик по часовой стрелке вокруг горизонтальной оси,
глядящей на нас. В результате ОБ синяя грань останется где была, красная будет
справа а желтая - снизу.
 - В - поворачиваем направо вокруг вертикальной оси. При ОВ верхняя красная
грань останется на месте, синяя будет справа а желтая - сзади.
 - если захотим что-то повернуть в другую сторону - обозначим это ~А, ~Б, ~В.
 - если захотим повернуть на углы меньшие чем 90 градусов - будем обозначать эти
повороты маленькими буквами (и, возможно, с числовыми индексами).

   А вот теперь выполним комбинацию поворотов. Для начала только двух в разном
порядке: ОАБ и ОБА. Что видим?
 - ОАБ ->  синяя - справа;   красная - сзади;    желтая - снизу;
 - ОБА ->  синяя - сверху;   красная - справа;   желтая - спереди;
     Результаты - разные!
     Желающие конешно могут выполнить более сложные комбинации. Например из
трёх разных поворотов, которых, как известно, шесть вариантов: ОАБВ, ОАВБ, ОБАВ,
ОБВА, ОВАБ и ОВБА. Или что-то типа ОАБ~А~Б и ОАБ~Б~А... Но по-моему
приведенного примера уже вполне достаточно чтобы сделать вывод, что сложение
поворотов НЕКОММУТАТИВНО. То есть результат зависит от порядка в котором они
выполняются. А следовательно комбинация поворотов это и не "сложение" вовсе!

   Впрочем, то что мы сейчас продемонстрировали - это вовсе не "Эйлеровы углы".
В нашем простеньком эксперименте оси вращения неподвижные - жестко привязаны к
осям координат (на которые якобы Эйлер и собирался проектировать вектор
поворота), а во всех книжках рисуют какой ни будь корабль или самолёт и говорят
об углах тангажа, крена и рысканья по курсу. ("Тангаж", кто не знает (я вот не
знал), это когда корабль кюёт носом, а корму задирает к небу, ну или наоборот.)
Или же изображают трёхстепенной гироскоп на карданном подвесе из трёх вложенных
друг в дружку колец и говорят про собственное вращение ротора этого гироскопа,
прецессию его оси, а так же нутацию ("кивание" поперёк направления прецессии).
То есть во всех случаях оси привязаны к самому объекту и поворачиваются вместе
с ним.
   Но мы ведь и такой эксперимент не затруднимся поставить: чтобы не запутаться
нарисуем направления поворота и соответствующие буковки прямо на гранях
кубика-рубика и обозначив их буквами со штрихом (чтобы отличались), повторим
почти те же самые ОА'Б' и ОБ'А'. Что видим?
 - ОА'Б' ->  синяя - сверху;   красная - справа;   желтая - спереди;
 - ОБ'А' ->  синяя - справа;   красная - сзади;    желтая - снизу;
     Результаты - в точности противоположные предыдущим, и тоже разные!

     Но может быть так обстоит дело только для поворотов на углы порядка
девяносто градусов? Чтобы проверить - опять возьмём пластилиновый шар и
зафиксируем его ориентацию, воткнув две спички: смотрящую на нас и вертикально
вверх. (Покрасив их для соблюдения подобия в синий и красный цвета
соответственно.)
     Гляди-ка: а ведь здесь и Оаб и Оба дают (вроде-бы) один и тот же результат!
На верхней стороне шара образуется этакий квадратик... Получается, что идея
Макклорена всё-таки правильная - ну хотя бы для дифференциалов?
   Однако: во-первых добавление поворота вокруг вертикальной оси (того, который
"в") безнадёжно портит нам всю малину. А во-вторых смысл любого анализа в
возможности последующего синтеза. Применительно к данному случаю, называвшемуся
во времена Эйлера с Ньютоном "анализом бесконечно малых" (а сейчас -
"дифференциальным исчислением"), как раз в том, чтобы конечный отрезок (ну или
поворот, а пусть хотя бы на наши 90 градусов) можно было как разбить на эти
самые бесконечно малые отрезочки (или поворотики), так и сложить из них обратно.
   А смысл такого разбиения, если кто забыл (или не знал), в том, что некий
параметр А(х), хитро меняющийся на протяжении оного отрезка Х, на каждом из
таких отрезочков - постоянный! (Ну почти.) На соседних отрезочках он конешно
разный, но это уже не так страшно. Даже хорошо: если разделить разницу между
соседними значениям (обозначаемую dА(х)) на длинну такого отрезочка dх -
получим скорость изменения параметра А как функцию от всё того же аргумента х,
известную как "производная". А по отношению к ней сама А(х) будет называться
"первообразной". (Сама операция поиска производной функции называется
"дифференцированием", обратная к ней - поиска первообразной - соответственно
"интегрированием".) А вот если мы возьмём значение А в точке х, умножим на
длинну этого самого отрезочка dх и все такие произведения сложим - получим
площадь под кривой А(х). Саму операцию такого суммирования математики
обозначают особо тощей латинской буквой S, растянутой по вертикали аж на три
строчки. (И известной как "интеграл".) Потому как сверху и снизу еще надо
написать мелкими буковками откуда и докуда складывать. В точности так же как
для обычных суммы и произведения многих членов, обозначаемых особо здоровенными
(тоже на три строчки) буквами сигма заглавная (греческая) и П тоже заглавная
(русская). (Там тоже указывается нижний и верхний пределы изменения некоего
параметра, правда обычно указываемого явно.)
   ///Если функция А(х) написана в виде формулы, то производную можно получить,
преобразовав её по несложным правилам. (А дифференциал - умножив её на dх.) А
вот первообразную получить подобным методом гораздо сложнее (и удаётся
далеко не всегда) т.к. это операция "обратная". Но уж коли получили - то
вычислить площадь под кривой - элементарно: это всего лишь разность значений
первообразной на краях отрезка. Т.к. значение первообразной в некой точке х
это фактически площадь под кривой от минус бесконечности до вот этой самой
точки.///
   А вот если просуммировать таким методом все отрезочки dх - должны получить
обратно исходный отрезок Х.
   Проверим? (А то что-то терзают меня смутные сомнения...) Выполним поворот
на 90 градусов сначала за два шага (по 45), потом за четыре, потом за восемь...
   Ой, что-то поворачивать шарик на малые углы как-то не очень... Даже если в
качестве оси вращения втыкать в него проволочку (например аккуратно разогнутую
канцелярскую скрепку).
   А между прочим, если выполнять повороты только вокруг горизонтальных осей,
то наш шарик можно просто катать. По столу например. Или по специально
разграфленному листу бумаги. Спички (указывающие ориентацию) при этом мешают -
ну так заменим их метками в виде клочков бумаги, окрашенных в  соответствующие
цвета: красный - сверху, синий - спереди а желтый - справа.
   Я взял ровно сто грамм белого "архитектурного" пластилину (его был целый
килограмм, да почти весь вышел) и в результате получился шарик размером с
мелкое яблоко, такой что его полный оборот происходит на длине шестнадцать с
половиною сантиметров. Значит рисуем квадрат со стороной 4.1 см и катим шар
сначала вперед, потом вправо. Далее делим стороны квадрата пополам и катим
вперед на два сантиметра, вправо на два, опять вперёд, опять вправо. Далее
делим стороны квадратиков еще пополам... Ну и что получается? В первом случае -
разумеется в точности то же самое что и при ОАБ для кубика-рубика. Во втором -
вроде бы опять то же самое... Только куда это красная метка у нас там
спряталась?... А в третьем - ба - и синяя как-то криво торчит, и желтая из под
шарикова брюха показалась...
   А ну-ка честно прокатим наш шарик по диагонали. Что видим? Да-а-а - это
вообще ни на что непохоже! Впрочем, если добавить к нашему квадрату сантиметра
по полтора - то метки займут-таки подобающие им положения. Но при этом красная
получается снизу, синяя - справа, а желтая - прямо перед нами! (Т.е. то же что
при выполнении поворотов ОААВ или ОВББ.)

   Как же всё это понимать? А так, что Петров пожалуй что был прав, а Эйлер с
Макклореном - соответственно нет. Что для моделирования комбинации поворотов
сложение обозначающих эти повороты векторов решительно не годится ибо ведёт
себя по-другому - не так, как сами повороты. А алгебры с некоммутативным
сложением в нашем распоряжении нет. Зато есть алгебра с некоммутативным
умножением, и это вот как раз она - алгебра кватерионов. Осталось только
вспомнить, что же это такое...


   Дальше видимо должно последовать безграмотное объяснение - что такое
комплексные числа вообще и кватернионы в частности... Только надо-ли?
   Мне вот тут подсказывают, что мол надо. Ну значит последует!


   Мы будем исходить из того, что математика (да и физика) это такая
занимательная интеллектуальная игра для великовозрастных детишек. (Имеющая,
впрочем, и вполне заметную практическую ценность.) Но к сожалению вокруг этого
дела собрались еще и большущие толпы надувателей щёк (у-у-у мол какие мы вумные
и важные!) маскирующих сей поразительный факт одним своим присутствием (ибо их
в десятки раз больше), но так же и сознательно - пытаясь всех уверить, что то
чем они занимаются - "это не для средних умов". Для чего под видом стремления к
математической строгости всем, ещё в процессе обучения, навязывается стиль
рассуждений типа "концы в воду": из всех текстов изгоняется всякая живая мысль;
реальный ход рассуждений автора тщательно скрывается и подменяется формальной
мертвечиной, полностью исключающей какое либо понимание и рассчитанной
исключительно на зубрёжку. Принятый в математике птичий язык очень этому
способствует...
   По их меркам мои рассуждения и объяснения - максимально безграмотны.
Объяснить-то я пытаюсь фактически сам себе. А пудрить самому себе мозги -
последнее дело.

   С обозначенной выше кочки зрения "мнимые" числа понадобились в основном для
восстановления справедливости: ну в самом деле чего это - у положительных чисел
корни есть, а у отрицательных - нету. Чем они хуже!?
   Как известно разные всякие операции, и те которые производятся над числами,
и те, что над объектами реального мира - можно разделить на "прямые" и
"обратные". Последние выполнить гораздо труднее. (Например: забить в доску
гвоздь (особенно если по самую шляпку) куда как проще чем потом его обратно
оттуда вытащить.) А в математике для обратных операций еще и приходится
расширять множество чисел. Вот как раз из соображений справедливости: прямая
операция применима к любому числу, или любой паре чисел, если двухместная, и
её результат всегда принадлежит к тому-же множеству объектов, что и её операнды,
а обратная видите-ли нет.

   Сначала у людей были только натуральные числа - с их помощью яблоки считали
(и корзины, куда их собирались складывать), ну или мамонтов на пастбище - дело то
как раз происходило примерно в те самые времена. Складывать можно разумеется
любые натуральные числа - получается опять натуральное число. Но вот вычитать...
Сначала постановили что вычитать большее из меньшего безсмысленно. (Ну в самом
деле, как можно взять из корзины семь яблок, если их там только три? Никак!)
Но потом (а к тому времени деньги уже давно были в ходу) придумали ноль и
отрицательные числа и стали трактовать их как "долг". То есть смысл для таких
операций, хоть и не сразу, но нашелся.
   Операция умножения тоже применима к любым натуральным числам, а вот обратная
к ней - деление на равные части - для многих пар даёт остаток. А деление
меньшего на большее сначала тоже считали бессмысленным, но потом (причем куда
раньше изобретения ноля) признали полезным для обозначения частей целого и
узаконили как "натуральные дроби".
   Операция возведения в степень, изображающая многократное умножение числа
самого на себя, придумана по аналогии с операцией умножения, заменяющей
многократное сложение числа самого с собою. Но вот обратная к ней, известная как
нахождение корня такой-то степени... На этом, кстати, сломались древние греки:
обнаружили что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. (Теорему Пифагора
они уже знали.) То есть, если длину стороны принять за единицу, то точная длина
диагонали не выражается никакой натуральной дробью. В результате чего, посыпав
голову пеплом, отказались от чисел вообще, перейдя исключительно к
геометрическим построениям!
   Много-много позже такие числа всё-таки узаконили, обозвав правда
"иррациональными". (Причем их оказалось гораздо больше чем "рациональных". И это
при том, что даже натуральных чисел, коие всего лишь подмножество рациональных,
и то - бесконечность!) Некоторым наиболее популярным иррациональным числам дали
собственные имена. Наиболее известные из них это числа Пи и Е, ну еще может быть
Тау (коэффициент ряда Фибоначчи равный один плюс корень из пяти и всё это
делённое на два). Тут пришла пора распространить действие всех известных на тот
момент операций на все известные на тот момент числа, и этот фокус более-менее
получился - ну кроме некоторых исключительных случаев. Причем казалось-бы самых
простых. Вот не получается деление на ноль. Но ноль - он ведь один единственный.
Для него одного вполне можно сделать исключение. (И к тому же - если очень
хочется - можно считать что деление любого числа на ноль даёт бесконечность. А
деление его-же на бесконечность - соответственно даёт ноль.) В остальном с
участием в умножении и делении отрицательных и нецелых чисел никаких сложностей
больше не возникло. Перешли к возведению в степень. Отрицательную степень стали
трактовать как многократное деление единицы на это число. (А возведение в
нулевую - соответственно умножение или деление ноль раз - вот единица и
остаётся.) Возведение в дробную степень - как нахождение корня... На радостях
ввели обратную к степенной функции - логарифмическую, и тут...

