6.7. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
Выше мы получили некоторые важные характеристики электромагнитного излучения, распространяющегося в периодической слоистой среде. Мы нашли явное выражение для матрицы трансляции на элементарную ячейку в периодической слоистой среде. При диа-гонализации этой матрицы трансляции на элементарную ячейку была получена зонная структура.
Понятия фазовой и групповой скоростей, а также скорости переноса энергии в периодической слоистой среде являются весьма тонкими и требуют внимательного анализа. Электромагнитные бло- ховские волны определяются выражением (6.2.25), а дисперсионное уравнение, связывающее ку, К и со, можно получить из (6.2.24). Важно иметь в виду, что блоховское волновое число К определяется выражением (6.2.24) не однозначно, а с точностью до произвольного целого числа, умноженного на 2ж/А. Обычно используемая в физике твердого тела схема приведения к зоне Бриллюэна неприменима при рассмотрении фазовой скорости электромагнитной бло- ховской волны. Если Еа- (г) разлагается в ряд Фурье
(6.7.1)
то блоховскую волну можно представить в виде линейной суперпозиции бесконечного числа элементарных плоских волн, называемых пространственными гармониками. Из выражений (6.2.25) и (6.7.1) имеем
Е = ^е^е-'^+'^/Л)] гецш-куУ)г (6.7.2)
где ер -- постоянные векторы. Таким образом, многозначная природа блоховского волнового числа заключает в себе существование полного набора пространственных гармоник. Если периодичность отсутствует (т. е. и, = п2), то блоховская волна должна переходить в регулярную плоскую волну, а К должен быть равен кг -- г-составляющей волнового вектора.
(6.7.3)
Главное значение К определяется таким образом, чтобы
|её"I > |еУ>|
для любых / или, что эквивалентно, путем выбора такого К, чтобы интеграл
(6.7.4)
имел максимальную величину. Это гарантирует то, что при исчезновении периодичности выживут лишь пространственные гармони-
ки е<?> и К = к
г'
Соответствующий выбор блоховского волнового числа К позволяет теперь определить фазовую скорость блоховской волны
В случае когда величина К комплексна, следует использовать лишь вещественную ее часть.
(6.7.6)
Определенная выше фазовая скорость представляет собой, строго говоря, фазовую скорость основной пространственной гармоники (/ = 0), которая имеет вид плоской волны
Е = (Ък)е*ш~к>У-Кг\
В длинноволновом режиме распространения, когда вся структура ведет себя так, как будто она однородна, основная пространственная гармоника вносит преобладающий вклад в блоховскую волну и может рассматриваться в качестве очень хорошего приближения общей волны.
Групповая скорость блоховского волнового пакета, распространяющегося в плоскости уг, дается выражением
-и
1
Л
В однородной среде групповая скорость представляет собой скорость переноса энергии квазимонохроматической волны и, следовательно, параллельна вектору Пойнтинга, который в однородной среде без потерь является постоянным. Вектор Пойнтинга блоховской волны, определяемый выражением (6.2.25), является периодической функцией координаты г. Однако групповая скорость (6.7.7) той же самой волны является постоянным вектором. Противоречие обусловлено тем, что в периодической среде поток энергии есть периодическая функция пространственных координат. Тем не менее мы покажем, что средняя скорость переноса энергии, определяемая выражением
(Вектор Пойнтинга) с/г , (6.7.8)
(Плотность энергии)в точности равна групповой скорости, определяемой выражением (6.7.7). Это весьма полезный результат, поскольку он позволяет объяснить распространение локализованных пучков с конечной апертурой в слоистой среде. Усредненные по пространственным координатам вектор Пойнтинга и плотность переноса энергии особенно полезны при рассмотрении длинноволнового режима распространения, когда среду можно рассматривать как квазиоднородную и анизотропную.
(6.7.9)
(6.7.10)
(6.7.11)
Чтобы доказать, что скорость переноса энергии (6.7.8) и групповая скорость (6.7.7) в случае периодических слоистых сред равны друг другу, мы можем воспользоваться результатами, полученными в разд. 6.2, а также выполнить дифференцирование в (6.7.7) и интегрирование в (6.7.8). Интересно показать, что это равенство справедливо в произвольной периодической среде, в том числе и в среде с периодическим двулучепреломлением при условии, что отсутствуют потери. Тензоры электромагнитной восприимчивости вследствие наличия у среды трансляционной симметрии являются периодическими функциями координаты х:
Мх) = ё"(х + а). Мх) = Мх + а) >
где а -- произвольный вектор решетки. Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла
V X Н = iиєЕ,
V X Е = -шцН,
где временная зависимость предполагается в виде е1и".
(6.7.12)
--/К"х
(6.7.13)
Н = Нк(х),
(6.7.14)
где Ек(х) и Нк(х) -- периодические функции: Ек(х) - Ек(х + а), Нк(х) = Нк(х +а).
Нижний индекс К указывает на то, что функции Ек и Нк зависят от блоховского волнового вектора К. Между К и со существует дис-
Вследствие трансляционной симметрии среды [и(или) теоремы Флоке; см. выражения (6.1.4) и (6.1.5)] будем предполагать, что волна является блоховской:
Е= Ек(х)е~IК-*персионная зависимость
и = <о(К). (6.7.15)
Усредненный по времени поток энергии электромагнитного поля дается выражением
Б = 5 Яе[Е X Н*], (6.7.16)
а усредненная по времени плотность электромагнитной энергии равна
и= ЯЕ-еЕ* + Н-цН*]. (6.7.17)
Тензоры электромагнитной восприимчивости предполагаются вещественными. В случае блоховских волн, распространяющихся в периодической структуре, величины Б и и являются функциями, периодическими в пространстве.
Определим скорость переноса энергии следующим образом:
с1ъх
э , (6.7.18)
(и)
где интегрирование ведется по элементарной ячейке, а V -- объем этой ячейки. Подставляя1 выражения (6.7.12) и (6.7.13) в (6.7.16) и (6.7.17), из (6.7.18) получаем
--
= <1Яе[Ек X НЫ) (6 7 е а(Ек.еЕ*к + Нк-цН*))'
где скобками < > обозначено усреднение по элементарной ячейке. Групповая скорость V , определяемая как
V, а ^к", (6.7.20)
представляет собой вектор, перпендикулярный поверхности волновых нормалей. Подставляя блоховские волны (6.7.12) и (6.7.13) в уравнения Максвелла (6.7.10) и (6.7.11), имеем
(6.7.22)
--
X Нк - /К X Нк = шеЕк, (6.7.21)
V X Ек - /К X Ек = -ш/Шк.
Чтобы показать, что Уе и V., равны друг другу, будем исходить из уравнений (6.7.21) и (6.7.22). Предположим, что К изменяется на бесконечно малую величину ЙК. Тогда если 5со, оЕк и оНк являются соответствующими изменениями величин со, Ек и Нк, то после ряда алгебраических преобразований (см. [4]) получаем
8а> = \е- 8К. (6.7.23а)
Из определения групповой скорости мы также имеем
8ы = ( Vк") ' ЗК = • ЗК. (6.7.236)
Поскольку 6К -- произвольный вектор, мы заключаем, что
V, = V (6.7.24)
Распрос транение злек грома! ни [ пых волн в периодических средах 21У
Распрос транение злек грома! ни [ пых волн в периодических средах 21У
