Множество натуральных чисел делится на четные (2n) и нечетные (2n + 1), простые и составные числа. В I веке Никомах определил совершенные числа. Сумма их собственных натуральных делителей равна этим числам: (6, 28, 496, 8128,...) 2n-1(2n - 1) где (2n - 1) простое число. Составные числа можно разделить на малые и большие составные (далее просто малые или большие), и особые числа.
Малые числа: 1)Сумма их собственных натуральных делителей меньше этих чисел.
2) Все их собственные натуральные делители являются малыми числами.
Большие числа:
1) Сумма их собственных натуральных делителей больше этих чисел.
2) Хотя бы один их собственный натуральный делитель не является малым числом.
Особые числа:
1) Сумма их собственных натуральных делителей равна или больше этих чисел.
2) Все их собственные натуральные делители являются малыми числами.
Приведу некоторые формулы, определяющие особые числа:
1) 2n k, где k - простое число, 2n < k <2n+1
2) 2n kq, где k,q - простые числа, 2n+1 < k < 2n+2, 2n+1 < k < q <[(2n+1 - 1)(k +1)]/[k - (2n+1 - 1)]
3) 70k или (2х5х7)k, где k - простое число больше 3,
4) 315k или 3(3х5х7)k, где k - простое число больше 2.
Таблица особых чисел, не превосходящих 7000 (1,4 % из них 0,1% нечётные числа).