   Да не тут, а гораздо раньше. Еще когда только-только придумали отрицательные
числа и взялись их не только складывать но и умножать, обнаружили что
произведение двух отрицательных чисел неизменно даёт положительное. А значит
сыскать такое число, умножив которое само на себя можно было бы получить
отрицательный результат (даже для самого простейшего случая - единицы)
решительно невозможно. Таковых чисел просто нет!
   То есть квадратных корней для отрицательного числа не дождёшься, в то время как
у положительного числа их сразу два. Нечестно, несправедливо, судью (ну или кто
там всем этим заведует) на мыло! А давайте, сказали великовозрастные
детишки-математики, такое число просто выдумаем. Выдумали, обозначили буквой i
и обозвали "мнимым", потому как ничему реальному не соответствует и существует
исключительно в их воображении.
   Присмотрелись по-внимательнее - батюшки-светы! Выдумали то только одно
мнимое число (то, которое будучи умножено само на себя, даёт в результате минус
единицу) а получили столько же сколько "реальных" - целую числовую ось. Вредное
число i, если умножить на него любое реальное число, делает его мнимым. И эта
мнимая числовая ось не имеет с действительной ничего общего... А, нет - имеет.
Одну точку. Ту, которая ноль. Ноль - он такой: что на него ни умножь - всё в
ноль превратит. За сим, что действительный ноль, что мнимый - всё ноль. (Что
совой об пень, что пнём об сову...) А коли мнимая ось пересекается с
действительной в одной точке, то правильнее всего будет нарисовать их на
бумажке перпендикулярно друг к дружке. "Так это же у нас оси декартовых
координат на плоскости получились!" сказали математики и совместив их в
единое "комплексное" число, попытались приспособить его для чего ни будь
полезного. (Ну, там, это вот - пол подмести, воды наносить...)


   Наверно, для комплексных чисел есть множество интересных и полезных
применений, но лично мне доподлинно известно только одно - расчет
электрических цепей переменного тока. О чем сейчас с удовольствием расскажу.
Пусть это будет лирическое отступление. А кому неинтересно - пусть его
пропустит.

  ----------------начало---лирического---отступления---------
   Тут ведь вот какое дело: цепи постоянного тока рассчитываются ну не то что
бы элементарно, но весьма несложно. А вот переменного...

   Для тех, кто не знал да забыл - напоминаю: основные два параметра,
представляющие интерес - это ток I и напряжение U. Напряжение на каждом из
элементов цепи, а ток в каждой её веточке, или в каждом контуре - кому что
больше нравится. Ещё может быть интересна мощность, выделяющаяся на элементах
электрической цепи, но она - всего лишь произведение тока через элемент на
напряжение на нём: W=U*I. (Типа: "бери больше, кидай дальше".)
   Электрическая цепь в простейшем "линейном" случае (к коему стремятся свести
все остальные, соорудив "эквивалентную схему") состоит из элементов двух типов:
источников энергии и её потребителей. Источник (например батарея гальванических
элементов) создаёт электродвижущую силу (ЭДС), которая гонит ток по проводам, а
потребитель (например лампочка) превращает электрическую энергию во что ни будь
другое (чаще всего в тепло) и при этом мешает току протекать. Величину ЭДС
почему-то обозначают буквой Е, хотя измеряется она в тех же самых вольтах что и
напряжение (U). Сопротивление, которое оказывает потребитель, обозначается
буквой R и измеряется в Омах. А ток - это количество электронов, протекающих
через провод в единицу времени. Его, так же как и количество протекающей по
трубе воды, можно бы измерять в штуках (молекул или электронов) в секунду, но
больно уж большие числа получаются. За сим для воды используют вёдра или литры
или метры кубические, а для электронов - "кулоны". Каковой кулон это примерно
6.25*10^18 штук электронов. В результате Ампер это кулон в секунду.
   Напряжение гонит ток по проводам в точности так же как давление, создаваемое
насосом, гонит воду по трубам. Трубы, естественно, сопротивляются. Чем больше
давление, вернее разность давлений между началом и концом участка трубы, тем
больше удастся "продавить" через неё воды (в секунду). Но чем длиннее и тоньше
труба, тем сильнее она сопротивляется и тем, соответственно, воды протечет через
неё меньше. С электрическим током аналогично: его величина через участок цепи
тем больше, чем больше на этом участке напряжение и меньше сопротивление I=U/R,
что известно как "закон Ома". (Если напряжение = 1 Вольт, а сопротивление 1 Ом,
то и ток будет ровно один Ампер, т.е. один кулон в секунду.) Но и наоборот:
если через сопротивление R течет некоторый ток I, то на нём обязательно будет
падать напряжение U=I*R.
   Вольт - величина небольшая. Гальванический элемент в виде цинкового
стаканчика, намазанного изнутри полужидким электролитом (чтобы не вытекал) и
заполненного смесью угля с марганцовкой (чтобы истреблять водород, выделяющийся
на втором электроде) и то даёт полтора вольта. А если взять металл по-агрессивнее,
что нибудь типа лития - то и два с лишним вольта получить можно. Вольт до
пятидесяти напряжение почти безопасно. Чтобы получить даже самую маленькую
молнию - надо несколько тысяч. А чтобы настоящую - несколько миллионов. В
бытовой осветительной сети сначала было 110 вольт, потом 127, а сейчас вот 220.
(Правда напряжение там - переменное.) На контактном проводе трамвая - 600 вольт,
у электрички - 6000. Ток в один ампер - величина довольно солидная. Лампочка
карманного фонаря потребляет треть или четверть ампера; лампочка настольной
лампы - примерно столько-же, но там напряжение совсем другое; светодиодный
фонарь (при совсем свежих батарейках) - в два раза меньше - милиампер
стодвадцать. Но если они подсели и ток милиампер 50 - он тоже ничего светит...
Типичные токи в электронных схемах - единицы или доли милиампер, а то и вообще
микроамперы. Но вот киловатный утюг потребляет от сети ампер пять. А двигатели
трамвая - больше ста. Сопротивление в один Ом - ни два ни полтора: для силовой
электрики, где токи десятки а то и сотни ампер - непомерно много; для
слаботочной (т.е. для электроники), где токи - мили- и микро-амперы - слишком
мало. Там номиналы используемых резисторов - от десятков Ом до единиц мегаом.
Единицы и доли ома - разве что шунт в каком нибудь амперметре.
   Последовательно включенные сопротивления, естественно, складываются. Но вот
если их включить параллельно... в этом случае вместо сопротивления лучше
рассматривать "проводимость" G - то, на сколько отрезок электрической или
гидравлической цепи не мешает, а наоборот способствует воде протекать. Величина
эта, естественно, обратная к сопротивлению G=1/R и измеряется в "сименсах".
Ясный пень, что чем шире и короче труба тем больше будет её проводимость. А
параллельно включенные проводимости - складываются. 
   Для последовательно включенных участков цепи складываются напряжения,
падающие на каждом из них, или создаваемые имеющимися в них источниками; а для
параллельно включенных ветвей складываются протекающие по ним токи. В частности
складываются напряжения последовательно включенных батареек, а если их включить
параллельно - складывается отдаваемый ими ток. Но если вдруг у них будет разная
ЭДС - та, у которой ЭДС больше будет разряжаться через внутреннее сопротивление
той, у которой меньше! (Или не дай бог одну из них включили не в ту сторону...)
Да, у неидеального источника есть еще и (паразитное) внутреннее сопротивление.
Чем оно меньше, тем источник лучше (мощнее). Вернее так: неидеальный источник
это чаще всего источник напряжения последовательно с которым включено внутреннее
сопротивление. И напоминает всё это центробежный насос - он создаёт некоторое
фиксированное давление, а ток - какой получится. Но насосы бывают и поршневые,
создающие фиксированный ток, сообразный объёму цилиндра и количеству циклов
"выдавливания" из него воды поршнем наружу. А давление - какое получится. Их
эквивалент - источники тока с бесконечным собственным сопротивлением (точнее
нулевой проводимостью), зашунтированные паразитной проводимостью, ибо будучи
разомкнуты создают всё-таки не бесконечно большое напряжение, а... Впрочем
среди "первичных" источников таковые не встречаются. (Разве что "электрофорная"
машина из школьного кабинета физики или еще какая экзотика, вроде генератора
ван-де-Граафа.)

   Простейшая электрическая цепь имеет вид одного единственного замкнутого
контура, по которому протекает один единственный ток I. (А буде контур не
замкнутый - ток не потечет. Впрочем, можно считать что одно из включенных в
него сопротивлений - бесконечное, вот ток и получился нулевой...)
   Задачу мы решаем "прямую" - по известным нам параметрам элементов пытаемся
вычислить этот самый ток. Вычислить его элементарно: сложить ЭДС всех
включенных в контур источников (с учетом знаков - вдруг какую батарейку по
ошибке включили в обратной полярности) и разделить это на сумму всех
сопротивлений, включая сюда и внутренние сопротивления источников. А зная ток
ничего не стоит определить падение напряжения на каждом из элементов и, если
хочется - выделяющуюся на нём мощность.
   Для хитро разветвлённой цепи понадобятся ещё законы Киргофа. Первый из них
гласит, что сумма всех напряжений, падающих на каждом из элементов замкнутого
контура неизменно равна нулю (какие-бы токи там ни протекали) - с учетом их
знаков конешно. А второй - что сумма токов втекающих в некоторый узел и
вытекающих из него - тоже равна нулю. (Т.е. что в этом узле электрончики никуда
не деваются и новые ниоткуда не возникают.) А дальше назначаем для каждого
контура некий фиктивный "контурный ток" (по веточке, входящей, например, в два
контура, будут одновременно протекать токи обоих), или же для каждой пары узлов
вполне реальное (легко измеримое) межузловое напряжение (кому что больше
нравится); пользуясь двумя вышеупомянутыми законами составляем должное
количество связывающих их уравнений... (Ровно столько, сколько у нас
неизвестных.) А решить систему линейных уравнений - дело техники.

   Вот мне тут подсказывают, что мол забыли как линейные уравнения решают - ну
с третьего класса, когда это учили, времени-то сколько  прошло... Оболтусы! Вот
щас всё брошу и буду вам про линейные уравнения рассказывать! Впрочем ладно.
Пусть это у нас будет еще одно лирическое отступление, но потом. А то сколько
можно отступать - наступать надо!

   Если параметры некоторых элементов зависят от напряжения на них (или от
протекающего по ним тока) - система уравнений получится нелинейная и решить её
по-сложнее. Но всё равно можно - например численно. Или же найти более-менее
линейный участок, что обычно и делают в предположении малой величины полезного
сигнала... (Но в радиотехнику залезать пока не будем.)

   Ну вот - можно считать, пересказал вкратце всю электротехнику постоянного
тока. А как быть с переменным, где напряжения и токи - функция от времени?
Если все сопротивления исключительно "активные" - т.е. честно превращающие
выделяющуюся на них энергию во что-то неэлектрическое (например в тепло) -
ничего не меняется: все напряжения и токи имеют одну и ту же форму, поэтому
мысленно остановим время в тот момент когда у нас верхушка синусоиды (если
конешно ток синусоидальный) или в какой другой удобный для нас момент и
рассчитаем всё так, как будто напряжения и токи - постоянные. Правда с
определением мощности - проблемы: она меняется в течении периода. За сим берут
не "амплитудное" а "эффективное" значение напряжения. От его формы зависит. Для
синусоиды оно соотносится с амплитудным на корень из двух. (Вы думаете, у вас в
электрической розетке действительно 220 Вольт?)
   Но ведь бывают (а вернее сплошь и рядом встречаются) еще и "реактивные"
сопротивления - емкости (конденсаторы), накапливающие в себе энергию в виде
электрического поля и индуктивности (катушки) - в виде магнитного. И отдающие
её обратно при первой же возможности. Для постоянного тока их как бы и нету:
индуктивность прикидывается куском провода и оказывает почти нулевое
сопротивление, а конденсатор постоянного тока через себя просто не пропускает
(т.е. у него нулю равна проводимость). А вот для переменного тока оба они
становятся очень даже не ноль...
   Индуктивность - аналог инертной массы. Как масса m мешает предмету менять
свою скорость, "вырабатывая" силу, пропорциональную скорости её изменения (т.е.
ускорению A: F=m*A - это еще Ньютон обнаружил), так-же и индуктивность
препятствует изменению тока через неё, вырабатывая подталкивающее его
напряжение. Если скорость изменения тока один ампер в секунду, а напряжение при
этом вырабатывается ровно один вольт - значит индуктивность - ровно один генри.
Генри - величина довольно солидная: у лежащего сейчас передо мною зелёного
трансформатора трансформатора размером с кулак и весом в полкило -
индуктивность "первичной" (сетевой) обмотки (из нескольких тысяч витков) - чуть
меньше пяти Генри. Стандартная радиодеталька "дроссель" - обычно десятки, ну
или сотни микрогенри.
   Емкость - аналог упругости. Как пружина, например автомобильная рессора,
амортизирует колебания предмета (кузова ватомобиля), "забирая себе" излишнее
перемещение колеса, наехавшего на кочку или провалившегося в колдобину, но при
этом прикладывает к предмету силу, пропорциональную перемещению х и своей
жесткости k: F=k*x (это тоже известно невесть с каких времён), так же и
конденсатор забирает себе излишний заряд (или выдаёт недостающий), создавая
пропорциональное ему напряжение. Но чем больше его ёмкость, тем эта
"электрическая пружина" мягче. Если в конденсатор залили целый кулон электронов,
а напряжение на нём повысилось только на один вольт - значит ёмкость его ровно
одна фарада. Фарада - величина запредельно большая. Обычно в ходу конденсаторы
от единиц пико-фарад (10^-12) до единиц микрофарад (10^-6). Конденсатор в пару
тысяч микрофарад (особенно если на солидное напряжение) - размером с пол кулака.
Хотя в последнее время появились конденсаторы емкостью до единиц фарад. Но
рабочее напряжение одной штуки - доли вольта. Чтобы было больше - надо включать
много штук последовательно, в результате во столько-же раз падает общая
емкость. Или непомерно увеличиваются габариты...
   Если подать сигнал сложной формы на схему, содержащую не только "активные"
но и вышеописанные "реактивные" сопротивления (а еще, не дай бог, если
некоторые из них нелинейные) - сигнал на её выходе будет скорее всего совершенно
не похож на входной. И чтобы определить его форму, в общем случае скорее всего
придётся писать (и решать) систему дифференциальных уравнений...
   Но если случай всё еще "линейный", то задача существенно упрощается: сложный
сигнал можно разложить на сумму простых: синусоид с разной частотой. (Синусоида,
сколь бы сложной она ни казалась, на самом деле, уж поверьте - вещь
наипростейшая!) И решить задачу для каждой из частот по-отдельности.

   Немножко отвлечемся. "Линейной" некоторую систему (совершенно произвольного
вида) можно считать вот когда: предположим мы оказали на неё некоторое
воздействие X и получили на него отклик Y. Например, если система электрическая
- подали напряжение некоторой формы и замерили протекающий под действием этого
напряжения ток. Или напряжение в другой части схемы. Или подали сразу целую
коллекцию напряжений в разные места и замерили целую коллекцию токов... То, что
отклик совершенно непохож на воздействие - не важно. Ну так мы подаём X1 и
получаем Y1; подаём X2 - получаем Y2; а теперь мы подадим X1+X2 - что получим?
Если получим Y1+Y2 - значит система линейная. Но это разумеется должно
соблюдаться для всех возможных входных воздействий. Если система "аналоговая" и
мы имеем возможность масштабировать входное воздействие (увеличить или уменьшить
во сколько-то раз или на сколько-то процентов) - в общем случае сделать X2 из X1,
умножив его на некий коэффициент А, то в этом случае и Y2 должно быть А*Y1.

   Ну так синусоида - собственная функция линейной системы!

   Непонятно? Сейчас объясню.
   Функция это штучка такая: мы ей число - "аргумент", а она, маленько подумав,
нам в ответ другое число - "результат". А мы возьмём числовую ось (на бумажке
нарисуем - например по горизонтали), все её числа (что поместились) передадим
этой самой функции и отложив результаты по вертикали нарисуем в виде точек.
Получился график этой самой функции - её наглядное представление. (Этот график
часто принимают за саму функцию. Мы вполне можем считать, что в в этой самой
штучке сидит гномик, вооруженный таким вот графиком и линеечкой...) Если точки
слились в линию - замечательно - значит функция непрерывная. (А могла бы и...)
Если линия - прямая, значит функция линейная. (Если кривая - значит нет.) Если
аргумент - время (течет само по себе), а значение - какая либо электрическая
величина (напряжение в некой точке схемы) этот график можно разглядывать с
помощью осциллографа. (А если не электрическая - преобразовать! С помощью
"датчика".) Но она-то по всякому будет непрерывной - это только в математике
функции могут быть какие угодно...
   Синус это очень часто встречающаяся функция, обычно в виде колебаний чего
нибудь такого-этакого. Грузик на верёвочке, если его слегка качнуть - будет
качаться вот как раз почти по синусоиде (затухающей). 'Почти' потому, что
"возвращающая сила", стремящаяся вернуть грузик в положение равновесия (а он
вишь его каждый раз проскакивает) здесь пропорциональна отклонению от него
только для малых углов. Грузик на пружинке в этом смысле лучше. Или его
электрический аналог состоящий из катушки и конденсатора и известный как
"колебательный контур". В нём роль возвращающей силы играет напряжение на
конденсаторе, а вместо упругости пружинки - его емкость (чем она меньше тем
эта пружинка "жесче"). Соответственно, роль грузика играет индуктивность
катушки (мешающая току изменяться), а вместо скорости движения грузика - ток.
   А сама эта функция происходит от поворота. И аргумент у неё - его угол.
Например угол поворота второй стороны прямоугольного треугольника (это которая
"гипотенуза") относительно первой ("катета") имеющей вид горизонтальной линии.
Вот синус - длина третьей стороны (тоже "катета") - той, которая напротив угла.
Предположим сначала угол нулевой - вторая сторона совпадает с первой, а длина
третьей соответственно равна нулю. Потом вторая сторона начинает потихоньку
поворачиваться - третья сторона растёт. До тех пор, пока вторая не займёт
вертикальное положение. Здесь значение синуса - единица, т.к. вторая и третья
стороны совпадут. (Думаю - уже все догадались, что длина третьей стороны это
R*sin(A), где R - длина второй (её еще часто называют "радиус-вектором"), а A -
угол её поворота.) Если вторая сторона будет поворачиваться и дальше - синус
будет уменьшаться обратно до нуля. (Что треугольник при этом в другую сторону -
не важно.) Далее, проскочив ноль, будет уменьшаться до минус единицы, после
чего, совершив полный оборот, опять вернётся к нулю. Таким образом функция -
"периодическая". Парная к синусу функция "косинус" - по форме такая же в
точности, но "опережает" синус на четверть периода: указывает длину нижней
стороны (другого катета) - сначала-то (при нулевом угле) он единица.
   Если что-то там такое вращается непрерывно, делая один оборот за Т секунд,
ну или делая F оборотов в секунду (Т называют "периодом" а F=1/Т - частотой и
измеряют в "Герцах"), то значение некоего, изменяющегося по синусоиде параметра
этой штуки для любого момента времени t можно определить по формуле
R*sin(360*t/Т) или R*sin(360*t*F) это если угол измеряем в градусах (которых в
окружности, как известно, 360) или R*sin(2*Пи*F*t) если в "радианах" (которых,
как известно два пи штук) или даже R*sin(2*Пи*F*t+Ф) где Ф это начальная фаза
(поза!) предмета в момент t=0. Чтобы не писать всё время 360 или два пи
(каковое число существенно нецелое) вместо 360*F или 2*Пи*F используют
"круговую" частоту - сразу в градусах или радианах в секунду. Её, как всё
связанное с углами, традиционно обозначают какой ни будь греческой буковкой,
чаще всего - омега маленькое.
   А "собственная" функция некоего оператора это такая, которая при действии на
неё этого оператора остаётся сама собою. (А оператор у математиков - тоже
что-то вроде функции, только на его вход подаётся не просто число, а что-то
посложнее. Вот вся функция целиком и подаётся. А с выхода получается другая.)
   Вот предположим на вход некоторой (всё еще электрической) системы мы
запустили некоторый (тоже электрический) сигнал X(t), хитрым образом меняющийся
с течением времени. А с выхода получили сигнал Y(t), совершенно на X(t)
непохожий. (Другой пример: взяли чайную чашечку, ударили по её краю чайной-же
ложечкой и если чашка не треснутая услышали приятный звон. Входной сигнал
неизвестно какой формы механический импульс; выходной - затухающая синусоида.)
Спрашивается: а можно ли найти такой входной сигнал, чтобы выходной был такой
же в точности? Ну разумеется по величине по-меньше (или напротив по-больше), по
времени тоже возможно несколько задержанный (или наоборот - с опережением), но
чтобы по форме - один в один? Вот ежели таковой найдётся, то это и будет
"собственная функция" этой системы.
   Для электрической цепи, состоящей только из "активных" элементов, параметры
которых не зависят ни от времени ни от напряжений на них (или протекающих через
них токов) всё это не имеет смысла, т.к. "собственной" является совершенно
любая функция, какую только можно придумать. А вот для такой же цепи, но
содержащей реактивности (уже упоминавшиеся катушки и конденсаторы), да и вообще
для линейной системы абсолютно любой природы, собственными функциями являются
синусоиды. То есть что бы наша система ни творила со входными воздействиями, но
если ей на вход запустить синусоиду любой частоты - синусоиду же на выходе и
получим. А если запустить сразу две - с разными частотами - мы и получим на
выходе сумму этих двух, разве что их амплитуды да и фазовые сдвиги скорее всего
изменятся по-разному. В точности так-же можно запустить и три синусоиды и
четыре, и вообще сколько угодно...
   А вот для системы даже чуть-чуть нелинейной, если мы запустим на её вход
синусоиду, например с частотой f, то на выходе кроме неё с удивлением обнаружим
так же синусоиды с частотами 2*f, 3*f, 4*f... Известные как "вторая гармоника",
"третья гармоника" и.т.д. (Амплитуды которых будут зависеть от величины и
характера нелинейности, но с увеличением номера как правило быстро уменьшаются.)
А если запустим на вход синусоиды с двумя разными частотами, то обнаружим так
же сигналы с суммарной и разностной частотой (и разумеется гармоники от них). В
радиотехнике этим во-всю пользуются...

   Кстати, синусоидальный сигнал называют еще "гармоническим". Слово "гармоника"
видимо отсюда и происходит. Как оно связано с гармошкой, на которой играл
кроколил Гена, а так-же с гармонией, коию злокозненный Сальери добыл из разъятой
как труп музЫки и взялся поверять алгеброй - понятия не имею.


  А любой сигнал - абсолютно любой формы - вполне можно разложить на сумму
синусоид с разными частотами. Причём, если сигнал периодический - в точности
повторяется с некоторым периодом Т (или что то же самое - с частотой F=1/Т),
то достаточно синусоид с частотами F, 2*F, 3*F, 4*F... (В этом случае говорят,
что частотный спектр сигнала не сплошной, как у однократного, а линейчатый.)

  Здесь идея такая же в точности как и при разложении вектора по базису. Но на
плоскости достаточно двух базовых векторов. Совершенно кстати любых (совсем не
обязательно чтобы они были перпендикулярны и одинаковой "единичной" длины) -
лишь бы не параллельны. В пространстве надо три. (К предыдущей паре добавить
такой, чтобы не лежал в образуемой ими плоскости.) А вот "функциональный" базис,
состоящий, кстати, из каких ни будь функций (совсем не обязательно из синусов
разной частоты), но разумеется таких чтобы они не сводились друг к дружке
(синусы то кстати этому условию вполне удовлетворяют) должен содержать не два,
не три и даже не тысячу элементов, а БЕСКОНЕЧНОЕ их количество. Но для функций
это как раз не проблема: есть множество подходящих "коллекций". Вот те же синусы
например. Или самые простые "степенные" функции вида X, X^2, X^3, X^4,... X^n,
где n от нуля (будет 1, то есть константа) до бесконечности.
   Чем хороши степенные функции - мы их умеем вычислять. Все остальные не умеем,
а их умеем - просто умножаем число (которое аргумент) нужное количество раз на
само себя. Потому-то когда хотим вычислить тот же синус или экспоненту или еще
какую нам вздумается функцию (от некоторого фиксированного аргумента,
разумеется) - раскладываем её в ряд по степеням аргумента. Что здесь хорошо -
что коэффициенты при членах этого ряда как правило быстро затухают: вычислил и
сложил десяток-другой первых членов, а остальные и вычислять не надо - они уже
такие маленькие что в пределах нужной нам точности на результат уже не влияют.
(А мы всё всегда вычисляем с некоторой ограниченной точностью - ничего тут не
поделаешь: количество доступных нам вычислительных ресурсов (в т.ч. бумаги и
карандашей) всегда ограничено.)
   Но степенной базис - он кривой, а синусоидальный - ортогональный, да еще и
нормированный. Все синусы как будто перпендикулярны друг к дружке: если взять
два синуса с разными частотами (например F1 и F2): sin(F1*X) и sin(F2*X),
поточечно перемножить их для всех возможных значений аргумента X и все
произведения сложить (в математике это, кстати, называется "свёртка"), ну так
не смотря на то что диапазон изменения X вообще-то от плюс до минус
бесконечности, результат неизменно получится равный нулю! Если конешно частоты
и в самом деле разные. А если всё-же одинаковые - он будет в пределах от +1 до
-1 в зависимости от сдвига фаз Ф (типа один сигнал sin(F*X) а другой -
sin(F*X+Ф)).

   Ну так ладно: мы значит разложили сигнал на сумму синусоидальных и взялись
рассчитывать токи и напряжения для каждой из таких синусоидальных компонент
по-отдельности. А если речь идёт о сети переменного тока (220 В, 50 Гц), то нам
и раскладывать ничего не надо. Силовая электрика - она вот как раз вся от такой
сети и питается.
   А еще нам возможно понадобится определить фазовые сдвиги: у синусоидального
сигнала (например напряжения u(t), имеющего вид u(t)= U*sin(F*t+Ф)) не один
"внешний" параметр как у напряжения постоянного (у коего только и была, что его
величина U - но сейчас она будет называться "амплитудой"), а два - ещё и фаза Ф.
Остальные параметры - "внутренние" и интереса не представляют. То что форма -
синусоида - это мы заранее договорились, частота её F - постоянная, а время t
ну течет себе и течет - никого не трогает...

   А вот теперь сделаем финт ушами: обозначим все токи и все напряжения не
действительными как для постоянного тока, а комплексными числами. Отличительная
особенность: над всеми буковками, обозначающим такие вот комплексные величины,
принято рисовать жирную точку. Ну примерно так-же как маненькую стрелочку над
буквами, обозначающими величины векторные. (Или галочку - уж не помню над чем.
Вроде как над тензорами.)
   Обозначить-то обозначили, но будем для начала считать, что мнимая часть у
входного напряжения равна нулю (особенно если оно у нас единственное). Все
сопротивления, каковые в этом случае почему-то называются "импедансами" и
обозначаются буквой Z - тоже будут комплексные. Но для "активных" - честно
преобразующих электрическую энергию в тепло, мнимая часть тоже равна нулю. Т.е.
Z=R. А вот для "реактивных" - конденсаторов и катушек (ёмкость и индуктивность
которых традиционно обозначается буквами C и L) - оно будет чисто мнимое. Для
катушки, которая сопротивляется протеканию переменного тока тем сильнее, чем
больше его частота и её индуктивность - Z=j*L*w, а для конденсатора,
поступающего в точности наоборот - Z=1/(j*C*w). Здесь буковкой j обозначена
мнимая единица. (А то вишь буква i уже занята для обозначения тока. Вот чтобы
небыло путаницы и взяли следующую.) А буковка w обозначает "круговую частоту".
(Вообще-то здесь должна быть буква омега, но увы - в используемой кодировке это
не представляется возможным. Как впрочем и понаставить точек над буквами, или
учинить еще какие математические красивости. Но думаю, что пока и так всё
понятно.) Ну так вот: эта самая "круговая частота" - она не в "Герцах" (которые:
количество раз, штук, периодов в секунду), а в угловых величинах. Причем не в
"градусах" (коих в окружности 360), "градах" (коих - 400, ибо прямой угол
разделили на сто частей) или еще в каких выдуманных для той или иной цели
единицах (в коих произвол - полнейший), а в единицах - естественных, известных
как "радианы". Эти самые радианы получаются когда мы начинаем мерить угол
радиус-вектором. И в окружности их два-пи штук (т.е. шесть целых и еще двадцать
восемь сотых) что весьма неудобно, но деваться некуда. Вот чтобы эти самые два
пи постоянно не писать и ввели вместо "линейной" частоты f "круговую" w, уже на
эти самые два пи умноженную.
    Хорошо, мы всё это проделали, ну и что? Ну и всё! Теперь рассчитываем цепь
переменного тока так, как будто он постоянный. Единственное отличие:
когда понадобится определить рассеиваемую на некотором элементе цепи мощность
умножением тока через него на напряжение - надо одну из этих величин взять
комплексно-сопряженной.
   Но всё это, разумеется, только для одной частоты w. На других частотах
реактивные сопротивления будут иметь другие величины и всё придётся считать
по-новой. Хотя возможно не составит особого труда вывести общую для всех частот
формулу...

   В чем же секрет этого фокуса? Как всегда он довольно прост. Представим себе
для наглядности что по синусоидальному закону изменяется не электрический
(u(t), i(t)) а механический параметр. Например мы наблюдаем колебания
меленького блестящего (а лучше вообще светящегося) шарика относительно
некоторого положения равновесия. Понаблюдав эту картину минут десять, мы
начинаем соображать, что его колебания нам только кажутся, а на самом деле он
вращается вокруг этого самого центра равновесия, но плоскость вращения
повёрнута к нам ребром. Зайдя с другой стороны, или хотя-бы встав на ципочки,
мы бы конешно убедились, что так оно и есть. Но почему-то не можем. А коли так,
то сделаем тот же самый финт ушами - будем описывать координату шарика
комплексным числом: то что видим x(t) у нас будет действительная часть, а то
что не видим y(t) - мнимая. Тогда угол, фигурирующий в качестве аргумента ф-ии
sin(), будет не каким-то фиктивным, а вполне реальным углом поворота
радиус-вектора оного шарика относительно... А вот относительно чего? Нам
было-бы удобно, чтобы относительно "положительного" направления видимой нам
"действительной" оси. Так и сделаем. Тогда мгновенное значение X(t)=x(t)+j*y(t)
(где j мнимая единица) можно выразить через частоту вращения w, время t и длину
радиус вектора R как R*( cos(w*t+Ф) + j*sin(w*t+Ф) ) где Ф - некая начальная
фаза. (Над X(t) надо бы еще нарисовать жирную точку, но увы.) Другой вариант
того же самого выражения: R*exp(j*(w*t+Ф)). Это ещё Эйлер вывел, что
e^(j*x)=cos(x)+j*sin(x).
   Ну-с теперь вернемся к u(t) и i(t) - их радиус-вектора бодро крутятся с
угловой частотой w вокруг общего начала координат, но относительно друг дружки
они всё время сохраняют один и тот же угол. Да и длины их радиус-векторов
U и I с течением времени тоже не меняются. В этом не трудно убедиться, либо
перейдя во вращающуюся вместе с ними систему координат, либо останавливая время
(например сделав ряд мгновенных фотографий). А коли так - время из рассмотрения
можем вообще исключить, заявив, что мы определяем интересующие нас параметры
на момент времени t=0 (дальше то они всё равно остаются без изменений), т.е.
производим расчеты по мгновенной фотографии.
   Вот собственно и всё. Пользуйтесь!
  ----------------конец----лирического---отступления---------

   Попутное замечание: комплексное число, как мы уже убедились, можно
представить либо в виде суммы двух компонент - действительной и мнимой (x+i*y)
либо в виде единого радиус-вектора некой длины R, повёрнутого (относительно
действительной, например, оси) на некоторый угол Ф. Эти самые компоненты будут
его проекциями на оси, а их величина выражается через длину радиус-вектора и
угол его поворота как x=R*cos(Ф) и y=R*sin(Ф). Надеюсь, тут всё очевидно? Не
очевидно, почему то же самое можно записать как R*e^(i*Ф), т.е. почему
возведение числа Е в мнимую степень распадается на сумму синуса с косинусом от
того же самого аргумента.
   Спрашивается, а как мы вычисляем значения синусов с косинусами? Мы же на
самом деле вычислять их не умеем. Только не говорите, что мол берём калькулятор,
и... Нам как раз надо знать, как это сделано в калькуляторе? Причем аж до
восьмого знака после запятой: построив даже очень большой треугольник и честно
измеряя его стороны такой точности всё равно не получишь. Как-как, ясный пень:
через то, что мы делать умеем - через степенные функции (что в математике
известно как разложение в ряд Тейлора). То есть берём аргумент, умножаем его
нужное количество раз на самого себя, домножаем на некие, зависящие от
вычисляемой функции коэффициенты и всё это складываем. Самый простой набор
коэффициентов - вот как раз для e^x, она же "экспоненциальная" функция exp(x):
для N-ого члена (в коем аргумент x умножается сам на себя N раз) - один,
деленный на N-факториал. (Для тех, кто забыл что это такое: это произведение
всех чисел от единицы до N включительно.) Для синуса и для косинуса - кое что
похитрее... Но если в этот самый ряд для exp(x) вместо x честно подставить i*x
то получится любопытная вещь: в некоторых членах (с четными номерами) мнимая
единица, возведённая в четную степень, даст либо +1 либо -1, а в некоторых (с
нечетными) так и останется. В результате ряд развалится на две части - с
мнимыми единицами и без них, причем в одной из них будут в точности те же самые
коэффициенты, что и для синуса, а в другой - как для косинуса.
   Ну так теперь мы не слишком затруднимся возвести эту самую Е в комплексную
степень. Или будет понятнее - что умножение чего-то на комплексное число это не
только растяжение (или сжатие, если модуль меньше единицы) как для
действительного, но еще и поворот вокруг начала координат.
   Как известно а^(x+y) = (a^x)*(a^y), ну так действительная часть степени
e^(x+i*y) даст нам длину радиус-вектора, а мнимая - его поворот. Соответственно,
при умножении двух таких чисел, длины их радиус-векторов перемножаются, а углы
поворота - складываются. (При делении всё то же самое, разве что у делителя
степень - с минусом.)


   Вернёмся однако к нашим баранам. Две координаты это конешно хорошо (просто
замечательно), вот только живём-то мы в трёхмерном мире, и, соответственно осей
координат для его описания нам нужно три. Вот и ходил Гамильтон - репу морщил:
как бы ему втиснуть в комплексное число еще и третью компоненту...
   Нет, ну придумать еще одну мнимую единицу, предположим, не проблема... (Да
хоть десяток на все буквы алфавита!) Обозначил её буквой j, постановил, что при
умножении самой на себя она тоже даёт -1; добавил умноженное на неё число
третьим компонентом в комплексное, т.к. по замыслу соответствующая ей ось будет
перпендикулярна двум уже имеющимся... А вот дальше-то как? Складывать/вычитать
такие числа, ясный пень, покомпонентно. Но ведь их же еще и умножать/делить
надо. Ну и что будет если i умножить на j? Лажа какая-то получается.
   И вот шел он однажды через мостик... Ньютону, говорят, на голову яблоко
упало, но на мостиках-то яблони не растут... В общем якобы до сиих пор на
перилах того моста вырезано что i*j*k=-1.
   В общем с умножением всё получается, если мнимых единиц не две, а три!
Каждая из них при умножении на саму себя как и раньше даёт минус единицу, а вот
при умножении на другую мнимую единицу - даёт третью. Но умножение это -
антикоммутативное: если умножать в алфавитном порядке (i*j, j*k, k*i) то
результат будет с плюсом, а если в противоположном - то с минусом.

   В дальнейшем оказалось, что таких - всё более и более гиперкомплексных чисел
может быть сколько угодно - с тремя, семью, пятнадцатью и так далее мнимыми
единицами. Но каждое следующее из них теряет по сравнению к предыдущим одно
полезное свойство: кватерионы (4 компоненты) - коммутативность умножения;
октавы Кейли (8 компонент) - ассоциативность; следующие безымянные (16
компонент) - уж и не знаю что именно, но что-то такое, что для чего-то
практического они уже совершенно бесполезны...

   Что же мы имеем с этого гуся? А вот что: "простое" комплексное число это
точка на плоскости, а гиперкомплексное - соответственно в пространстве, правда
четырёхмерном. Одна координата явно лишняя. Впрочем, ежели это нас так
напрягает - пусть одна из них (например действительная часть, ибо выделяется
своей "действительностью") будет постоянно равна нулю. Или давайте считать что
действительная часть обозначает время. И пусть все наши геометрические
построения производятся в некий "нулевой" его момент - т.е. обнуляем её на
совершенно "законных" основаниях.
   За сим любую геометрическую фигуру на плоскости (и соответственно в
пространстве) мы можем нарисовать "по точкам" - т.е. представить в виде набора
таких вот чисел.

   Ага, нарисовали - теперь что ни будь с нею сделаем. Как известно, любое
движение (твёрдого) предмета можно разложить на сдвиг и поворот. Не трудно
убедиться что они реализуются операциями сложения и умножения. Ну так убедимся!
   Со сдвигом, я думаю, всё очевидно: вектор это сам по себе сдвиг его конечной
точки из начала координат. Ну, или, если хотите - всей плоскости или всего
пространства: потому то мы и можем вектора складывать, присобачивая начальную
точку второго к конечной первого. А вовсе не потому что самый главный академик
тьматьматических наук разрешил их переносить параллельно самим себе...
   Проблема - с поворотом. Для просто комплексных чисел умножение это и поворот
и растяжение (или сжатие). И чтобы его небыло, надо заранее озаботиться, чтобы
число, обозначающее поворот, было нормированным. (Т.е. длина его радиус-вектора,
она же "модуль", была равна единице.) Впрочем можно сделать вот как: умножить на
число и сразу же разделить на комплексно-сопряженное к нему. (Комплексно
сопряженное, кто не помнит, это такое у которого противоположный знак мнимой
части. Ну, или что то же самое - модуль такой-же, а угол поворота - в другую
сторону.) Что получится: модули сократятся, а углы поворота сложатся, так что
угол заранее должен быть половинный.

   Для гиперкомплексных всё вроде-бы должно быть аналогично. Вот только для
простых комплексных чисел ось поворота всегда одна и та-же, торчащая
перпендикулярно комплексной плоскости, а здесь с этим как? Придётся напрячь
воображение: пространство-то четырехмерное, а представить его - это Вам не
лобио кушать.
    Впрочем, вполне можно посчитать что один из компонентов - ноль, и тогда всё
сведётся к трехмерному случаю. Или даже два - и тогда картинка вообще
получается на плоскости - в том числе всё можно свести к обыкновенному
комплексному числу - вот только что рассмотренному...

   А ведь оно к нему и так сводится - даже в том случае если не ноль все четыре
компоненты! Вот предположим у нас уже рассмотренная (и нарисованная на бумажном
листе) комплексная плоскость, где действительная ось - слева направо, а мнимая
ось i от нас - ибо лист этот лежит перед нами на столе. (Кстати: эта система
координат - "правая".) Добавим сюда вторую мнимую ось j - она будет торчать из
плоскости листа (и стола) вертикально вверх. А мы, сидючи (чисто из вредности)
лицом на север, предположим что все компоненты комплексного числа положительные
и примерно одинаковые. Тогда мнимый вектор торчит из плоскости стола градусов
под сорок пять в направлении на север.
   Теперь мы возьмём еще один лист (на этот раз например фанерный) и приложив
его нижнюю сторону к действительной оси, повернём так, чтобы мнимый вектор
оказался в его плоскости. Что видим? Видим на фанерном листе полный аналог
комплексной плоскости.
   Далее, такой же фокус нам предстоит проделать с координатной осью k. Как
известно, она перпендикулярна ко всем имеющимся трём осям, а значит и к этому
листу тоже и сейчас указывает куда-то в четвёртое измерение. Чтобы вытащить её
на свет божий, надо мысленно развернуть всё это (вокруг направления i) так,
чтобы в четвёртое измерение отправилась действительная ось, а мнимая ось j
заняла её место и легла на плоскость стола. Тогда от фанерного листа останется
только ребро - то место, где лежит вектор ij, линия в плоскости стола с
юго-запада на северо-восток. А остальная часть фанерного листа - где-то за
пределами нашего пространства. Ну так ось k будет у нас теперь торчать
вертикально вверх. (Она ведь перпендикулярна всем остальным.) Соответственно
полный мнимый вектор ijk будет глядеть на северо-восток и вверх, нависая над
ребром фанерного листа.

   Прежде чем продолжить - посмотрим что получилось: все три "мнимых"
компоненты гиперкомплексного числа - вполне себе реальные оси координат, а
"действительная" обретается не весть где, так что впору мнимой называть именно
её. Кстати, а какая система координат у нас получилась - правая или левая?
Для этого возьмём что ни будь с "правой" винтовой нарезкой (обычный шуруп вполне
подойдёт) и мысленно вкрутим его вдоль третьего по счету вектора (который k)
таким образом, чтобы он перемещался в положительном направлении. Если вращение
будет от первого вектора ко второму - значит система правая. А что у нас?
Ставим этот шуруп вертикально и пытаемся закрутить в стол. Заворачивают шурупы,
винты, гайки и.т.п. вращая их по часовой стрелке. Вот как раз с севера (куда
глядит i) на восток (куда - j). Шуруп при этом будет закручиваться в стол, т.е.
двигаться вниз. А у нас вектора k торчит вверх. О, значит наша система
координат получилась левая! Потом, когда вернёмся обратно к этому вот
состоянию, надо будет сменить направление одного из векторов на противоположное
чтобы правая система получилась. (Или любую пару местами поменять.) Но пока и
так сойдёт.

   И вот теперь нам надо сделать самое сложное: развернуть всё так, чтобы
фанерный лист совместился с плоскостью стола. Ребро его с лежащим на нём
вектором ij, ясный пень, останется где было. Но нам еще надо чтобы на месте
остался и вектор k. Это возможно? Вполне. Дело вот в чем: в нашем обычном
трёхмерном пространстве роль оси поворота играет прямая линия. Поворачивается,
отображаясь сама на себя, перпендикулярная к ней плоскость. А то что на оси -
остаётся где было. (Плоскость - двухмерная, прямая одномерная, итого три
измерения.) Ну так в четырёхмерном пространстве роль оси поворота должно играть
нечто на одно измерение большее, чем в трехмерном. (Т.е. плоскость.) А к прямой
там можно найти целую кучу перпендикулярных плоскостей - на трёхмерное
пространство хватит! (Так же как у нас из прямых, перпендикулярных к некой
другой прямой, можно соорудить плоскость. Ежели конешно они все пересекаются с
нею в одной и той же точке.) Так что в качестве оси четырехмерного поворота мы
используем плоскость, проходящую через ребро фанерного листа и вектор k.
   Лично я зрительно представить себе всё вышеописанное тоже затрудняюсь. Разве
что по аналогии с трёхмерным случаем... Поэтому получится у нас примерно
следующее: то что было на оси (каковой служит плоскость!) осталось где было.
То есть ось k по прежнему торчит вверх; вектор ij так и лежит в плоскости стола
и указывает на северо-запад. А вот оси i и j делись неведомо куда, канув в
четвертое измерение. Зато теперь на поверхности стола не один срез фанерной
плоскости, а она вся - вместе с действительной осью. Каковая будучи
перпендикулярна к вектору ij, глядит в сторону юго-востока. Если мы сейчас
возьмём еще один лист (для разнообразия - металлический), положим его ребром на
действительную ось и поворачивая вокруг неё добьёмся чтобы полный мнимый вектор
ijk (нависающий над ij) оказался в его плоскости...  Ну и чем теперь картинка,
нарисованная на металлическом листе, отличается от обычной комплексной
плоскости? Ничем!


   Ну-с, тезис о том, что гиперкомплексное число это то же самое что и просто
комплексное, вот только мнимая часть ориентирована некоторым образом в нашем
трёхмерном пространстве, наконец то (сами себе) доказали. Теперь давайте
вспоминать - а зачем нам всё это понадобилось?
   Ну как-же! Мы же хотели убедиться что по аналогии с обыкновенными
комплексными числами, для гиперкомплексных умножение это тоже поворот. Вот
только надо разобраться что куда поворачивается...

   Так, давайте вспоминать: там мы брали комплексные числа вида A+i*B,
переводили их в "экспоненциальную" форму - R*e^(i*Ф) и в таком виде перемножали.
При этом модули R и в самом деле перемножаются, а фазы Ф складываются, что
собственно и есть поворот. Здесь ожидается примерно то же самое. При наличии
некоторых нюансов... Ну во-первых один из сомножителей (тот, который обозначает
"настоящий" вектор) согласно ранее достигнутой договорённости - чисто мнимый. И
таким же должен остаться. Т.е. угол, под которым он повёрнут на металлической
(пусть для определенности железной) плоскости - ровно 90 градусов (или Пи/2) и
он не должен измениться. Измениться должна ориентация самой этой плоскости. У
второго сомножителя, обозначающего поворот, мнимая компонента призвана
указывать направление оси вращения. А угол поворота - его фаза на металлической
(пусть для определенности медной) плоскости. При этом, чтобы небыло изменения
масштабов, договоримся что модуль его пусть будет ровно 1. Впрочем - не важно:
для исправления масштаба потом что ни будь придумаем...
   И вот еще какой нюанс: умножение-то некоммутативное - справа нам умножать
"настоящий" вектор на угол поворота или слева? Ну пусть для определенности -
справа.

   Для начала попробуем на простейших примерах.
   Самое-самое простое - угол равен нулю. Число чисто действительное, мнимая
компонента - нулевая. Направление оси неизвестно. А и ненадо - всё равно ничего
никуда не поворачивается! Если модуль не единица - в чистом виде изменение
масштаба.
   Пусть теперь вектор = i. Точнее (0,i,0,0). А поворот = 1+j или (1,0,j,0),
тоесть на 45 градусов. Умножаем: i*(1+j)=i+i*j=i+k - похоже на правду. Зрительно
представим себе: i - на север, j - на восток (от нас - вправо) - оба в
плоскости стола, k - вверх. Ось смотрела на восток, результат как и i на север,
но еще и вверх под углом 45 градусов. Длина увеличилась в корень из двух раз,
но это и ожидалось. А ну-ка то же самое, но слева: (1+j)*i=i+ji=i-k - ага тоже
повернулось, но в другую сторону. Замечательно.
   Однако, направление оси вращения у нас было перпендикулярно вектору.
Попробуем под 45 градусов: вектор по прежнему i, a поворот i+j - т.е. ось в
направлении северо-восток - юго-запад. Угол поворота (для простоты) 90 градусов.
Заранее - с помощью пластилинового шарика, оси вращения из разогнутой скрепки и
спички, изображающей наш вектор, определим, что ожидаемый результат: вектор
глядящий на северо-восток и на 45 градусов вверх. (С кубиком-рубиком такое
проделать тоже можно, но не так наглядно: ось вращения будет проходить через
середины противоположных рёбер, а в результате поворота кубик встанет тоже на
ребро - вот плоскость, бывшая ранее задней (у меня - зелёная) и будет смотреть в
этом самом направлении.) То есть результат должен быть что-то типа i+j+k.
   Пробуем: i*(i+j)=i*i+i*j=-1+k. Ой чего-то не в ту сторону оно у нас
поворачивается... Не только металлическая плоскость сменила свою ориентацию (как
мы и добивались), но и в её пределах вектор тоже повернулся. А нельзя-ли этот
поворот как-то скомпенсировать? Ну мы же компенсировали изменение масштаба при
умножении на неединичное комплексное число, делением на него-же, но
комплексно-сопряженное - чтобы фаза была с другим знаком. В результате чего
модули сокращались, а фазы - складывались. Нельзя ли и тут что-то подобное?
   Наверно можно. Порассуждаем. С простыми комплексными числами всё было
наглядно: у комплексно-сопряженного мнимая часть в другую сторону, значит и
угол откладывается от действительной оси в противоположном направлении, т.е.
будет такой-же, только с минусом. Ну а здесь? Здесь на металлической плоскости
вроде бы всё то же самое. Только вот сама она меняет ориентацию... А вот кстати,
ежели мы умножаем слева - поворот происходит в другую сторону и ничего
комплексно сопрягать не требуется... А умножим и справа и слева одновременно!
Угол конешно будет удвоенный... Так что, путём эксперимента с пластилиновым
шариком, определим что результат должен быть равен j.
   Пробуем:
   (i+j)*i*(i+j)=(i*i+j*i)*(i+j)=(-1-k)*(i+j)=-i-k*i-j-k*j=-i-j-j+i=-2*j
   Н-да.
   Ну то, что растяжение в два раза - это как раз понятно: модуль числа,
обозначающего поворот был корень из двух (ибо диагональ квадрата) и умножали мы
на него два раза. Но почему вектор получился в другую сторону?!
   Ну ладно, а если одно из них всё-таки комплексно-сопряженное?
   (-i-j)*i*(i+j)=(-i*i-j*i)*(i+j)= (1+k)*(i+j)= i+k*i+j+k*j=i+j+j-i=2*j
   Вот это уже лучше. А если наоборот?
   (i+j)*i*(-i-j)=(i*i+j*i)*(-i-j)=(-1-k)*(-i-j)=i+k*i+j+k*j=i+j+j-i=2*j
   Гляди-ка: одно и то-же получается!

   А если на одно из них умножить, а на второе разделить?  (i+j)*i/(i+j)
Деление обычных комплексных чисел, как известно, производится так: дробь
домножается (хоть справа, хоть слева - там без разницы) на еще одну дробь,
составленную из двух одинаковых чисел, комплексно-сопряженных к делителю.
Число, умноженное на комплексно-сопряженное к нему даёт вполне себе
действительный и даже вообще положительный квадрат модуля (фазы-то у них
одинаковые, но в разные стороны), и в результате все мнимости остаются в
верхней части дроби. Для гиперкомплексных всё должно быть то же самое, разве
что домножение на комплексно-сопряженные должно быть с той же стороны что и
деление. (А деление, получается, теперь возможно как "правое" так и "левое"!)
Ну так чем оно у нас будет отличаться от вышеприведенных примеров? А вот как раз
тем, что результат будет дополнительно разделён на квадрат модуля - в данном
случаен на 2.

   Индуктивно распространим полученный в данном частном случае результат на
общий случай. Приём "индукция" в этом и заключается. Но в отличии от "дедукции",
(активно применявшейся Шерлоком Холмсом) выводящей из общего случая частный и
работающей всегда, с индукцией можно и промахнуться... Поэтому на всякий
пожарный рассмотрим еще парочку примеров.
   Вот хотели мы повернуть вектор i вокруг оси i+j на 90 градусов, а получилось
только на 180. Чтобы на 90 надо чтобы фаза была 45, т.е. требуется
действительная компонента такой-же длины что и мнимая, а она у нас корень из
двух ибо диагональ квадрата. Для упрощения выкладок примем x=sqrt(2), тогда
число, указывающее поворот будет: x+i+j (не забываем что здесь x*x=2), тогда:
   (x+i+j)*i/(x+i+j)  или  ((x+i+j)*i*(x-i-j))/((x+i+j)*(x-i-j))
   как и ожидалось
   (x+i+j)*(x-i-j) = x*x+i*x+j*x-x*i-i*i-j*i-x*j-i*j-j*j =
                   =  2 +x*i+x*j-x*i +1  +k -x*j -k   +1 = 4
                         ~~~ ~~~ ~~~      ~  ~~~  ~ эти члены сократились
   а
   (x+i+j)*i*(x-i-j)) = (x*i +  i*i +  j*i) * (x-i-j) =
                      =│ x*i*x+ i*i*x +j*i*x + │= 2*i -1*x -k*x + │
                       │-x*i*i -i*i*i -j*i*i + │  +x  +i  + k*i + │ =
                       │-x*i*j -i*i*j -j*i*j   │ -x*k +j  + k*j   │

  │ 2*i -x -x*k + │= 2*i + 2*j - 2*x*k
  │ +x  +i +j   + │  если учесть что всё это надо еще делить на 4, то
  │-x*k +j -i     │  общий результат =   i/2 + j/2 - k/x
                     где x, если мы еще не забыли - корень из двух

   А чего это у нас компоненты разные получились? (Я же ожидал, что результат
будет что-то типа i+j+k.) И чего это вектор k в другую сторону?
   Дураков, как известно, следует искать в зеркале: я же сам еще когда
установил, что система координат получилась "левая", а чтобы она была правой,
один из базовых векторов, например k, должен торчать в другую сторону - т.е. не
вверх а вниз. Вот у нас он с минусом и получился. А если бы все три компонента
были одинаковые, то угол к горизонту был бы не 45 градусов, как задумывалось, а
меньше. (Градусов тридцать кажется?) Ну так оно наверно и будет, если в числе,
обозначающем поворот, действительная компонента такая-же как и
мнимые а не в корень из двух больше. Проверим?
   (1+i+j)*i/(1+i+j)  или  ((1+i+j)*i*(1-i-j))/((1+i+j)*(1-i-j))

   (1+i+j)*(1-i-j) = 1+i+j-i-i*i-j*i-j-i*j-j*j =
                   = 1+i+j-i +1  +k -j -k  +1  = 3
                       ~ ~ ~      ~  ~  ~  сокращаются

   (1+i+j)*i*(1-i-j)) = (i+i*i+j*i) * (1-i-j) =
                      =     (i-1-k) * (1-i-j) =
                       = │   i-1-k  +│=  i-1-k+│= i+2*j-2*k
                         │-i*i+i+k*i+│  +1+i+j+│ и всё это еще разделить на 3
                         │-i*j+j+k*j │  -k+j-i │

   Ну опять не так! Опять одна из компонент в два раза меньше. Плохо у меня,
однако, пространственное воображение работает...

   Ладно, хватит баловаться - подведем итог: "чисто мнимое" гиперкомплексное
число обозначает "настоящий" вектор, который сам по себе суть перемещение.
Комбинация перемещений - сумма (или разность) обозначающих их чисел. Она, как
сложению и полагается, коммутативна - от порядка выполнения перемещений не
зависит.
   Такое-же число, имеющее действительную часть, изображает собою поворот.
Причем мнимая его часть (которая вектор) - направление оси, а соотношение её с
действительной - угол. Модуль значения не имеет (и может обозначать что нам
вздумается), так как чтобы что-то повернуть надо его и умножить и разделить - с
разных сторон - вот модуль и сократится. Соответственно, комбинация поворотов
это их произведение. Оно не коммутативно - от порядка выполнения поворотов очень
даже зависит.

   Вот собственно и всё.

   Здесь ещё надо-бы надо привести примеры использования вышеописанного (ну
хотя-бы из механики), но я такой-же олух как и все. Приходится ждать, пока
кто ни будь по-компетентнее объяснит...

   Впрочем с ориентацией предмета - уже объяснили: надо мол использовать две
системы координат - глобальную (общемировую) - одну на всех, и локальную,
связанную с данным предметом, который намереваемся перемещать и поворачивать.
Через её начало как раз и должна проходить ось поворота.
   У предмета надлежит выбрать некоторую характерную точку и привязать
локальную систему координат к ней. Например его центр тяжести, интересный как
раз тем, что (для свободно болтающегося в воздухе предмета) сила, приложенная к
любой точке предмета, если не лежит на прямой, между этой точкой и центром
тяжести, начинает этот предмет разворачивать.
   Пересчитать координаты любой точки объекта из локальной в глобальную или
наоборот - просто прибавив или отняв число, указывающее положение этой
характерной точки в глобальной системе координат. Перемещать весь объект
целиком - аналогично - прибавляя число, указывающее вектор перемещения. А
поворачивать - умножая вышеописанным способом координаты точек объекта в
локальной системе координат на число, обозначающее поворот.


******************************************************************

    Я там (чуть раньше) обещал неким неназванным по имени оболтусам напомнить
как решаются линейные уравнения. Согласился только потому, что это повод за одно
рассказать про матричную алгебру (и еще кое что с нею связанное): система из
многих линейных уравнений с кучей неизвестных очень изящно представляется в
виде одного единственного уравнения с одним единственным неизвестным. Ввида
A*X=B. Но только здесь X и B - уже не отдельные числа, а вектора-столбцы, а A -
матрица. Впрочем, не будем забегать вперед.
    Но сначала всё-таки немножко о векторах с тензорами - пусть это будет еще
одно лирическое отступление.

    ==========начало==еще==одного==лирического==отступления==========
   Про тензора рассказывать не буду, потому как сам ни бельмеса в них не смыслю.
А вот вектор в нашем представлении это направленный отрезок на плоскости или в
пространстве, изображающий... что ни будь такое-этокое, имеющее величину и
направление. Ну например перемещение (или положение относительно некоторого
начала) да хоть той же божьей коровки. Или лучше полногабаритной коровы (с
рогами, хвостом и выменем), её скорость, а так же действующие на неё силы, буде
её тянут за привязанную к рогу верёвочку, а она упирается.

   Однако с абстрактной точки зрения векторами считаются любые объекты, которые
можно складывать между собою, а так-же масштабировать. Что выглядит как
умножение на масштабный множитель - обычное число, пышно называемое "скаляром".
(От слова "шкала", наверное.) Но разумеется так, чтобы в результате этих обоих
операций неизменно получался объект из той же самой "коллекции" что и операнды
(называемой "линейным векторным пространством".) У сложения очень желателен
"нейтральный" элемент - "нулевой" вектор, при прибавлении которого ничего не
меняется. А при умножении на ноль вот этот самый нейтральный элемент и должен
получиться. И больше никаких требований не предъявляется. Так что причислить к
векторам можно... ну не всё что захочется, но очень многое. Включая любые числа;
их наборы любого вида - в виде строчки, таблички, да хоть пирамидки -
складывыть их можно "покомпонентно" (т.е. числа, находящиеся в одинаковых
местах) а масштабировать - умножая на скаляр все компоненты разом. (Складывать
конешно можно только коллекции чисел одинаковой формы и размера. А разной -
нельзя. Но если очень хочется - то можно! Просто дополнив меньшее до большего.
Нулями.) Функции тоже годятся - их же тоже можно умножать на числа и складывать
между собою. Ну и разумеется наши любимые направленные отрезки...

   Линейное векторное пространство с его полутора операциями только чуть
сложнее другой абстрактной математичесской игрушки - "группы", у которой
операция только одна. (Но если операция подобна сложению - группа называется
"аддитивной", а если умножению - "мультипликативной". Так что самые обычные
числа, (например целые) - это две группы разом - и аддитивная и
мультипликативная!)
   Впрочем "множество" еще примитивнее - у него операций между элементами нету
ни одной. Ну так математики и здесь не оплошали: коли с отдельным элементом
ничего сделать нельзя - возьмём кучку элементов - "подмножество". А вот с ними
уже... И придумали кучу операций кучкообразования. Впрочем оказалось, что
самостоятельные из них только три (а все остальные можно сделать из них).
Это объединение подмножеств (аналог логической операции ИЛИ), пересечение
(аналог операции И) и получение дополнения (аналог операции НЕ). Оно и
понятно: каждое подмножество - этакое "машинное слово", где каждому элементу
множества сопоставлен один бит, указывающий входит он в это подмножество или
нет. Вот объединение подмножеств и будет операция ИЛИ над описывающими их
обоих словами; пересечение (т.е. выделение элементов входящих в оба) -
операцией И; а получение дополнения - т.е. тех элементов, которые в данное
подмножество не входили - операцией инверсии битов.
   А еще они придумали отображать одно множество на другое. Это "отображение"
и есть функция: Ей указывают элемент первого множества, а она говорит какой ему
соответствует элемент из второго. Если тех и других конечное число - задать эту
функцию можно в виде таблицы соответствия. А если бесконечное (вот как например
множество чисел) - либо в виде графика (а то на таблицу никакой бумаги не
хватит), либо в виде формулы или алгоритма, объясняющих, как из аргумента
получить результат.

   Вот, кстати, этот самый "тензор" - линейная функция от вектора. Ему на
вход подаётся вектор из одного векторного пространства, а с выхода получается
вектор другого. Или даже входных векторов может быть несколько - каждый из
своего векторного пространства, которые почему-то называются "ковариантными".
Впрочем выходных - тоже может быть несколько, они - "контрвариантные". (Вот
словечек понавыдумывали!) Общее количество входных и выходных векторов называют
"рангом" тензора. (Не путать с размерностью! Точнее с размерностями, которые
для каждого из входных и выходных векторов могут быть разные.)
   Но применение к вектору этой самой линейной функции почему-то считается
умножением вектора на тензор. Наверно по аналогии со случаем для обычного числа
"x". (Которое тоже вектор! Одномерный.) Здесь линейная функция выглядит как
умножение этого "x" на некий коэффициент "a", каковой и является прообразом
тензора. Точнее говоря самый общий вид линейной функции: a*x+b, или что то же
самое v*t+l если речь идёт например о местоположении на момент времени t (в
секундах от момента старта) пассажира электрички, глядящего от скуки в окно и
отмечающего это самое местоположение по стоящим вдоль дороги (через каждые сто
метров) мерным столбикам с цифрами. Здесь v скорость электрички (в метрах в
секунду), а l - расстояние от станции А (где он в неё сел) до главпочтампта
некоего губернского городка Б, от которого по-идее и отмерены (еще во времена
царя Гороха) все расстояния, написанные на километровых столбах вдоль железной
дороги. (Желая малость поиздеваться, мы будем считать что v, t и l это вовсе не
скаляры.) Здесь (одномерный) вектор t отображается с помощью тензора второго
ранга v из пространства, где длины измеряются в секундах в другое пространство,
где длины измеряются в километрах, и там складывается с обитающим в этом
пространстве вектором l. (Почему складывать ящики с килограммами нелепо?
Да потому, что они "обитают" в разных линейных векторных пространствах!)
   Как в таком одномерном случае выглядит три раза контрвариантный тензор (надо
так понимать - четвёртого ранга?) каждый и сам догадается, вспомнив про божью
коровку ползущую в три стороны разом - вверх, на восток и на север. (Ну просто
у скорости v три проекции...) А пример дважды ковариантного тензора можно найти,
наблюдая процесс накладывания чего нибудь умеренно жидкого но съедобного в
стоящую на весах тарелку (из вредности - чайной ложечкой). Весы будут
показывать n*V*П+m грамм, где V - объём ложки (в кубических сантиметрах), n -
их количество (в штуках), П - плотность еды (грамм на кубический сантиметр), а
m - вес пустой тарелки (в граммах). Сами решайте, что здесь считать векторами а
что тензором (третьего ранга!), но заметим, что выражение n*V*П линейно по
каждой из входящих в него переменных (что бы мы там переменными ни считали).

   Но давайте прекратим изгаляться и вернёмся к векторам.

   Сложения между собою и масштабирования уже вполне достаточно, чтобы начать
играться в занимательную игру "поиски векторного базиса" - сооружать одни
вектора из других путём учинения из них линейной комбинации (вида
a*A + b*B + c*C... где a,b,c - скаляры (числа), а A,B,C - вектора) и пытаться
подобрать такой самый минимальный набор векторов, чтобы из них таким путём
можно было соорудить все остальные.

   Если еще добавить сюда процедуру позволяющую оценить "вес" или "длину"
вектора, т.е. дающую неотрицательное число, известное как "модуль" или "норма"
вектора и обозначаемое например |A| (для вектора A) - вообще замечательно!
(Математики кричат "Вау!" и прыгают до потолка.) Лишь бы она была не совсем
идиотской: чтобы вес суммы векторов был не больше суммы весов каждого из них
по-отдельности: |A+B|<=|A|+|B|. Ну и желательно, чтобы норма нулевого вектора
была ноль. (А впрочем не важно - вычтем её из всех остальных.) Это же теперь
вектора можно оценивать и сравнивать меж собою. Мы и базис теперь сможем
соорудить "нормированный"...
   Еще лучше ("Вау!" два раза) если удастся отыскать средство численной оценки
взаимной параллельности (ну или перпендикулярности) векторов. Например для
вектора в виде коллекции чисел - все числа, стоящие в одинаковых позициях двух
векторов попарно перемножить и все эти произведения сложить. Обычно что-то
подобное называют "скалярным произведением". Хотя родство этой штуки с операцией
умножения примерно как у очковой змеи с широко известным оптическим прибором:
при "умножении" подобным способом двух вовсе даже ненулевых объектов запросто
можно получить результат равный нулю! (Ну значит эти два вектора
перпендикулярны.) Из этой штуки и норму соорудить можно... (Скалярно умножив
вектор на самоё себя. А вот наоборот - даже и не соображу сразу. Вроде бы нет.)
Теперь и базис можно сооружать не просто так, а "ортонормированный", и вектора
по базису очень просто будет раскладывать...


   Ну вот - базисов наделали, выбрали из них какой получше, и, главное -
научились как "раскладывать" по этому базису любой вектор, так и собирать его
обратно. Теперь коэффициенты разложения вектора по этому вот конкретному базису
вполне могут нам этот вектор заменить (какой бы он ни был природы): с ними
можно проделать всё то же самое что и с самим вектором. (А это всего лишь
сложение с другими вектрами и масштабирование.) И вообще все векторные
пространства одной размерности совершенно эквивалентны. Лишь бы порядок
коэффициентов не перепутать... Для этого оные коэффициенты разложения записывают
в виде строки (или столбца - кому как больше нравится) в том же порядке что и
"базисные" вектора.
   А вот кстати их количество это "размерность" вектора. У всех базисов одного
векторного пространства оно одно и то же. (Еще один вектор там будет лишний, а
выкинь любой - не все вектора из базисных удастся сложить. Например вот этот
выкинутый - мы же его, когда базис строили, вот как раз такой и подбирали, чтобы
его из остальных векторов нельзя было соорудить ни при каких наборах
коэффициентов.)

   Но коли вектор превратился в строку (или лучше в столбец) чисел, то и
применяемая к нему линейная функция тоже становится набором чисел - в
простейшем случае прямоугольной табличкой - "матрицей". (Это если аргумент у
функции один, и результат - тоже.) А в самом простейшем случае - квадратной.
(Это если и аргумент и результат одной и той-же размерности.)  Применение
функции к вектору в таком виде выглядит как умножение матрицы на вектор по
правилу "строка на столбец".
    Но и сами матрицы тоже можно умножать друг на дружку. Например пусть x -
вектор, а F и G - функции и/или соответствующие им матрицы, тогда G*F*x имеет
тот же смысл что и G(F(x)) (т.е. засунуть x в функцию F, а то что она вернёт
в качестве результата - в функцию G). А H=G*F - такая функция H, которая при
подстановке в неё любого вектора (не обязательно именно x) сразу же даёт тот
же самый конечный результат что и комбинация функций G и F.
    Надеюсь очевидно, что это матричное умножение не просто некоммутативно, а
в общем случае, в обратном порядке скорее всего вообще невыполнимо? Ну например
если у функции F аргумент и результат - разного типа (размерности)... Тогда
её аргумент в функцию G просто не подставишь. (Строчка и столбец, коие
перемножать, разной длины окажутся. Можно конешно дополнить нулями ту, что
поменьше, но ничего хорошего из этого скорее всего не получится.) Нет,
разумеется есть весьма интересный (для математиков) частный случай, когда и
размерность у них одинаковая, и можно подобрать такую сладкую парочку F и G
чтобы для любого x (или хотя бы только для некоторых) G*F*x==F*G*x. Это
вплотную примыкает к задаче о "собственных векторах", таких что F(x)=x*a
(где a - скаляр), т.е. при просачивании через функцию, вектор остаётся сам
собою (ну может быть с некоторым коэффициентом)...
   Но всё это - совсем другая история.

    Умножается всё это вот как: из первого (левого) операнда берётся i-я
строка, а из второго - j-й столбец. (Они должны быть одинаковой длины.)
Они перемножаются поэлементно, все эти произведения складываются и получившееся
число помещается в ячейку результата с координатами (i,j). Проделать всё это
надлежит для всех строк первого операнда и всех столбцов второго.
   Легко видеть, что при умножении двух квадратных матриц одинакового размера,
получается такая-же. Чем они собственно и хороши. А при умножении на квадратную
матрицу вектор-столбца получается такой же в точности вектор-столбец.
Но вот вектор-строку умножать на матрицу можно только слева. А умножение
вектор-строки на вектор-столбец как раз и даёт их скалярное произведение.

   Вот это собственно и есть матричная алгебра. На лицо две прямые операции:
сложение и умножение, причем с нейтральными элементами для обоих. Для сложения
это матрица, состоящая из всех нулей, а для умножения - матрица с единицами на
"главной" диагонали (из верхнего левого угла в нижний правый), а все остальные
нули. (Обычно её обозначают Е.) Но разумеется если только матрицы квадратные.
Для них и операция, обратная к умножению... ну скажем так - возможна (как
умножение на "обратную" матрицу), но не всегда. Потому как обратная матрица
(её, например для А, обозначают что-то вроде ~А), такая что ~А*А=Е (и наоборот -
то же самое) есть далеко не у каждой...

   Для тензора общего вида, соединяющего собою более двух векторных пространств,
(т.е. ранга больше чем два) всё не так наглядно: если их три - можно конешно
представить его себе в виде кубика; если черыре - в виде строчки кубиков; пять
- в виде матрицы кубиков, и.т.п... Но обычно не заморачиваются - говорят, что
это мол набор коэффициентов с таким-то количеством индексов. Причем одни
индексы (входные) пишут меленькими буковками снизу, а выходные (те, которые
контрвариантные) соответственно сверху. У скаляра, который тоже тензор, но
нулевого ранга - никаких индексов нет; у вектора, который тензор первого ранга
(ибо ни от чего не функция) индекс соответственно только один. Причем сверху,
тоесть он весь из себя "выходной". И пробегает значения от 1 до n, где n -
размерность. Для матрицы, изображающей функцию от одного аргумента, индексов,
естественно два: который снизу - номер элемента в строке, а который сверху
(выходной) - номер строчки. Перемножаются они всё так-же: у обоих сомножителей
берутся одноимённые индексы (по ним и размерность должна быть одинаковой!), но
у одного обязательно снизу, а у другого - сверху; всё что можно перемножается, а
по этому индексу всё это еще и складывается. И из дальнейшего рассмотрения он
выбывает. Для матрицы с вектором вот как раз и получится правило "строка на
столбец".

   Используя тензоры в качестве коэффициентов при векторах, можно теперь
сооружать из них какие хочешь векторные формулы. В том числе и векторные
аналоги известных в физике скалярных выражений. Например рассматривается
среда, имеющая неодинаковые параметры в разных направлениях (говорят
"неизотропная" - например материал, слоистый как фанера). Тогда ток или
перемещение (уж не знаю чего) будет происходить несколько не в том направлении,
в каком действует вызывающая его сила...
   Что здесь подкупает - то, что всё это легко обобщается на пространство
какой хочешь размерности. Выглядит всё это весьма изящно... Вот физики в начале
двадцатого века и купились, забыв что пространство-то у нас всего лишь
трёхмерное. Можно сказать - ударились в топологическую ересь, пытаясь описать
все известные поля через геометрические параметры самого пространства. (Ну типа
если Солнышко притягивает нашу Землю, а она в свою очередь самого Физика, то это
мол не сидящий внутри Физика гравитационный заряд притягивается к такому-же
заряду в центре Земли и Солнца с помощью мистического ньютоновского
"дальнодействия", а просто само то место пространства, где этот Физик сейчас
находится, такое вот несколько кривое... Неким несимметричным тензором
описывается.) Ничего путного из этого до сиих пор пока не получилось (куча
сильно математизированной околофизичесской фантастики, подгоняемой под
результаты экспериментов методом "оптимизации множества параметров" - не в счет)
и скорее всего не получится. То есть правильно посчитать и даже предсказать с
помощью подобных "подгоночных" теорий что-то такое этакое очень даже можно.
А вот понять как оно устроено - к сожалению нет. Известно-же из истории, что
такая-же "подгоночная" "система Птолемея" (это где Земля в центре мироздания, а
все планеты, в т.ч. Луна и Солнце движутся вокруг неё по окружностям, точнее по
"эпициклам" первого, второго или какого надо порядка), особенно с поправками
Тихо Браге, давала численные результаты положения светил на небесной сфере
значительно лучшие чем идеологически более правильная "система Коперника" с
Солнышком в центре. Вот сейчас похоже в физике и наблюдается примерно такая-же
картина.

   Числа, вектора и другие математические объекты это конешно для математиков
классные игрушки, а для физиков (у которых ДРУГИЕ игрушки - свои собственные)
не более чем инструмент. Главное для физика это физическая картина мира, каковую
можно объяснить на пальцах... ну хоть уборщице - тётке предпенсионного возраста с
тремя классами образования. (Потому как если физик не сможет объяснить уборщице
чем именно он занимается, значит он сам этого не понимает!) А математические
штучки-дрючки - всего лишь материал для моделирования поведения элементов этой
картины. И должны вести себя в точности так-же, как моделируемые объекты.
А если вдруг нет - ну так на этом вся наука и кончается... В общем гнать надо
полу-поганой метлой математиков из физики - чтобы не выдавали за физическую
реальность свои математические фантазии!
    ==========конец===лирического==отступления==========

    Вернёмся наконец к нашим баранам. Позабывшим с третьего класса, как решать
системы линейных уравнений. Помнится, тогда уравнений в системе было два (ну
может быть три), то есть что-то типа:

      │a*x + b*y = c│    или что то     │ a1_1*x1 + a1_2*x2 = b1│
      │d*x + e*y = f│     же самое      │ a2_1*x1 + a2_2*x2 = b2│

   То, что слева - короче и нагляднее, но справа имеет более "общий вид" - для
левого, ежели переменых больше трёх - никаких букв не напасёшся!

   Решать их (да и не только их, а вообще любые системы уравнений) учили так:
взять одно из уравнений (например первое) и выразить один из неизвестных через
все остальные. То есть преобразовать к виду: x=что-то_такое_где_этого_икса_нет.
И вот это "что-то_такое" подставить вместо икса в остальные уравнения. Далее -
из каждого следующего уравнения точно так же выделить очередное неизвестное и
подставить в следующие уравнения. Если они есть. А если уравнение последнее,
то оказывается что в его правой части нету больше никаких неизвестных.
Соответственно, последнее неизвестное (с помощью несложной арифметической
процедуры) становится очень даже известным и подставляется во все предыдущие
уравнения...
   Способ вполне действенный, но в общем случае не в меру сложный и громоздкий.

   Другой способ основан на принципе, придуманном еще Ходжой Насреддином, когда
он еще небыл "ходжой" (т.е. еще не успел совершить хадж в Мекку), а был просто
мальчиком. И вот когда он взялся решить задачку про нищую старуху, её черного
кота и недостаточно сердобольных жителей город Бухары, то для её упрощения
мысленно объединил всех жителей Бухары в одного Большого Бухарца (ростом с
минарет)...
   Мы имеем право проделать то же самое: объединим все неизвестные в одно
Большое Неизвестное (называемое обычно "вектор-столбец") просто переписав их
столбиком и заключив (для красоты) в какие ни будь скобки, а так-же обозначив
особо крупной, жирной и/или разукрашенной какими ни будь завитушками буквой X.
Далее объединим все коэффициенты при неизвестных тоже в одно Большое Известное,
переписав в виде "квадратной матрицы" - таблицы, в каждой строке которой
располагаются коэффициенты при неизвестных одного из уравнений, но так, чтобы
во первых в каждом столбце - при одном и том-же, а во-вторых - чтобы эти
столбцы были в том же порядке, в каком неизвестные в вектор-столбце. (Т.е. во
всём надо соблюсти строгий порядок.) Ну и обозначим это Большое Известное особо
толстой и вычурной буквой А. Теперь нам осталось соорудить такой-же в точности
вектор-столбец из свободных членов, каковые в "канонической форме" обычно
выносят в правую часть уравнения. И обозначить его непомерно разукрашенной
буквой B.
   И в результате у нас получилось то самое векторное уравнение A*X=B с одним
единственным неизвестным, о котором я говорил в самом начале. Ежели мы вдруг
захотим, то честно перемножив методом "строка на столбец" матрицу A и вектор X,
получим обратно исходную систему уравнений.
   Решается это векторное уравнение в точности так же как и скалярное a*x=b.
Там коэффициент a просто переносится в правую часть... но это та самая
простота, которая в данном случае хуже воровства. На самом то деле не число
"a" переносится, а обе части уравнения (изображающего собою уравновешенные
весы), домножаются на одно и то же число (в результате чего, равновесие
сохраняется), но такое, чтобы в левой части никаких коэффициентов не осталось,
ибо всё что там есть (кроме икса) взаимно сократилось до единицы. (Т.е
домножить надо на 1/а.) Применительно к нашему случаю надо найти матрицу
обратную к A. (Иногда пишут: ~A.) То есть такую, что ~A*A=E где E - "нейтральный
элемент" матричного умножения. Она же "единичная матрица", при умножении на
которую ничего не меняется. Ну а дальше всё просто: X=~A*B и всё.

   Как и в любой уважающей себя алгебре, в алгебре квадратных матриц (а далее
мы будем рассматривать именно их, ибо "хорошие") есть нейтральные элементы
для обоих операций - "нулевой" (для сложения), состоящий, как не трудно
догадаться, из всех нулей, и "единичный" (который Е) - состоящий из единиц на
главной диагонали (той которая из левого верхнего угла в правый нижний) и нулей
во всех остальных местах. (Об этом я вроде-бы уже говорил...)
   А коли есть нейтральные элементы, то возможны и обратные операции. Если
с "вычитанием" всё тривиально, то с "делением" всё несколько сложнее: на
некоторые очень даже ненулевые элементы делить нельзя. И соответственно
у системы уравнений с такой матрицей коэффициентов - решений нет.

   В этом нету ничего удивительного: действительно возможны такие системы
уравнений, у которых нету решения. Ведь что такое в сущности каждое из уравнений
системы? Это "связь", отбирающая у переменных одну из степеней свободы.
   Если у нас есть N независимых переменных и каждая из них может принимать
какие ей вздумается значения, то вся совокупность наборов их значений это
фактически N-мерное пространство. (Если переменных только две - x и y - то
совокупность их возможных значений - все точки плоскости.) Теперь если мы свяжем
их одним уравнением, то окажется что переменные (чтобы уравнение так и
оставалось равенством) могут принимать уже не любые значения, а только лежащие
на N-1 мерной гиперплоскости. (Если переменных две - то это прямая. Ну или
кривая, если уравнение нелинейное.) Еще одно уравнение - еще одна
гиперплоскость. А если оба - то только точки лежащие на них обоих одновременно.
Т.е. их пересечение - множество точек размерности N-2. Спрашивается: могут ли
эти две поверхности (или, для простоты - две линии на плоскости) не
пересекаться? Кривые - запросто! Да и пересечься тоже могут в нескольких
точках. А вот прямые - только в одной; а не пересечься - только если
параллельны.
   За сим наличие в системе уравнений таких, что описываемые ими поверхности
параллельны (или в более сложном случае - линейно-зависимы) как раз и приводит к
тому что решений у такой системы уравнений нет. Обнаружить это можно посчитав
"определитель" матрицы коэффициентов уравнения - он как раз и определяет степень
линейной независимости составляющих её строчек. (Или столбцов - без разницы.)
   Вычисляется этот самый определитель (он же "детерминант", что впрочем то же
самое) как сумма произведений коэффициентов, взятых из каждой строки по одному,
так чтобы их номера не повторялись. Фактически в качестве номеров элементов в
каждой из строк берётся массив; изначально заполняется числами от 1 до N, а
потом над ними учиняются всевозможные перестановки. Причем для "четных"
перестановок произведение берётся с плюсом, а для нечетных - с минусом. (Если
считать самую первую (1,2,3,...,N) перестановку "нулевой", т.е. четной.)
   Вычисление определителя - работа как раз для машины. Тем паче входящих в него
произведений - N-факториал штук (где N - размер стороны матрицы). Но при
необходимости можно его посчитать и вручную. Обычно методом разложения по строке
(или столбцу), заключающемся в том, что вместо одного определителя ранга N
считают N определителей ранга N-1. Берут какую ни будь строку или столбец (где
нулей побольше!); для каждого его элемента сооружают "дополнительную" матрицу
(вычеркиванием столбца и строки, в которых этот элемент находится), считают её
определитель и умножают на этот элемент. После чего все эти произведения
складывают. Со знаками. Определить знак можно как -1^(i+j) где i и j - номера
строки и столбца элемента.
   А организовать в строчке побольше нулей можно пользуясь свойствами
определителя: если все члены строки (или столбца) матрицы имеют общий множитель,
то его можно просто "вынести за скобки"; если два столбца (или две строки)
поменять местами - определитель просто меняет знак на противоположный; а вот
если из одной строки вычесть другую - он вообще не меняется. В том числе
вычесть (или прибавить) предварительно умножив на некоторый (абсолютно любой)
коэффициент. Для столбцов, разумеется, то же самое.

   Вычислить определитель матрицы 2*2 (или 3*3) вообще не проблема - всего-то два
(ну или шесть) произведений двух (трёх) чисел. Произведение чисел, стоящих на
главной диагонали (для 3*3 ещё и вокруг неё) берутся с плюсом, а на "побочной"
(с правого верхнего в левый нижний угол матрицы) - с минусом.

   Ну так вот: чтобы найти матрицу ~A обратную к данной (которая A), надо найти
её детерминант (обозначается как det(A) или ||A||), и если он не ноль, то
проделать следующее: Во-первых матрицу транспонировать (т.е. развернуть вокруг
главной диагонали), а во-вторых каждый её элемент a_ij заменить на:
det(A_ij)/det(A), где A_ij матрица, дополнительная к элементу a_ij (получающаяся
вычеркиванием из A строки и столбца в которых он находится).

   Да, можно конешно решать систему уравнений и таким способом, но есть методы и
по-проще. Например такой:
 - берём систему уравнений и преобразуем в матрично-векторную форму A*X=B
 - считаем det(A); если он равен нулю, значит решений нет (можно не продолжать)
 - для каждого i-го неизветного x_i (i-го элемента вектор-столбца неизвестных
X) сооружаем матрицу A_i путём замены в матрице A i-го столбца на
вектор-столбец свободных членов B
 - после чего считаем его численное значение как det(A_i)/det(A)

  Вот собственно и всё.


   А теперь нечто типа постскриптума.
   "Алгеброй" математики называют нечто, состоящее из набора объектов и
применимых к ним операций. Вот такое примерно как хорошо всем известная еще со
школы самая обыкновенная алгебра вещественных чисел. Этих самых алгебр
полным-полно. Но таких же хороших среди них, как алгебра вещественных чисел -
раз, два и обчелся. (Математики даже называют их "исключительными".) Вот
алгебра кватерионов - одна из них.
   А как-же матричная алгебра? (Ну хотя-бы для квадратных матриц.) А вот она, к
сожалению нет: это алгебра с "делителями нуля". То есть в ней вполне можно найти
парочку очень даже ненулевых объектов, умножение которых друг на дружку даёт
ноль!
   Совершенно не представляю себе, какой в этих самых делителях нуля может быть
прок (т.е. можно ли их применить для чего ни будь полезного). Но знаете-ли
встречаются оригиналы, пытающиеся расширить делителями нуля например
"исключительную" алгебру обыкновенных комплексных чисел и с помощью получившейся
химеры вывести что-то такое этакое на поприще математического обоснования теории
относительности...
   В общем кому - как, а по-мне, так это форменное КЮ!